FUNÇÕES ESTRITAMENTE POSITIVAS DEFINIDAS EM ESFERAS

Texto

(1)Funções Estritamente Positivas Definidas em Esferas. JAIR CUNHA FILHO. Orientador: PROF. DR. VALDIR ANTONIO MENEGATTO. Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemdticas de São Carlos-USP, como parte dos requisitos para obtenção do titulo de "Mestre em Ciências - Área: Matemática".. USP - São Carlos 1995.

(2) A. Rute, EuláIia e Guiomar.

(3) Agradecimentos'. Ao Dr. Valdir Antonio Menegatto, pelo incentivo, pelos conselhos e pela sua dedicação como orientador.. À pf'pI (Escola Federal de Engenharia de Itajubá), pela oportunidade e apoio dados. Aos professores do ICMSC que tão bem procuraram me informar e me formar. A meus colegas de mestrado e todos. os outros com os quais convivi no ICMSC.. A minha mãe, Dona Eulália, pelas orações e pelos conselhos A meu pai, Jair Cunha, in memorian. Aos meus sogros) Sr. Iado e Dona Tereza, pelas orações. As minhas amadas esposa Rute e filhas Eulália e Guiomar, pelo carinho, amor, compreensão e conforto nos momentos difíceis. Finalmente, agradeço a Deus, pois sem ele nada seria possível. lEste trabalho teve suporte financeiro do PICD/CAPES.

(4) Abstract. We study strictly positive definite funÒtions on spheres in Euclidean spaces. Such. functions can be used for solving certain interpolation problems on spheres. Since positive definite functions were already characterized by Schöenberg, our problem is therefore to determine what positive definite functions are actually strictiy positive. definite. Our approach is based upon a connection between the interpolation problem on spheres and that of multivariate polynomial interpolation. Two different methods are presented. The first uses the so-called "de Boor-Ron spaces" and the second one uses the fact. that harmonic polynomials are in the null-space of the Laplacian. The. key references are [12] and [13]..

(5) Resumo. Neste trabalho, estudamos funções estritamente positivas definidas em esferas no espaço euclidiano m-dimensional. Tais funções podem ser usadas para resolver certos. problemas de interpolação em esferas. Uma vez qlre as funções positivas definidas. já foram. caracterizadas por Schöenberg, o problema reduz-se em determinar quais. funções positivas definidas são estritamente positivas definidas. Nosso estudo baseiase em uma conexão entre o problema de interpolação em esferas e interpolação. nomial em várias variáveis. Dois métodos distintos são utilizados. O primeiro. poli-. ttiliza. propriedades do "Espaço de de Boor-Ron" e o segundo baseia-se no fato de polinômios. harmônicos estarem no núcleo do operador laplaciano. As referências principais aqui são [12] e [13]..

(6) ,. Indice I. 1 Introdução 1.1 O Problema de Interpolação 1.2 1.3. 1. Matrizes Positivas Definidas. 2. Polinômios Ultraesféricos e Harmônicos Esféricos. 6. I.4 Funções Positivas Definidas 1.5 O Espaço de de Boor-Ron 2 Positividade Estrita em ,92.I Positividade Estrita ern S^ 2.2 Positividade Estrita em.9-. em,5-. 13 14. 18 18. via o Espaço de de Boor-Ron. 22. 3 Positividade Estrita em ,9-: IJm TYatamento Algébrico 3.1 Espaços Totais 3.2 Positividade Estrita em S-. 30. Bibliografia. 30 33. 40. I.

(7) Capítulo. 1. Introdução 1-.1- O Problema de Interpolação Sejam. X um conjunto, E: {0t,...,0n}. refere-se ao problema. X e )r,...,À, € R. O termo interpolação de encontrar uma função ? | X -+ IR contínua que satisfaz as C. condições (de interpolação):. ç(0¡):. Àj., 1<. j < n.. Um procedimento de comprovado sucesso no caso em que. usual em. IR-,. (1.1). X -- W". edéa. métrica. consiste em procurar soluções pertencentes ao espaço gerado pelas. funções. 0e onde. /. X ---+$(d(0,0¡)), I1j 1n,. é uma funçã,o previamente selecionada. Veja, por exempto [9].. Uma vez impostas as condições (1.1), chega-se ao sistema linear. \a¿þ(d,(00,0¡)). : \i, t 1 j 1 n,. i=L. onde os coefi.cientes o1r ...r ø,, estão a determinar. A matriz do sistema, isto é, a rnatriz. A com entradas. A¿j. ó(d(obo j)) 1.

(8) 2. é chamada matriz de interpolação. Obviamente, a não singularidade de A implica que o sistema acima, e portanto o problema de interpolação, tem uma única solução,. quaisquer que sejam Àr,...,À, e. R. Note. métrica d e da escolha da função. /.. Neste trabalho,. X. S^. que a não singularidade de. seú, a esfera unitária ^9- em. ::. {(dr,.'., 0*+r) € IR-+l. e d será a distância geodésica. d-,. d^(0t,02). :. 02t. A. depende da. lR-*t, isto é,. +. ...t 02**r: 1¡. dada por. :. arccos(01,021, 0y02 e S*,. onde. (.,.) é o produto interno usual em IR-*r. Note que 0 I d^(ït,02). ,9-.. Uma completa discussão da geometria do espaço. (S*,d*). 1r,. 0r,,02 e. pode ser encontrada. em [11].. A função S será'" escolhida, de modo que as matrizes de interpolação sempre sejam simétricas e tenham autovalores não negativos (veja seção a seguir).. L.2 Matrizes. Positivas Definidas. Definição 1.1 Uma rnatriz simétrica A e Mnrn(R) é dita ser. nã,o negøtiua def,nida. SE 1I. utAu::l. u¿u¡A¿¡)Q, u €lR',. (1.2). i,i=l. onde u é o vetor coluna de coordenadas u1,...,u,, € IR.. Definição 1.2 Uma matúz simétrica A € Mn*,(lR) é dita ser positiua ut. Au :--. |. i,i=r. uru¡Atj. ) 0,. para. todo. u € IR". \ {0}.. defi,nida se. (1.3).

(9) 3. Uma discussão detalhada de matrizes do tipo acima pode ser encontrada em [5]. Nós destacamos as seguintes propriedades:. (i). Uma rnatriz simétrica A é não negativa definida. se e somente se seus autovalores. são não negativos.. (ii). Uma rnatriz simétrica A é positiva definida. se e somente se seus autovalores são. positivos.. (iii). Uma matriz simétrica A é positiva definida não singular C taI que A. Segue de. :. se e somente se existe. uma rnatúz. CtC, onde C'é a transposta de C.. (ii) que uma matÅz não negativa definida é positiva definida. se e somente. se ela é não singular.. A seguir, caracterizamos a positividade definida de algumas matrizes que surgirão ao longo deste trabalho:. L.l Sejam m,n e N\{0} Ê 0t,...,0n pontos emW". Seja A a matriznxn com entradas A¡*: exp(-lld ¡ - 0rll3), onde ll.llz é a nornxa usual em R* . Entõ'o,. Teorema. (i) A é nã,o negati,ua definida; (ii). Se os pontos 0t,...,0n sã,o distintos, entõ,o. Prova: Definamos. (yt,...,u*). e. t. A é positiaa defi,nida.. I : I^ exp(- D!=r[t,-i(u,-y,)]')dt, onde u : (rt,...,t*),a :. : (h,...,t*).. I. Então, temos que. Å- (IexP(-[ú' -. i(" - u)]\). g (/:. - i(æ' -. exp(- lt'. at. '')t')d''). Considerando a integral de Cauchy (veja [3]) da função analítica f encontramos. t_: exp(-[t, - i(*, - a)]')dt,. : n'l'.. (") : e-"' , z e G,,.

(10) 4. I:. Logo,. r*12, ou. exp(- ll* Seja u. :. (ur,. -. seja,. all2). v-mf2. exp(. l^*. -. |. lt. ||. l). exp(z i (t,. r)) exp(-2i. (t, y)) dt. ...,un)'€ IR'. Então, n. t7. D. :. u¡unA¡n. T. u¡u¡r-*/z. i,k:r. r-*/z. exp. l^*. j,lc=l. -. ||. t | | I ) exp. f n. , /*_. (. ""0. (. -. I. l, I ; ). u. I. i. u. (z. i. (t,. 0. j)). k exp(2i (t,. 0. exp (-2i (t, 0 kl) dt. i)). exp (-2i (t, e *Ð. Lrt_=,. f at. ). n. l-, exp(-lltlll). Ðu, j=t. exp(2i(t,0¡)). Como o integrando da última expressão é uma função de segue que. s P*"tu*o¡¡. Assim, A Fazendo. é, nã,o. Í, contínua e não negativa,. l o'. ,...r0n são distintos. devemos mostrar que se u 10,, então I # 0,. negativa definida. Suponhamos, agora, que. g(t):Di=ru¡exp(2i(t,0¡)),. dt. 91. = 0, então u : 0. Como os á¡ são distintos, existe x e W", tal que os números complexos 1lj : exp(2i(r,0¡|), i : I,...,n sáo todos distintos. Assim, se g : 0, então g(lu) : 0, para I : 0,7,...,h - 1, produzindo o. ou, equivalentemente, que se g. sistema linear homogêneo. : g, I : 0, I,...,n - l. ir,.', j=l O determinante da matriz desse sistema é. 111 U1. 1'I2. il (.:-.)to. 'l-Dn. 11j1i1n n-. wl Portanto,. 'ùt: 1)2: ... : un:0,. isto é, u. :. 0..

