Publicações do PESC Locação Ótima de Bancos de Capacitores em Sistemas de Potência

LOCAÇÃO

TINA

D E BANCOS D E CA?ACITORES

MARIA

JOSE

PONTES AFONSQ D E CARVALHO

T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENA@^ DOS PROGRBMAF DE P~S-GRADUAÇÃO D E ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O D E JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSARIOS

PARA A OBTEN

-

ç Ã o D O GRAU D E MESTRE EM C IÊNCIAS (M.

sc

.

)

.

A p r o v a d a por: P r e s i d e n t e Prof

.

N e l s o n M a c u l a F i l h o

;

i

P r o f . C l a u d i o T , B o r n s t e i n R I O D E J A N E I R O , R J

-

B R A S ã L J A N E I R O D E 1 9 9 8

Ao meu p a i Ao meu marido

AGRADECIMENTOS Agradeço a t o d o s a q u e l e s q u e , d i r e t a ou i n d i r e t a m e n t e , c o l a b o r a r a m n a e l a b o r a ç ã o do p r e s e n t e t r a b a - l h o . Em p a r t i c u l a r , a p r e s e n t o meu r e c o n h e - cimento ao P r o f e s s o r C l o v i s C a e s a r Gonzaga, p e l a o r i e n t a ç ã o , a o s E n g e n h e i r o s Manoel Afonso de C a r v a l h o Jr e W e l l i n g t o n M o t t a , pe

-

l a a j u d a p r o f i s s i o n a l e e s t í m u . l o e a V i o l e t a M a r i a Dourado Cos- t a p e l o e x c e l e n t e t r a b a l h o d a t i l o g r á f i c o . Ã CAPES p e l a a j u d a f i n a n c e i r a .

iii

I?

a p r e s e n t a d o um método p r á t i c o de 10

-

c a ç ã o d i s c r e t a de c a p a c i t o r e s v i s a n d o n ã o somente a m i n i m i z a ç ã o de p e r d a s do S i s t e m a , mas p r i n c i p a l m e n t e e x p a n d i r t e c n i c a m e n t e ' os l i m i t e s de p o t ê n c i a r e a t i v a g e r a d a de m a n e i r a a m a n t e r o f l u

_-

xo de p o t ê n c i a d e n t r o d a s l i m i t a ç õ e s f í s i c a s de o p e r a ç ã o do S i s

-

tema. A abordagem e t r a t a m e n t o a q u i a.presen

-

t a d o s r e s s a l t a m a s i m p l i c i d a d e c o m p u t a c i o n a l do método d a s pena - l i d a d e s e a p r e s e n t a m d e t a l h e s d a s t é c n i c a s de s o l u ç ã o de s i s t e - mas de e q u a ç õ e s l i n e a r e s e s p a r s a s .

E

a p r e s e n t a d o sob forma de exemplo a a n á l i s e de um c a s o de l o c a ç ã o otima de bancos de c a p a c i t o r e s em r e g i m e permanente v i s a n d o m o s t r a r a i m p o r t a n c i a d a s t a b e l a s , f o r

_-

n e c i d a s p e l o programa d e s e n v o l v i d o , no e s t u d o de p l a n e j a m e n t o

'

de S i s t e m a s de P o t ê n c i a .

i v . ABSTRACT

A

p r a c t i c a l method f o r t h e d i s c r e _- t e a l l o c a t i o n of c a p a c i t o r s i n power s y s t e m s i s d e v e l o p e d . I t i s d e s i g n e d n o t o n l y t o minimize l o s s e s i n t h e s y s t e m , b u t m a i n l y t o expand t h e l i m i t a t i o n s i n r e a c t i v e power g e n e r a t i o n

'

s o t h a t ' t h e power f l o w s a r e k e p t w i t h i n t h e p h y s i c a l l i m i t a - t i o n s f o r t h e s y s t e m ' s o p e r a t i o n . The a p p r o a c h f o l l o w e d i n t h i s work s t r e s s e s t h e c o m p u t a t i o n a l s i m p l i c i t y o f t h e p e n a l t y f u n c

_-

t i o n s method and p r e s e n t s some d e t a i l s i n s p a r s e m a t r i x t e c n i - q u e s f o r t h e s o l u t i o n o f l i n e a r e q u a t i o n s y s t e m s .

A p r a t i c a 1 example of o p t i m a l a l - l o c a t i o n of c a p a c i t o r s f o r s t e a d y s t a t e o p e r a t i o n i s a n a l y s e d and comments a r e made on t h e i m p o r t a n c e of t h e t a b l e s g e n e r a t e d by t h e program f o r t h e s t u d y of power s y s t e m s p l a n n i n g .

SUMARIO

CAP

TU

LO :

I

-

~ n t r o d u ç ã o

I 1

-

S o l u ç ã o do F l u x o de Carga

S e ç ã o 1

-

Método de Newton Raphson

s e ç ã o 2

-

F l u x o d e c a r g a

-

b a r r a s de c a r g a s e ç ã o 3

-

F l u x o de c a r g a

-

b a r r a s ~ e n s ã o Con- t r o l a d a . Diagrama do F l u x o I11

-

Método de O t i m i z a ç ã o S e ç ã o 1

-

Minimização com r e s t r i ç õ e s d e i g u a l

-

d a d e . S e ç ã o 2

-

M i n i m i z a ç ã o com r e s t r i ç õ e s de i g u a l

-

dade e i n e q u a ç õ e s s o b r e p a r a m e t r o s ' de c o n t r o l e . S e ç ã o 3

-

Minimização com r e s t r i ç õ e s d e i g u a l

-

dade e i n e q u a ç õ e s s o b r e p a r a m e t r o s ' de c o n t r o l e e v a r i a v e i s d e p e n d e n t e s . Função P e n a l i d a d e Diagrama do Método de o t i m i z a ç ã o IV

-

D e s e n v o l v i m e n t o ~ a t e m á t i c o V

-

~ é t o d o s C o m p u t a c i o n a i s S e ç ã o 1

-

T a b e l a "LU" S e ç ã o 2

-

T a b e l a "LU" em m a t r i z e s e s p a r s a s

Seção 3

-

Tecnicas de armazenamento e s p a r s o 5 4 V I

-

Exemplo de l o c a ç ã o Ótima de c a p a c i t o r e s . 6 1

I n t r o d u c ã o

Uma d a s a n á l i s e s mais i m p o r t a n t e s p a r a O

p l a n e j a m e n t o de um s i s t e m a e l é t r i c o de p o t ê n c i a f e i t a a t r a v é s do f l u x o de c a r g a . A l o c a ç ã o Ótima de bancos de c a p a c i t o r e s em um s i s t e m a de p o t ê n c i a com uma c o n f i g u r a ç ã o p r e v i a m e n t e d e f i n i - d a , pode s e r f e i t a com o c r i t é r i o de s e o p e r a r com o m h i m o de p e r d a s no s i s t e m a de t r a n s m i s s ã o . A i m p o r t â n c i a de t a l c r i t é r i o s e e v i d e n c i a s e t o d a a g e r a ç ã o do s i s t e m a em e s t u d o f o r a s s o c i a d a a u s i n a s h i d r o e l é t r i c a s onde nenhum c u s t o de g e r a ç ã o

é

c o n s i d e r a d o . A e n e r g i a h i d r á u l i c a

é

c o n v e r t i d a em e l e t r i c a n a p r ó p r i a o r i g e m , sendo e n t ã o t r a n s p o r t a d a p o r l i n h a s de t r a n s m i s s ã o a t é o p o n t o em que

6

c o n v e r t i d a na forma d e s e j a d a . A l i n h a de t r a n s m i s s ã o não pode armazenar e n e r g i a e t o d a a e n e r g i a c o n v e r t i d a n a e s t a

-

ç ã o g e r a d o r a

é

f o r n e c i d a a c a r g a , e x c e t o a s p e r d a s do s i s t e m a .

Tendo em v i s t a a l o c a ç ã o Ótima de b a n c o s de c a p a c i t o r e s p a r a s u p r i r a s l i m i t a ç õ e s f i s i c a s de o p e r a ç ã o do s i s t e m a e minimização de p e r d a s , d e s e n v o l v e u - s e um a l g o r i t i m o b a s i c a m e n t e a p o i a d o no método de Newton Raphson p a r a s o l u ç ã o do

2 . f l u x o de c a r g a , n a o t i m i z a ç ã o p o r meio do método d a s p e n a l i d a - d e s e no d e s e n v o l v i m e n t o de t é c n i c a s envolvendo m a t r i z e s e s p a r

-

s a s . O método de Newton-Raphson p a r a s o l u ç ã o do f l u x o de c a r g a c o n s t a de um p r o c e s s o i t e r a t i v o , como m u i t o s ou- t r o s , de a t u a l i z a ç ã o d a t e n s ã o de m a n e i r a a s e o b t e r um p o n t o d e c o n v e r g ê n c i a onde s ã o m a n t i d o s os n í v e i s de t e n s ã o e g e r a - ção de p o t ê n c i a r e a t i v a e a t i v a . No c a p í t u l o I1 s e r á a p r e s e n t a d a t o d a a me- t o d o l o g i a do e s t u d o de f l u x o de c a r g a i n c l u i n d o a f o r m u l a ç ã o ma

-

t e m á t i c a do método de Newton-Raphson.

