A Lógica, ao que tudo indica, foi descoberta por Aristóteles ( a.c.):

Introdução à Lógica

• A Lógica, ao que tudo indica, foi descoberta por Aristóteles (384-322 a.C.):

– Os registos encontram-se no seu famoso “livro da Metafísica”.

– Após sua descoberta, ela permaneceu praticamente intacta por mais de dois mil anos, sendo retocada em detalhes de pouca importância.

– Emanuel Kant chegou mesmo a asseverar que a ciência descoberta se constituía numa ciência

acabada: a lógica não havia dado nenhum passo para

diante e nenhum para trás (desde sua introdução).

• Outras investigações de caráter mais filosófico foram efetuadas por G. Frege (1848-1925), contribuindo enormemente para o desenvolvimento da lógica de predicados.

• Porém, o grande avanço propriamente dito foi estabelecido com a publicação da monumental obra “Principia

Mathematica”, em três volumes, de A. N. Whitehead e B.

Russell no alvorecer do século XX.

• Pode-se mesmo dizer que a moderna Lógica Matemática teve início com a publicação da referida obra.

• Não seria exagero, se se afirmar, como A. N. Whitehead disse, que a lógica atual está para a lógica aristotélica como a

matemática moderna está para a aritmética das tribos primitivas.

• Talvez seja esta a primeira curiosidade que advém à nossa mente:

– Preliminarmente, observemos que o público não

especialista costuma empregar o termo “lógica” em várias acepções:

• por exemplo, costumamos ouvir expressões como:

– “a lógica do amor”,

– “a lógica do técnico de futebol”,

– “a lógica do presidente”, e assim por diante.

– Convém ressaltar-se que, apesar do uso do termo

“lógica” nestes exemplos não ser destituído totalmente de sentido, tais contextos são

inadequados. Uma definição popular de lógica é:

• Uma definição popular de lógica é:

– Lógica é o estudo das inferências (raciocínios) válidos.

– Tal definição não está incorreta, porém, ela não é adequada se observarmos o que a Lógica é

modernamente.

• Outra definição que se encontra em algumas obras de Lógica é a seguinte:

– Lógica é o estudo do raciocínio feito pelos matemáticos...

• Comentamos uma definição que nos parece mais adequada:

– Lógica é o que os lógicos cultivam ou o que está nos tratados de Lógica.

• Entre as várias indagações que o homem faz, uma das mais significativas e recorrentes diz respeito ao conhecimento.

• E é justamente no campo da ciência que se dá a investigação e a busca desse conhecimento.

• Seríamos parciais se disséssemos que isto ocorre apenas no campo científico ou académico:

– Essa busca, na verdade, acontece na maioria das atividades que envolvem o ser humano.

• Existem métodos de apreensão da realidade nos campos religioso, político, social, entre outros.

• Mesmo assim, a ciência (e o método científico)

ocupa um papel cada vez mais importante em todos esses campos.

• Mas, então, podemo-nos perguntar

• o que é ciência?

• Ou, noutros termos, com que é que se preocupa o cientista na sua investigação?

• Por exemplo, um biólogo está buscando o quê?

• Uma resposta adequada e definitiva é difícil, mas, em princípio, poder-se-ia dizer

– que todo cientista está buscando compreender algum fenómeno, entender e explicar uma parte da nossa realidade.

• O médico pesquisador, por exemplo, procura

investigar o mecanismo interno de certas doenças

• Já o psicanalista, preocupa-se em compreender o psiquismo das pessoas.

• Enfim, cada cientista está, então, tentando entender

e explicar certas porções de nossa realidade.

• Passaríamos, então, para um segundo ponto, que seria:

– o caminho percorrido na busca dessa compreensão da realidade.

• É sabido que, em tempos mais remotos, alguns

cientistas usaram uma boa dose de misticismo nas suas ponderações, porém, hoje dificilmente uma tal atitude seria aceite ou encorajada no campo científico

• Diríamos que o cientista utiliza aquele que é um dos atributos mais importantes do ser humano para

empreender sua investigação, a razão.

• A ciência só se concretiza em virtude e através da razão humana. Teríamos assim uma primeira relação

importante: ciência e razão.