(11) b. Corolário l.L Sejam m,n e N \ {0} e 0t,...,0n pontos emW". Seja A a matriz n x n com entradas A¡*: exp(-allï¡ - 0rll'), a ) 0. Entõ,o,. (i) A é nõ,o negatiua definida.. (ii). Se os pontos 0t,02,...,0n sã,o distintos, entã,o. Definição 1.3 Sejam A,B. €.. M**n (lR), com. A é positiaa. A:. (A¿¡) e. B. definida.. : (Bl;). O produto de. Hadamard (ov produto de Schur) Ao B de A e B é dado por. Ao B. 7. (A¿¡B¿¡).. Aqui, temos o seguinte teorema, cuja prova pode ser vista em [5].. Teorema 1.2 (Desigualdade de Oppenheim) Se A,B gatiuas defi,ni,das, entõ,o detA.fl?=rBoo. (i). e.. Mnrn(lR) srío não ne-. < detAo B. Em particular,. A o B é nã,o negatiaa defini,da;. (ii). A. oB é. positi,ua defini,da se A é posi,ti,ua definida e B¿¿*0, paratodoi.. Outros resultados, que também podem ser vistos em [5], são:. Teorema L.3 Sejam m,n € N entradas. A¿i:. \ {0}, 0t,...,0n e lß.i" e considere a matriz A com. (0¿,0¡1. Entã,o,. (i) Á é nã,o negatiua definida; (ii) A é posi,ti,ua d,efinid,a se e son'Lente se {g1,...,0,} é, linearmente ind,epend,ente. Teorema 1.4 Sejam tu,n e N entradas A¿j. :. exp((d¿,. 0. ¡)).. \ {0i, 0r,...,0, e. n-'" e consi,dere a matriz. Entã,o,. (i) A é nã,o negatiua defi,nida;. (ii). Se os pontos 0t,...,0n sã,o distintos, entã,o A é positiua d,efinida.. A. com.

(12) 6. 1-.3 Polinômios Ultraesféricos e l{armônicos Esféricos Os polinômios de Jacobi (veja [15]) são polinômios obtidos através do processo de or-. togonalização da base {1, trt2,,...} do espaço de todos os polinômios com coeficientes reais, em relação ao produto interno. :. U. ^. l_'rf. (r)s(r)(t. - *)'(r + r)Pdr. Estes polinômios, aqui denotados por P['P, são normalizados pela relação. r['p Definiçã,o 1.4 Seja À. çt¡. k+a. :. k. t -å. o polinômio ultrøesférico (de Gegenbauer) P|(r). éo. polinômio dado por. pì. (*):. P^-L /2,^-1. ffi. /2. (r).. Em vista da normalizaçäo dos polinômios de Jacobi, cada Pl(n) está normalizado da seguinte forma:. P/(1). _f. (À. +1.12)f (k+2)) p^_r /2,^_r/" (t). f (2))f (k+. :. 2^+k-r k. ^+r12). Um fato interessante a respeito dos polinômios ultraesféricos é que os polinômios. pt@) são polinômios de Tchebychev de segunda espécíe,, Pl/2(r) são polinômios de Legendre e (klz)Pf (*) : lim¡--¡s+ (kl2^)Pì(ø) são polinômios de Tchebychev de primeira espécie. Lembramos, ainda, que os polinômios ultraesféricos podem ser obtidos pelas expansões (veja [10] e [15]):. (t -zrcosf *. ,')-^:. oo. tråP/(cost), lc-0. À>0. (1.4).

(13) 7. e. -rcosf L-2rcost*r2 1. Ë. n=O. k rk Pf (cos 2. l). (1.5). Os seguintes resultados referentes aos polinômios ultraesféricos serão utilizados nos capítulos subsequentes. Sendo eles resultados clássicos, omitiremos as suas provas. (veja [1],[8] e [ts]).. (i) Fórmula de adição para polinômios. ultraesféricos:. Para S.,g,tþ €IP", k. P/(cos. þcosg*. onde c¡,¡,". (ii). Se À. ). 0e. sen gsengcost/). : t "r,^,,Qi(ó)A"r(òp!-å("or,/) s=0. A"k@: sen'óPÌj:(cos/),. 0. ( s(. k. > u ) 0 e n e N, existem coeficientes positivos cÀ,u,n,ktais. Pj. (cos. t). (1.6). que:. : t c^,,,nJ"Pl-z* (cos f ) O12k<.n. (1.7). Definição 1.5 Um harmônico esférico de grau k em IR- é a restrição de um polinômio errr rn variáveis, homogêneo de grau k e harmônico, à esfera unitária ^9--1 em IR-. Assim, se h¡"(r) é um polinômio de grau k homogêneo e harmônico em IR-, então o harmônico esférico de grau k em IR- é dado por. ,: \t rçrq): h*(t) onde r : r{,com r : llrll"" llfllz : 1. s¡(€). A relação direta entre os polinômios ultraesféricos e os harmônicos. (1.s). esféricos é. apresentada no Teorema 1.5. Os lemas abaixo são preparatórios para a sua demons-. tração. Observamos que fl-+r denota o espaço de todos os polinômios em. n'¿. +I.

(14) 8. variáveis,. IIT*'o. ak,,TIor'^+t o. subespaço de. "rpu,ço. II-*1. formado por polinômios de grau menor ou igual. de todos os polinômios em n'L+L variáveis que são homogêneos. de grau lc e, Hf,'^+l, o subespaço de. fl;'-*t. formado por polinômios harmônicos em. lR-+l. Lema L.L A dimensõ,o de H|*+r lú(rn. Prova:. é. m*k-2 ( k-2. * I,l*) :: (-;-). Os elementos de TIor'm+t,são combinações lineares de polinômios da forma. critæi"...rffi*rt, onde c € lR, dL¡...¡em*! € N e ot*dz+...+ dm*r-_ k. Logo, a dimensão de. III'-+1 é exatamente igual. onde a1,...¡drnt7. ao número de conjuntos da forma. {or, ..., dm+r}¡ Equivalentemente, a dimensão de. € N e a4*... larn+t: k.. flor'**t é o número de combinações com repetição de n'L +. I elementos tomados k a k. (CR(m + 1,k)). Assim,. dimfl['-+l :. C. R(m + I,p). :. mll+k-L. mlk. k. k. ):(. II!'-+1 dado por (p,ql -- p(D)(q) onde D :: (ðlôr1,...,0f ðr*¡r). Consideremos, ainda, o subespaço f.Ilij+t d" [;'-*t ,n' ' dado por r. fR ^ - av. \ t' t'Ið f.[;']*t {fp : p e tIi'!2+1}, ' -* Consideremos, agora, o produto interno em. ':. onde. f(ø) : r?*...*r2^+t-. Note, agora, quese p e H'r'*+l, então. r(¿Xp) -. 0. ",. por conseguinte,. ¡ : (q(D)r(¿)) (p) : (r(D)q(¿)). (p). :. ((rq)(D)). ou seja, p é um elemento no complemento ortogonal. fl;'-*t.. Em resumo,. (Hi'^*')t : l.[i$+l.. (p),. q. €rIo¡'!2+1,. (f.fl;i*t)t d" l.[;'!lt. Portanto,. fl;'-*t - H;'^*'O l'fl;'i+l'. .rn.

(15) 9. Como a aplicação. g t fIi'!"+' -+ l.IIok:2+t d.d.. por g@). - fp é linear e bijetora,. obtemos. m*k-2 k-2. dimf.Ilil+l : Finalmente,. dimrli'-+l. dirrr'Hi'*+r. dimf .rl;$*t. -. mIk-2 ( k-2. (-;-). T Segue do Lema 1.1 que o espaço dos harmônicos esféricos de grau. k em IR-*l. tem dimensão finita, uma vez que ele é formado pelas restrições dos polinômios de. H;'^*' a S^. Como a transformaçã,o linear p e Hi'^*t ---+ pls-. tem núcleo trivial,. segue que a dimensão do espaço dos harmônicos esféricos de grau. k em lR-tl é igual. à dimensão de. Hl'*+t.. Antes de iniciarmos o próximo lema, voltemos à equação (1.4). Diferenciando-a membro a membro em relação a r, obtemos. 2rcost-2r2. å¿,.. \. W:ài'.'î(cosr). '. Somando membro a membro com (1.4), vem. 1-12 (1. -. 2rcosÍ. + 1)P/(cos t). Fazendo (kl. ^. ::. * "z;)+t -. å f*. +r)'rrì(cosr). Qlþos t), podemos escrever æ. I_ r2. (1'e). @:ÐrkQf;þost)' Lema L.2 SejalS*,;ÌËî*''r) u*o de grau. k. em. IR-*l,. base. ortonormal. d,o. espaço ilos harmônicos esféricos. em relaçã,o ao produto interno. 1f. U,,g): ._, Jr^f G)sG)d.*,.