Como n ã o s e e s t á desenvolvendo um programa

4

de s o l u ç ã o de f l u x o de c a r g a e s i m de minimização de p e r d a s , e i m p o r t a n t e n o t a r que a s o l u ç ã o c o n v e r g i d a do f l u x o de c a r g a p a s

-

s a a s e r n a v e r d a d e o p r i m e i r o p a s s o de t o d o o p r o c e s s o a q u i d e s e n v o l v i d o . D e s t a m a n e i r a a s equações do f l u x o no p o n t o de c o n v e r g ê n c i a s e tornam i n d i s p e n s á v e i s como a p o i o ao método de o t i m i z a ç ã o u t i l i z a d o . E s t a f o i a r a z ã o da e s c o l h a do método de Newton-Raphson, j á que no fim d a s i t e r a ç õ e s p a r a c o n v e r g ê n c i a do

f l u x o , tem-se o J a c o b i a n o do s i s t e m a no p o n t o s o l u ç ã o .

P a r a m a n t e r os n í v e i s de t e n s ã o e conse

-

quentemente o s de g e r a ç ã o de p o t ê n c i a r e a t i v a um dos meios m a i s u s a d o s , p o r s e r o mais econômico,

6

a l o c a ç ã o de bancos de capa

_-

c i to r e s .

l o c a ç ã o Ôtima de bancos de c a p a c i t o r e s s ã o d i s c r e t a s , j a que s e tem, u n i c a m e n t e , a c e s s o a c e r t a s u n i d a d e s de c a p a c i t o r e s com modulações f i x a s r e f e r e n t e s a t e n s ã o nominal de c a d a b a r r a . E x e m ~ l i f i c a n d o Tensão Nominal d a B a r r a

Modulo dos BAncos de c a p a c i t o r e s 3 . 6 MVAr 20.4 ou 10.2 MVAr 2.7 MVAr A e s c o l h a de d e s e n v o l v e r um p r o c e s s o d i s

-

c r e t o de l o c a ç ã o de c a p a c i t o r e s

,

baseou-se n a não g a r a n t i a dos p r o c e s s o s c o n t h u o s , j á que n e s t e s c a s o s pode o c o r r e r um g r a n d e aumento de i n s t a l a ç õ e s , p o i s o s v a l o r e s o b t i d o s s ã o g e r a l m e n t e ' a r r e d o n d a d o s p a r a o mais próximo v a l o r d i s c r e t o s u p e r i o r , ou s e j a :

Supondo que como s o l u ç ã o s e t e n h a que numa d e t e r m i n a d a b a r r a de t e n s ã o nominal 13.8 Kv s e j a m n e c e s s á r i o 5 . 5 MVAr p a r a manter o n i v e l de t e n s ã o . SÕ s e r á p o s s i v e l l o c a r n e s t e c a s o a g r a n d e z a de 3 . 6 MVAr ou 7 . 2 MVAr. No método d i s c r e t o d e s e n v o l v i d o a t r a v é s das i n d i c a ç õ e s dos p o n t o s c r í t i c o s do s i s t e m a , p e l a s t a b e l a s i n t e r - m e d i á r i a s do p r o c e s s o de o t i m i z a ç ã o p o r meio d a s f u n ç õ e s de Pe- n a l i d a d e , não s e t e r ; e r r o s de arredondamento porem como em t o -

do p r o c e s s o de b u s c a e x i g i r á uma c e r t a p e r d a de tempo computa

-

c i o n a l . No ~ a ~ í t u l o I11 s e r á a p r e s e n t a d o t o d a a a n á l i s e do p r o c e s s o de o t i m i z a ç ã o e v i d e n c i a n d o a s v a n t a g e n s e d e s v a n t á g e n s do método d a s p e n a l i d a d e s e o a l g o r i t i m o de l o c a - ç ã o Ótima d i s c r e t a de bancos de c a p a c i t o r e s . No c a p í t u l o I V s e r á a p r e s e n t a d o t o d a a me- t o d o l o g i a e f o r m u l a ç ã o m a t e m á t i c a do problema de m i n i m i z a ç ã o de p e r d a s p o r i n t e r m é d i o do método d a s p e n a l i d a d e s . A m a t r i z a d m i t â n c i a de b a r r a a p r e s e n t a , q u e d o r e p r e s e n t a n d o r e d e s de ~ o t ê n c i a ,

t r ê s

c a r a c t e r ~ s t i c a s : e s p a r

-

s i d a d e , s i m e t r i a e

é

d i a g o n a l m e n t e d o m i n a n t e , ou s e j a , p a r a c a - d a l i n h a d a m a t r i z , o módulo do e l e m e n t o d i a g o n a l

é

m a i o r OU

i g u a l a soma dos módulos dos e l e m e n t o s n ã o d i a g o n a i s .

A e s t a s c a r a c t e r í s t i c a s s e a s s o c i a m t é c n i - c a s de armazenamento e m a n i p u l a ç ã o somente dos e l e m e n t o s não t r i v i a i s p a r a m a n t e r a e s p a r s i d a d e d a m a t r i z c o n s i d e r a d a .

Como veremos no C a p z t u l o V a p l i c a m - s e e s - t a s t é c n i c a s p a r a s o l u ç õ e s de e q u a ç õ e s l i n e a r e s d e s d e que s e obedeça uma c e r t a ordem n o s p r o c e s s o s de e l i m i n a ç ã o e s u b s t i t u i

-

ç ã o .

O programa d e s e n v o l v i d o v i s a f a c i l i t a r no máximo o s e s t u d o s de p l a n e j a m e n t o de s i s t e m a de t r a n s m i s s ã o . Se o Mapa de l o c a ç ã o de c a p a c i t o r e s f o r i n s u f i c i e n t e p a r a m a n t e r

5 . os n i v e i s de t e n s ã o e g e r a ç á o de p o t ê n c i a r e a t i v a , a t r a v é s d a s t a b e l a s r e f e r e n t e s a cada l o c a ç ã o , dadas p e l o programa, o usuá- r i o e s t a r á a p t o a f a z e r uma a n á l i s e do s i s t e m a e m e s t u d o e com

-

p l e m e n t a r a c e r t a d a m e n t e o mapa de l o c a ç ã o de c a p a c i t o r e s .

No c a p í t u l o V I s e tem c o n s i d e r a ç Õ e s e expo

-

s i ç ã o de um exemplo de l o c a ç ã o Ótima de c a p a c i t o r e s em regime permanente.

S o l u ç ã o do Fluxo de Carga O f l u x o de c a r g a

é

uma d a s mais i m p o r t a n

-

t e s f e r r a m e n t a s n a p l a n i f i c a ç ã o de a m p l i a ç õ e s de um s i s t e m a de p o t ê n c i a e n a d e t e r m i n a ç ã o de c o n d i ç õ e s Ótimas de o p e r a ç ã o do

'

s i s t e m a e x i s t e n t e . O p r i m e i r o programa d e s e n v o l v i d o com s u c e s

-

s o p a r a s o l u ç ã o do f l u x o de p o t ê n c i a f o i f e i t o p o r Ward e H a l e . E l e s usaram o método m o d i f i c a d o de Newton. 0 s programas que s e s e g u i r a m j á implantavam o método de G a u s s - S e i d e l . porém em 1961 o a l g o r i t i m o de Newton-Raphson f o i r a p i d a m e n t e a c e i t o p e l a s com

-

p a n h i a s de e l e t r i c i d a d e tomando a s s i m o l u g a r do a l g o r i t i m o de G a u s s - S e i d e l . A s i n f o r m a ç õ e s r e s u l t a n t e s d a a n á l i s e do f l u x o de c a r g a s ã o em g e r a l , o módulo e a f a s e da t e n s ã o em c a - d a b a r r a e a p o t ê n c i a a t i v a e r e a t i v a que f l u i em c a d a l i n h a . A s s o c i a d a a c a d a b a r r a e x i s t e m q u a t r o v a - r i á v e i s : P

-

~ o t ê n c i a a t i v a l i q u i d a - p o t ê n c i a Gerada menos de c a r g a . Q

-

r e a t i v a l i q u i d a - p o t ê n c i a Gerada menos de c a r g a . E

-

rn6dulo d a t e n s ã o 6

-

â n g u l o de f a s e d a t e n s ã o

rês

t i p o s de b a r r a s s ã o r e p r e s e n t a d a s n o c a l c u l o do f l u x o de c a r g a a s q u a i s s ã o c a r a c t e r i z a d a s dependen- do d a s d u a s v a r i á v e i s que l h e s s ã o e s p e c i f i c a d a s . i : b a r r a de b a l a n ç o

-

E e 6 e s p e c i f i c a d o s i i : b a r r a de c a r g a

-

P e Q e s p e c i f i c a d o s iii: b a r r a de t e n s ã o c o n t r o l a d a

-

P e E e s p e c i f i c a d o s Seção 1

-

O ~ é t o d o de Newton-Raphson. O problema de f l u x o de c a r g a pode s e r r e s o l

-

v i d o p e l o método de Newton-Raghson ( 8 )

.

