Rudimentos da Teoria das Equa¸ c˜ oes a Derivadas Parciais

Cap´ıtulo 18

Rudimentos da Teoria das Equa¸ c˜ oes a Derivadas Parciais

Conte´ udo

18.1 Defini¸c˜oes, Nota¸c˜oes e Alguns Exemplos . . . 897

18.2 Algumas Classifica¸c˜oes de Equa¸c˜oes a Derivadas Parciais . . . 906

18.2.1 Equa¸c˜oes Lineares, N˜ao-Lineares, Semi-Lineares e Quase-Lineares . . . 906

18.2.2 Classifica¸c˜ao de Equa¸c˜oes de Segunda Ordem. Equa¸c˜oes Parab´olicas, El´ıpticas e Hiperb´olicas 908 18.3 O M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis . . . 911

18.3.1 O M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis. Caso de Equa¸c˜oes Lineares . . . 912

18.3.2 O M´etodo de Separa¸c˜ao de Vari´aveis. Caso de Equa¸c˜oes N˜ao-Lineares . . . 915

18.4 Problemas de Cauchy e Superf´ıcies Caracter´ısticas. Defini¸c˜oes e Exemplos B´asicos . . . 916

18.5 O M´etodo das Caracter´ısticas . . . 923

18.5.1 Exemplos de Aplica¸c˜ao do M´etodo das Caracter´ısticas . . . 928

18.5.2 Caracter´ısticas. Coment´arios Adicionais . . . 939

18.5.3 Sistemas de Equa¸c˜oes Quase-Lineares de Primeira Ordem . . . 940

18.5.3.1 Generalidades Sobre Problemas de Condi¸c˜ao Inicial em Sistemas Quase-Lineares de Primeira Ordem . . . 945

18.5.3.2 Sistemas Hiperb´olicos Semi-Lineares de Primeira Ordem em Duas Vari´aveis . . . 948

18.5.3.3 Solu¸c˜oes Ditas Simples de Sistemas Quase-Lineares, Homogˆeneos, de Primeira Ordem em Duas Vari´aveis . . . 951

18.6 Alguns Teoremas de Unicidade de Solu¸c˜oes de Equa¸c˜oes a Derivadas Parciais . . . 954

18.6.1 Casos Simples. Discuss˜ao Preliminar . . . 954

18.6.2 Unicidade de Solu¸c˜ao para as Equa¸c˜oes de Laplace e Poisson . . . 958

18.6.3 Unicidade de Solu¸c˜oes. Generaliza¸c˜oes . . . 960

18.7 Exerc´ıcios Adicionais . . . 967

N

^este

cap´ıtulo apresentaremos uma breve introdu¸c˜ ao `a teoria das equa¸c˜ oes a derivadas parciais. Ser˜ao apresenta- dos alguns m´etodos de resolu¸c˜ ao mais comummente empregados e alguns teoremas de unicidade de solu¸c˜ ao de importˆancia na justificativa daqueles m´etodos. Assim como as equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias, introduzidas no Cap´ıtulo 12, p´agina 629, equa¸c˜ oes a derivadas parciais s˜ao de grande importˆancia nas Ciˆencias Naturais por expressarem leis f´ısicas. Ainda que tenham se desenvolvido em paralelo, a teoria das equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias distingue-se um tanto da teoria das equa¸c˜ oes a derivadas parciais, pois na segunda menos resultados gerais s˜ao conhecidos e os m´etodos de resolu¸c˜ ao e de an´ alise qualitativa s˜ao mais intrincados e limitados em escopo. Por exemplo, n˜ao existem na teoria das equa¸c˜ oes a derivadas parciais resultados sobre existˆencia e unicidade de solu¸c˜ ao que sejam t˜ao gerais quanto os Teoremas de Peano e de Picard-Lindel¨ of, v´alidos para equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias (vide Teorema 12.1, p´agina 647 e Teorema 12.2, p´agina 648). Uma outra observa¸c˜ ao geral que deve ser feita sobre a teoria das equa¸c˜ oes a derivadas parciais ´e que nem sempre encontram-se resultados v´alidos para equa¸c˜ oes de ordem arbitr´ aria com um n´ umero arbitr´ ario de vari´ aveis.

H´ a mais resultados, e mais fortes, sobre equa¸c˜ oes envolvendo duas vari´ aveis que mais de duas vari´ aveis e, igualmente, h´a mais e mais fortes resultados sobre equa¸c˜ oes de ordem um ou dois que para equa¸c˜ oes de ordem trˆes ou mais.

Alguns m´etodos de resolu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes a derivadas parciais, como o m´etodo de separa¸c˜ ao de vari´ aveis e o m´etodo das caracter´ısticas, envolvem a resolu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias e vamos nos dedicar a eles aqui. Nosso prop´osito neste cap´ıtulo ´e apresentar primordialmente ideias da teoria geral das equa¸c˜ oes a derivadas parciais. O cap´ıtulo 42, p´agina 2259, ´e dedicado a exemplos de aplica¸c˜ oes de m´etodos espec´ıficos de resolu¸c˜ ao e sua leitura complementa a deste cap´ıtulo de maneira essencial.

A Se¸c˜ ao 18.6, p´agina 954, dedica-se a alguns teoremas de unicidade de solu¸c˜ ao, os quais s˜ao evocados nos exemplos do Cap´ıtulo 42. A leitura da Se¸c˜ ao 18.6 dispensa a leitura das se¸c˜oes precedentes.