(16) 10. onde wm. é.. a drea de superfície de S*. Entã,o,. 8ì (((, ry)) :. Prova: Seja fl(r, q) 7 er¡ e S^.Pazendo. :: (f -. jV(rn{1,È). tj=7. ,¡þù, €,r € S^. Sn,¡(t)St. ll"ll3) Q, -2(r,ql. r: r(, com r:llrllz (. +ll"llÐ-^-t, "o-. 1e. ø € lR-+1,. ll"ll, <. t e S* eusando (1.9), nós podemos. escreveï. H(*,,ù:ffi:årkQ!@ost) onde. (1.10). f éo ângulo entre €"rt. O coeficientederÈ nestaexpansão éumpolinômio. da. forma. I At"orå-' t I Az"ork-n t + ... r-' + Ar(€,rùr-n + ... Ao(€,qrr + Ar(t,rt. Q|(cos t). A6cosfr. Afunção hn(*,T): Ao(t,qlk. t. +Ar(r,rllr-'r'* Az\t,,T)r-nrn+... ,r:llrllz,. (1.1 1). é um. polinômio homogêneo de grau k em n e, além disso, ht. (*,rù. :. ht,(r€,n). :. rkQ|(cos t). Desse modo, a equação (1.10) fica na forma. H(*,rù:. t. (1.r2). h*@,rt). le=O. H(*,rù éharmônicaem r,entáo 0: l(D)(H): tËo|'(D)(h¡(r,r7)) . Como o k-ésimo termo d" ÐËo l(D) (h¡(u,\)) é um polinômio homogêneo de grau k - 2, Como. obtemos. t(D). (h¡,(t, ?)). : 0,. k>. 0..

(17) 1i. r) k > 0. Dessa forma, hn(€,rù : Q|(cos f) é um harmônico esférico de grau k em {. Devido à simetria do produto interno em (1.11), Logo, hn(r,q) é harmônico. errr. hx é também um harmônico esférico em ?. Podemos, então, escrever {1,fr). N(rn. hr(€,n) : t j=7. "¡(€)Sn,¡(,ù.. Como a base é ortonormal,. c¡(6). :. þn(t,rt).,ln,¡(n)). A última igualdade acima. é. : I I w*. h.,(Ë.n\5, Js*'ok\\t'l)uk'. ¡(rt)d.*:. ^9¿,r(€).. justifi.cada da seguinte forma: considere a seguinte solução. : {r € IR-+l , lltll, < 1} (veja [3]):. do problema de Dirichlet para o disco D. l1. u(r) :. ;. Jr_S*,¡(y)H(r,a)dw*.. Pela unicidade do problema de Dirichlet,. u(r): Sr,¡(*):. Sn,¡(r€): rkS*,¡(t),. lløllz. <t. e, portanto ,k s n,¡(t). :*. l r^ s n,r(n) H (r, r¡)d,w^.. Usando (I.72), obtemos: rk. sx,¡(t). :. 1. t:, S t,¡þùt:. u'nx I,* um. l,^. S r,¡. (rù. 1. ,l. h. ¿(r, r¡)d,w *. ri hi(€, rùdw,".. Comparando os termos em rÈ, segue que. ,9¡;(6). \. :. 1. w'rn. l,* Sn,¡(n)hn((,q). (. 1.13). Assim, ht. completando a prova.. (t,ù:. N(mll,k). Q)(cos ú). : t j=l. St ,¡(€)Sn,¡(ry). (1.14).

(18) 12. Teorema 1.5 Seja {S*,i(€)}Ërnrt't*) urna base ortonorrnal esfé,ricos de grau. k. ern IR-+r. ,. fire. (m. ^:. -. harmônicos. em relaçõ,o ao produto interno. u,s) e. d,o espaço d,os. :. *, lr^ ¡ çE¡s6)d,w^. 1)12. Entã,o, eristern constantes c¡,¡ tais. que. N(rn{1,,b). P/ (((, ry)) : t j=l. Prova:. Se À. > 0 temos pelo Lema. c¡,¡S¡,¡({)S¡,¡(r¡), €,n € S*.. 1.2, que N(rn*1,k). QI(G,q)) : r j=L. Sn,¡(€)Sn,¡(rù.. Logo, N(rn{1,k). P/(cost) : t j=L onde c¡,¡. c u,n. :. : (kl^+ 1)-t :. Àl@ -F À). Se ). c¡,¡S¡,¡({)S¡,¡(r¡),. :. 0, note inicialmente que l/(2,. 2tr. Como os poiinômios em duas variáveis Re(ø2. + irL)*. e In(æ2. k) :. +. Z. l."ø.t)". formam um conjunto linearmente independente e, além disso, são homogêneos de. : (Ilrft) cosn((n 12)- () S*,r(€) : " : (). ( (cos d, sen 0) . ,l: (cos /, sin /), segue imediatamente S" l2) -. grau n e harmônicos, então obtemos que S",i(€) (Ll y/n)senn((tr. que P:(\e,rr)) :. 2. Pl(cos(0 - ó)) : "t. s,,¡(()s*,¡þt). j=l. T.

(19) 13. L.4 Seja. Funções Positivas Definidas em ,S-. g uma função real contínua definida em [0, r]. Dizemos que g é rn.a. positiva defrnida em ^9-. função. se f¿. D. uor,n (d^(0o. d;)) >. 0. i,i=l. n € N \ {0i, {0r,0",...,0n} C So' e u : (rr,r",...,un) € lR". Logo, g é positiva definida em ,S- se, para cada n e cada subconjunto {fu,...,0n} de ,S-, arnatriz A corn entradas Ai,j : g(d*(0¿,0¡)) é não negativa definida. Por exemplo, a função g(t) : cos ú é positiva definida em S*. De fato, temos que para todo u : (ut,...,un) € IR" e todo {0t,...,0r} c S* quaisquer que sejam. fL. 'r¿. D ö,i=1. rnron @*@i,0. j)). 7L. Dror,cos. (arccos. (0¿,,0¡)):. i,i=l n. Ii,i=L u¿u¡(0¿,0¡l. n. n. (\,u¿e¿,Ðr,t,l: ll D j=l i=7. u¿ï¿ll'>. 0. i=L. Da mesma forma, usando o Teorema 1.4, vemos que exp(cosf) é também positiva definida ern. S*. Dentre as muitas propriedades. que as funções positivas definidas. possuem, nós mencionamos as seguintes (veja [14]):. (i). Se. h. e gz são positivas definidas em. contanto eue 01. (ii). Se. h. em. (iii). Se. ). ,9-, então aút. {g"}. azgz é positiva deûnida,. 0 e a2) 0.. e gz são positivas definidas em ^9-, então. S^. *. gúz é também positiva definida. (este fato segue do TeoremaI.2). é uma seqüência de funções positivas definidas ern. S*. convergindo para. uma função contínua g, então g é positiva definida em ^9-.. A seguinte caracterização de funções positivas definidas por Schöenberg em. [14]:. ern. S* foi apresentada.

(20) T4. Teorema I-.6 Uma funçã,o contínua somente se. s(t) :i. for. d,a. g:. [0,7r] -+ ß" é posi,ti,ua defi,nida em. S*. se. e. forma:. o¡rl("ort), ^. lc=O. - Y+. a*20 pa,rd k>0. oo. " ta¡,flQ,)(oo. À=0. 1-.5 O Espaço de de Boor-Ron Nesta seção nós apresentamos o espaço de polinômios introduzido em [2]. Esse espaço é fundamental para a obtenção dos resultados dessa dissertação.. O termo pri.ncipal p 1 de um polinômio p é, por definição, o polinômio homogêneo para o qual o grau de p - p f é estritamente menor que o grau de p.. / é uma função de classe C* ernalguma vizinhança de 0 e lR-+r, então o termo inicial / J d" / é, por definição, o primeiro somando não trivial no desenvolvimento de Taylor de / centrado em 0. Note, então, que necessariamente / [ é um polinômio Se. homogêneo. Se á. e IR-*l, escrevemos expd para denotar a função expp : lR-+r -+ IR dada por expp(ø). Se .Ð. c ]R-*t,. -. "(o'cl. escrevemos exp¿ para denotar o espaço eXp¿. Definição 1-.6 Seja E cW"+L. O. i: [{"*p, :0 e E}] espaço de de Boor-Ron assoc'iado a. E. é o espaço. dado por. lIi*' ': [{/ I, f e expø}]. Se. E c IR-+r. {0r,0r}, então. é um conjunto unitário, então. tIi*t. ni*' :. flä"*t, enquanto que se E. será o espaço gerado pelos polinômios. I e (91 -. 0lr,*).. :.

(21) 15. Aqui estão algumas propriedades dos espaços de de Boor-Ron. Para ver mais detalhes sobre essas propriedades, veja [2].. (i) IIä*t. (ii) (iii). é lEl-dimensional;. / é uma função definida ern E C R-*t, talquep(0):f(0),0e8;. Se. IIä+1 é invariante por translações, isto é, se p. p("-1.) e IIä*t. Isto implica que ÍIi*t z € IR-+l \ {0},. Se. p efli+t. e. € IIE*t e a € R-*t,. fIi*t então. é invariante sob derivações, isto é, se. a derivada direcional de qualquer elemento de. de ø ainda é um elemento de. (iv). então existe exatamente um p €. IIi*' .Em símbolos, D, (Uä*t). fIfi+\ na direção C. ni*';. o € IR, então p(a.) eT|i*t.Istoequivaleadizer queLIfi+r. é. gerado por polinômios homogêneos. Precisamente, ÔÔ. tLE' ',m*l -: I (ni*t j=o (v). (vi). Se. p. €fI*+t. anula E, então o operador diferencial. Se q é um polinômio homogêneo e. p €fI^+t. n IIr9'-+1). ;. p\@). anula. q(D) anula ni*t,, então. q:. ni*';. p f, para algum. que anula E.. Para o caso de E C S^ C IR-+1, nós temos os seguintes resultados:. Teorema L.7 Se E C S*,. Prova:. Seja. E. entã,o. : {0t,...,0*}. C. IIE*t. S*.. é composto de polinôrnios harmônicos.. Defina q € II-+1 por:. e(ru...,**+r) : (rr)' + (*")' + . . . + (r^+r)'. \ Então q(0¿). :. m*r. q(0',,0?,...,07*):. tj=l. (0)". -1. fIi*t, q1@) 'anula ni*t. 021ôxl+..'+ 02f ôr!*r,oresultadosegue. Pela propriedade (v) de. - 1.. : 0, r 1 i 1 n. Como. q1@):. ð21ðr?*. I.