Usando um c o n j u n t o de e q u a ç õ e s n ã o l i n e a r e s p a r a e x p r e s s a r a p o t ê n c i a a t i v a e r e a t i v a em t e r m o s d a s t e n s õ e s n a s b a r r a s .

*

p o t ê n c i a n a b a r r a p : Pp

-

jQp

Ep

I p E* conjugado d a t e n s ã o P I p c o r r e n t e . n S u b s t i t u i n d o Ip

=r

Ypq Eq Ypq

-

e l e m e n t o da m a t r i z admi- t â n c i a de b a r r a r e f e r e n t e a s b a r r a s p e q. Temos e n t ã o v-: Pp- j Q p = E Ypq Eq

Separando a p a r t e r e a l da i m a g i n á r i a tem-se:

E s t a m a n e i r a de f o r m u l a r nos dá uni c o n j u n t o de equações s i m u l t â n e a s não l i n e a r e s , duas p a r a cada b a r r a do s i s t e m a .

O método de Newton-Raphson nos dá um conjun

_-

t o de equações l i n e a r e s que r e l a c i o n a v a r i a ç õ e s . de p o t ê n c i a a t i - v a e r e a t i v a com a s v a r i a ç õ e s d a s componentes da voltagem n a b a r

_-

r a , onde a m a t r i z c o e f i c i e n t e

é

a m a t r i z J a c o b i a n o .

p = l

-

b a r r a de b a l a n ç o

9 . Seção 2

-

S i s t e m a

s ó

de b a r r a s de c a r -

g a *

C o n s i d e r a n d o um s i s t e m a s ó de b a r r a s de c a r g a , c s p o t ê n c i a s a t i v a e r e a t i v a Pp e Qp s ã o c o n h e c i d a s e a s componentes e p e f p da t e n s ã o n ã o o s ã o em cada b a r r a p , a não s e r n a b a r r a de b a l a n ç o na q u a l a v o l t a g e m

6

f i x a d a . Logo e x i s - t e 2 (n-1) e q u a ç õ e s p a r a serem r e s o l v i d a s p a r a a s o l u ç ã o do f l u - xo de c a r g a . ( 2 . 1 )

U t i l i z a n d o - s e o método de Newton-Raphson em c o o r d e n a d a s p o l a r e s tem-se a s s e g u i n t e s t r a n s f o r m a ç õ e s

.

D e f i n i ç ã o do J a c o b i a n o S e j a A a . m a t r i z J a c o b i a n o onde p e q v a r i a m da b a r r a 2 a b a r r a n j á q u e a b a r r a de b a l a n ç o f o i d e f i n i d a como a número 1. 0 s e l e m e n t o s d o J a c o

-

b i a n o s ã o : P a r a A ( n + p - 1 , q )

P a r a A (p , n + q - l ) P a r a A(n+p-1 ,n+q-1) n Sen (O + 6 P9 P - V A equação m a t r i c i a l (2.1) de s o l u ç ã o d a s equações do f l u x o de c a r g a s e a p r e s e n t a em forma p o l a r d a s e - g u i n t e m a n e i r a . O d e s e n v o l v i m e n t o do método de Newton

-

Raphson s e p r o c e s s a i t e r a t i v a m e n t e .

1 2 . Sendo dado um c o n j u n t o de v a l o r e s p a r a a s t e n s õ e s em c a d a b a r r a , c a l c u l a m - s e , a p a r t i r d a s f o r m u l a s (2.0)

,

a s p o t ê n c i a s a t i v a e r e a t i v a r e f e r e n t e a c a d a b a r r a com e x c e ç ã o da b a r r a de b a l a n ç o . A s mudanças em p o t ê n c i a AP e A Q d e f i n i - d a s n a e q u a ç ã o ( 2 . 2 ) s ã o c a l c u l a d a s a t r a v é s da d i f e r e n ç a e n t r e a p o t ê n c i a e s p e c i f i c a d a e a c a l c u l a d a . 0 s v a l o r e s a t r i b u í d o s a s t e n s õ e s n a s b a r

-

r a s s ã o u s a d o s p a r a computar a m a t r i z J a c o b i a n o . D e s t a m a n e i r a a e q u a ç ã o m a t r i c i a l d e r e - s o l u ç ã o do f l u x o de c a r g a (2.2) pode s e r r e s o l v i d a p a r a o c a l c u

-

10 d a v a r i a ç ã o de t e n s ã o . O p r o c e s s o de Newton-Raghson resume- s e , em s i , a e s t i m a r r e p e t i d a m e n t e novos v a l o r e s de implemento de t e n s ã o em c a d a b a r r a , p o r meio d a r e s o l u ç ã o da e q u a ç ã o ( 2 . 2 ) a q u a l

é

a t u a l i s a d a a c a d a p a s s o , de m a n e i r a a s e t e r a s v a r i a - ç õ e s de p o t ê n c i a AP e A Q , p a r a t o d a s a s b a r r a s , d e n t r o de um l i m i t e p r e - e s t a b e l e c i d o que i n d i c a a t e n d ê n c i a d o s d e s v i o s a z e r o [ 8

1.

(.O1

-

l i m i t e de t o l e r â n c i a p a r a a s mu- d a n ç a s em p o t ê n c i a a t i v a e r e a t i v a ) Seção 3

-

S i s t e m a c o n t e n d o b a r r a s de é e n

-

s ã o c o n t r o l a d a . Uma m o d i f i c a ç ã o no p r o c e d i m e n t o d a s e ç ã o

-

2 p a r a s o l u ç ã o do f l u x o de c a r g a t e r á de s e r f e i t a ao levarmos em c o n t a a e x i s t ê n c i a de b a r r a s de t e n s ã o c o n t r o l a d a .

Como f o i v i s t o , o método de Newton-Raph

-

s o n n a forma p o l a r m o d i f i c a , s i m u l t a n e a m e n t e , a f a s e d a s t e n s õ e s de m a n e i r a a t e r a s mudanças de p o t ê n c i a a t i v a em c a d a b a r r a t e n

-

dendo a z e r o e os mÕdulos das t e n s õ e s p a r a o b t e r o mesmo com r e s p e i t o a s mudanças de p o t ê n c i a r e a t i v a .

Na d e f i n i ç ã o , dada no i n i c i o d e s t e c a p í - t u l o , uma b a r r a de t e n s ã o c o n t r o l a d a

é

c a r a c t e r i z a d a p e l a e s p e - c i f i c a ç ã o de s u a p o t ê n c i a a t i v a e módulo de t e n s ã o .

Não t e n d o s e n t i d o a d e f i n i ç ã o das equações t i p o A Q n a equação m a t r i c i a l ( 2 . 2 ) r e f e r e n t e a s b a r r a s de t e n - s ã o c o n t r o l a d a tem-se a s e g u i n t e m o d i f i c a ç ã o no c o n j u n t o de equa

-

çÕes l i n e a r e s d e f i n i d a s p e l o método de Newton-Raphson p a r a s o l u - cão do f l u x o de c a r g a . Supondo que o s i s t e m a em e s t u d o t e n h a n b a r r a s com

R

de c a r g a o r d e n a d a s . b a r r a 1

-

b a r r a de b a l a n ç o b a r r a s de 2 a &

-

b a r r a s de c a r g a b a r r a s de & +1 a n

-

b a r r a s de t e n s ã o c o n t r o l a d a .

L

á r e a de mudança P a r a A(n+p - l , q ) P > l P a r a A ( n + p - 1 , n+q-1) p ' 1 F i x a d o p o r t a n t o A b

I =

O p a r a a s P b a r r a s de t e n s ã o c o n t r o l a d a , a e q u a ç ã o m a t r i c i a l do f l u x o de c a r g a s e r e d u z a :

onde a ordem do J a c o b i a n o

6

de n+R - 2 . Numa b a r r a de t e n s ã o c o n t r o l a d a d e v e - s e

'

c o n s i d e r a r os l i m i t e s máximo e mínimo de g e r a ç ã o de p o t ê n c i a r e a t i v a f o r n e c i d o s de a c o r d o com l i m i t e s f í s i c o s de g e r a ç ã o das maquinas a s s o c i a d a s a e s t a b a r r a . T a i s l i m i t e s devem s e r t e s t a d o s a c a d a i t e r a ç ã o do p r o c e s s o de s o l u ç ã o do f l u x o de c a r g a . A v i o l a ç ã o a c a r r e t a uma c o r r e ç ã o dos v a l o r e s e s t r a p o l a d o s p a r a o l i m i t e

má

_-

ximo ou mínimo r e s p e c t i v a m e n t e . Em m u i t o s c a s o s e s t a s duas l i m i t a ç õ e s ,mó- d u l o de t e n s ã o e l i m i t e s de g e r a ç ã o r e a t i v a , s ã o i n c o m p a t í v e i s , não s e n d o p o s s i v e l m a n t e r a g e r a ç ã o de p o t ê n c i a r e a t i v a num va- l o r v i á v e l t e n d o a b a r r a o módulo d a t e n s ã o que f o i e s p e c i f i c a - do.

Como o programa d e s e n v o l v i d o tem a _opção de l o c a r c a p a c i t o r e ç

,

r e s o l v e - s e o f l u x o de c a r g a com o s l i m i

-

t e s de p o t ê n c i a r e a t i v a l i v r e s e a s v i o l a ç õ e s s ã o compensadas

'

com l o c a ç ã o de c a p a c i t o r e s no s i s t e m a .