896

H´ a uma vasta literatura sobre equa¸c˜ oes a derivadas parciais e nossas pretens˜ oes no presente cap´ıtulo s˜ao infimamente modestas. Para um estudo mais completo recomendamos [86, 87], [190], [309], [136], [116], [362], [121], [199].

O emprego de equa¸c˜ oes diferenciais parciais na F´ısica teve in´ıcio com a obra de D’Alembert

¹

sobre as causas dos ventos, sobre o movimento da corda vibrante e, em especial, sobre hidrodinˆamica. Vide [304], cap. 5 e [90].

18.1 Defini¸ c˜ oes, Nota¸ c˜ oes e Alguns Exemplos

•

Nota¸ c˜ ao de multi-´ındices e diversas outras nota¸ c˜ oes

Devido ` a frequente ocorrˆencia de derivadas parciais mistas na teoria das equa¸c˜ oes a derivadas parciais ´e conve- niente introduzir algumas nota¸c˜ oes simplificadoras. Um n-multi-´ındice, ou simplesmente multi-´ındice, ´e uma n-upla α = (α

1

, . . . , α

n

) onde cada α

k

´e um n´ umero natural maior ou igual a zero. A cole¸c˜ ao de todos os n-multi-´ındices

´e, portanto,

Nⁿ₀

. A ordem de um multi-´ındice α, denotada por

|α|, ´e definida por|α|

:= α

1

+

· · ·

+ α

n

. O multi-

´ındice (0, . . . , 0) ´e denominado multi-´ındice nulo e denotado por 0. Dados dois n-multi-´ındices α = (α

1

, . . . , α

n

) e β = (β

1

, . . . , β

n

) denotamos por α + β o n-multi-´ındice (α

1

+ β

1

, . . . , α

n

+ β

n

).

Seja u um a fun¸c˜ ao de n vari´ aveis x

1

, . . . , x

n

. Dado um multi-´ındice α

∈Nⁿ₀

, denotamos por D

^α

u ou por ∂

^α

u a derivada parcial mista de u univocamente definida por

D

^α

u

≡

∂

^α

u := ∂

^|α|

u

∂x

^α1¹· · ·

∂x

^αnⁿ

,

sendo que, se 0 = (0, . . . , 0) for o multi-´ındice nulo, define-se D

⁰

u := u. Note-se tamb´em que D

^α

D

^β

u = D

^α+β

u.

Dado um operador diferencial D

^α

o valor de

|α|

´e dito ser o grau de D

^α

.

Neste texto denotaremos por M

ⁿm

o conjunto de todos os n-multi-´ındices de ordem menor ou igual a m

∈N₀

: M

ⁿm

:=

n

(α

1

, . . . , α

n

)

∈Nⁿ₀

, 0

≤ |α| ≤

m

o

=

n

(α

1

, . . . , α

n

)

∈Nⁿ₀

, 0

≤

α

1

+

· · ·

+ α

n≤

m

o

(18.1) e denotaremos por N

ⁿm

o conjunto de todos os n-multi-´ındices de ordem igual a m

∈N₀

:

N

ⁿm

:=

n

(α

1

, . . . , α

n

)

∈Nⁿ₀

,

|α|

= m

o

=

n

(α

1

, . . . , α

n

)

∈Nⁿ₀

, α

1

+

· · ·

+ α

n

= m

o

. (18.2)

O n´ umero de elementos do conjunto N

ⁿm

´e denotado por

|Nⁿm|

e tem-se

|Nⁿm|

=

n + m

−

1 m

= (n + m

−

1)!

(n

−

1)! m! (18.3)

(vide Exerc´ıcio E. 6.5, p´agina 312). Pelo Exerc´ıcio E. 6.6, p´agina 313, tem-se tamb´em que

|Mⁿm|, o n´

umero de elementos do conjunto M

ⁿm

, ´e dado por

|Mⁿm|

= n + m

m

= (n + m)!

n!m! . (18.4)

E de se notar a validade da rela¸c˜ ´ ao

D

^α

D

^β

= D

^α+β

= D

^β

D

^α

,

onde, se α = (α

1

, . . . , α

n

) e β = (β

1

, . . . , β

n

), denotamos α + β := (α

1

+ β

1

, . . . , α

n

+ β

n

) = β + α.

Para um n-multi-´ındice α = (α

1

, . . . , α

n

) definimos o s´ımbolo α! como sendo o produto α! = α

1

!

· · ·

α

n

! .

Para z

∈Cⁿ

(ou

Rⁿ

) da forma z = (z

1

, . . . , z

n

) e um n-multi-´ındice α = (α

1

, . . . , α

n

) definimos o s´ımbolo z

^α

como sendo o produto

z

^α

= z

^α1¹· · ·

z

n^αn

.

1Jean Le Rond d’Alembert (1717–1783). Um dos grandes nomes do Iluminismo, D’Alembert trouxe importantes contribui¸c˜oes `a An´alise (a no¸c˜ao de limite, por exemplo, ´e atribuida a ele), `a Geometria Anal´ıtica, `a Teoria das Equa¸c˜oes Diferenciais. Foi tamb´em fil´osofo e pol´ıtico, tendo sido, juntamente a Diderot, editor e organizador daEncyclop´edie.

