notas Cálculo 1B 2017 2 sem

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Índice General

1 Derivada 2

1.1 Tasa promedio de cambio . . . 2

1.2 Tasa instantánea de cambio (derivada) . . . 4

Lista de ejercicios 1 . . . 9

2 Optimización 11

2.1 Crecimiento y extremos relativos . . . 11

2.2 Derivada segunda y concavidad . . . 15

2.3 Extremos absolutos . . . 18

Lista de ejercicios 2 . . . 20

Problemas propuestos en primeras revisiones 21

3 Aplicaciones de optimización 26

Lista de ejercicios 3 . . . 30

4 Integrales . . . 33

4.1 Introducción . . . 33

4.2 Teorema fundamental y Barrow . . . 37

Lista de ejercicio 4 . . . 41

4.3 Otros métodos de calculo . . . 43

Lista de ejercicio 5 . . . 47

4.4 Integrales Impropias . . . 48

Lista de ejercicio 6 . . . 49

5 Taylor . . . . . . 56

Lista de ejercicios 7 . . . . 58

Resultados de ejercicios . . . 60

(2)

Capítulo 1 Derivada

1.1 Tasa promedio de Cambio

Definición 1.1 Dada una función f :  consideremos dos puntos A y B de la gráfica de la misma, es decir que A



x f x₁, ( )₁



y B



x₂, ( )f x₂



. Llamaremos tasa promedio de cambio al pasar del valor x al valor ₁ x a la pendiente (o coeficiente ₂

angular) de la recta que pasa por A y B. Es decir que:

Tasa promedio de cambio = 2 1

2 1 ( ) ( ) f x f x x x  

El valor x₂x₁ está midiendo lo que se incrementó la variable al pasar del valor x al ₁

valor x y en ocasiones lo llamaremos ₂ x. Por otro lado f x( )₂  f x( )₁ mide lo que se incrementó la función al pasar del valor x al valor ₁ x y lo llamaremos ₂ y.

Por lo que con esta otra notación la tasa promedio de cambio = y

x

 

Veamos algunos ejemplos que nos ayudarán a entender este concepto. Ejemplo 1.1.1

Supongamos que vamos de paseo a Minas desde Montevideo. Habitualmente se toma a Montevideo como el kilómetro 0, por lo que Minas es aproximadamente el kilómetro 120. Salimos a las 8 de la mañana llegando a Minas a las 9 y media. Si dividimos la distancia recorrida entre el tiempo empleado ( 120 0 120 80

9, 5 8 1, 5

 _ _

 ) nos da la velocidad

promedio. Observe que si tomamos como variable x a la hora que nos indica el reloj medida en horas y como f x( ) al kilómetro en que nos encontramos a la hora x el cálculo de la velocidad promedio que hicimos es (9, 5) (8)

9, 5 8

f  f

(3)

velocidad promedio es la tasa promedio de cambio de esta función al pasar de x₁8 a

2 9,5

x  .

Observe que hayamos hecho el viaje a una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora, no está indicando que durante la hora y media el auto fue permanentemente a 80 Km/h. Seguramente hubo momentos en donde el mismo fue a más de 80 y otros donde fue a menos, este indicador solo nos da el promedio.

Agreguemos algunos datos más y hagamos otros cálculos. Supongamos que en el momento que pasamos el Kilómetro 50, eran las 8 horas y 45 minutos. Queremos averiguar si en promedio fuimos más rápido desde Montevideo hasta el kilómetro 50 o desde este hasta Minas.

Empecemos por calcular la velocidad promedio del primer tramo esto es:

(8, 75) (8) 50 0 67 8, 75 8 0, 75 f  f    Km/h

Por otro lado la velocidad promedio del segundo tramo es:

(9, 5) (8, 75) 120 50 70

93

9, 5 8, 75 0, 75 0, 75

f  f _  _

 Km/h

De donde concluimos que fuimos más rápido en el segundo tramo. Ejemplo 1.1.2

La función de costos mensuales de una empresa que produce y vende un producto es ( ) 100.000 50

C x   x donde x indica el número de unidades producidas y vendidas. Por otro lado la función de ingresos es I x( )300x0, 01x2. La cantidad de unidades producidas y vendidas por mes por la empresa es de 1.000 unidades, pero se está

planteando la posibilidad de incrementar esta cantidad a 1.200. Para evaluar si esto vale la pena, queremos en primer lugar calcular en cuanto se incrementarían las utilidades. Para esto recordemos que la utilidad es igual al ingreso menos el costo es decir:

2 2

( ) ( ) ( ) (300 0, 01 ) (100.000 50 ) 100.000 250 0, 01

U x I x C x  x x   x    x x .

De donde las utilidades actuales son de U(1000)140.000 pesos Y si incrementamos a 1.200 unidades será de U(1200)185.600 pesos

Por lo que las utilidades se verán incrementadas en  U U(1200)U(1000)45.600 pesos.

Por otra parte si calculamos la tasa promedio de cambio de la función de utilidad al pasar de 1000 a 1200 unidades nos da (1200) (1000) 45.600 228

1200 1000 200

U U

TPC    

 .

Ahora la pregunta es ¿qué nos está indicando en este caso la TPC?

Observe que al producir 200 unidades extras generamos 45.600 pesos extras en las utilidades . Por lo que estos 228 son el promedio de pesos extras generados por cada unidad extra producida.