DIAGRAMA DO FLUXO dados d e b a r r a e l i n h a

1

f~~~~~

a d i m i t a n c i a

1

R e a j u s t e do t e n s ao equaçao m a t r i c i a l do f l u x o d e c a r g a Jacob i a n o

~ é t o d o de O t i m i z a c ã o

Tendo em v i s t a o d e s e n v o l v i m e n t o de um programa p a r a d e t e r m i n a r a l o c a ç ã o Ótima de bancos de c a p a c i t o

-

r e s num s i s t e m a em regime permanente de c o n f i g u r a ç ã o b á s i c a pre- v i a m e n t e e s t a b e l e c i d a , pode-se c o n s i d e r a r a s s e g u i n t e s p o s s i b i l i

-

d a d e s : 1

-

D e s e n v o l v e r o programa b a s e a d o n a m i - n i m i z a ç ã o da f u n ç ã o c u s t o de c a p a c i t o r e s . 2

-

D e s e n o l v e r o programa com o i n t u i t o de l o c a r c a p a c i t o r e s b a s e a d o n a m i n i m i z a ç ã o de p e r d a s do s i s t e m a . Como em p l a n e j a m e n t o de S i s t e m a de P o t ê n - c i a o c u s t o de c a p a c i t o r e s

é

bem i n f e r i o r ao orçamento d a p o t ê n - c i a a t i v a g e r a d a n ã o v e n d i d a d e v i d o

às

p e r d a s no s i s t e m a de t r a n s m i s s ã o , a abordagem do problema f o i f e i t a segundo a minimi- z a ç ã o de P e r d a s .

Desde que a p o t ê n c i a l i q u i d a em c a d a b a r - r a , e x c l u i n d o a de b a l a n ç o ,

é

f i x a , m i n i m i z a r a p e r d a g l o b a l do s i s t e m a

é

o mesmo que m i n i m i z a r a p o t ê n c i a a t i v a g e r a d a P 1 n a b a r r a de b a l a n ç o .

D e f i n i ç ã o :

O problema de f l u x o de c a r g a com o t i m i z a - ção de p e r d a s pode s e r d e f i n i d o como:

Minimizar uma f u n ç ã o o b j e t i v o F ( V , =

L

P e r d a s = P1 P s u j e i t o a :

-

c o n d i ç õ e s de i g u a l d a d e .

L

A Q

1

equação do f l u x o de c a r g a

-

c o n d i ç õ e s de d e s i g u a l d a d e i m p o s t a p e l a s c o n d i ç ó e s de o p e r a ç ã o do s i s t e m a . Emin 4 E 4 Emax Qmin

4

Q 4 Qmax Seção 1

-

A l g o r i t i m o p a r a r e s t r i ç õ e s de i g u a l d a d e a p e n a s . P r i m e i r a m e n t e a n a l i s a r e m o s um c a s o c l á s s i

_-

co de minimização com r e s t r i ç õ e s unicamente de i g u a l d a d e s , i n - c l u i n d o v a r i á v e i s i n d e p e n d e n t e s u E R' e v a r i á v e i s

x

E _de

-

C o n s i d e r a n d o o problema Min F ( x , u ) s u j e i t o a

b(x,

u , p ) ] = O u

-

v a r i á v e i s i n d e p e n d e n t e s x

-

v a r i á v e i s d e p e n d e n t e s Usando o método de o t i m i z a ç ã o d o s m u l t i

-

p l i c a d o r e s de Lagrange

,

uma s o l u ç ã o 6 t i m a do problema ( 3 . 1 )

é

c a l

-

c u l a d a i n t r o d u z i n d o - s e v a r i á v e i s a u x i l i a r e s h i que d e f i n e m O

Lagrangeano e a p l i c a n d o s o b r e e s t e a s c o n d i ç õ e s n e c e s s á r i a s de mínimo ( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) , ( 3 . 4 ) .

Observa-se que e s t e s i s t e m a pode s e r r e - s o l v i d o i t e r a t i v a m e n t e p o r um método de g r a d i e n t e . E x e m p l i f i c a d o p e l o a l g o r ~ t i m o dado a s e g u i r .

20

-

i

-

assume-se um c o n j u n t o de p a r â m e t r o s de c o n t r o l e . No c a s o p a r â m e t r o s u . ii

-

Acha-se uma s o l u ç ã o v i á v e l p a r a a e q u a ç ã o m a t r i c i a l . i i i

-

Acha-se o v e t o r

X

que s a t i s f a z a e q u a ç ã o -1 T i v

-

S u b s t i t u i - s e o v a l o r do v e t o r X c a l c u l a d o no passo i i i , n a e q u a ç ã o ( 3 . 3 ) e computa-se o g r a d i e n t e . v

-

T e s t a - s e um c r i t é r i o de p a r a d a b a s e a d o em Vfc E onde E > O

é

f i x o . Se n ã o f o r s a t i s f e i t o p a s s a - s e a o p a s s o

'

v i .

v$

---

C a l c u l a - s e o u t r o c o n j u n t o de p a r â m e t r o s de c o n t r o l e e v o l t a - s e a o p a s s o i i . U novo = a n t i g o + Au nu=- c V f , c E i x o R e l a c i o n a n d o o a l g o r i t i m o com o p r o b l e - ma de m i n i m i z a ç ã o de p e r d a s do s i s t e m a , e s c o l h e - s e o módulo d a t e n s ã o n a s b a r r a s de t e n s ã o c o n t r o l a d a como p a r â m e t r o s de c o n t r o

_-

l e p o r d u a s r a z õ e s . 1. Na s o l u ç ã o do f l u x o de ~ o t ê n c i a p g 10 método de Newton-Raphson- forma p o l a r tem-se uma Ünica equação

r e f e r e n t e a c a d a b a r r a de Tensão C o n t r o l a d a enquanto. s e tem du- a s e q u a ç õ e s r e f e r e n t e s a c a d a b a r r a de c a r g a . 2 . O s l i m i t e s s o b r e o módulo d a t e n s ã o (que n e s t e p r i m e i r o c a s o não s ã o c o n s i d e r a d o s ) s ã o m u i t o s e v e - r o s e i m p o r t a n t e s p o r serem l i m i t a ç õ e s f i s i c a s de o p e r a ç ã o do S i s t e m a , a s q u a i s n ã o podem s e r e x p a n d i d a s t e c n i c a m e n t e . Ao p a s

-

s o que o s l i m i t e s , máximo e mínimo, de p o t ê n c i a r e a t i v a g e r a d a podem s e r e x p a n d i d o s i n s t a l a n d o - s e equipamento c a p a c i t i v o a d i

-

c i o n a l . (Que

e

a m e t a do programa a s e r d e s e n v o l v i d o )

A e q u a ç ã o ( 3 . 4 )

é

j u s t a m e n t e o c o n j u n t o ' de e q u a ç õ e s do f l u x o d e c a r g a . A n e c e s s i d a d e d e s t e c o n j u n t o de e q u a ç õ e s é uma d a s j u s t i f i c a t i v a s do método s o l u ç ã o do f l u x o j á que o Newton-Raphson, a o fim d a s i t e r a ç õ e s n e c e s s á r i a s p a r a con -- v e r g ê n c i a do f l u x o , f o r n e c e não

s ó

a s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o m a t r i c i

-

a 1 num p o n t o v i á v e l como também o J a c o b i a n o do s i s t e m a .

A e q u a ç ã o ( 3 . 5 ) r e f e r e n t e a o p a s s o i i i do a l g o r i t i m o 1 r e q u e r a t r a n s p o s t a do J a c o b i a n o p a r a s e o b t e r o v e t o r dos p a r â m e t r o s de Lagrange A

.

Ck m u l t i p l i c a d o r e s de Lagrange medem a s e n s i b i l i d a d e d a f u n ç ã o o b j e t i v o com r e s p e i t o a g e r a ç ã o e a o consumo de p o t ê n c i a a t i v a e r e a t i v a

[

5

1

Se o v e t o r

^

L s e a n u l a p a r a o s v a i o - d u r e s A i c a l c u l a d o s e n c o n t r a - s e um p o n t o Ótimo. Se a c o n d i ç ã o ( 3 . 3 ) n ã o s e s a t i s f a z O

2 2 . v e t o r r e p r e s e n t a d o p e l a mesma ( 3 . 6 ) tem um i m p o r t a n t e s i g n i f i - cado. É o v e t o r g r a d i e n t e

9

f o q u a l

6

o r t o g o n a l a c u r v a de n í - v e l da f u n ç ã o o b j e t i v o F . Como a s e q u a ç õ e s d e f i n i d a s em ( 3 . 2 )

,

( 3 . 3 ) e ( 3 . 4 ) n ã o s ã o l i n e a r e s

s ó

p o d e r ã o s e r r e s o l v i d a s a t r a - v é s de um p r o c e s s o i t e r a t i v o . O mais s i m p l e s s i s t e m a d e i t e r a - ç õ e s

é

o metodo de g r a d i e n t e e x e m p l i f i c a d o . A i d e i a b á s i c a d e s - t e método

6

mover do p o n t o de uma s o l u ç ã o v i á v e l de F n a d i r e

-

ç ã o c o n t r á r i a a do g r a d i e n t e de F no p o n t o c o n s i d e r a d o , p a r a um novo p o n t o v i á v e l que m i n i m i z e a j u n ç ã o o b j e t i v o F.

