Modelagem de problema de condução de calor pelos métodos de decomposição própria generalizada (PGD) e método de Galerkin descontínuo na escala temporal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Douglas Grings

MODELAGEM DE PROBLEMA DE CONDUÇÃO DE CALOR PELOS MÉTODOS DE DECOMPOSIÇÃO PRÓPRIA GENERALIZADA (PGD) E MÉTODO DE GALERKIN

DESCONTÍNUO NA ESCALA TEMPORAL

Florianópolis 14 de fevereiro de 2019

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Douglas Grings

Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecâ-nica.

Orientador: Prof. Paulo de Tarso Rocha Mendonça, PhD.

Florianópolis 2019

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Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

Grings, Douglas

Modelagem de problema de condução de calor pelos métodos de Decomposição Própria Generalizada (PGD) e método de Galerkin Descontínuo na escala temporal / Douglas Grings ; orientador, Paulo de Tarso Rocha Mendonça, PhD., 2019.

95 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica, Florianópolis, 2019.

Inclui referências.

1. Engenharia Mecânica. 2. Decomposição Própria Generalizada (PGD). 3. Galerkin Descontínuo. 4. Métodos de Integração Direta de Euler e Crank Nicolson. 5. Problema de condução de calor 2D. I. Mendonça, PhD., Paulo de Tarso Rocha. II.

Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. III. Título.

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Douglas Grings

Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de “Mestre em Engenharia Mecânica” e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa

Catarina.

Florianópolis, SC, 14 de fevereiro de 2019.

________________________________ Prof. Jonny Carlos da Silva, Dr.Eng.

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Banca Examinadora:

________________________________ Prof. Paulo de Tarso Rocha Mendonça, PhD.

Presidente - Orientador Universidade Federal de Santa Catarina

________________________________ Prof. Eduardo Alberto Fancello, Dr.Eng. Universidade Federal de Santa Catarina

________________________________ Prof. José Carlos Carvalho Pereira, Dr. Eng.

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AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador, Prof. PhD. Paulo de Tarso Rocha Mendonça, por todo apoio na realização deste trabalho e fundamental contribuição na minha formação pessoal, acadêmica e profissional.

Agradeço aos professores membros da banca por aceitarem partici-par da avaliação deste trabalho e por suas valiosas contribuições e sugestões. Sou grato a todos do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (POSMEC) que contribuíram na realização deste trabalho, em es-pecial, aos professores do Grupo de Análise e Projeto Mecânico (GRANTE). Agradeço a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) pelo suporte financeiro concedido durante o mestrado.

Em especial, agradeço a todos os meus familiares, principalmente aos meus pais, Anastácia e Francisco, ao meu irmão Erasmus e a minha noiva Daniela pelo total apoio durante a realização deste trabalho.

Por fim, agradeço aos meus colegas de laboratório pela amizade e conhecimentos compartilhados durante os últimos anos.

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“A felicidade só é verdadeira quando compartilhada.” (Christopher McCandless)

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RESUMO

O presente trabalho avalia a precisão e o número de operações de ponto flutu-ante (NOP) no método Decomposição Própria Generalizada (Proper Genera-lized Decomposition), comparando-o com os métodos de integração temporal direta de Euler e Crank Nicolson. Um problema de condução de calor 2D é aplicado neste estudo. Para o método de integração por PGD, a evolução tem-poral da solução é obtida pelo método Galerkin Descontínuo. Para facilitar o entendimento e a aplicabilidade da metodologia de PGD, consideram-se as propriedades dos materiais homogêneas e as funções de condição de contorno de Dirichlet e Neuman como uniformes no tempo. Para avaliar o comporta-mento das metodologias de integração numérica, aplicaram-se dois estudos analíticos. No primeiro estudo é possível constatar os erros de cada método de integração e o desempenho de processamento de cada método. Já no se-gundo estudo, ao ser considerada a variação do espaço temporal como parâ-metro de análise, é possível constatar o comportamento diferenciado de cada método numérico. Os resultados indicam que, para problemas de materiais homogêneo-isotrópicos-lineares, a metodologia de PGD é capaz de represen-tar muito bem o comportamento. Problemas de maior complexidade, em que os métodos de integração direta possuem limitações de tempo de processa-mento devido à “maldição da dimensionalidade”, a metodologia de PGD pode ser considerada como uma possível ferramenta para a obtenção de soluções em tempos de processamento viáveis.

Palavras-chaves: Proper Generalized Decomposition PGD, Integração Di-reta, Euler, Cranck Nicolson, Temperatura, Fluxo de Calor.

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ABSTRACT

Present work evaluates the precision and number of floating point operations (NOP) in the Proper Generalized Decomposition (PGD) method, comparing it with the direct temporal integration methods of Euler and Crank Nicolson. A 2D heat conduction problem is applied in this study. For the PGD integra-tion method, the time evoluintegra-tion of the soluintegra-tion is obtained by the Galerkin Discontinuous method. To facilitate the understanding and applicability of the PGD methodology, the properties of the homogeneous materials and the contour condition functions of Dirichlet and Neuman like uniforms in time. To evaluate the behavior of numerical integration methodologies, two ana-lytical studies were applied. In the first study it is possible to verify the errors of each integration method and the processing performance of each method. In the second study, considering the variation of temporal space as a parameter of analysis, it is possible to verify the differentiated behavior of each numerical method. The results indicate that, for linear, homogeneous-isotropic-material problems, the PGD methodology is able to represent the behavior very well. Problems of greater complexity, where direct integration methods have processing time limitations due to the "curse of dimensional-ity", the PGD methodology can be considered as a possible tool for obtaining solutions at viable processing times.

Key words: Proper Generalized Decomposition PGD, Direct Integration, Eu-ler, Cranck Nicolson, Temperature, Heat Flow.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 – Imagem ilustrativa da malha temporal de Galerkin Des-contínuo . . . 42 Figura 2 – Placa 2D de 100x100 mm com 2 mm de espessura e

di-vidida em 16 elementos. Modelo utilizado para análise e como base de comparação entre os métodos deste trabalho. 61 Figura 3 – Gráfico da variação da temperatura no eixo X ao longo da

placa, para o instante de tempo t = 4s. . . 65 Figura 4 – Gráfico da variação da temperatura no eixo Y ao longo da

placa, para o instante de tempo t = 4s. . . 65 Figura 5 – Gráfico da variação do fluxo de calor no eixo X ao longo

da placa, para o instante de tempo t = 4s. . . 66 Figura 6 – Gráfico da variação do fluxo de calor no eixo Y ao longo

da placa, para o instante de tempo t = 4s. . . 66 Figura 7 – Gráfico da variação da temperatura do nó central da placa

(x e y = 50)mm ao longo do tempo para os 3 métodos de integração. . . 68 Figura 8 – Gráfico da variação da temperatura no nó central da placa

(x e y = 50)mm ao longo do tempo para o método de PGD com a resposta analítica. . . 68 Figura 9 – Gráfico da variação do fluxo de calor no nó central da

placa (x e y = 50)mm ao longo do tempo para os 3 méto-dos de integração. . . 69 Figura 10 – Gráfico da variação do fluxo de calor do nó central da

placa (x e y = 50)mm ao longo do tempo para o método de PGD e a resposta analítica. . . 69 Figura 11 – Gráfico do erro relativo da temperatura para um 4t =

0, 4s no instante de tempo t = 4s e variando o tamanho da malha espacial sobre o domínio. . . 71 Figura 12 – Gráfico do erro relativo do fluxo de calor para um 4t =

0, 4s no instante de tempo t = 4s e variando o tamanho da malha espacial sobre o domínio. . . 72

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Figura 13 – Gráfico do erro relativo da temperatura para uma malha fixa de 16 elementos (4x4) no instante de tempo t = 4s e variando o valor de 4t e 4tM. . . 74 Figura 14 – Gráfico do erro relativo do fluxo de calor para uma malha

fixa de 16 elementos (4x4) no instante de tempo t = 4s e variando o valor de 4t e 4tM. . . 75 Figura 15 – Gráfico da temperatura no instante de tempo t = 4s, com

∆t = 0, 5s e malha temporal de 16x16 elementos. . . 77 Figura 16 – Gráfico do fluxo de calor no instante de tempo t = 4s,

com ∆t = 0, 5s e malha temporal de16x16 elementos. . 78 Figura 17 – Gráfico da variação da temperatura no eixo X ao longo da

placa, para o instante de tempo t = 1s. . . 81 Figura 18 – Gráfico da variação da temperatura no eixo Y ao longo da

placa, para o instante de tempo t = 1s. . . 81 Figura 19 – Gráfico da variação do fluxo de calor no eixo X ao longo

da placa, para o instante de tempo t = 1s. . . 82 Figura 20 – Gráfico da variação do fluxo de calor no eixo Y ao longo

da placa, para o instante de tempo t = 1s. . . 82 Figura 21 – Gráfico da variação da temperatura do nó central da placa

(x = 50, y = 50)mm ao longo do tempo para os 3 méto-dos de integração. . . 84 Figura 22 – Gráfico da variação da temperatura do nó central da placa

(x = 50, y = 50)mm ao longo do tempo para o método de PGD e para a resposta analítica. . . 84 Figura 23 – Gráfico da variação do fluxo de calor do nó central da

placa (x = 50, y = 50)mm ao longo do tempo para os 3 métodos de integração. . . 85 Figura 24 – Gráfico da temperatura no instante de tempo t = 4s, com

∆t = 0, 25s e malha temporal de 16x16 elementos. . . . 86 Figura 25 – Gráfico do fluxo de calor no instante de tempo t = 4s,

com ∆t = 0, 25s e malha temporal de16x16 elementos. . 87 Figura 26 – Imagem ilustrativa representando a amplitude e o período

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Figura 27 – Gráfico da razão a/A da amplitude de resposta na malha temporal versus ∆t. . . 89 Figura 28 – Gráfico da razão R/T do período de resposta na malha

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Valores de β para cada modelo teórico de integração direta. 38 Tabela 3 – Propriedades térmicas do alumínio. . . 62 Tabela 4 – Tabela com os valores dos erros relativos da temperatura

e NOP(*E+05) para cada tamanho de malha espacial. . . 71 Tabela 5 – Tabela com os valores dos erros relativos do fluxo de calor

e NOP(*E+05) para cada tamanho de malha. . . 72 Tabela 6 – Tabela com os valores dos erros relativos da temperatura

e NOP(*E+05) para cada intervalo de tempo. . . 74 Tabela 7 – Tabela com os valores dos erros relativos do fluxo de calor

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LIST OF ABBREVIATIONS AND ACRONYMS

PGD Decomposição Própria Generalizada (Proper Generala-zied Decomposition).

