Instituto de Física "Gleb Wataghin"
Cálculo da Dose de Radiação Através de Convoluções em
Meios Heterogêneos para Aplicações em Radioterapia
LuísAugusto Perles
Orientadora: Profa. Dra. Carola DobrigkeitChinellato
Agradeço ao Sérgio e aRosângela da físicamédica do CEB por todo o apoio recebido. Ao
pessoal da radioterapia do CAISM pela recepção e valorosas discussões: Márcio, Núria,
José Garcia, Fernanda, André, etc. Ao Fred, por ter escaneado e enviado (por e-mail!) um
valiosíssimoartigo. ÀPatrícia(USP- Ribeirão Preto)porpossuireemprestar o talartigo.
AgradeçoaoWilson eao MáriodaInformática doCEBe doCCJDRdo IFGW,
respec-tivamente, pelavaliosa ajuda.
Agradeço também ao professor Lúcio (DMA - IMECC) pela importante ajuda com as
FFT's.
E, em especial, desejo expressar minha enorme gratidão aos meus dois orientadores: à
professora Carola (DRCC - IFGW)e ao José RenatoO. Rocha da radioterapia doCAISM
Nesta dissertação de mestrado apresentamos o estudo sobre uma técnica de convolução
para o cálculo da distribuição da dose de radiação usada em teleterapia. Este método
decompõe em três parcelas a distribuição da energia absorvida pelo meio: uma devida
à dose do espalhamento primário, uma devida à dose do espalhamento secundário e uma
terceira,devidaaosespalhamentosdeordenssuperiores. Mostramostodoodesenvolvimento
teóricodométododecálculodadosederadiação porconvoluçõesparameioshomogêneose
heterogêneos,ondeostecidosmolessãotratadostodoscomotendoamesmaseçãodechoque
queaágua. Asheterogeneidadessãotratadascomodedensidadesdiferentesdaágua,porém
comamesmaseçãode choquedaágua. Asfunçõesdetransportedeelétronsefótonsforam
simuladas noEGS4.
Fizemos oscálculos paraaenergia do 60
Coe osresultados apresentaram uma boa
con-cordância quando comparados a resultados experimentais e simulados para campos de até
1010cm 2
a uma profundidade de 26cm. Com o aumento das dimensões do campo, a
profundidade em que há con abilidade reduz-se. Este fato se deve ao espaço limitado em
que o programa EGS4 realiza as simulações dos transportes de fótons de altas ordens de
espalhamento.
O programadesenvolvido para o cálculo da distribuição de dose de radiação nesta tese
tem por objetivo servir de base para outros estudose pesquisas relativas à aplicação deste
método e tambémpoderáser usadono dia-a-dia da radioterapia após osdevidos testes de
Inthisthesiswehaveapplied theconvolutiontechniquestocalculate thethree dimensional
(3D) dose distribution to be used inteletherapy. The convolution method spans the total
doseinthreeparts: oneduetotheenergy releasedbychargedparticlesproduced atthe rst
collisions,onedueto theenergyreleasedbythe rstscatteredphotons, andthelastonedue
to photons of higher order scattering. We have shown up the theoretical development for
homogeneousand inhomogeneous media. Cross sections oftissues have been approximated
to water like. Heterogeneities are supposed to have the same cross sections as water and
theirdensitieshave been treatedasweight for thedosecomputations. Electronandphoton
functionswere simulated ina previous stepusing EGS4.
We have done the calculations for 60
Coenergy and the results have showngood
agree-ment withexperimentaldatasets for eldslessthan1010cm 2
at 26cmdepth. Forlarger
eldsthe depthofagreementwasreduced. We have associatedthisfacttothelimitation of
simulationsteps,during transportofphotons of higherorder scattering.
Theaimofthesoftwaredevelopedtocalculatetheradiationdosedistributioninthis
the-sisistobethe basisfor otherstudiesand researchesrelated. Theapplianceinradiotherapy
Agradecimentos iv
Resumo v
Abstract vii
1 Introdução 1
2 A teoria do cálculo da dose por convolução para meios homogêneos e
heterogêneos 5
2.1 Adistribuição espacial dadose . . . 5
2.2 Omodeloteórico . . . 7
2.3 A uência . . . 9
2.4 Ocálculoda doseparameioshomogêneos . . . 10
2.4.1 Adose primária. . . 10
2.4.2 Adose secundária . . . 13
2.4.3 Adose demúltiplo espalhamento . . . 15
2.4.4 Adose total . . . 20
2.5 Ocálculoda doseparameiosheterogêneos . . . 21
2.5.1 Adose primária. . . 22
2.5.2 Adose secundária . . . 22
2.5.3 Adose demúltiplo espalhamento . . . 27
2.5.4 Adose total . . . 30
3 Simulação por Monte Carlo 33 3.1 Oprogramade simulaçãoEGS4 . . . 33
3.2 Oprocesso desimulação . . . 34
3.3.1 OMétodo usadonassimulações. . . 40
3.3.1.1 Ageometria e astécnicas utilizadas . . . 40
3.3.1.2 Osparâmetros da simulação . . . 42
3.3.1.3 Acontabilização daenergia depositada . . . 43
3.3.1.4 Núcleoprimário . . . 43
3.3.1.5 Núcleosecundário . . . 43
3.3.1.6 Núcleode múltiplo espalhamento . . . 45
4 O Método Numérico 47 4.1 Ocálculocomputacional dadose . . . 47
4.2 A matrizda uênciaprimária . . . 48
4.2.1 A implementaçãocomputacional . . . 49
4.3 Convolução via FFT . . . 50
4.3.1 A Transformada deFourier Rápida . . . 51
4.3.1.1 OsTeoremas da Amostragem . . . 52
4.3.2 Convolução de duasfunções nitas . . . 53
4.3.2.1 Odeslocamento dosdados . . . 53
5 Resultados e Discussões 55 5.1 Os núcleos de deposição de energia . . . 55
5.1.1 Onúcleode deposição deenergia primária . . . 55
5.1.1.1 Oslimites deresolução . . . 56
5.1.2 Onúcleode deposição deenergia secundária . . . 58
5.1.3 O núcleo de deposição de energia devido ao múltiplo espalhamento dosfótons . . . 61
5.2 Os cálculosda dosede radiação . . . 61
5.2.1 Os testesemmeioshomogêneos . . . 64
5.2.1.1 Comparação comasmedidasfeitas noCAISM . . . 64
5.2.1.2 Comparação como programa PLATO . . . 79
5.2.2 Os testesemmeiosheterogêneos . . . 79
5.2.2.1 Comparação coma simulaçãono EGS4 . . . 79
5.2.2.2 Comparação como programa PLATO . . . 81
A.1 Asde nições dadaspelo ICRU . . . 87
A.1.1 Radiometria. . . 87
A.1.2 Coe cientesde interação . . . 87
A.1.3 Dosimetria . . . 89
A.2 Errorelativo eabsoluto . . . 90
B Tabela de probabilidades de interações do fóton na água 91 C Os testes e o código fontedo programaque realizaoscálculos 3Dda dose 93 C.1 Aestrutura do programa de convolução . . . 93
C.1.1 Ocódigofonte . . . 94
C.2 OsTestesdaFunção deConvolução . . . .108
C.2.1 Teste 1D. . . .109
C.2.2 Teste 2D. . . .109
C.2.3 Teste 3D. . . .110
D Alterações no programa XYZP para a geração dos núcleos deconvolução117 D.1 Forçando aprimeira interação do feixe . . . .117
D.1.1 Osnúcleos de deposição de energia . . . .119
E O PEGS 121
F O Formato Padrão dos Arquivos de Entrada e Saída 123
Introdução
Aradioterapiatemfunçãoimportantenotratamentocontraocâncer. Ofísicoparticipadeste
tratamento fazendo o planejamento da aplicação da radiação ionizante. O planejamento
consiste em ajustar o tamanho do campo de radiação, a posição, direção e quantidade de
feixes a seremusados. Paratomar estas decisões, o físiconormalmente usaprogramas que
calculamadistribuiçãotridimensional(3D)dadosederadiaçãodentrodocorpodopaciente
a mdeconcentraromáximodadosenoalvo(tumor)eomínimopossívelnostecidossadios.
Estes procedimentos exigem um bom programa de cálculo da dose, porém nos deparamos
com programas caros e que podem apresentar falhas. Este fato nos motivou a estudar os
algoritmosusadosparaoscálculos3Ddadoseesuaslimitações. Nestatesevamosapresentar
umalgoritmoe suarespectiva implementação computacional.
O que torna o cálculo da distribuição 3D da dose uma tarefa complicada é que não
conseguimosequacionarotransportedeenergiaanaliticamente. Parafacilitaracompreensão
da tese,vamos apresentaruma interpretação para ade nição formal, dada noapêndice A,
de dosede radiação ede umaoutra grandezatambémmuito importante, okerma 1
.
