- EQUAÇÕES, SISTEMAS E PROBLEMAS DO 2º GRAU -

- EQUAÇÕES, SISTEMAS E PROBLEMAS DO 2º GRAU - 1- Beatriz estava aprendendo a resolver equações de 1º e de 2º grau. A professora lançou o seguinte desafio: encontre a equação sabendo que o quadrado de um número diminuído do seu dobro é igual a 8. Resolva a

equação obtida e calcule a diferença das raízes da equação. Qual o valor que Beatriz deverá encontrar após resolver este desafio?

a) 4 b) 5 c) 7 d) 6 e) 8

Resolução da questão:

O quadrado de um número diminuído do seu dobro é igual a 8. Vamos chamar esse número de x:

x² - 2x = 8

Vamos passar o 8 para o outro lado e teremos uma equação de segundo grau.

x² - 2x – 8 = 0 a = 1, b= -2 , c = -8 𝛥 = b² - 4 . a . c 𝛥 = (-2)² - 4 . 1 (-8) 𝛥 = 4 – (-32)

𝛥 = 36 x = ^{−b ±√𝛥}

2𝑎

x = ^{2 ±√36}

2

x = ^{2 ±6}

2

x1=

2 + 6

2 = 4 x2 = ^{2 − 6}

2 = -2

Descobrimos que as raízes da equação são 4 e -2. A questão pede a diferença entre as raízes:

4 – (-2) = 6 Gabarito: D

2- Uma empresa de turismo faz passeios em ônibus fretados para um número x de passageiros, com o limite máximo de 50 passageiros. O cálculo do valor da passagem que cada passageiro terá de pagar é dado por V = 100 + 10 (50 – x);

já o custo total da empresa é de C = 1 000 + 20x.

O lucro L da empresa é o resultado do valor de sua receita R (dada pelo produto entre o número de passageiros x, e o valor V, da passagem que cada um pagará), subtraindo-se o custo total C para realização da viagem. Em outras palavras, L = V.x – C.

Qual a expressão algébrica a seguir equivale ao valor do lucro L da empresa?

a) –10x² + 580x – 1 000 b) –10x² + 620x + 1 000 c) 10x² + 620x – 1 000 d) 10x² + 580x + 1 000

Resolução da questão:

Vamos organizar a questão para entendermos melhor:

x = número de passageiros V = 100 + 10(50 – x)

C = 1000 + 20x L = V . x - C

A questão quer saber qual expressão representa o lucro da empresa.

É só substituir:

L = x [100 + 10 (50 – x)] – (1000 + 20x)

Primeiro resolvemos o que está entre parênteses:

L = x [100 + 500 – 10x] – 1000 + 20x L= 100x + 500x – 10x² - 1000 + 20x L = -10x² - 580x -1000

Gabarito: A

3- Considere a seguinte equação: -2x² - 4x + 16 = 0, sendo “a” e “b” duas soluções para essa equação, com “a” menor do que “b”.

a) “a” = -4 e “b” = 2.

b) “a” = 4 e “b” = -1.

c) “a” = -2 e “b” = -1.

d) “a” = 8 e “b” = 4.

e) “a” = -4 e “b” = 3.

Resolução da questão:

-2x² - 4x + 16 = 0 é uma equação de 2ª grau, em que todos os seus coeficientes são divisíveis por 2, então, vamos simplificar. Vai ficar assim:

-x² - 2x + 8 = 0 a = -1, b= -2 , c = 8

Vamos resolver essa pela soma e produto.

Sabemos que a soma das raízes é -b/a e o produto é c/a.

Portanto:

Soma: ^−𝑏

𝑎 = ⁻⁽⁻²⁾

−1 = -2 Produto: ^𝑐

𝑎 = ⁸

−1 = -8

Quais números que somados dão -2 e multiplicados dão -8? 2 e -4

2 + (-4) = -2 2. (-4) = -8

Logo, 2 e – 4 são as raízes da equação.

Como a questão diz que a é menor que b, podemos concluir que:

a = -4 e b = 2.

Gabarito: A

4- Laila fará aniversário e, para comemorar, jantará em um bar com mais 5 amigos.