MEF Método de Elementos Finitos.

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LISTA DE SÍMBOLOS

Variáveis

β Fator dos métodos de integração direta

Γ Contorno do domínio de um corpo material

λmax Máximo autovalor do problema

λm Parcela temporal dos modos já convergidos do PGD

λp Parcela temporal atual do PGD

B Vetor da derivada das funções de forma

F Vetor de carregamento do problema

K Matriz rigidez do problema

M Matriz massa do problema

N Vetor com as funções de forma

q Fluxo de calor

T Matriz PGD da parcela temporal

Tp Coeficientes do vetor T de PGD

U Vetor das temperaturas

u Temperatura nodal

X Matriz PGD da parcela espacial

x Coordenada espacial

Xp Coeficientes do vetor X de PGD

y Coordenada espacial

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Ω Domínio de um corpo material

ωm Parcela espacial dos modos já convergidos do PGD

ωp Parcela espacial atual do PGD

ψ Função de forma linear

ρ Densidade

A Amplitude analítica

a Diferença entre amplitudes

Cp Calor específico

dt Elemento diferencial do domínio temporal

dΩ Elemento diferencial do domínio espacial

f Função de geração de calor

ft Fluxo geração de calor, dependência temporal

fx Função geração de calor, dependência espacial

H Espaço de Hilbert

I Domínio temporal

k Condutividade térmica

R Diferença entre períodos

T Período analítico

t Coordenada temporal

v Função peso

Operadores

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∆t Metodo de avanço no tempo (Euler, Crank Nicolson)

∆tM Macrointervalo

∆tm Microintervalo

˙

(·) Derivada temporal (taxa)

(·)T Transposta

d Derivada total

∂ Derivada parcial

Sobrescritos e Subscritos

(·)+ Primeiro ponto do macrointervalo atual na malha temporal

(·)+ Último ponto do macrointervalo anterior na malha temporal

(·)e por elemento finito

(·)t Representação temporal

(·)x Representação espacial

(·)_∗ Referência à função peso

(·)₀ Referência ao ponto inicial

(·)_cr Referência ao ponto critíco

(·)_q Referência ao fluxo de calor

(·)_u Referência à temperatura (·) m−1 Modo PGD anterior (·) m Modo PGD atual (·)

n+1 Variável no incremento atual (·)

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . 29 1.1 CONTEXTO . . . 29 1.2 OBJETIVO . . . 32 1.3 ESTRUTURA DO DOCUMENTO . . . 32 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . 33

2.1 PROBLEMA DE CALOR TRANSIENTE EMEF . . . 33

2.2 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA . . . 35

2.3 FORMULAÇÃO PARAEULER ECRANKNICOLSON . . . 38

2.4 ANÁLISE DO PROBLEMA TRANSIENTE DE CALOR POR

GALERKIN DESCONTÍNUO- MEF . . . 39

3 PROBLEMA TRANSIENTE DE CALOR POR

GA-LERKIN DESCONTÍNUO - PGD . . . 45

3.1 DISCRETIZAÇÃO DO SISTEMA . . . 47

3.2 ALGORITMOS PARA SOLUÇÃO DOS SISTEMASPGD . . 53

3.3 FORMULAÇÃO DO FLUXO DE CALOR POR GALERKIN

DESCONTÍNUO VIAPGD . . . 57

3.4 CÁLCULO DO ERRO RELATIVO DA TEMPERATURA E DO

FLUXO DE CALOR EM UMA MALHA2D . . . 58

4 RESULTADOS . . . 61

4.1 DEFINIÇÃO DO CORPO E DO MATERIAL ESTUDADOS NOS

TESTES. . . 61

4.2 CASO1: PROBLEMA DE CARREGAMENTO CÚBICO NO

TEMPO . . . 62 4.2.1 Avaliação dos erros relativos para os métodos de

integra-ção numérica . . . 70 4.2.1.1 Avaliação do erro relativo variando somente a malha

es-pacial . . . 70 4.2.1.2 Avaliação do erro relativo variando somente a malha

(28)

4.3 CASO 2: PROBLEMA DE CARREGAMENTO SENOIDAL NO TEMPO . . . 78 4.3.1 Avaliação da amplitude e da frequência de resposta do

problema . . . 87

5 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS . . . 91

5.1 CONCLUSÕES . . . 91 5.2 TRABALHOS FUTUROS . . . 92

(29)

29

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONTEXTO

Graças aos avanços tecnológicos na área da computação, resolver problemas com milhões de incógnitas tem se tornado progressivamente mais comum nas aplicações da engenharia conforme (GALLAND et al., 2011). No entanto, simulações com milhões de incógnitas exigem o desenvolvimento de estratégias que redusam o tempo de processamento.

Segundo (CLOUGH; PENZIEN, 2003), na dinâmica estrutural ou problemas transientes, as estratégias mais antigas utilizam estruturas de au-tovetores. Recentemente, segundo (BOUCINHA; GRAVOUIL; AMMAR, 2013), foram propostos métodos baseados no conceito do modelo denomi-nado Decomposição Própria Ortogonal (POD), cujos métodos são adequados somente quando o vetor deslocamento apresentar um comportamento seme-lhante ao longo do tempo.

Para (CHINESTA; LADEVEZE; CUETO, 2011), problemas multi-escala não são necessariamente definidos em espaços de alta dimensão, mas seu espectro de dimensão e tempo característico é tão amplo que as técni-cas padrões de discretização incremental não podem ser aplicadas. Em tais problemas de tempo-multiescala, por exemplo, o intervalo de tempo deve ser extremamente pequeno como consequência dos requisitos de estabilidade numérica. No entanto, métodos que permitem simulações com intervalo de tempo muito maiores, geralmente requerem a solução de um grande sistema linear algébrico para cada ∆t, o que inviabiliza sua resolução. Estes modelos multiescala ocorrem corriqueiramente em diversas áreas.

No artigo publicado por (BOUCINHA; GRAVOUIL; AMMAR, 2013), foi investigado a capacidade do método de Decomposição Própria Genera-lizada (Proper Generalized Decomposition - PGD) na solução de equações hiperbólicas de segunda ordem para modelos elastodinâmicos transientes.

O ponto-chave do PGD é a separação dos modos no espaço e tempo, pois o modelo é decomposto como um produto tensorial de um modo no es-paço e um outro modo no tempo. Com isso se pode reduzir drasticamente o

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30 Capítulo 1. Introdução

armazenamento computacional em problemas cuja solução necessite de pou-cos modos de PGD, quando se requer apenas uma precisão aceitável.

Conforme (BADÍAS et al., 2017), existem fenômenos físicos que possuem uma estrutura de solução que não se enquadra em um problema de equação desacoplada. Para estes casos o PGD pode precisar de muitos modos para obter uma solução suficientemente precisa, o que acarretaria um aumento drástico no armazenamento computacional.

No artigo de (GINER et al., 2013), o PGD foi aplicado em um pro-blema linear de trincas elásticas em placas, e seu comportamento foi com-parado com o método de elementos finitos (MEF) padrão. Computacional-mente, a solução PGD mostrou-se menos dispendiosa do que uma análise MEF 3D completa para as discretizações aplicadas na captura de singularida-des em problemas de trinca 3D.

Os modelos tradicionais de placas laminadas utilizados no MEF são baseados em hipóteses simplificativas do comportamento ao longo da espes-sura. Esses modelos são de uso intenso na industria, e são implementados em todos os códigos comerciais. Entretanto, as exigências crescentes de preci-são nos resultados das simulações, exige métodos inovadores que permitam aproximações do estado de tensões 3D em regiões localizadas. Com intuito de realizar avaliações na espessura de placas laminadas, (PRULIERE, 2014) aplicou PGD na solução de um problema de flexão em placas, modelando-as como um problema 3D, separando as coordenadas da superfície de referência e da espessura.

Conforme (HUGHES, 1987), a resolução de problemas transientes tem sido uma tarefa desafiadora ao longo de décadas, desenvolvendo-se di-versos métodos eficientes de integração no tempo, porém, na maioria destes, exige-se uma demanda computacional elevada.

Nos artigos publicados por (HUGHES; HULBERT, 1990; HUGHES; HULBERT, 1988), foi proposto a aplicação do método de Galerkin Descon-tínuo na escala temporal para MEF, sendo este procedimento aplicado em problemas de elasticidade.