Como . n e s t e p r i m e i r o c a s o o s p a r â m e t r o s de c o n t r o l e s ã o v a r i á v e i s l i v r e s pode-se d i z e r que o g r a d i e n t e ' mede a s e n s i b i l i d a d e com r e s p e i t o a s mudanças s o f r i d a s p e l o s p a

-

r â m e t r o s de c o n t r o l e u .

C11

R p a r t e c r í t i c a do a l g o r í t i m o

6

o p a s - s o v i onde s e e f e t u a o r e a j u s t e dos p a r â m e t r o s de c o n t r o l e . A equação ( 3 . 7 )

é

uma d a s m u i t a s equações de c o r r e ç ã o . V a l o r e s pe

-

quenos p a r a o f a t o r de a c e l e r a ç ã o ' c ' g a r a n t i r ã o a c o n v e r g ê n c i a porem c a u s a r ã o m u i t o s c i c l o s de a j u s t a m e n t o . V a l o r e s a l t o s cau- s a r ã o o s c i l a ç õ e s em t o r n o de um p o n t o de m h i m o .

Como a l g o r i t i m o s de b u s c a u n i d i r e c i o

-

n a i s p a r a a c h a r um f a t o r de a c e l e r a ç ã o Ótimo envolvem aproxima- ç õ e s C61 n ã o s e tem a vantagem da economia de tempo e memória

'

de computador.Por e s t a r a z ã o d e s e n v o l v e u - s e um p r o c e s s o puramen

-

t e c o m p u t a c i o n a l de t e s t e s s o b r e a s p e r d a s do s i s t e m a de t a l ma

-

n e i r a que o s novos v a l o r e s d o s p a r â m e t r o s de c o n t r o l e n ã o causem

-

-

uma a l t a n a s r e f e r i d a s p e r d a s

L

4

.

S e ç ã o 2

-

~ l ~ o r í t i m o p a r a r e s t r i ç õ e s de i g u a l d a d e e i n e q u a ç õ e s s o b r e os p a r â m e t r o s d e c o n t r o l e . A n a l i s a r e m o s um c a s o d e m i n i m i z a ç ã o com r e s t r i ç õ e s d e i g u a l d a d e e i n e q u a ç õ e s a t u a n d o s o b r e o s parâmetros de c o n t r o l e u RP i n c l u i n d o v a r i á v e i s

x

E ~9 dependen- t e s d e u. Min F ( x , u ) s u j e i t o a g ( x , u , p ) = O min Umax < u ,< F

-

f u n ç ã o o b j e t i v o

-

p e r d a s do s i s t e m a g

-

equação m a t r i c i a l do f l u x o de c a r g a u

-

módulo d a s t e n s õ e s n a s b a r r a s de t e n s ã o con

-

t r o l a d a .

Teorema de Kuhn

-

Tucker.

Dado: 1

-

Função c u s t o F(u)

2

-

r e s t r i ç õ e s de i g u a l d a d e de forma g ( u ) = 0

3

-

r e s t r i ç õ e s de d e s i g u a l d a d e d a forma H (u) ó 0

Assumindo que alguma c o n d i ç ã o de q u a l i f i

-

c a ç ã o de v i n c u l o s

[

111 s a t i s f e i t a , a s c o n d i ç õ e s a s e g u i r

2 4 .

s ã o c o n d i ç õ e s n e c e s s á r i a s de o t i m a l i d a d e p a r a o p o n t o u.

E s t a Ú l t i m a c o n d i ç ã o nos dá q u e :

a i = O s e a c o n d i ç ã o H i (u)

-

c O f o r a l c a n ç a d a

e a i 2 O s e não o f o r .

Aplicando e s t e teorema a função d e f i n i d a em ( 3 . 8 ) e r e e s c r e v e n d o a s r e s t r i ç õ e s de forma c o n v e n i e n t e tem-se: Min F ( x , u ) S u j e i t o a : g ( x , u , p ) = O max < u

-

L1 - O O teorema de Kuhn-Tucker f o r n e c e a s c o n d i ç õ e s n e c e s s á r i a s p a r a o mínimo. Sejam A i v a r i á v e i s d u a i s a s s o c i a d a s

2s

equa

-

ções de s o l u ç ã o do Fluxo de p o t ê n c i a ou s e j a a f u n ç ã o g d e f i n i

Seram q i e

qi

v a r i á v e i s d u a i s a s s o c i a - d a s

às

r e s t r i ç õ e s de d e s i g u a l d a d e d e f i n i d a s em ( 3 . 9 ) r e s p e c t i v a

-

mente.

onde L

é

a f u n ç ã o de Lagrange com termos a d i c i o n a i s e t r e l a c i o n a d o s com a s r e s t r i ç õ e s de d e s i g u a l d a d e . A Única d i f e r e n ç a e n t r e e s t a s c o n d i

-

çÕes e a s e s t u d a d a s em ( 3 . 2 ) , ( 3 . 3 ) , ( 3 . 4 )

é

o v e t o r Q a d i c i o

-

n a 1 n a e q u a ç ã o ( 3 . 1 2 ) . Comparando e n t r e t a n t o o c á l c u l o do v e - t o r

,

computado a p a r t i r de uma s o l u ç ã o v i á v e l do f l u x o de c a r g a ( 3 . 1 1 ) e a p a r t i r de A c a l c u l a d o em (3.10) ,com a s o l u ç â o da equação m a t r i c i a l Vf v ê - s e que o v e t o r T)

é

i d ê n t i c o a o simétri - c o do v e t o r g r a d i e n t e d e f i n i d o n a s e ç ã o 1 e q u a ç ã o ( 3 . 6 ) .

Por o u t r o l a d o o v e t o r q t e r á ' de s a t i s

_-

f a z e r a s equações de complementaridade do Teorema de Kuhn- Tu

-

c k e r

.

Donde s e tem:

-

_{O s e ui}

-

min Q i

-

v i

-

ui Logo a s componentes do g r a d i e n t e no p o n t o de mínimo s e r ã o t a i s que:

-

-

L l i max

-

-

min Ui D e s t a m a n e i r a o problema de minimização

( 3 . 8 ) pode s e r r e s o l v i d o u t i l i z a n d o o mesmo a l g o r í t i m o d e f i n i d o n a s e ç ã o 1. Levando em c o n t a uma Única c o n s i d e r a ç ã o j á que os p a r â m e t r o s de c o n t r o l e não s ã o v a r i á v e i s l i v r e s . No c á l c u l o de um novo c o n j u n t o de v a l o r e s p a r a os p a r â m e t r o s de c o n t r o l e ( 3 . 7 ) s e a c o r r e ç ã o e f e t u a d a A u ~ , c a u s a r v i o l a ç ã o dos l i m i t e s a s s o

-

c i a d o s a cada v a r i á v e l , o novo v a l o r do p a r â m e t r o de c o n t r o l e

'

t o r n a - s e o p r o p r i o l i m i t e v i o l a d o .

novo max antigo max

LI i = u i s e ~i + A u ~ > ~i

novo min antigo min

-

Ui

-

u i s e ui + A u i u i novo antigo . U i = u i 9 Aui em o u t r o s c a s o s . Seção 3

-

~ e s t r i ç õ e s de i g u a l d a d e e r e s

-

t r i ç õ e s de d e s i g u a l d a d e a s s o c i a d a s a s v a r i á v e i s de c o n t r o l e

'

u e R n - L e a s v a r i á v e i s d e p e n d e n t e s

x

E R n - 1

.

n

-

número de b a r r a s do s i s t e m a L

-

número de b a r r a s de c a r g a do s i s t e m a Min F (x,u') rnin U 4 u .$ uma m i n max X _d X _,< X F

-

função o b j e t i h

-

P e r d a s do s i s t e m a g

-

equação m a t r i c i a l do Fluxo de c a r g a x

-

módulo d a t e n s ã o n a s b a r r a s de c a r g a e g e r a

-

ção de p o t ê n c i a r e a t i v a n a s b a r r a s de t e n g ã o

c o n t r o l a d a .

u

-

módulo da t e n s ã o n a s b a r r a s de t e n s ã o c o n t r o l a

-

d a e b a l a n ç o .

O problema de minimização com r e s t r i ç õ e s

'

f u n c i o n a i s a s s o c i a d a s

2s

v a r i á v e i s d e p e n d e n t e s

é

de d i f i c i l _de

_-

senvolvimen t o .