(4)

Ejemplo 1.1.3

Sea f x( )2x23 . Queremos hallar la tasa promedio de cambio al pasar de x₁1 a

2 3 x  e interpretar gráficamente. (3) (1) 21 5 8 3 1 2 f f TPC      

Gráficamente esto indica el coeficiente angular o pendiente de la recta que pasa por A y B

1.2 Tasa instantánea de cambio (Derivada)

En el ejemplo 3.1.1 calculamos la velocidad promedio de un paseo de Montevideo a Minas. Este indicador, si bien puede ser útil para algunos asuntos, no lo será para otros. Por ejemplo, si en ese paseo pasamos por algún puesto de control de velocidad el

inspector de tránsito solo tendrá en cuenta la velocidad en el instante que pasamos por el control. Si esta excede el límite permitido, de nada servirá argumentar que nuestro promedio desde que salimos de Montevideo fue de 80 Km/h . Lo mismo si tenemos un accidente en la ruta: la gravedad del mismo tendrá que ver con la velocidad que

llevábamos en ese instante y no con el promedio. Es decir que en ocasiones nos

interesará la velocidad instantánea del automóvil, por lo que debemos saber calcularla. Ejemplo 1.2.1

Agreguemos al ejemplo del viaje a Minas la función f t( )20t250t donde t es el tiempo transcurrido (medido en horas) desde que salimos desde Montevideo y f t( ) es el kilómetro en que nos encontramos para ese valor de t . Observe que con este dato y teniendo en cuenta que el viaje duraba una hora y media, la velocidad promedio del viaje es (1, 5) (0) 120 0 80 1, 5 0 1, 5 p f f v       km/h

Pero supongamos que exactamente a la hora de viaje nos encontramos con un control de velocidad en una zona de la ruta donde la velocidad máxima autorizada es de 80 km/h. Si nos guiamos por la velocidad promedio, estamos justo en el límite, pero ya sabemos que esto no es muy preciso. Sin embargo parece razonable pensar que si vamos

calculando la velocidad promedio entre 1 y un punto cada vez más cercano al 1 , esta se irá aproximando al valor del la velocidad en el instante t1.

(5)

Calculemos la velocidad promedio entre x₁ 1 y un punto “cercano” por ejemplo 2 1,1 x  esto es: 1 (1,1) (1) 79, 2 70 92 1,1 1 0,1 p f f v       km/h

Y si el cálculo lo hacemos entre x₁1 y x₂ 1.01 la velocidad promedio nos da:

2 (1, 01) (1) 70, 902 70 90, 2 1, 01 1 0, 01 p f f v       km/h

De donde parece razonable pensar que la velocidad en t1 debe estar alrededor de 90 km/h, sin embargo, debemos dar un paso más para poder afirmarlo con precisión. En lugar de tomar puntos concretos “cercanos” al 1 tomemos un valor t y calculemos la velocidad promedio entre el punto 1 y t esto es

2 ( ) (1) 20 50 70 1 1 f t f t t t t       si ahora

hacemos el límite cuando t1 el resultado del mismo será exactamente la velocidad en ese instante.



 



2 1 1 1 1 1 . 20 70 ( ) (1) 20 50 70

lim lim lim lim 20 70 90

1 1 1 t t t t t t f t f t t t t t t        _   _ _ _ _    km/h Definición 1.2.1

Dada una función f :  y a un punto interior a su dominio. Llamaremos tasa instantánea de cambio o derivada de la función f en el punto a al número que resulta de calcular el lim ( ) ( ) x a f x f a x a  

 . A dicho número lo notaremos f a( ).

Si el límite no existe o da infinito, diremos que la función no es derivable en ese punto. ( ) lim ( ) ( ) x a f x f a f a x a     

Otra notación que en ocasiones es más conveniente, se puede obtener de introducir ax.

Recordemos que   x x a por lo que si xa entonces  x 0. Por otro lado si despejamos nos queda que x  a x de donde

0 ( ) ( ) ( ) lim x f a x f a f a x        

Observación 1.2.1 Interpretación geométrica de la derivada Recordemos que la tasa promedio de cambio f x( ) f a( )

x a



 es el coeficiente angular de



a f a, ( )



. Por lo que podemos intuir que cuando xa la recta PQ tiende a transformarse en la recta tangente al gráfico de

(6)

Observe que estamos en condiciones de hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto



a f a, ( )



ya que tenemos un punto y su coeficiente angular.

t) y f a( ) f a( ).



x a



Ejemplo 1.2.2

Sea 2

( )

f x x Queremos hallar la derivada de esta función en un punto x utilizando la definición.

2 2 2 2 2

0 0 0 0

( ) ( ) ( ) 2 ( )

( ) lim lim lim lim 2 2

x x x x f x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x                               Es decir que



cos x

 

sen f x



 



cos



f x

 



g x Ejemplo 1.2.5 Dada la función 2 3 2 ( ) 2 1 x x f x x   

 hallar la función derivada utilizando la tabla.

En primer lugar observe que nuestra función es un cociente, por lo que empecemos por

aplicar la derivada del cociente





















2 2 2 3 2 . 2 1 3 2 . 2 1 ( ) 2 1 x x x x x x f x x  _          

Luego podemos ver que lo que falta derivar son sumas y restas de funciones cuyas derivadas encontramos en la tabla, de donde nos queda que :



 











2 2 2 3 . 2 1 3 2 .2 ( ) 2 1 x x x x f x x       

 Aquí ya terminamos de derivar, solo resta

hacer cuentas en el numerador para dejar una expresión más sencilla





2 2 2 2 1 ( ) 2 1 x x f x x     

(9)

Ejemplo 1.2.6

f x e   x

Lista de ejercicios 1

1- Una persona hace un viaje en automóvil que dura 5 horas. El comportamiento del automóvil se puede describir por la función 2

( ) 9 12

f t  t  t donde t mide el tiempo del viaje medido en horas y f t( ) es la distancia recorrida en ese tiempo medido en kilómetros.

i) Calcular la velocidad promedio del automóvil hora por hora (desde 0

t a t1 , desde t1 a t2 y así sucesivamente)

ii) Calcular la velocidad promedio del automóvil durante todo el viaje. iii) Interpretar gráficamente los resultados de i) y ii)

2- Se deja caer un objeto desde un edificio de 30 metros de altura. La altura del objeto se determina en función del tiempo según la función f t( )30 5 t2

donde el tiempo t está medido en segundos y la altura f t( ) en metros. i) Hallar la velocidad promedio durante el primer segundo. ii) ¿Cuánto tarda el objeto en caer al suelo?

iii) Calcule la velocidad promedio desde que se deja caer hasta que cae al suelo.

