Publicações do PESC Pos-Otimização Multiparamétrica em Programação Linear

w ~ 6 ~ -MULTIPARANÉTRICA EM PROGRAMAÇÃO ~ ~ ~ ~ ~ ~ ç Ã ~ LINEAR"

Renato Craveiro de Souza

TESE SUBMETIDA

ÁO

CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE P ~ S - GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO C0

-

MO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSARIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MES

-

TRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.).

Aprovada por :

P r ~ ~ s o ~ c u i a n filho Pr si ente

Prof. ~ d d l o Oswaldo ~odventura Netto

Prof .r Fernando

hd.

chiyoshi

Rio

de

Janeiro, RJ

-

Brasil Dezembro de 1975

Dedico e s t a tese aos queridos E l a i n e Chaves,

-

P a r t i c u l a r m e n t e et e s p e c i a l m e n t e , ao Prof

.

Nelson Maculan F i l h o lembrando que s u a o r i e n t a ç ã o b a s t a n t e v a l i o s a ele- vou-se bem além do p r e s e n t e t r a b a l h o .

-

A

COPPE, que m e a c o l h e u e m e deu a o p o r t u n i d a d e d e s t e t r a b a l h o d e p e s q u i s a .

iii

SINOPSE

Embora os estudos sobre programação l i n e a r paramétri

-

ca em c e r t a s d i r e ç õ q s j á sejam numerosas, i n f e l i z m e n t e poucos O

t r a t a m de uma maneira c l a r a e completa. O escopo p r i n c i p a l do s

três

primeiros c a p í t u l o s será preencher e s t a lacuna. Quanto ao problema de programação l i n e a r multiparamétrica, o mesmo e s t á pou- co difundido e carece de maior estudo e divulgação, sendo a b i b l i o

-

g r a f i a sobre o a s s u n t o ainda b a s t a n t e r e s t r i t a .

Da mesma maneira como o s

três

primeiros c a p i t u l o s

ser

v i r ã o p a r a t o r n a r o l e i t o r a p t o a uma maior assimilação do 49 c a p í

-

t u l o , e s t e s e r á por demais b á s i c o no que tange ao 59, o q u a l e s t a -

r á

baseado em r e c e n t e t r a b a l h o 119

1,

publicado em j a n e i r o do c o r

-

r e n t e ano. Sendo o nosso t r a b a l h o de cunho teÕrico, não nos pare- ce importante d a r uma d e f i n i ç ã o p r á t i c a do que possa r e p r e s e n t a r o parâmetro h

.

Para aqueles que o julgarem importante, v e r

1

15

1

,

página 296. I

~ ã o é nosso p r o p õ s i t o descrever a gama completa da t e o r i a sobre programação l i n e a r e m ~ l t i ~ a r a m ê t r i c a . Em l u g a r d i s -

-

s o selecionaremos o que presumimos s e r mais importante f r e n t e a p o s s i b i l i d a d e de a p l i c a ç ã o a problemas l i g a d o s a programação de pro_

dução.

Todos o s c a p i t u l o s e s t a r ã o seguidos p e l a solução -

oria desenvolvida e ao mesmo tempo dar oportunidade de o leitor a- plica-los a problemas práticos, constatando a versatilidade dos modelos desenvolvidos.

ABSTRACT

Although t h e r e a r e a l r e a d y a number of s t u d i e s on

p a r a m e t r i c l i n e a r programming i n c e r t a i n d i r e c t i o n s , u n f o r t u n a t e l y a

f e w approach it i n a c l e a r and complete way. The p r i n c i p a l aim of t h e f i r s t t h r e e c h a p t e r s w i l l be t o f i l l t h i s gap. A s f o r t h e problem o f m u l t i p a r a m e t r i c l i n e a r programming, i t i s s t i l l l i t t l e known, d e s e r v i n g d e e p e r s t u d y and d i v u l g a t i o n , b e i n g t h e b i b l i o g r a p h y a b o u t t h e s u b j e c t v e r y r e s t r i c t . A s t h e f i r s t t h r e e c h a p t e r s s h a l l b e used i n o r d e r t o i n c r e a s e t h e r e a d e r ' s acknowledgement towards a d e e p e r a s s i m i l - t h

a t i o n o f t h e 4- c h a p t e r , t h i s one s h a l l b e mostly fundamental i n t h

r e l a t i o n t o t h e 5- c h a p t e r , which s h a l l b e based on a r e c e n t work 1191 p u b l i s h e d i n J a n u a r y 1975.

S i n c e o u r work i s t h e o r e t i c a l i n c h a r a c t e r , i t does n o t seem i m p o r t a n t t o g i v e a p r a c t i c a l d e f i n i t i o n on what a

p a r a m e t e r may r e p r e s e n t , b u t t o t h o s e who f i n d i t o f importance, s e e 1151, page 296.

I t i s n o t o u r purpose t o d e s c r i b e i n t h i s work t h e t h e o r y ' s complete gama on p a r a m e t r i c and m u l t i p a r a m e t r i c l i n e a r programming, u n s t e a d w e s h a l l s e l e c t w h a t w e presume rnay be more i m p o r t a n t r e g a r d i n g t h e p o s s i b i l i t y of i t s a p p l i c a t i o n t o problems r e l a t e d t o p r o d u c t i o n programming.

and its solution, whose objective shall be to complete the

developed theory and, at the same time, give the reader the

opportunity of applying to practical problems, establishing the versatility of the developed rnodels.

v i i

C A P ~ T U L O I

.

PARAMETRIZAÇÃO DOS COEFICIENTES DA FUNGÃO OBJETIVO 1.1

.

I n t r o d u ç ã o

...

1

...

.

1.2 ~ o n c e i t u a ç ã o do Problema 4

...

1 . 3

.

~ e d u ç ã o ~ e o m é t r i c a do Conjunto de Otimalidade 8

...

.

1 . 4 c r i t é r i o d e E n t r a d a d e um V e t o r na Base 1 2

...

.

1 . 5 c r i t é r i o d e s a í d a d e wri V e t o r da Base 1 3 1.6

.

~ x e r c i c i o Numérico

...

25

CAPQTULO I1

.

PARAMETRIZAÇÃO DO LADO DIREITO DAS RESTRIÇÕES

...

.

11.1 I n t r o d u ç ã o 29

11.2

-

~ o n c e i t u a ç ã o do Problema

...

32

...

11.3

-

Conjunto d e tim mal idade 38

...

1 1 . 4

-

c r i t e r i o d e s a i d a d e um V e t o r da Base 39

...

11.5

-

c r i t é r i o d e E n t r a d a d e um Vetor n a B a s e 40

...

11.6

-

Exemplo Numérico 56

.

ALGUNS CASOS PARTICULARES

I n t r o d u ç ã o

...

P r i m e i r o Caso P a r t i c u l a r : M a t r i z a ( t ) = constan-

t e (Estudo s i m u l t â n e o do li? e 20 c a p $ t u l o s )

....

....

Conjunto d e Otimalidade da Base Fundamental

c r i t é r i o d e E n t r a d a e s a i d a d e um Vetor d a Base

..

Segundo Caso P a r t i c u l a r : C(t) e b ( t )

são

v e t o r e s

...

c o n s t a n t e s e a ( t ) = [A

+

t ~ . NJ 7 4

...

viii

...

111.7

.

Exemplo ~umérico 8 4

.

111.8 Extensões

...

93

CAPITULO

IV

.

MULTIPARAMETRIZAÇÃO LINEAR DOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO (MLP-OFC) E DO LADO DIREITO DAS RESTRIÇ~ES (MLP-RHS

1

k

.

...

1v.1 Introdução (MLP-RHS)

...

.

IV.3 Resolução do Método

...

.

IV.4 Exemplo Numérico

IV

.

5

.

~ulti~arametrização dos Coeficientes da

unção

...