(22) 16. J € N \ {0}, E C S* e p e IIi*t n fI9'-+1 . Se o espaço liJi*' nflrgli+l furn dimensã,o menor ou igual a I, entã"o a transformaçã,o T : lR-*1 -+ nj'[*t dada porT(r): D,(p), ø € IR-*l é nõ,o nula, I'inear e o seu núcleo é um. Teorema L.8 Sejarn. hiperplano em Wn*r. Prova:. 7. Se. .. Vp denota o gradiente. de p, temos que. :. D"(p). (Vp,. ").. A linearidade de. segue, então, das igualdades. D',+a(p). : :. (Vp,ar + A) : o(Vp,r) + (Yp,yl aD,(p). t Dn(ù,. o € IR, r,U € IR-+l.. : 0, r € IR-+l. Em particular, Vp : 0 €, portanto, p seria identicamente nulo, contrariando a escolha de j. Assim, f # 0. A propriedade (iii) de llfr+l implica que a imagem Im? de T satisfaz Im? c fIi*'. Logo, Im? c fIi*t nII;Í+t e, portanto, dimlm? ( 1. Como T #0, dimlm?:1. I Assim, dimker? : dimlR-+r - 1, ou seja, kerT é um hiperplano em lR-*1. Se tivéssemos. ? :. 0, então D,(p). Com o objetivo de provar o Teorema 1.9, temos o seguinte lema:. Lema L.3 Seja p u e S,. €fIj'**'.. Se. S é um hi,perplano. de. IR-+r e D,p:0, para todo. entã,o. p(æ). :"((('r))',. c€. lR, { r. ^9. Prova: A prova segue por computação direta Teorema 1.9 SejamECS* ek omenori,nteirotalqueTi*t CIIT*'. Entõ'o,. dimrlf;+l nlli'*+r DJ. >2,, r< j <k-1..

(23) t7. Prova: Suponhamos que dimllfr+l n fl:'-+l < j e {L,2,...,,k - I}. Sejal o maior tal inteiro. Se.¡ : k - I,então IIi*' n ryji+l : IIE*' ñfl!'-+t #Ø,poisIIi*t CIIT*'. SeJ +k- 1, comoJéomaiorinteiro j tal que dimllfi+l nlfrg'-+l { 2, teremos dimIIE*' nII;iî*t 12. Em qualquer dos dois casos acima, rri*t n ll;ii*t contém um polinômio não nulo p. Defina, então, ? : IR-*1 -+ II;'-+1 da seguinte forma: T(r) : D,(p), ø € IR-*l. Pelo Teorema 1.8, temos que. ker? é um hiperplano. Então, pelo Lema 1.3,. p(r) :"((,r)t+t,. c€. lR, ( r. ker?.. Mas isto é uma contradição, pois 0. ô2 \ "'+ (Ði 54;J n{.). /a2. ". +. f0* 1f({, ùi-'€?+...+ 6+ r¡¡16, ùr-'t'**,f. c(J. mll. + 1)J((, r)j-' D, t7 + i=l. Assim, a prova está completa.. o..

(24) Capítulo. 2. Positividade Estrita em Snx 2.L Positividade Estrita em S* Como vimos na Seção 1.4, funções positivas definidas em. S^. são as funções que. utilizaremos para obter soluções do problema de interpolação introduzido na Seção 1.1.. As seguintes classes de funções positivas definidas em ^9- fornecem soluções únicas para o problema de interpolação:. Definição 2.1 Uma função g : de ordem. n. en't,,S-. [0, ?r']. -+ IR é dita ser estri,tamente positi,ua def,nida. se. i. ror¡s@,.(Li,0 j)) >. 0. i'j=L. quaisquer que sejam Se g. {0r,... ,0.}. C S*. ". (t,r,... ,un) € IR'\{0}.. for estritamente positiva deflnida de todas as ordens em ,9-, dizemos que g. é. estritamente positi,ua definida em S*.. Em vista da caracteÅzaçõ"o de funções positivas definidas dada por Schöenberg, uma função g estritamente positiva definida em .9- pode ser representada na forma. s(t):lone|@osú),. À. :+,11. c N, an) |para k € K,elanelQ) < oo.. keK. keK 18.

(25) 19. Nas notações acima, escreveremos. Km,e:: K.. Segue do Teorema 1.2 que se S1 e !2 sã,o positivas definidas ern S* e ambas são estritamente positivas definidas (de ordem n), então hgz é estritamente positiva. definida (de ordem n) em. S*. O Teorema 1.4 garante. que u. -+. exp(cosr) éestrita-. mente positiva definida (de ordem n). Na verdade, os Teoremas 1.2 e 1.4 garantem a existência de um cone de funções estritamente positivas definidas em todas as esferas. ,5-, como pode ser visto em. [6].. O teorema a seguir garante que o fato de uma função g positiva definida em Sser ou não estritamente positiva definida (de ordem n) depende exclusivamente do conjunto Krn,g ê não da magnitude dos coeficientes. ø¿.. Teorema 2.L Sejam h e gz funções positiuas definídas em S^ tais que K**, : K*,n". Entã,o, 91 é estri,tamente positiua defi,ni,da (de ord,em n) em s^ se e somente se !2 é estritamente positiua defi,nida ( de ordem n) em S*.. Prova: Sejam St(t) : Drr*afP/(cost), e g2(t): Ð¿e¡< a2rp|(cost), onde K :: K^,n, : Km,sz, ) : (m - I)12,, dtko?, ) 0 para lc € K, D*.* üLkpì(L) ( oo e Ð*.r a\PìQ) ( oo. SejaE:{h,...,,0,} c S* edefina Aso,E,: (Aî¡), a:1,2, onde Ai,: g.(d*(0¿,0¡)), I < i, j ( n. Então, Aî¡. : I'f rÌ kos d,*(0¿,. 0. keX. ¡)). :|. k€.1{. "t. eì (00, 0 ¡)). e, portanto Ago,E : Ð¿e¡- alA*, onde A¿ : (pì((0¿,0))) .Se (u1, ... ,un) € R', então ÐT,¡=tu¿u¡Al¡ : Dt ex oiDi,¡=ru¿u¡Pl((0¿,0¡)), o : I,2 e, portanto, a igual-. dade li,o-ru¿u¡Ai¡ : 0 equivale a \i,,=ru¿u¡Pl((0¿,0¡)) independe da magnitude dos coeficientes.. :. 0, condição esta que. I. O teorema anterior motiva a seguinte definição:. Definição 2.2 Urn subconjunto 1l de N induz ^9- se toda função positiva definida em positiva definida ( de ordem n) em S*.. S*. positi,uid,ad,e. estrita. que satisfa2 K^,e. : I{. (d,e ord,em. n) em. for estritamente.

(26) 20. O problema de determinar os conjuntos que induzem positividade estrita (de ordem. z) em .9-. está relacionado com o problema de interpolação em esferas usando. harmônicos esféricos. O teorema abaixo justifica este fato. Nós escrevemos. f1-*1 para. denotar o espaço dos polinômios harmônicos em rn * 1 variáveis.. Teorema 2.2 Sejøm K. c. g. S* que sati,sfaz K*,s: K e E: {0u...,0.} C S-. Def,na Hi*t:: (D¿erfl;'-*t) f)H^+t. Sõ,o N.,. urna funçã,o positi,ua def,nida em. equiualentes:. (i). An,ø é posi,tiaa def,nida.. (ii). ,Nrío eri,ste um. funcional li,near não nulo da forma L(h). Hi*' (iii) A di,mensã,o do espaço Hi*'lø ,: {fl, : f (iv). .9e. Í. e Hft+t}. : Di=ru¡h(g¡) que anula é. n.. t E -+ lR é uma funçã,o qualquer, entã,o eni,ste p €. f (0¿),. Hi+t. tul que p(0¿). :. I 1i 1 n.. Prova: Inicialmente, considere, para cada k € K, umabase ortonormal {Sn,¡¡lÍ7+r't'l de Hf,'m+t, como no Lema 1.2. TJtilizando o Teorema 1.5, podemos escrever:. P/. (cos d^(0¿,0¡)). Logo, escrevendo g(t) e D*er As,E. onde. a¡Pl(t) (. : Ð"r keK. :. Pì(P0,0¡|) :. : Drr*a¡Pl(cosf),. N(rn{1,È). "r,^ tl=1 ^. oo , obtemos, então. (Pl(po,r¡Ð). :. (m. - I)12, a¡ ). 0 pan k € K. mll,lc). ck,^Dak keK. B¡ : (S*,t(0¿))r(-*r,*)r,,.. (ur, . . - ,un) € IR" \{0}' tal que. :. onde. Sn,t(l¿)St,t(0¡). ut. (''. t. /=1. s¡,,¿(o¿)s¡,¡(r¡). : crr,^\. anBtrBn. keK. Assim, An,ø é singular se e somente se existir u An,Eu. :. :. 0. Computação direta revela que a condição.