3- La función de costos de producir x artículos está dada por

3 2

( ) 0, 001 0,3 40 1000

C x  x  x  x

i) Calcule el incremento en los costos cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60

ii) Calcule el costo promedio por unidad adicional del incremento planteado en la parte i)

4- Dada la función f x( )2x3 Hallar f(3) utilizando la definición. 5- Dada la función f x( )  x2 3x2

i) Hallar f(1) utilizando la definición de derivada

ii) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en



1, (1)f



iii) Utilizando la recta tangente calcular f(1,1) comparar con el valor exacto

(10)

6- Dada la función f x( )L x23

i) Hallar f(2) utilizando la definición

ii) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en



2, (2)f



iii) Utilizando la recta tangente calcular f(1, 9) comparar con el valor exacto

7- Un proyectil es lanzado verticalmente desde el suelo a una velocidad de 50 metros por segundo. Esto genera la función f t( )50t5t2 que nos indica la altura del proyectil medida en metros en función del tiempo t medido en segundos.

i) Calcular la velocidad pasados 3 segundos del lanzamiento ii) Calcular cuanto tiempo demora en caer

iii) Calcular la velocidad en el instante de impactar con el suelo 8- Una epidemia está propagándose en un país vecino. Las autoridades sanitarias

estiman que el número de personas que se contagiarán, está dada por una función cuya variable es el tiempo. Esta es f t( )300t320t2 donde el tiempo

t está medido en días y 0 t 60

i) ¿Cuántas personas se espera que contraigan la enfermedad al cabo de 20 días?

ii) ¿Cuál es la tasa promedio que se espera que se propague la epidemia entre t10 y t 20?

iii) ¿Cuál es la tasa instantánea que se espera a que la enfermedad se propague cuando t20?

9- Utilizando la tabla hallar la función derivada de las siguientes funciones:

(11)

Capítulo 2 Optimización

2.1 Crecimiento y extremos relativos

Definición 2.1.1 Llamaremos entorno de centro a y radio r al intervalo



a r a , r



y lo notaremos E_{a r}_, .

Definición 2.1.2 Diremos que una función es creciente en el punto a si y solo si existe un Ea r, tal que si xEa r, y xa entonces f x( ) f a( )

y si xE_{a r}_, y xa entonces f x( ) f a( )

Definición 2.1.3 Diremos que una función es decreciente en el punto a si y solo si

existe un Ea r, tal que si xEa r, y xa entonces f x( ) f a( )

y si xE_{a r}_, y xa entonces f x( ) f a( )

Recordemos que la derivada de una función en un punto nos daba el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico de f en el punto



a f a, ( )



. De donde podemos observar que si una función es creciente en un punto y hay recta tangente el coeficiente angular de la misma deberá ser positivo como muestra la figura 2.1.1 en a1. Del mismo modo, si es decreciente el coeficiente angular de la recta tangente será negativo como muestra la figura 2.1.2 en a1.

Figura 2.1.1 Figura 2.1.2 Estos resultados se pueden formalizar mediante los siguientes enunciados. Teorema 2.1.1

Si f a( )0  f es creciente en a Si f a( )0  f es decreciente en a

(12)

Definición 2.1.4 Diremos que una función presenta un máximo relativo en xa si y solo si existe un entorno E_{a r}_, tal que f x( ) f a( )  x E_{a r}_,

Observe que solo nos interesa como se comporta la función en un entorno del punto, por eso también se habla de máximo “local”. Por ejemplo en la figura 4.1.3 podemos

observar que la función presenta un máximo relativo en x2 ya que si consideramos el entorno E_2,1 (esto es los x(1, 3)) se cumple que f x( ) f(2) cualquiera sea xE_2,1. Sin embargo podemos observar que fuera del entorno la función alcanza valores

mayores que f(2) sin que esto tenga algo que ver con el hecho de ser máximo relativo. Lo otro que se puede observar en la figura es que la recta tangente al gráfico de f en

2

x (punto donde se alcanzaba el máximo relativo) es horizontal.

Figura 2.1.3

Definición 2.1.5 Diremos que una función presenta un mínimo relativo en xa si y solo si existe un entorno Ea r, tal que f x( ) f a( )  x Ea r,

En la figura 2.1.4 podemos observar que la función presenta un mínimo relativo en 3

x . Al igual que en el caso anterior la recta tangente al gráfico de la función en x3 es horizontal.

Figura 2.1.4

Lo observado en estos dos ejemplos, donde en los puntos donde había extremos relativos (ya sea máximo o mínimo) la tangente era horizontal, se formaliza por el siguiente teorema.

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Teorema 2.1.2

Si f presenta en a un extremo relativo y existe f a( )  f a( )0 Ejemplo 2.1.1

Sea f :  tal que f x( )x3 si hallamos su derivada encontramos que f x( )3x2

por lo que f(0)0 (por lo que la recta tangente al grafico f en 0 será horizontal) sin embargo f no presenta en 0 ni un máximo ni un mínimo relativo como podemos

observar en la gráfica. Por lo que hemos encontrado un contraejemplo que prueba que el recíproco del teorema 2.1.2 no es cierto.

Observación 2.1.1 Hay una hipótesis que no debe pasar desapercibida que es la existencia de f a( ). Esto significa que una función podrá tener extremo relativo en un punto donde la derivada no exista, como se puede observar en el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.1.2 Sea f :  tal que f x( ) x . Podemos observar en su gráfica que

f presenta un mínimo relativo en 0 sin embargo también se puede observar que f(0) no existe.

(14)

De las observaciones anteriores podemos concluir que hallando todos los puntos donde la derivada no existe o vale cero, tendremos los “candidatos” a extremos relativos que luego se deben clasificar para ver si en dichos puntos la función tiene o no extremos relativos. Veamos entonces algunos métodos para clasificar estos candidatos. Ejemplo 2.1.3

Sea 3 2

( ) 6 9 3

f x x  x  x . Queremos ver si esta función tiene extremos relativos. Empecemos por hallar los candidatos para lo cual hallamos la derivada de f .

