APONTAMENTOS. para a Cadeira de MECÂNICA E ONDAS. dos cursos

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APONTAMENTOS

para a Cadeira de

MECÂNICA E ONDAS

dos cursos

Licenciatura em Engenharia do Ambiente Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia de Materiais

2º Semestre (P4) de 2021/22

João Fonseca

2 PROGRAMAÇÃO

Semana 1

Cinemática. Sistemas de coordenadas. Vetores posição, velocidade e aceleração em diferentes sistemas de coordenadas; movimento circular; movimento relativo.

Semana 2

Inércia; momento linear; conservação do momento linear; colisões; forças; ação-reação;

forças inerciais Semana 3

Trabalho, energia cinética; energia potencial; energia mecânica; forças conservativas.

Semana 4

Momento angular; momento; binário; momento de inércia; equilíbrio de corpos rígidos;

conservação do momento angular.

Semana 5

Oscilações: harmónicas simples, com atrito e forçadas; ressonância.

Semana 6

Ondas: sinusoidais e parâmetros característicos; transversais e longitudinais, estacionárias, planas e esféricas.

Semana 7

Teoria da Relatividade Especial

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Introdução

A Mecânica é o domínio da Física que estuda o movimento. A Cinemática é o sub- domínio da Mecânica que trata da descrição do movimento. A relação entre as características do movimento de um corpo e as interações a que ele está sujeito é objecto de um sub-domínio separado, a Dinâmica. A Estática encarrega-se do estudo das condições de equilíbrio.

Central ao estudo da Mecânica é o conceito de interação entre corpos. Nesta frase,

“corpo” significa uma porção de matéria, e “interação” significa qualquer processo pelo qual um corpo afecta o estado de outro corpo. Focaremos a atenção nas interações que alteram o estado de movimento dos corpos.

Surpreendentemente, conhece-se um número muito limitado de tipos de interação entre a matéria: além da interação gravítica, que é universal, e da interação electromagnética, entre corpos com carga eléctrica, apenas se conhecem mais dois tipos de interação nuclear – as chamadas interação forte e interação fraca – cujo raio de ação se limita ao interior do núcleo dos átomos.

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Cinemática

Os conceitos centrais da Cinemática são o espaço e o tempo: admitiremos que o espaço é um palco vazio no qual os movimentos decorrem, e não questionaremos o significado do tempo. Por outras palavras: restringiremos o nosso estudo ao âmbito da Mecânica Clássica.

Começaremos por focar a atenção nas ferramentas de que nos podemos socorrer para descrever o movimento de um corpo no espaço: referenciais e sistemas de coordenadas. Em seguida serão introduzidas as grandezas vetoriais com as quais podemos caracterizar o movimento: vetor posição, velocidade, aceleração.

De início iremos considerar apenas movimentos não-relativistas, ou seja, com velocidades desprezáveis face à velocidade da luz no vazio (299792458 ms^-1). Contudo, daremos particular atenção à Relatividade de Galileu (comparação das descrições do mesmo movimento feitas por dois observadores que se deslocam um em relação ao outro). O estudo da Teoria da Relatividade Especial no final do período permitirá questionar as hipóteses simplificadoras sobre o espaço e o tempo que caracterizam a Mecânica Clássica.

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1 – Sistemas de coordenadas. Vetor posição e vetor deslocamento.

1.1 Coordenadas cartesianas

Para localizarmos uma partícula (um ponto material) no espaço tri-dimensional, podemos usar as coordenadas cartesianas (x, y, z) do ponto que ela ocupa, definidas da maneira indicada na figura 1.

Figura 1 – Coordenadas cartesianas do ponto P

Subjacente à definição das coordenadas está a escolha de um referencial, ou seja, uma origem (O) e três eixos (rectas orientadas) sobre os quais se definiu uma escala.

Se uma partícula se deslocar, o seu movimento pode ser conhecido de maneira completa através das funções x(t), y(t) e z(t), tomadas em conjunto.

Muitas das grandezas físicas a que se faz recurso para estudar o movimento são grandezas vetoriais: além de intensidade, têm direção e sentido. Para um tratamento adequado dessas grandezas, convém dotar o referencial de um sistema de vetores unitários de base, ou versores, por combinação dos quais, multiplicados por escalares adequados, se possa representar qualquer vetor.

Começaremos por discutir os vetores de base associados às coordenadas cartesianas.

Por definição, esses vetores têm módulo unitário, estão orientados segundo a direção dos eixos do referencial, e têm o sentido positivo dos eixos (figura 2a). Designaremos estes vetores de base por (ûx, ûy, ûz), servindo o acento circunflexo para indicar que os respectivos módulos são unitários.

Figura 1 - Coordenadas cartesianas do ponto P P

zP

yP

xP

x

z

y z=1

x=1

y=1

z(m)

y(m)

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Figura 2 - a) Vetores de base do sistema de coordenadas cartesianas;

b) decomposição do vetor posição segundo os eixos cartesianos.

1.2 Vetor posição e vetor deslocamento.

O vetor posição de um ponto, designado geralmente por

𝑟⃗,

é por definição o vetor que une a origem do referencial a esse ponto. A figura 2b) mostra que o vetor posição pode ser escrito, tendo em conta as regras da adição de vetores e da multiplicação de um vetor por um escalar, na forma

[1]

𝑟⃗

= x ûx + y ûy + z ûz

Traduzimos esta expressão dizendo que

𝑟⃗

tem componentes escalares x, y e z.

Chama-se vetor deslocamento entre dois pontos à diferença (vetorial) entre os respectivos vetores posição. De acordo com a regra da diferença entre vetores, e com referência à figura 3, o vetor deslocamento de P para Q é dado por

[2]

𝑟⃗

=

𝑟⃗

Q –

𝑟⃗

P = (xQ-xP) ûx + (yQ-yP) ûy + (zQ-zP) ûz .

Se considerarmos dois pontos infinitamente próximos, as diferenças entre coordenadas passam a diferenciais ¹ e o vetor deslocamento passa a ser dado por

[3] d

𝑟 ⃗⃗⃗

= dx ûx + dy ûy + dz ûz

como se pode verificar diferenciando [1] e tendo em conta que (ûx, ûy, ûz) são constantes em módulo, direção e sentido.

1 Nota importante: com frequência basearemos os nossos raciocínios em variações infinitamente pequenas de grandezas físicas. Só desta forma poderemos tirar partido do Cálculo Diferencial e Integral, que alarga radicalmente a nossa capacidade de entender o movimento. Ver a este propósito o Paradoxo de Aquiles e da Tartaruga, criado pelo filósofo grego Zenão no século 5º AC para argumentar que o movimento é uma ilusão dos sentidos: https://www.youtube.com/watch?v=skM37PcZmWE. O impasse com que Zenão se debateu manteve-se até à invenção do Cálculo Diferencial e Integral por Isaac Newton e Gottfried Leibniz (independentemente) no séc. 17.