H´ a uma rela¸c˜ ao de ordem parcial entre n-multi´ındices. Se α e β s˜ao n-multi´ındices, escrevemos α < β caso α

j

< β

j

para todo j

∈ {1, . . . , n}

e, analogamente, escrevemos α

≤

β caso α

j ≤

β

j

para todo j

∈ {1, . . . , n}. Dados dois

n-multi´ındices α e β definimos min{α, β} como sendo o n-multi´ındice cuja j-´esima componente ´e o m´ınimo entre a j-´esima de α e a de β:

min{α, β} :=

min{α

1

, β

1}, . . . ,min{αn

, β

n}

. O n-multi´ındice max{α, β} ´e definido analogamente.

Al´em da nota¸c˜ ao de multi-´ındices, empregaremos outras nota¸c˜ oes para as derivadas parciais de uma fun¸c˜ ao u. Por exemplo,

∂ u

∂x

≡

∂

x

u

≡

u

x

s˜ao trˆes s´ımbolos que representam a derivada parcial de u em rela¸c˜ ao a x. Analogamente,

∂

²

u

∂x

² ≡

∂

xx

u

≡

u

xx

, ∂

²

u

∂x∂y

≡

∂

xy

u

≡

u

xy

etc.

•

A regra de Leibniz

A nota¸c˜ ao de multi-´ındices permite expressar a regra de Leibniz, para derivadas parciais m´ ultiplas de produtos de duas fun¸c˜ oes, de uma forma econˆ omica. Se γ ´e um n-multi-´ındice e f e g s˜ao duas fun¸c˜ oes de n vari´ aveis que sejam ao menos

|γ|

vezes diferenci´aveis, ent˜ao vale

D

^γ

(f g) =

X

0≤α≤γ

γ!

α!(γ

−

α)! D

^α

(f )D

^γ−α

(g) . (18.5)

onde γ e α, acima, s˜ao n-multi´ındices.

E. 18.1

Exerc´ıcio.Demonstre (18.5). Sugest˜ao: prova por indu¸c˜ao. 6

•

Operadores diferenciais lineares Uma express˜ao como

L :=

X

α∈Mn m

a

α

(x

1

, . . . , x

n

) D

^α

, (18.6)

onde a

α

, α

∈

M

ⁿm

, s˜ao fun¸c˜ oes em princ´ıpio arbitr´ arias das vari´ aveis x

1

, . . . , x

n

, ´e dita ser um operador diferencial linear de ordem m nas vari´ aveis x

1

, . . . , x

n

. Naturalmente s´o faz sentido, classicamente falando, aplicar operadores diferenciais lineares de ordem m em fun¸c˜ oes m vezes diferenci´aveis. Um fato evidente ´e que se γ

1

γ

2

s˜ao constantes, vale L γ

1

u

1

+ γ

2

u

2

= γ

1

Lu

1

+ γ

2

Lu

2

para quaisquer fun¸c˜ oes m-vezes diferenci´aveis u

1

e u

2

.

•

Equa¸ c˜ oes a derivadas parciais

Em termos simples, uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais (abreviadamente, uma EDP) ´e uma rela¸c˜ ao a ser satisfeita por uma fun¸c˜ ao de v´arias vari´ aveis e um conjunto finito de suas derivadas parciais (incluindo eventualmente derivadas parciais mistas). Passemos a formalizar essa ideia.

Uma fun¸c˜ ao inc´ognita de n vari´ aveis reais u(x

1

, . . . , x

n

) ´e dita satisfazer uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais em um certo dom´ınio Ω

⊂Rⁿ

, definida por uma fun¸c˜ ao de N vari´ aveis G e por um conjunto de n-multi-´ındices α

1

, . . . , α

M

(pelo menos um sendo n˜ao-nulo) se valer G

x, u(x), D

^α1

u(x) . . . , D

^αM

u(x)

= 0

para todo x

≡

(x

1

, . . . , x

n

)

∈

Ω. O maior valor de

|αk|,

k = 1, . . . , M ´e dito ser a ordem da equa¸c˜ ao a derivadas parciais. Vide exemplos logo adiante. Com essa generalidade h´a, como tamb´em notamos quando apresentamos a defini¸c˜ ao de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias (Cap´ıtulo 12, p´agina 629), equa¸c˜ oes imposs´ıveis, como por exemplo no caso em que, para uma fun¸c˜ ao de duas vari´ aveis u(x

1

, x

2

),

G

x

1

, x

2

, u(x

1

, x

2

), ∂u

∂x

1

(x

1

, x

2

), ∂u

∂x

2

(x

1

, x

2

)

=

|u|

+

∂u

∂x

1

+

∂u

∂x

2

+ 1 = 0

que n˜ao pode ser satisfeita de forma alguma. Assim, devemos sempre supor a existˆencia de um dom´ınio (aberto) onde G anula-se, hip´otese que assumiremos doravante sem maiores coment´arios.

•

Sistemas de equa¸ c˜ oes a derivadas parciais

Um conjunto de m fun¸c˜ oes inc´ognitas de n vari´ aveis reais u

k

(x

1

, . . . , x

n

), k = 1, . . . , m, ´e dito satisfazer um sistema de l equa¸c˜ oes a derivadas parciais definidas por l fun¸c˜ oes de N vari´ aveis G

j

, j = 1, . . . , l e por um conjunto de n-multi-´ındices α

^jki

(pelo menos um sendo n˜ao-nulo) se valer

G

1

x, u

1

(x), . . . , u

m

(x), D

^α111

u

1

(x) . . . , D

^α1lM11

u

1

(x), . . . , D

^α1m1

u

m

(x) . . . , D

^α1mMm1

u

m

(x)

= 0 ,

.. . .. .

