em Largura de Pulsos
Prof. Paulo Fernando Seixas
Prof. Marcos Antônio Severo Mendes
Conversor em Meia Ponte – PWM Natural
vo 1
2
E/2
- E/2
E/2 0 1
t(s) t(s)
) τ(k
t(s)
c(t)
T
Portadora Modulante
razão cíclica T =
k) τ( 2
E
2 E
T
E/2
- E/2 1
0 E/2
- E/2
t (s)
t (s)
t (s) )
τ(k )]
( )
( 2 [
) 2
( V sen wt1 sen wt2 E
T
k =T + m +
τ
) (wt sen Vm
t1 t2
• Os instantes de amostragem não são regularmente
espaçados.
• A tensão máxima de saída sem sobre-modulação ocorre com Vm = E/2.
• A realização desta modulação é essencialmente analógica.
• A largura de pulso só depende dos valores “amostrados” da tensão de referência.
E/2
- E/2
E/2 0 1
t(s)
t(s) t(s) T
) τ(k
Modulação por Amostragem Natural
) 2 (
)
( V sen kT
E T k = T + m τ
E/2
- E/2
E/2
- E/2
t(s) t(s)
0 1
t(s) T = Tpwm
) τ(k
) (kT sen Vm
período de amostragem
= período de modulação
E/2
- E/2
E/2 0 1
t(s) t(s)
t(s) T
) τ(k
) (kT sen Vm
) 2 (
)
( V sen kT
E T k = T + m τ
Modulação por Amostragem Regular Assimétrica
Tpwm
2 Tpwm
T =
c vo 0 - E/2
1 E/2
) 2 ( )
( E
t Ec t
vo = −
2 E T
E k k
vo = ( ) − )
( τ
) 2 (
)
( v k
E T
k = T + ref τ
E dt t
T Ec dt
t T v
k v
T T
o
o( ) ( ) ( ( ) )
2 1
1
0 0
−
=
= ∫ ∫
c(t) – sinal de comando
c(t) = 0 - chave 1 aberta e 2 fechada c(t) = 1 - chave 1 fechada e 2 aberta
E/2
- E/2 0 1
) τ(k
t(s)
c(t)
T
k k+1
t(s)
vo E
1
2
3
4
Conversor em Ponte Completa
c1 c2 vo
0 0 0
0 1 - E
1 0 E
1 1 0
cx – sinal de comando do braço x
cx = 0 - chave superior aberta e inferior fechada cx = 1 - chave superior fechada e inferior aberta
)]
( )
( [ )
(t E c1 t c2 t
vo = −
T c1(t)
c2(t)
vo(t)
0 1
0 E 0 1
T c1(t)
c2(t)
vo(t)
0 1
0 -E 0 1
E
-E
)]
( )
( [ )
(t E c1 t c2 t
vo = − ( ) [ 1(k) 2(k)]
T k E
Vo = τ −τ
τ1 τ1
τ2 τ2
T
) ( )
( 2
1 k k
T −τ =τ τ1
−
T T −τ1
τ1
τ2
τ2
T T
) ( )
( 2
1 k k
T −τ =τ
)]
( )
( [ )
( 1 k 2 k
T k E
Vref = τ −τ
) 2 (
) 2
1( v k
E T
k = T + ref τ
) 2 (
) 2
2( v k
E T
k = T − ref τ
Solução:
Funções de Bessel de Primeira Espécie
Seja a equação diferencial:
2 0
2
2 y ′′+ xy′ + x − v y =
x ( )
Onde v é um parâmetro real e não negativo. Uma solução particular desta equação é dada por:
∑∞
= + Γ + +
= −
0 2
2
1 2
1
m m v
m v m
v m v m
x x x
J
) (
! ) ) (
(
onde Γ(k) é a função gama.
Esta solução é denominada função de Bessel de primeira espécie e ordem v.