Objetivo (MLP-OFC)

...

.

IV.6 ~ormulação e Conceituação do Problema

...

.

IV.7 Resoluç~o do Problema MLP-OFC

CAP~TULO V

.

PROGRAMAÇÃO LINEAR

MULTIPARAM~TRICA

DAS EXTREMI- DADES (RMPLP)

V.2

.

O Problema de ~rogramação Linear ~ultiparamêtrico em suas Extremidades

...

...

.

V.3 Resolução do RMPLP

.

...

V.4 Exemplo ~umêrico

...

BIBLIOGRAFIA 173

PARAMETRIZAÇÃO DOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO

Imaginemos um Problema de Programação Linear d e f i n i

+2

+ +

do no R (R xR ) e que, para e f e i t o de r a c i o c f n i o , tenha por do- mínio de d e f i n i ç ã o a r e g i ã o l i m i t a d a p e l a poligonal OEFABCO da Fig.

1.1, e também a r e t a L j

,

que tendo v e t o r d i r e t o r C s e j a a cor- respondente imagem geométrica da função o b j e t i v o do problema.

Fig. 1.1

\

i?

evidente que a imagem geométrica do ponto Ótimo A

s i mesma (perpendicularmente ao v e t o r C ) . Mas de tudo i s s o a que

6

mais importante

6

que e s t e mesmo v é r t i c e continua ainda Õtimo s e substituirmos a r e t a L3 por qualquer r e t a s i t u a d a e n t r e as r e t a s

L1 e L2 tendo respectivamente vetores d i r e t o r e s Cl e C2 (L1//~I3,

L2//FA)

Consciente do que acima f o i d i t o , podemos agora ima

-

g i n a r que,quando os c o e f i c i e n t e s da £unção o b j e t i v o dependem de um

c e r t o parâmetro X

,

seu v e t o r d i r e t o r tem a forma C = C '

+

XC".

Admitamos que

2

r e t a L3 e s t ã associado o p a r k e t r o X = AO. Agg r a ao girarmos a r e t a L3 em torno do ponto O

,

no s e n t i d o a n t i - h o r á r i o , observamos que o v e t o r C f a r á o mesmo, o parâmetro X

assumirá continuamente diversos v a l o r e s a t é que para A =

-

X a re- t a L 3 coincida com a r e t a L1

.

De maneira semelhante, ao g i r a r

-

mos a r e t a L3 de modo que e l a venha a c o i n c i d i r com a r e t a _L2

_,

o v e t o r C i r á g i r a r no s e n t i d o h o r á r i o a t é que para C = c'+:c" a s r e t a s L3 e L2 sejam coincidentes. Recorda-se que para A = X O

o programa Õtimo do problema e s t ã associado ao v é r t i c e A e ao v a l o r ótimo da função o b j e t i v o

-

a r e t a L>

.

Variando c o n t i

-

-

nuamente o v a l o r do parâmetro X

,

desde a t é A tem-se que o v e t o r C assume todas a s posições, jamais ficando f o r a do ângulo formado pelos vetores d i r e t o r e s C1 e C2 das r e t a s L1 e L2 r e s - pectivamente, e o ponto Õtimo do problema permanece f i x o , tendo por imagem geométrica o ponto A

.

Decorre que, para h =

-

h ( h = h ) a r e t a L3 deve

ser p a r a l e l a ao lado AB (FH) do poligono de condições, portanto qualquer ponto de AB(FA)

é

soluqão Õtima do problema, tirando-se

assim a unicidade da solução. E ainda, o lado A B ( ou FA) do p o l i - gono é a imagem do conjunto dos programas. Ótimos do problema.

-

Para A = A f E I E > O (OU A =

_-

A - E )

,

i s t o

e ,

para

pe

-

quenas variações de X além de A(e aquém de

-

A

,

estaremos dian

-

t e de um problema de programação l i n e a r , cujo novo programa Ótimo

6

0 v é r t i c e F (ou v é r t i c e B ) .

Uma conclusão que j á nos s a l t a à v i s t a

é

que o dom1

-

n i o de d e f i n i ç ã o de A s e r á dividido em

um

número f i n i t o de par

-

t e s , sobre cada urna das quais ( i n t e r i o r ) e s t á associado uma fami

-

l i a de funções o b j e t i v o , que a t i n g e o m~ximo num mesmo ponto do do

-

m h i o de d e f i n i ç ã o do problema.

Para espaços de maior dimensão procede-se de manei- r a semelhante, só que n e s t e caso a função o b j e t i v o tem como repre- sentação geomêtrica wn hiperglano H com v e t o r d i r e t o r C ' + A . C n

.

Vale ainda chamar a atenção que, no caso multidimensional para

A=X

o hiperplano representante da função o b j e t i v o s e r á p a r a l e l a a uma f a c e F do conjunto convexo das condições do problema. Decorre d a i que para pequenas variações de A

,

A=X+E não teremos neces

-

sariamente um novo v ê r t i c e vizinho ao a n t e r i o r , como no caso b i d i - mensional. Complementando, concluimos que no caso multidimensio

-

n a l , dois v é r t i c e s do conjunto convexo, associados

5s

soluções do problema a dois i n t e r v a l o s vizinhos de variação do p a r b e t r o A

,

1.2

-

~ o n c e i t u a ç ã o do Problema

Admitamos que nos s e j a poss.ivelb determinar para ca- da um dos A de um c e r t o conjunto, o v e t o r X que maximize a f o r ma l i n e a r

n

L = (c;

+

hc1!)x j = l , 2 r . .

.

,n j = l I j

s u j e i t o a

Para conceituar o problema iniciaremos com a s d e f i - nições que s e seguem:

~ e f i n i ç ã o I. 1 : Uma base do programa ( I . 2 . 1 )

-

(1. 2.3) é

TIM MA

para

um c e r t o A

,

s e a s avaliaçÕes A j ( A ) =

z j ( A )

-

c j ( A ) (ou A . ( A ) =

3

-

-

Pj

+

Aqj

,

r e l a t i v a s a e s t a base, de todos os v e t o r e s condições calculados com o A dado, são não negativos.

~ e f i n i ç ã o 1 . 2 : O conjunto de todos os v a l o r e s X para o s q u a i s a base

6

ótima, definimos coa0 sendo o conjunto de otimalidade d e s t a base.

Decorre das d e f i n i ç õ e s que, associado a cada base

-

e x i s t e um conjunto de o t i m a l i d a d e , e que

6

e d i f i c a n t e conhecer

como s e modifica a solução do problema ( 1 . 2 . 1 )

-

(I. 2.3) com a v a r i a

-

Para ta1,faremos o estudo em dois e s t á g i o s que cha- maremos de 19 e 2 9 ~ a s ~ s e que s e r ã o estudados isoladamente. U t i l i

-

zando o método do simplex, procuraremos a solução para h = A O , che- gando a um programa Õtimo após um número f i n i t o de i t e r a ç õ e s (19 Ca

-

s o ) , ou a elaboração de uma base onde a s condições de ausência de solução r e a l i z á v e l são checadas (29 Caso).

Um destaque importante a s e r lembrado

6

que a i n c o ~ p a t i b i l i d a d e das condições 1 . 2 2

,

(1 2 3 ) não apresentam i n t e r e s s e , pois qualquer que s e j a h o problema não t e r á programa. Ten- do-se em v i s t a o problema que s e r ã resolvido posteriormente, e

re

f e r ê n c i a s de natureza t e ó r i c a s , introduziremos nas h a b i t u a i s tabe- l a s de simplex i n i c i a l m e n t e mais uma l i n h a para r e p r e s e n t a r os t e r

-

mos paramétricos; e s t a l i n h a s e r á indicada por _{f h}

,

e a j á exis-

t e n t e faremos corresponder àquela p a r t e da função o b j e t i v o , cujos c o e f i c i e n t e s e s t ã o sem h

.