G

l

x, u

1

(x), . . . , u

m

(x), D

^αl11

u

1

(x) . . . , D

^αl1M1l

u

1

(x), . . . , D

^αlm1

u

m

(x) . . . , D

^αlmMml

u

m

(x)

= 0 ,

(18.7)

para todo x

≡

(x

1

, . . . , x

n

)

∈

Ω. O maior valor de

|α^jki |

´e dito ser a ordem do sistema de equa¸c˜ oes a derivadas parciais.

Exemplos ser˜ao vistos logo adiante.

Naturalmente, temos que supor que as l equa¸c˜ oes acima sejam independentes, ou seja, que n˜ao possam ser obtidas umas das outras quer por opera¸c˜ oes alg´ebricas quer por diferencia¸c˜ ao.

Se l < m (menos equa¸c˜ oes que fun¸c˜ oes inc´ognitas) o sistema ´e dito ser um sistema subdeterminado. Se l > m (mais equa¸c˜ oes que fun¸c˜ oes inc´ognitas) o sistema ´e dito ser um sistema sobredeterminado. Se l = m o sistema ´e dito ser um sistema determinado (isso n˜ao quer dizer que seja sol´ uvel!).

Muito semelhantemente ao que ocorre com equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias, ´e poss´ıvel transformar uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais em um sistema de equa¸c˜ oes a derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo, a equa¸c˜ ao

G

x, y, u(x, y), ∂ u

∂x (x, y), ∂ u

∂y (x, y), ∂

²

u

∂x

²

(x, y), ∂

²

u

∂y

²

(x, y), ∂

²

u

∂x∂y

= 0 (18.8)

pode ser transformada no sistema equivalente G

x, y, u(x, y), p(x, y), q(x, y), ∂ p

∂x (x, y), ∂ q

∂y (x, y), ∂ p

∂y (x, y)

= 0 ,

∂ u

∂x (x, y)

−

p(x, y) = 0 , (18.9)

∂ u

∂y (x, y)

−

q(x, y) = 0 ,

composto de trˆes equa¸c˜ oes de primeira ordem com trˆes fun¸c˜ oes inc´ognitas, u, p e q. Na primeira das trˆes equa¸c˜ oes acima

∂ p

∂y

pode ser substitu´ıdo por

^{∂ q}_∂x

.

O leitor deve ser advertido, por´em, que a rec´ıproca n˜ao ´e sempre verdadeira: nem todo sistema de equa¸c˜ oes de primeira ordem pode ser transformado em uma ´ unica equa¸c˜ ao a derivadas parciais. Em muitos casos uma tal equivalˆencia s´o ´e poss´ıvel sob restri¸c˜ oes a condi¸c˜ oes iniciais ou de fronteira.

•

A no¸ c˜ ao de solu¸ c˜ ao cl´ assica de uma EDP

Assim como no caso de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias, algumas palavras devem ser ditas sobre a no¸c˜ ao de solu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais. Uma solu¸c˜ ao cl´ assica de uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais de ordem m em n vari´ aveis em um dom´ınio Ω

⊂ Rⁿ

(suposto conexo e de interior n˜ao-vazio) ´e uma fun¸c˜ ao m-vezes diferenci´avel que satisfaz a equa¸c˜ ao em todos os pontos do interior de Ω. Existem tamb´em outras no¸c˜ oes de solu¸c˜ ao, como a de solu¸c˜ ao fraca, de solu¸c˜ ao distribucional, de solu¸c˜ ao estoc´ astica, de solu¸c˜ ao viscosa etc. Discutiremos por ora apenas as solu¸c˜ oes cl´ assicas e, por isso, abusando um pouco da linguagem, nos referiremos a elas simplesmente como “solu¸c˜ oes”, sem pender o qualificativo “cl´ assicas”.

•

Exemplos de equa¸ c˜ oes a derivadas parciais de interesse

Como ilustra¸c˜ ao e para futura referˆencia apresentemos uma breve lista de equa¸c˜ oes a derivadas parciais de interesse.

Abaixo, u ´e uma fun¸c˜ ao de n vari´ aveis reais x

1

, . . . , x

n

, n

≥

1, ou de n + 1 vari´ aveis reais t, x

1

, . . . , x

n

. Em muitas aplica¸c˜ oes t representa o tempo e x

1

, . . . , x

n

representa coordenadas espaciais. Os s´ımbolos ∆ e

∇²

denotam o operador Laplaciano para as coordenadas espaciais x

1

, . . . , x

n

, que no caso de coordenadas Cartesianas se escreve:

∆

≡ ∇²

:= ∂

²

∂x

²1

+

· · ·

+ ∂

²

∂x

²n

.

•

Equa¸c˜ ao de Laplace

²

∆u = 0 .

•

Equa¸c˜ ao de Poisson

³

:

∆u = ρ ,

ρ sendo uma fun¸c˜ ao n˜ao-nula (doutra forma reca´ımos na equa¸c˜ ao de Laplace).

•

Equa¸c˜ ao de Helmholtz

⁴

:

∆u + k

²

u = 0 ,

onde k

²

´e um parˆ ametro fixo ou um autovalor a ser fixado pela imposi¸c˜ ao de condi¸c˜ oes de contorno.