Quando umfóton atravessa ummeio material, eleinterage comosátomos queformam
este meio e lança partículas carregadas. O kerma é a quantidade de energia cinética por
unidade de massa que a partícula carregada (elétron ou pósitron) recebe no instante da
interaçãodofótoncomamatéria. Basicamente,umapartedestaenergiacinéticaseráusada
paraaionizaçãodosátomosemoléculasdomeioeaoutraseráirradiadaporbremsstrahlung
ou aniquilação de pares. A parcela do kerma queioniza o meio chama-sekerma de colisão
ea queirradia, de kerma de radiação.
Estas partículas carregadas que receberam um kerma de colisão irão ionizar a matéria
1
Kermavemdoinglêsesigni caKinetic Energy Releasedinthe Medium;oafoiadicionadoapenaspor
vessado por estas partículas carregadas. A dose de radiação é a parte do kerma de colisão
de todas as partículas que atravessam 4V e que é convertida em ionização do meio
nes-te elemento de volume. É interessante notar que este 4V pode estar sendo atravessado
porpartículas carregadas queforamgeradas nelepróprio e por outras partículas queforam
geradas em elementos de volume vizinhos. A di culdade em se determinar exatamente a
doseestá emdescreverestestransportes daspartículas carregadas (elétrons,pósitrons,etc)
e tambémdasneutras (fótons,nêutrons, etc.) [1, 2]. Sobreeste tema discutiremosmaisno
capítulo seguinte.
Na prática, existemvárias formasde se obtera distribuição aproximada da dosede
ra-diação. A mais simples é a que se baseia no per l de isodose medido na água e pode até
ser feita gra camente, sem oauxílio de computadores [1]. Esteé ummétodo aproximativo
antigo,porém aindausado emdeterminadoscasos. Outra técnica éa simulação por Monte
Carlo dotransporte edas interações daspartículas. Estaforma apresenta excelentes
resul-tados, todavia o tempo computacional aindaé extremamente elevado. Ométodo que será
descrito eaplicadonesta teseé odeconvolução da uência dofeixede fótonsqueincide no
meioabsorvedorcomnúcleosdedeposiçãodeenergia. Afunção destesnúcleos édeespalhar
o kermade colisão lançadopela uência [3, 4].
O objetivo desta tese é iniciar o projeto de desenvolvimento de um programa para o
cálculodadosederadiaçãoatravésdeconvoluçõesparausoemteleterapia(radioterapiacom
fonte externa ao paciente). Inicialmente, o programa será aplicado em pesquisa, podendo
ser adotadonoplanejamento dostratamentos apósostestes necessários.
A organização desta dissertação
No capítulo 2 detalhamos dois modelos teóricos para o cálculo da distribuição da dose de
radiação, sendo um parameios homogêneos e outro para heterogêneos. Neste capítulosão
apresentados osmodelamentosdosnúcleos de deposição de energia.
Taisnúcleos serão simuladose astécnicas aplicadassãodescritas nocapítulo3.
Descrevemos o método numérico usado para fazer a convolução no capítulo 4, onde
aplicamos astécnicas de transformadade Fourier rápida.
Osresultados sãoapresentados nocapítulo5ondecomparamos ométododeconvolução
com simulaçõese comum programacomercialusadono planejamento deradioterapia pelo
CAISM(CentrodeAssistênciaIntegralaSaúdedaMulher,Unicamp),oPlato,daNucletron
[5].
No apêndice A estão algumas das de nições da ICRU (International Commission on
Radiation Units and Measurements). Nos apêndices seguintes encontramos informações
técnicas arespeito da programação e características dosequipamentosusados no
A teoria do cálculo da dose por
convolução para meios homogêneos e
heterogêneos
Estamosinteressadosemobterummodelomatemáticoparaocálculodadosederadiaçãoem
meiosheterogêneosquepossaserusadonoplanejamentodeumprocedimento deteleterapia
por cobalto 60 60
Co
. Descreveremos neste capítulo dois modelos teóricos para o cálculo
dadoseusandoummétodoquenospermitechegaraalgumasintegraisdeconvolução[3,4].
No primeiro modelo tratamos apenas da aplicação da radiação a meios homogêneos,
já o segundo modelo é uma extensão do primeiro para meios heterogêneos. Ambos os
modelossãopararadiaçãomonoenergética,maspodemserfacilmenteestendidospara
raios-X,discretizando-seoespectroemfaixasdeenergiaserealizando oscálculosparacada faixa
de energia emseparado,e depoissomando osresultados considerando odevido peso[6 ].
2.1 A distribuição espacial da dose
Vamos prosseguir com o estudo da composição da dosede radiação iniciado na introdução
destatese. Considereumelementode volumediscretoV pertencenteaummeio material,
comomostrado na gura2.1. Nesta guravemos vários processos de interação daradiação
coma matériaocorrendo. Osfótons e 00
interagempeloprocesso Compton, 0
por efeito
fotoelétricoe 000
porproduçãodepares. Suponhaque , 00
e 000
sejamosfótonsprovenientes
de uma fonte de radiação monoenergética externa ao meio. A doseabsorvida em V será
γγ
γγ
’
’
γγ
’ ’
γγ
’ ’ ’
∆∆
V
V
fóton
elétron
pósitron
Figura 2.1: Umesquema ilustrando a composição da dosede radiação.
gura 2.1, convertidos em ionização dentro do elemento de volume V. Vemos quea dose
absorvida neste elemento de volume é devida a partículas carregadas que se originam no
próprio elemento de volume e também por partículas oriundas das células vizinhas. Este
fato sugere que o transporte eletrônico do kerma de colisão possa ser modelado por meio
de uma integral de convolução. Observe, também, que como o fóton 0
foi gerado em
um elemento de volume relativamente distante de V, este fato sugere uma integral de
convolução parao transporte fotônico dadose.
Estes processos que contribuem para a formação da dose absorvida são de natureza
estocásticaeocorrememenormequantidade, oquedi cultaummodelamento maispreciso
do problema. Por este motivo a simulação computacional freqüentemente é sugerida para
resolveresteproblema, porémo tempoutilizado porestassimulaçõesaindaémuitogrande,
inviabilizandooseuusonoplanejamentodasseçõesderadioterapia(estetemaseráabordado
no capítulo 3). Como citamos anteriormente, a dependência da dose absorvida em V de
outros elementosde volume sugerea existênciade integraisde convolução paratransportar
Os modelos teóricos que vamos estudar aplicam-se principalmente a raios- com energia
em torno de 1 MeV, em que o principal processo de interação da radiação com a água é
o Compton (a tabeladas probabilidades dosvários processos de interação de fótons com a
água estáno apêndiceB).
γγ
γγ
’
’
γγ
’ ’
e
e
−
−
’
’
e
e
−
−
Figura 2.2: Esquemailustrativode umaseqüência de espalhamentos Compton.
Suponha uma história de um fóton de energia inicial E
0
que interage por processo
Comptonemumdeterminado meioabsorvedor. Oestado naldeste sistemaserácomposto
por umfóton 0
de energia E 0
eumelétrone de energia K,comomostrado na gura2.2.
Esteelétronirádepositarasuaenergiacinéticaaolongodesuatrajetóriae,eventualmente,
emitir umoumais fótonspor bremsstrahlung (nãoesquematizado).
Continuemos a seguir o fóton 0
gerado no primeiro processo Compton. Este fóton
poderia, novamente, sofrer uma interação Compton. Assim, o estado nal deste segundo
sistema casendoumfóton 00 deenergiaE 00 eumelétrone 0 deenergiaK 0
. Esteelétronirá
depositara suaenergia cinéticaemformadeionizaçãoao longodasuatrajetóriaetambém
poderia geraralgum fótonporbremsstrahlung.
Ofóton 00
terminasuahistóriaemmaisalgunsespalhamentosquepodem,dependendo
dasuaenergia, serumacombinação dosefeitosCompton, produção de parese fotoelétrico,
podendo atémesmosair do meio absorvedorem questão. Não estamoslevando emconta o
efeito Rayleigh por este não contribuir paraa doseabsorvida.
Esta história é a basedo modelo proposto em[3, 4], que supõe que todasasinterações
e
e
−
−
Contribuem para a fonte do
múltiplo espalhamento, s
m
m
.
.
Φ
Φ
p
p
Φ
Φ
s
s
Figura 2.3: Este é o modelo teórico proposto pelo esquema da gura 2.2, agora com uma
uência associada aos fótons. Por simplicidade, não representamos oselétrons a partir da
segunda interação.
A uência de fótons é a razão entre o número de partículas e a área, como de nido
pelaICRU e apresentado noapêndice A. A uênciaprimária
p
é constituída pelos fótons
quepenetraramomeio absorvedor, sãoprovenientesde umafonteexterna, equeaindanão
interagiram.
O modelo a ser tratado nesta dissertação considera que os fótons da uência primária
interajamsomente porefeitoCompton. Apósaprimeira interação,adireção eaenergia dos
fótons sãodadaspelaseção de choqueCompton. Neste passonão temosmaisuma uência
unidirecionalemonoenergética,oquepodedi cultarumpoucoasuadescriçãomatemática.
Esta uênciasecundária
s
defótons estáindicada na gura 2.3.