2

( ) 3 12 9

f x  x  x Como la derivada existe  x concluimos que los candidatos serán aquellos puntos donde la derivada vale 0 por lo que resolvemos la ecuación

2

( ) 3 12 9 0

f x  x  x  cuyas solución es x1 y x3. Ahora tenemos que

clasificar estos candidatos para lo que estudiamos el signo de f. Recordemos que si la derivada es positiva, la función crece y si es negativa decrece.

0 0

sig f + + + + - - - + + + + + 1 3

Del signo de la derivada deducimos que la función f crece hasta el 1 donde tiene tangente horizontal, para luego decrecer, por lo que podemos concluir que la función presenta en 1 un máximo relativo. Con un razonamiento análogo concluimos que la función presenta en 3 un mínimo relativo. Estos resultados nos ayudaran a obtener la grafica de la función.

Este método de clasificación de candidatos a extremos relativos lo generalizamos con el siguiente enunciado.

Teorema 2.1.3

Si f a( )0 y en un entorno de a el signo de la derivada leyendo de izquierda a derecha i) pasa de negativo a positivo  f presenta un mínimo relativo

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2.2 Derivada segunda y concavidad.

Definición 2.2.1 Llamaremos derivada segunda de f a la derivada de f y lo notaremos f Es decir que f( )x 



f x( )





Observación 2.2.1

Sea una función f :  y sabemos que f( )x 0 en un interval, queremos analizar que significa este resultado en la gráfica de f . Si la derivada de una función es positiva, entonces la función es creciente y como la derivada segunda es la derivada de la derivada primera, concluimos que f x( ) es creciente en ese intervalo. Pero

recordemos que la derivada nos da la pendiente de la recta tangente, por lo que si la derivada es creciente las pendientes de las tangentes son cada vez más grande como podemos ver en la figura donde trazamos las rectas tangentes en los puntos –1 , 0 y 1 que nos dieron las rectas t1 , t2 y t3 respectivamente. Observe que la pendiente de t1, tangente en x 1, es negativa ya en x0la pendiente vale 0 y en x1la pendiente es positiva , es decir que la pendiente va creciendo a medida que x crece. Es importante

observar que el hecho de que las pendientes crezcan, implica que trazada una recta tangente, la curva quede por encima de esta.

Con un razonamiento análogo concluimos que si f( )x 0 las pendientes decrecen y la función queda debajo de la recta tangente trazada en un punto.

Definición 2.2.2

 x Ea r, )

(16)

Las observaciones 2.2.1 se formaliza mediante el siguiente enunciado Teorema 2.2.1

Si f( )a 0  la función presenta concavidad positiva en a

Si f( )a 0  la función presenta concavidad negativa en a

Ejemplo 2.2.1

Sea f x( )x33x23x2 Queremos analizar como es la concavidad de esta función Para esto debemos estudiar el signo de la derivada segunda.

Observe que f x( )3x26x3 por lo que f( )x 6x6

0

Luego el signo de la derivada segunda es sig f - - - + + + + 1

De donde la concavidad es negativa hasta el 1 y luego pasa a ser positiva.

Por otro lado como f(1)0 la recta tangente en x1 es horizontal. Y como podemos observar en la grafica para valores menores que 1 la curva queda por debajo de la tangente mientras que para valores mayores que 1 la curva esta por encima , cosa que es coherente con las definiciones de concavidad y el signo de nuestra derivada segunda. Cuando esto ocurra en un punto diremos que la función presenta un punto de inflexión en ese punto. Es decir que la función de nuestro ejemplo presenta un punto de inflexión en x1. Observe como el estudio de la concavidad aportará también para poder graficar la función.

Observación 2.2.2

Supongamos que una función f presenta en xa un máximo relativo y estamos en un caso donde f a( )0 es decir la función presenta tangente horizontal en ese punto. Por definición de máximo relativo existe un entorno centrado en a donde la función toma valores menores a f a( ) por lo que la curva estará por debajo de la tangente y esto significa que la función presenta en ese punto concavidad negativa. Razonando

análogamente si una función presenta en un punto mínimo relativo y existe la derivada primera la función presenta en ese punto concavidad positiva.

(17)

Teorema 2.2.2

i) Si f a( )0 y f( )a 0  f presenta en a un mínimo relativo

ii) Si f a( )0 y f( )a 0  f presenta en a un máximo relativo

Observe que este teorema puede ser útil cuando estudiar el signo de la derivada primera sea muy complicado ya que con el solo precisamos los valores en el punto a .

Ejemplo 2.2.2

Sea f(x) x.Lx1ex2 Queremos analizar si esta función presenta 0 un extremo relativo. Para esto empecemos viendo si efectivamente 0 es un candidato.

2 ( ) 1 .2 1 x x f x L x e x x     

 por lo que podemos comprobar que f(0)0, luego 0 es

candidato. Pero observe que estudiar el signo de la derivada primera no parece tarea fácil por lo que pacemos a calcular la derivada segunda.





2 ₂ 2 2 1 1 ( ) .4 .2 1 ₁ x x f x e x e x _x     

 _ si la evaluamos en 0 nos queda que

(0) 4 0

f   de donde estamos en el primer caso del teorema 2.2.2 por lo que f

presenta en 0 un mínimo relativo.

(18)

2.3 Extremos absolutos

Definición 2.3.1 Dada una función f y un conjunto D diremos que el máximo

absoluto de f en D es M y lo notaremos Máx f D

 

M si y solo si existe un punto

0

x de D tal que f x( )₀ M y f x( )M  xD.

Es importante distinguir entre el máximo M y el punto x donde se alcanza el mismo. ₀

En general nos interesan ambos valores pero es importante saber quien es quien. También debemos distinguir entre este concepto y el de máximo relativo. De la misma manera definimos mínimo absoluto.

Definición 2.3.2 Dada una función f y un conjunto D diremos que el mínimo absoluto de f en D es m y lo notaremos Mín f D

 

m si y solo si existe un punto

0

x de D tal que f x( )₀ m y f x( )m  xD.