(27) 2I acima equivale a 7L. :0, \u¡S*,(g¡) j=L isto é, o funcional linear L(h). :. 1<¿<N(m*7,k), ke K,. Di=ru¡h(g¡) anula-se numa base de Hl'**' , k e K.. Note, agora, que .L : 0 se e somente se u. i,. p¿. € Hft*'tai que r,;Qo¡:. :. 0. De fato, se L: 0, tomamos, para cada. I e r.i(0,¡:0,. para. j + i. Então,. ,t7. O: L(p¡): e, portanto, u. :. tj=l. u¡p¿(l¡):. u¿,,. 1. L. n. 0. A outra implicação é óbvia. Concluímos, assim, que (i) e (ii) são. equivalentes.. Suponhamos, agora, que exista um funcional linear não nulo da forma. tr(å) :. Di=ru¡h(1¡) anulando Hi*'. Seja / tal que LØ + 0. Afirmamos que não existe p e Hi+t tal que p(0¿) : f(00), L < i <n. De fato, se existisse tal p,teríamos f¿. L(p). fL. :Lr¡p(l¡): t u¡f @) : j=t j=1. L(Ð +. 0,. Hft*'. Provamos, assim, que (iv) imptica (ii). agora, que dim Hi*tlt < n. Seja {u1, ...,uo}, a 1tu, uma base de. contradizendo o fato de .L anular Suponhamos,. Hi*'lø.. Escrevamos u¿. : (p¿(01),...,nQ^)), I 1i 1 a,. Extendamos esta base a uma base B remos a base dual B*. P; €. H[+r. : {ut,,... ¡uo¡uo*r¡... ,un} de lR'e conside-. : {ui,. . . ,uir} de B. Escrevamos ul na forma. ui(ærr... rrn) : ctrt+... + cnrn, c1r...,cr, € IR e. definamos L(h). :Di=tc¡h(î¡).. Obviamente, L. f. 0. Sep. € Hft*t. .(p(îr),.... ,,p(0")).

(28) 22. : DL'. o¿(P¿(ît),. . .. ,n(0")), então rù. t'(p). Ð j=l. "¡p(0¡). :. "i@Q),.. .. ., p(0,)). d. D i=L. d. oo"i,(p¿(gr),. . . pr(0,7¡. : D a¿ui(u¿) : i=l. g. Assim, (ii) implica (iii). Para concluir a prova, provemos que (iii) implica (iv). Suponhamos que exista. /. tal. Hft+'. Mostraremos que dirnífr+rln 1n, exibindo um vetor u € IR' tal que , ø Hi+t l¿. Defina u : U(îr), . . . , l(g*)). Então , I Hi+tlø,, pois, caso contrário, existiria p e Hft+t tal que u: (p(ît),...,p(0,)), contrariando que. plE. nossa. # f lø, para. todo p e. hipótese.. I. 2.2 Positividade Estrita erll- Sm via o Espaço de de Boor-Ron Nessa seção, exploraremos o Teorema 2.2 para obter condições suficientes para que. K C N induza positividade. estrita (de ordem n) em ^9-. Os espaços de de Boor-Ron são as ferramentas básicas utilizadas aqui. Escrevemos H[+L para. um conjunto. denotar o espaço de todos os polinômios harmônicos em. n'L. +I. variáveis, de grau. menor ou igual a k. A, primeira condição suficiente é apresentada no Teorema 2.3. O lema seguinte é necessário para a sua demonstração.. Lema 2.L Se E C dimensional.. S* tem cardinalidade n, entõ,o IIE*t C Hi|Å fIi*tlø é ,". Prova: Primeiramente, note que IIfr+1 contém os poiinômios constantes, uma vez que flfr+1 é invariante por derivações. Logo, dimllfi+l o fl!'-+r : 1. Seja k o menor inteiro que. satisfarfli*' CIIT*'.. (Seção 1.5), vemos que. TIi*'. Pela propriedade (iv) do espaço de de Boor-Ron. contém um polinômio homogêneo de grau. k.. Dessa.

(29) 23. forma dimIIff+1 n. 2,. I 1 j < k-. II;'-*t.). dimflfr+l n fI/9'-+1 >. 1. Peio Teorema 1.9, obtemos que. 1. Usando a decomposição de. llff+l. dada na propriedade (iv) da Seção. 1.5, obtemos: k. llfr+l. dim. dim. |j=o (ïri*'n fI;'-*'). k. Ij=o ai- (ni*'n rt;'-*t) +2+L:2k Como. dimllfi+l : n). conseqüentemente,. IIi*'. segue que. Teorema 2.3 Seja. <. C niilf.Pelo Teorema 1.7,. HiiÅ. A outra afirmação usando a propriedade. k. segue finalmente que. llfi+l c. do lema é provada como na demonstração do Teorema2.2,. (ii) da Seção. 1.5.. I. /f C N. Se {0,1,.. . , Í"lZl} C K,. entõ,o. K. induz posi,tiuíilade. estrita de ordem n em S*.. Prova:. Seja. E : {0r,...,0*} C S^. Pelo Lema z.7,fIi+r C Hfr/-; C Hft+r. e. dimllfi+l1¡'. :. rz. Logo, dim. Hft*'lø:,. e o resultado segue do. Teorema2.2.. I. Resultados análogos ao do teorema acima, mas quando não há pontos antipodais. entre os pontos a serem interpolados foram obtidos em. [7]. A fórmula de adição. para polinômios ultraesféricos citada na Seção 1.3 é fundamental na prova. desses. resultados.. O Teorema2.3 é útil quando se quer assegurar a positividade estrita definida de uma certa ordem. r¿. de uma função g positiva definida em. S^, uma vez que ele permite. que g seja a composição de um polinômio de grau menor que. r¿. com cos f . Entretanto,. o teorema não fornece nenhuma pista real para o problema da positividade estrita definida (de todas as ordens) de g. Ele implica somente que g é estritamente positiva definida quando 1(-,n. :. N.. @.

(30) 24. Corolário 2,L Seja g. contenha um intei.ro par defi,nida de ordem. n. Iq e urn i,nteiro. ern St contanto que I. Prova: Suponhamos que I < m e ln12] g(t). :. S^ e suponharnos que K,n,n ímpar lc2. Entã,o, g é estritamente positiua. unxl, funçõ,o positi,ua defi,ni,ila em. (. < m e lnl2l. (. min{k1, k2}.. min{k1, k2}. Escrevamos. o*,Pì,(cos f) -l a*"P|"(cos f). *. a¡"Pl(cost),. t. keKn,s\{kL,k2}. onde À. :. (m. -. I)12, a¡. ) 0 para k ç. Km,s e. Dnex*,na*Pl(t) ( oo. Usando. a. equação (1.7), podemos escrever:. g(t) : akt D. o^,,,rr,oPffr(cos t). o12i1]/'|I. +. t. I a¡, D. o^,,,r,,¡Pffz¡(cost). o<2jskz. a¡Pl(cost),. keK^,s\{h,k2}. ondeø¡,¡,¿r,i. ) 0,para 0 <2i 1k1. edÀ,r,k2,¡. ) 0para 0 <2j 1kz.. Como. St C S* , a função D¿er-,n\{ *r,t a*Pl(cos ú) é positiva definida em ,St. Pela expressão "¡ acima, vemos que K¡,n ) {0, I,2,. .. , min{k1, kr}} ., portanto, pelo Teorema2.3, g é estritamente positiva definida de ordem n em. ,91.. ¡. No restante desta seção, mostraremos que o conjunto. {0,1,...,["12] - 1]. induz positividade estrita definida de ordem n ern S^, mas quase o faz quando m. não. ). 2.. Uma destas situações é apresentada no Teorema 2.4, sendo necessário o lema abaixo.. Lema 2.2 Seja n € 2N e E C S^ um conjunto de cardi,nalidade n. Suponha. que. tri*t nn.^fr*' + {o}. Entao: (i). As di,mensões dos espaçotTri*t. L,2r"'. (ii). Se 0. #p. 12. ìfrf'*+L,0 I r < nl2. sã,o, respectiuamente,. eI;. eIIi*'nnifr*t,. entã,oflri*'. é gerado. por deriuad,øs. d,e. p..

(31) 25. Prova: (i) Pelo Lema 2.1, temos que llfr+l ç HiÈt. Pela prova do mesmo lema, dimllfr+1nll3'-*t : 1, dimfli*t¡I]'^+' > 2, 1 < j 3 nl2-1e dim n?+rnnifi+r > 1. Logo, pela propriedade (iv) da Seçã,o 1.5, n/z. n:. dinr! (ni*'. dimlTi*t. n flrg'-+l). j=o n/z. !j=o ai- (ni*t n llrg'm+r¡ e, portanto. dimllfr+l alI2'^+r. :2, I < j. < nl2-1, enquanto. que. dimllfi+l nl',)ïJ*'. _1 t. -. (ii) Como IIi*t : Ð:!, (ni*t. n. II;'-*t),. é suficiente provar que cada somand.o na. expressão acima é gerado por derivadas de p. Como. constantes. ". lIi+t n II"*ï;*t. IIi*t. fl. II!'-+t. contém somente. é gerado por p, esses dois somand.os são gerados por. derivadas de p. Para prova que os demais somandos têm essa propriedade, fixe. {2,...,n12} eescolha o:(ar,...,d^+r) 6 ¡nztl talque atl...*d,n+t:nl2Defina, então,. q:: Do(p): ( 9:-... ii1\ a,y,-. \a;f. e considere a transformação linear Tn. A propriedade (iii) da. €. j.. ){r). : R*+r - nj\*t. Seção 1.5 implica que Im?n. j. dada por To@). C IIi*t n [;Í+t.. -. D,e.. Obviamente,. I {0}, pois, caso conttârio, D,q : 0, ø e IR-*l e teríamos q : 0, uma contradição. Logo, por (i), 0 < dimlmTn 12. Se dimImQ : 1, então dimker Tq : ffi, ou seja, kerTn é um hiperplano em lR-*r. Pelo Lema 1.3, q(ø) : c(({, ø))r, onde c + 0 e € : (€r,.. .,(^+t) € lR-+r é ortogonal akerTn.Daí, em vista do Teorema L.7, 0 : r(¿Xq) : cj(j - 1)(({, ,l)j-" DTJt Ç * o, uma contradição. Assim, dimknTo : 2 e, então, ImT, - IIi*t n II]!i*t. Portanto, IIi*t n [;g+t é gerado por derivadas de p. I ImTn.