O método o q u a l f o i e s c o l h i d o no d e s e n v o l

-

L vimento d e s t e programa

é

o d a s Funções P e n a l i d a d e a s s o c i a d a s a s v a r i á v e i s , d e p e n d e n t e s no momento em que o p r o c e s s o de s o l u ç ã o

'

l e v a a e x t r a p o l a r algum l i m i t e dado p e l a s r e s t r i ç õ e s f u n c i o n a i s . O método d a s p e n a l i d a d e s f o i e s c o l h i d o por 3 r a z õ e s : i . A s r e s t r i ç õ e s f u n c i o n a i s determinam l i m i t e s r i

-

g i d o s de a c o r d o com o c o n c e i t o m a t e m á t i c o . Da m a n e i r a como o f l u

-

xo de c a r g a f o i a p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e uma d a s c a r a c t e r í s t i

-

c a s i m p o r t a n t e p a r a uma boa s o l u ç ã o do f l u x o

é

a s u a v i a b i l i d a

-

d e , ou s e j a , deve e s t a r d e n t r o da f a i x a de o p e r a ç ã o do s i s t e m a . 0 método d a s p e n a l i d a d e s dá uma flexibilidade n o s l i m i t e s d a s va

-

r i á v e i s d e p e n d e n t e s podendo s e r usado com a n a t u r e z a de f o r n e c e r informa.çÕes s o b r e a l o c a ç ã o de c a p a c i t o r e s que v i a b i l i z a m o f l u - xo de c a r g a em e s t u d o .

ii. O método d a s p e n a l i d a d e s a d i c i o n a m u i t o pouco ao a l g o r í t i m o de s o l u ç ã o Ótima e s t u d a d o no p a r á g r a f o 2 . Tem-se

'

a p e n a s t e r m o s a d i c i o n a i s em ( 3 . 2 ) e s e f o r o c a s o em ( 3 . 3 ) .

t o

,

o método d a s p e n a l i d a d e s produz s o l u ç õ e s v i á v e i s de f l u x o de c a r g a com a s p e n a l i d a d e s a s s i n a l a n d o os p o n t o s c r i t i c o s do s i s t e m a de m a n e i r a a p r o p o r c i o n a r uma a n á l i s e de l o c a ç ã o de c a - p a c i t o r e s que f a c i l i t a r á a c o n v e r g ê n c i a do f l u x o p a r a um p o n t o ótimo de p e r d a s m h i m a s no q u a l n ã o s e t e n h a v i o l a ç õ e s de e s p 6 - c i e alguma. O programa d e s e n v o l v i d o , d e s d e que s e

'

f o r n e ç a um mapa d a s p o s s i v e i s l o c a ç õ e s de c a p a c i t o r e s , f a r á e s - t a s l o c a ç õ e s i m p l i c i t a m e n t e p a r a o s s e g u i n t e s c a s o s : E Emin numa b a r r a de c a r g a

Q

'

Qmax numa b a r r a de Tensão C o n t r o l a d a ~ e f i n i ç ã o

-

Função P e n a l i d a d e .

-

O método c o n s i s t e em m i n i m i z a r

,

n a o a f u n ç ã o o b j e t i v a d a d a i n i c i a l m e n t e , mas s i m a f u n ç ã o soma da f u n

-

ç ã o o b j e t i v o com a s f u n ç õ e s p e n a l i d a d e e x t e r n a s d e f i n i d a s p a r a c a d a r e s t r i ç ã o f u n c i o n a l v i o l a d a . Como j á f o i d i t o a n t e r i o r m e n t e e s t e méto

-

do f o r n e c e uma c e r t a f l e x i b i l i d a d e nos l i m i t e s r í g i d o s d e f i n i - dos p e l a s r e s t r i ç õ e s f u n c i o n a i s . A f u n ç ã o p e n a l i d a d e

6

u s u a l m e n t e d e f i n i - d a p e l a f u n ç ã o q u a d r a t i v a r e f e r e n t e a v i o l a ç ã o ou s e j a : ( V i o l a ç ã o ) 2 j (3.13)

O v a l o r d á a e q u a ç ã o do segundo grau um m a i o r ou menor g r a u de a s c e n d ê n c i a que s i g n i f i c a uma m a i o r ou menor f l e x i b i l i d a d e nos l i m i t e s . A s s i m sendo h a v e r i a a t e n d ê n

-

c i a de s e aumentar o v a l o r j p a r a aproximar c a d a vez m a i s a s o l u ç ã o ao l i m i t e r í g i d o . T a l p r o c e d i m e n t o a c a r r e t a r i a d i f i c u l d a d e s n a c o n v e r g ê n c i a , d e v i d o a o f a t o d a s e q u a ç õ e s do f l u x o de c a r g a não poderem s o f r e r g r a n d e s mudanças n o v a l o r de s u a s v a r i á v e i s . S e j a F = f ( x , u ) +

C

P e n a l i d a d e s , a f u n - ç ã o a s e r minimizada usando o método d a s p e n a l i d a d e s .

Desde que a segunda p a r c e l a da j u n ç ã o , d e - v i d o a o s a l t o s v a l o r e s de j c o n s i d e r a d o s , s e t o r n e s i g n i f i c a - t i v a

5

soma, o p r o c e s s o d e o t i m i z a ç ã o

i r á

o t i m i z a r a j u n ç a o F q u a s e que e x c l u s i v a m e n t e p o r i n t e r m g d i o da m i n i m i z a ç ã o d e s t a

'

p a r c e l a , o que alem de a c a r r e t a r o s c i l a ç õ e s em t o r n o de um p o n t o Ótimo, p o d e r á caminhar d u r a n t e o p r o c e s s o i t e r a t i v o p a r a p o n t o s t o t a l m e n t e i n v i á v e i s em termos de f l u x o de c a r g a . Por e s t a r a z ã o e s c o l h e u - s e uma f u n ç ã o de p e n a l i d a d e c ú b i c a . Teve-se um bom r e s u l t a d o j á que o p r o c e s s o de minimização a t u o u com uma c e r t a p r i o r i d a d e a q u e l a s v a r i á v e i s ' de m a i o r v i o l a ç õ e s , p r o p o r c i o n a n d o a c a d a i t e r a ç ã o do p r o c e s s o de minimização uma s o l u ç ã o homogênia m a i s próxima d o s l i m i t e s con

-

s i d e r a d o s .

O problema de minimização de p e r d a s do

p e n a l i d a d e s . u - u m x d 0 rnin u - u < o onde w s ã o a s f u n ç õ e s de p e n a l i d a d e e x t e r n a s a s q u a i s

J

s ã o i n t r o d u z i d a s p a r a c a d a r e s t r i ç ã o f u n c i o n a l v i o l a d a . D e f i n i ç ã o de w

.

j 1. p a r a b a r r a s d e Tensão C o n t r o l a d a . rnin Q j < Q j 2 . p a r a b a r r a s de c a r g a . (3.16) min E . < E J j min E . > E J

-'

j

3 2 . D e s t a m a n e i r a o problema de m i n i m i z a ç ã o

'

( 3 . 1 4 ) f i c a e x p r e s s o como o d e f i n i d o em ( 3 . 9 ) , sendo a s s i m p o s - s í v e l , a u t i l i z a ç ã o do a l g o r i t i m o d e f i n i d o n a S e ç ã o 1 , p a r a a s o l u ç ã o de um p o n t o ótimo. Ainda p o r i n t e r m é d i o do método d a s f u n - ç õ e s p e n a l i d a d e d e s e n v o l v e u - s e um a l g o r í t i m o p a r a l o c a ç ã o de ca- p a c i t o r e s . Com o aumento g r a d u a t i v o do v a l o r de S . pode-se v e -

J

r i f i c a r a t e n d ê n c i a d a s v i o l a ç õ e s de s e anularem. D e s t a manei

-

r a l o c a - s e c a p a c i t o r e s n a s b a r r a s que não a p r e s e n t a m um d e c r é s c i _- mo p r o p o r c i o n a l , quando s e aumenta o v a l o r de S

DIAGRAMA DO

METODO

DE OTIMIZAÇÃO

c á l c u l o dos v e t o r e s

_-

_-

que compoem a equaçao

I

Lagrangeana

I

P r o c e s s o i t e r a t i v o de minimiza&o d a função ~ e s o l u ç ã o d a equação m a t r i c i a l em c á l c u l o do v e t o r g r a d i e n t e FIM

t

1 LOCAÇÃO DE CAPAC ITORE S

-

nao L A j u s t e d a m a t r i z a d i m i t â n c i a d e b a r r a P r o c e s s o d e minimi-

_-

zaçao de p e r d a s a t i v a s do s i s t e m a I

Desenvolvimento ~ a t e m á t i c o do programa.

1. S o l u ç ã o do f l u x o de p o t ê n c i a , ou s e j a r e s o l u ç ã o p o r um p r o c e s s o i t e r a t i v o da equação m a t r i c i a l .

