Cap11 Sec2 2x4

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Capítulo 11

Sequências e Séries

Infinitas

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11.2

Séries

Nesta seção, aprenderemos sobre: Vários tipos de séries. SEQUÊNCIAS INFINITAS E SÉRIES

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SÉRIES

Se tentarmos somar os termos de uma sequência infinita uma expressão da forma:

a1+ a2+ a3+ ··· + an+ ···

1

{ }

a

_{n n}f

Séries 1

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SÉRIES INFINITAS

Esta é denominada

série infinita (ou

apenas série) e é denotada, por simplicidade, pelo símbolo:

ou

Mas faz sentido falar sobre a soma de uma quantidade infinita de termos?

1 n

n

a f

¦

¦

an

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Seria impossível encontrar uma soma finita para a série

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· + n + ···

ƒ Se começarmos adicionando os termos, obteremos as somas cumulativas 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . ƒ Depois do n-ésimo termo n(n + 1)/2, que se torna

muito grande à medida que n aumenta.

SÉRIES INFINITAS

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Contudo, se começarmos a somar os termos da série obteremos: 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64      ˜˜˜ 2n  ˜˜˜ 3 7 15 31 63 1 2 4 8 16 32 64

, , , , , , ,1 1/ 2 ,

˜

˜˜ 

n

˜˜˜

SÉRIES INFINITAS

A tabela mostra que, quando adicionamos mais e mais termos, essas somas parciais se tornam cada vez mais próximas de 1.

ƒ De fato, somando um número suficiente de termos da série, podemos fazer as somas parciais se tornarem tão próximas quanto quisermos de 1.

SÉRIES INFINITAS

Assim, parece razoável dizer que a soma dessa série infinita é 1 e escrever:

1

1

1 1 1 1

1

₁

2

n

2 4 8 16

2

n n f

  

 

˜˜˜



˜˜˜

¦

SÉRIES INFINITAS

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Usamos uma ideia parecida para determinar se uma série geral (1) tem uma soma ou não.

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Consideramos as somas parciais

s1= a1 s2= a1+ a2 s3= a1+ a2+ a3 s3= a1+ a2+ a3+ a4 ƒ E em geral _{1 2 3} 1 n n n i i s   a a a ˜˜ ˜ a

¦

a

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Essas somas parciais formam uma nova sequência

_{s

_n

},

que pode ou não ter um limite.

SÉRIES INFINITAS

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Se existir (como um número finito), então, como no exemplo anterior, o

chamamos soma da série infinita_{ an}.

lim

n

nof

s

s

SOMA DE SÉRIES INFINITAS

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Dada uma série

Denote por snsua n-ésima soma parcial: 1 2 3 1 n n

a

a

a

a

f

   ˜˜˜

¦

1 2 1 n n i n i

s

¦

a

  ˜˜˜

a

a

a

Definição 2 SOMA DE SÉRIES INFINITAS

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Se a sequência {sn} for convergente e

existir como um número real, então a série  ané dita convergente, e

escrevemos:

ou

ƒ O número s é chamado soma da série. ƒ Caso contrário, a série é dita divergente.

lim n nofs s

Definição 2 SOMA DE SÉRIES INFINITAS

1 2 n a   ˜˜˜  ˜˜˜ a a s 1 n n a s f

¦

Assim, a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais.

Deste modo, quando escrevemos

queremos dizer que, somando um número suficiente de termos da série, podemos chegar tão perto quanto quisermos do número s. 1 n n a s f

¦

SOMA DE SÉRIES INFINITAS

Compare com a integral imprópria

ƒ Para encontrar essa integral, integramos de 1 até

t e então fazemos t  .

ƒ Para uma série, somamos de 1 a n e então fazemos n  . 1

( )

lim

1

( )

t t

f x dx

f x dx

f of

³

³

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Um exemplo importante de uma série infinita é a série geométrica 2 3 1 1 1

0

n n n

a ar ar

ar

ar

ar

a

 f 

 



 ˜˜˜

 ˜˜˜

z

¦

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 1

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Cada termo é obtido a partir do anterior pela multiplicação dele por uma razão r.

ƒ Já consideramos acima o caso especial onde a =

½ e r = ½.