(32) 26. Teorema 2.4 Seja n € 2N e E C S* um conjunto de cørdinalidade n. Se E estd, conti,do enl, un'L. círculo,. nã,o. entã,o. fIi*' c Hi/Tt_L: HiIÅ_,. Prova:. Suponhamos que. IIi*t ø H:/:r_t. Como. IIi*' C HiÈt,. então. IIi*t. C. II"^ï;*'. Pelo Lema 2.2 - ii, fIi+L é gerado pelas derivadas de um polinômio p € llJi*t nfI",fr*t. Usaremos este fato para mostrar que E está" necessariamente contido em um círculo. Considere o espaço de operadores.A. t: {Dr: r e kerTr}, onde Ç. :. - 1 e, portanto, podemos tomar uma base {Drr,... ,D"^-r} de,A., onde {r1, ... ,r*-t} é uma base de kerÇ. Como tli*' é gerado por derivadas de p, cada elemento de Â anula ÍIi*t. Escrevendo Dci : pj(D), 1 < j 1 m - 1, corr_ pj € IIï'-*t, temos, então que pi(D) (nË'*t) :0, 1 < j <m-1. Usando apropriedade (vi) da Seção 1.5, podemos escrever pj: qj 1, 1 < j < m - 1, onde qj €7'IT+'e qj(E):0. Note, agora, que {qtr... ,e*-t} é linearmente independente, pois, caso contrário, {Drr,... ,D,^-r} é definida como na prova do Lema 2.2. -. ii.. Então, dimker Tp. m. seria linearmente dependente. Assim, como E é anulado por um conjunto linearmente. rn-1 polinômios. lineares errrm*I variáveis, E estâ contido. em uma variedade linear bidimensional de. lR-+l. A inclusão E C S* implica que E. independente formado por. está contido em um. círculo.. I. Uma outra situação, conforme comentário antes do Lema 2.2, é apresentada no Teorema 2.5, que segue os Lemas 2.3 e 2.4, necessários para a sua demonstração.. Lema 2.3 Seja n € 2N Se. E. *I,. n +L,3. nõ,o estó conti,do en'ì. un't, círculo. IIE*t oIIJ'-+t, 0 < j. 3("-I)12. e. ". E C S* um conjunto. IIi*t. Ø. fî*!'qt,. sõ,o, respect'i,uamente,. de cardi,nalidaden.. entõ,o as dimensões de. I,3,2,...,2 eI.. Prova: Pelo Lema 2.I, fIE+r C HftïÅ : Hi,llltr. Pela prova do mesmo lema, dimllfr+l o II!'-+t : 1 e dimllfr+l n flrg'-+l ) 2, L S j < (n - 3)12. Afirmamos,.

(33) 27. inicialmente, que de fato dimllfi+l fì 0tr0rr0zr0q. €E. o conjunto {0,. -. f" Lfn J),. onde. I. I. azfz. lc"zfz. fll'-+t ). 3. Para verificarmos isto, tomemos. náo coplanares. Sem perda de generalidade, podemos assumir que. 0r,0". Íj :. -. 0t,0¿. exqe¡. J:. *an¡n. -. {f, L. d1} é linearmente independente. O conjunto. -exPár,. i :2,3,4,. é linearmente independente, pois se. 0, teremos. - 0r),r) : 0, r € IR-*1 e, poï conseguint e, a2(02 - 0) + %(% - 0r) + c.4(04 - 0) : 0, implicando que d2: ds- d4:0. Assim, como {1, Lf" Lfn J} c IIË+t, dimllã+t n[f+t > 3. (or(0,. -. 0t). *. o,s(0s. -. 0t). +. o.e(0+. Pela propriedade (iv) da Seção 1.5, temos, então, que. n:dimlli*,. (n-r) /2. >_. tj=o. dim(ufr+rnIIrg'-+1) >. Portanto, dimllfr+l o III'-+1. dimrlfi+l. ârIi,;]l;þ:. :. 1+3+2+ ...+2. 3, dimlIi*t ñ ¡9'*+r. L.. jr:n.. : 2, 2 < j < (n -. 3). 12. e. I. Lema2.4 Sejam n € 2N II, n) 7 e E C S* um conjunto de cardi,nalidaden e suponha que dirrfli*' art#iip: t. Se 0 # p € ÍIi*' ¡n"t;ïIip, r € kerTo e p: f t, onde f :Ð,,røcaexp. € exp", entõ,o E':{0 e E:"t#0} está contido em. un'¿ hiperplano ortogonal a r. Prova: Então, p. Seja E-(/) o somando da série de potências de. : f J:. /. que é homogêneo de grau k.. ¿o-(/), onde k6 é o menor inteiro não negativo que satisfaz. :. t(/) :. EØ + 0.. i 1 ko,temos que T-=1(D,Í): D,jU) :0, i <ko. Além disso, Eo-t|n,¡): D,6(f): D,p:0. Logo, (D"l) J tem grau maior ou igual a ks. Com" (D,Ð Ie tIi*' c fI(.+_rt¡¡z : trä*t, concluímos que @,Ð ] tem grau k¡. Logo, @,Ð Je tlä*t n [i;-+1, e a para algum c € IR. Definamos, então, nossa hipótese implica que (D,/) I: "p, q(y) ,: þ,A)-c. Afirmamos que q(D)U): 0. Para vermos isso, note, primeiramente, -i que t(q(¡Xl)) :j(D,f) 7 ) 0. Logo, @@)U)) : 0, para 0 1 j < ks e "jff), Como p e lT,*-'r)72: segue que ke. (n. -. I) 12. Corno. 6Á@)ff)) :6@"¡¡ - "n,U). 0, para. : "6(/) - "E;(/) : 0..

(34) 28. Portanto, se q(D)(/). f. 0, então o grau de. zendo o fato de que (q(,Dx/)) Je. /,. (q(D)(/)) J é maior do que k6, contradi-. IIË*t clIfr+-t¡¡2. Utilizando, agora, a expressão. de. temos que. 0:. q(D)U):. q(D). I0€E ", ""pp : te€E q(0)c6exps. E}é linearmenteindependente, obtemos q(0)"e : 0, 0 € E. Assim, E': {0 € E: ce *0} C{0 e E: q(0):0}, istoé, Etestá" contidoemumhiperplano. Como. {"*p,. :0e. ortogonal a r.. ¡. Teorema 2.6 Seja n € 2N Se nenhum subconjunto de entõ,o. IIi*'. Prova:. lI, n)T. E. e. E C S* urn conjunto. de cardinalidade n. - I. de cardinalidad,en.. estiuer contido. en'¿ un'¿. círculo,. c Hå!ä/,. Suponhamos que. de um ponto,. E. está". n 2 7 eIrIi+L ( n\!\t,. e mostremos que, a menos. contido em um círculo. Se o próprio conjunto E já" estiver. contido em urn círculo, a prova está terminada. Logo, podemos supor que .E não está contido em um círculo. Pelo Lema 2.3, obtemos, então, que as dimensões de. ri*t nflj'-+t, 0 < i < (n_ l)12 sã.o, respectivamente, 1,3,2,... ,2 e 1. Tomando 0 # p e IIi*t ani:ilipe repetindo o argumento usado na prova do Lema 2.2 (aqui a hipótese n + 5 é fundamental), vemos que fIi*t é gerado pelas derivadas de p. Seja ø € kerÇ e considerc f Ç.exp¿ tal que,f I: p.Pelo Lema 2.4, Et : {0 € E : ca I 0} está contido num hiperplano ortogonal a. r.. Utllizando um argumento similar aquele. usado na prova do Teorema2.4,, concluímos que E'está contido em um círculo. Para. concluirmos a prova, basta, então, mostrarmos que igual a. n-L.. Como, defato,. f. E' tem cardinalidade maior. :Ð,,rø¡c6exps,então. p: f $IIfill.. Como. nill. ou é. invariante por translações, o espaço ,4.(p) de todas as derivadas de p é um subconjunto de. IIfrlL. Como L(p) é (n -. 1)-dimensional, finalmente obtemos que. lÛ'l: dimIIfrll 2 dimÀ(p) : n-I.

(35) 29. I. Assim, a prova está completa.. Observações:. E c 52 tem cardinalidade 5, então nt" ( Ht -ultr: Hl,pois rlf tem dimensão 4. Logo o teorema anterior não vale quando n:5.. (i). Se. (ii). Se. E é corno em (i), 4 pontos de ,E estão contidos em um círculo. não está, então. n", ø flf.. Logo, pela prova do Teorema2.5,. eo. E. último ponto. não pode estar. inteiramente contido em um círculo. Os últimos resultados podem ser sumarizados da seguinte forma:. Corolário 2.2. S*. Suponhamos que K^,s ) {0, 1, ...,1"12]- 1} r que E C S^ tenha cardinaliilade n ) 1. Entõ,o, a matri.z d.e Seja g urnl, funçõ,o posi,tiua definid,ø em. interpolaçã,o As,E é positi,ua defini,dø,. 0,. (i). círculo;. ". é. par. e. E. está contido ern. rln1,. rnenos que umû ilas situações seguinteE ocorca,:. (ii) n é ímpar e, o" n'Lenos de um ponto, E estó contido ern unl círculo.