Ejemplo 2.3.1 Sea f x( )x2 y el conjunto D 



1,3



. Nos interesa hallar, si existen, el máximo y el mínimo de f en D. En este caso lo podemos resolver gráficamente ya que conocemos la grafica de esta función. Si observamos la figura solo nos interesa el tramo que va del punto A al B por lo que podemos concluir que el valor mas chico que alcanza la función en D es 0 y se alcanza en x0 y el valor mas grande es 9 y se alcanza en x3 Por lo que podemos decir que

Mín f D( ) 0 f(0) y Máx f D( ) 9 f(3)

También es interesante observar que en 0, punto donde se alcanzo el mínimo absoluto, la función también presenta un mínimo relativo. Mientras que en 3, punto donde se alcanzo el máximo absoluto, la función no presenta un máximo relativo. Es mas 3 ni siquiera es candidato a ser extremo relativo ya que f(3) 6 0.

Esta diferencia tiene que ver con la “ubicación” del punto donde se alcanzo el extremo absoluto. Observe que el mínimo se alcanzo en 0, que es lo que llamaremos un punto interior al intervalo



1,3



ya que podemos encontrar un entorno de centro 0 que este contenido en el intervalo



1,3



. Esto hace que si f(0) era el más grande en todo el

(19)

,  f x( )₁ y x es punto interior al intervalo ₁

 

a b (esto es , x₁ a y

1

x b)  f presenta en x un mínimo relativo. ₁

Teorema 2.3.2 ( Weierstrass )

Si f es continua en

 

a b ,  existen Máx f a b y Mín

 

, f a b

 

,

Ejemplo 2.3.2 Sea la función f x( ) 1

x

 en el intervalo abierto

 

0,1 . Primero observemos que

0

lim ( )

x

f x



   lo que significa que tomando puntos del

 

a b para saber si estoy en las , hipótesis de Weierstrass

ii) Hallar los candidatos a extremos relativos (esto es puntos donde la derivada vale 0 o no existe) que sea interiores al intervalo

 

a b . ,

iii) Evaluar la función en los candidato hallados en ii) y en los puntos a y b. De todos los resultados obtenidos el mas grande es el máximo absoluto y el mas chico es el mínimo .

Ejemplo 2.3.3 Sea f x( )2x33x2 Hallar, si existen, extremos absolutos de f en



2, 4



D  . Para esto seguimos los pasos indicados.

i) La función es polinomica por lo tanto continua. Y el intervalo es cerrado por lo que el teorema de Weierstrass nos asegura la existencia de extremos absolutos

ii) f x( )6x26x por lo que f x( )0 si y solo si x0 o x1. Y como los dos puntos son interiores al intervalo D 



2, 4



ambos son candidatos. iii) f(0)0 , f(1) 1 , f( 2)  28 y f(4)80

De donde concluimos que el Mín f D( )  28 f( 2) y el Máx f D( )80 f(4)

Lista de ejercicios 2

1- Hallar extremos relativos de la siguientes funciones:

4 2 1( ) 8 f x x  x , f x2( ) 5x5100 ,





4 3( ) 3 f x   x 4( ) 2 1 x f x x   y





2 5( ) 2 . x x f x  x e  2- Sean f x₁( )2x33x2 f x₂( )2x39x212x5 f x₃( ) 2x 3 x   4 2 1 ( ) x f x x  

 f x₅( )xex2 Para cada una de estas funciones

i) Hallar el dominio de f .ii) Calcular _i lim _i

x f . iii) Estudiar el

crecimiento y hallar extremos relativos de f iv) Estudiar concavidad v) Bosquejar. _i

3- Estudio analítico y representación grafica de

viii) 4( ) . x f x x e en D8 



0,



Problemas propuestos en revisiones y examenes.

1- Sea f(x)L(x3)5

a) Hallar f(0) utilizando la definición y verificar el resultado utilizando las reglas de derivación.

b) Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de f en el punto



0 f, (0)



c) ¿Para que valores del dominio de f la pendiente será igual a 12?

2- Sea f(x)ex(x2 3) a) Estudiar crecimiento de f

b) Hallar extremos absolutos de f en el intervalo A = [ - 3 , 0 ] c) Hallar extremos absolutos de f en el intervalo B = [ 3 , 4 ] d) Hallar extremos absolutos de f en el conjunto A  B

3- Sea 1 1 1 1 ) (     x x x f a) Hallar el dominio de f

b) Estudiar los limites correspondientes c) Estudiar limites en + y – infinito d) Estudiar crecimiento de f

e) Estudiar concavidad de f

f) Graficar

4- Sea f x( )L x( 23)

a) Calcular f ( 2) , utilizando la definición de derivada.

b) Verificar el resultado de la parte a) usando reglas de derivación c) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, ( 2)) f 

(22)

5- Sea 2 2 2 2 ( ) 9 x f x x    

i) Hallar dominio de f y calcular los limites que correspondan ii) Calcular lim ( )

x f x y xlim f x( )

Hallar extremos absolutos de f en el intervalo



1, 2



6- Sea f(x)e2x 3

i) Hallar f´(0) utilizando la definición y verificar el resultado usando las reglas de derivación.

ii) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto ( 0 , f(0) ) iii) ¿ Qué pendiente tiene f cuando x=4?

iv) ¿ Para que valores del dominio la pendiente de f vale 4?