~ n t ã o no quadro do simplex a s duas p r i

-

meiras l i n h a s

t ê m

o formato :

f C- 0 -pl -ps

...

-Pn

h Q -91 q2 o..... qn

Admitamos que o problema proposto f o i resolvido pa- r a h = h o ; portanto um quadro com a solução Õtima pode s e r elabora

-

do, conforme Tabela 1.1

.

Tabela I. 1

(Quadro g e r a l para un problema com os c o e f i c i e n t e s da função obje- t i v o parametrizados)

VALOR DAS VARI%VEIS

BASICAS

Neste quadro todas a s v a r i á v e i s básicas são repre- sentadas por y e a s não básicas por x

.

O c o e f i c i e n t e de x

j na l i n h a da função o b j e t i v o r e l a t i v o

ã

base c o r r e n t e

ê

exatamente

Se denotarmos por B a matriz b á s i c a e por C B I C g

variáveis

x

bkicas, teremos : j

I

onde

onde admitimos que a base B é composta dos vetores i A,

. .

.

i~ _{m o} Como estamos diante de um problema de maximização

,

decorre do fato da solução ser Õtima para A = A Q que :

Assim sendo, o problema tem a sua solucão Ótima pre

-

servada somente para aqueles valores de A que satisfazem o siste ma de desigualdades

,

Portanto, X

_-

<

-

5

desde que qj 0 + hqj se qj A > - - - j' _{desde que qj >}

_O

.

-

9;

Observamos agora que p

+

Xqj compõe exatamente a j

métrica da função objetivo (forma linear). Desejamos agora variar o parâmetxo X i consequentemente o vetor diretor do hipexplano H, mas de tal forma que nenhuma de suas componentes torne-se negativa. Percebe-se que essas componentes relativas

5

base corrente dependem

linearmente de um parhetro, ou mais precisamente, são funções con- tinuas.

Dedução ~eométrica do Conjunto de Otimalidade

Examinemos agora, geometricamente, uma componente pj

+

qjh conforme qj 1 0 r q j = o 3 qj

-

> O.

"I

-

. I I* I Fig. 1.2

i a )

Fig. I,3

Fazendo uma a n á l i s e d a s f i g u r a s , concluimos que na f i g u r a I. 2. a ( f i g . I. 2. c ) p .+hq

6

d e c r e s c e n t e ( c r e s c e n t e ) p a r a 3 A c r e s c e n t e ( c r e s c e n t e ) se

₉

< O ( s e q > O ) .

~ l é m

d i s s o a j j-ésima componente do v e t o r d i r e t o r do h i p e r p l a n o H ( r e p r e s e n t a

-

ç ã o g e o m ê t r i c a da função o b j e t i v o ) t o r n a - s e z e r o p a r a h = - p j / q j e n e g a t i v a ( p o s i t i v a ) p a r a h > -p./q ( h < - p . / q . ) , 0 que i m J j 3 I

-

p l i c a e m não termos mais s o l u ç ã o Ôtima. S e e x i s t i r somente uma v 2 r i á v e l não b ã s i c a com c O ( q j > O), p o r exemplo xó(x2), O

má

-

ximo (mínimo) v a l o r d e A p a r a o q u a l a s o l u ç ã o c o n t i n u a Ôtima é

-

h = -p6/q6

(1

= -p 2 /g 2 ) . Mas s e p o r o u t r o l a d o e x i s t i r e r r . mais v 2

r i á v e i s não b ã s i c a s com q ' s n e g a t i v o s ( p o s i t i v o s ) , p o r exemplo,

,

x4,x5 e x6 (x1,x2 e x3) devemos e n t ã o c a l c u l a r h 4 = -p4/q4

.

p o i s assim estaremos determinando o maior (menor) v a l o r p a r a o q u a l a s o l u ç ã o c o n t i n u a r ã Õtima. Na f i g u r a I . 3 . a (Fig. I.3.b) ob-

-

s e r v a - s e que t a l d n i m o (máximo)

é

h = h 6 (

h

= h * )

.

S e a g o r a supusermos a s f i g u r a s I . 3 . a e I . 3 . b , a d i

-

cionando o g r á f i c o p 7 i- hq7 com q7=0 obtemos a f i g u r a 1 . 4

,

a q u a l d e t e r m i n a o c o n j u n t o d e o t i m a l i d a d e p a r a a s o l u ç ã o do p r o b l e - ma c o n t i n u a r Õtima.

fi

i n t e r e s s a n t e c o n s t a t a r que s e t o d a s a s x j v a r i á v e i s não b ã s i c a s

t ê m

e m s e u s c o e f i c i e n t e s , na função o b j e t i v o , o s q ' s L O ( g ' s

L

O ) não há n e c e s s i d a d e d e s o b r e p o r a s f i g u r a s I . 3 . a e I.3.b p a r a se o b t e r o c o n j u n t o d e o t i m a l i d a d e de h p a r a a s o l u ç ã o permanecer Ôtima, p o i s n e s t e c a s o somente e x i s t i r i a a f i

-

g u r a I.3.b ( I . 3 . a ) , e a mesma s e r i a s u f i c i e n t e p a r a d e t e r m i n a r o

c o n j u n t o d e o t i m a l i d a d e , donde se c o n c l u i que X p o d e r i a assumir

-

q u a l q u e r v a l o r maior que

-

X - (rnefior que A).

A p a r t i r do que f o i e x p o s t o , podemos i n t r o d u z i r a n o t a ç ã o :

-

m se t o d o s OS ¶ j

-

< O

I

se t o d o s 0s _{q j}

-

_{> O} a q u a l s a t i s f a z a equação (1.2.4). P o r d e f i n i ç ã o , a b a s e c o r r e n t e é ótima p a r a a q u e l e s e somente a q u e l e s v a l o r e s ( I . 3.2) i i i Al A2

.."'

Am

de X que v e r i f i - cam o s i s t e m a de d e s i g u a l d a d e s ( 1 . 2 . 4 ) . Concluimos que o c o n j u n t o d e o t i m a l i d a d e da b a s e c o r r e n t e compõe-se d e t o d o s o s v a l o r e s f i n i t o s d e X que v e r i f i - cam a condição

Examinaremos a g o r a como se modifica a s o l u ç ã o do problema (I. 2.1)

-

(1.2.3) p a r a o s v a l o r e s d e X >

X

.

I m p l i c i t a -

-

mente estamos considerando h f i n i t o , e além d i s s o consideraremos somente aqueles

'

j que são negativos.

1 . 4

-

c r i t é r i o de Entrada de

urn

Vetor na Base

Admitamos que s e j a exatamente k o i n d i c e t . q .

-

h = min (-

3 ) = - -

Pk r q k < O qjcO 'j qk

-

Decorre da p r ó p r i a d e f i n i ç ã o de h que Pk +

kk

= P, + (-pk/qk) = 0

Se uma nova solução

5

desejada para h > Ã

,

então

-

uma v a r i á v e l não básica r e l a t i v a a h dado pelo í n d i c e de q em j

( 1 . 4 1 ) deverá s e r introduzida na base, desde que e s t a a primei r a v a r i á v e l com c o e f i c i e n t e negativo na função objetivo. s e r á que, ao decompor o v e t o r condição _Ak com relação aos v e t o r e s de base, todas a s componentes xik são não p o s i t i v o s ? A resposta nos pare

_-

ce b a s t a n t e i n t u i t i v a ; no entanto, não necessariamente e s s e f a t o

6

mas,

Pk + hqk < 0

X i k < O para todo i c o n s t i t u i um c r i t é r i o de ausência de

solução do problema pelo método primal do simplex.