•

Equa¸c˜ ao de difus˜ ao de calor em um meio material n˜ao-homogˆeneo, s´olido (ou seja, na ausˆencia de condu¸c˜ ao de calor por convec¸c˜ ao) com uma fonte interna de calor:

cρ ∂ u

∂t

− ∇ ·

κ~

∇u

= Φ ,

onde u

≡

u(~x, t) ´e a temperatura como fun¸c˜ ao da posi¸c˜ ao ~x e do tempo t, c

≡

c(~x, t) ´e o calor espec´ıfico do material, ρ

≡

ρ(~x, t) a densidade do material, κ

≡

κ(~x, t) a condutividade t´ermica do material e Φ

≡

Φ(~x, t) a quantidade de calor produzida por unidade de volume por unidade de tempo por uma fonte interna de calor dentro do material (e.g. radioatividade, rea¸c˜ oes qu´ımicas etc). As fun¸c˜ oes c(~x, t), ρ(~x, t) e κ(~x, t) s˜ao positivas e, assim como Φ(~x, t), podem tamb´em ser dependentes da temperatura u(~x, t).

•

Equa¸c˜ ao de difus˜ ao homogˆenea ou Equa¸c˜ ao do calor (provavelmente proposta pela primeira vez por Fourier

⁵

):

∂ u

∂t

−

D∆u = Φ ,

onde D ´e uma constante positiva e Φ uma fun¸c˜ ao, a qual pode ser identicamente nula.

•

Equa¸c˜ ao de ondas homogˆenea:

∂

²

u

∂t

² −

c

²

∆u = 0 , onde c ´e uma constante positiva.

•

Equa¸c˜ ao de ondas homogˆenea com amortecimento:

∂

²

u

∂t

²

+ γ ∂ u

∂t

−

c

²

∆u = 0 , onde c > 0 e γ > 0 s˜ao constantes.

•

Equa¸c˜ ao de ondas homogˆenea com amortecimento interno:

∂

²

u

∂t

²

+ γ ∂ ∆u

∂t

−

c

²

∆u = 0 , onde c > 0 e γ > 0 s˜ao constantes.

2Pierre-Simon Laplace (1749–1827).

3Sim´eon Denis Poisson (1781–1840).

4Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821–1894).

5Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830).

•

Equa¸c˜ ao do tel´egrafo:

∂

²

u

∂t

² −

c

²

∂

²

u

∂x

²

+ γ ∂ u

∂t + ηu = 0 , onde c > 0, γ > 0 e η s˜ao constantes.

•

Equa¸c˜ ao de Tricomi

⁶

, tamb´em conhecida como equa¸c˜ ao de Euler-Tricomi:

∂

²

u

∂y

² −

y ∂

²

u

∂x

²

= 0 .

•

Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger

⁷

dependente do tempo:

i

~

∂ u

∂t =

−~²

2m ∆u + V u , (18.10)

onde u

≡

u(~x, t) ´e uma fun¸c˜ ao de ~x e t,

~

(a constante de Planck) e m s˜ao constantes positivas, e V

≡

V (~x, t) ´e uma fun¸c˜ ao de ~x e t.

•

Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger independente do tempo:

−~²

2m ∆u + V u = Eu ,

onde u

≡

u(~x) ´e uma fun¸c˜ ao apenas de ~x, assim como a fun¸c˜ ao V , sendo E um autovalor a ser fixado por condi¸c˜ oes de contorno e pela condi¸c˜ ao

R

|u(~x)|²

d

ⁿ

~x <

∞.

•

Equa¸c˜ ao de Gross-Pitaevsky:

i

~

∂ u

∂t =

−~²

2m ∆u + V (x)u + α|u|

²

u , α sendo uma constante real.

•

Equa¸c˜ ao de Schr¨ odinger n˜ ao-linear:

i

~

∂ u

∂t =

−~²

2m ∆u + α|u|

²

u , (18.11)

α sendo uma constante real.

Na Se¸c˜ ao 42.4.3.4, p´agina 2302, estudamos algumas solu¸c˜ oes especiais (18.11), a saber, os chamados s´olitons claro e escuro da equa¸c˜ ao de Schr¨odinger n˜ao-linear.

•

Equa¸c˜ ao de Klein-Gordon

⁸

:

∆u

−

1 c

²

∂

²

u

∂t

² −

m

²

u = 0 , c e m constantes positivas.

•

Equa¸c˜ ao de Sine-Gordon

⁹

:

∆u

−

1 c

²

∂

²

u

∂t

² −

α sen u

= 0 , (18.12)

com c > 0 e α > 0, equa¸c˜ ao essa particularmente estudada no caso de uma dimens˜ ao espacial, onde assume a forma

∂

²

u

∂x

²−

1 c

²

∂

²

u

∂t

² −

α sen u

= 0 . (18.13)

Na Se¸c˜ ao 42.4.3.2, p´agina 2299, estudamos algumas solu¸c˜ oes especiais (18.13), a saber, os chamados s´olitons da equa¸c˜ ao de Sine-Gordon.

6Francesco Giacomo Tricomi (1897–1978).

7Erwin Rudolf Josef Alexander Schr¨odinger (1887–1961).

8Oskar Klein (1894–1977). Walter Gordon (1893–1939). A equa¸c˜ao de Klein-Gordon foi, em verdade, originalmente proposta por Schr¨odin- ger como equa¸c˜ao de ondas para uma part´ıcula quˆantica relativ´ıstica, antes mesmo de Schr¨odinger propor a equa¸c˜ao (n˜ao-relativ´ıstica) que leva seu nome (e, portanto, antes de Klein e Gordon).

9O nome “Sine-Gordon” ´e um jogo de palavras com o nome da equa¸c˜ao de Klein-Gordon.