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Figura 3 – Vetor deslocamento 1.3 Coordenadas curvilíneas.

Existem outras formas de especificar a posição de uma partícula, para lá das coordenadas cartesianas. A figura 4 mostra como se definem as coordenadas cilíndricas (  z) e a figura 5 ilustra as coordenadas esféricas (r,  ). Para todas as coordenadas que correspondem a ângulos será sempre adoptada a unidade radiano.

Em alternativa às coordenadas cartesianas, o movimento da partícula pode ser convenientemente descrito pelas funções {  (t), (t), z(t)} ou {r(t), (t), (t)}. Depende da geometria do movimento qual dos sistemas de coordenadas é mais simples de usar em cada caso. Sobre a superfície da Terra, por exemplo, é conveniente usar a latitude e a longitude (que são coordenadas esféricas; notar que a coordenada  da figura 5 é o complementar da latitude, ou co-latitude) para localizar um ponto.

Quando o movimento se realiza sobre um plano, ou seja, a duas dimensões apenas, são por vezes úteis as coordenadas polares, definidas na figura 6. Por exemplo, se a variável

 se mantiver constante (movimento circular) basta a coordenada  para descrever o movimento. Note-se que as coordenadas polares são um caso particular das coordenadas cilíndricas, com z = 0.

Figura 4 – Coordenadas cilíndricas P

Q



r

yP yQ

zQ ∆𝑟⃗

x

y

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É fácil verificar, usando trigonometria básica, que são válidas as seguintes relações entre os vários sistemas de coordenadas:

Coordenadas polares ---- coordenadas cartesianas:

x =  cos  = (x²+ y²)^1/2 y =  sen  = tg^-1(y/x)

Coordenadas cilíndricas ---- coordenadas cartesianas:

x =  cos  = (x²+ y²)^1/2 y =  sen  = tg^-1(y/x)

z = z z = z

Coordenadas esféricas ---- coordenadas cartesianas:

x = r sen cos  = (x²+ y²+ z²)^1/2 x = r sen sen  = tg^-1[(x²+ y²)^1/2/z]

z = r cos  = tg^-1(y/x)

Quando fixamos um valor particular para uma coordenada, obtemos no espaço tridimensional uma superfície, sobre a qual apenas as outras duas coordenadas variam, e que se designa por superfície coordenada. Assim, a superfície coordenada correspondente à coordenada esférica r é uma superfície esférica (equação r = ro), à coordenada esférica  corresponde uma superfície cónica, e à coordenada cilíndrica  corresponde uma superfície cilíndrica (verifique).

Figura 5 – Coordenadas esféricas x

y z

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Figura 6 – Coordenadas polares

Se permitirmos que varie apenas uma coordenada, fixando o valor das outras duas, obtemos uma linha coordenada. Uma linha coordenada é sempre a intersecção de duas superfícies coordenadas. Por cada ponto do espaço podemos sempre fazer passar três linhas coordenadas (para um dado sistema). Se em qualquer ponto do espaço as três linhas coordenadas tiverem direções perpendiculares entre si dizemos que se trata de um sistema de coordenadas ortogonais. A figura 7 ilustra as linhas coordenadas associadas às coordenadas esféricas que passam por um ponto genérico.

Figura 7 – Linhas coordenadas associadas às coordenadas esféricas

As superfícies coordenadas associadas às coordenadas cartesianas são planos perpendiculares aos eixos, e as linhas coordenadas são rectas paralelas aos eixos (verifique).

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1.4 Vetores de base das coordenadas curvilíneas. Fatores de escala.

Em coordenadas cartesianas o significado dos vetores de base era intuitivo. Como generalizar esse conceito às coordenadas curvilíneas? Aproximamo-nos da resposta se tentarmos escrever expressões análogas à equação [3] para o vetor deslocamento infinitesimal. Começaremos com as coordenadas polares. Uma vez que o vetor posição fica perfeitamente determinado se conhecermos os valores de 𝜌 e 𝜃, é legítimo escrever [4] 𝒓⃗⃗ = 𝒓⃗⃗ (𝜌, 𝜃)

Tendo em conta que o diferencial de qualquer função de duas variáveis f(a,b) admite a expressão

[5] df = (f/a)da + (f/b)db

podemos concluir que o diferencial de 𝒓⃗⃗ verifica [6] d𝒓⃗⃗ = (𝒓⃗⃗/𝜌)d𝜌 + (𝒓⃗⃗/𝜃)d𝜃

Comparando [6] com [3] verifica-se que os vetores ^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜌 e ^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜃 são bons candidatos a vetores de base, mas nada garante que os seus módulos sejam unitários. Se definirmos os vetores û e û através de

[7]

𝑢̂

_𝜌

=

𝜕𝑟⃗⃗⃗

𝜕𝜌

|^{𝜕𝑟⃗⃗⃗}

𝜕𝜌|

e 𝑢̂

_𝜃

=

𝜕𝑟⃗⃗⃗

𝜕𝜃

|^{𝜕𝑟⃗⃗⃗}

𝜕𝜃|

Fica assegurado que os módulos são iguais à unidade. Com base em [11] será [8]

𝑑𝑟⃗ = |

^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜌

| 𝑑𝜌 𝑢̂

_𝜌

+ |

^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜃

| 𝑑𝜃 𝑢̂

_𝜃

expressão análoga a [3], mas onde surgem agora os fatores adicionais

|

^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜌

|

e

|

^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜃

|

. Designaremos por fatores de escala das coordenadas polares as quantidades

|

^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜌

|

e

|

^𝜕𝑟⃗

𝜕𝜃

|

. A expressão [3] permite concluir que os fatores de escala das coordenadas cartesianas são iguais à unidade.

É desejável visualizar no espaço a orientação dos vetores de base

𝑢̂

_𝜌 e

𝑢̂

_𝜃 das coordenadas polares. Para o efeito vamos recorrer temporariamente às coordenadas cartesianas (x,y). Já vimos que são válidas as relações x =  cos e y =  sen, o que permite escrever

𝒓⃗⃗ =  cos ûx +  sen ûy

Derivando essa expressão em ordem a  e a  obtém-se

11

𝒓⃗⃗/ = cos ûx + sen ûy

𝒓⃗⃗/ = -  sen ûx +  cos ûy

O que permite concluir que |r/ | = 1 e |r/| = +√𝜌²𝑠𝑒𝑛²𝜃 + 𝜌²𝑐𝑜𝑠²𝜃 = .