(31)

1.1. Contexto 31

emprega discretizações de elementos finitos no espaço e no tempo simultane-amente com funções de base linear que são contínuas no espaço e descontí-nuas no tempo. Neste mesmo artigo, é apresentado a adaptabilidade do MEF e Galerkin Descontínuo em problemas de dinâmica estrutural bidimensional. No artigo publicado por (JULIEN et al., 2016), o PGD foi utilizado para modelar o coeficiente de condutividade homogenizado de uma parede de um prédio, dependente da temperatura, em um problema de transferência de calor unidimensional. Neste artigo também foi comparado o desempenho do método de PGD em relação aos métodos do algoritmo genético, e como resposta ele obteve resultados com a mesma precisão.

Ainda segundo (JULIEN et al., 2016), o PGD possui vantagem na redução da ordem de complexidade dos problemas de transferência de calor se comparado aos algoritmos genéticos, e por este motivo mostrou-se mais eficaz na redução do custo computacional.

Conforme comentado, o PGD já foi aplicado em um problema de homogeneização do coeficiente de condutividade térmica do problema de transferência de calor unidimensional de (JULIEN et al., 2016), mostrou-se eficaz na separação dos modos de espaço e tempo para (BOUCINHA; GRA-VOUIL; AMMAR, 2013) e apresentou certas restrições para sua aplicação em problemas de equações acopladas conforme (BADÍAS et al., 2017).

Desta forma, este trabalho busca avaliar o desempenho do PGD apli-cado em um problema transiente de calor 2D, cujo parâmetro a ser conside-rado na avaliação é o número de operções de pontos flutuantes (NOP). Apli-cações do PGD em problemas de transferência de calor já foram testadas e validadas conforme (PRULIERE, 2014), (CHINESTA et al., 2009), (BOG-NET et al., 2010) e (ANTHONY, 2010).

De modo a avaliar seu comportamento, o PGD será comparado a outras duas técnicas iterativas de integração, o método de integração direta explícito de Euler (Forward difference) e o método implícito de Crank Nicol-son (trapezoidal rule).

(32)

32 Capítulo 1. Introdução

1.2 OBJETIVO

O objetivo deste trabalho é avaliar o comportamento do método de Galerkin descontínuo via Decomposição Própria Generalizada (PGD), compa-rando-o com os métodos de integração direta de Euler e Crank Nicolson. Os modelos serão aplicados em um problema de transferência de calor transi-ente bidimensional. A avaliação entre os métodos de integração irá auxiliar na investigação dos resultados de temperatura e fluxo de calor, os efeitos dos diferentes métodos de discretização temporal nas respostas da temperatura e do fluxo de calor; também será possível avaliar o processo de convergência do PGD em relação aos demais métodos.

1.3 ESTRUTURA DO DOCUMENTO

De modo a organizar o documento e facilitar o entendimento do texto, esta dissertação está organizada como segue. No capítulo 2 apresenta-se uma revisão bibliográfica dos principais tópicos que envolvem este traba-lho. Na Seção 2.1 é apresentado o estudo bibliográfico referente ao problema de calor transiente e MEF. Na seção 2.2 são apresentados os conceitos princi-pais dos métodos de integração direta. Já a seção 2.4 introduz as bases teóri-cas do método de Galerkin descontínuo para análise de um problema de calor transiente. O capítulo 3 aborda o objetivo principal deste trabalho, no qual é descrito o problema, são apresentadas as condições de contorno adotadas e o detalhamento da formulação que foi implementada neste trabalho. Na seção 4.2 do capítulo 4 apresenta-se o primeiro exemplo de aplicação da formulação desenvolvida, cujo espaço temporal é definido por uma equação cúbica e a va-riação espacial é senoidal. E, por fim, na seção 4.3 do capítulo 4 apresenta a segunda aplicação para a formulação desenvolvida neste trabalho, sendo que para esta aplicação o espaço temporal é definido por uma equação senoidal e a variação espacial continua sendo senoidal como no primeiro exemplo.

(33)

33

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 PROBLEMA DE CALOR TRANSIENTE E MEF

O problema da transferência de calor pode ser escrito em uma única equação diferencial, em termos da incógnita do campo de temperatura no corpo em questão, (MENDONÇA; FANCELLO, 2019). A geometria do corpo pode ser tomada para análise como unidimensional, bidimensional ou tridimensional, podemos definir o problema de transferência de calor bidi-mensional que será analisado no presente trabalho pela expressão (2.1), onde u(x, t), x= (x, y) Ω, t I ≡(0, T ), no entanto pode-se equacionar o pro-blema como: ∇ · (µ∇u) + f = ˙u, ∀ x Ω,∀t I, µ = cte, f = f (x, t), ∀ x Ω,∀t I, u(x, t) = 0, ∀ x Γ,∀t I, u(x, 0) = uo(x), ∀ x Γ,∀ Ω. (2.1)

onde, µ é a condutividade térmica e f é a função que representa a geração de calor do problema.

A formulação de (2.1) é também conhecida como forma forte de um problema transiente de calor. Uma simplificação dessa formulação leva-nos à forma fraca também conhecida como forma variacional, que é representada por uma expressão integral equivalente à forma forte apresentada.

Todas as funções admissíveis estão definidas nos espaços Kin e Var definidos por (2.2)

Kin = {u(x, t) Co(Ω) talque u(x, t) = u(t), ∀ x Γue t I} , V ar = {ˆv(x, t) Co(Ω) talque ˆv(x, t) = 0, ∀ x Γue t I} .

(2.2)

Assim, utilizamos primeiramente a equação diferencial do problema de transferência de calor, equação (2.1). A igualdade não é alterada se

(34)

multi-34 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica

plicarmos ambos os lados por uma função peso arbitrária v V ar. Também pode-se integrar ambos os lados em todo o corpo, obtendo:

Z Ω µ∇v·∇u dΩ + Z Ω vf dΩ = Z Ω v ˙u dΩ ∀ v V ar e ∀ u Kin (2.3) De forma geral, não é possível ou econômico obter soluções exatas para a formulação forte ou variacional do problema. Ao invés disso, buscam-se soluções aproximadas para ambas as formulações. Na formulação varia-cional pode-se aplicar o método de elementos finitos para discretização es-pacial e alguns métodos de integração temporal, como os apresentados neste trabalho. Após o desenvolvimento anterior, pode-se aplicar a discretização do espaço por elementos finitos, sendo esta representada por

u(x, t) = N(x)U(t), ∇u(x) = B(x)U(t)

v(x) = N(x)V, ∇v(x) = B(x)V. (2.4)

Aplicando a discretização (2.4) em (2.3), obtemos a aproximação da formulação fraca do sistema de equações diferenciais no tempo, como segue:

Z Ω NTNdΩ | {z } M ˙ U (t) + Z Ω BTBdΩ | {z } K U (t) = Z Ω NTf dΩ | {z } F_t . (2.5)

Para um problema transiente e suas condições iniciais, pode-se sim-plificar (2.5) e obter:

M ˙U(t) + KU(t) = F1(t), para t > 0, u(x, 0) = N (x)U (0) = u0(x).

(2.6)

O sistema (2.6) é semidiscretizado, pois somente foi aplicada a dis-cretização no domínio espacial x = (x, y), portanto o sistema permanece contínuo, de dimensão infinita na coordenada temporal. Para a discretização da coordenada temporal podemos aplicar diversos métodos como: métodos de integração direta (Euler e Crank Nicolson) e o método que iremos aplicar

(35)

2.2. Métodos de integração direta 35

nesta dissertação, “Método de Galerkin descontínuo por PGD”, seguindo a formulação descrita em (BATHE, 1996), (COOK et al., 2001), (HUGHES, 1987), (CHINESTA et al., 2008), (BOGNET et al., 2010) e (MENDONÇA, 2015).

2.2 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO DIRETA

Os métodos de integração direta fornecem a resposta temporal para históricos temporais de carregamentos que variam arbitrariamente no tempo, conforme (BATHE, 1996). A princípio, esses métodos desempenham a mesma função que o método de sobreposição modal, no entanto existem algumas di-ferenças:

1. O método de sobreposição modal é um método restrito a problemas lineares; já os métodos de integração direta são aplicados tanto em pro-blemas lineares, como em não-lineares.

2. Para problemas lineares existe uma diferença entre análises temporais de curta e de longa duração, sendo que todo o histórico de excitação de uma estrutura pode ser decomposto em um conjunto de modos de vibração, onde eventos de curta duração possuem uma grande quanti-dade de modos de vibração e podem ser tratados mais facilmente pelo método de integração direta. Entretanto, os eventos de longa duração são caracterizados por poucos modos de vibração e a aplicação dos métodos de sobreposição modal torna-se a teoria mais adequada.