Consideramos novamente que osfótons queconstituem a uência secundáriainterajam
porefeito Compton. Porém descrevera uênciaapósesta terceira colisãoseriamuito
com-plicado e desprezar estesfótons signi caria subestimar a dosetotal. Note queestes fótons,
após mais algumas colisões, poderiam ser considerados como sendo provenientes de todo
o meio e tendo direções aleatórias. Assim, a solução encontrada foi tratar os fótons que
constituem a uência apósa terceira colisão como uma fonte a ser usada nos modelos de
difusão, normalmente empregada para gases [3]. Desta forma, os fótons provenientes da
terceira colisãoserão tratadoscomo afonte s
m
seçõesseguintes deste capítulo.
2.3 A uência
Para sabermos a dose em umadeterminada região no meio absorvedor precisaremos saber
qualaquantidadee ascaracterísticasdoselétronsqueestãoatravessandoestaregião. Estes
elétronsforampostosemmovimento por fótonsnaregiãoemquestãoe nassuas
proximida-des.
Considere um esquemaonde encontramos umtanque semi-in nito contendoágua como
meio absorvedor e umfeixemonoenergético de energia E
0
cuja uência na superfície deste
meio é denotada por
0
, como esquematizado na gura 2.4. Seja
p
a uência de fótons
queatravessam o meio absorvedor, descrita como função da uência da fontena superfície
0 como [6 ]: p ( ! r)= 0 ( ! r 0 ) j ! r 0 j 2 j ! rj 2 exp Z r r0 ! l d ! l (2.1) onde ! r 0
é a distância da fonte à superfície do meio, também conhecida como SSD (source
to surface distance), !
r é a distância da fonte ao ponto em que estamos interessados em
calcular a dose e
!
l
é o coe ciente de atenuação linear do meio no ponto !
l . Note
quenestaexpressãoparaa uênciaprimária ocoe cientede atenuaçãolineardepende da
posição, portanto estaexpressão de
p
aplica-se também ameiosheterogêneos.
Se este feixe de fótons atravessa ummeio de coe ciente de atenuação linear constante
, então podemos simpli car a expressão anterior para ser usada nos cálculos para meios
homogêneos, equação 2.2. p = 0 ( ! r 0 ) j ! r 0 j 2 j ! rj 2 e ! r ! r 0 0 (2.2)
Para efeito de modelamento teórico da dose, não estamos considerando a divergência
geométricadofeixe,poisemteleterapia estadivergênciaétipicamentedesprezíveldoponto
p
ponto como função da uência dafonte
0 .
2.4 O cálculo da dose para meios homogêneos
2.4.1 A dose primária
A uência primária apresentada na equação 2.2 transfere um kerma de colisão 1 , chamado de kerma primário K p ,descritopor [1]: K p ( ! r 0 )= p ( ! r) en (E 0 ) E 0 C (2.3) onde en
éo coe ciente de absorção de energia atômicoe a densidade domaterial.
en é
derivado do coe ciente linearcomo vistona equação 2.4, dado emcm 2 =g [1, 2]. A uência está emfotons=cm 2 eo kerma K p
estáem gray (Gy). O fatorC éusado para converter o
kerma paragray,sendo C=1;60210 10 h Gy MeV=g i .
Temos aindaque
en (E 0 )=(E 0 ) E tr E 0 (2.4) onde E tr
éa energia média transferida paraomeio em formade ionização.
Os elétrons resultantes da primeira colisão são chamados primários, assim a dose
as-sociada ao kerma da equação 2.3 será chamada de dose primária. Como apresentamos
1
A partirdeste ponto vamosnos referir aokerma decolisão apenas comokerma, exceto quando haja
ionizando o meio. Durante o seu trajeto, o elétron sofre inúmeras colisões onde ocorrem
trocasde energia emudanças de direção aleatórias. Este fatodi culta omodelamento
teó-rico da conversão do kerma em dose, mas sabemos que todo este kerma será convertido
em doseabsorvida em algum ponto, e para tanto vamos supor umafunção f( !
r) quefaça
estadistribuição. Dofatodequetodososelétrons quereceberam umkerma primário serão
termalizados emalgum ponto do meio,escrevemos que :
Z Z Z V f ! r 0 dV 0 =1 (2.5)
Assim aexpressãoparaa doseprimária será dada por[3]:
D p ( ! r)= Z Z Z V p ! r 0 en ( E 0 )E 0 cf ! r ! r 0 dV 0 (2.6) Interpretamosafunçãof ! r ! r 0
comoafraçãodokerma lançadoem !
r 0
queé
trans-portado e transforma-seem doseno ponto !
r. Vamos simpli car a equação anterior, para
D p ( ! r)= Z Z Z V p ! r 0 k p ! r ! r 0 dV 0 (2.7)
A equação 2.7 representa a dose primária distribuída em todo o meio semi-in nito de
água,onde
p (
!
r)éa uênciaprimária calculadaem ! r ek p ! r ! r 0 éo núcleode
depo-siçãode energia primária. Se estasduasfunçõesenvolvidas nestaintegral foreminvariantes
por deslocamento,a equação 2.7será umaintegral de convolução.
A função f( !
r) pode ser conseguida por meio da simulação de Monte Carlo em um
meio homogêneo[3 ]. Destaforma f( !
r)será,assim como
p
,invariantepordeslocamento,
tornando aequação 2.7umaconvolução.
EmboraumdospontostratadosnestatesesejaasimulaçãoporMonteCarlodosnúcleos
de deposição de energia, por hora desejamos obter uma visão mais física do problema da
conversão do kerma em dose. Por isso vamos buscar uma outra aproximação para a dose
primária.
Para conseguirmos umnúcleo de deposição de energia analítico, aindaqueaproximado,
vamos introduzir mais uma grandeza radiológica: o stopping power. Esta quantidade nos
mostra a taxa em que as partículas carregadas perdem sua energia cinética dE para a
ionização do meio ao longo de suatrajetória dx, e pode ser escrita assim: dE
dx
. Dividindo
esta expressão pela densidade obtemos dE
dx
aproximadamenteindependentedadensidadedomeio . Ostoppingpower dependedaseção
de choquetotal do meio material e da energia cinética da partícula carregada em questão.
Nasreferências[1, 2]encontramos expressõesanalíticaspara o stopping power.
Considere, então, umelemento de volume dV 0
com
e
elétrons por unidade de volume,
onde aspartículas carregadassãolançadas pelas interaçõesComptonde umfeixedefótons
monoenergéticos. Desejamos saber a dose absorvida por um determinado elemento de
vo-lume dV. Esteelemento de volumecentrado em !
r está compreendidoefetivamenteemum
ângulosólidoinversamenteproporcionala ! r ! r 0 2
. Considere tambémaseçãodechoque
Compton que forneça o ângulo médio de saída do elétron, dada na equação 2.9. Podemos
descreveronúcleode deposição de energia primária,aproximadamente, por [4 ]:
k p ! r ! r 0 = e d 0 d 0 ! r ! r 0 dE dx ! r ! r 0 1 ! r ! r 0 2 (2.8) sendo d 0 =d 0
a seção de choque Compton para os elétrons e dE
dx
o stopping power para
oselétrons na água. Ovetor !
r !
r 0
é a direção média de saída doselétrons da interação
Compton. Note quea seção de choque Compton e o stopping power apenas necessitam do
ângulo 0
de saídadoelétron. Aseguirtemosa expressãoparaa seçãode choqueCompton
como função doângulo médio desaída doselétrons [9]:
d 0 d 0 0 = d d ( ) 1 1+ (1+cos)sin sin 3 0 (2.9) 0 = cot 1 (1+ )tan 2 (2.10) = E 0 m 0 c 2 (2.11) onde 0
é oângulodoelétronquefoilançadopelainteração Compton,e queserelaciona ao
ângulo de saída do fóton pela equação 2.10, m
0
é a massa de repousodo elétrone c é a
velocidadeda luzno vácuo.
O que apresentamos aqui é uma aproximação analítica para o núcleo de deposição de
energia primária considerando quetodasasprimeiras colisõessãodo tipo Comptone
assu-mindoque,namédia,aconversãodokermaemionizaçãoocorredeacordocomoaexpressão
para o stopping power. É esperadauma boa concordância em determinadasenergias como
a do 60
Co,porém estemodelo começa afalhar emenergiasmais altas.
2
Quando estamosem ummeio cujo número atômicoefetivo é aproximadamente igual ao da
água (Z
H
2 O
=7;51), o alcance prático de umelétron gerado por umfóton de 1MeV é de
0,329cm[1]. Naintroduçãodissemosquearesoluçãoespacialemqueestamostrabalhando é
de0,5cm, portanto maiorqueoalcance damaioria doselétronsenergéticos. Mesmoassim,
zemos o modelamento do transporte dos elétrons primários porque temos a intenção de
queeste modelotenha boa concordânciaem energiasmaiores.