O oposto de xik

5

O para todo i corresponde a

-

e x i s t i r pelo menos um i t a l que xik

é

positivo. A exploração do

problema tem sequência p e l o método primal do simplex. Prosseguin- do, introduz-se na base o v e t o r Ak t a l que

I. 5

-

~ r i t ê r i o de saxda de um Vetor da Base

A v a r i á v e l a deixar a base

6

selecionada por

X X

r0

-

-

-

i o min

Xrk xik> O i k

A s s i m , o vetor Ar d e i x a r á a base. Dando sequência

2

solução do problema, a nova base impõe que s e determine o novo conjunto de o- timalidade, o q u a l

6

obtido a t r a v é s de 1

.

) e 1

. .

Denote-

-

mos por

[i*,

h*]

.

Mostremos agora que a extremidade esquerda

-

h* do conjunto de otimalidade da nova base

é

exatamente a extremidade d i

-

-

r e i t a A do conjunto de otimalidade da base precedente, e além d i s

-

Tabela 1 . 2

P a r t e s importantes de duas i t e r a ç õ e s s u c e s s i v a s do simplex p a r a pro

-

gramações paramétricas

f A ( A - X )

VALORES DAS

I

A t a b e l a acima, onde foram abordadas duas i t e r a ç õ e s s u c e s s i v a s do método prima1 do simplex, é p a s s i v a das s e g u i n t e s ob

-

servações :

1)

x j é Uma v a r i á v e l não b á s i c a nos quadors I e 11

2,

xk

6

uma v a r i ã v e l não b á s i c a no quadro I , que e n t r a na base no quadro I1

t o xrk

,

que por ser pivÔ, deve s e r p o s i t i v o (xrk > O ) segun

-

do o método prima1 do sinplex.

4 ) O c o e f i c i e n t e de xk na função o b j e t i v o

é

zero, i s t o

é

,

pk+hqk = 0. Este f a t o implica que todos os elementos na p r f -

meira l i n h a do quadro 11, ( f c + h f h ) não muda quqndo efetuamos o pivoteamento.

5) O s c o e f i c i e n t e s das v a r i á v e i s não básicas são todos e l e s não

-

negativos para h = h

,

v i s t o que h

é

o maior v a l o r de h pg

-

r a o qual a solução continua Õtima. Desta forma pj+Aqj 2 O.

Notamos agora que quando somamos a s duas primeiras l i n h a s do quadro 11, _{tem-se os novos c o e f i c i e n t e s p;+hq!} da fun-

3

ção o b j e t i v o . Portanto,

deve s e r maior ou i g u a l a zero para que a solução continue Õtima, i s t o

é

-

-1

-

+hq.+(q.-qkxrk x r j ) ( h - h ) > O

Pj

I

3

-

A s s i m , o menor v a l o r de h para que a s inequações (1.5.2) s e v e r i

-

I)

onde os denominadores das frações devem s e r p o s i t i v o s . Note

-

s e que a Última f r a ç ã o e n t r e c o l c h e t e s deve s e r considerada, p o i s

h a j a v i s t o :

a ) qk O porque xk

é

a nova v a r i á v e l b á s i c a

Xrk > O porque é pivô.

Resta agora calcularmos o máximo do 20 membro de

( 5 . 3 ) Como a primeira f r a ç ã o e n t r e c o l c h e t e s

8

sempre negativa, p o i s p e l a observação 5

P j

+

Asj

2

O

,

e a segunda f r a ç ã o é zero

,

segue-se que o mãximo é zero.

A s s i m ,

então,

Por o u t r o l a d o , o maior v a l o r de A para que a s i- a

nequações (I. 5 . 2 ) s e verifiquem é :

-

-

-

(p . + h q . A*

-

A = Min q . - q x m l x P -1 3 k r k r j (I. 5.4)

onde os denominadores das f r a ç õ e s devem s e r negativos. A r i g o r , a

-qk a;; > O

.

A s s i m ,

Tem-se a i n d a que o c o e f i c i e n t e da v a r i & e l xr da função o b j e t i v o no quadro I

6

_{z e r o , p o i s xr e s t á na base; mas no}

quadro I1 i s s o j á não o c o r r e mais, sendo s e u c o e f i c i e n t e dado p o r

.

O , o c o n j u n t o de o t i m a l i d a d e d a nova b a s e não admi

Como -qk xrk

-

t e v a l o r e s d e h <

X

,

p o i s n e s t e c a s o o r-6simo c o e f i c i e n t e da função o b j e t i v o s e r i a n e g a t i v o .

E s t a s c o n c l u s ~ e s podem ser enunciadas sob a forma do s e g u i n t e teorema:

Teorema I. 1 : S e j a k o í n d i c e d e f i n i d o p e l a c o n d i ~ ã o (I. 4 . 1 ) e

-

s e j a h

a ) Se xik

2

O ( i

,

2 , .

.

.

m p a r a todo h > x

,

a forma l i n e a r (I. 2 . 1 )

6

i n f i n i t a ( t e n d e a v a l o r e s i l i m i t a d o s ) sob o c o n j u n t o

(1.2.2) e ( 1 . 2 . 3 ) .

b ) Se a l g u n s dos n h e r o s xik s ã o p o s i t i v o s , ao i n t r o d u z i r m o s na b a s e o v e t o r d i s p o n í v e l Ak

,

segundo a s r e g r a s u s u a i s do

métg

do prima1 do simplex, obtém-se uma nova b a s e , onde a extremidg

-

Do que acabamos de v e r , concluimos que o p r o c e s s o p a r a r e s o l v e r o problema p a r a m é t r i c o p a r a X >

X

c o n s i s t e e m se p a r t i n d o de uma b a s e passarmos p a r a uma ~ r ó x i r n a (que chamaremos de v i z i n h a ) p e l a i n t r o d u ç ã o do novo v e t o r na b a s e e. em s e c o n s t a t a r que a extremidade d i r e i t a do c o n j u n t o de o t i m a l i d a d e da b a s e p r e c e d e n t e c o n s t i t u i a extremidade esquerda do c o n j u n t o de o t i m a l i d a d e d a nova b a s e . A e s s a a l t u r a

jã

nos encontramos c u r i o s o s p a r a s a

-

bermos quando devemos p a r a r o p r o c e s s o , mas e s t a conclusão

já

nos

s a l t a à v i s t a , p o i s se estamos a n a l i z a n d o X c r e s c e n t e ( d e c r e s c e n

-

t e ) devemos p a r a r quando, chegando a uma b a s e (que chamaremos de Ültima) o c o r r a que t o d o s o s q ' s

2

O ( q ' s

-

O )

,

o que e q u i v a l e d i

-

z e r que o c o n j u n t o d e o t i m a l i d a d e d a Última b a s e é uma semi-reta ;

ou quando, p o r o u t o r l a d o , chegarmos a uma b a s e onde o problema não t e m s o l u ç ã o e m nenhuma p a r t e do i n t e r i o r do s e u r e s p e c t i v o conjun- t o d e o t i m a l i d a d e .

O procedimento o r a d e s c r i t o sempre s e g u i r á b a s e s d i f e r e n t e s , desde que p a r a i s s o apliquemos a o c r i t é r i o da e s c o l h a do v e t o r a e n t r a r na b a s e a s r e g r a s do método do simplex, que p e r - m i t e e v i t a r a ciclagem.

Sejam Bh e Bh+t duas b a s e s o b t i d a s no da d i s c u s s ã o do problema, e suponhamos que e l a s coincidam. Admitamos

A e sejam o s extremos i n f e r i o r e s e s u p e r i o r e s do conjunto que

-

-

d e o t i m a l i d a d e de b a s e B E Bh = _%+t

.