Como mencionado, os métodos diretos podem ser aplicados a problemas não-lineares, porém sua formulação básica é melhor descrita em um problema linear, onde diversos teoremas de estabilidade e convergência podem ser de-duzidos e, assim, podemos avaliar seu comportamento geral. Os teoremas dos métodos diretos são baseados na decomposição modal da solução, ge-rando dessa forma, uma linearidade do problema. Segundo (MENDONÇA; FANCELLO, 2019), o conceito de integração direta pode ser descrito sucin-tamente da seguinte forma. Considere uma equação diferencial ordinária no

(36)

36 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica

tempo, de coeficientes constantes como, por exemplo, a equação de um pro-blema transiente de calor:

m ˙u (t) + ku (t) = F (t) para t > 0, (2.7) sendo as condições iniciais u (0) = u e ˙u (0) = v0, onde m e k são a massa e a rigidez do sistema, F (t) é o histórico da transferência de calor imposta, u(t) é o histórico da temperatura sofrida pelo conjunto como resposta do car-regamento F , da temperatura inicial u0e do fluxo de calor inicial v0aplicado ao conjunto. Em vez de encontrar a solução analítica para u(t), busca-se obter uma aproximação por integração numérica. Esta integração é efetuada pelo particionamento do domínio no tempo em intervalos ∆t, como descrito a seguir: to= 0, t1= ∆t, t2= 2∆t, .. . tn= n∆t. (2.8)

Obs.: Os intervalos de tempo ∆t não necessitam ser iguais, porém usaremos essa definição para facilitar o detalhamento. Para cada instante tn, a equação do movimento (2.7) deve ser satisfeita para t = tn. Segundo (HUGHES, 1987), existem diferentes métodos de integração direta, sendo que todos eles têm como base de solução a discretização do tempo. Dentre os métodos mais utilizados, pode-se citar o método explicíto, sendo o método de Euler ou dife-rença progressiva e os métodos implícitos: o método de Crank Nicholson ou trapezoidal, Galerkin e Backward difference, porém para o estudo a ser de-senvolvido neste projeto aplicaremos o método explícito de Euler e o método implícito de Crank Nicolson, detalhados a seguir. Inicialmente vamos consi-derar um problema transiente de calor, cuja representação matemática é dada por uma equação diferencial no tempo de 1ª ordem, sendo definida por (2.3), e ao aplicar a discretização do espaço por elementos finitos é encontrada a

(37)

2.2. Métodos de integração direta 37

equação (2.6). Segundo (COOK et al., 2001), para realizar a discretização do tempo de (2.6) podemos aplicar o método de integração direta e, assim, estabelecer um equilibrio no instante de tempo tn.

M ˙Un+ KUn= Fn, (2.9)

onde Un e ˙Un são aproximações de U e ˙U no instante t = tn. Ao con-siderarmos duas temperaturas tne tn+1separadas por um ∆t, a discretiza-ção temporal e, por fim, a sua integradiscretiza-ção podem ser realizadas pela equadiscretiza-ção (2.10).

Un+1= Un+ ∆t[(1 − β) ˙Un+ β ˙Un+1] (2.10)

Este método é muito parecido com o de Newmark para equações de dinâmica estrutural. A equação (2.10) contém um fator β, que pode variar o seu valor, como por exemplo, para β = 0, 5 temos o método de Crank Nicolson. Agora, reescrevendo a equação (2.9) para os tempos n e n + 1 e multiplicando a primeira equação por (1 − β) e a segunda equação por β, encontramos:

(1 − β)(M ˙Un+ KUn) = (1 − β)(Fn) β(M ˙Un+1+ KUn+1) = β(Fn+1)

(2.11)

Caso K e M não sejam dependentes do tempo, pode-se somar as duas equações de (2.11) e aplicar a equação (2.10) para eliminar as derivadas temporais da temperatura U, sendo o resultado deste algebrismo a equação (2.12). M ∆t+ βK Un+1= M ∆t− (1 − β)K Un+ (1 − β)Fn+ βFn+1 (2.12)

(38)

Para β < 0, 5 o algoritmo é condicionalmente estável se o ∆t do problema, for menor que:

∆tcr=

2 (1 − 2β)λmax

, (2.13)

onde λmaxé dependente do tamanho do menor elemento da malha. E para β > 0, 5 o algoritmo é incondicionalmente estável. Segundo (COOK et al., 2001), existem algumas variações para o valor de β que já foram estudadas e validadas; para tanto segue uma breve descrição na tabela 1 dos valores de β mais conhecidos:

Tabela 1 – Valores de β para cada modelo teórico de integração direta.

Valor de β Método Estabilidade

0 Euler progressivo condicional

1/2 Crank Nicolson ou regra trapezoidal incondicional

2/3 Galerkin incondicional

1 Euler regressivo incondicional

Para β = 0 e M diagonal, temos que o tempo computacional pode ser reduzido para cada iteração, porém é necessário ter atenção no valor do ∆tcr.

2.3 FORMULAÇÃO PARA EULER E CRANK NICOLSON

Como visto anteriormente, o sistema que representa o estado de tem-peratura do corpo é determinado por (2.12). Para β = 0, 5 temos o método implícito de Crank Nicolson e para β = 0 temos o método de Euler. Estes são os métodos de integração direta utilizados neste trabalho para discretização temporal do problema transiente de calor, determinando assim, as tempera-turas nodais ao longo do tempo para a placa da figura 2. Para determinar o fluxo de calor, utilizamos a equação clássica que é definida por:

(39)

2.4. Análise do problema transiente de calor por Galerkin descontínuo - MEF 39 onde, u(x, t) = N(x)U(t) ∇u(x, t) = ∇N(x)U(t) ∇u(x, t) = BU(t) (2.15)

Portanto, ao substituir (2.15) em (2.14) encontramos:

q(x, y) = −kBU(t), (2.16)

que determina o fluxo de calor da Placa 2D para os métodos de integração direta e, por fim, implementada no programa de cálculo.

2.4 ANÁLISE DO PROBLEMA TRANSIENTE DE CALOR POR

GA-LERKIN DESCONTÍNUO - MEF

O método de Galerkin descontínuo no tempo foi proposto por (HUGHES; HULBERT, 1988; HUGHES; HULBERT, 1990) para o MEF, o texto a se-guir apresenta a adaptação do método de Galerkin descontínuo ao PGD. Por-tanto ao considerar um problema de transferência de calor transiente, con-forme (BOGNET et al., 2010) e (MENDONÇA, 2015), e u(x, t), x Ω, t I ≡(0, T ), pode-se equacionar o problema conforme a equação (2.1).

A forma fraca é:

Z Ω

v [∇ · (µ∇u) + f − ˙u] dΩ = 0,em t I. (2.17)

Ao aplicar a integração por partes no primeiro termo de (2.17), encontramos:

Z Γ vµ∇u · ndΩ | {z } l(v)=0 − Z Ω ∇ · (µ∇u)dΩ | {z } a(u,v) + Z Ω vf dΩ | {z } l(v) − Z Ω v ˙udΩ | {z } m( ˙u,v) = 0, (2.18) na forma compacta, em t = 0; m( ˙u, v) + a(u, v) = l(v), (2.19)

(40)

Segundo (MENDONÇA, 2015), pode-se definir o espaço das fun-ções do tempo como:

L2(I, V ) ≡ v : I → V, Z

I

k v(t) k2

V dt < ∞, (2.20)

k · kV e a norma em V . Se V = R, então temos

τ ≡ L2(I) = L2(I, R), (2.21) isto é, L2(I, R) ≡ v : I → R,R I k v(t) k 2 Rdt < ∞. Podemos definir L 2_{(I, V )} como V ⊕ τ . No decorrer do tempo pode-se considerar u(t) descontínuo para t = 0, isto é, u+ _{6= u}

o, onde u+ ≡ u(0+) = lims→0,s>0u(s) e uo= u(t = 0). Portanto,

u(0) = (u+− uo)δ(0), (2.22)

onde δ(0) é a função generalizada de Delta de Dirac aplicada no tempo t = 0. Agora pode-se integrar (2.19) no tempo:

Z T t=0 m( ˙u,v) z }| { Z Ω v ˙udΩdt + Z T t=0 a(u, v)dt = Z T t=0 l(v)dt. (2.23)

O primeiro termo pode ser reescrito se aplicarmos as propriedades da função de DiracR_t=−∞∞ f (t)δ(q)dt = f (q): Z T t=0 Z Ω v ˙udΩdt = Z 0+ t=0 Z Ω v(u+− uo)δ(0)dΩdt + Z T 0+ Z Ω vudΩdt, = Z Ω v(0+)(u(0+) − uo)dΩ + Z I Z Ω vudΩdt, (2.24)

(41)

2.4. Análise do problema transiente de calor por Galerkin descontínuo - MEF 41 no entanto, se fizermos v+≡ v(0+ )em (2.23), obtemos: Z I m( ˙u(t), v(t))dt + m(u(0+), v+) + Z T t=0 a(u, v)dt | {z } B(u,v) = Z T t=0 l(v)dt + m(uo, v+)dt | {z } L(v) (2.25) isto é, B(u, v) = L(v). (2.26)

Este problema pode ser resolvido em todo intervalo de tempo I, mas na prática esse intervalo é subdividido em r problemas, sendo estes resol-vidos sequencialmente com macrointervalos de tempos Ik menores, este procedimento é conhecido como discretização do tempo por Galerkin des-contínuo. O processo de cálculo é progressivo no tempo, onde cada ma-crointervalo de tempo é resolvido em uma malha espaço-tempo, usando como valores iniciais os resultados do instante final do macrointervalo anterior, im-posto de forma fraca.

O intervalo de tempo Ikpode ser definido de tal forma que coincida com o dominio da definição de intervalo de carregamento, propriedade de material, ou das condições de contorno do intervalo de tempo. É importante salientar que o intervalo de tempo total I, é dividido em r intervalos de tempo Ik, sendo k = 1, 2, . . . , r, definido por Ik = (t+k−1, t

−

k) conforme apresen-tado na Figura (1), isto é, I é definido por r + 1 instantes. E t±_k é definido por:

t±_k = lim

(42)

onde

I =t+₀ → t−₁, t+₁ → t−₂, · · · , t+_k−1→ tk-, · · · , t+_k−1→ tk -=I1, I2, · · · , Ik, · · · , Ir.

(2.28)

Na Figura 1 podemos visualizar o espectro da malha temporal de Galerkin Descontínuo, onde fica nítido a divisão descontinua dos macrointer-valos (Ik) e a definição dos microintervalos (ik) de cada Ik.