•

Equa¸c˜ ao de Korteweg-de Vries

¹⁰

, tamb´em abreviada para Equa¸c˜ ao KdV:

∂η

∂t =

r

g

l 3

2 η ∂η

∂x + 2σ ∂

³

η

∂x

³

, (18.14)

com σ =

^l₃³−^{T l}ρg

. Essa equa¸c˜ ao descreve o movimento de um fluido de densidade ρ e tens˜ ao superficial T em um canal unidimensional de profundidade l (com l suposta “pequena”), a constante g sendo a acelera¸c˜ ao da gravidade.

Ap´ os algumas transforma¸c˜ oes simples a equa¸c˜ ao pode ser reescrita em uma forma na qual a equa¸c˜ ao de Korteweg-de Vries ´e usualmente apresentada na literatura moderna:

∂ u

∂t + ∂

³

u

∂x

³

+ 6u ∂ u

∂x = 0 . (18.15)

Na Se¸c˜ ao 42.4.3.1, p´agina 2297, estudamos uma solu¸c˜ ao especial de (18.15), o assim denominado s´ oliton da equa¸c˜ ao de Korteweg-de Vries.

•

Equa¸c˜ ao de Burgers

¹¹

:

∂ u

∂t

−

η ∂

²

u

∂x

²

+ u ∂ u

∂x = 0 , (18.16)

η sendo uma constante positiva. A equa¸c˜ ao de Burgers ´e uma esp´ecie de vers˜ao unidimensional da equa¸c˜ ao de Navier-Stokes da Mecˆ anica dos Fluidos (sem gradiente de press˜ ao e for¸cas externas). Para η = 0 tem-se a Equa¸c˜ ao de Burgers invisc´ıvel (i.e., sem viscosidade):

∂ u

∂t + u ∂ u

∂x = 0 . (18.17)

Essa equa¸c˜ ao tamb´em coincide com a vers˜ao unidimensional da equa¸c˜ ao de Euler da Mecˆ anica dos Fluidos na ausˆencia de gradiente de press˜ ao e for¸cas externas. Vide [240].

•

Equa¸c˜ ao da ´ Optica Geom´etrica:

(grad u)

²

= 1 , ou seja, ∂ u

∂x

1

2

+

· · ·

+ ∂ u

∂x

n

2

= 1 .

•

Equa¸c˜ ao de Black

¹²

-Scholes

¹³

, usada em an´ alise financeira:

∂u

∂t + σ

²

x

²

2

∂

²

u

∂x

²

+ rx ∂u

∂x

−

ru = 0 .

•

Exemplos de sistemas de equa¸ c˜ oes a derivadas parciais de interesse

•

Equa¸c˜ oes de Maxwell

¹⁴

fora de meios materiais, do Eletromagnetismo:

∇ ·

E ~ = ρ

ǫ

0

,

∇ ·

B ~ = 0 ,

∇ ×

~ B ~ = µ

0

J ~ + µ

0

ǫ

0

∂ ~ E

∂t ,

∇ ×

~ E ~ =

−

∂ ~ B

∂t , (18.18) onde E ~ e B ~ s˜ao o campo el´etrico e magn´etico, respectivamente, ρ sendo a densidade de carga el´etrica e J ~ sendo a densidade de corrente el´etrica. As equa¸c˜ oes acima est˜ ao escritas no chamado sistema internacional de unidades (SI). Para a forma das equa¸c˜ oes de Maxwell em outros sistemas, vide e.g. [202]. Uma consequˆencia imediata das equa¸c˜ oes acima ´e a lei de conserva¸c˜ ao de carga el´etrica, expressa na forma

^{∂ ρ}_∂t

+

∇ ·

J ~ = 0.

10Diederik Johannes Korteweg (1848–1941). Gustav de Vries (1866–1934). A referˆencia original ao trabalho de Korteweg e de de Vries ´e

“On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Waves”, Philosophical Magazine, 5th series,36, 422–443 (1895).

11Johannes Martinus Burgers (1895–1981).

12Fischer Sheffey Black (1938–1995).

13Myron Samuel Scholes (1941–).

14James Clerk Maxwell (1831–1879).

Das equa¸c˜ oes (18.18) ´e poss´ıvel obter (vide Exerc´ıcio E. 42.29, p´agina 2357 ou qualquer bom livro de Eletromag- netismo, e.g., [202]) as equa¸c˜ oes de onda n˜ ao-homogˆeneas para os campos E ~ e B: ~

∆ E ~

−

1 c

²

∂

²

E ~

∂t

²

= 1 ǫ

0

∇ρ

~ + 1 c

²

∂ ~ J

∂t

!

, (18.19)

∆ B ~

−

1 c

²

∂

²

B ~

∂t

²

=

−µ0∇ ×

~ J , ~ (18.20)

onde c

≡√µ¹0ǫ0

.

•

Equa¸c˜ oes de Maxwell em meios materiais:

∇ ·

D ~ = ρ ,

∇ ·

B ~ = 0 ,

∇ ×

~ H ~ = J ~ + ∂ ~ D

∂t ,

∇ ×

~ E ~ =

−

∂ ~ B

∂t , (18.21)

onde D ~ = D( ~ E, ~ ~ B) e H ~ = H( ~ E, ~ ~ B) s˜ao fun¸c˜ oes de E ~ e B ~ (essas rela¸c˜ oes s˜ao ditas constitutivas). Por exemplo, no caso de meios isotr´opicos e lineares tem-se D ~ = ǫ ~ E e H ~ =

¹_µ

B, sendo ~ ǫ e µ dependentes do meio.