(36) Capítulo. 3. Positividade Estrita em Sm: IJm Tratamento Algébrico Neste capítulo, obteremos resultados que garantem positividade estrita (de todas. as ordens) ern S*, uma vez que os resultados do capítulo anterior não fornecem informações concretas nessa direção.. Os argumentos utilizados nas provas do capítulo anterior eram essencialmente analíticos. No presente capítulo, o fato de polinômios harmônicos estarem no núcleo do operador laplaciano será explorado e, portanto, os argumentos serão na sua maioria algébricos.. 3.1- Espaços Totais A^+t a álgebra das séries de potências formais errr n'L f 1 variáveis, como definido em [a]. Como A*+t : O[i'-*t, então, para todo k € N, a aplicação [ ' ¡m+t -+ fl;'-+l dada por EU) : somando homogêneo de grau k na expansã,o de f ,,éumaprojeção. Se /l C N, então Dr.r.fi ' ¡m+t -+IIft+':: D¿e¡<IIf+i dada Denotamos por. 30.

(37) 31. por. lf\*er t)/ (/) ': Ðørn keK. é também uma projeção. Definição 3.1 Um espaço U de polinômios selc(U). eÍn rn. *. 1 variáveis é. dito. ser homogêneo. c4 ke N.. Definição 3.2 Sejam PCIR-+l ,, n€N\{0} e [/umespaçohomogêneo. Dizemos que U é total de ordemr¿ em. f : E I R, existir p eU Definindo-se. F se, para cada E C F, com lÐl :n. tal que p=. f. em E.. [/ : Hft*t ,: (Ð¡.¡< II;'-*t). 1l induz positividade estrita ordem n ern S^. que. e qualquer função. À. H*+t,. de ordem n em. S-. então o Teorema 2.2 irnplica. se e somente se. U é total de. Definição 3.3 Sejam F C IR-+1 e n €N \ {0}. Então,. E"U),: {D. coexpe: E C. F, lVl1n,. c6. € R}. 0eE. e. E(F). ::. Un>tEn(F). E"(F) não é. De fato, dois rz, podem ser tais que lE1 U E2l > n.. Notemos que E(-F) é um espaço vetorial, enquanto rye subconjuntos E1 e E2 de F, com. lEtl < n e lÛ2l (. Definição 3.4 Se 0 € R!+t , 6e é o funcional linear definido no espaço das funções definidas em á dado por óp(/) : f(0). Se E C R-*t, então Mi*t,: [{6p : 0 e E}].. O próximo lerna faz referências a algumas propriedades dos espaços totais. Lema 3.L Sejømn€N\{0}, FCIR-+l e(J umespaçohomogêneo depolinômios ern. n'L. *I. uariáueis. Sã,o equi,ualentes:.

(38) 32. (i) t/ (ä). nã,o é. total de ordern n em F.. Para algum E C em. F, comlUl: n, eríste umafunçã,o g: E -+ IR tal que g-p #0. E, para todo p e. U.. (äi) Eriste E C F, comlÛl: n, tal que dimUl" < dirnMff+r :. (iv). Eriste E. CF, cornlÛl:n e0t^e Mi*'tal. que. v.. À(p):0, pÇU.. Prova: Análoga à prova d.o Teorem a2.2.. se e somente. F eIJ corno no Lerna\.I.. U é total d,e ord,emn en-L se, par&todo f e E*(F), eriste k e N tal queË(f)(D) nã.o anula. Teorema 3.L Sejamn,. F. I Entõ,o. IJ nrt"^'*+t.. Prova: Suponhamos, inicialmente, que U nã,o é total de ordem n em F. Então, pelo Lema 3.1, existe E C F,com lEl : n e 0 # € Mi*' tal que À(p) : 0, p € tJ. ^ Escrevamos À : Drrrc0expe e definamos / :: Ðrr"c6exps e E"(F). Afirmamos que ã(/)(l) anula U ÀIJror'*+t, puru todo k € N. De fato, se p € tl r^ì fl!'-+t, então, E(f)(D)(p). :. [ã(/xrxp)]. (0). :. lp@)(E(¡))l. (0). Por outro lado,. p@)(f)(,). :. p(D). D. c0. exp t(r). 0e.E. : f r(l)c6exp((0,r)) : 0eE. D,"tp(0)exp((d, r)) 0eE. : Dr.øcep(0): f(p) : 0. Com" p(D)(f)(Q) : p(D)(E(f))(0), finatmente obtemos E-(¡)(a)þ) : o. Reciprocamente, suponhamos que exista f e E"(F) tal que E(Í)(D) anula fJ ÀÍor'^+t para todo k g N. Escrevamos -f : Ðrrrc¡ expe) onde E C F e lUl : n. Defina À : Ðrrrc66s. Erúão, e, conseqüentemente, p(D)U)(0). ,. )(p). : Ð",6,(p): D c0p(0):p(Ðu)(o) qeU. :e(rxE(/))(0), p€u nfr;'-*'.. îeE. Pelo Lema 3.1,, U não é total de ordem n ern. F.. I.

(39) 33. 3.2. Positividade Estrita ern S*. Nesta seção, l.Arn+r denota o ideal principal ern. A**r. gerado por. l,. isto. é,. l.A*+r,: {f../ : f e A*+r} O primeiro resultado que garante positividade estrita (de todas as ordens) em ,5é apresentado no teorema abaixo.. Teorema 3.2 Sejam n € N\{0} ,1( C N. Entõn K nã,o induz positi,ui,dade estri,ta (D¿.¡rÐ t¡l e l.A*+1, paraalgum Í e E*(,S-). de ordemn en'LS* se esomente. "r. Prova: Como vimos anteriormente,, K induz positividade estrita de ordem n errr S* se e somente se Hft+t é total de ordem n em ^9-. Pelo Teorema 3.1, temos que K não induz positividade estrita de ordem n erír,9- se e somente se existe f e E"(,S-) tal que. ã(¡)(l). anula. Hfr*tnlli'-+r,. para todo k € N. Obviamente, as afirmações acima. equivalem, então, à existência de / e lc. e K.. Notemos, agora,. De fato,. seã(/). nU)Q)@). :lg,. :. E, (S'") tal que EU)@) anula H|^*t para todo. weã(f)(O). k(/). e.. g(D)r(¿Xp) : e(r)(o). :. anula ¡¡o'rn*r se e somente se. l.A^+t.. g € A*+t, então, para todo p € Hl'*+t,. (re)(D)(p). : r(D)e(rxù:. 0. Reciprocamente, se E0 ø l.A^*t, então existe p e H"k'*+t tu.l qo. E(Ð(D)(p) : constante # 0 ., portanto, E0@) não anula Hl'**'. Concluímos, assim, que 1l não. induz positividade estrita de ordem n em ,9- se e somente se existe. tal que Eff). Drr*E(¡). f e E" (S*). el.A^*r, k € K, ou seja, se e somente se existe f € E"(S*) tal que. r. el.A,"+r.. E C S* un'L conse e sornente se eriste ï e exp, tal que. Corolário 3.L Seja g unln funçã,o positi,ua defi,nida em S^ e junto fini,to. Entã,o, An,n é nã,o inuersíuel (Drro^,,ã) (/) e t.A*+t ..

(40) 35. Prova:. Seja p. : lntr h, h e Hi'^+1. Computação direta produz a seguinte. (f(r)þ))r :. 4n(n. +. *. igualdade:. 1)1"-1år2 +. 2(n -l1) [(å. * rth,t). f'*t *. + .. .+ (h * r,n+th,^*,)]. + 2(n*I)(æ1h¡+... + Ím¡7hr*¡¡) l"*t + (f(rxä))f'*t : l4n(n + 1) + 2(m 1- 1)(n + 1)l¡"+t .h + +k(n + 1)P+1å : 2(n-lr)(2n*m*1t2k)p O resultado segue tomando-se c : [2(n + L)(2n. *. m. I L + 2Ð]-L. Lema 3.6 Seja n € N. Entõ,o a aplicaçã,o p eln+L.Hna+l ---+. I. .. f(l)(p) e ln.H'"+r. é um isomorf,srno.. Prova: A linearidade da aplicação é óbvia. h¡ € Hi'^+t, o ( j < a:- grau de h.Daí,. Se. å e H*rL, então h. Ði=oh¡,. -_. onde. JJ. l(r)(f'+l Ð : t(D) Utilizando o Lema. ,,)l. f"+r É. j=o. :',r, (å ,,*,0,):. 3.4,, a igualdade acima. fica na forma:. dot. t(, (l'+1 n¡ : ! ). (c. j=O. u,. år(r). (r"+1åi). "))-'. r". h. j. : r" \{"{i, "))-'. h. ¡. j=O. Cálculo direto com a igualdade revela, então, que a aplicação do teorema é injetora. e. sobrejetora.. I. Lema 3.6 Seja n € N. A. aplicaçã,o. p€. f7¿+1.IIr¡¿+1. ---+ f(D)(p) e. f'.fl*]r. é um. isomorfismo.. Prova: A linearidade da aplicação é óbvia. Seja p e In+1.fl-+r e suponha que f(¿Xp) : 0. Pela observação após o Lema 3.3, podemos escrever:. p:lktful...+lk"ho,. kr,... ,ko) n*r,. htr...rho € H*+1..