Aplicando [7], resultam para os vetores unitários de base

û

 e

û

as seguintes expressões

û

 = cos ûx + sen ûy

û

= -sen ûx + cos ûy = cos( + ^𝜋

2) ûx + sen( + ^𝜋

2) ûy

A primeira expressão corresponde a um vetor unitário que faz um ângulo  com o sentido positivo do eixo Ox, e a segunda expressão corresponde a um vetor unitário que faz um ângulo ( + ^𝜋

2) com o mesmo eixo (verifique). A figura 8 mostra a orientação dos vetores

û

 e

û

 para dois pontos distintos do plano.

Figura 8 – vetores unitários de base associados às coordenadas polares

Pode constatar-se na Figura 8 que os vetores de base apontam no sentido em que a variável correspondente cresce, quando se mantém a outra fixa. Isto é uma propriedade geral dos vetores de base: para visualizar a orientação de um vetor de base em qualquer ponto do espaço, basta ter em conta que ele é tangente nesse ponto à linha coordenada correspondente, e aponta no sentido crescente dessa coordenada.

É trivial constatar que o vetor posição admite em coordenadas polares a expressão [9a] 𝒓⃗⃗ = 

û



Para o vetor deslocamento elementar, a equação [8] e o resultado obtido para os fatores de escala permitem escrever

12 [9b] d𝒓⃗⃗ = d

û

 +  d û

Em coordenadas cilíndricas, um raciocínio análogo conduz às expressões [10a] 𝒓⃗⃗ = 

û

 + z ûz

[10b] d𝒓⃗⃗ = d

û

 +  d û + dz ûz

Em coordenadas esféricas obtém-se [11a] 𝒓⃗⃗ = r

û

r

[11b] d𝒓⃗⃗ = dr

û

r + rd

û

+ rsen d

û



(notar a diferença entre o vetor 𝒓⃗⃗ e a coordenada r, que é igual ao módulo de 𝒓⃗⃗ ).

Podemos concluir que os fatores de escala das coordenadas cilíndricas são (1,r,1) e os das coordenadas esféricas são (1, r, rsen). As figuras 9a) e b) mostram a orientação dos vetores de base das coordenadas cilíndricas e esféricas.

Figura 9 – Vetores unitários de base das coordenadas cilíndricas (esquerda) e esféricas (direita).

1.5 – Espaço Euclideano (tópico avançado)

Dizemos que um espaço de dimensão n é um espaço Euclideano se for válido nesse espaço um sistema de n coordenadas ortogonais com fatores de escala unitários. Assim, podemos afirmar que o espaço tridimensional em que vivemos é Euclideano, na medida em que podemos usar três coordenadas cartesianas para localizar um ponto. Mas a superfície de uma laranja (admitindo que é uma esfera) não é um espaço (bidimensional) Euclideano. Podemos referenciar qualquer ponto sobre a esfera pelas coordenadas esféricas ( ), como fazemos sobre a Terra (latitude e longitude), mas esse sistema não tem métrica euclideana. Num espaço não euclideano, deixam de ser válidos muitos dos resultados familiares da geometria: a distância mais curta entre dois pontos não é uma recta, e a soma dos ângulos internos de um "triângulo" não é 180°

(figura 10).

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Figura 10 – Sobre uma superfície esférica como (em primeira aproximação) a superfície de uma laranja, a soma dos ângulos internos de um triângulo (curvo) não é 180º, e o caminho mais curto entre dois pontos não é uma recta. Para uma formiga que pretenda ir de A para B nesse espaço bidimensional, o caminho mais curto não é um segmento de recta mas sim um arco de círculo máximo.

2 – Referencial intrínseco

Além dos sistemas de coordenadas já referidos, é conveniente por vezes usar o chamado referencial intrínseco, que é definido com base na trajetória. A figura 11 ilustra a orientação dos vetores de base do referencial intrínseco: o vetor 𝑢̂_𝑡 é por definição tangente à trajetória no ponto considerado, e aponta no sentido do movimento. O vetor 𝑢̂_𝑛 é normal à trajetória e aponta (por convenção) para o lado interior da curvatura.

Problema:

a) Calcule os fatores de escala para os seguintes sistemas de coordenadas: 1) coordenadas polares; 2) coordenadas cilíndricas; 3) coordenadas esféricas.

b) Diga quais das seguintes entidades geométricas têm métrica euclideana: 1) uma recta; 2) um plano; 3) uma superfície esférica.

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Figura 11 – Vetores de base do referencial intrínseco.

Quando o movimento se faz num plano ², a figura 11 permite ver que o vetor deslocamento entre dois pontos vizinhos tem uma direção próxima da do vetor 𝑢̂_𝑡. No limite, quando os pontos são infinitamente próximos, o deslocamento infinitesimal d𝒓⃗⃗

aponta na mesma direção que 𝑢̂_𝑡, e o seu módulo é igual ao comprimento (infinitesimal) do espaço percorrido. Este facto pode ser traduzido pela equação

[12] d𝒓⃗⃗ = d

𝑙 û

t

sendo d

𝑙

o espaço elementar percorrido ao longo da trajetória.

3 Velocidade

3.1 Velocidade em coordenadas cartesianas

A velocidade é por definição igual à derivada do vetor posição : [13] 𝒗⃗⃗⃗ = d𝒓⃗⃗/dt

Esta definição permite de imediato obter a expressão da velocidade em coordenadas cartesianas, tendo em conta [1]:

[14] 𝒗⃗⃗⃗ = (dx/dt) ûx + (dy/dt) ûy + (dz/dt) ûz

É importante notar que nesta derivação foi tido em conta que os vetores de base das coordenadas cartesianas são constantes, mas isso não acontecerá noutros sistemas de coordenadas.

2No caso geral uma trajetória não é planificável (não está contida num plano), mas é possível definir em cada ponto o plano osculador, que contém a trajetória na vizinhança desse ponto. Nesse caso, os vetores ûn e ût estão contidos no plano osculador, e é ainda possível definir o vetor unitário binormal ûb, perpendicular a ût e aûn. Quando o movimento se faz num plano, o vetor binormal coincide sempre com a normal a esse plano.