• Mas afinal, perguntaríamos novamente, o que é razão? Não pretendemos abusar da paciência do leitor, mas responder tal questão não é simples, sendo porém necessário que consideremos um importante aspecto da questão. A questão

fundamental a ser percebida, para a nossa

discussão, é que a razão humana se materializa, se corporifica sempre em algum contexto

linguístico

• Mas afinal, perguntaríamos novamente, o que é a razão?

• Poder-se-ia dizer que não há razão sem linguagem, o que ilustra a importância da Teoria da Linguagem

para a ciência:

– Pois bem, perguntemos neste ponto, ao biólogo, que linguagem estará ele utilizando para investigar o seu objeto de estudo, as mosquinhas?

– Talvez ele se surpreenda com a pergunta, mas

provavelmente dirá, a língua portuguesa, ou seja, a linguagem natural que aprendemos desde tenra idade.

– Talvez muitos dos cientistas diriam o mesmo: a linguagem natural!

• Voltemos aos lógicos e perguntemos-lhes:

– qual é a porção da realidade que o lógico busca compreender?

– Que linguagem estará empregando para isso?

– Vejamos um objeto lógico que a maioria das pessoas certamente conhece muito bem, os números naturais:

0, 1, 2, 3, ..., n, ... (sim! números são entidades lógicas).

– Além dos números, a maioria das pessoas sabe somar e multiplicar números, sabe também, comparar

números, e assim por diante.

• Uma peculiaridade interessante numa investigação em Lógica:

– Um biólogo que quer estudar as moscas, sabe onde ir buscá-las.

– Um médico também sabe em que espaço se encontram as doenças que quer investigar, em seres vivos.

– Mas, e quanto ao número 2, onde será que ele se encontra?

• Uma questão como esta, que pode parecer irrelevante à primeira vista, tem desdobramentos interessantes.

• O número 2 existe de facto ou não?

• Um matemático convencional não poria dúvidas quanto à existência do número 2, mas certamente teria dificuldades em justificá-la.

• Se perguntar a um aluno se a cadeira onde está sentado, existe mesmo?

– É claro que sim! Diria o aluno.

– Se pedisse uma argumentação que justificasse essa

certeza, talvez uma resposta suficiente aos olhos do senso comum seria: Eu vejo a cadeira e toco-lhe!

– Ou seja, justificaria a existência da cadeira pelos sentidos usuais que os seres humanos são dotados. Infelizmente, não podemos ficar satisfeitos com essa argumentação:

• O tacto pode falhar, a visão engana-nos frequentemente.

• Logo, em termos racionais, os sentidos não são capazes de nos fornecer fundamentos para a certeza absoluta da existência do livro.

• Se aplicarmos essa argumentação a nós próprios, as coisas ficariam ainda piores:

– Temos a certeza absoluta que existimos?

– O que pode parecer estranho, mas inatacável, nessa linha de argumentação, é que não conseguimos legitimar a existência das coisas somente por argumentos lógicos.

– Um dos mais belos desenvolvimentos em cima desse

argumento é devido ao matemático e filósofo francês René Descartes, resumido na frase “penso, logo existo”.

• Porém, o que podemos concluir daí é que existe pensamento, não o ser.

• Assim, necessitamos de uma postura para vermos as coisas:

– A maioria absoluta dos lógicos e cientistas em geral adota a postura platónica (muitas vezes inconscientemente).

– De grosso modo, Platão acredita na existência de dois mundos:

• 1) O mundo físico (em que vivemos) e

• 2) O mundo das entidades ideais.

– Para nos familiarizarmos com este segundo mundo tomemos o exemplo clássico da circunferência:

• Alguém consegue desenhar uma circunferência perfeita? A maioria das pessoas responderia não.

• Porém, para Platão a circunferência perfeita existe,

• Além disso, Platão diz que as circunferências do mundo físico são cópias imperfeitas da circunferência perfeita, do mundo ideal.

• Todas as entidades lógicas estão no mundo das entidades ideais.