(41) 36. Então, 0. : l(r)(p) :. j 1 a, podemos. f(r). Ði=.. (fkjå;). .. co*of(r). (lÈj. .H*+') c lkj-L.Hm*t, I 1. escrever. f(r). (lÀ, h¡) :lk'-'hl,. hj e H*+',. 1. ( j < a.. : Ðtrlki-th). Como fI*+t : O¡>ofÈ.H*+t pelo Lerna 3.3, lk¡-rh| : 0, I < j I a. Logo,, h| : 0., 1 < j ( o. Pelo Lema 3.5, obtemos, então,queleihj:0, 1< j (o.Portanto,h¡:0, 1 < j < o,isto é,,p:0. Assim, Logo, obtemos O. a aplicação do teorema é injetora.. Para provarmos a sobrejetividade, seja g. - l"qr. € l'o.II-+1. Usando o Lema 3.3,. podemos escrever p. qr:flkihj,. onde kt,...,lcj)0. j=l Como cada aplicaçã,o p €. lkj+r.Hm*r ---+. e ht,...,hpe H*+r.. f(lXp) € fÀi.H*+t. é sobrejetora, pelo. Lema 3.5, então, podemos escrever p. q,: It(D) (rfri+'hl), hl,...,hbe j=l Portanto'. /B. q: r*.t(D, (å onde. ff=. Lf.ki. h|€. Or>ofÀ.. \ r*,*'n]). H*+t : II-*1.. :. H^+1.. B / \ r(r) (r"*' .f,rr, ^l). Concluímos, assim, a prova do. lema. I. Lema 3.7 Seja f € A*+t um ponto fi,ro de f(r). Suponha que eristam k,n € N tai,s quek+U-Ø € l.II-*1, 0 < j 1n. Entã,o|+nff) € f'*t.fl-+l.. n : 0, a afirmação do teorema é óbvia. Assumamos, então, que o resultado é válido para ?¿ - 1 > 0. Suponhamos que ETI|Ø e. Prova: Usemos indução. l.II-*1, 0 I f ( t(D). sobre n. Se. n. Como (E. f(DX/) - /,. + 2n(/)). temos que. : E +t@=t(r(rx/)) : n + z@ - r¡ç¡¡..

(42) 37. f(D)(TT?zn{f')) e f".fI-+1. Pelo Lema 3.6, existe p € |"+1II^+L tal, que f (D) k + zn(f)): f (r)(p). Logo, temos que l(D) (E+2n(/) -p) :0, ou seja,T+n1¡-p e H*+r. comoE +2n(f) € f.fl-+l pelahipótese de indução, segue quek +2r(/) - p € H*+t n f.fl-+l. Pelo Lema3.2, Peta hipótese de indução, concluímos, então, que. concluímos, então,. qtek+2n(/) :p € f"+r.fl-+l.. I. E C S* e I € exp¿. Se E tem cardinalidade n, ks < lnlzl tal que ko + U-Ø f 0, para j > 0. Lema 3.8 Sejam. entã,o euiste. Prova: Suponhamos que -E tenha cardinalidade n. A existência de ks < [nlz] tal q"" fro-(/) f 0 segue diretamente do Lema 2.I e da definição de Ilfr+l. Para provarmos o restante da afirmação do lema, notemos, inicialmente, que De fato, escrevendo. îtr. ... /. na forma f. @): Dt,. l(D)U) : f. .. a¡exp((|¡,ø)), onde att...,øo € IR e. ,0o € E, temos d. f (rxfxr) : t. rnll. d. ø¡r(D)(exp((0¡,*)) :Ðo,. j=L. exp((d¡,. D,QÐ,. j=l. i=I. tl): f(r). Usando esta informação, temos que. :E;TT-(I(DX/)) :ko+2j -z(f)+0, j Portanto, EITTf¡¡ f 0, para j > I. t(D)(ko+U-(/)). > r.. r. Teorema 3.3 Seja E C S^ e defina. o(E) ::min{lE'l : E' c Sejø. j. E e. IE. o nzenor inteiro satisfazendo dimn:':r*t >. definida. \ E') +R-+t]. Seja. "(E). em S^ e lßsunxa que K,:{k ç Km,s:k> lÛll2}. consecutiuos e. j. g unxd funçõ,o positiaa. contém. j. inteiros pares. inteiros ímpares consecutiuos. Entõ,o An,ø é posi,tiua defini,da.. Prova: Em vista do Corolário 3.1, vamos supor que existe / e exp¿ tal que (D*.o Ð f¡¡ €. l.A*+r e obter uma contradição. Se existir tal f , o Lema 3.8 implica.

(43) 38. aexistênciadeum ks<lnl2l talque. ko+2j(f)+0, j ). 0, onde. n:lUl.. Devido. K, existem, então, inteiros krk - 2,. .. ,k - 2j + 2 e K corn k -2j +2+ ks par. Em particrlar, ks+2ij) + 0, k -2j +2 < i < k. Como (D*.oÐ f¡l €l.A^+1, então à nossa hipótese sobre. k-r(j-1) +2i,(f)eI .¡m*r, o(i<j_ r Logo, pelo Lema 3.7 ,E(f). de que. f. ç fr.nn,+r. Afirmamos que esta conclusão contradiz. e. expr. De fato, escrevamos. /(") ::. o fato. Deeøcsexp((0,2)), onde ca € lR.. Obviamente,. E(¡)(r):. Ieeøc6ã(exp((0, r)) : Ð#<t,">r 9eE. e, então, podemos escrevel. E(Ð(*):. t. 0eT. ffi1e,,)r. ? C E e cada dois pontos de 7 formam um conjunto linearmente independente. Seja 7' C T talque [?'] # W"+t e lT'l émáxima. Como dimII;1i+1 > > "(E) l?\?'1, existe n e tI]\+t tul eue prlr\r, : 0. Escrevendo p1 na forma pt : lip, i ) 0 e p ø T.I-I*+1, vemos que p é homogêneo, tem grau r < j -1 plr\r, : 0. Note, agora, onde. ". que. e@)@u))@). :. ,r", (Ð#r,or). t #rrr t #rfr-. 1). (k. -,. 1) . ... (k. -. 0eT. eeT'. Como [T']. + lR-*l,. + t)e(o)(o,r)r-'. r + r)e@)(o,'lk-'. é possível fazer uma mudança de variáveis (se necessário) para. concluirmos que p(D)E(f) é (a menos de uma transformação linear) um polinômio com no máximo rn variáveis. Por outro lado, como. EØ --li*"q,onde s I. 0 e Q efI*+t. p(D)@@). :. \ l.[-+1.. p(D) (fi*"q). :. E(¡) g ll.II**1, podemos escrever. Daí,. ¿'pli*s-r e *. li+'-'+t. n,.

(44) 39. qt € fI*+t. Corno 0 * .pq € l.II-+1, então concluímos que 0 # p(D)(E(/)) 6 ¡.¡nz+t e, portanto, p(D)(E(/)) possui *+I. onde c é uma constante não nula e. variáveis. Alcançamos, assim, a desejada. Corolário 3.2 Sejam. contradição.. KCN en€ N\i0). j *m-1 rn. Se. K n{k € N: k >. consecutiuos, entõ,o. "12}. K. contém. j. Seja. j. 0 n'Lenori,nteiro sati,sfazendo. >n-rn. inteirospt,res consecutiuos e j intei,ros ímpares. ind,uz posi,tiuidade estrita em. Corolário 3.3 Seja 1( C N. Se I( contém. S*.. seqüências arbi.trari,amente grandes de. intei,ros púres e seqüê,ncias arbitrøri,amente grøndes de inteiros ímpares, entõ,o posíti,ui,d,ade. estrita em S*.. I. K. induz.

(45) Bibliografia [1] R. Askey e J. Fbitch, "Integral Representations for Jacoby Polynomials and some Applications" , J. Math. Anal. Appl' 26(1969), 4II-437. 12] C. de. Boor e A. Ron, "On Multivariate Polynomial Interpolation", Constuc-. tiue Approrimation. 6(1. 990)'. 287 -302.. t3] J. B. Conway, "Functions of One Complex Variable", Graduate Terts in M athematics, vol.. [4] K. Hoffman [5] R. A. Horn. e R.. 11. (1973).. Kunze, "Linear Algebra" , Prenti,ce-Hall Inc.,2nd ed.(1971).. e C. R.. Johnson, "Matrix Analysis" , Cambridge Uniuersity Press,. (1e85).. [6]. V.A. Menegatto, "strictly. Positive Definite Kernels on the Hilbert Sphere",. Appl. Analysis,, 55(1994), 91-101. 17]. v. A. Menegatto, "Interpolation. on spherical Domains" , Analysis,, L4(1994),. 415-424.. tS] N. Nielsen, "Theórie des Fonctions Métasphériques", Gauthier-Villars, Paris, 1911.. t9] M. J. D. Powell, "Radial Basis Functions for Multivariable Interpolation",, Algorithms for Approri,mation, J. C. Mason e M. G. Cox, eds., Oxford University Press, 1.987,, 743-167. 40.

(46) 4l [10] T. J.. Rivlin, "The Tchebychev. Polynomials". , Wiley,. New York,I974.. [11] P. J. Ryan, "Euclidean and Non-euclidean Geometry",, Cambridge Uniuersity Press, (1985).. [12] A. Ron e X. Sun, "Strictly Positive Definite Functions on Spheres", CMSTR 94-6, University of Wisconsin-Madison(1994). [13] A. Ron e X. Sun, "Strictly Positive Definite Functions on Spheres", Mathematics of Computatíon, a aparecer. [14] I. J. Schöenberg, "Positive Definite Functions on Spheres" , Duke Math. Journøl 9(1942), 96-108.. [15] G. Szegö, "Orthogonal Polynomials", Amer. Math. Colloq. Publ., vol.23, 1939.

(47)