15

As componentes escalares da velocidade são as quantidades [15] vx = dx/dt; vy = dy/dt; vz = dz/dt

3.2 Velocidade no referencial intrínseco

A equação [12] permite obter de imediato a expressão do vetor velocidade no referencial intrínseco.Tendo em conta que são sempre válidas as expressões 𝑑𝑟⃗ =^𝑑𝑟⃗

𝑑𝑡𝑑𝑡 e 𝑑𝑙 = ^𝑑𝑙

𝑑𝑡𝑑𝑡, substituindo em [12] resulta [16]

𝒗 ⃗⃗⃗ =

^𝒅𝒍

𝒅𝒕

𝒖 ̂

_𝒕

Esta equação traduz o facto de que o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, sendo o seu módulo igual ao espaço percorrido (medido ao longo da trajetória) por unidade de tempo. A grandeza escalar

[17]

𝑣 =

^𝑑𝑙

𝑑𝑡

designa-se por velocidade linear, e atendendo a [16] é igual ao módulo do vetor velocidade. Logo, podemos calcular a velocidade linear através de

[18] 𝑣 = [𝑣_𝑥²+ 𝑣_𝑦²+ 𝑣_𝑧²]^1/2 = [(^𝑑𝑥

𝑑𝑡)²+ (^𝑑𝑦

𝑑𝑡)²+ (^𝑑𝑧

𝑑𝑡)²]^1/2

3.3 Velocidade em coordenadas curvilíneas

Para obter as expressões do vetor velocidade em coordenadas polares, cilíndricas e esféricas, basta ter em conta as expressões [9b], [10b] e [11b] para o deslocamento infinitesimal (foi com esse objetivo que elas foram calculadas). Para coordenadas polares, por exemplo, partindo de [9b] conclui-se que

[19] 𝑣⃗ =^𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜌+ 𝜌^𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜃

(verifique), e a velocidade linear é dada por

[20] 𝑣 = [(^𝑑𝜌

𝑑𝑡)²+ 𝜌²(^𝑑𝜃

𝑑𝑡)²]^1/2

Para as coordenadas cilíndricas um raciocínio análogo conduz à expressão [21] 𝑣⃗ =^𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜌+ 𝜌^𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜃+^𝑑𝑧

𝑑𝑡 𝑢̂_𝑧 sendo a velocidade linear dada por

16

[22] 𝑣 = [(^𝑑𝜌

𝑑𝑡)²+ 𝜌²(^𝑑𝜃

𝑑𝑡)²+ (^𝑑𝑧

𝑑𝑡)²]^1/2 Finalmente, em coordenadas esféricas obtém-se

[23] 𝑣⃗ =^𝑑𝑟

𝑑𝑡 𝑢̂_𝑟+ 𝑟^𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜃+ 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 ^𝑑𝜙

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜙 e

[24] 𝑣 = [(^𝑑𝑟

𝑑𝑡)²+ 𝑟²(^𝑑𝜃

𝑑𝑡)² + 𝑟²𝑠𝑒𝑛²𝜃(^𝑑𝜙

𝑑𝑡)²]^1/2 respectivamente.

Problema:

a) A trajetória de um avião é observada a partir de uma torre de controle (situada na origem do referencial), e verifica-se que ela é descrita por

x = - 4500 + 120.0 t (m) y =1700 - 85.0 t (m) z = 800 (m)

com t em segundos. O eixo Ox aponta para Sul, e o eixo Oy aponta para Leste. Qual a velocidade do avião, e qual a sua posição no instante em que se iniciou a observação (t = 0)? Se não se alterar a rota, qual a distância mínima a que o avião passa da torre?

Solução :

A velocidade do avião é dada por v = vxûx + vyûy + vzûz , com vx = dx/dt; vy = dy/dt;

vz = dz/dt. Logo, v = 120.0 ûx - 85.0 ûy (ms^-1). Podemos concluir que o avião voa horizontalmente (vz = 0). O ângulo que o seu rumo faz com o eixo Ox é dado por

 = tg^-1 vy/vx = -35º (negativo, portanto no sentido horário; está a dirigir-se para o quadrante Sudoeste). A velocidade de cruzeiro, em módulo, é |v| = [(120.0)²+(- 85.0)²]^1/2 = 147.0 ms^-1. No instante t = 0, o vetor posição do avião é dado por r0= -4500 ûx + 1700 ûy + 800 ûz (m), e a sua distância à origem é D = |r0| = 4876 m. A torre vê o avião na direção N20.7E (ou seja, no quadrante Nordeste fazendo um ângulo de 20.7º com o Norte), e a 800 metros de altitude. A distância na horizontal é de 4810 m. No instante genérico t, a distância entre o avião e a torre é D(t) =[(- 4500+120.0t)² + (-85.0t+1700)² + 800²]^1/2, e para que a distância seja mínima deve anular-se a derivada desta expressão. Feito o cálculo resulta t = 18.3 s, e nesse instante a distância é de 4068 m (distância mínima) sendo a distância na horizontal 3985 m.

17

b) Em determinado instante, o computador de bordo do avião recebe instruções para tomar a rota definida pelas equações

 = 15800 - 240 t - 0.9 t² (m)

 = 0.953 + 1.377x10^-2 t – 7.65 x10^-5 t² (rad) z = 800 - 8.89 t (m)

em que ,  e z são coordenadas cilíndricas como se indica na figura. O tempo começa novamente do zero a partir desse instante. A pista tem a orientação Leste- Oeste e o comprimento de 1400 m. Verifique se aquela rota é adequada para a aterragem, tendo em conta que o vento sopra de Oeste para Leste.

Solução :

O ponto crítico para a aterragem corresponde à condição z = 0, em que o avião toca o solo. Nesse instante tem que estar sobre a pista, próximo de um dos seus extremos, e o vetor velocidade deve ter a direção do eixo da pista e o sentido contrário ao do vento. O instante ta em que o avião aterra pode ser calculado pela equação z = 800 - 8.89 ta = 0, ou seja, a aterragem ocorre em ta = 90s. Nesse instante, será  = 1.57 rad, ou seja, 90º, e  = 1499 m. Por conseguinte o avião está a 201m da cabeceira leste da pista, bem posicionado para aterrar. Resta saber se voa na direção certa (eixo da pista) e no xsentido certo (contra o vento). Para isso, temos que calcular a sua velocidade, que será

𝑣⃗ =^𝑑𝜌

𝑑𝑡𝑢̂_𝜌 + 𝜌^𝑑𝜃

𝑑𝑡𝑢̂_𝜃 = −78.2 𝑢̂_𝜌+ 0.00 𝑢̂_𝜃 (m/s)

O avião voa na direção e sentido certos, com uma velocidade linear adequada para aterrar. Falta apenas verificar o ângulo que a trajetória faz com a horizontal no momento da aterragem, que é dado por 𝜑 = 𝑡𝑔⁻¹(^𝑣𝑧

𝑣_ℎ), onde 𝑣_ℎ é a projecção horizontal da velocidade (neste caso, 𝑣_𝜌, uma vez que 𝑣_𝜃é 𝑛𝑢𝑙𝑎). Obtém-se 𝜑 = 6.5º. Sendo um valor superior à média (𝜑_𝑚𝑒𝑑~3º), é adequado para pistas curtas.

Podemos concluir que a trajetória é adequada.