E suponhamos a i n d a p o r wn

momento, que o s c o n j u n t o s de o t i m a l i d a d e de Bh e Bh+t sejam res-

mas como e s t e d o i s conjuntos de otimalidade coincide, então

h* = h

-

-

(I. 5.6)

Logo, de (I. 5.5) e (I. 5.6) vem

2

,

o que corresponde a d i z e r que o conjunto de otimalidade da base B

6

c o n s t i t u l d o de um Úni-

a

-

-

co ponto h =

-

X = h

.

Mas i s t o a c a r r e t a que h

6

igualmente o conjunto de otimalidade de cada base i n t e r m e d i ã r i a Bh+l

...

Bh+t'

P o r t a n t o , para e s s e

h

fixado, podemos agora conclu

-

i r que o deslocamento do procedimento seguindo a s bases Bh

...

" Bh+t conforme a s r e g r a s do mêtodo primal do simplex que permite e v i t a r a ciclagem, equivalente a r e s o l v e r o problema a u x i l i a r de maximi z a r

n

sob a s condições I . 2 . 2

-

I . 2 . 3 e sob a r e s t r i ç ã o suplementar

onde J é o conjunto dos í n d i c e s j t a l que

o q u a l após aplicarmos a s r e g r a s do método do primal que e v i t a a ciclagem, t a i s como o método l e x i c o g r á f i c o do simplex 111

I

,

nos l e

-

va impreterivelmente

5

conclusãq que Bh

#

Bh+t

,

contrariando a h i p o t e s e . Logo não existem bases i g u a i s , ou melhor, r e t o r n a r a

u-

ma base j ã passada

6

impossível. Portanto, o procedimento termina

-

A discussão para v a l o r e s de A ciecrescente, i s t o

é,

..

para A

-

A e f e t u a - s e de maneira análoga. A Única d i f e r e n ç a e que n e s t e caso a r e l a ç ã o (I. 4 . 1 )

6

s u b s t i t u i d a por:

Desta maneira conciuimos o 19 CASO.

Para a n a l i s a r o 29 CASO, admitamos que a resolução do problema para A = A O terminou p e l a construção de uma base,de modo que sendo

Pk + Aoqk < O

x < O para i = 1 , 2 ,

...

i k

-

a s condições (1.5.7) de ausência de solução r e a l i z á v e l são v e r i f i - cados.

Decorre de (I. 5.7) que

qk pode s e r uma das t r é s s e g u i n t e s a l t e r n a t i v a s :

1) qk = O

,

como i l u s t r a a f i g u r a I.5.a. a s condições (1.5.7) são observadas para todo v a l o r do parâmetro A ;

2 ) qk > O

,

como evidencia a f i g u r a 1.5.h a s condições (1.,5.7) são observadas para todo v a l o r de

3 ) qk < O

,

como são observadas h > evidencia p a r a todo a f i g u r a I . 5 . c a s condições (1.5.71 v a l o r de

~ n t ã o só tem s e n t i d o e x p l o r a r a e x i s t ê n c i a de solução para h c A l .

-

o

-

i 1 N ~ O existe (3 3. sol.

Não esq.

a-i 1

-

31 sol. 'a esq. de r(

a-ii)- 2sol.h esq.deh2

2 2

F i g . 1.6

b - i )- a solh esq. deAI b-ii)- i] sol 'a esq. deA2

Ao a n a l i s a r m o s a segunda ( p r i m e i r a ) a l t e r n a t i v a , a s o l u ç ã o do problema t e m s e q u ê n c i a na r e s o l u ç ã o do problema p a r a

A = A a q u a l p a r t e da s o l u ç ã o d i s p o n i v e l .

Podemos e n t ã o chegar a d o i s r e s u l t a d o s :

a ) obtenção d e uma b a s e Ôtima. b ) obtenção d a s condigÕes (I. 5.8)

Ps + A1qs < O x < O p a r a i = l , 2 , .

..

,m i s

-

a s q u a i s revelam a u s ê n c i a d e s o l u q ã o do problema. Em a )

,

o problema t e m c o n t i n u i d a d e conforme a s r e

_-

comendações dadas no 19 CASO.

~á

em b )

,

a a n á l i s e subsequente depende e s s e n c i a l m e n t e do s i n a l d e

qs

.

Se qk > 0 e qs O (qk < 0 e qs > O ) , a f i g u - r a I. 6.b ( f i g u r a I. 6.d)

6

a u t o - e x p l i c a t i v a e nos mostra que o p r o

-

blema não t e m soluqão. S e ' qs = O

é

f á c i l v e r que o problema tam

-

bém não t e m s o l u ç ã o .

Se qk > O e qs > O (qk < 0 e qs O ) , a f i g u - r a I. 6 .a) ( f i g u r a I. 6 . c ) nos d i z que o problema não tem s o l u ç ã o d i r e i t a ( e s q u e r d a ) d e A 2

.

~ n t ã o o problema t e m c o n t i n u i d a d e a

-

t r a v é s da. segunda e d a t e r c e i r a a l t e r n a t i v a s e permutamos _{A l p o r}

3

e k p o r s

.

Prosseguindo, chegamos

5

conclusão que ao ca- bo de um número f i n i t o d e e t a p a s , o problema (I. 2.1)

-

(I. 2.3)

é

i r -

q u a i s permitem p r o s s e g u i r com o l? CASO.

Do que acabamos de e x p o r , podemos chamar a a t e n ç ã o p a r a o que segue. D e acordo com a Tabela 1 . 2 , a s o l u ç ã o

6

procu- r a d a i n i c i a l m e n t e p a r a h = A o

.

Ao fim de algumas i t e r a ç Õ e s , c + gamos à conclusão que devemos p r o s s e g u i r com o l? ou 29 CASO. ~ p Ó s constatarmos que é o 1 9 CASO que devemos i n i c i a l m e n t e a p l i c a r , u s a mos (I. 3.1) (I. 3.2) p a r a d e t e r m i n a r o c o n j u n t o de o t i m a l i d a d e d a b a s e c o r r e n t e . Se n a l i n h a r e l a t i v a a T j / q j não e x i s t e m c a s a s que correspondam a

q j < O ( q j > O ) a b a s e c o r r e n t e

6

Ótima p a r a

todo h

-

> h. ( h

5

h o )

.

Caso c o n t r á r i o , o i n d i c e do elemento mini

_-

mal (maximal) d e s t a l i n h a c o r r e s p o n d e n t e a

₉

< O ( q j > O ) , d e - t e r m i n a o í n d i c e do v e t o r que v a i e n t r a r na b a s e se estamos a n a l i

-

sando v a l o r e s c r e s c e n t e s d e h ( v a l o r e s d e c r e s c e n t e s de h ) e o v a l o r d e s t e elemento minimal (maximal) c o i n c i d e com a extremidade d i r e i t a ( e s q u e r d a ) do c o n j u n t o de o t i m a l i d a d e da b a s e c o r r e n t e .

Se o e s t u d o p r e l i m i n a r nos informa que devemos i n i - c i a r p e l o 20 CASO, e n t ã o n e s t e momento devemos f a z e r na Tabela 1.1

uma permutação t e m p o r á r i a , i s t o

8 ,

devemos s u b s t i t u i r fc p o r

f C + A l f h

onde h l =

-

-

Pk e o í n d i c e k

é

determinado como em qk

Prosseguindo, devemos i n t r o d u z i r na b a s e o v e t o r conforme o mêtodo do simplex, determinado p o r um dos elementos ne- g a t i v o s d a nova l i n h a . Damos c o n t i n u i d a d e ao problema conforme a s r e g r a s do 29 CASO, chegando-se a uma s o l u ç ã o i r r e a l i z ã v e l , ou

5s

condições que permitem p r o s s e g u i r com o l? CASO. O e s t u d o do pro- blema, r e l a t i v a m e n t e ao 1 9 CASO, conclue-se e m um número f i n i t o de

i t e r a ç õ e s onde construimos uma base cujo conjunto de otimalidade

6

uma semi-reta, ou pomos em evidência que as confliçÕes de ausência de solução são s a t i s f e i t a s para todos os pontos do i n t e r i o r d e s t a se- mi-reta.