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 1

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Se r = 1, então

s

n

= a + a + ··· + a = na  ±

ƒ Como não existe, a série geométrica diverge nesse caso.

lim_nofsn

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 1

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Se r  1, temos:

s_n= a + ar + ar2_{+ ··· + ar}n–1 e

rs_n= ar + ar2_{+ ··· +ar}n–1_{+ ar}n SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 1

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Subtraindo essas equações, obtemos:

s_n– rs_n= a – ar n

(1

)

1

n n

a

r

s

r





SÉRIES GEOMÉTRICAS Ex.: 1 Equação 3

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Se –1 < r < 1, sabemos, a partir de (11.1.9), que rn_{ 0 quando n  .}

Assim,

ƒ Então, quando|r | < 1, a série geométrica é convergente, e sua soma éa/(1 – r).

(1 )

lim lim lim

1 1 1 1 n n n n n n a r a a a s r r r r r of of of  _    

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 1

Se r  –1 or r > 1, a sequência {rn_}

é divergente por (11.1.9);

Assim, pela Equação 3, não existe.

ƒ Portanto, a série geométrica diverge naqueles casos.

lim

_n

nof

s

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 1

Em palavras: a soma de uma série geométrica convergente é: primeiro termo 1  razão SÉRIES GEOMÉTRICAS

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. A série geométrica é convergente se _{|r | < 1.} 1 2 1 n n

ar

a ar ar

f 

_{ }

_{ ˜˜˜}

¦

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. A soma da série é:

Se |r |  1, a série geométrica é divergente. 1 1

1

1

n n

a

ar

r

r

f 





¦

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Encontre a soma da série geométrica

ƒ O primeiro termo é a = 5 e a razão é r = –2/3

10 20 40

3 9 27

5     ˜˜˜

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 2

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ƒ Como |r | = 2/3 < 1, a série é convergente por (4) e sua soma é: 2 3 5 3

10 20 40

5

5

3

9 27

1 ( )

5

3

˜˜











˜



SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 2

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O que realmente queremos dizer quando falamos que a soma da série no Exemplo 2 é 3?

Claro, não podemos somar literalmente um número infinito de termos, um a um.

SÉRIES GEOMÉTRICAS

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Mas, de acordo com a Definição 2, a soma total é o limite da sequência de somas parciais.

ƒ Assim, tomando a soma de um número suficiente de termos, podemos chegar tão próximo quanto quisermos do número 3.

SÉRIES GEOMÉTRICAS

A tabela mostra as primeiras dez somas parciais

sn.

O gráfico na Figura 2 mostra como a sequência de somas parciais se aproxima de 3.

SÉRIES GEOMÉTRICAS

A série

é convergente ou divergente? 2 1 1

2 3

n n n f 

¦

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Vamos reescrever o n-ésimo termo da série na forma arn-1_:

ƒ Reconhecemos essa série como uma série geométrica com a = 4 e r = 4/3.

ƒ Como r > 1, a série diverge por (4).

1 2 1 2 ( 1) 1 1 1 1 1 4 4 2 3 (2 ) 3 4 3 3 n n n n n n n n n n n  f f f f     § ·¨ ¸ © ¹

¦

¦

¦

¦

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 3

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Escreva o número

como uma razão de inteiros. 2.3171717…

ƒ Depois do primeiro termo, temos uma série geométrica com a = 17/103_{e r = 1/10}2_. 3 5 7 17 17 17 2.3 10 10 10     ˜˜˜

2.317 2.3171717...

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 4

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. ƒ Portanto, 3 2

17

17

10

1000

2.317 2.3

₁

2.3

₉₉

1

10

100

23 17

10 990

1147

495









SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 4

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Encontre a soma da série _{onde |x| < 1.}

ƒ Observe que essa série começa com n= 0. ƒ Assim o primeiro termo é x0 _{= 1.}

ƒ Nas séries, adotamos a convenção de que

x0_{= 1 mesmo quando x = 0.} 0 n n

x

f

¦

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 5

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Então,

ƒ Essa é uma série geométrica com a = 1 e r = x.

2 3 4 0

1

n n

x

x x

x

x

f

     ˜˜˜

¦

SÉRIES GEOMÉTRICAS EXEMPLO 5

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

Como |r | = |x| < 1, ela converge, e (4) fornece

0

1

1

n n

x

x

f



¦

EX. 5 - Equação 5 SÉRIES GEOMÉTRICAS

Mostre que a série

é convergente e calcule sua soma.