18 4 Aceleração

4.1 Aceleração em coordenadas cartesianas

A aceleração é por definição a derivada do vetor velocidade, ou, equivalentemente, a segunda derivada do vetor posição:

[25]

𝒂 ⃗⃗⃗ =

^{𝒅𝒗⃗⃗⃗}

𝒅𝒕 ou

𝒂 ⃗⃗⃗ =

^{𝒅𝟐𝒓⃗⃗}

𝒅𝒕^𝟐

Resulta imediatamente que a aceleração pode ser escrita em coordenadas cartesianas como

[26]

𝑎⃗ =

^𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑥

+

^𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑦

+

^𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑧

ou 𝑎⃗ =

^𝑑2𝑥

𝑑𝑡²

𝑢̂

_𝑥

+

^𝑑2𝑦

𝑑𝑡²

𝑢̂

_𝑦

+

^𝑑2𝑧

𝑑𝑡²

𝑢̂

_𝑧

Por sua vez o módulo da aceleração pode ser calculado através de [27a]

𝑎 = [(

^𝑑2𝑥

𝑑𝑡²

)

2

+ (

^𝑑2𝑦

𝑑𝑡²

)

2

+ (

^𝑑2𝑧

𝑑𝑡²

)

²

]

^1/2

ou

[27b]

𝑎 = [(

^𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡

)

²

+ (

^𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡

)

²

+ (

^𝑑𝑣𝑧

𝑑𝑡

)

²

]

^1/2

4.2 Cálculo da lei do movimento a partir da aceleração

Por motivos que serão estudados mais adiante, em muitas situações conseguimos saber qual a aceleração de um corpo antes de conhecermos a sua lei do movimento, ou seja, as funções x(t), y(t) e z(t). Para alcançar esse resultado é necessário primitivar duas vezes as expressões das componentes da aceleração: primeiro para obter a velocidade, e depois para obter a posição em função do tempo:

𝑣_𝑥(𝑡) = 𝑃[𝑎_𝑥(𝑡)]; 𝑣_𝑦(𝑡) = 𝑃[𝑎_𝑦(𝑡)]; 𝑣_𝑧(𝑡) = 𝑃[𝑎_𝑧(𝑡)]

𝑥(𝑡) = 𝑃[𝑣(𝑡)]; 𝑦(𝑡) = 𝑃[𝑣_𝑦(𝑡)]; 𝑧(𝑡) = 𝑃[𝑣_𝑧(𝑡)]

onde 𝑃[ ] representa a primitiva da função entre parênteses retos. Como se sabe, cada integração irá introducir uma constante aditiva arbitrária, pelo que em geral a solução não será unívoca. Para chegar às expressões das coordenadas em função do tempo é necessária informação adicional, as chamadas condições iniciais do problema, que consistem nos valores da velocidade e da posição num dado instante. A pesar do nome, as condições iniciais podem referir-se a qualquer instante conhecido, e não necessariamente ao inicio do movimento.

Todas estas considerações se aplicam também quando se trabalha com coordenadas que não sejam cartesianas, desde que se tenham em conta os fatores de escala que aparecem nas expressões da aceleração e da velocidade.

19 Problema

Calcule a lei do movimento da bola Resolução:

Sabemos que a bola se move com a aceleração 𝑎⃗ = −𝑔 𝑢̂_𝑦, sendo 𝑔 a aceleração da gravidade à superfície da Terra (9.81 ms^-2). As componentes escalares serão

𝑎_𝑥 = 0; 𝑎_𝑦= −𝑔 pelo que podemos escrever

𝑣𝑥(𝑡) = 𝑃[0] = 𝑐1; 𝑣𝑦(𝑡) = 𝑃[−𝑔] = −𝑔𝑡 + 𝑐2

onde 𝑐₁ e 𝑐₂ são constantes por enquanto arbitrárias. Mas sabemos que no instante do chuto (t = 0) deverá ser 𝑣_𝑥0= 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑣_𝑦0= 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃. Fazendo t = 0 na expressão geral e igualando, concluímos que 𝑐₁= 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝑐₂= 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃, ou seja, a expressão final para a velocidade será

𝑣_𝑥(𝑡) = 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑣_𝑦(𝑡) = 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑔𝑡

Primitivando de novo, obtém-se

𝑥(𝑡) = 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡 + 𝑐₃ ; 𝑦(𝑡) = 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃𝑡 −1

2𝑔𝑡²+ 𝑐₄

Precisamos saber as coordenadas da bola no instante do chuto para calcular as constantes 𝑐₃ e 𝑐₄. Se forem 𝑥₀ e 𝑦₀, fazendo t = 0 e igualando obtém-se

𝑥(𝑡) = 𝑥₀+ 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡; 𝑦(𝑡) = 𝑦₀+ 𝑣₀𝑐𝑜𝑠𝜃𝑡 −1 2𝑔𝑡² (no caso da figura seria 𝑥₀ = 0 e 𝑦₀= 0, porque a bola sai da origem do referencial).

20 4.3 Aceleração no referencial intrínseco

A expressão do vetor aceleração no referencial intrínseco pode ser obtida por derivação da igualdade 𝑣⃗ = 𝑣 𝑢̂_𝑡(não confundir o vetor velocidade 𝑣⃗ com a velocidade linear 𝑣, que é igual ao seu módulo). Resulta

𝑎⃗ =𝑑𝑣

𝑑𝑡𝑢̂_𝑡+ 𝑣𝑑𝑢̂_𝑡 𝑑𝑡

Será necessário calcular a derivada de 𝑢̂_𝑡, que não é nula visto que (em geral) o vetor 𝑢̂_𝑡 muda de direção ao longo da trajetória. O cálculo será feito com o auxílio da figura 12. Escolhendo dois pontos infinitamente próximos (P1 e P2 na figura) de um dado troço da trajetória e traçando retas perpendiculares à trajetória nesses dois pontos, definimos o centro de curvatura da trajetória nesse troço como o ponto em que as duas retas se intersectam. Chama-se raio de curvatura 𝜌_𝐶 à distância entre o centro de curvatura e o troço da trajetória considerado (ver figura).

Com recurso ao ângulo 𝛼 definido na figura 12, o vetor 𝑢̂_𝑡 pode ser escrito em função de

û

x e

û

y como

û

t

= cos (  /2-  ) û

x

– sen ((  /2- ) û

y

(verifique), ou seja

û

t

= sen  û

x

– cos  û

y

pelo que se pode concluir que

dû

t

/dt = cos (d/dt) û

x

+ sen(d/dt) û

y =

(d/dt)[cos û

x

+ sen û

y

]

Figura 12 – Centro cde curvatura e raio de curvatura

Por outro lado, a Figura 12 mostra que cos 

û

x+ sen 

û

y =

-û

n, logo, conclui-se que dût/dt = -(d/dt)

û

n

.