Porém é um pouco mais difícil fazer esta mesma estimativa para o caso dosfótons
se-cundários,poistemosumespectro deenergia defótonsapósaprimeira interação. Sabemos
tambémqueestesfótonssecundários,possuemumaenergia menorqueosprimários, e,
por-tanto, os elétrons gerados por estes fótons secundários também terão um alcance prático
menor que osprimários. Este fatosugere que podemos desconsiderar otransporte dos
elé-tronssecundários eapenasconsiderarqueeles depositamtoda suaenergia namesmacélula
em que interagiram. O modelamento teórico do núcleo de deposição de energia
secundá-ria ca entãoresumido ao transporte dosfótons atravésdo meio absorvedor [3 ],o quenos
remetenovamentea umaconvolução.
No esquema apresentado na gura 2.3 temosumespalhamento da uência primária
p
por umprocesso Comptoneobservamosageraçãoda uência secundária
s
. Sejaummeio
absorvedorcujaseçãodechoqueComptonparafótonssejad=d. Nestemeioconsidereum
elemento de volume dV 0
onde haja
e
elétronspor unidade de volume. Entãoo número de
fótonsespalhadosemumângulosólidodé
p
e
ddV 0
. Onúmerodefótonsespalhados
dN 0
s
provenientes de dV 0
como função doângulo sólidod ca
dN 0 s = p e dV 0 d d d (2.12)
Como estamos emummeio absorvedoredesejamos sabera uência
s
que alcançaum
determinado elemento de volume dV em !
r, devemos então fazer a atenuação exponencial
da expressãoanterior. Assim
dN 0 s = p e dV 0 d d dA ! r ! r 0 2 e ! r ! r 0 (2.13)
onde trocamoso ddo numerador por dA ! r ! r 0 2
,e éo coe cientede atenuação lineardo
Podemosentão escreveruma uência
s
dependente do elemento de volume dV como:
dN 0 s dA = p e dV 0 d d e ! r ! r 0 ! r ! r 0 2 (2.14) 0 s = dN 0 s dA (2.15) Portanto 0 s
é uma uência secundáriadiferencial evamos escrevê-la assim: d
s =
0
s .
Estamos interessadosemsabera uênciatotal noelemento devolumedV apontado por
!
r,eportantodevemosintegrara uênciasecundáriadiferencialemtodooespaço,conforme
a equação 2.17. s = Z Z Z V d 0 s (2.16) s ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e dV 0 ! r ! r 0 2 d d ! r ! r 0 e ! r ! r 0 (2.17)
Simpli cando aequação anterior, identi camos claramente onúcleok 0 s da convolução: s ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 k 0 s ! r ! r 0 dV 0 (2.18) k 0 s ! r ! r 0 = e dV 0 ! r ! r 0 2 d d e ! r ! r 0 (2.19) O kermasecundário K s ( !
r) éescrito comofunção da uência secundáriadesta forma:
K s ( ! r)= s ( ! r) 0 en E s C (2.20) onde 0 en
tem omesmo signi cadoque
en
porém osinal0indica quedeveser calculadona
energia E
s
,sendoesta aenergia médiadosfótonsquesãoespalhadosno processoCompton
[3].
Então, escrevendo o kerma secundárioemtermos da uência primária, chegamos a:
K s ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 k s ! r ! r 0 dV 0 (2.21) k s ! r ! r 0 = k 0 s ! r ! r 0 0 en E s C (2.22)
depositandotodaa suaenergia dentroda célula ondesãogerados, adosesecundáriaem r
seráigual ao kerma calculadoneste mesmoponto, eassim
D s ( ! r)= Z Z Z V p ! r 0 k s ! r ! r 0 dV 0 (2.23)
2.4.3 A dose de múltiplo espalhamento
Consideramos novamentequeosfótonssecundários irãointeragir por efeito Comptoneque
estasegundainteração produziráosfótonsdeterceiraordem. Comojácitamos,nãoémuito
interessante seguir cada uma das interações dos fótons, pois assim seríamos obrigados a
truncarasériequecompõeadosetotal,incorrendoemumcertoerroesempresubestimando
adosetotal. Vamosconsiderarqueosfótonsdeterceiraordemjánãotêmmaisumadireção
preferencial, eassim poderemostransportá-los deacordo coma teoria da difusão.
Quando inserimos uma molécula de gás com uma velocidade e direção conhecidas em
um volume fechado contendo um certo gás, apósalgumas colisõesnão teremos mais como
recuperar as condições iniciais desta partícula, isto é, não conseguiremos maissaberquais
eram sua velocidade e direção iniciais. A equação que descreve este problema é a equação
de Helmholtz [8]. Este problema é análogo ao transporte dos fótons de terceira ordem e
superiores. Como o nosso problema não envolve o tempo, usaremos a equação estática de
Helmholtz: Dr 2 e m ( ! r) 00 en e m ( ! r)+s m ( ! r)=0 (2.24)
onde D é ocoe cientede difusão, 00
en
éo coe cientede absorção em massaparaa energia
média dos fótons para o múltiplo espalhamento 3 E avg , s m ( !
r ) é a função que descreve a
fonte defótons aserem transportados e e
m (
!
r) é a uência do múltiplo espalhamento que
desejamossaber[3 ].
Vamosreescrevera equaçãoda difusãopara conseguirmosalgumasquantidadesde
inte-ressefísico, eassim temos
r 2 e m ( ! r) 1 L 2 e m ( ! r )= 1 D s m ( ! r) (2.25)
onde Lé conhecido comoo comprimento de difusãoe é dado por L= q D 00 en .
Ocoe cientededifusão Dpode serescrito emtermosdo coe cientede absorção linear,
3
Eavg é obtida atravésda conservação daenergia do fóton deentrada E0 e dos fótons espalhados na
primeirainteraçãoE
D= 00 s 3 002 (2.26) sendo 00 s
o coe ciente de espalhamento dadopor: 00 s = 00 00 en ,emque 00 éo coe ciente
de atenuaçãolinear, e todos sãoparaaenergia E
avg .
Para resolvermos a equação de Helmholtz e encontrarmos a uência de múltiplo
espa-lhamento e m ( !
r),precisaremosprimeiro conhecerafunção s
m (
!
r)quedescreve o
compor-tamento da fonte parao múltiploespalhamento.
Osfótonsqueirãocomporafunçãos
m (
!
r)serãoaquelesqueforemdesviadosdadireção
da uência secundária
s (
!
r) , isto é, serão os fótons que sofrerem uma terceira interação
ao longode suatrajetória ! r ! r 0 ,veja gura 2.5.
Onúmero de fótonsdesviadosda direção !
r !
r 0
pode serescrito naforma:
4N ` = 0 N ` 4` (2.27) sendo 4`= ! r ! r 0
a distância percorrida pelo fóton, N
`
o número de fótons originados
em !
r 0
queseguem nadireção apontadapor ! r ! r 0 e 0
é ocoe ciente deatenuaçãolinear
na energia E
s
. Em seguida já escrevemos a suaformadiferencial,
dN ` = 0 N ` d` (2.28)
Sabendo que na direção !
r !
r 0
temosa uência secundária
s
e que ela é dada pela
razão entre o número de fótons N
`
que seguem nesta trajetória pela área A
`
, neste caso a
áreaéabasedoconeformadopeloângulosólidodiferencialdemtornodadireção ! r ! r 0 .
Entãoescrevemosaequação2.28emfunçãoda uênciasecundária,conformeaequação2.29:
dN ` = 0 s A ` d` (2.29) N ` = s A ` (2.30)
Agora amultiplicação daáreaA
`
peladiferencialdecomprimento doconed`será
subs-tituída pelo elemento de volume diferencial dV
`
e a equação 2.29 será escrita da seguinte
maneira: dN ` = 0 s dV ` (2.31) dV ` = A ` d` (2.32)
a equação 2.34: s m ( ! r) = dN ` dV ` ( ! r) (2.33) s m ( ! r) = 0 s ( ! r) (2.34)
Note que afontepara o múltiplo espalhamento tem dimensão de número de fótons por
unidade de volume. Observe também que a equação 2.36 quedescreve a fonte do múltiplo
espalhamento é umaintegralde convolução devido à uência secundária.
s m ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 0 s k s ! r ! r 0 dV 0 (2.35) s m ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e k s ! r ! r 0 dV 0 (2.36) onde f k s ! r ! r 0
ca sendoo núcleo de convolução quecompõe a fonte s
m .
Tendo afonte para omúltiplo espalhamento de fótonsa seremtransportados, usamosa
solução apresentadana referência[7] paraa equação deHelmholtz,
e m ( ! r )= s m ( ! r )e r=L 4Dr (2.37)
Vejaquea uênciademúltiploespalhamento e
m (
!
r)dependedosfótonsdafontes
m ( ! r) localizadaem !
r. Comononossocasoasfontesdefótonsestãodistribuídasemtodoomeio
material,devemosescrever e m ( ! r)=d m ( ! r),onded m ( ! r),equação2.38,éadiferencial
da uência demúltiplo espalhamento desejado. Assim a uência de múltiplo espalhamento
total m ca sendo d m ( ! r ) = s m ! r 0 e ! r ! r 0 =L dV 0 4D ! r ! r 0 (2.38) m ( ! r) = Z Z Z V s m ! r 0 e ! r ! r 0 =L dV 0 4D ! r ! r 0 (2.39)
DevemosressaltarqueaequaçãodiferencialdeHelmholtzqueregeoprocessodedifusão
vemda equação da leide Fick, onde assumimosque oespalhamento de fótonsé isotrópico.