No bar escolhido, cada cerveja custa R$ 6,00, cada refrigerante custa R$ 2,00 e cada porção grande de picanha com alho e queijo custa R$ 81,50.

Com base nessa situação hipotética, julgue o item.

Se Laila diz apenas que sua idade é uma das raízes da equação x² −11x + 210 = 0 , não é possível afirmar quantos anos ela tem.

( ) Certo ( )Errado

Resolução da questão:

Identificando os coeficientes da equação:

x² −11x + 210 = 0 a = 1, b = -11 , c = 210

Resolvendo a equação por Bháskara, vamos encontrar o valor de delta:

𝛥 = b² - 4 . a . c

𝛥 = (-11)² - 4 (1) (210) 𝛥 = 121 – 840

𝛥 = -719

Quando o delta é negativo, a equação não possui raízes reais, logo, não é possível afirmar quantos anos Laila tem.

Gabarito: Certo

5- O produto das raízes da equação de segundo grau: x² + 3x – 4 é igual a:

a) 12 b) 7 c) 0 d) -1 e) -4

Resolução da questão:

x² + 3x – 4 é uma equação de segundo grau, cujos coeficientes são:

a = 1, b= 3 , c = -4

Sabemos que o produto das raízes é c/a, portanto:

𝑐 𝑎

=

1 = -4 Gabarito: E

6- Um retângulo tem suas medidas equivalentes às raízes da equação de segundo grau 2x² -10x +12. Assinale a alternativa que indica, em metros, o perímetro do retângulo.

a) 10.

b) 16.

c) 20.

d) 22.

e) 24.

Resolução da questão:

Vamos encontrar as raízes da equação: 2x² -10x +12

Todos os coeficientes da equação são divisíveis por 2, então, vamos simplificar:

x² - 5x + 6

a = 1, b = -5 c =6

Dá pra resolver pela soma e produto, então vamos resolver para ganhar tempo.

Soma: ^−𝑏

𝑎 = ⁻⁽⁻⁵⁾

−1 = 5 Produto: ^𝑐

𝑎 = ⁶

1 = 6

Quais números que somados dão 5 e multiplicados dão 6? 3 e 2.

3 + 2 = 5 3 . 2 = 6

Logo, 5 e 6 são as medidas dos lados desse retângulo.

A questão pede o perímetro do retângulo, sabemos que o perímetro é a soma dos seus lados.

Portanto, o seu perímetro é 3 + 2 + 3 + 2 = 10 Gabarito: A

7- Se x = 2 é uma raiz da equação do segundo grau x² + ax + 8 = 0 , então o valor de a² será:

a) -6.

b) 0 c) 36.

d) 70.

e) 100.

Resolução da questão:

Vamos substituir o valor de x na equação para encontrar o valor de a:

(2)² + 2a + 8 = 0 4 + 2a + 8 = 0 2a = -4 – 8 2a = -12 a = -12/2 a = -6

A questão pede o valor de a²:

a² = (-6)² a² = 36 Gabarito: C

8- Em certa loja de eletrodomésticos, as quantidades de fogões e de geladeiras vendidas em certo dia correspondem às raízes da equação abaixo. Desse modo, ao somar essas quantidades, ao todo, quantas unidades foram vendidas?

x² - 16x + 60 = 0 a) 6

b) 10 c) 14 d) 16

Resolução da questão:

A questão quer saber a soma da quantidade de fogões e geladeiras vendidas.

Ela nos diz que as raízes da equação x² - 16x + 60 = 0 corresponde a quantidade vendida.

Então, a questão quer a soma das raízes dessa equação. É só fazer -b/a x² - 16x + 60 = 0

a = 1, b = -16 , c = 60 Soma das raízes: ^−𝑏

𝑎 = ⁻⁽⁻¹⁶⁾

1 = 16 Foram vendidas 16 unidades.

Gabarito: D

9- Considere a seguinte equação: – 5x² + 3 – 2x = – 3x² – 1. O resultado para x que corretamente satisfaz a equação é o que está exposto na alternativa:

a) x = 0 ou x = 1.

b) x = 1 ou x = -2.

c) x = 2 ou x = 0.

d) x = 1 ou x = -1.