• Os objetos são atemporais e não temos o conceito de espaço em tal mundo. Nesse sentido, podemos dizer que o número 2 sempre existiu e sempre vai existir

independentemente da existência do homem

e de, além disso, não se encontra em lugar

algum.

• Assim sendo, que a Lógica (ou Matemática) é a mesma para todos.

• Platão diz-nos também que o único acesso ao mundo das entidades ideais é feita através de

nosso intelecto, e segundo ele, esta é a razão pela qual poucos o conhecem, e que a nossa relação

com tais entidades é de descoberta (e não de criação, por exemplo).

• Embora em menor número, existem outros

adeptos de outras correntes e não a platónica –

• As principais áreas de pesquisa em lógica clássica na atualidade podem ser classificadas nas seguintes:

– 1. Sintaxe lógica:

• Nesta área estudam-se certos constructos linguísticos formalizados, as linguagens artificiais.

• Estas servem para traduzir problemas lógicos referentes às linguagens da matemática e das ciências empíricas.

• Também se pode estudar questões ligadas às linguagens naturais.

• 2. Teoria de modelos:

– aqui se estudam as inter-relações existentes entre as linguagens artificiais e certas estruturas conjuntistas às quais elas se referem.

– Os contornos atuais deste ramo devem-se a A. Tarski e A. Robinson.

– Um dos resultados mais importantes da teoria de modelos foi a matematização do conceito de verdade feita por Tarski, dando-se assim, uma contribuição de profundo significado filosófico.

– Um dos resultados surpreendentes que o próprio Tarski observou foi de que a classe das proposições verdadeiras é mais abrangente que a classe das proposições demonstráveis em teorias matemáticas fortes e consistentes.

– A teoria de modelos possui atualmente as mais variadas aplicações, por exemplo, em ciências empíricas e na metodologia da ciência.

• 3. Teoria da recursão:

– De uma forma geral, a teoria da recursão trata do que é exequível

• mecanicamente,

• computacionalmente,

• sem recurso á “inteligência”.

– Foram introduzidas certas máquinas ideais

atualmente conhecidas como máquinas de Turing (outros contemporâneos foram A. Church e E.

Post).

• Todos os grandes computadores da atualidade (inicialmente projetados e construídos por J. von Neumann por volta de 1950) são realizações

físicas da máquina de Turing.

• São conhecidos resultados deveras interessantes na teoria da recursão;

• Atualmente uma das questões mais atraentes é a

investigação do que é computável

• 4. Fundamentos da matemática:

– aqui um dos tópicos de pesquisa é a obtenção de sistemas lógicos potentes capazes de

• fundamentar a matemática clássica,

• investigar alguns de seus axiomas, analisando as suas consequências tanto matemáticas quanto o seu

significado do ponto de vista das aplicações.

• Alguns desses sistemas investigados são a teoria das categorias, teoria dos topos, teoria dos tipos e outros sistemas.

• O interessante é que tais sistemas extremamente fortes servindo de análise à própria matemática, encontraram aplicações em ciência da computação e Inteligência Artificial.

• 5. Lógica algébrica:

– a lógica serviu de catalisador deste ramo da matemática pura.

– Todo o sistema lógico é no fundo uma certa estrutura algébrica:

• por exemplo, o cálculo proposicional clássico constitui numa álgebra de Boole, que por sua vez é uma

estrutura mais básica: constitui num anel de Boole.

• Muitos problemas em lógica ou matemática, ou

mesmo em ciência da computação, podem ser melhor tratados como certas estruturas algébricas.

• 6. Aplicações da lógica em matemática:

– Neste tópico estuda-se aplicações de técnicas da lógica para a solução de problemas em matemática.

– Por meio deste expediente foram resolvidas algumas

questões relevantes em álgebra e topologia.

A palavra Lógica deriva do Grego (logos) que significa palavra

Definição:

Com base na introdução feita anteriormente, Lógica é assim a ciência das leis ideais do

pensamento e a arte de as aplicar à pesquisa e

demonstração da verdade

• Neste capítulo trataremos alguns conceitos elementares da lógica proposicional, de uma maneira intuitiva.