I₁ I₂ I_k t_k t+ k1 t_k t+_k1 t_k i1 i2 ik

Figura 1 – Imagem ilustrativa da malha temporal de Galerkin Descontínuo

O primeiro termo de (2.25) foi discretizado levando em conta a pos-sível descontinuidade da solução aproximada por meio da interface do tempo, isto é, u(tk−1+) no ínicio do intervalo de Ik pode ser diferente de u(t−_k−1), no final do intervalo anterior Ik−1. Portanto, a integração mediante de uma descontinuidade imposta em (2.24) pode ser adaptada por,

Z I m(u, v)dt = r X k=1 Z Ik m(u, v)dt + r−1 X k=1 m(u(t+_k−1) − u(t−_k−1), v(tk+)). (2.29)

(43)

2.4. Análise do problema transiente de calor por Galerkin descontínuo - MEF 43

Quando consideramos o intervalo de tempo k, u(t−_k−1) é conhecido a partir da solução no final do intervalo anterior, ou seja, k − 1. Entretanto, a solução no tempo pode ser obtida sequencialmente, intervalo por intervalo. Para k = 1 o valor anterior usado para u(t1−) são os dados iniciais de u0. A equação (2.25) pode ser escrita para um intervalo arbitrário k: encontre u(t), para t Ik, tal que

Z Ik m(u, v)dt + Z Ik a(u, v)dt + m(u(t+_k−1), v(t+_k−1)) = = Z Ik l(v)dt + m(u(t−_k−1), v(t+_k−1)), (2.30)

para todo v adequado, com u(t1−) = u0. Para cada intervalo de tempo Ik é obtida uma aproximação contínua por Galerkin com condição inicial fraca imposta em u(t−_k−1).

Discretrização linear por partes 1D no espaço e no tempo

Para a discretização linear por partes no espaço e no tempo vamos considerar funções-base lineares para elementos arbitrários no espaço,

ψ1(x) = x2− x

∆x , ψ2(x) = x − x1

∆x , (2.31)

e para um intervalo de tempo arbitrário Ik,

ψk−1(t) = tk− t

∆t , ψk(t) =

t − tk−1

∆t , (2.32)

A aproximação do espaço nos elementos é definida por

ue(x, t) =ψ1(x)U1e(t) + ψ2(x)U2e(t) = N (x)U e (t), ∇ue_{(x, t) =B(x)U}e_(t) ₌ 1 ∆x h −1 1 i Ue(t), (2.33)

(44)

44 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica Ke= Z x2 x1 µBTBdx = µ ∆x " 1 −1 −1 1 # , Me= Z x2 x1 µNTN dx =∆t 6 " 1 1 1 1 # . (2.34)

As constantes obtidas a partir da integração do tempo são:

gij= Z Ik ϕiϕ˙jdt g = 1 2 " −1 1 −1 1 # , (2.35) Gij = Z Ik ϕiϕjdt G = ∆t 6 " 2 1 1 2 # . (2.36)

(45)

45

3 PROBLEMA TRANSIENTE DE CALOR POR GALERKIN DES-CONTÍNUO - PGD

Neste Capítulo será descrita a formulação desenvolvida para obter a solução aproximada de um problema transiente 2D no espaço de condução de calor pelo método Decomposição Própria Generalizada (PDG). A formulação de discretização por PGD apresentada a seguir é baseada em (D.GONZÁLEZ et al., 2010), (ANTHONY, 2010), (LADEVEZE; CHAMOIN, 2011), (CHI-NESTA et al., 2009) e (FALCÓ et al., 2013). Durante a demonstração do PGD, teremos a separação de variáveis entre as coordenadas de espaço e tempo como segue. Consideramos esta avaliação pronta para m − 1 modos de PGD, e buscamos o próximo modo Tm(x). Assim, teremos a representação completa da separação de variáveis:

u(x, t) = m−1 X k=1 Xk(x)Tk(t) + Xm(x)Tm(t) u(x, t) =u0(x, t) + um(x, t), (3.1)

onde u0(x, t) é conhecido e, assim, encontraremos um(x, t). Neste procedi-mento encontraremos a discretização do espaço e do tempo para um(x, t):

X(x) = px X p=1 Xpϕxp(x) = Φx(x)X T (t) = pt X p=1 Tpϕtp(t) = Φt(t)T, (3.2)

ϕxp(x) é um conjunto de funções contínuas por partes com base em elemen-tos finielemen-tos, associados a uma determinada malha, x = (x, y) é a coordenada no espaço e X são coeficientes nodais desconhecidos para m modos do es-paço PGD da temperatura. Φt(t) e T são as funções-base e os valores nodais da discretização do tempo. A formulação forte do problema é defina por (2.1) e a correspondente formulação fraca é:

(46)

46 Capítulo 3. Problema transiente de calor por Galerkin descontínuo - PGD onde B(u, v) = Z I m(u, v)dt + Z I a(u, v)dt + m(u+, v+), L(v) = Z I l(v)dt + m(u0, v+), (3.4) e m( ˙u, v) = Z Ω ˙ uv dΩ, a(u, v) = Z Ω µ∇v · ∇u dΩ, l(v) = Z Ω vf dΩ. (3.5)

Ao considerar a representação do PGD para u(x, t),

u(x, t) = um−1 z }| { m−1 X p=1 wp(x)λp(t) + um z }| { wm(x)λm(t). (3.6)

Portanto, a função peso v(x, t) é a variação de (3.6) e sua definição PGD é representada por:

v(x, t) =w*_{(x)λ(t) + w(x)λ}*_(t). _(3.7)

Segundo (MENDONÇA, 2015), a determinação de l(v) de (3.5) pode tornar-se simples se a função geração de calor f (x, t) for represen-tada por modos de PGD, ou seja, sendo a função desacoplada em um modo temporal e outro modo espacial em PGD. Um exemplo de desacoplamento simplificado é:

f (x, t) =[sin(αx) + sin(βy)] sin(t), f (x, t) =fx(x)ft(t),

fx(x) =[sin(αx) + sin(βy)], ft(t) = sin(t).

(3.8)

Levando v de (3.7) para (3.3), e considerando que w∗e λ∗são arbi-trários, pode-se fazer λ∗= 0 e obtém-se de (3.3) uma equação e em seguinda,

(47)

3.1. Discretização do sistema 47

fazendo w∗ = 0, obtém-se a outra equação. Sendo as duas equações repre-sentadas a seguir:

B(um−1+ wλ, w*λ) = L(w*λ), ∀ w* V e λ∗= 0, B(um−1+ wλ, wλ*) = L(wλ*), ∀ λ* τ e w*= 0.

(3.9)

Neste momento, vamos considerar w(x) e λ(t) como aproximações de wm(x) e λm(t), sendo determinados por meio da solução de dois proble-mas gerados por (3.3).

Portanto é visto que o par (w, λ) V ⊗ τ é a solução de (3.3) se e somente se satisfaz (3.9). Este é o conjunto de dois problemas não-lineares devido o produto wλ, e são acoplados em w e λ.

3.1 DISCRETIZAÇÃO DO SISTEMA

Consideramos a discretização de (3.6) e (3.7) com o seguinte for-mato

wm(x) =Nx(x)X, λm(t) =Nt(t)T,

(3.10)

Para λ∗= 0, obtemos a discretização de u e v:

u(x, t) =um−1+ wλ v(x, t) =w*λ ∇u =∇um−1+ ∇wλ ∇v(x, t) =∇w*λ ∇u =∇um−1+ λ(t)∇Nx | {z } B(x) X ∇v =BX*_λ (3.11) onde ∇um−1= m−1 X q=1 (BXq)(NtTq)Ik, ˙ um−1= m−1 X q=1 (NxXq)( ˙NtTq)Ik. (3.12)

(48)

48 Capítulo 3. Problema transiente de calor por Galerkin descontínuo - PGD

Para valores pontuais dos modos anteriores, temos a seguinte descrição:

u+_m−1= m−1 X q=1 (NxXq)(Nt(t+)Tq)Ik, u−_m−1= m−1 X q=1 (NxXq)(Nt(t-)Tq)Ik−1. (3.13)

Para w∗= 0, obtemos a discretização de u e v:

u(x, t) =um−1+ wλ v(x, t) =wλ* ∇u(x, t) =∇um−1+ λ(t)BX, ∇v(x, t) =BXλ*

(3.14)

As duas formulações fracas de (3.9) são discretizadas a seguir.