7- Sea 3 2 4 ) ( 2    x x x f i) Hallar dominio de f

ii) Estudiar límites correspondientes iii) Estudiar crecimiento de f

iv) Bosquejar la función ( no se pide derivada segunda )

v) Hallar extremos absolutos de f en el intervalo

    3 4 , 0 8- Sea ₂ ) 1 ( ) (   x x x f

i) Hallar el dominio de f y estudiar los limites laterales ii) Estudiar los limites para x y x

iii) Estudiar crecimiento de f

iv) Estudiar concavidad de f

v) Graficar

9- Sea f(x) L(1x)3

i) Calcular f(0) utilizando la definición

ii) Hallar f( x) y verificar el resultado obtenido en la primera parte iii) Determinar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto

)) 0 ( , 0 ( f

iv) Utilizar el resultado obtenido en iii) para dar un resultado aproximado de f(0,1)

10 - Dada la función f(x)Lx2 1x2 1 se pide:

i) Estudiar su dominio y limites laterales en puntos de no existencia. ii) Estudiar limf(x) y limf(x)

x

x 

iii) Estudiar crecimiento y clasificar si existen sus extremos relativos iv) Estudiar su concavidad

(23)

11 - Sea f x( ) 3 L x



21



a) Hallar f(1) utilizando la definición de derivada.

b) Verificar el resultado de a) utilizando la tabla de derivadas Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de f en



1, (1)f



12 - Sea

F x( ) x 3L x1

i) Hallar F´(0) utilizando la definición. ii) Hallar, si existen, extremos relativos de F

iii) Hallar , si existen , extremos absolutos de F en

 

0,3 13 - Sea ( ) 1 2 3 x f x x    

a) Hallar el dominio de f y estudiar los limites laterales que correspondan b) Estudiar lim f( x)

x y xlim f x( )

c) Estudiar crecimiento y extremos relativos de f

d) Estudiar concavidad de f

e) Graficar

f) Indicar el número de soluciones de la ecuación f(x)0. (raíces de la función) 14 - Dada la función





2 2 1 ( ) 4 x f x x    

vi) Estudiar su dominio y limites laterales en puntos de no existencia. vii) Estudiar lim ( )

x f x y xlim f x( )

viii) Estudiar crecimiento y clasificar si existen sus extremos relativos ix) Estudiar su concavidad

x) Bosquejar

15 - Dada la función f x( )  x2 4x3

i) Hallar f(1) usando la definición de derivada

ii) Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de f en el punto (1, (1))f

En caso de que existan hallar los extremos absolutos de f en los conjuntos A

 

0, 4 y B

 

0, 4 16 - Dada la función





2 1 4 ( ) 1 ₁ f x x _x    _

a) Hallar el dominio de f y estudiar los limites laterales que correspondan b) Estudiar lim f( x)

x y xlim f x( )

d) Estudiar concavidad de f

(24)

17 - Sea





2 ( ) 1 x e f x x  

a) Hallar el dominio de f y estudiar los limites laterales que correspondan b) Estudiar lim ( )

x f x

d) Graficar sabiendo que lim ( )

x f x  

(no se pide derivada segunda)

18 - Sea la función f x( )2x39x212x5 a) Hallar extremos relativos de f

b) Hallar extremos absolutos de f en el intervalo

 

0, 2 Hallar extremos absolutos de f en el intervalo

 

0, 2

19 - Sea la función f x( )  x2 3x5 a) Hallar f ( 2) utilizando la definición

b) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto ( 2, ( 2)) f 

20 - a) Calcular









2 2 1 5 1 lim 7 8 x x L x x x x       b) Calcular 1 1 1 lim 1 x x e x      c) Dada









1 2 2 1 1 ( ) 5 1 7 8 x e x f x x L x x x x      _         _ _  si si 1 1 x x   Analizar si f es continua en x1 21 - Sea la función f x( )  x 1 L x



22x1



i) Estudiar dominio de f

ii) Calcular la derivada en x0 usando la definición de derivada iii) Verificar el resultado de ii) usando la tabla de derivadas

iv) Hallar la ecuación de la recta tangente al grafico de f en



0, f

 

0



v) Utilizando iv) hallar un valor aproximado de f

 

0,1

22 - Sea la función





1

( ) 2 x

f x  x e

i) Hallar dominio de f y hallar los limites que correspondan ii) Calcular lim ( )

x f x y xlim f x( )

(25)

23 - Dada la función f x

 

3x44x32 i) Hallar lim

 

x f x , xlim f x

 

, f

 

x y graficar

iv) Hallar dominio de f y hallar los limites que correspondan v) Calcular lim ( )

x f x ( se sabe que xlim f x( ) )

vi) Estudiar crecimiento y extremos relativos def

vii) Estudiar concavidad viii) Graficar

26 - Sea g x

  

 4x7



ex2

i) Analice si gen

 

0,3 verifica las hipótesis de Weierstass ii) Halle, si existen, máximo y mínimo absolutos de gen

 

0,3 iii) Halle, si existen, máximo y mínimo absolutos de gen



0,



iv) Halle, si existen, máximo y mínimo absolutos de gen R

27 - Sea la función f x

 

2x33x2 en el intervalo A 



1, 2



entonces : A) f tiene mínimo absoluto en Ay vale -1 y tiene máximo absoluto y vale 0 B) f tiene mínimo absoluto en Ay vale -1 y tiene máximo absoluto y vale 4 C) f no tiene mínimo absoluto en A pero si tiene máximo absoluto y vale 4 D) f tiene mínimo absoluto en Ay vale -5 y tiene máximo absoluto y vale 4

(26)

Capítulo 3 Aplicaciones de Optimización

Ejemplo 3.1 (Aplicación a los ingresos)

El comportamiento de la demanda en función del precio de un cierto producto, está dado por la función d p( ) 40p800 donde pes el precio medido en dólares y

( )

d p la cantidad de unidades demandadas. Queremos averiguar cuál es el precio que se debería cobrar por producto para que el ingreso sea máximo, y cuál es el valor de ese ingreso máximo.

Para esto debemos empezar por hallar la función de ingreso; para esto recordemos que el ingreso es la demanda por el precio, de donde

2

( ) ( ). 40 800

I p d p p  p  p

El problema es entonces hallar el máximo de esta función de ingresos. Un procedimiento que utilizábamos en Métodos 1, era observar que esta función era cuadrática con coeficiente en p negativo, por lo que el máximo se alcanza en el vértice 2

de la parábola. Pero este método solo resulta si la función es cuadrática. Tenemos otras herramientas que nos permiten resolver este problema sin preocuparnos de que la función sea cuadrática.