•

Equa¸c˜ ao de Dirac

¹⁵

livre da Mecˆ anica Quˆ antica Relativ´ıstica (em 3 + 1 dimens˜ oes):

iγ

^µ

∂

∂x

^µ−

m1

ψ = 0 , (18.22)

onde m > 0 ´e a massa da part´ıcula, ψ =

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4

!

∈C⁴

e γ

^µ

s˜ao matrizes 4

×

4 satisfazendo γ

^µ

γ

^ν

+ γ

^ν

γ

^µ

= 2g

^µν1,

onde g ´e a matriz

_{1 0 0 0}

0−1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1

. Em (18.22) adotou-se a conven¸c˜ ao de Einstein: ´ındices repetidos s˜ao somados.

•

Equa¸c˜ ao de Euler

¹⁶

da Mecˆ anica dos Fluidos:

ρ ∂ ~v

∂t +

~v

·

~

∇

~v

+ ~

∇p

= f , ~

onde ρ ´e a densidade do fluido, ~v o campo de velocidades, p a press˜ ao e f ~ um campo de for¸cas externas (por exemplo, f ~ = ρ~g, para o caso do campo gravitacional). Essa equa¸c˜ ao deve ser complementada pela equa¸c˜ ao de continuidade

^{∂ ρ}_∂t

+

∇ ·

(ρ~v) = 0. Para a hist´ oria dessa equa¸c˜ ao, bem como da Mecˆ anica dos Fluidos, vide [90].

•

Equa¸c˜ ao de Navier-Stockes

¹⁷¹⁸

da Mecˆ anica dos Fluidos:

ρ ∂ ~v

∂t +

~v

·∇

~

~v

+

∇p

~

−

η∆~v

−

ζ + η

3

∇(∇ ·

~ ~v) = f , ~

onde η e ζ s˜ao coeficientes de viscosidade do fluido. Essa equa¸c˜ ao difere da de Euler, acima, por incluir efeitos de viscosidade. No caso de fluidos incompress´ıveis o termo que cont´em

∇ ·~v

pode ser desconsiderado. Para a hist´ oria dessa equa¸c˜ ao, bem como da Mecˆ anica dos Fluidos, vide [90].

•

Condi¸ c˜ oes de contorno, iniciais e subsidi´ arias

Uma equa¸c˜ ao diferencial definida em um dom´ınio Ω

⊂Rⁿ

vem em muitos exemplos de interesse acompanhada de condi¸c˜ oes a serem satisfeitas pelas solu¸c˜ oes e suas derivadas na fronteira de Ω (que eventualmente pode estar no infinito).

Tais condi¸c˜ oes s˜ao genericamente denominadas condi¸c˜ oes de contorno, ou condi¸c˜ oes de fronteira, ou condi¸c˜ oes iniciais,

15Paul Adrien Maurice Dirac (1902–1984).

16Leonhard Euler (1707–1783).

17Claude Louis Marie Henri Navier (1785–1836).

18George Gabriel Stokes (1819–1903).

dependendo da interpreta¸c˜ ao que possuam. Em aplica¸c˜ oes, condi¸c˜ oes de contorno usualmente s˜ao ditadas ou por leis f´ısicas

¹⁹

ou por restri¸c˜ oes f´ısicas ou geom´etricas que devem ser impostas `a solu¸c˜ ao nos pontos da fronteira de Ω.

H´ a diversos tipos de condi¸c˜ oes de contorno e tradicionalmente desenvolveu-se uma nomenclatura para denominar certas condi¸c˜ oes de contorno, empregada especialmente no caso de equa¸c˜ oes de segunda ordem. Se Ω

⊂Rⁿ

´e um conjunto limitado, condi¸c˜ oes que fixem o valor da solu¸c˜ ao u na fronteira de Ω s˜ao denominadas condi¸c˜ oes de Dirichlet

²⁰

. Condi¸c˜ oes envolvendo apenas as primeiras derivadas da solu¸c˜ ao u s˜ao denominadas condi¸c˜ oes de Neumann

²¹

. H´ a tamb´em condi¸c˜ oes mistas, envolvendo tanto a fun¸c˜ ao quanto suas primeiras derivadas na fronteira. Condi¸c˜ oes de contorno tamb´em podem ser lineares (se dependerem linearmente da solu¸c˜ ao e suas derivadas) ou n˜ao-lineares e as lineares podem ser homogˆeneas ou n˜ao-homogˆeneas.

O leitor poder´a encontrar exemplos de condi¸c˜ oes de contorno nas aplica¸c˜ oes do Cap´ıtulo 42, p´agina 2259. Para a relevˆ ancia de condi¸c˜ oes de contorno na quest˜ao da unicidade de solu¸c˜ oes, vide Se¸c˜ ao 18.6, p´agina 954.

Se uma das vari´ aveis da equa¸c˜ ao diferencial tiver a interpreta¸c˜ ao de tempo, condi¸c˜ oes impostas `a solu¸c˜ ao em uma superf´ıcie t = constante s˜ao denominadas condi¸c˜ oes iniciais. De um ponto de vista te´orico n˜ao h´a nenhuma diferen¸ca qualitativa entre condi¸c˜ oes iniciais e de contorno, mas ´e importante distingui-las em aplica¸c˜ oes, pois ambas podem ter interpreta¸c˜ oes distintas enquanto imposi¸c˜ oes f´ısicas `as solu¸c˜ oes.