• O cálculo proposicional é o estudo da linguagem proposicional, a qual estuda basicamente cinco símbolos:

– 1. Negação: ¬

– 2. Conjunção: ^

– 3. Disjunção: ∨

– 4. Implicação: →

• Os paradoxos ou antinomias foram objeto de estudos e inquietações por parte de filósofos e lógicos, desde os tempos da Antiga Grécia.

• Sem muito rigor, os paradoxos podem ser

classificados em paradoxos semânticos e

paradoxos lógicos.

• 1)Paradoxo do mentiroso.

– Dentre os paradoxos desta categoria, destaca-se aquele

descoberto pelo filósofo grego Eubúlides de Mileto (384-322 a.C.) conhecido popularmente como o paradoxo do mentiroso.

– Inicialmente, trata-se do senso comum que toda frase

declarativa da língua portuguesa ou é verdadeira ou é falsa, nunca ambas simultaneamente.

– Suponhamos, por exemplo, que, num quadro negro, se escreve a seguinte (única) frase :

S₁ “A frase escrita neste quadro contém oito palavras”

• Verifica-se, neste caso, prontamente, que S1 constitui

Consideremos agora esta outra afirmação:

S₂ : ‘A frase escrita neste quadro contém onze palavras’.

Evidentemente que se trata de uma afirmação falsa pois S₂ contém oito palavras e não onze.

2) Paradoxo do exame:

Numa segunda-feira, certa professora informa os seus alunos de que eles terão um exame nos próximos quatro dias, mas que não deverão saber o dia exato, a não ser no momento de prestar o exame.

Os alunos, então, raciocinaram assim: o exame não pode ocorrer na sexta-feira (o quarto dia), pois, caso contrário, eles saberiam de antemão, na quinta-feira, depois das aulas, que ele seria na sexta-feira, quebrando-se, assim, o acordo de ser

surpresa.

De modo análogo, não pode ser na quinta-feira. Nem na quarta-feira, nem na terça-feira. Logo, não pode haver exame nas condições formuladas pela mestre.

Porém, esta, digamos na 3ª ou 4ª-feira, pode aplicar o exame, satisfazendo as condições impostas.

3) Paradoxo do barbeiro.

Numa pequena cidade do interior vive um barbeiro,

muito conhecido dos moradores da cidade, que barbeia todas (e somente aquelas) pessoas moradoras da

cidade que não se barbeiam sozinhas.

Ora, o barbeiro é um morador da cidade. Coloca-se a questão: quem faz a barba do barbeiro ?

É óbvio que: ou ele se barbeia, ou ele não se barbeia.

Portanto, como o leitor se apercebe, um tal barbeiro

barbeia-se, se e somente se ele não se barbeia.

Os paradoxos desta categoria, diferentemente dos

semânticos, envolvem certas noções lógicas, principalmente relacionadas com a teoria intuitiva dos conjuntos.

1) Paradoxo de Russell

a) Vejamos inicialmente o chamado Paradoxo de Russell: A exposição um tanto ou quanto detalhada possui o objetivo de relembrar alguns conceitos fundamentais da teoria intuitiva de conjuntos.

b) Dentro da posição platónica subjacente à teoria dos conjuntos, um dos princípios básicos que regem essa teoria, de conteúdo bastante evidente, é o seguinte:

Princípio da separação (ou da compreensão): Toda a propriedade P determina um certo conjunto, a saber, o conjunto formado pelos objetos que possuem a propriedade P e apenas por eles.

• Exemplo:

– Consideremos a propriedade de ser homem. Ela determina o conjunto {x | x é um homem} = conjunto dos homens.

• Exemplo:

– Se P ≡ser satélite natural da Terra. Então: {x | x é um satélite natural da Terra } = {Lua}

• Exemplo:

– Seja P ≡ pessoas que sonham e não-sonham simultaneamente.

Então: {x | x é uma pessoa que sonha e não sonha simultaneamente} = ∅

• Como se disse no slide anterior, é bastante intuitivo que, dada uma propriedade qualquer, ela determina o conjunto dos elementos que satisfazem a referida propriedade.