EstanãoéumaboaaproximaçãoparaocasodoespalhamentoCompton. Podemoscontornar
D = 1 3 00 s (1 ) (2.40)
com sendoocossenomédio do espalhamento dadopor:
= 1 00 s Z 4 d 00 s d ()cosd (2.41) onde d 00 s
=d éa seção dechoquediferencialCompton naenergia E
avg .
De maneira análoga ao kerma secundário, teremos o kerma de múltiplo espalhamento,
dado pelaequação 2.44:
K m ( ! r) = m ! r 0 en (E avg ) E avg C (2.42) K m ( ! r) = Z Z Z V s m ! r 0 e ! r ! r 0 =L(Eavg) 4D(E avg ) ! r ! r 0 en (E avg ) E avg C (2.43) K m ( ! r) = Z Z Z V s m ! r 0 k m ! r ! r 0 dV 0 (2.44)
Também comono casoda dosesecundária, podemosconsiderar que oselétronsgerados
pelas interações destesfótons difundidosserão absorvidos localmente, na mesma célula em
que foram lançados. Portanto a dose de múltiplo espalhamento será igual ao respectivo
kerma,D m ( ! r)=K m ( ! r) .
No entanto aequação paraa dosedemúltiplo espalhamento destoa dasdemaispornão
dependerdiretamenteda uênciaprimária. Desejamosescreveresta últimaparcela dadose
totaltambémcomofunçãoda uênciaprimáriapoisistofacilitaoscálculoscomputacionais.
Vemos na equação 2.36 que a fonte s
m (
!
r) depende da uência primária, e substituindo-a
na expressãopara adosede múltiplo espalhamento temos:
D m ( ! r)= Z Z Z V Z Z Z V p ! r 00 e k s ! r 0 ! r 00 dV 00 k m ! r ! r 0 dV 0 (2.45)
Propomos a seguintesubstituição de variáveis:
( ! r 0 ! r 00 = ! r 000 ! r ! r 0 = ! r ! r 00 ! r 000 (2.46)
dV 00 ! dV 000 dV 0 ! dV 00 (2.47)
Assim a dosede múltiploespalhamento ca:
D m ( ! r) = Z Z Z V ! r 00 Z Z Z V f k s ! r 000 k m ! r ! r 00 ! r 000 dV 000 dV 00 (2.48) k s;m ! r ! r 00 = Z Z Z V e k s ! r 000 k m ! r ! r 00 ! r 000 dV 000 (2.49)
Identi camos o núcleo de deposição de energia k
s;m ! r ! r 00
como composto por dois
outros núcleos de deposição de energia, conforme equação 2.49. A expressão nal para a
dosede múltiplo espalhamento ca sendo
D m ( ! r)= Z Z Z V p ! r 0 k s;m ! r ! r 0 dV 0 (2.50) 2.4.4 A dose total
A dosetotal é compostapelasoma dasdoses primária (eq. 2.7), secundária(eq. 2.23) e de
múltiplo espalhamento (eq. 2.50):
D( ! r)=D p ( ! r)+D s ( ! r)+D m ( ! r) (2.51)
Notamosquetodasasdosesparciaissãointegraisdeconvoluçãoda uênciaprimáriacom
um núcleo de deposição de energia diferente para cada uma delas. Este fato nos permite
determinar um núcleo de deposição de energia total k
t
que será formado pela soma dos
núcleos primário,secundário ede múltiplo espalhamento:
k t ( ! r)=k p ( ! r)+k s ( ! r)+k s;m ( ! r) (2.52) Interpretamos k t
como a função que realiza o transporte e deposição da energia que
compõeadose. Estafunção tambéméchamadadefunçãodeespalhamento deponto(Point
Spread Function - PSF).
D( ! r)= Z Z Z V p ! r 0 k t ! r ! r 0 dV 0 (2.53)
2.5 O cálculo da dose para meios heterogêneos
Quandotrabalhamosemradioterapia,eemespecialnateleterapia,tratamosconstantemente
de meios heterogêneos. Podemos aproximar alguns tecidos do corpo humano do ponto de
vistaradiológico comosendo apenaságua,pois oimportanteem radioterapia é justamente
a formacomo a radiação penetra,interage e é absorvida por este meio. A seção de choque
desses tecidos, através do número atômico efetivo Z, e sua densidade, são os fatores que
in uenciam nestes processos. Por isso consideramos tecidos como o muscular e o adiposo
aproximadamente iguais àágua.
materiais/tecidos Z kg=m 3 Ar(CNTP) 7;78 1;205 Água 7;51 1000 Muscular 7;64 1040 Adiposo 6;46 916 Poliestireno (C 8 H 8 ) 5;74 1044 Lucite (C 5 H 8 O 2 ) 6;56 1180 Baquelite(C 43 H 38 O 7 ) 6;27 1400 Ósseo 12;31 1650 Alumínio 13 2699
Tabela2.1: Adensidade e o número atômicoefetivode alguns materiaise tecidos[1 ].
Natabela2.1apresentamosasdensidadeseZdealgunstecidosemateriaisdeusocomum
naradioterapia[1 ]. Emboraasdensidadesdoar,água,dostecidosmusculareadipososejam
diferentesentre si,osnúmerosatômicos médiossãoaproximadamente iguais. Notetambém
que o número atômico efetivo do alumínio e do osso são bem próximos, mas bem maiores
queodaágua. Naprática,oalumínioéusadoparafazeropapeldotecidoósseoemmedidas
dosimétricase atéemalguns cálculos dedose.
Nesta seção vamos apresentar um modelo teórico para o cálculo da dose em meios
he-terogêneosatravésdeconvoluções, aplicandoumacorreçãodedensidade entreoselementos
de volume. Estemodelo é totalmentebaseado na teoria desenvolvida na seção anterior. A
dosetotalseráformadapelasomadasdosesprimária,secundáriaedemúltiplo
Bconstatamosqueeste modeloteóricodeveapresentarbonsresultados nafaixa de energia
de 10MeVa 50keV.
2.5.1 A dose primária
O modelo para o cálculo da dose por convolução em meiosheterogêneos faz usoda
distri-buição dedensidades obtidas,por exemplo,através detomogra a computadorizada.
O teorema de Fano nos mostra que os tipos de processos envolvidos na interação da
radiaçãocomamatériasãoindependentesdadensidadedomeio,dependendoexclusivamente
da sua composição [2]. Tendo emvista este teorema, uma expressão para a doseprimária
[4, 10,11 ] ca: D p ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 k p ! r ! r 0 dV 0 (2.54) e ! r 0 = ! r 0 H2O (2.55) sendo e ! r 0
a densidade relativa entrea densidade do meio ! r 0 e a densidade da água H 2 O
. A uência primária,de nida naequação 2.1, contabiliza aatenuaçãoexponencialde
cada elemento de volume com suarespectiva densidade. Onúcleo de deposição de energia
está de nido na equação 2.8 e é o mesmo usado parao cálculo da doseprimária emmeios
homogêneos. Veri camos que esta expressão para a dose primária reduz-se à equação 2.7
para meioshomogêneos quandoa densidade relativaé unitária.
Esta correção de densidade tem o efeito de atenuar ( e
< 1) ou intensi car (e
> 1) a
dose depositada naquele elemento de volume, atuando como um fator de correção para a
dose primária. Esta correção depende da mesma variável que a uência primária, e assim
consideraremos a uência primária e a densidade relativa como uma função e o núcleo de
deposiçãodeenergiacomoaoutrafunçãodaconvolução. Noentanto,porquestãodeclareza,
asexpressõesparaadosedequalquerespécieserãoescritasnomesmoformatoqueaequação
2.54.
2.5.2 A dose secundária
Analogamente, para o desenvolvimento do modelo para a dose secundária em meios
hete-rogêneos vamosnosbasearno desenvolvimento dadosesecundária parameioshomogêneos,
s ( ! r) = V p ! r 0 e ! r 0 e 1 ! r ! r 0 2 d d ! r ! r 0 exp " Z ! r ! r 0 `=0 0 ! ` d ! ` # dV 0 (2.56)
Nesta uência incluímos uma correção de e ! r 0
, e a atenuação exponencial, que na
equação 2.17 dependia apenas dadistância percorrida pelos fótonsmultiplicada pelo
coe -ciente de atenuação linear 0
,agora depende de uma integral sobre os coe cientes 0 ! ` , onde !
` representa ovetordistância percorridopelofóton. O 0
!
`
usadoéaqueleparaa
energia E
s
,queé aenergia média dosfótonsproduzidos no espalhamento Compton[4 ].
O caminho parachegarmos aesta uência é o mesmoque o apresentado na seção2.4.2
apenas inserindo a função da densidade relativa e considerando que a queda exponencial
depende deumaintegral sobreoscoe ciente lineares 0 ! ` .