I. 6

-

Exemplo ~ u m & i c o

Para complementar e s t e capztulo, daremos um exemplo numérico 13

1

.

Maximize para O 5 X

-

<

.

I L s u j e i t o 4x1

+

3x2

+

2x3 X1

+

x3

+

2x4 2x1 C 4x2

+

x3

+

2x4 x > O i=1,2,3,4 i

-

CAP~TULO 11

PARAMETRIZAÇÃO DO LADO DIREITO DAS RESTRIÇÕES (CASO B = B

'

+

pB")

A descrição algébrica do procedimento referente a es

-

te caso será dado logo após uma interpretação geométrica dada pg la Figura 11.1, Aqui consideramos o caso onde m =2, pois para m > 2 perdemos completamente a compreensão geométrica das consi

-

derações, embora nos restem conclusÕes qualitativas.

Admitiremos que

já

é de nosso conhecimento a interpre

-

1 5

tação geométrica do procedimento do simplex

.

O objetivo do procedimento é encontrar N, imagem geo

-

métrica do ponto Ótimo, que se encontra na interseção da reta L

com o cone poliédrico C, onde suas arestas OAi são vetores (m+l) -dimensional, obtidos dos vetores condições OAf, pela adição da

( m + l ) - é s i m a componente, q u e c o r r e s p o n d e a o s c o e f i c i e n t e s d e c u z t o c d a funcão o b j e t i v o . . Se a g o r a adicionarmos o v e t o r vB" a o

i

v e t o r B 1 , tem-se que o ponto i n t e r s e ç ã o d a r e t a L com o p l a n o x Ox d e s l o c a - s e provocando também um deslocamento do ponto supe

-

1 2

r i o r N , i n t e r s e ç ã o d a r e t a L com o cone p o l i é d r i c o C . Ob s e r v a

-

mos a g o r a que o p o n t o N d a f a c e A OA do cone C não r e p o u s a _{s g}

1 5

b r e uma a r e s t a d e s s e cone e , s e

v

não é um v a l o r grande (assume um c o n v e n i e n t e v a l o r ) , e n t ã o o p o n t o N ( p ) i n t e r s e ç ã o d a r e t a L ( p )

com o cone C a i n d a contimuará na mesma f a c e . Decorre d a i que a b a s e Ótima do programa, a q u i r e p r e s e n t a d a p o r OA e OA não muda.

1 5

Se a g o r a aumentarmos o v a l o r p d e t a l forma que o ponto N ( p ) c a i a

S

s o b r e uma a r e s t a do cone C , a o longo da q u a l a f a c e A OA e c o r

1 5

t a d a p o r uma d e s u a s v i z i n h a s , temos a i q u e o problema c o r r e s p o n d e n t e será um programa degenerado. Continuando, fazendo p a s s u

-

m i r v a l o r e s m a i o r e s , tem-se que o ponto N ( v ) se t r a n s f e r i r á p a r a uma f a c e v i z i n h a do cone C . P o r t a n t o , a b a s e c o r r e s p o n d e n t e ao i n t e r v a l o

I

vi,

1

d i f e r i r á d a b a s e a n t e r i o r por um v e t o r con

-

d i ç ã o . Dando prosseguimento a este r a c i o c h i o , conclue-se que a o v a r i a r

v,

d e t e r m i n a - s e segmentos

I

,

t a i s que p a r a

tg

do v a l o r d e c o n s i d e r a d o no i n t e r i o r d e s s e i n t e r v a l o temos s e g p r e uma m e s m a b a s e Ótima p a r a o problema. P a r a c o m p l e t a r , ob

-

servamos que pode v a r i a r , m a s d e t a l forma que o v e t o r B ' b p B " jamais f i q u e f o r a do cone formado p e l o s v e t o r e s e x t r e m a n t e s O A 1

O problema que temos a g o r a p a r a r e s o l v e r pode s e r formulado como s e segue. Seja B o v e t o r p a r a m e t r i z a d o d e f i n i

O

-

do p o r B = B'

+

p B t l , onde B' e B" s ã o d o i s v e t o r e s conhecidos e O um e s c a l a r . Desejamos c a l c u l a r p a r a t o d o p p e r t e n c e n t e a um s u b c o n j u n t o d a r e t a r e a l , um v e t o r X , q u e s e j a s o l u ç ã o do p r o b l g m a :

1

c x = z (Max) j j

O mesmo problema p o s t o na forma m a t r i c i a l

é:

Ma x i

-

mize

Inicialmente, nossa atenção é voltada a investigar se podemos aplicar os conceitos de dualidade a este problema,com objetivo de aplicarmos os conhecimentos já adquiridos no ~ a p í t u

-

10 anterior. Isto

6

possível e, para tal, deveriamos resolver o seu problema dual, o qual

6

Minimizar

sujeito a

Entretanto, por razões didáticas faremos o estudo de uma maneira direta, baseado no método dual do simplex, e a solu

-

ção terá sequência através das bases dos pseudoprogramas do prg blema (11.2.1)

-

(11.2.3)

.

Dando prosseguimento, lembramos que a base de um pseudoprograma, ou pseudobase

é

um sistema de

m

veto

_-

res condições linearmente independentes relativamente aos quais os critérios de seleção de todos os vetores condições são não ne gativos (não positivos), isto

é,

os coeficientes da função obje

_-

tivo relativamente a base corrente são não negativos (não positk

vos) no caso de maximiza~ão (minimização)

,

e observe que n e s t e caso não teremos necessariamente uma base viável, mas quando is

-

to ocorrer diremos que a pseudobase constitue uma base Ótima do problema.

P e ~ i n . i ç & 7 1 . 1 : O conjunto de otimalidade de uma pseudobase é

o conjunto de todos os valores v, tais que a pseudobase seja Ótima.

A solução do problema (11.2.1)

-

(11.2.3) tem sequêli, cia ao determinarmos pelo método dual do simplex uma base Ótima para V =

v.

(19 CASO), ou quando as condições de ausência de so

-

lução são postas

em

evidência para

_v

₌ po.

N ~ O abordaremos o caso onde a forma linear

e

ilimitg da para =

v O ,

_{pois o problema não terá solução realizável pg} ra todo

v.

De fato. se para

_v

₌ p o o problema (11.2.1')- (11.

.2.3') não tem solução realizável, então da teoria da dualidade o dual de (II.2.1')-(11.2.3') para

_v

_{= p o}

não tem solução realizãvel. Mas não desempenha nenhum papel nas restrições de (11.2.5)

,

(11.2.6)

,

o que significa dizer que para todo 1 ~ . o problema dual não

é

viável. Consequentemente o problema (11.2.1)-(11.2.3) não tem solução realizável.

Suponhamos que o nosso problema foi resolvido p a r a

Fi = Fio e em consequência uma base Ótima, a qual

é

constituida pe

-

i i

10s vetores A

.

A

,

foi determinada. Denotaremos tal ba

1 m

-

i i

se por A. Com A t a m b h queremos indicar uma matriz básica, isto é, uma matriz cujos vetores colunas são exatamente os acima citados.

~ n t ã o uma solução será:

i i - 1

X (1~. ) = A [B'

+

B"]

O O O

i - 1 i - 1

Sejam A B' =

x

( ' 1

e A B " = X ('I soluções do

sistema (II.2.2'), quando o 2 9 membro do sistema (11.2.2') é subs

_-

tituido por B = B' e B = B" respectivamente (uma de cada vez para o mesmo sistema)

.

Desta forma a equação (11.2.8) pode a s s i m ser escrita:

i

onde X

(v

) é um vetor coluna de m componentes. Logo, temos

O O

m equações

i

com x (1.1 ) + O ; s

= I r

21 . . . r m r pois a solução é ótima.