Tendo em conta que

21 d/dt = (d/d

𝑙

)(d

𝑙

/dt) = v d/d

𝑙

e que a relação entre o ângulo d e o arco subtendido d

𝑙

é d

𝑙

= - 𝜌_𝐶 d, sendo 𝜌_𝐶 o raio de curvatura (o sinal - resulta de ser d < 0 no caso da figura, por ser um ângulo no sentido horário), obtém-se d/dt = -v/𝜌_𝐶

e, finalmente, dût/dt = (v/𝜌_𝐶)ûn. Podemos finalmente concluir que [28] 𝒂⃗⃗⃗ = (dv/dt) ût + (v²/

𝜌

_𝑐) ûn

Não confundir o raio de curvatura

𝜌

_𝑐com a coordenada polar representada pela mesma letra grega. A componente da aceleração dirigida segundo

û

t chama-se aceleração tangencial, e reflete a variação do módulo da velocidade, como se conclui da equação [28]. A componente segundo ûn chama-se aceleração centrípeta. É importante notar que esta componente existe mesmo que o módulo da velocidade seja constante, uma vez que só se anula se a trajetória for retilínea (

𝜌

_𝑐 será infinito nesse caso). Como convencionámos que o versor

û

n se dirige sempre para o lado interior da curvatura, podemos concluir que a aceleração centrípeta está sempre dirigida para o lado de dentro da curvatura, como o seu nome indica.

O módulo do vetor aceleração pode ser calculado (para um movimento a duas dimensões), tendo em conta a equação [28], por

[29a]

𝑎 = [(

^𝑑𝑣

𝑑𝑡

)

²

+ (

^𝑣2

𝜌_𝑐

)

²

]

^1/2

em que

𝜌

_𝑐 é o raio de curvatura. Em determinadas situações é possível calcular o raio de curvatura da trajetória igualando o módulo da aceleração calculado através de [29a]

com o resultado dado pela expressão [27] (ou [31], apresentada mais adiante). No caso mais geral, é possível demonstrar (mas não o faremos aqui) que o raio de curvatura de uma curva plana descrita pela equação 𝑦 = 𝑦(𝑥) é dado por

[29b]

𝜌

_𝐶

= |

⁽¹⁺⁽

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2)²)^3/2

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2

|

4.2 Aceleração em coordenadas curvilíneas (tópico avançado) Em coordenadas polares o vetor aceleração será, atendendo a [19],

𝑎⃗ =𝑑𝑣⃗

𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡[𝑑𝜌

𝑑𝑡𝑢̂_𝜌+ 𝜌𝑑𝜃 𝑑𝑡𝑢̂_𝜃]

Novamente, a expressão que queremos derivar contém vetores unitários que não se mantém constantes. Temos por isso que considerar as suas derivadas.

𝑎⃗ =

^𝑑2𝜌

𝑑𝑡²

𝑢̂

_𝜌

+

^𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑑𝑢̂_𝜌

𝑑𝑡

+ [

^𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑑𝜃

𝑑𝑡

+ 𝜌

^𝑑2𝜃

𝑑𝑡²

] 𝑢̂

_𝜌

+ 𝜌

^𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝑑𝑢̂_𝜃

𝑑𝑡

22 Para calcular ^{𝑑𝑢̂𝜌}

𝑑𝑡

e ^{𝑑𝑢̂𝜃}

𝑑𝑡

teremos em conta as relações entre os vetores de base (

𝑢̂

_𝜌,

𝑢̂

_𝜃) e os vetores de base cartesianos (ûx,ûy), que reescrevemos aqui:

𝑢̂

_𝜌

= 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑢̂

_𝑥

+ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑢̂

_𝑦

; 𝑢̂

_𝜃

= −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑢̂

_𝑥

+ 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑢̂

_𝑦

As respectivas derivadas serão:

𝑑𝑢̂_𝜌

𝑑𝑡

= −𝑠𝑒𝑛𝜃

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑥

+ 𝑐𝑜𝑠𝜃

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑦

=

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝜃

𝑑𝑢̂_𝜙

𝑑𝑡

= −𝑐𝑜𝑠𝜃

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑥

− 𝑠𝑒𝑛𝜃

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑦

= −

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝜌

Substituindo, resulta [30]

𝑎⃗ = [

^𝑑2𝜌

𝑑𝑡²

− 𝜌 (

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

)

²

] 𝑢̂

_𝜌

+ [𝜌

^𝑑2𝜃

𝑑𝑡²

+ 2

^𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡

] 𝑢̂

_𝜃

Como os vetores unitários

𝑢̂

_𝜌

e 𝑢̂

_𝜃 são ortogonais, o módulo da aceleração verifica [31]

𝑎 = [(

^𝑑2𝜌

𝑑𝑡²

− 𝜌 (

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

)

²

)

²

+ (𝜌

^𝑑2𝜃

𝑑𝑡²

+ 2

^𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑑𝜃

𝑑𝑡

)

²

]

^1/2

A figura 13 ilustra a decomposição do vetor aceleração segundo

𝑢̂

_𝜌 e

𝑢̂

_𝜃

.

A equação [31] pode ser facilmente alargada às coordenadas cilíndricas:

[32]

𝑎⃗ = [

^𝑑2𝜌

𝑑𝑡²

− 𝜌 (

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

)

²

] 𝑢̂

_𝜌

+ [𝜌

^𝑑2𝜃

𝑑𝑡²

+ 2

^𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑑𝜃

𝑑𝑡

] 𝑢̂

_𝜙

+

^𝑑2𝑧

𝑑𝑡²

𝑢̂

_𝑧

Contudo, não é fácil obter uma expressão análoga em coordenadas esféricas.

Figura 1 – A laranja: componente tangencial e componente centrípeta do vetor aceleração num movimento plano. A verde estão representadas as componentes do mesmo vetor aceleração em coordenadas polares.

23 Problema

Um projétil é disparado obliquamente com a velocidade de 50 ms^-1, fazendo um ângulo de 60°

com a horizontal. Calcule o valor mínimo do raio de curvatura ao longo da trajetória do projétil, e localize o ponto em que ele ocorre.

Solução :

Trata-se do problema familiar de lançamento de projéteis no campo gravítico terrestre. Usando o referencial da figura é possível escrever, usando coordenadas cartesianas:

𝑎⃗= - g ûz , ou seja, ax = 0, az = - g.

Calculando o módulo da aceleração em coordenadas cartesianas obtém-se a = g, como era de esperar.

Por primitivação das componentes do vetor aceleração obtém-se vx = P[0] = constante = Vo cos

vz = P[-g] = -gt + constante = -gt + Vo sen

onde os valores das constantes foram escolhidos de modo a que em t=0 a velocidade corresponda ao vetor 𝑣⃗𝑜. Podemos alternativamente usar o referencial intrínseco para obter uma expressão para o módulo do vetor aceleração. O módulo de velocidade é

v = [V02cos² + (V0sen – gt)²]^1/2

pelo que a aceleração tangencial admite a expressão

at = (dv/dt) = - g (V0sen – gt)/ [V02cos² + (V0sen – gt)²]^1/2

e a aceleração centrípeta é dada por an = v²/ = [V02cos² + (V0sen – gt)²]/

Naturalmente, o módulo tem que ser igual independentemente do sistema de coordenadas usado, logo terá que ser g = (at2+an2)^1/2. Substituindo valores e resolvendo em ordem a , verifica-se que

 = [V02cos² + (V0sen – gt)²]^3/2/(gVocos).