Facilmente veri camosqueaequação 2.56sereduzàequação2.17quandoestamosnum
meio de densidade relativa unitária e de coe ciente de absorção linear constante emtodos
ospontosdo meio absorvedor.
A integralde convolução exigeque asduasfunçõessejam invariantes por deslocamento
espacial. Esta uência secundária, tal como está na expressão 2.56, não pode ser escrita
como umaconvolução,poisa atenuação exponencialdepende da posição. Como desejamos
expressaresta funçãocomo umaconvolução, faremos algumasaproximações.
Considere adiferença4 0 ! ` entreocoe ciente 0 (`)e ocoe cientedeatenuação 0 ,
onde a ausência da indicação de posição deverá ser subentendida como sendo o coe ciente
na água. 4 0 ! ` = 0 ! ` 0 (2.57)
Usando aequação 2.57, podemosescrever a expressãoparaa atenuação exponencial da
seguinte maneira: exp " Z ! r ! r 0 `=0 0 ! ` d ! ` # = exp 0 ! r ! r 0 exp " Z ! r ! r 0 `=0 4 0 ! ` d ! ` # (2.58)
Vamos de nir ! r ! r 0 como: ! r ! r 0 =exp " Z ! r ! r 0 `=0 4 0 ! ` d ! ` # (2.59)
Nós agorapodemos expandir em sérieTaylorcomofunção de 4r= ! r ! r 0 , (4r)= (0)+ @ @( 4r) j 4rj+ 1 2 @ 2 @( 4r) 2 j4rj 2 + (2.60)
Note que estamos usando a distância que o fóton viaja como variável da função e
quando fazemos 4r ! 0, estamos dizendo que !
r ! !
r 0
, de modo que o coe ciente de
atenuaçãoacaba por sercalculado em ! r 0 . Assim teremos ( 0) = 1 (2.61) @ (4r) @( 4r) 4r=0 = 4 0 ! r 0 (2.62)
O resultado mostradoem 2.61é conhecido comoaproximação de ordem zero e em2.62
comoaproximaçãodeprimeira ordem. Portanto,aexpressãode aproximadaatéprimeira
ordem ca sendo
! r ! r 0 = 1 4 0 ! r 0 ! r ! r 0 (2.63)
Substituindo a relaçãodada em2.57obtemos
! r ! r 0 = 1 0 ! r 0 0 ! r ! r 0 (2.64)
Estamos considerando que o meio absorvedor tenha semprea mesma seção de choque,
mudandoapenasadensidade. Destaformausamosoescalonamentodolivrecaminho médio
dofóton,baseadonoteoremadeFano,paraconseguirmosescreveraseguinteexpressãopara
o coe cientede atenuaçãolinear
0 ! r 0 = 0 e ! r 0 (2.65)
Entãoa equação 2.64passa aser
! r ! r 0 = 1 0 e ! r 0 1 ! r ! r 0 (2.66)
s ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e ( ! r) e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 2 dV 0 + Z Z Z V p ! r 0 e ( ! r) 1 e ! r 0 ( ! r) e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 0 ! r ! r 0 dV 0 (2.67)
Esta uência secundária pode sermelhor compreendida seconsiderarmos cada integral
quea compõecomo umafunção independente, assim
0 s ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e ( ! r)k 0 s ! r ! r 0 dV 0 (2.68) k 0 s ! r ! r 0 = e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 2 (2.69) 1 s ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e ( ! r) 1 e ! r 0 k 1 s ! r ! r 0 dV 0 (2.70) k 1 s ! r ! r 0 = e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 0 ! r ! r 0 (2.71)
Conseqüentemente, a uência secundária total ca
s ( ! r) = 0 s ( ! r )+ 1 s ( ! r) (2.72)
onde o termo de ordem zero 0
s
considera parcialmente as heterogeneidades do meio por
conta dapresença da uência
p
e dadensidade relativa eemsuaexpressão, enquanto que
o termo de primeira ordem 1
s
compensaparcialmente o erro do termo de ordem zero nas
heterogeneidades domeio absorvedor.
Paraentendermelhorocomportamento destesdoistermosda uênciasecundária
imagi-nemosa equação2.67sendoavaliadaatravésdeumainterface entredoismeios. Oprimeiro
temdensidadeigualàdaáguaeosegundopossuiumadensidaderelativamenor. Nestecaso
1
s
serápositivo,porque 1 e ! r 0
>0,acrescendoseuvaloraode 0
s
paracompor
s ,que
sempreserápositivo. Emumaoutrasituação,fótonspassandodaáguaparaummeiode
den-sidaderelativa maior,acorreção dada por 1
s
seránegativa,pois1 e !
r 0
o valor da uência secundária superestimadapor 0
s
dentro domeio onde e ! r 0 >1.
Umraciocínioanálogopodeserfeitoemdiversospontosdomeio,porémquando
estiver-mos calculando a uência secundária emelementos de volume cuja densidade é a da água,
1
s
será sempre nulo, e a uência secundária para o meio heterogêneo reduz-se à
respec-tiva uência para o meio homogêneo. Portanto a correção 1
s
somente será não nula nos
elementos devolume ondee !
r 0
6=1.
Observamosqueasequações2.68e2.70quecompõema uênciasecundáriasãotambém
escritasemforma de convolução.
Adosesecundáriaéescritadamesmaformaqueaapresentadanaseção2.4.2parameios
homogêneos. Oprincípio de que a dosesecundária é igual ao kerma secundário permanece
válido sobomesmoargumento: oselétronsnão têm energia su cientepara deixarem o
ele-mentodevolumeondeforamlançados. Daequação2.20paraokermasecundárioescrevemos
a expressãoapropriadaparaa dosesecundáriaemmeios heterogêneos:
D s ( ! r)=D 0 s ( ! r)+D 1 s ( ! r ) (2.73)
sendoa dosesecundária deordem zerodada por:
D 0 s ( ! r) = Z Z Z V ! r 0 e ! r 0 k 0 s ! r ! r 0 dV 0 (2.74) k 0 s ! r ! r 0 = e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 2 E s ! r ! r 0 0 en ! r ! r 0 (2.75)
e aparcela de correçãode primeira ordem dadose secundáriadada por:
D 1 s ( ! r) = Z Z Z V ! r 0 e ! r 0 1 e ! r 0 k 1 s ! r ! r 0 dV 0 (2.76) k 1 s ! r ! r 0 = e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 E s ! r ! r 0 0 en ! r ! r 0 0 ! r ! r 0 (2.77)
A interpretação para os termos de ordem zero e primeira ordem que compõem a dose
secundária é dada pela uência secundária. Mas noteque, por se tratar de umaexpansão
emsérie, otermo deprimeira ordem é menos signi cativo queo de ordemzero.
do meio.
2.5.3 A dose de múltiplo espalhamento
Um modelo para o cálculo da dose por convolução em meios heterogêneos, em princípio,
deveseromaisabrangentepossível,contemplandoasmaisvariadasformasedimensõesdas
estruturas docorpohumano. Portanto, nãoéinteressantecriarmodelos paraa distribuição
da dose onde as heterogeneidades sejam tratadas através de geometrias simples tais como
esferas, cilindros, ou qualquer outra que facilite o modelamento teórico. Necessitamos de
ummodeloabrangente queapresente umaprecisão boa e previamenteconhecida.
Resolveraequaçãodadifusãoapresentadanaseção2.4.3considerandoas
heterogeneida-desdomeiosigni caimporcondiçõesdecontornoàequaçãodiferencialdeHelmholtz. Como
éextremamentedifícilpreverageometria dessasestruturas, vamos aproximarasolução
de-sejada para a de meios homogêneos [4], equação 2.37. Este fato nos remete diretamente
à uência de múltiplo espalhamento parameios homogêneos, equação 2.39, queentão será
adotadaparaosmeios heterogêneos.
Notamos que esta uência
m
depende diretamente da fonte s
m
parao múltiplo
espa-lhamento, e esta fonte depende da uência secundária
s
, onde, nesta seção, usaremos a
respectiva uência parameiosheterogêneos,conforme aequação 2.56.
Porém,analisandocuidadosamenteadeduçãodaexpressãoparaafontes
m
,percebemos
que podemos fazer algumas correções de densidade. O coe ciente de atenuação linear 0
usado na equação 2.27 e admitido constante agora depende do trajeto percorrido pelos
fótons secundários, e pode variar de acordo com a densidade. Partindo deste princípio e
refazendooscálculosdaseção2.4.3chegaremosàseguinteexpressãoparaafontedemúltiplo
espalhamento parameiosheterogêneos:
s m ( ! r ) = e ( ! r) Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 e k ! r ! r 0 dV 0 (2.78) e k ! r ! r 0 = e d d ! r ! r 0 exp " R ! r ! r 0 `=0 0 ! ` d ! ` # ! r ! r 0 2 0 s ! r ! r 0 (2.79)
A fonte para o múltiplo espalhamento, equação 2.78, é escrita como uma integral
se-melhante à da fonte parameios homogêneos, equação 2.36. Notamos a duplautilização da
densidade relativa .e A que está dentro da integral modi ca a fonte de fótons espalhados
espalhamen-toCompton
s
. Adensidaderelativaqueestáforadaintegralmodi caafonte,portanto,se
a densidade relativa em !
r émenor quea unidade,a probabilidade de haverumainteração
destes fótons da fonte também será reduzida. No núcleo de convolução mostrado na
equa-ção 2.79 usamos o coe ciente de espalhamento Compton [4], e não o de atenuação linear,
como usado na seção 2.4.3, por ser mais preciso, contabilizando apenas os fótons que são
espalhados nadireção ! r ! r 0 .