• De (3.9)1: cada termo de (3.5) pode ser reescrito da seguinte forma, para o sistema onde λ∗= 0:

a(um−1+ wλ, w*λ) = Z Ω µ NtT Ik(X *T_BT_)H 1dΩ, H1= m−1 X q=1 (BXq)(NtTq)Ik+ (BX)λIk ! m( ˙um−1+ w ˙λ, w*λ) = Z Ω NtT_Ik(X*T_NxT_)H 2dΩ, H2= m−1 X q=1 (NxXq)( ˙NtTq)Ik+ (NxX) ˙λIk ! l(w*_{λ) =} Z Ω NtT_Ik(X*T_NxT_)(f xft)dΩ, (3.15)

(49)

3.1. Discretização do sistema 49 m(u+_m−1+ wλ+_{, w}*_λ+_{) =} Z Ω H3(NxX*)λ+IkdΩ, H3=    Pm−1 q=1 (NxXq)(Nt(t+)Tq)Ik+ +(NxX)λ+_Ik m(u−_m−1+ wλ-, w*_λ+_{) =} Z Ω H4(NxX*)λ+_IkdΩ, H4=    Pm−1 q=1 (N x_X q)(Nt(t-)Tq)Ik−1+ +(Nx_X)λ− Ik−1. (3.16)

• De (3.9)2: cada termo de (3.5) pode ser reescrito da seguinte forma, para o sistema onde w∗= 0:

a(um−1+ wλ, wλ*) = Z Ω µ(BX)(NtT*₎ IkH5dΩ, H5= m−1 X q=1 (BXq)(NtTq)Ik+ (BX)(NtT)Ik ! m( ˙um−1+ w ˙λ, wλ*) = Z Ω (NxX)(NtT*₎ IkH6dΩ, H6=    Pm−1 q=1 (N x_X q)( ˙NtTq)Ik+ +(Nx_{X)( ˙}_Nt_T) Ik l(wλ*_{) =} Z Ω (NxX)(NtT*₎ Ik(fxft)IkdΩ, (3.17)

(50)

50 Capítulo 3. Problema transiente de calor por Galerkin descontínuo - PGD m(u+_m−1+ wλ+, w*_λ+_{) =} Z Ω H7(NxX)(Nt(t+)T*)IkdΩ, H7=    Pm−1 q=1(N x_X q)(Nt+Tq)Ik+ +(Nx_X)(Nt+_T) Ik. m(u−_m−1+ wλ-, wλ*+_{) =} Z Ω H8(NxX)(Nt(t+)T*)IkdΩ. H8=    Pm−1 q=1(N x_X q)(Nt−Tq)Ik−1+ +(NxX)(Nt−T)Ik−1. (3.18)

onde λ± = λ(t±) e t+_{é o primeiro ponto na malha do tempo no intervalo} Ik, e t−é o último ponto do intervalo anterior Ik−1. Para o primeiro intervalo de tempo I1, os últimos termos entre parentêses das duas equações de (3.18) são reescritos com a condição inicial dada por u(x, 0).

Na forma de matriz podemos reescrever (3.15) e (3.16), conforme segue, para o sistema onde λ∗= 0:

a(um−1+ wλ, w*λ) =X*T[KSm−1_Ik NtTIk(N t_T) Ik+ KX(TTNtT)Ik(NtT)Ik], m( ˙um−1+ w ˙λ, w*λ) =X*T[MSm−1Ik N˙ tT Ik(N t_T) Ik+ MX(TTN˙tT)Ik(NtT)Ik], l(w*_{λ) =X}*T_[F 1ftIk(N t_T) Ik], (3.19) m(um−1++ wλ+, w*λ+) =X*T[MSm−1Ik N t_(t+₎T Ik(N t_(t+_)T) Ik + MX(Nt(t+)T)Ik(Nt(t+)T)Ik], m(um−1++ wλ+, w*λ+) =X*T[MSm−1Ik−1N t_(t-₎T Ik−1(Nt(t+)T)Ik + MX(Nt(t-)T)Ik−1(Nt(t+)T)Ik] (3.20)

(51)

3.1. Discretização do sistema 51 K = Z Ω µBTBdΩ, M = Z Ω NxTNxdΩ, Sm−1_Ik−1= m−1 X q=1 XqTTqIk−1 S m−1 Ik = m−1 X q=1 XqTTqIk. F1= Z Ω NxTfxdΩ, (3.21)

Na forma de matriz podemos reescrever (3.17) e (3.18), para w∗ = 0: a(um−1+ wλ, wλ*) =[XTKSm−1Ik (N tT_Nt₎ Ik + (XTKX)(TTNtTNt)Ik]TIk* , m( ˙um−1+ w ˙λ, wλ*) =[XTMSm−1_Ik ( ˙NtTNt)Ik + (XTMX)(TTN˙tTNt)Ik]T*Ik, l(wλ*_{) =[X}T_F 1(ftNt)Ik]T*Ik, (3.22) m(u+_m−1+ wλ+, wλ*+_{) =[X}T_MSm−1 Ik (N t_(t+₎T_Nt_(t+₎₎ Ik + XTMX((Nt(t+)T)Nt(t+))Ik]T*Ik, m(u−_m−1+ wλ-, wλ*+_{) =[X}T_MSm−1 Ik−1N t Ik−1(t -₎T_Nt Ik(t +₎ + XTMX(Nt(t-)T)Ik−1NtIk(t +_)]T_* Ik. (3.23) Segundo (MENDONÇA, 2015), temos algumas observações refe-rentes ao equacionamento apresentado. Observação 1 - As expressões de (3.19)1-(3.23) na forma de matriz são obtidas depois da integração do es-paço. Os funcionais de (3.9) são complementados pela integração temporal a seguir.

(52)

• Integração do tempo de (3.19), (3.20) e (3.21) para λ∗= 0: Z Ik a(um−1+ wλ, wλ*) =X*T[KSm−1Ik (g1T)Ik+ KX(TTg1T)Ik], Z Ik m( ˙um−1+ w ˙λ, wλ*) =X*T[MSm−1Ik (g2T)Ik+ MX(TTg2T)Ik], Z Ik l(w*_{λ)dt =X}*T_[F 1(g3T)Ik], (3.24) g1= Z Ik NtTNtdt g2= Z Ik ˙ NtTNtdt g3= Z Ik ftNtdt (3.25)

• Integração do tempo de (3.22), (3.23) e (3.21) para w∗= 0: Z Ik a(um−1+ wλ, wλ*)dt =[XTKSm−1_Ik g1Ik+ (X T_KX)(TT_g 1)Ik]T*Ik, Z Ik m( ˙um−1+ w ˙λ, wλ*)dt =[XTMSm−1Ik g2Ik+ (X T_MX)(TT_g 2)Ik]T*Ik, Z Ik l(wλ*_{) =[X}T_F 1g3Ik]T * Ik. (3.26)

Para λ∗ = 0, vamos aplicar em (3.9)1, as equações (3.20), (3.21), (3.24) e (3.25) e obteremos um sistema do tipo A(T)X = B(T):

((TTg2T)Ik+ (λ+λ+)Ik− λ−Ik−1λ + Ik)M + (T T_g 1T)IkK | {z } A X |{z} X = F1(g3T)Ik+ MSm−1Ik−1[N tT Ik−1(t -_)λ+ Ik] − MS m−1 Ik [N tT_(t+_)λ+_{+ g} 2T]Ik | {z } B −KSm−1 Ik (g1T)Ik. | {z } B (3.27)

(53)

3.2. Algoritmos para solução dos sistemas PGD 53

Para w∗ = 0, vamos aplicar em (3.9)2, as equações (3.21), (3.23), (3.25) e (3.26) e obteremos um sistema do tipo C(X)T = D(X):

(XT_KX)gT 1Ik+ (X T_MX)gT 2Ik | {z } C {T} |{z} T = (XTMX)[λ−_Ik−1Nt_Ik(t+₎₋ | {z } D −λ+_IkNtIk(t+)] + XF1g3Ik− X T MSm−1_Ik [g2+ NtT(t+)Nt(t+)]Ik | {z } D +XTMSm−1_Ik−1[NtT_Ik−1(t-)Nt_Ik(t+)] − XTKSm−1_Ik g1Ik | {z } D (3.28) sendo que as funções de integração e somatório, para os sistemas de (3.27) e (3.28) estão definidas por (3.21) e (3.25).

3.2 ALGORITMOS PARA SOLUÇÃO DOS SISTEMAS PGD

A determinação de cada modo PGD envolvendo espaço-tempo é feita como no MEF-Galerkin Descontínuo, descrito na seção 2.3. O Inter-valo total de tempo 0-T é subdividido em macrointerInter-valos conforme Figura 1 e resolvido em forma sequencial progressiva para todos os macrointervalos. Entretanto, diferentemente do MEF, no PGD esse procedimento é repetido em algumas iterações até uma convergência frouxa daquele modo. Em seguida o processo é repetido para um modo adicional, sucessivamente, até que uma quantidade máxima prevista de modos tenha sido atingida, ou que a tolerância de erro tenha sido atingida, no domínio espaço-tempo. O teste de convergên-cia, em geral, não é feito por norma no domínio espaço-tempo, entre dois modos subsequentes. Uma forma mais barata e rápida consiste em testar ape-nas uma norma euclidiana dos valores nodais dos modos. A visão geral do procedimento descrito acima é vista de forma compacta no Algoritmo 1 da página 55.

Verificação da convergência dos modos PGD

Com a matriz (3.29) da multiplicação dos valores nodais do espaço X e tempo T definida, para o primeiro modo m−1 e para o modo m seguinte,

(54)

deve-se calcular a norma para cada uma dessas matrizes, conforme (3.30).

Sm−1_Ik = Pm−1 q=1XqTTqIk Sm_Ik = Pm

q=1XqTTqIk

, (3.29)

onde q é o número do modo atual, Xq e Tq é o q-ésimo vetor coluna na matriz X e T , Iké o macrointervalo da malha temporal, m é a somatória dos modos PGD convergidos até o modo atual, m − 1 é a somatória dos modos convergidos até o modo anterior.

k modo km−1= r Pn p=1S m−1 Ik 2 k modo km= r Pn p=1S m Ik 2 , (3.30)

onde p é o par (i, j) do elemento da matriz S, e n é o número de elementos que a matriz S possui.