Para obter o instante em que  é mínimo há que derivar esta expressão e igualara zero, o que conduz a t = V0sen/g. É fácil verificar que este é o instante em que o projéctil atinge o ponto mais alto da trajetória, o que permite concluir (como era de esperar) que é nesse ponto que o raio de curvatura é mínimo. O valor mínimo do raio de curvatura é _min = V02cos²/g = 63.8 m

Como termo de comparação, a alcance horizontal deste projétil é de 220.1 m, e a altura máxima é de 95.7 m (verifique).

z 𝑣⃗_𝑜



c

x

24 5 Movimento circular

Figura 14 – Movimento circular

Quando o raio de curvatura se mantém constante – ou seja, quando a trajetória é uma circunferência – fazendo coincidir o centro da trajetória com a origem do referencial e tendo em conta a equação [19] é possível escrever o vetor velocidade na forma

𝑣⃗ = 𝑅 ^𝑑𝜃

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜃

onde R é o raio da circunferência. Introduzindo a velocidade angular definida por

[33]

𝜔 =

^𝑑𝜃

𝑑𝑡

conclui-se que o vetor velocidade verifica neste caso a equação [34] 𝑣⃗ = 𝜔𝑅 𝑢̂_𝜃

No Sistema Internacional adopta-se para a velocidade angular a unidade radiano por segundo (rad s^-1).

A expressão [30] para a aceleração em coordenadas polares permite concluir de imediato que o vetor aceleração no movimento circular é dado por

[35] 𝑎⃗ = −𝜔²𝑅 𝑢̂_𝜌+ 𝑅^𝑑𝜔

𝑑𝑡 𝑢̂_𝜃

sendo −𝜔²𝑅 𝑢̂_𝜌 a componente centrípeta da aceleração e 𝑅^𝑑𝜔

𝑑𝑡𝑢̂_𝜃 a componente tangencial. A grandeza ^𝑑𝜔

𝑑𝑡 designa-se por aceleração angular, e é geralmente representada pela letra grega 𝛼. Atendendo a [34] a velocidade linear verifica no movimento circular a relação 𝑣 = 𝜔𝑅, pelo que as componentes tangencial e centrípeta da aceleração se podem também escrever como

[35b] 𝑎⃗

_𝑡

=

𝛼𝑅

𝑢̂

_𝜃

; 𝑎⃗

_𝑁

= −

^𝑣2

𝑅

𝑢̂

_𝜌

.

Para descrever um movimento circular num plano arbitrário é conveniente recorrer ao vetor velocidade angular ω⃗⃗⃗ definido por como se indica na figura 15: o seu módulo é

25 igual a ^𝑑𝜃

𝑑𝑡, a sua direção é perpendicular ao plano do movimento, e o seu sentido é dado pela regra da mão direita – quando os dedos apontam o sentido da rotação, o polegar aponta no sentido de ω⃗⃗⃗.

Figura 15 – Definição do vetor velocidade angular ω⃗⃗⃗

Com base no vetor ω⃗⃗⃗ é possível escrever para o vetor velocidade a expressão [36] 𝑣⃗ = ω⃗⃗⃗ x r⃗

onde “x” representa o produto externo dos vetores (verifique).

6 – Movimento relativo

6.1 Movimento relativo de translação

Em muitas situações é importante comparar as descrições do movimento feitas por observadores que estão em movimento relativo de translação entre si. Por exemplo, o movimento de um pássaro é diferente visto pelo passageiro de um comboio em movimento e visto por um observador em repouso³. Com referência à Figura 16, vamos considerar que (S) é o referencial do observador em repouso no solo e (S’) é o referencial do observador que se move no avião. Ambos estão a observar o movimento do pássaro. A figura mostra que os vetores posição do pássaro nos referenciais (S) e (S’) se relacionam através de

[37]

𝑟⃗

^′

= 𝑟⃗ − 𝑟⃗

_𝑅

onde 𝑟⃗_𝑅 é o vetor posição da origem do referencial (S´) no referencial (S).

3 Só por conveniência falamos de um observador em repouso: quando estamos parados a observar o movimento de uma bola num campo de futebol, nem por isso deixamos de acompanhar o movimento de rotação e translação da Terra, o movimento do Sistema Solar, da galáxia, etc...

26

Figura 16 – Movimento relativo de translação

Para compararmos as velocidades do pássaro detetadas por cada um dos observadores basta derivar ambos os membros da equação [37], concluindo-se que

[38]

𝑣⃗

^′

= 𝑣⃗ − 𝑣⃗

_𝑅

Derivando uma segunda vez obtém-se a relação entre as acelerações:

[39]

𝑎⃗

^′

= 𝑎⃗ − 𝑎⃗

_𝑅

A última expressão tem uma consequência muito importante: se o movimento relativo entre os observadores for retilíneo e uniforme, a aceleração relativa

𝑎⃗

_𝑅 será nula e ambos os observadores determinam por conseguinte a mesma aceleração.

6.2 Movimento relativo de rotação

Também no caso em que um referencial gira em relação a outro considerado fixo, os respetivos observadores descreverão de modo diferente um mesmo movimento. O estudo desta situação é particularmente importante porque em geral as nossas observações são feitas num referencial que roda, uma vez que acompanhamos o movimento de rotação da Terra. Para simplificar vamos admitir que as origens dos dois referenciais – um fixo e o outro a rodar – se mantém coincidentes, uma vez que o movimento relativo de translação já foi tratado na alínea anterior. A figura 17 exemplifica a situação. O eixo em torno do qual o referencial S’ roda está representado a traço-ponto, e a sua rotação é representada pelo vetor velocidade angular 𝜔⃗⃗⃗

27

Figura 17– À esquerda: os eixos do referencial (S’) giram em torno do eixo de rotação indicado a tracejado. As origens dos dois referenciais mantém-se coincidentes.A linha verde a tracejado ilustra o movimento da extremidade do vetor

𝑢̂

_𝑦´visto do referencial (S). à direita: referencial geográfico local, para a localização de Lisboa: o eixo Oz’ é a vertical do lugar, Ox’ aponta para Sul e Oy’ aponta para Leste. O referencial com eixos dirigidos do centro da Terra para três estrelas (eixos Ox, Oy e Oz) não é afectado pela rotação da Terra. O vetor Ω⃗⃗⃗ está dirigido do centro da Terra para o Polo Norte, e representa a velocidade angular de rotação da Terra. Por conveniência a origem de ambos os referenciais foi colocada no centro da Terra.