0 s O

Para facilikar a impressão datilográfica faremos a seguinte con

-

versão

Portanto :

variar,

é

claro que a solução poderá deixar de ser viável se certas precauqÕes não forem topadas. Ao analisar as rn equações chegamos a conclusão que

~ermanecerão não negativos se

b S

v > / - -

com a > O a s s b s V <

- -

com a < O a S s

Pode surgir ainda, que ao analisarmos p > p o >, O

(v

< p 6 0 )

2

O

corra que a 2 O (as S 0 ) para todo s, isto é, jamais consegui

S

remos violar a viabilidade da solução encontrada para

= ",.

11.3

-

CONJUNTO DE OTIMALIDADE

b S

I

max

- -

[

- =

se todos os a ,<

O

S

!

se todos os a

>

0 S

Como o critério

A

= z

-

c dos vetores A não depende de y,

j j j j

então uma condição necessária e suficiente para a viabilidade de uma pseudobase

6

que as inequações (11.2.11) sejam verificadas, o que acarreta ser a solução dada por (11.2.11) Ótima para

_-

,<

-

4 ,I

4

w.

Concluimos que o conjunto de otimalidade da pseudoba

se corrente, compõe-se de todos os valores finitos de y que veri

-

fiquem a condição

-

,Iá ~ t .

<

v.

Passaremos agora a explorar o comportamento do proble

_-

ma (11.2.1)

-

(11.2.3) para > (analogamente poderíamos desen

_-

volver o raciochio para y < ~ ) . Presume-se aqui

_-

w,

e

que entre os a

i

um negativo. Admitamos também que a pseudobase i ~ l

. . .

Am s e

-

j a uma solução ótima do problema para todo _<

_[&

_,

c]

.

1 1 . 4

-

CRITERIO

DE SAÍDA DE UM VETOR DA BASE

Procuraremos agora uma v a r i á v e l que batizaremos de

Xr r a q u a l s e t o r n a r á zero em

i

e negativa para

v

=

!

+

5 ,

onde

5

é p o s i t i v o e a r b i t r a r i a m e n t e pequeno. Seja r o h d i c e t a l que

Como

i i

é óbvio que ao avançar

v

além de

c,

A

...

A não mais s e cons

1 m

-

t i t u e uma pseudobase Ótima, p o i s o v a l o r de

x

dado acima é nega

r

t i v o , muito embora a p o s s i b i l i d a d e d e que a mesma continue sendo uma pseudobase para o problema não tenha s i d o a f a s t a d a .

11.5

-

C R I T ~ R I O DE ENTRADA DE UM VETOR NA BASE

A s i t u a ç ã o em que nos encontramos a g o r a é i d ê n t i c a a do método do d u a l , quando uma v a r i á v e l b á s i c a n e g a t i v a t e m _que ser removida d a b a s e e s u b s t i t u í d a por uma nova v a r i á v e l b á s i c a , mas d e t a l forma q u e tenhamos uma nova pseudobase. Vejamos c 2

mo i s s o r e a l m e n t e a c o n t e c e . P a r a t o r n a r m a i s f á c i l a e x p l i c a

_-

ção, voltemos p o r um momento a o método d u a l do simplex. C h a m e

_-

mos d e xk a v a r i á v e l que tomará o l u g a r d e

x

_r

.

Consequentemente, o elemento p i v o t da t a b e l a u s u a l do método d u a l do s i m p l e x é xrk. Sabemos que após o pivoteamen t o o novo c o e f i c i e n t e d a v a r i á v e l X j na f u n ç ã o o b j e t i v o é d a d o

Por

e s e desejamos que n o s s a nova pseudobase seja Ótima, e n t ã o o k

deve ser e s c o l h i d o d e modo que

~ambém já sabemos que s e x s u b s t i t u e

x

,

e n t ã o o novo v a l o r d e k r x

6

dado por k e i s t o permanece a i n d a v e r d a d e i r o se br e xk s ã o c o n s i d e r a d o s f u n ç õ e s d e

v,

d e modo que

JZ

chamamos a a t e n ç ã o q u e br

+

a r C O p a r a

v

>,

-

+

5

e desejamos a g o r a que b + v a r r > O p a r a v 3 5 + 5

i s t o é, que o novo v a l o r d e x

(v)

s e j a p o s i t i v o . Obviamente

. ko

p a r a termos x

( v )

> O

é

n e c e s s á r i o que x < O . Se t o d o s o s

ko rk

x 3 O e n t ã o não podemos c r e s c e r

v

além d e s e m v i o l a r a v i a

r j

-

b i l i d a d e . Concluimos a s s i m que a s c a n d i d a t a s a e n t r a r na b a s e s ã o unicamente a q u e l a s v a r i á v e i s q u e

t ê m

n e g a t i v o o s elementos na r-ésirna l i n h a d a t a b e l a u s u a l do método d u a l do simplex. Ana

-

l i t i c a m e n t e podemos t r a d u z i r t u d o i s t o e x i g i n d o que:

p a r a todo j

.

P j Pk > O ( a a n t i g a pseudobase e r a Ótima) e n t ã o x > O não t r a r á problemas a (11.5.1)

.

Se x O , e 2 r j r j t ã o (11.5.1) pode s e r escrita: p a r a t o d o j t a l que

x

< O . I s t o c o r r e s p o n d e a d i z e r que o r j h d i c e h

é

determinado por

-

Desta forma temos uma pseudobase viável para p , portanto, uma solução ótima para o problema.

A Tabela 11.1

6

uma sintese do quadro usual do meto

_-

do dual do simplex, onde anexamos uma coluna, a qual foi rotula

-

da de vetor básico (relativo a base do corrente).

Observa-se que a coluna "valores das variáveis bãsi

_-

tas"

foi transformada em duas colunas, a "b-termo" e a v-termo". Na Tabela 11.1 o quadro I1 foi obtido do quadro I pelo pivotea

_-

mento do elemento

x

rk' onde os hdices r e

k

são dados por (11. .4.1) e (1'1:. 5.2) respectivamente. As transformações ef etuadas

já

são conhecidas do método dual do simplex.

Se o pseudo programa é X = (x

( v )

. .

.

x

( v )

. .

.

.

1 O = o

...

x

( v ) )

então pelo quadro I1 da Tabela 11.1 segue-se:

n(l

-

L

Adicionando e subtraindo o termo ~ ( a

- -

x ) vem:

X sk

rk

Por ( 1 . 4 . b

+ i

a = 0, então,

ii) Para s = r

a

-

r

Adicionando e subteaindo o termo

v

-

vem :

X

rk

De (i) e (ii), concluimos:

-

A nova pseudobase

é

viãvel para

v

=

,

pois p o r

-

para todo S. Recorde-se que V

é

o maior valor de V que dá 4

condições para que a pseudobase anterior seja viável, isto e,

x

(i)

& O. 2 fácil ver que se o pseudograma é viável paraqual

s O

-

quer outro valor de V, então 8

.

De fato, suponhamos que o

-

corra viabilidade do pseudoprograrna para

isto

é

Como a < O e x < O , então (11.5.4)nosdá:

r rk

4

o que

é

um

absurdo, pois estamos supondo que o pseudoprograma e viável. Prosseguindo, observamos que para lidar com a nova ba

_-

o t i m a l i d a d e , o q u a l é o b t i d o a t r a v é s d e (11.3.1) e ( 1 1 . 3 . 2 ) . De

-

notemos esse c o n j u n t o por

[v*,

-

)i*].

Mostraremos a g o r a que a extremidade e s q u e r d a

_-

v*

do c o n j u n t o d e o t i m a l i d a d e d a nova b a s e é p r e c i s a m e n t e a extremidade d i r e i t a

i

do c o n j u n t o d e o t i m a l i d a

_-

-

d e d a b a s e p r e c e d e n t e e , além d i s s o ,

_-

_v*

,<

v*.