Portanto para avaliar a convergência dos modos de PGD, aplica-se a relação:

dif = k modo km− k modo km−1 k modo km

(3.31)

Verificação da convergência das iterações de um dado modo PGD

Com a matriz (3.32) da multiplicação direta dos valores nodais do espaço X e tempo T definida, para a primeira iteração kk − 1 e para a ite-ração kk seguinte, deve-se calcular a norma para cada uma dessas matrizes, conforme (3.33). Skk= P kk q=1XqTq (3.32) k iter kkk= q (Skk) 2 k iter kkk−1= q (Skk) 2 (3.33)

(55)

3.2. Algoritmos para solução dos sistemas PGD 55

Portanto para avaliar a convergência das iterações de um determinado modo PGD, aplica-se a relação:

dif =k iter kkk− k iter kkk−1 k iter kkk

(3.34)

Algoritmos da implementação PGD

O poder do algoritmo de integração denominado PGD-P de (ANTHONY, 2010) consiste na solução alternativa de (3.9), para as aproximações de w e λ respectivamente, em vez de resolver os dois problemas não lineares si-multaneamente. Segundo (ANTHONY, 2010), os algoritmos de solução do problema estão descritos a seguir:

Algoritmo 1 - P GD − P

1 Para m = 1, m faça (m é o modo PGD) 2 Inicialize λ(t); determinando T (t) 3 Calcule Sm−1_I

k ;

4 Se (m ≥ 2) então

5 Para iteração k = 1, kmaxfaça

6 Para o macrointervalo Ik= 1, N delte faça

7 Calcule X de (3.27); 8 Normalize X; 9 Calcule T de (3.28); 10 Fim do macrointervalo Ik 11 Gere o par (w, λ); 12 Verifique a convergência de (w, λ); 13 Fim para iteração k

14 faça Xm= Xand Tm= T; 15 Calcule XmTTm

16 Fim para o modo PGD m

Observação 1 - Normalização no passo 5 é opcional, segundo (MEN-DONÇA, 2015).

(56)

Observação 2 - A convergência lenta pode indicar modos de PGD multiplos ou modos com valores muito próximos. Entretanto, mesmo neste caso, um bom par (w, λ) é determinado em poucas iterações, segundo (MEN-DONÇA, 2015) usualmente kmax ≈ 3 é o suficiente, porém não é o par de convergência. Isto justifica a convergência fraca no passo 13.

Algoritmo 2 - P GD − P∗ 1 for m = 1, m do

2 Calcule os passos 2 a 9 do Algoritmo 1 para obter wmλm; 3 Gere Wm≡ w1, w2, · · · , wm;

4 Calcule Λm≡ λ1, λ2, · · · , λm;

5 Faça um(x, t) = Wm· Λme verifique a convergência; 6 end for

Λm no passo 4 é determinado por meio do problema similar de (3.9)2, como demonstrado a seguir. Vamos considerar a seguinte expressão

u(x, t) = m X p=1

wp(x)λp(t), (3.35)

onde wp(x) são funções conhecidas, geradas no passo 3 do algoritmo 2, e os λp0s são determinados novamente. No entanto a variação de u passa a ser determinada por u*_{(x, t) = v(x, t) =} m X p=1 wp(x)λ*p(t). (3.36)

A formulação fraca de (3.4) gera m expressões simultâneas, como listado a seguir: B m X p=1 wpλp, wλ*p ! = L(wpλ*p) ∀λ* τ, parap = 1, · · · , m. (3.37) A única operação adicional realizada no algoritmo 2 é o passo 4, ou seja, a determinação de Λm, sendo este obtido por m problemas (3.12). Se-gundo (LADEVEZE; CHAMOIN, 2011), para um problema do tempo uni-dimentional, a sua discretização gera m pequenos problemas algébricos para

(57)

3.3. Formulação do fluxo de calor por Galerkin descontínuo via PGD 57

serem resolvidos no passo 4. Portanto, este passo tem a função de deter-minar os melhores coeficientes para a combinação linear de um conjunto de funções-base, que a-priori são constituídas por m modos do espaço wp(x). Após a determinação dos coeficientes nodais Xme Tm, com as respectivas matrizes das funções de forma, podemos gerar a matriz de temperaturas do corpo em análise, a partir de:

U(x, t) = m X p=1

wp(x)λp(t)Ik, (3.38)

substituindo w e λ por suas discretizações, obtemos:

U(x, t) = m X p=1

(NxXp)(NtTp)Ik, (3.39)

podemos reescrever (3.39) na forma:

U(x, t) =NxSm_IkNtT,

onde SmIk = X

XpTTpIk,

(3.40)

e, assim, obter a equação que representa a função da aproximação da tempe-ratura sobre o corpo 2D ao longo do tempo.

3.3 FORMULAÇÃO DO FLUXO DE CALOR POR GALERKIN

DES-CONTÍNUO VIA PGD

O modelo matemático de Galerkin descontínuo via PGD, que repre-senta a temperatura do corpo em questão, é determinado pela solução dos dois sistemas de (3.9), que, ao serem detalhados matematicamente, possibili-tou determinar (3.40) para a temperatura da placa ao longo do tempo. Já para o fluxo de calor, vamos utilizar a (2.14) para definir ∇u(x, t).

Tomando u(x, t) definido por (3.40) e fazendo ∇u(x, t), obtemos o seguinte:

∇u(x, t) =∇Nx_Sm IkNtT, ∇u(x, t) =BSmIkN

(58)

Portanto, ao considerar (3.41) podemos reescrever (2.14) e encontrar a ex-pressão (3.42) para fluxo de calor da placa para o método de PGD.

q(x) = −kBSm_IkNtT (3.42)

3.4 CÁLCULO DO ERRO RELATIVO DA TEMPERATURA E DO FLUXO DE CALOR EM UMA MALHA 2D

Para determinar o erro relativo em um instante de tempo t, da res-posta dos métodos de integração direta de Euler, Crank Nicolson e do PGD mais galerkin descontínuo, que determinam a temperatura e o fluxo de calor da placa, utilizamos como base uma equação analítica para ambas as respos-tas. Sendo assim, o erro relativo foi calculado seguindo as etapas:

1. Determinar os valores nodais analíticos Uexato(x, t) e Qexato(x, t) para temperatura e fluxo de calor;

2. Determinar os valores nodais de Uaprox.(x, t) e Qaprox.(x, t), por meio dos métodos propostos para a temperatura e fluxo de calor;

3. Determinar a área para cada elemento finito de 4 nós da malha espacial aplicada no corpo 2D representado na Figura (2);

4. Para cada elemento espacial, determinar a temperatura média e o fluxo de calor nas direções x, y e resultante médio, do método analítico e dos métodos numéricos implementados;

umed = unó 1+unó 2+u₄ nó 3+unó 4 qmed= qnó 1+qnó 2+q₄ nó 3+qnó 4

(3.43)

5. Integração da temperatura e do fluxo para cada elemento, para a res-posta analítica e para os método implementados.

Uint= u2medA Qint= q2medA

(59)

3.4. Cálculo do erro relativo da temperatura e do fluxo de calor em uma malha 2D 59

6. Determinar a norma L2 da temperatura e do fluxo analítico e numérico.

k U kL2= √ Uint k Q kL2= √ Qint (3.45)

7. Portanto, o erro relativo da norma L2 para a temperatura é determinado por:

Errou=

k UexatokL2− k Uaprox.kL2 k UexatokL2

(3.46)

8. O erro relativo da norma L2 para o fluxo de calor é determinado por:

Erroq=

k Qexato kL2− k Qaprox.kL2 k QexatokL2

(60)

(61)

61

4 RESULTADOS

4.1 DEFINIÇÃO DO CORPO E DO MATERIAL ESTUDADOS NOS TES-TES

Após a revisão bibliográfica apresentanda anteriormente, onde fo-ram discutidos os diferentes métodos para solução da parcela temporal do problema transiente de calor, temos definido o modelamento matemático a ser implementado para determinar a temperatura de um corpo que sofre varia-ção na transferência de calor, por meio da funvaria-ção de geravaria-ção de calor imposta sobre o mesmo. Para definirmos um padrão de análise e comparação dos dois métodos de integração direta com o método de PGD faz-se necessário fixar alguns parâmetros na programação dos modelos matemáticos apresentados até o momento.

O corpo-modelo utilizado nos estudos é um retângulo com compri-mento e largura inicialmente iguais, conforme apresentado na Figura 2 e esse corpo será discretizado em diferentes tamanhos de malha para cada tipo de análise.

Figura 2 – Placa 2D de 100x100 mm com 2 mm de espessura e dividida em 16 elementos. Modelo utilizado para análise e como base de com-paração entre os métodos deste trabalho.

O material utilizado para as simulações é o alumínio, cujas proprie-dades físicas utilizadas estão abaixo:

(62)

62 Capítulo 4. Resultados

Tabela 3 – Propriedades térmicas do alumínio. Descrição da propriedade Valor

Densidade (ρ): 2.7 ∗ 10−5h kg mm3 i Calor específico (Cp): 921.1 h J kg°C i Condutividade térmica (k) : 237 ∗ 10−3h W mm2°C i

Tendo em vista os modelos teóricos apresentados nas seções ante-riores, estamos propondo algumas análises com base nas equações analíticas pré-definidas, com o intuito de avaliar a qualidade e a assertividade dos méto-dos matemáticos para discretização temporal do problema transiente de calor. Esta avaliação tomará como base a verificação dos erros e o com-portamento de cada método teórico; além de comparar os métodos teóricos com a resposta analítica, faremos também um estudo comparativo entre os modelos númericos de Euler, Crank Nicolson e PGD-Galerkin, uma vez que os parâmetros utilizados proporcionam tal comparação.

Para tanto, as duas próximas seções deste capítulo apresentam o des-critivo dos modelos analíticos propostos e as comparações mencionadas, onde um problema analítico apresenta uma variação temporal cúbica e outro com variação senoidal no tempo, sendo que para ambos os casos a variação espa-cial é senoidal.