O princípio em questão, porém, na realidade, é incompatível com a lógica elementar clássica. Isto foi constatado em 1902 pelo lógico

inglês Bertrand Russell, e o paradoxo por ele descoberto leva o nome de antinomia (ou paradoxo) de Russell. Vamos agora expô-lo:

Inicialmente, observemos que existem conjuntos X tais que X não é membro de si mesmo, isto é: X ∉ X

Exemplo: O conjunto de todos os homens, por não ser um homem, não é membro de si mesmo.

Exemplo: Dado o conjunto A = {0, 1, 2}, é evidente que A ∉ A.

Observemos, também, que existem ‘conjuntos’ X tais que são membros de si mesmos, isto é, X ∈ X.

Exemplo: O ‘conjunto’ de todos os conjuntos, por ser um conjunto, é obviamente membro de si mesmo.

Exemplo: Um caso interessante é o seguinte: seja o

‘conjunto’

A = {B | o número de elementos de B é maior ou igual a 3}.

Existem muitos conjuntos com pelo menos 3 elementos:

B1 = {0, 1, 2, 3}

B2 = conjunto das bananas de São Paulo B3 = {a, b, c, d, e}

B4 = conjunto dos planetas de nosso sistema solar, etc.

Logo, A possui mais do que 3 elementos e,

consequentemente, A ∈ A.

• Além do paradoxo de B. Russell existem outros tais como:

– Paradoxo de Cantor

– Paradoxo de Burali-Forti

a que não entraremos em detalhe

• Os poucos exemplos de paradoxos semânticos colocam em relevo o facto de que qualquer linguagem natural, como por exemplo, a língua portuguesa, não pode ser adequada ao tratamento

rigoroso da lógica.

• Mais ainda, admitindo-se certas leis básicas da lógica clássica, toda a linguagem universal, como tem a capacidade de referir-se a si própria, sem quaisquer restrições, leva inevitavelmente a contradições.

• Isto foi observado no início deste século pelo lógico polaco Alfred Tarski. Necessitamos, então, construir uma linguagem que

possibilite o tratamento da lógica. Uma tal linguagem será

usualmente chamada de linguagem artificial (de artefacto) ou

• As afirmações são afirmações ou declarações, como o próprio nome diz, que declaram (afirmam) algo.

• Portanto, o que afirmam é passível de ser considerada ou como verdadeira, ou como falsa.

• Vejamos alguns exemplos:

– Exemplos de afirmações declarativas.

• 1. A neve é branca. (verdadeira)

• 2. 2 + 2 = 5 (falsa)

• 3. Há cinco milhões de grãos de areia na lua. (ninguém contou os grãos; mas sabemos ou que é verdade, ou que é falsa (provavelmente falsa)).

• Daqui em diante, toda a afirmação (declarativa) que

trabalharmos é ou verdadeira ou falsa, mas nunca ambas simultaneamente

• OBS: Adotaremos a notação booleana:

“1” designa o valor “verdadeiro” “0” designa o valor “falso”

Dá-se o nome de diagrama de Venn a todo o diagrama que possibilita a visualização de propriedades e de relações

entre um número finito de conjuntos.

Os diagramas de Venn são representados por linhas fechadas, desenhadas sobre um plano, de forma a representar

os conjuntos e as diferentes relações existentes entre conjuntos e elementos.

Exemplo:

Considerando o conjunto dos números naturais N={1,2,3,4,⋯}N={1,2,3,4,⋯}, sejam U o conjunto dos números naturais até 25 e AA e BB, respetivamente, os conjuntos dos números primos até 25 e números pares até 25:

A={2,3,5,7,11,13,17,19,23},

B={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24}

Recorrendo à utilização de Diagramas de Venn podemos visualizar os conjuntos anteriores, assim como as seguintes operações:

•Interseção entre A e B A∩B={2}A∩B={2}

•Reunião entre A e B

A∪B={2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,18,19,20,22,23,24}

Exemplos:

Não está chovendo;

Está a chover e a fazer vento;

Está a chover ou está nublado;

Se choveu então está molhado ou

Será aprovado se e somente se estudar

Exemplo:

p = Está a chover

q = Está a fazer vento Ler-se