dt t
e t
∫∞ − −
=
Γ 0
α 1
α) (
Integrando-se por partes: ∫udv = uv − ∫vdu u = tα → du = αtα−1dt
t
tdt v e
e
dv = − → = − −
) ( )
(α + = α =− α +α α =αΓ α
Γ 1 ∫0∞ −e tt dt e−tt ∞0 ∫0∞e−tt −1dt
∫∞ −
= +
Γ(α 1) 0 e ttαdt
1 1 1
2 = Γ =
Γ( ) ( ) Γ(3) = 2Γ(2) = 2
! )
(k + = k
Γ 1
) ( )
(α + =αΓ α
Γ 1
Relações importantes com a Função de Bessel
θ
θ θ
θ
m x
J x
J
x J x
J x
J x
m
m 2
2
4 2
2 2
1 2 0
4 2
0
cos ) ( )
(
cos ) ( cos
) ( )
( )
sin cos(
∑∞
=
+
=
+ +
+
= K
θ
θ θ
θ θ
) sin(
) (
sin ) ( sin
) ( sin
) ( )
sin sin(
1 2
2
5 2
3 2
2
0
1 2
5 3
1
+
=
+ +
=
∑∞
= J + x m
x J x
J x
J x
m
m
K
θ
θ θ
θ θ
) cos(
) ( )
(
cos ) ( cos
) ( cos
) ( )
cos sin(
1 2
1 2
5 2
3 2
2
0
1 2
5 3
1
+
−
=
+
−
=
∑∞
= J + x m
x J x
J x
J x
m
m m
K
) cos(
) ( )
( )
(
cos ) ( cos
) ( cos
) ( )
( )
cos cos(
θ
θ θ
θ θ
m x
J x
J
x J x
J x
J x
J x
m 2
1 2
6 2
4 2
2
2 2 4 6
0
∑∞ −
+
=
+ +
−
= K
T
E 1
τ1
τ2
1
) (t c1
) (t c2
) (t v Análise de Fourier
∑∞
= ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
=
1
0 2 2
2 n
n
n T
b nt T
a nt t a
v π π
sin cos
) (
− ∫
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
2
2
2 2 /
/
cos ) (
T
T
n dt
T t nt
T v
a π
− ∫
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
2
2
2 2 /
/
sin ) (
T
T
n dt
T t nt
T v
b π
Série de Fourier:
como v(t) é par, bn = 0.
E 1
τ1
τ2
1
) (t c1
) (t c2
) (t v Análise de Fourier
T dt E nt
an = T ∫ 2 ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞
2
1
2
2 2 2
/
/
cos
τ τ
π
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
T n T
n n
an 2E π τ1 π τ2
π sin sin
∫ = −
=
2
2
2 1
0
1
2
2 2 2
/
/
) (
τ τ
τ T τ
Edt E a T
− ∫
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
2
2
2 2 /
/
cos ) (
T
T
n dt
T t nt
T v
a π
Cálculo dos coeficientes:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎥ ⎛
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
= ∑∞
= T
nt T
n T
n n
E T
t E v
n
π τ
π τ
π τ π
τ 2 2
1
2 2 1
1 ) sin sin cos
( )
(
∑∞
= ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
=
1
0 2 2
2 n
n
n T
b nt T
a nt t a
v π π
sin cos
) (
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
T n T
n n
an 2E π τ1 π τ2
π sin sin
) ( 1 2
0
2 τ −τ
= T a E
= 0 bn
onde:
- índice de modulação.
Vm - amplitude da tensão modulante senoidal.
- frequência angular da modulante em rd/s.
fm - frequência da modulante em Hz.
E - tensão C.C. de entrada do inversor em ponte.
E m = Vm
m
m f
w = 2π
) cos(
)
( T T m w t
t m
2
1 = 2 + τ
) cos(
)
( T T m w t
t m
2
2 = 2 − τ
A modulação é incluida fazendo-se:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −
⎭−
⎬⎫
⎩⎨
⎧ +
+
= ∑∞
= T
t nt w n m
t w n m
n t E
w Em
t v
n
m m
m
π π
π π
1 2 1 2
2 2
1
cos )]
cos(
[ sin
)]
cos(
[ sin
) cos(
) (
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎥ ⎛
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
= ∑∞
= T
nt T
n T
n n
E T
t E v
n
π τ
π τ
π τ π
τ 2 2
1
2 2 1
1 ) sin sin cos
( )
(
) cos(
)
( T T m w t
t m
2
1 = 2 +
τ (t) T T mcos(wmt)
2
2 = 2 − τ
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎥⎦ ⎛
⎢⎣ ⎤ + ⎡
= ∑∞
= T
nt t n
nm w n
t E w Em
t
v m
n m
π π
π π
2 2
2 4
1
cos cos
) cos(
sin )
cos(
) (
θ θ
θ θ
θ) ( )cos ( )cos ( )cos ( ) cos( )
cos
sin( 2 2 3 2 5 2 1 2 1
0
1 2 5
3
1 − + = − +
= ∑∞
= J + k
x J x
J x
J x
k
k k
K
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⎟⋅ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅ ⎛ +
= ∑ ∑∞
= +
∞
= T
t nt w nm k
n J n
t E w Em
t v
k
m k k
n m
π π
π π
1 2 2 2
1 2 2
4
0
1 2 1
cos ]
) cos[(
) ( cos
) cos(
) (
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎥⎦ ⎛
⎢⎣ ⎤ + ⎡
= ∑∞
= T
nt t n
nm w n
t E w Em
t
v m
n m
π π
π π
2 2
2 4
1
cos cos
) cos(
sin )
cos(
) (
{ k w w n t k w w n t}
J nm n
n E
t w m
E t
v
m m
k k
k n
m
] )
cos[(
] )
cos[(
) ( cos
) cos(
) (
0 0
1 2 0
1
1 2
1 2 2
2 1
4 ⎟⋅ + + + + −
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
+
⋅
⋅
=
+
∞
=
∞
= ∑
∑ π π π
m MLP k f f
n (2 1)
2⋅ ⋅ ± −
=
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
f (Hz)
índice de modulação
{ k w w n t k w w n t}
J nm n
n E
t w m
E t
v
m m
k k
k n
m
] )
cos[(
] )
cos[(
) ( cos
) cos(
) (
0 0
1 2 0
1
1 2
1 2 2
2 1
4 ⎟⋅ + + + + −
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
+
⋅
⋅
=
+
∞
=
∞
= ∑
∑ π π π
E
1
2
3
4
5
s 6 v
Lr Li
Ci RL )
(t
vr vi(t)
SEI Monofásico a três braços ideal
E
1
2
3
4
5
s 6 v
Lr Li
Ci RL )
(t
vr vi(t)
)]
( )
( [ )
(t E c t c t
vr = r − c
E
1
2
3
4
5
s 6 v
Lr Li
Ci RL )
(t
vr vi(t)
Inversor
)]
( )
( [ )
(t E c t c t
vi = i − c
) ( )
( )
( v k
E k T
k c r
r =τ +
τ
) ( )
( )
( v k
E k T
k c i
i =τ +
τ
Modos de Operação
assíncrono – A rede elétrica e a saída não estão necessariamente em síncronismo.