D e (11.5.3), notamos que x ' (P) >/ O s e s O

P o r t a n t o , o menor v a l o r d e

v

p a r a que a s inequações (11.5.5) s e v e r i f i q u e m é

onde o s denominadores d a s f r a ç õ e s devem s e r p o s i t i v o s . Note q u e a Última f r a ç ã o deve s e r c o n s i d e r a d a , p o i s a _r c O e x _rk c 0 .

JZ

chamamos a t e n ç ã o que x

(i)

> 0 l o g o -x

(a)

0,

s O S O

e n t ã o :

a r

Como O/(-) = 0 , f á c i l a g o r a concluirmos que o máximo do 20

Xrk

membro d e (11.5.6) é z e r o . P o r t a n t o ,

Por o u t r o l a d o , o maior v a l o r d e p a r a que a s inequações (11.5. . 5 ) s e veri'fiquem é:

-

-

onde os denominadores das frações devem ser negativos. A rigor a segunda fração não deve existir no 29 membro de (II.5.7), pois

ar

(-) > O. Deduz-se que o mínimo

6

não negativo. Assim

X

rk

Estas conclusÕes podem ser enunciadas sob a forma do seguinte te

_-

orema :

Seja

r

o índice de£inido pela condição (11.4.1) e se

-

-

a) Se

x

O para j = 2

.

. .

n com )i > as condições

r j

(11.2.2)

-

(11.2.3) do problema são incompativeis.

b) Se algum dos números x j = 1 2

.

. .

n são negativos ao r j

introduzir na base o vetor disponível ' A ~ segundo as r2 gras usuais do método dual do simplex, obtem-se uma n o v a pseudobase onde a extremidade esquerda

-

v*

do conjunto de o timalidade

6

i.

Do que acabamos de analisar, concluimos que o proceg so para resolver o problema paramétrico para

v

>

c,

consiste em se partindo de uma pseudobase passarmos a uma ~róxima (que a cha

-

maremos de vizinha) pela introdução de um novo vetor na base. O processo terá sequência seguindo as bases vizinhas deste proble

_-

ma. Chegaremos ao fim do processo quando analisando

v

crescen

-

te (decrescente) chegarmos a uma pseudobase, a qual chamaremos de Última, ocorra que para todos as >, O (as 4 O), o que equk vale a dizer que o conjunto de otimalidade da Última pseudobase

é uma semi-reta, ou quando por outro lado, chegarmos a uma pseu

_-

dobase onde o problema não tem solução em nenhum ponto do interi or do seu respectivo conjunto de otimalidade. Usando ao crité

-

rio da escolha do vetor a entrar na base as regras que garantem a ausência de ciclo no método dual do simplex, pode-se mostrar que este procedimento chegará ao fim em um número finito de eta

_-

pas, uma vez que é impossível retornar a uma pseudobase já consi

-

derada. Veja o raciocínio usado no capítulo anterior para mos trar esse fato., Desta maneira, concluimos o 19 CASO.

Para analisarmos o 20 CASO admitamos que a resolução do problema para p = p O nos leva ao seguinte impasse. Existe pelo menos um i = r, tal que

Decorre de (11.5.8) que a pode s e r uma das

três

s e g u i n t e s a l t e g

r

--

n a t i v a s :

19) a = O a s condições 1 1 5.8) são observadas para t o d o

r

v a l o r do parâmetro

v,

revelando que o p r o b l e m a

20) a > O a s condições 1 1 . 5 8 são observadas para t o d o

r v a l o r do p a r h e t r o b r ' - . , = "1

.

SÓ r e s t a i n

-

4 v e s t i g a r a e x i s t ê n c i a da solução do problema a d i r e i t a de p

,

i s t o

é,

p a r a ₅

_{u l ;}

1 /

3 9 ) a < O

é

f á c i l ver que s ó tem s e n t i d o explorar a e x i s

r

-

t ê n c i a de solução do problema à esquerda de

"1'

i s t o é, para 6 p l .

Ao a n a l i s a r a 2a. (3a.) a l t e r n a t i v a , a solução do pro

-

blema tem sequência p e l a r e s o l u ç ã o do problema para _{= p l , a} q u a l p a r t e da solução d i s p o n i v e l . Podemos então chegar a d o i s r e s u l t a d o s :

a ) obtenção de uma pseudobase Ótima;

Em (álTFroblema tem continuidade conforme as recomendações da

_-

das no l? CASO. ~á em (b) a análise subsequente deverá ser anã

-

loga âs que foram dadas no capitulo precedente.

Do que acabamos de analisar podemos chamar a atenção para o que segue. A solução

6

inicialmente procurada para _{p =}

-

-

Fio pelo método prima1 ou dual do simplex. Como estamos eE cluindo o caso onde a forma linear

é

infinita, então ao fim de algumas iteraçÕes chegamos a conclusão que devemos pr o s s e guir com o l? ou 29 CASO. ~ p Ó s certificarmos que é o l? CASO que de

-

vemos inicialmente aplicar, usamos (11.3.1) e (11.3.2) para d e

_-

terminar o conjunto de otimalidade da pseudobase corrente. Ima

-

ginemos agora uma tabela que chamaremos de II.lg, a qual n a d a mais é do que a tabela 11.1 completa, isto é, constituída de to

_-

bs

das as linhas e colunas. Se na coluna relativa a

- -

as ca

-

as

sas que correspondem a a O (as > O, no caso de decrescer)

s

ficam vazias, a base corrente é Ótima para

_v

_{3 lio}

_(v

₆

_vO).

Ca

_-

so contrário o índice do elemento minimal (maxirnal) desta coluna correspondente a as < O (as > 0)

,

determina o indice do vetor que vai sair da pseudobase, se estamos analisando valores cres

-

menta minimal (maximal) coincide com a extremidade direita (e2 querda) do conjunto de otimalidade da pseudobase corrente. Aqui o procedimento pode terminar desde que as condições

sejam verificadas, ou pela ausência total dos elementos da colu

-

bs

na

- -

.

Na la. hipótese nota-se que o problema

6

insolúvel a

s

à direita do ponto

v*

se estamos analisando valores crescentes de e a esquerda do ponto

v*

se

v

é

decrescente. Na 2a. hipÓ

-

tese a pseudobase é viável para a semi-reta

[v*

m) se cresce

e a semi-reta ( -* se decresce. As demais trans

-

formações são idênticas as efetuadas em uma etapa isolada do mé

-

todo dual do simplex. Se o estudo preliminar nos informa que devemos iniciar pelo 29 CASO, então neste momento devemos fazer na tabela 11.1' uma permutação temporária (até que possamos con

-

tinuar com o

b da coluna

S

e o hdice

r

19 CASO), isto

é,

devemos substituir os elementos b-termo por

x

( v

) = b

+

a onde

-

- - -

b*

s o 1 s s ar

é

determinado como em (11.4.1). Prosseguindo, de vemos introduzir na base o vetor conforme o método dual do s im

-

plex, determinado por

um

dos elementos negativos da nova coluna. As regras do 20 CASO são agora aplicadas chegando-se a conclusão que o problema

6

irrealizável, ou 2s condições que permitem pros

-

seguir com o 19 CASO, o qual conclue-se em um número finito de i

_-

teraçÕes,onde construimos uma base cujo conjunto de otimalidade

sência de solução são satisfeitas para todos os pontos do interi

_-

or desta semi-reta.

11.6

-

EXEMPLO NUP&RICO

Consideremos agora o exemplo numérico: Maximize pg

ra - 1 4 h < . . .

TABELA 11.2 veis Básicas Valores das ~ a r i s veis Basicas b- termo y -termo