1

1

(

1)

n

n n

f



¦

SÉRIES EXEMPLO 6

Essa não é uma série geométrica.

ƒ Assim, voltamos à definição de uma série convergente e calculamos as somas parciais.

1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ( 1) n n i s i i n n      ˜ ˜ ˜ ˜˜˜ 

¦

SÉRIES EXEMPLO 6

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Podemos simplificar essa expressão se usarmos a decomposição em frações parciais.

ƒ Veja a Seção 7.4, no Volume I.

1

1

1

( 1)

1

i i





i

i



© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Então, temos: 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 n n i n i s i i i i n n n  § _ · ¨ _ ¸ © ¹ § · § · § · § · _{¨ ¸ ¨}  _{¸ ¨}  _¸ ˜˜˜_¨  _¸  © ¹ © ¹ © ¹ © ¹  

¦

¦

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. E, dessa forma,

ƒ Portanto, a série dada é convergente e

1

lim

lim 1

1 0 1

1

n nof

s

nof

_n

§

_

·

_

¨

_

¸

©

¹

1 1 ₁ ( 1) n n n f 

¦

SÉRIES EXEMPLO 6

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A figura ilustra o Exemplo 6 mostrando os gráficos da sequência de termos

an=1/[n(n + 1)] e a sequência {sn} das somas

parciais.

ƒ Observe que an 0

e sn 1. SÉRIES

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Mostre que a série harmônica

é divergente.

1

1

₁

1 1 1

2 3 4

n

n

f

    ˜˜˜

¦

SÉRIES HARMÔNICAS EXEMPLO 7

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

Para esta série particular é conveniente considerar as somas parciais s2, s4, s8, s16,

s32, … e mostrar que elas se tornam grandes.

 

 

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 3 4 2 4 4 2 2

1

1

1

1

1

s

s

s

!



  

  



SÉRIES HARMÔNICAS EXEMPLO 7

 

  



1 1 1 1 1 1 1 8 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 2 2 2 3 2

1

1

1

1

s

      

§¨_© ·¸_¹

!       

  



Analogamente,

SÉRIES HARMÔNICAS EXEMPLO 7

 





  

 



1 1 1 1 1 1 1 16 2 3 4 5 8 9 16 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 8 8 16 16 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2

1

1

1

1

s

     ˜˜˜   ˜˜˜

§¨_© ·¸_¹

!      ˜˜˜ 

 ˜˜˜

   



Analogamente,

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Analogamente, s32> 1 + 5/2, s64> 1 + 6/2,

e, em geral,

ƒ Isso mostra que s2n  quando n  , e assim

{sn} é divergente.

ƒ Portanto, a série harmônica diverge.

2n

1

₂

n

s ! 

SÉRIES HARMÔNICAS EXEMPLO 7

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O método usado no Exemplo 7 para mostrar que a série harmônica diverge deve-se ao estudioso francês Nicole Oresme (1323-1382).

SÉRIES HARMÔNICAS

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Se a série for convergente, então

Seja s_n= a1+ a2+ ··· + anentão,

a_n= s_n– s_n–1

ƒ Como  ané convergente, a sequência {sn}

é convergente. 1 n n

a

f

¦

lim

n

0

nof

a

SÉRIES Teorema 6

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Seja

Então n – 1   as n  , também temos:

lim

_n

nof

s

s

1

lim

_n

nof

s



s

SÉRIES Teorema 6—Demonstração

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Portanto,



1



1

lim

lim

lim

lim

0

n n n n n n n n n

a

s

s

s

s

s s

 of of  of of







SÉRIES Teorema 6—Demonstração

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

Com qualquer série

 a

_nassociamos duas sequências:

ƒ A sequência {sn} de suas somas parciais

ƒ A sequência {an} de seus termos

SÉRIES Teorema 6—Demonstração

Se  ané convergente, então

ƒ O limite da sequência {sn} é s (a soma da série).

ƒ O limite da sequência {an}, como o Teorema 6

afirma, é 0.

SÉRIES Observação 1

A recíproca do Teorema 6 não é verdadeira em geral.