2 . Uma vez r e s o l v i d o o f l u x o de c a r g a o método de Newton Raphson f o r n e c e o J a c o b i a n o

a

'4

,

no p o n t o

1_

a

x

s o l u ç ã o e e n t ã o r e s o l v e - s e a equação Lagrangeana d e f i n i d a p o r : onde f = P i ( E , 6

1

+ L u p P1( E , 6 ) ~ o t ê n c i a a t i v a g e r a d a n a b a r r a de b a l a n ç o G u p somatÓrio d a s f u n ç õ e s p e n a l i d a d e . A equação (4.1) p o d e r á s e r e s c r i t a e dimen

_-

s i o n a d a da s e g u i n t e m a n e i r a .

onde

X

_{E . R} P + 9 p

-

numero de b a r r a s d o s i s t e m a me

_-

n o s a b a r r a de b a l a n ç o . q

-

número de b a r r a s de c a r g a do s i s t e m a . n

-

número de b a r r a s do s i s t e m a P a r a f a c i l i d a d e de c a l c u l o s tomou-se donde s e tem p a r a a s e q u a ç õ e s (3.15) max

a w min = 2 Sp(Qp-Qp ) I E p Ypq

I

Sen ( e p q + 6 p

-

6 q )

aEsJ-,

P a r a a s e q u a ç õ e s d e f i n i d a s em (3.16) tem-se max min

O s termos componentes do somat6ri.o d a s

f u n ç õ e s p e n a l i d a d e s ó s e r ã o c o n s i d e r a d o s p a r a a s b a r r a s onde hou

-

v e r v i o l a ç ã o dos l i m i t e s . O d e s e n v o l v i m e n t o d a e q u a ç ã o m a t r i c i a l

'

(4.2) f o i f e i t o g e l o método de r e s o l u ç ã o de s i s t e m a s de e q u a ç õ e s a t r a v é s d a T a b e l a ' L U ' ( s e r á d e t a l h a d o no c a p i ' t u l o 5 ) . 3. Depois de r e s o l v i d a a e q u a ç ã o mátricial ( 4 . 2 ) e t e n d o s a t i s f e i t a s a s e q u a ç õ e s do f l u x o de c a r g a , g a r t e - L s e p a r a o c a l c u l o do g r a d i e n t e com r e s p e i t o a o s p a r â m e t r o s de c o n t r o l e e a b a r r a de b a l a n ç o .

a

f

v f = - +

a r ;

l T A

( 4 . 3 ) au O s e l e m e n t o s d e a G s ã o c a l c u l a d o s de au

maneira i d ê n t i c a a o s e l e m e n t o s do J a c o b i a n o , sendo que quando um termo e x i s t e no J a x o b i a n o não e x i s t e em a G e v i c e - v e r s a .

au

Faremos uma d e f i n i ç ã o e x p l i ' c i t a do ve- t o r g r a d i e n t e de m a n e i r a a f i c a r c l a r o a d e f i n i ç ã o da componente i do g r a d i e n t e V f i onde i= 1 , l + l , .

. . .

, n .

4:

Com as componentes do g r a d i e n t e c a l c u

_-

l a d a s em

(4.4),

e l e v a n d o em c o n s i d e r a ç ã o a s e q u a ç ó e s de comple- m e n t a r i d a d e do Teorema de Kuhn-Tucker d e f i n i d a s no c a p í t u l o 111 Seção 2 , pode-se d e f i n i r o v e t o r d i r e ç ã o de a c r é s c i m o d a s v a r i a - v e i s de c o n t r o l e .

o

o

-

Vfi em o u t r o s c a s o s Tem-se a s s i m o s novos p a r â m e t r o s de c o n t r o l e s : Como e x i s t e r e s t r i ç õ e s s o b r e I E i l e n t ã o m ax max lEil = lEil se l E i / ' I E i I min min

lEil = lEil se lEil < i E i l

min s e _{I E i l 4 I E i l < i E i max}

I

O f a t o r de a c e l e r a ç ã o "C" é' e s c o l h i d o de t a l m a n e i r a a s a t i s f a z e r a s e g u i n t e c o n d i ç ã o : A s p e r d a s a t i v a s do s i s t e m a a cada i t e r a ç á o d e v e r ã o s e r menor ou i g u a l a s o b t i d a s numa i t e r a ç á o a n t e r i o r

.

[

7

1.

3 9 . No programa d e s e n v o l v i d o o v a l o r i n i c i a l No c a s o em que e x i s t a , d u r a n t e o p r o c e s s o i t e r a t i v o , alguma f u n ç ã o de p e n a l i d a d e a s s o c i a d a , caminha-se em b u s c a de um novo v a l o r p a r a C, d i v i d i n d o - o p o r o i t o . Se o c a s o

é

de m i n i m i z a r u n i c a m e n t e a s p e r d a s e n t ã o a b u s c a

e

f e i t a d i v i

-

d i n d o - s e o v a l o r de C p o r d o i s . Se f o r o c a s o de a i n d a e x i s t i r f u n ç õ e s de p e n a l i d a d e a s s o c i a - d a s no s i s t e m a e a o fim de um c e r t o ni?mero de i t e r a ç õ e s n ã o e x i s t a um v a l o r p a r a C que m i n i m i s e a s p e r d a s , en- t ã o aumenta-se o v a l o r de S ( f a t o r de a c e l e r a ç ã o d a s f u q ç õ e s pe j

-

n a l i d a d e ) de 0 . 1 p a r a 0 . 4 e l o c a - s e c a p a c i t o r e s n a s b a r r a s onde n ã o s e n o t a r uma r e d u ç ã o , p r o p o r c i o n a l ao a c r é s c i m o de S j 9 n a s p e n a l i d a d e s . Tendo s i d o f e i t a a l o c a ç ã o p a r t e - s e p a r a o e s t u d o d e s t e novo s i s t e m a de p o t ê n c i a sendo n e c e s s á r i o a a t u a

_-

l i z a ç ã o d a m a t r i z a d i m i t â n c i a de b a r r a . O programa d e s e n v o l v i d o tem a c a p a c i d a d e ' de f a z e r 1 0 v e z e s e s t a e t a p a de l o c a ç ã o de c a p a c i t o r e s . Se ao f i m d e s t a s i t e r a ç õ e s a i n d a e x i s t i r b a r r a s f o r a dos l i m i t e s t a n - t o de t e n s ã o como de g e r a ç ã o de r e a t i v o , a t r a v ê s de t a b e l a s r e f e r e n t e s a c a d a uma d e s t a s l o c a ç õ e s , o u s u á r i o e s t a r á a p t o a f a z e r uma a n á l i s e do sistema e complementar a c e r t a d a m e n t e o mapa de 10- c a ç ã o .

Seção 1

-

~ 6 t o d o s Computacionais 1. ~ é t o d o de ~ e s o l u ç ã o de S i s t e m a TABELA LU Dado o s i s t e m a A x = b , . a T a b e l a ' L U '

é

um c o n j u n t o de f a t o r e s , armazenados m a t r i c i a l m e n t e , o s q u a i s a o serem u s a d o s c o n v e n i e n t e m e n t e podem d a r a s o l u ç ã o de s i s t e m a s e n

-

volvendo a s m a t r i z e s A e b , t a i s como: No c a s o do programa d e s e n v o l v i d o a r e s o

-

l u ç ã o d e s t e s s i s t e m a s

é

uma g r a n d e vantagem p o i s s e tem:

i: Equações do Fluxo d e Carga

A x = b

i i : ~ ~ l c u l o do v e t o r Lagrangeano

Uma o u t r a vantagem

6

que s e a M a t r i z coe _- f i c i e n t e s A

é

e s p a r s a , a T a b e l a ' L U ' a s s o c i a d a

é

q u a s e t ã o e s

-

p a r s a q u a n t o a m a t r i z o r i g i n a l - d e s d e que s e obedeça uma ordem

nos c á l c u l o s d o s f a t o r e s componentes d a T a b e l a . E s t e p r o c e s s o de c á l c u l o o r d e n a d o s e r á a n a l i s a d o m a i s t a r d e a o s e e s t u d a r o p r o c e s s o de armazenamento de uma M a t r i z e s g a r s a .

~ á l c u l o d a Tabe1a"Lu:" Ao s e o b s e r v a r o método de t r i a n g u l a ç ã o ' de uma m a t r i z p o r meio d a E l i m i n a ç ã o d e G a u s s , v e r i f i c a - s e _que s ã o e f e t u a d a s d o i s t i p o s de o p e r a ç ã o em termos de a l g e b r a M a t r i

-

c i a l . 1. M u l t i p l i c a ç ã o de unia l i n h a p o r um e s c a l a r

-

c o r r e s p o n d e a n o r m a l i z a ç ã o de uma l i n h a , ou s e j a , a m u l t i p l i - c a ç ã o de uma l i n h a p e l o i n v e r s o do v a l o r do e l e m e n t o d a d i a g o

-

n a l . 2. Adição de uma l i n h a m u l t i p l i c a d a p o r um e s c a l a r a uma o u t r a l i n h a

-

O p e r a j ã o que e s t á r e l a c i o n a d a com a e l i m i n a ç ã o d o s c o e f i c i e n t e s a b a i x o d a d i a g o n a l .

A T a b e l a "LU" composta d e o p e r a d o r e s como

s e r á v i s t o d e t a l h a d a m e n t e p o r meio de um exemplo.

~ p õ s o p r i m e i r o pas-so d a e l . i m i n a ç ã o de G a u s s : E s t a o p e r a ç ã o p o d e r á s e r s u b s t i t u i d a pe- o $a m u l t i p l i c a ç ã o d a m a t r i z d a d a A p e l a m a t r i z o p e r a d o r d i a g o

-

n a 1 d e f i n i d a a b a i x o . onde

Após o segundo p a s s o d a e l i m i n a ç ã o de Gauss.

1

i n i c i a l m e n t e A:= b r e f e r e n t e a o p a s s o a n t e r i o r .

E s t a o p e r a ç ã o s e r s u b s t i t u i d a ' 1

p e l a m u l t i p l i c a ç ã o d a m a t r i z r e s u l t a n t e A p e l a m a t r i z o p e r a

-

d o r d e f i n i d a a b a i x o .