4.2 CASO 1: PROBLEMA DE CARREGAMENTO CÚBICO NO TEMPO

Como primeira aplicação da teoria que foi analisada no capítulo3, é proposta uma equação analítica para a temperatura (4.1), apresentando com-portamento senoidal nas direções x e y da placa e cúbico na parte temporal do problema em análise. u(x, t) = b sin nπx Lx sin nπy Ly t³, (4.1)

satisfazendo as condições de contorno homogêneas u(x, t) = 0 em x ∈ Γ . Portanto, no decorrer do tempo, a placa sofrerá uma elevação sig-nificativa da temperatura, sendo que esta elevação é consequência apenas da

(63)

4.2. Caso 1: problema de carregamento cúbico no tempo 63

geração interna de calor, pois conforme a formulação forte do problema (??), as demais variáveis que poderiam influenciar na elevação da temperatura fo-ram consideradas constantes.

Para determinar a função f (x, t) de geração de calor, é aplicada a equação de equilíbrio desse problema, representado por:

∇ · (µ∇u(x, t)) + f (x, t) = u(x, t), (4.2) e, como consequência da resolução de (4.2), encontra-se a representação da geração interna de calor, definida por

f (x, t) =A ∗ sin nπx Lx sin nπy Ly onde, A =3bt² + µbt³ " nπ Lx 2 + nπy Ly 2# (4.3)

Para determinar o fluxo de calor analítico em (4.5), faz-se necessário primei-ramente determinar o gradiente da temperatura, conforme

∇u(x, t) =δu δxi + δu δyj, ∇u(x, t) =bnπt³ [Bxi + Byj] Bx= cosnπx_L x sinnπy_L y Lx By= sinnπx Lx cosnπy_L y Ly (4.4) q(x, t) = −k∇U (x, t), (4.5)

ao aplicar (4.4) em (4.5), é possível visualizar o fluxo de calor decomposto em duas direções da placa conforme

q(x, t) = − kbnπt³[Bxi + Byj] (4.6) No entanto, para facilitar a comparação dos resultados do fluxo de calor, é necessário determinar o fluxo resultante desses dois vetores de (4.6), onde o

(64)

valor absoluto para este fluxo é definido por

q(x, t) =kbnπt3qB2

x+ By2 (4.7)

Ao considerar as equações analíticas que representam o comportamento da temperatura (2.1), do fluxo de calor (4.7) ao longo da placa, e os métodos numéricos implementados em programas Fortran, pode-se realizar um estudo comparativo das respostas desses métodos numéricos e analíticos, porém faz-se necessário padronizar alguns parâmetros físicos, como:

O domínio espacial deste problema é definido por uma placa da Fi-gura 2 com dimensões de 100x100x2mm, dividida em uma malha com 16 elementos finitos, ou seja, uma malha de 4x4 elementos. Já o domínio tem-poral é definido por um tempo total de 4s e o intervalo de tempo 4t = 0, 5s para os métodos de integração direta; para o método de PGD foram aplicados 8 macrointervalos (4tM = 0, 5s) e 2 microintervalos para cada macrointer-valo (4tm= 0, 25s).

Para os três métodos numéricos implementados, foram determina-dos o valor nodal da temperatura e o do fluxo de calor nas linhas centrais da placa, considerando o instante de tempo t = 4s. Para as Figuras 3 e 5 temos que as coordenadas espaciais dos nós são y = 50mm e x (0; 100)mm; já para as Figuras 4 e 6 temos x = 50mm e y (0; 100) mm. Para simular esse cenário foram necessários 9.5E5, número de operações de pontos flutuantes (NOP) para o método de Euler, 11E6 NOP para Crank Nicolson e 10, 4E6 NOP para o método de PGD.

Nos gráficos das Figuras 3 e 4 pode-se visualizar o comportamento da temperatura ao longo de uma linha central, na direção de x e y respecti-vamente. Ao considerar os parâmetros descritos anteriormente é visto que, em ambas direções da placa, o método de PGD apresentou valores nodais mais próximos aos valores analíticos, isto se comparados com a respostas dos métodos de integração direta de Euler e Crank Nicolson.

(65)

4.2. Caso 1: problema de carregamento cúbico no tempo 65 0 20 40 60 80 100 Eixo X [mm] 0 20 40 60 80 T e m p e ra tu ra [º C ] Analítico Euler Crank Nicolson PGD Temperatura ao longo da placa p/. Y=50mm

Figura 3 – Gráfico da variação da temperatura no eixo X ao longo da placa, para o instante de tempo t = 4s.

0 20 40 60 80 100 Eixo Y [mm] 0 20 40 60 80 T e m p e ra tu ra [º C ] Analítico Euler Crank Nicolson PGD Temperatura ao longo da placa p/. X=50mm

Figura 4 – Gráfico da variação da temperatura no eixo Y ao longo da placa, para o instante de tempo t = 4s.

Considerando a equação analítica (4.1), pode-se afirmar que os 3 métodos numéricos obtiveram êxito na tentativa de aproximar o comporta-mento senoidal analítico da temperatura, cada um com seu nível de erro. Nos gráficos das Figuras 3 e 4 o método de Cranck Nicolson apresentou valores

(66)

notoriamente acima da curva analítica e, portanto, com erro relativo maior que os demais métodos.

0 20 40 60 80 100 Eixo X [mm] 0 2 4 6 F lu x o d e C a lo r R e s u lt a n te [1 0 -3W /m m ºC ] Euler Crank Nicolson PGD Analítico Fluxo de Calor ao longo de Y=50

Figura 5 – Gráfico da variação do fluxo de calor no eixo X ao longo da placa, para o instante de tempo t = 4s.

0 20 40 60 80 100 Eixo Y [mm] 0 2 4 6 F lu x o d e C a lo r R e s u lt a n te [1 0 -3W /m m ºC ] Euler Crank Nicolson PGD Analítico Fluxo de Calor ao longo de X=50

Figura 6 – Gráfico da variação do fluxo de calor no eixo Y ao longo da placa, para o instante de tempo t = 4s.

(67)

4.2. Caso 1: problema de carregamento cúbico no tempo 67

Os gráficos das Figuras 5 e 6 estão representando o comportamento do fluxo de calor para os 3 métodos numéricos e para a resposta analítica de (4.7). É possível visualizar nos dois gráficos que o fluxo de calor determinado pelos 3 métodos numéricos apresenta uma resposta com menor precisão do que a resposta dos métodos para a temperatura; isto pode ser explicado pelo simples fato de que a temperatura é deteminada diretamente pelo método; já o fluxo de calor é uma derivada da temperatura, embutindo, assim, um erro maior na resposta dos métodos numéricos.

Nas Figuras 7 e 8 é apresentado o comportamento da temperatura no domínio temporal do problema, onde t [0; 4]s, e no domínio espacial o ponto em análise é o nó central da placa cujas coordenadas são [x = 50mm e y = 50mm].

Ao avaliar a Figura 7 pode-se visualizar que os 3 métodos de integra-ção foram capazes de representar o comportamento da temperatura ao longo do tempo, se comparados com a resposta analítica do problema. Na Figura 8 foi realizado um comparativo direto da resposta do método de PGD com a resposta analítica, sendo possível visualizar que existem descontinuidades entre os macrointervalos do problema, assim como definido teoricamente na formulação apresentada no capítulo 3.

Na Figura 9, ao realizar a mesma avaliação temporal anterior, no entanto considerando o fluxo de calor e não a temperatura, podemos visuali-zar que a resposta dos 3 métodos também se aproxima do comportamento da equação analítica no intervalo de tempo de [0; 4]s. Porém o método de Crank Nicolson apresenta valores acima da resposta analítica; já Euler e PGD apre-sentaram valores ligeiramente abaixo da curva.

Um comparativo direto da resposta PGD com a resposta analítica é apresentado na Figura 10, onde se percebe que o método de PGD determina a variação do fluxo de calor de forma descontínua, e o primeiro valor de cada macrointervalo é um pouco inferior ao último valor do macrointervalo anterior, representando, assim, a descontinuidade do método.

De modo geral, a resposta PGD representa corretamente o compor-tamento da temperatura e do fluxo de calor ao longo do tempo.

(68)

68 Capítulo 4. Resultados 0 1 2 3 4 Tempo [s] 0 20 40 60 80 T e m p e ra tu ra [º C ] Analítico Euler Crank Nicolson PGD

Variação da temperatura no centro da placa

Figura 7 – Gráfico da variação da temperatura do nó central da placa (x e y = 50)mm ao longo do tempo para os 3 métodos de integração.

0 1 2 3 4 Tempo [s] 0 20 40 60 80 T e m p e ra tu ra [º C ] Analítico PGD

Variação da temperatura no centro da placa

Figura 8 – Gráfico da variação da temperatura no nó central da placa (x e y = 50)mm ao longo do tempo para o método de PGD com a resposta analítica.

(69)

4.2. Caso 1: problema de carregamento cúbico no tempo 69 0 1 2 3 4 Tempo [s] 0 2 4 6 F lu x o d e C a lo r [1 0 -3W /m ºC ] Analítico Euler Crank Nicolson PGD

Fluxo de Calor ao longo do tempo p/ nó 11.

Figura 9 – Gráfico da variação do fluxo de calor no nó central da placa (x e y = 50)mm ao longo do tempo para os 3 métodos de inte-gração. 0 1 2 3 4 Tempo [s] 0 1 2 3 4 5 F lu x o d e C a lo r [1 0 -3W /m ºC ] _Analítico PGD

Fluxo de Calor ao longo do tempo p/ nó 11.

Figura 10 – Gráfico da variação do fluxo de calor do nó central da placa (x e y = 50)mm ao longo do tempo para o método de PGD e a resposta analítica.