Contudoaequação2.78nãoéumaintegraldeconvoluçãopoisoseunúcleo,equação2.79,
não é invariante por deslocamento. Contornamos este problema ao expandira exponencial
em série de Taylor e aproximamos o resultado a apenas os dois primeiros termos, como
feito na seção 2.5.2 paraa uência secundária. Assim, a fontes
m
será compostapor duas
parcelas: s m ( ! r) =s 0 m ( ! r)+s 1 m ( ! r) (2.80) onde s 0 m
será dadopor
s 0 m ( ! r) = e( ! r) Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 e k 0 s ! r ! r 0 dV 0 (2.81) e k 0 s ! r ! r 0 = e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 2 0 s ! r ! r 0 (2.82) e s 1 m por s 1 m ( ! r) = e( ! r) Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 1 e ! r 0 0 e k 1 s ! r ! r 0 dV 0 (2.83) e k 1 s ! r ! r 0 = e d d ! r ! r 0 e 0 ! r ! r 0 ! r ! r 0 0 ! r ! r 0 0 s ! r ! r 0 (2.84)
Devido àscorreçõesde densidade, afonteparao múltiplo espalhamento não pode mais
serescrita emfunção da uência secundária, comoocorreuno casohomogêneo.
O kerma associado ao múltiplo espalhamento é dado pela equação 2.44 e a respectiva
doseserá aproximadamente igual ao kerma pelomesmo motivo apresentadona seção2.4.3.
Afunçãodafontes
m
éaproximadapelasomadosdoisprimeirostermosdeumaexpansão
D m ( ! r)=D 0 m ( ! r)+D 1 m ( ! r) (2.85)
onde otermo de ordem zeroé dadopor
D 0 m ( ! r)= Z Z Z V s 0 m ! r 0 k 0 m ! r ! r 0 dV 0 (2.86)
eo de primeira ordem por
D 1 m ( ! r)= Z Z Z V s 1 m ! r 0 k 1 m ! r ! r 0 dV 0 (2.87) O núcleo de convolução k 0 m ! r ! r 0
é o mesmo dado pela multiplicação sugerida na
expressão 2.44. Os coe cientes 0 , 0 en e 0 s
são calculados na mesma energia E
s
que para
osmeioshomogêneos.
Os doistermos quecompõema doseD
m
não podemserescritos naforma:
Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 k ! r ! r 0 dV 0 (2.88) Adependênciadafonte s m
,equação2.78,comoprimeiro eimpedetalfato. Em
conseqüên-cia, não poderemos escrever a dose total como uma única convolução (veja a seção 2.5.4).
Esteresultado é oobtido por Boyerem [4].
Parausonestatesedesejamosqueadosetotal sejaumaconvoluçãoda uênciaprimária
edadensidaderelativacomumnúcleodedeposiçãodeenergia,eassimsugerimosaseguinte
aproximação paraa funçãoda fontes
m : s 0 m ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 e k 0 s ! r ! r 0 dV 0 (2.89) s 1 m ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 1 e ! r 0 e k 1 s ! r ! r 0 dV 0 (2.90)
onde desconsideramosa correçãodadensidade relativa agindosobre afonte s
m .
Assim a dosede múltiploespalhamento podeser escritada mesmaforma queasoutras
componentes dadose: D 0 m ( ! r) = Z Z Z V p ! r 0 e ! r 0 k 0 s;m ! r ! r 0 dV 0 (2.91)
D 1 m ( ! r) = V p ! r 0 e ! r 0 1 e ! r 0 k 1 s;m ! r ! r 0 dV 0 (2.92) sendok 0 s;m ek 1 s;m
calculados damesmamaneira sugeridapelaequação 2.49.
Esta é uma aproximação válida porque sabemos que a dose de múltiplo espalhamento
é uma fraçãopequena da dose total,e que correções deste tipo podem serdesprezadas [3 ].
Notamostambém queadosede múltiploespalhamento para meiosheterogêneos sereduzà
respectivaexpressãoparameioshomogêneos quandoa densidade relativafor unitária.
2.5.4 A dose total
AdosetotalseráformadapelasomadasdosesparciaisD
p ,D s eD m . Devidoàscorreçõesda
doseemprimeiraordemnãopoderemoscalcularadosetotalrealizandoapenasumaintegral
de convolução como foi feito na equação 2.53. Neste caso vamos necessitar do cálculo de
duasintegrais de convolução paraconseguirmos adose total D( ! r) : D( ! r)=D 0 ( ! r)+D 1 ( ! r) (2.93) sendoD 0
umaconvolução onde temoscomo núcleo a somada doseprimária com a
aproxi-mação emprimeira ordem dadose secundáriae de múltiplo espalhamento:
D 0 ( ! r) = Z V p ! r 0 e ! r 0 k 0 ! r ! r 0 dV 0 (2.94) k 0 ! r ! r 0 = k p ! r ! r 0 +k 0 s ! r ! r 0 +k 0 s;m ! r ! r 0 (2.95) D 1
serácompostapelasomadaaproximação deprimeiraordemdadosesecundáriacom
a respectiva aproximação dadosede múltiplo espalhamento:
D 1 ( ! r) = Z V p ! r 0 e ! r 0 1 e ! r 0 k 1 ! r ! r 0 dV 0 (2.96) k 1 ! r ! r 0 = k 1 s ! r ! r 0 +k 1 s;m ! r ! r 0 (2.97)
Concluímos,portanto,chegandoaummodeloteóricoparaocálculodadosederadiação
emquefazemosascorreçõesdedensidadedeestruturasheterogêneas. Estemodeloapresenta
umaboaconcordância comdadosexperimentais [4] emqueasestruturas heterogêneas têm
aproximadamenteomesmonúmeroatômicoefetivoqueodaágua,diferindoapenasemsua
densidade. Porém não é esperado que ele apresente um bom resultado quando aplicado a
0 1
ondeaintegralD 0
ouD 1
fossemcalculadas,impedindoqueasexpressõesparaadosefossem
Simulação por Monte Carlo
Comomostramosnocapítuloanterior,adoseabsorvidapelomeioemumdeterminadoponto
depende de elétrons e fótons lançados em outrolocal. O equacionamento do transporte de
fótons após algumas colisões se torna complexo e o de elétrons quase impossível devido
à grande variedade de processos e a enorme quantidade de colisões aleatórias. Por este
motivo não conseguimos determinar a doseatravés de métodos analíticos sem fazer certas
aproximações. Uma outraforma de obtermos estasinformações, e tambéma maisprecisa,
épor meio desimulação de Monte Carlo.
Técnicas de simulações sãoamplamente usadasempesquisasfísicas ondedesejamos ter
acessoacertasgrandezasquenãopodemsermedidasenemanaliticamenteequacionadas. A
simulaçãodasinteraçõeseletromagnéticasconsistenousodasdistribuiçõesdeprobabilidades
de colisãoindividual deelétrons,pósitronse fótons coma matériapara encontrar otrajeto
aserpercorridoporcadapartículaeasenergiasdaspartículasproduzidas. Nestesprocessos
armazenamosasquantidades físicasde interesse emnossosestudos.
Discutiremos neste capítulo o programa adotado de simulação EGS4 (Electron
Gam-ma Shower)[12] e o método que o mesmo usa para simular asinterações eletromagnéticas.
Apresentaremos também o tratamento aplicado àssimulaçõesdos núcleos de deposição de
energia estudadosteoricamente.
3.1 O programa de simulação EGS4
OsistemaEGS é umpacote de rotinasde simulação de interaçõeseletromagnéticas
desen-volvido pelos pesquisadoresdo SLAC(Stanford Linear Accelerator Center) em1978 com o
objetivo deestudar asinterações eletromagnéticas emaceleradores. Asprimeiras
do esteslimites inferiores caírampara1 keV (fótons) e10 keV (elétrons), mostrandoque o
programafoimuitobemrecebidopelospesquisadoresquetrabalhavamabaixasenergias. A
versão EGS4foilançada em1985, consolidando estesdesenvolvimentos.
OutrofatoquenosauxiliounaadoçãodoEGS4foiafacilidadenaobtençãodoprograma
via redemundial de computadores.
As rotinas são escritas em Mortran3, uma linguagem de programação que permite ao
usuário tantochamarasrotinasdoEGS4, comoprocessarosdadosqueestãosendo
simula-dos.