Si hallamos la función derivada de la función de ingresos y le estudiamos el signo a la misma nos queda que: 0

( ) 80 800

d p   p y sig d p( ) + + + + + - - - - - 10

de donde concluimos que la función crece hasta p10 y luego decrece, por lo que los ingresos máximos se obtienen a un precio de 10 dólares y el ingreso máximo va a ser de

(10)

I 4000 dólares.

Ejemplo 3.2 (Aplicación al costo promedio por unidad)

El costo total de la producción de q unidades de un cierto producto, está dado por la función C q( )0,1q21000q49.000. Queremos averiguar cuántas unidades deberían fabricarse para minimizar el costo promedio por unidad.

Empecemos por observar que la función que tenemos nos da el costo total y no el promedio por unidad, que es lo que queremos minimizar, por lo que debemos hallar dicha función.

El costo promedio resulta de dividir el costo total entre el número de unidades producidas. Por lo que si llamamos f q( ) al costo promedio por unidad, nos queda que:

2 ( ) 0,1 1000 49.000 49.000 ( ) c q q q 0,1 1000 f q q q q q       

Para hallar el mínimo de f q( ) hallaremos su derivada y le estudiaremos el signo.

2 2 2 49.000 0,1 49.000 ( ) 0,1 q f q q q 

    Es claro que solo tiene sentido trabajar con valores de qmayores que 0 por lo que solo nos interesa el signo de f para q0.

(27)

0

Sig f - - - + + + + +

0 700

Por lo que concluimos que el costo promedio por unidad se minimiza cuando la cantidad de unidades producidas es de 700 unidades.

Ejemplo 3.3 (optimizar las utilidades)

Una pequeña empresa puede vender todos los artículos que produce a un precio de $6 la unidad. El costo de producir x artículos por mes es C x( ) 1000 6  x0, 003x2106x3

a) ¿Cuántos artículos debe producir por mes para máximizar las utilidades? Debemos empesar por obtener la función de utilidades esto es:



2 6 3



2 6 3

( ) ( ) ( ) 6 1000 6 0, 003 10 1000 0, 003 10

U x I x C x  x  x x   x    x   x

Luego para obtener el máximo hallamos la derivada y le estudiamos el signo. 0 0

6 2

( ) 0, 006 3 10

U x  x   x Sig U x( ) - - - + + + + + - - - - 0 2000

De donde concluimos que la utilidad máxima se alcanza produciendo 2000 unidades por mes. Y las utilidades máximas serán U(2000)3000

b) Supongamos ahora que el tamaño de la empresa no nos permite producir más de 1500 artículos por mes . ¿Cuántos artículos debe producir por mes para maximizar las utilidades? Observe que la pregunta es la misma, es decir, que debemos hallar el

máximo de la función de utilidad, que también es la misma. La diferencia es el conjunto (o dominio) donde vamos a trabajar. Mientras en la parte a) el conjunto era



0,



ahora el conjunto es



0,1500



. El trabajo a realizar para resolver este problema es el mismo que en la parte a), solo que ahora solo nos interesa el signo de la derivada en el nuevo dominio.

Sig U x( ) + + + + + +

0 1500

De donde concluimos que las utilidades máximas se obtendrán produciendo 1500 artículos y serán de U(1500)2375.

(28)

x

Ejemplo 3.4

De todos los rectángulos de área 400 cm2 hallar el de menor perímetro. Empecemos por llamar x a la medida de la base del rectángulo e y a la altura. El área de un rectángulo es base por altura, de donde concluimos que x y. 400. Esta igualdad nos permite despejar a yen función de x esto es y 400

x

 lo que nos permitirá trabajar con una sola variable. El perímetro del rectángulo es 2x2y por lo que sustituyendo a ypor 400

x nos queda el perímetro como una función que depende

solo de x , esto es P x( ) 2x 800 x

  . El problema nos pedía hallar el rectángulo de menor perímetro, luego debemos hallar el mínimo de la función P x( ). Es importante observar que en este problema, al igual que en los anteriores, solo tiene sentido trabajar con valores positivos de x . 0

2 2 2 800 2 800 ( ) 2 x P x x x      sig P x( ) - - - + + + + + + + 0 20

De donde concluimos que el mínimo se alcanza cuando x20 e 400 20 20

y  es

decir, cuando el rectángulo es un cuadrado de 20 cm de lado.

Ejemplo 3.5

Tenemos que construir un tanque de agua con base cuadrada y lados rectangulares.El mismo no tendrá tapa. Precisamos que el tanque tenga una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El costo del material con que se construirá el tanque es de $100 por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del material?

x

Como indicamos en la figura, llamaremos x a la medida del lado del cuadrado de la base e y a la altura de los rectángulos de los lados del tanque. De donde el volumen del tanque será de 2

. . .

x x yx y . Como el problema nos planteaba que el volumen del

y

(29)

tanque debía ser de 3

4m concluimos que 2

. 4

x y de donde y 4₂ x

 (esta relación nos permitirá trabajar con una sola variable).

Por otro lado, debemos calcular el área a construir. Tenemos la base cuadrada de lado x que tendrá un área de 2

x . Además, tenemos las cuatro caras rectangulares que tienen base x y altura ycada una por lo que sus áreas sumadas nos da 4. .x y. Por lo que el área total a construir es de x2 4. .x y x2 4. .x 4₂ x2 16

x x

     .

Por último, si multiplicamos el área total por el costo por metro cuadrado, nos dará el costo total en materiales, esto es: 2 16

( ) 100. C x x x    _  _  

Recordemos que el problema se trataba de minimizar los costos, para lo que debemos derivar esta función y hallar el mínimo.

3 3 2 2 2 16 2 16 8 ( ) 100. 2 100. x 200. x C x x x x x           _  _ _ _ _ _      .