Resolução da questão:

Primeiro vamos organizar a bagunça.

– 5x² + 3 – 2x = – 3x² – 1 - 5x² + 3x² - 2x + 3 + 1 = 0 - 2x² -2x + 4 = 0

Agora temos uma equação de 2º grau. Todos os seus coeficientes são divisíveis por 2. Então, vamos simplificar:

-x² -x + 2 = 0

a = -1, b = -1 , c = 2

Podemos resolver por soma e produto:

Soma: ^−𝑏

𝑎 = ⁻⁽⁻¹⁾

−1 = -1 Produto: ^𝑐

𝑎 = ²

−1 = -2

Quais números que somados dá -1 e multiplicados dá -2? 1 e -2.

1 + (-2) = -1 1 . (-2) = - 2

Concluímos que 1 e -2 são as raízes da equação.

Logo, x = 1 ou x = -2.

Gabarito: B

10- Um grupo de pessoas dispôs-se a arrecadar R$ 1.800,00, para comprar uma cadeira de rodas para doação, dividindo a importância em casos iguais.

Sabendo da iniciativa, outras 5 pessoas se propuseram a ajudar, de modo que casa pessoa precisou contribuir com R$ 12,00 a menos do que deveria se o grupo não tivesse aumentado. Com base nessas informações, julgue o próximo item.

“Antes da entrada dos novos membros no grupo, a contribuição individual era inferior a R$ 70,00.”

( ) Certo ( ) Errado Resolução da Questão:

Para resolver esse tipo de questão, vamos armar uma equação de 2º grau e resolver sem mistério.

Toda vez que você se deparar com uma questão nesse formato: um grupo de pessoas se reuniu e dividiu uma quantia em partes iguais, depois mais algumas pessoas se uniram a esse grupo e o valor da contribuição do grupo original aumentou ou diminuiu, apenas siga o Método e monte a seguinte equação:

FINAL = INÍCIO + ou - O QUE AUMENTOU

* Se as pessoas passarem a contribuir com menos, é menos

* Se as pessoas precisarem contribuir com mais, é mais

Nesse caso, as pessoas contribuíram com menos 12,00, logo, usaremos menos.

Final → ¹⁸⁰⁰

𝑥 + 5 (O valor é 1800 foi dividido por x pessoas e depois entraram mais 5)

Início → ¹⁸⁰⁰

𝑥 (O valor é 1800 e inicialmente foi dividido por x pessoas apenas) O que aumentou → A questão nos diz que diminuiu R$ 12,00 por pessoa

1800

𝑥 + 5 = ¹⁸⁰⁰

𝑥 - 12

Esqueminha armado, agora é só conta.

1800

𝑥 + 5 = ^{1800 − 12𝑥}

𝑥 Multiplicando cruzado:

1800x - 12x² + 9000 - 60x = 1800x

1800x - 12x² + 9000 - 60x - 1800x = 0 -12 x² - 60x + 9000 = 0

Temos uma equação de 2º grau. Observei que todos os números são divisíveis por 12. Posso simplificar? DEVE

-x² - 5x + 750 = 0 a = -1, b = -5, c = 750

Resolvendo por Bhaskara:

𝛥 = 5² - 4 . (-1) . 750 𝛥 = 25 + 3000 𝛥 = 25 + 3000 𝛥 = 3025

x = −(−5) ±√3025 2 (−1)

Fatorando 3025:

3025 5 605 5 121 11 11 11 1

√3025

x1 =

5 + 55

−2

→

60

−2

→

5 − 55

−2

→

−50

−2

→

Vamos descartar o x1 porque estamos falando de pessoas e não dá para usar um valor negativo. Logo, conseguimos descobrir que o número de pessoas que participou da divisão inicial foi 25.

Vamos dividir o valor pelas 25 pessoas para saber qual era o valor de contribuição de cada pessoa antes de entrarem mais 5 pessoas.

1800/25 = 72

Então podemos afirmar que antes da entrada dos novos membros no grupo, a contribuição individual não era inferior a R$ 70,00.

Gabarito: Errado