Continuando no p r o c e s s o de e l i m i n a ç ã o de

'

Gauss tem-se o s e g u i n t e p r o c e d i m e n t o p a r a uma m a t r i z de ordem

'

f A m a t r i z A3

é

uma m a t r i z t r i a n g u l a r s u - p e r i o r . P a r a obtermos uma m a t r i z i d e n t i d a d e no l a d o e s q u e r d o d a 3 equação b a s t a c o n t i n u a r a o p e r a r - s e s o b r e A

.

Passo da E l i m i n a ç ã o de Gauss E s t a o p e r a ç a o s e r s u b s t i t u i d a p g l a m u l t i p l i c a ç ã o da m a t r i z r e s u l t a n t e d i a g o n a l s u p e r i o r p e l a m a t r i z o p e r a d o r d e f i n i d a a b a i x o .

O p r o c e d i m e n t o p a r a a o b t e n ç ã o d a T a b e l a ' 'Lu'

6

s i m p l e s como f o i v i s t o .

-

J i

# I

...

\

_'

No c a s o de m a t r i z e s c h e i a s a ~ a b e l a ' L u ' p o

_-

de s e r e x t r a i d a d i r e t a m e n t e dos p a s s o s de e l i m i n a ç ã o , e sendo armazenada s o b r e os e l e m e n t o s da m a t r i z dada c o r r e s p o n d e n t e . No c a s o de m a t r i z e s e s p a r s a s os p a s s o s de e l i m i n a ç ã o podem g e r a r e l e m e n t o s que a n t e r i o r m e n t e eram n u l o s o que t o r n a n e c e s s ~ r i o a e x i s t ê n c i a de uma s u b - r o t i n a de a t u a l i z a

-

ç á o dos í n d i c e s r e f e r e n t e s a o s e l e m e n t o s , da m a t r i z e s p a r s a . não n u l o s .

P a r a o exemplo a Tabela ' L u '

é

armazena

-

2n -i-1 A onde ui j= - a i j i < j ( 5 . 3 ) .A U i j =

1

"'1

J

'

\ \

'

\ \ 1 \,

_'

\ \

'

\

d a m a t r i c i a l m e n t e d a s e g u i n t e m a n e i r a :

A l g o r ? t i m o s de S o l u ç ã o

A s m a t r i z e s D i , L i j

,

U i j

,

d e f i n i d a s em ( 5 . 1 )

,

( 5 . 2 ) e ( 5 . 3 ) s i m p l i f i c a m e s i s t e m a t i z a m a r e p r e s e n t a ç ã o ' do a l g o r i t i m o . Como f o i v i s t o cada uma d e s t a s m a t r i z e s g e p r e s e n

-

t a um Único p a s s o no p r o c e s s o d e e l i m i n a ç ã o de Gauss. S e j a c o n s i

-

d e r a d o a e q u a ç ã o p a r a um s i s t e m a de ordem N = 4 .

-

1 O U U U U U U D L L L D L L D L D = A 12 13 14 23 2# 34 4 43 42 41 3 32 31 2 21 1 ( 5 . 4 ) A a p l i c a ç ã o de c o n c e i t o s de a l g e b r a M a t r i

-

c i a l s o b r e e s t a e q u a ç ã o p e r m i t i r á o d e s e n v o l v i m e n t o de d i f e r e n

-

t e s a l g o r í t i m o s de s o l u ç ã o , o q u a l d e v e r a s e r e s c o l h i d o de a c o r - do com a s d i f i c u l d a d e s e f a c i l i d a d e s a p r e s e n t a d a s p o r c a d a caso.

O s p r o d u t o s da forma

Dk

Lmn (ni > n) p a r a m,n

+

k e da forma Lmn Lpq ( m > n , p > q ) , s ã o c o m u t a t i v o s , a s s i m

6

p o s s i v e l e s c r e v e r a e q u a ç ã o ( 5 . 4 ) da s e g u i n t e m a n e i r a :

-

1 O p r o d u t o d a forma U i j U h ( i < j ,R < m)

6

c o m u t a t i v o sempre que i R e j > m, a s s i m

6

p o ç s i v e l r e e s - c r e v e r c ( 5 . 5 ) Poderiamos e f e t u a r e s t a p e r m u t a ç ã o n a e q u a ç ã o ( 5 . 4 ) o que n o s d a r i a mais uma a l t e r n a t i v a de s o l u ç ã o .

U t i l i z a - s e uma nova r e p r e s e n t a ç ã o dos p r o d u t o s de m a t r i z e s L i j e UkB d e m a n e i r a a s i m p l i f i c a r o a l g o r í - t i m o de s o l u ç ã o .

Por d e f i n i ç ã o a m a t r i z L i d i f e r e d a i d e n

-

O p r o d u t o L i A "l c o r r e s p o n d e a e l i - i-1

minação de t o d o s o s e l e m e n t o s a i j ( i > j )

A m a t r i z Uk d i f e r e d a i d e n t i d a d e p e - l a K-êsima l i n h a que

é

d a forma ( 0 , O , .

. .

,O, 1 ,

-

U k , k + l , , ,-Uk ,n).

O p r o d u t o Uk A 2n-k*1 r e p r e s e n t a a s u b s - t i t u i ç ã o d o s

x l j á

c a l c u l a d o s n a K-êsima e q u a ç ã o . . -d .-d Analogamente temos Lj e U l Da mesma m a n e i r a que t i v e m o s a s a l t e r - n a t i v a s de s o l u ç ã o ( 5 . 4 ) ( 5 . 5 ) e ( 5 . 6 ) temos e q u a ç õ e s a n á l o g a s

'

* usando a s m a t r i z e s de t r a n s f o r m a ç ã o L i , Uk, Lj

GL.

U l . . .Un-l Dn Ln.. . D 2 L 2 D1

-

b = A-' b = x ( 5 . 7 )

..

% U1.. .Un-l Dn Ln-l.. .L1 D l b = A - ~ b =

x

( 5 . 8 )

-

-.

_-1 U 2 . . .Un Dn Ln-1

.

. . .

E1

D1 b = A' b =

x

(5.9) O a l g o r i t i m o de s o l u ç ã o f o i desenvolvi& a t r a v é s d a a l t e r n a t i v a ( 5 . 7 )

.

~ l ~ o r í t i m o de S o l u ç ã o 1. Fase de E l i m i n a ç ã o F a z e r i = 2

,.

. . .

,n Z 1 = D i 1 bi i-1 Z i = D i i ( b i -

C

L i j Z j ) j = 1 2 . Fase de S u b s t i t u i ç ã o F a z e r i = n - 1 , .

.

.l Xn = Zn X i = Z i

- 2

_{U i j Xj} J = i + l Seção 2

-

u t i l i z a ç ã o d a T a b e l a ' L U ' n o c a s o de M a t r i z e s E s p a r s a s . M a t r i z e s e s p a r s a s

é

uma c l a s s e e s p e c i

-

a 1 de m a t r i z e s que s e c a r a c t e r i z a m p o r uma porcentagem de e l e m n

-

t o s n u l o s bem e l e v a d a em r e l a - ç ã o ao número t o t a l de e l e m e n t o s .

L31

O a p r o v e i t a m e n t o d a e s p a r s i d a d e a p r e - s e n t a m a s é r i e de v a n t a g e n s que a t o r n a um dos r e c u r s o s mais

'

p o d e r o s o s n a implementação e f i c i e n t e d a s r o t i n a s de s o l u ç ã o dos problemas de r e d e envolvendo m a t r i z e s e s p a r s a s .

g r a n d e economia de memória armazenando-se somente o s e l e m e n t o s n ã o t r i v i a i s d e s t a s m a t r i z e s .

A s s o c i a d o a i s t o s e tem s i g n i f i c a t i v a s p o s s i b i l i d a d e s de r e d u ç ã o de tempo de computação. E ' f i n a l m e n t e a vantagem de r e d u ç ã o de e r r o s de arredondamento o s q u a i s pode

-

r i a m l e v a r a r e s u l t a d o s completamente f a l s o s n a s o l u ç ã o de s i s t e

-

mas l i n e a r e s p o r meio de métodos d e e l i m i n a ç ã o .

O método de E l i m i n a ç ã o de G a u s s , _{p o r} s u a p r ó p r i a n a t u r e z a , t e n d e a d e s t r u i r a e s p a r s i d a d e de m a t r i z e s a e l e s u b m e t i d a s . Porem podemos d e t e r m i n a r uma s e q u ê n c i a de e l i - minação que chamaremos de o r d e n a ç ã o , a q u a l num p r o c e s s o d e de- composição t r i a n g u l a r v i a E G , c o n s e r v a r á a e s p a r s i d a d e q u a s e que t o t a l m e n t e das m a t r i z e s , o que t o r n a v i á v e l a s c o n s i d e r a ç õ e s v a n

-

t a j o s a s v i s t a s a n t e r i o r m e n t e .

Veremos p o r meio de um exemplo o e f e i - t o do d e s e n v o l v i m e n t o de uma s e q u ê n c i a de e l i m i n a ç ã o , t o r n a n d o a T a b e l a ' L U ' de uma m a t r i z t ã o e s p a r s a q u a n t o a m a t r i z o r i g i n a l .

Y B a r r a