síncrono – A rede elétrica e a saída são sincronizadas.
• Modo 1
• Modo 2
Modo de Operação Assíncrono
2 k T
c( ) = τ
) ( )
( v k
E T
k T r
r = +
τ 2
) ( )
( v k
E T
k T i
i = +
τ 2
1. O braço comum opera como um divisor de tensão ativo.
2. As tensões de referência podem ter frequências diferentes.
3. Para uma tensão de saída de amplitude Vm deve-se ter E = 2Vm.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
−150
−100
−50 0 50 100 150
tempo(s)
Tensao de referencia(V)
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
−400
−200 0 200 400
tempo(s)
Tensao de saida(V)
Tensao de saida − retificador
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
−150
−100
−50 0 50 100 150
tempo(s)
Tensao de referencia(V)
Tensao de referencia − inversor
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
−400
−200 0 200 400
tempo(s)
Tensao de saida(V)
Tensao de saida − inversor
Operação do Retificador e inversor em frequências diferentes
Famost = fpwm = 720 Hz.
E = 400 V
Retificador: 30 Hz V = 127 Vef Inversor: 60 Hz V = 127 Vef
Sinal de Comando - braço comum
Sinais de Comando
Operação no modo Assíncrono
) ( )
( )
( v k
E k T
k c r
r =τ +
τ
= 0 )
, (k vi r )
( ),
(k i k
r τ
τ
)
c(k τ
E k
vi r
4
− 1
= )
, (
E k
vi r
2
− 1
= )
, (
E k
vi r
4
− 3
= )
, (
E k
vi,r( ) = − E
k vi,r( ) =
E k
vi r
4
= 3 )
, (
E k
vi r
2
= 1 )
, (
E k
vi r
4
= 1 )
, (
T
T
) ( )
( )
( v k
E k T
k c i
i =τ +
τ
Método 1
) ( ),
(k i k
r τ
τ
)
c(k τ
T
T
0
e
0 ≥
≥ ( )
)
(k v k
vr i
Região 1
τc
A faixa de valores possíveis para é função da maior referência de tensão.
τc
) ( )
( v k
E T
k T máx
c = 2 − 2
τ
) , ( )
( r i
máx k máx v v
v =
onde:
condição para existência de uma solução:
E k
vmáx( ) ≤
0
e
0 ≤
≤ ( )
)
(k v k
vr i A faixa de valores possíveis para é
função da menor referência de tensão.
Região 2 τc
) ( )
( vmin k
E T k T
c = 2 − 2
τ
) , min(
)
min(k vr vi
v =
onde:
condição para existência de uma solução:
E k
vmin( ) ≥ − )
( ),
(k i k
r τ
τ
)
c(k τ
T
c T
τ
Método 1
0
e 0 ou
0
e
0 < < ≥
≥ ( ) ( ) ( )
)
(k v k v k v k
vr i r i
Região 3
)]
( )
( [ )
( v k v k
E T
k T r i
c = − +
2 τ 2
condição para existência de uma solução:
E k
v k
vr( )− i( ) |≤
| )
( ),
(k i k
r τ
τ
)
c(k τ
T
c T
τ
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−150
−100
−50 0 50 100 150
tempo(s)
Tensao de referencia(V)
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−200
−100 0 100 200
tempo(s)
Tensao de saida(V)
Tensao de saida − retificador
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−150
−100
−50 0 50 100 150
tempo(s)
Tensao de referencia(V)
Tensao de referencia − inversor
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016
−200
−100 0 100 200
tempo(s)
Tensao de saida(V)
Tensao de saida − inversor
Fpwm = 720 Hz E = 200V
Vr e Vi = 127 Vef – 60 Hz Defasamento = 30o
Operação do retificador e inversor em sincronismo
Método 1
Sinais de Comando
Operação no modo síncrono Método 1
Sinal de Comando - braço comum