Observe que x3 8 0  x3 8  x2 de donde el signo de la derivada es: 0

sig C x( ) - - - + + + + +

0 2

Por lo que concluimos que el mínimo se alcanza cuando x2 e 4₂ 1 2

y  es decir, que para que el costo en materiales sea mínimo, el tanque tendrá que tener una base cuadrada de 2 metros de lado y los lados rectangulares de 1 metro de altura.

Intente resolver el problema con los mismos datos pero construyendo un tanque con tapa.

(30)

Lista de ejercicios 3

1 – Determine dos números cuya suma sea 20 y tales que su producto sea máximo.

2 – De todos los rectángulos de igual perímetro, encuentre el de área máxima.

3 – El costo total de producir x artículos es C x( )3x35x48. ¿Cuántos artículos se deben producir para que el costo promedio por unidad sea mínimo?. ¿De cuánto sería dicho costo?. ¿Cuál sería el costo total en ese nivel de producción?

4 – Un organismo de asistencia pública desea calcular la cantidad de asistentes sociales que debe contratar para procesar las solicitudes de ayuda. Se sabe que el costo promedio de procesar una solicitud, es una función que depende del número x de asistentes

sociales. Esto es 2

( ) 0, 001 5. 60

C x  x  Lx .

¿Cuál es el número de asistentes sociales que se deben contratar para minimizar el costo promedio por solicitud?. ¿Cuál será dicho costo promedio mínimo?

5 – Un fabricante ha calculado una función de costo que expresa el costo anual de la compra, posesión y mantenimiento del inventario de sus materias primas en términos del tamaño de cada pedido. Dicha función es C x( ) 625.000 10x 150.000

x

   donde x

indica el tamaño de cada pedido medido en toneladas.

a) Determine el tamaño del pedido que minimice el costo anual del inventario. b) Supongamos ahora que la cantidad máxima de materia prima que puede

aceptarse es de 225 toneladas. ¿Cuál es el tamaño que minimiza el costo?

Problemas propuestos en revisiones y exámenes.

1 - Un estudio realizado en un restaurante de tenedor libre ya instalado, permitió estimar la función de costos de dicho establecimiento por la siguiente fórmula:

625 . 30 10 25 ) (q  q2 q

C donde qrepresenta la cantidad de clientes atendidos al mismo tiempo.

i) Hallar la función de costo promedio por cliente.

ii) ¿Para qué cantidad de clientes se hace mínimo el costo promedio por cliente, y cuánto vale dicho mínimo?

iii) Si además se sabe que la cantidad de clientes no baja de 10 y no puede superar los 50. ¿para qué cantidad de clientes se hace máximo el costo promedio por cliente y cuánto vale dicho máximo?

(31)

2 - El costo total de producir un artìculo viene dado por la función 3 2

( ) 2 40

CT q  q  q

donde q indica la cantidad producida. a) Hallar el costo medio

b) Hallar la cantidad producida que minimiza el costo medio , sabiendo que la empresa puede producir como máximo 18 unidades.

3 - Una empresa estima que cuando se producen x cientos de artículos el costo será de

) ( 18 18 ) (x x2 L x C    miles de dólares.

i) ¿Qué nivel de producción minimiza el costo? ¿Cuál es el costo a ese nivel? ii) Si se trabaja con una producción comprendida entre 100 y 500 artículos. ¿Cuál es el costo máximo?

4 - En una localidad del interior del país se está planeando construir una escuela rural. A esta escuela asistirán niños de 2 poblados que llamaremos A y B , los cuales están situados sobre una ruta nacional a una distancia de 100 km entre sí. Se planea que la escuela ( E) esté ubicada sobre la carretera y entre los dos poblados como se puede ver en el siguiente esquema: A E B

100 km

A los efectos de conocer la mejor ubicación para la escuela se realizaron una serie de encuestas en ambos pueblos. Los resultados de estos estudios indican que la cantidad de niños del pueblo A que asistirían a esta escuela se puede representar por medio de la función f_A( )x  100x10.000 donde x expresa la cantidad de km entre el pueblo A

y la escuela. Por otro lado, se estima que la cantidad de niños del pueblo B que asistirían a esta escuela se puede representar por la función f_B( )y   y2 40y14.600 donde y

representa la distancia expresada en km entre el pueblo B y la escuela.

a) Encontrar cual es la ubicación apropiada para la escuela si se busca que asista la mayor cantidad posible de niños.

b) ¿Cuántos niños de cada pueblo asistirían si la escuela se ubica en ese lugar? c) ¿Dónde se ubicaría la escuela y cúantos niños asistirían si se quiere que asistan

la mayor cantidad de niños posible pero además la escuela no puede estar ubicada a más de 60 km de ninguno de los dos pueblos?

d) Si por disposición municipal la escuela no puede estar a más de 10 km de alguno de los dos pueblos ¿Cuál sería la cantidad de alumnos máxima que podrían concurrir en este caso?

5 - Una empresa tiene una función de costos C

 

x,y x2 y2 6x6y88 siendo x e y respectivamente las cantidades de los insumos a y b utilizados.

i) Si la producción consume iguales cantidades de los insumos a y b hallar x e y para que el costo sea mínimo

ii) Si en lugar de la condición planteada en i) se debe cumplir que la suma de las cantidades a consumir de los insumos a y b es 20 hallar x e y para que el costo sea mínimo.

(32)

6 - El costo total de producir un artículo viene dado por la función C q

 

2q216q72 donde

qindica la cantidad producida. La cantidad producida que minimiza el costo promedio por unidad es: A) 8 unidades B) 6 unidades C) 7 unidades D) 9 unidades

7 - El costo total de producir x artículos es 2

( ) 4 20 196

T

C x  x  x .

i) ¿Cuántos artículos se deben producir para que el costo promedio por unidad sea mínimo?.

ii) ¿De cuánto sería dicho costo?

iii) ¿Cuál sería el costo total en ese nivel de producción?

8 - Una empresa estima que la utilidad que obtendrá debido a la venta de determinado artículo será

 

2 2 3 1 1 p p U p p   

 millones de pesos, siendo p0 el precio de venta

de dicho artículo.