3.2 O processo de simulação
Quando transportamos um fóton através de um meio material in nito, em algum ponto
ocorreráumainteração(colisão)destefótoncomomeio. Opontoondeocorreestainteração
éde naturezaaleatória,porémafunçãoquedetermina estaprobabilidadeé bemconhecida.
Então podemos simular no computador o que acontece na prática, sorteando a partir da
distribuição deprobabilidades o ponto onde ofótoncolide.
Oestado do sistemaapósesta primeira interação também pode ser sorteado, bastando
saberasdistribuição de probabilidades dospossíveisprocessos e dadireção naldas
partí-culasenvolvidas. Este métodopodeseraplicadosucessivamenteatéquetodasaspartículas
lhas sejamfreadas pelomeio material.
Vamosdenotarumavariávelaleatóriapor b
xeaprobabilidadedestavariávelestarcontida
no intervalo (a;b) por Prf a< b
x<bg . Podemos de nir uma função de distribuição (ou
função de distribuiçãocumulativa) como
F ( x)=Pr fb
x<xg (3.1)
SeF( x)fordiferenciável,entãoaprimeiraderivadadestafunçãodedistribuição,f( x)=
dF(x)=dx, é chamada de função densidade deprobabilidade, e vale arelação:
Prf a<xb<bg= Z
b
a
f(x)dx (3.2)
Na prática quase todos os métodos de sorteio baseiam-se na possibilidade de gerar em
computadores seqüências de números aleatórios distribuídos segundo uma f(x), a partir
de uma seqüência de números aleatórios uniformemente distribuídos entre 0 e 1. Se b
for
sortearumvalorda variável x,a partir dovalor de,pelochamado método dainversão: F (x)= (3.3) e resolvendo parax: x=F 1 ( ) (3.4)
ParataléimportanteatentarparaqueaF (x)estejanormalizadanointervalodavariável
b x,( a;b).
Existeumoutroprocedimento queémuitousadoemcasosondeafunçãoasersimulada
ébastantecomplexa,quechamamosdecomposiçãoerejeição. Comoopróprionomesugere,
estemétodoéumacombinaçãodastécnicasdecomposição erejeição,baseadonosconceitos
elementares de probabilidade. Assim, se uma função de densidade de probabilidade h( x)
puderserdecompostada seguinteforma:
h( x)= n X i=1 i f i (x)g i ( x) (3.5) sendo i
um número real positivo que corresponde ao peso atribuído à parcela f
i
( x). A
função h( x), assim como cada f
i
(x) devem estar normalizadas no intervalo de de nição
da variável x. O somatório P n i=1 i f i
(x) é conhecido como função de composição, dada
pela de nição elementar de probabilidade, onde diferentes processos podem acontecer com
diferentespesos(
i ). g
i
(x)é umafunção de rejeiçãoe deve estar contidaem[0;1].
Destamaneira oprocesso de simulaçãoda expressão3.5 ca:
1. Escolhemosa parcela idosnelementos dosomatório de acordocom aexpressão
P i 1 j=1 j P n j=1 j i < 1 P i j=1 j P n j=1 j (3.6) onde 1
é umnúmeroaleatório entre[0;1]. Digamos quesejaencontrado i=4.
2. Sorteamos outro número aleatório
2 e encontramos x de f 4 (x) resolvendo a integral R x a f 4 (x 0 )dx 0 = 2
,comomostramosna gura3.1. Emoutraspalavrasusa-seométodo
dainversão paraa função f
4 (x).
3. Com
3
terminamos por aceitar ou não o valor sorteado de x se
3 g 4 (x) ou rejeitando-o, caso 3 > g 4
f (x’ )
x’
4
4
ζζ
2
2
x
x
a
a
b
b
Figura3.1: A função de composição
desejadas.
As variáveis até então chamadas de aleatórias são na realidade pseudo-aleatórias, pois são
geradas por algoritmosespecí cos. Tais algoritmos necessitam de,pelomenos, umnúmero
parainiciaraseqüênciadenúmeroaleatórios. Estenúmeroéconhecidocomosementeparao
númeropseudo-aleatório. Então,aorepetirmosasementeemumprogramadesimulaçãono
mesmoequipamento, a seqüência denúmerospseudo-aleatórios gerados será rigorosamente
amesma. Este fatoseráexplorado naseção 3.3.
3.2.1 A simulação dos processos físicos
Olivre caminho médio deumapartícula é dado por
= 1 t = M N a t (3.7)
sendoadensidadedomaterial,N
a
onúmerodeAvogadro,M opesomoleculare
t
aseção
dechoquetotalpor molécula.
t
éaseçãodechoquetotalmacroscópica. Sendo afunção de
densidade de probabilidade e r 0 = dr 0
=, o ponto onde iráocorrer a primeira interação será
dado por: Z 0 d 0 = Z r 0 e r 0 = dr 0 (3.8) 1 = e r= (3.9)
onde é um valorda variável aleatória distribuídauniformemente em[0;1],r é a distância
até o ponto de interação. Se b
é uma variável aleatória distribuída uniformemente entre o
intervalo [0,1], 1 b = b
também o é. Assim podemos relacionar o ponto de interação r
diretamente como número aleatório por
r = ln (3.10)
Tipicamente o livre caminho médio depende da posição, de mudanças de material ou,
nocasodepartículascarregadas, daenergia,devidoaperdasdeenergiapara aionizaçãodo
meio [12 ]. Para sortearr através daequação 3.10 considera-seconstante.
Apóssabermosonde a partícula irá interagir, devemos sortearum dosprocessos físicos
trons,partículapor partícula. Osseguintesprocessosdeinteraçãodosfótonscomamatéria
sãoconsiderados no EGS4:
efeito fotoelétrico;
efeito Compton;
produção de pares;
espalhamento Rayleigh.
Para aspartículas carregadasosprocessos são:
espalhamento Möller;
espalhamento Bhabha;
aniquilaçãode par elétron-pósitron;
bremsstrahlung;
múltiplo espalhamento coulombiano;
perdacontínua deenergia.
Este últimoitemé o responsávelpeladeposição dadose de radiação ao longoda trajetória
da partículacarregada.
As equações para as seções de choque e a forma como foram computacionalmente
im-plementadas estãono manualdo EGS4 [12].
O procedimento de transporte das partículas carregadas em um meio material é mais
complicadoqueodefótonsporqueaspartículascomoelétronsepósitronspossuemumlivre
caminho médio tipicamentemuitomenor queo dofóton, tornandoo processode simulação
deelétronse pósitronsextremamentecomplicado. Quandoumelétron, porexemplo,recebe
umaquantidadedeenergiacinéticaele,aosedeslocarpelomeio,sofreumaenorme
quantida-dedecolisõeselásticas, alémdeoutrosprocessos. Para resolveresteproblemaosprogramas
de simulação recorrem aos modelos que tratam o múltiplo espalhamento coulombiano. O
tratamento queoEGS4usaparaesteprocesso éoestudodeMolièrequeposteriormentefoi
simpli cado por Bethe.
Estetratamento tendeaserumdospontosmaiscríticosdestetipodesimulador,porque
sejamtransportadasindividualmente,casocontrárioacolisãonãoserádiscreta. Geralmente
os simuladores de interações eletromagnéticas são divididos em duas classes: os de classe
I, que usam o modelo CSDA (Continuous Slowing Down Approximation) onde partículas
secundárias não são criadas [13], simpli cando este processo; e os de classe II, que fazem
todoo tratamento de criaçãoe transportede partículas secundárias.
No EGS4existemvariáveisespecí casdestinadasàdistinçãoentreosprocessosde
espa-lhamento múltiplo e discreto durante o transporte. A variávelAE de ne a energia mínima
emque umacolisãode umapartícula carregada com amatéria será tratada comodiscreta,
ea AP de ne aenergia mínima paraque umfóton sejaproduzidoporbremsstrahlung.
3.3 Simulando os núcleos de deposição de energia
Osnúcleos deconvolução sãointerpretados comoa função quedeposita aenergia
transpor-tadapelofeixedepartículas, sejam elas fótons,elétrons,etc.
Asformasexistentes paraobtermoseste núcleo são:
deconvolução dadose medida emágua;
cálculoanalítico;
simulaçãode Monte Carlo.
O primeiro envolve a medida da deposição de dose de feixes estreitos em um tanque de
água,e sua posterior deconvolução[14]. Esse método geraapenasumnúcleo de convolução
relacionado à deposição total da dose e está limitado à precisão em que foram feitas as
medidas.
Ocálculoanalíticonospermiteentenderpormeiodequaisprocessosadoseédistribuída,
istoé,permite-noscompreenderafísicadoproblema. Porémnão apresentabonsresultados
paraasdeposiçõesdeenergia devido aosmúltiplosespalhamentosde fótons. Estes
espalha-mentossãodifíceisdeseremmodelados analiticamente, sendousuala suaaproximação pela
teoriada difusão[3, 4].
Emcontrapartida,asimulaçãodeMonteCarlonospermiteobterbonsresultadosemuma
amplafaixa deenergiasporque nãoexigequetodasasinteraçõessejamporefeito Compton
e também porque transporta igualmente bem ordens baixas e altas de espalhamentos de