ƒ Se , não podemos concluir que  ané

convergente.

lim n 0

nofa

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Observe que, para a série harmônica  1/n, temos an= 1/n  0 quando n  .

ƒ Mas mostramos no Exemplo 7 que  1/n é divergente.

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Se não existir ou se ,

então a série é divergente.

lim

_n nof

a

lim

nof

a

n

z

0

1 n n

a

f

¦

Teste 7

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O Teste para Divergência vem do Teorema 6, porque, se a série não for divergente, ela é convergente e, assim .lim _n 0

nofa

TESTE PARA DIVERGÊNCIA

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Mostre que a série diverge.

=

ƒ Desse modo, a série diverge pelo Teste para Divergência. 2 2 1

5

4

n

n

n

f



¦

EXEMPLO 8 2 2 2 1 1

lim lim lim 0

5 4 5 4 / 5 n n n n n a n n of of  of  z

TESTE PARA DIVERGÊNCIA

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Se descobrirmos que , saberemos que  ané divergente.

Se acharmos que , não saberemos

nada sobre a convergência ou divergência

de an. SÉRIES lim n 0 nofa z

lim

n

0

nof

a

Observação 3

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Lembre-se do aviso na Obs. 2:

ƒ Se , a série  anpode convergir ou

divergir.

lim n 0 nofa

SÉRIES Observação 3

Se  ane  bnforem séries convergentes,

então também o serão as séries  can(onde

c é uma constante),  (an+ bn), e  (an– bn), e









1 1 1 1 1 i. ii. iii. n n n n n n n n n n n n n n n ca c a a b a b a b a b f f f f f f f f    

¦

¦

¦

¦ ¦

¦

¦ ¦

SÉRIES Teorema 8

Essas propriedades de séries convergentes vêm das Propriedades do Limite para Sequências Convergentes na Seção 11.1.

Por exemplo, aqui está como a parte (ii) do Teorema 8 é demonstrada a seguir.

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Seja 1 1 1 1 n n i n i n n n i n i n

s

a

s

a

t

b

t

b

f f

¦

¦

¦

¦

TEOREMA 8 ii—DEMONSTRAÇÃO

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A n-ésima soma parcial para a série  (an+ bn) é:





1 n n i i i

u

¦

a



b

TEOREMA 8 ii—DEMONSTRAÇÃO

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Usando a Equação 5.2.10, no Volume I, temos:





1 1 1 1 1 lim lim lim lim lim lim lim n n i i n n i n n i i n i i n n i i n n i i n n n n u a b a b a b s t s t of _of of of of of of  § _ · ¨ ¸ © ¹   

¦

¦ ¦

¦

¦

TEOREMA 8 ii—DEMONSTRAÇÃO

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Portanto,  (a_n+ b_n) é convergente e sua soma é:





1 1 1 n n n n n n n

a

b

s t

a

b

f f f







¦

¦ ¦

TEOREMA 8 ii—DEMONSTRAÇÃO

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Calcule a soma da série

ƒ A série  1/2n_{is é uma série geométrica com}

a = ½ e r = ½. ƒ Assim, 1

3

1

(

1) 2

n n

n n

f

_§

_·



¨

_

¸

©

¹

¦

SÉRIES EXEMPLO 9 1 2 1 1 2 1 ₁ 2n 1 n f 

¦

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ƒ No Exemplo 6 encontramos que:

ƒ Assim, pelo Teorema 8, a série dada é convergente e

1 1 1 3 1 ₃ 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 3 1 1 4 n n n n n n n n n f _{§ ·} f f   ¨ _ ¸ _ © ¹ ˜ 

¦

¦

¦

SÉRIES 1 1 ₁ ( 1) n n n f 

¦

EXEMPLO 9

Um número finito de termos não afeta a convergência ou divergência de uma série.

SÉRIES Observação 4

Por exemplo: suponha que possamos mostrar que a série é convergente.

ƒ Como

segue que a série inteira é convergente. 3 4 1 n n n f 

¦

3 3 1 4 1 2 3 1 2 9 28 1 n n n n n n f f     

¦

¦

3 1 1 n n n f 

¦

SÉRIES Observação 4

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Analogamente, se soubermos que a série converge, então a série completa:

também é convergente. 1 n n N a f 

¦

1 1 1 N n n n n n n N

a

a

a

f f 



¦ ¦

¦