O vetor posição de um corpo é o mesmo independentemente do referencial que se considere, uma vez que as origens coincidem. Esse vetor pode ser decomposto em qualquer dos dois referenciais, ou seja,

[40]

𝑟⃗ = 𝑥 𝑢̂

_𝑥

+ 𝑦 𝑢̂

_𝑦

+ 𝑧 𝑢̂

_𝑧

= 𝑥´𝑢̂

_𝑥´

+ 𝑦´𝑢̂

_𝑦´

+ 𝑧´𝑢̂

_𝑧´

onde se representam por (x,y,z) as coordenadas do ponto no referencial (S) e por (x´, y´, z´) as coordenadas do mesmo ponto no referencial (S´). Um observador que esteja no referencial (S) pode calcular a velocidade usando a decomposição de

𝑟⃗

segundo os eixos de referencial (S’). Basta que tenha em atenção que para ele os vetores unitários 𝑢̂_𝑥´, 𝑢̂_𝑦´ e 𝑢̂_𝑧´ não são constantes, uma vez que giram com o referencial (S´), e devem ser derivados também. O resultado será

𝑣⃗ =𝑑𝑟⃗

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡[𝑥´𝑢̂_𝑥´+ 𝑦´𝑢̂_𝑦´+ 𝑧´𝑢̂_𝑧´] =

= 𝑑𝑥´

𝑑𝑡 𝑢̂_𝑥´+𝑑𝑦´

𝑑𝑡 𝑢̂_𝑦´+𝑑𝑧´

𝑑𝑡 𝑢̂_𝑧´+ 𝑥´𝑑𝑢̂_𝑥´

𝑑𝑡 + 𝑦´𝑑𝑢̂_𝑦´

𝑑𝑡 + 𝑧´𝑑𝑢̂_𝑧´

𝑑𝑡

Uma vez que um vetor de base, por exemplo 𝑢̂_𝑥´, é o vetor posição do ponto que se encontra sobre o eixo Ox´à distância unitária da origem, a sua derivada corresponde à velocidade desse ponto quando é visto a partir do referencial (S). A equação [35]

permite então concluir que ^{𝑑𝑢̂𝑥´}

𝑑𝑡

= 𝜔 ⃗⃗⃗x

𝑢

̂

_𝑥´, e analogamente para os outros eixos

𝛀 ⃗⃗⃗

(S)

Lisboa

28

(verifique). Substituindo na expressão anterior e tendo em conta que a velocidade segundo o observador em (S’) é dada por

𝑣⃗

^,

=

^𝑑𝑥´

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑥´

+

^𝑑𝑦´

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑦´

+

^𝑑𝑧´

𝑑𝑡

𝑢̂

_𝑧´ e que

𝑥´𝑢̂

_𝑥´

+ 𝑦´𝑢̂

_𝑦´

+ 𝑧´𝑢̂

_𝑧´

= 𝑟⃗,

obtém-se [41] 𝑣⃗ =

𝑣

^⃗⃗⃗,

+ 𝜔

^⃗⃗⃗⃗

x𝑟

^⃗⃗

(verifique), que é a relação procurada entre as duas velocidades vistas a partir dos dois referenciais.

Para relacionar as acelerações, há que derivar ambos os termos da igualdade [41]:

𝑎⃗ =𝑑𝑣⃗

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡[

𝑣

^⃗⃗⃗,

+ 𝜔

^⃗⃗⃗⃗

x𝑟

⃗⃗] = 𝑑

𝑑𝑡[

𝑣´

_𝑥´

𝑢

^̂_𝑥´

+ 𝑣´

_𝑦´

𝑢

^̂_𝑦´

+ 𝑣´

_𝑧´

𝑢

^̂_𝑧´

+ 𝜔

^⃗⃗⃗⃗

x𝑟

⃗⃗]

Repetindo o raciocínio quanto à derivação dos vetores de base, e admitindo que é constante, resulta

𝑎⃗ = [𝑎´_𝑥´ 𝑢̂_𝑥´+ 𝑎´_𝑦´ 𝑢̂_𝑦´+ 𝑎´_𝑧´ 𝑢̂_𝑧´+ 𝜔⃗⃗⃗x(𝑣´_𝑥´ 𝑢̂_𝑥´+ 𝑣´_𝑦´ 𝑢̂_𝑦´+ 𝑣´_𝑧´ 𝑢̂_𝑧´) + 𝜔⃗⃗⃗x𝑣⃗]

onde 𝑎´_𝑥´ 𝑢̂_𝑥´+ 𝑎´_𝑦´ 𝑢̂_𝑦´+ 𝑎´_𝑧´ 𝑢̂_𝑧´é a aceleração 𝑎⃗^, vista a partir do referencial (S’) e 𝑣´_𝑥´ 𝑢̂_𝑥´+ 𝑣´_𝑦´ 𝑢̂_𝑦´ + 𝑣´_𝑧´ 𝑢̂_𝑧´ é a velocidade 𝑣⃗^, vista a partir desse referencial.

Resolvendo em ordem a 𝑎⃗^, e tendo em conta [40] resulta [42] 𝑎⃗^, = 𝑎⃗ − 2𝜔⃗⃗⃗x𝑣⃗^,− 𝜔⃗⃗⃗x(𝜔⃗⃗⃗x𝑟⃗) ⁴

Em conclusão, o observador que está num referencial girante vê duas componentes de aceleração adicionais, que resultam do seu estado de rotação (anulam-se se 𝜔⃗⃗⃗ for zero). A parcela

[43] 𝑎⃗_𝐶𝑜𝑟 = −2𝜔⃗⃗⃗⃗x𝑣⃗⃗⃗^,

designa-se por aceleração de Coriolis. Só afeta os corpos que se movem em relação ao referencial (S’), pois anula-se se 𝑣⃗^, for zero.

A parcela

[44] 𝑎⃗_𝑐 = −𝜔⃗⃗⃗⃗x(𝜔⃗⃗⃗⃗x𝑟⃗⃗)

designa-se por aceleração centrífuga. ⁵

Uma aplicação importante consiste na comparação entre os movimentos vistos por um observador em repouso à superfície da Terra, que ocupa o lugar de referencial (S´) uma vez que tem movimento de rotação, e um segundo observador em repouso (sem rodar

4 Os parênteses são necessários na expressão [44] porque o produto externo vetorial não tem a propriedade comutativa, devendo realizar-se primeiro a operação entre parênteses.

5Vimos a propósito da equação [28] que o vetor aceleração está sempre dirigido para o lado interior da curvatura da trajetória, ou seja, a sua componente normal é sempre centrípeta. A designação “centrífuga”

aplica-se à correção que é preciso aplicar quando se usa um referencial que tem movimento de rotação.