Exemplifiquemos isso na seguinte situa¸c˜ ao. Se desejarmos descrever a evolu¸c˜ ao da temperatura em cada ponto de uma barra unidimensional de comprimento L, estendida no intervalo 0

≤

x

≤

L, cujas bordas em x = 0 e x = L est˜ ao em contacto com banhos t´ermicos a temperaturas a(t) e b(t), respectivamente, devemos considerar a equa¸c˜ ao de difus˜ ao do calor ∂

t

u = D∂

xx

u, definida na regi˜ ao t

≥

0 e 0

≤

x

≤

L, onde u(x, t) representa a temperatura da barra no ponto x no instante t e D > 0 ´e a constante de difus˜ ao de calor da barra. A condi¸c˜ ao u(x, t = 0) = u

0

(x) fixa a temperatura inicial da barra em cada ponto x do intervalo [0, L] como sendo u

0

(x), onde u

0

´e uma fun¸c˜ ao dada. As condi¸c˜ oes u(x = 0, t) = a(t) e u(x = L, t) = b(t) para t

≥

0 fixa a temperatura nos extremos da barra como sendo a(t) e b(t), respectivamente, para todos os tempos posteriores a t = 0, a e b sendo fun¸c˜ oes dadas. A primeira condi¸c˜ ao ´e denominada condi¸c˜ ao inicial, pois fixa uma condi¸c˜ ao para a solu¸c˜ ao em t = 0, o instante “inicial” a partir do qual a evolu¸c˜ ao da solu¸c˜ ao ´e estudada. J´a as duas outras condi¸c˜ oes s˜ao de contorno (do tipo de Dirichlet), pois imp˜ oe uma condi¸c˜ ao `a solu¸c˜ ao nos extremos espaciais do sistema considerado. Nesse caso, a regi˜ ao Ω

⊂R²

onde a equa¸c˜ ao diferencial est´ a definida ´e o retˆ angulo semi-infinito Ω =

{(x, t),

0

≤

x

≤

L, t

≥

0} ⊂

R²

. As condi¸c˜ oes u(x, 0) = u

0

(x) para 0

≤

x

≤

L, u(0, t) = a(t) e u(L, t) = b(t) para t

≥

0 s˜ao condi¸c˜ oes impostas a u na fronteira ∂Ω de Ω, que consiste no conjunto formado pela uni˜ao de trˆes linhas descrita em ∂Ω =

{(x,

0), 0

≤

x

≤

L} ∪ {(0, t), t

≥

0} ∪ {(L, t), t

≥

0} ⊂

R²

e podem tamb´em, assim, ser entendidas como condi¸c˜ oes de contorno impostas `a solu¸c˜ ao em ∂Ω.

Outro exemplo ´e o da equa¸c˜ ao de ondas para descrever uma corda vibrante de densidade constante, fixa nos extremos estendida no intervalo 0

≤

x

≤

L: c

²

∂

tt

u = ∂

xx

u, onde c ´e a velocidade de propaga¸c˜ ao da onda e u(x, t) seu desvio da posi¸c˜ ao de equil´ıbrio. A regi˜ ao Ω ´e a mesma encontrada acima. As condi¸c˜ oes de contorno (para uma corda fixa nos extremos) s˜ao u(0, t) = u(L, t) = 0 para todo t e a condi¸c˜ ao inicial fixa a posi¸c˜ ao e a velocidade de cada ponto da corda em t = 0: u(x, 0) = u

0

(x) e ∂

t

u(x, 0) = v

0

(x), para todo 0

≤

x

≤

L, u

0

e v

0

sendo fun¸c˜ oes dadas.

De um ponto de vista matem´atico um certo cuidado deve ser tomado na defini¸c˜ ao de condi¸c˜ oes iniciais ou de contorno, pois estas podem ser incompat´ıveis com a continuidade e a diferenciabilidade das solu¸c˜ oes. No exemplo acima, para que a equa¸c˜ ao da corda vibrante fa¸ca sentido sua solu¸c˜ ao deve ser cont´ınua e duas vezes diferenci´avel em rela¸c˜ ao a t e a x.

No entanto, h´a problemas nos quais as condi¸c˜ oes iniciais, definidas pelas condi¸c˜ oes u

0

e v

0

, n˜ao tˆem essas propriedades de continuidade e diferenciabilidade. Tal se d´a nos casos da chamada corda “pin¸cada” e da chamada corda “percutida”

(ou “martelada”). No primeiro, imp˜ oe-se em t = 0

u

0

(x) =









U

0

h x , 0

≤

x

≤

h ,

U

0

L

−

h (L

−

x) , h

≤

x

≤

L ,

v

0

(x)

≡

0 .

A corda ´e pin¸cada em t = 0 no ponto x = h at´e um deslocamento U

0

> 0 e solta da´ı com velocidade nula. No segundo,

19No Eletromagnetismo, por exemplo, as condi¸c˜oes de contorno impostas aos campos el´etrico e magn´etico s˜ao consequˆencia das pr´oprias equa¸c˜oes de Maxwell.

20Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859).

21Carl Neumann (1832–1925).

o problema da corda “percutida”, imp˜ oe-se

u

0 ≡

0 , v

0

(x) =









V

0

, 0 < a

≤

x

≤

b < L 0 , de outra forma

.

Vide Figura 18.1, p´agina 905. A corda est´ a inicialmente em sua posi¸c˜ ao de repouso e ´e imprimida (por exemplo, por uma martelada) uma velocidade V

0

> 0 aos pontos situados no intervalo [a, b], onde 0 < a < b < L.

v (x) u (x)

L ^x a b L ^x

U

h

V 0

0

0 0

Figura 18.1: As fun¸c˜ oes u

0

e v

0

para a corda pin¸cada e percutida, respectivamente.

No primeiro caso (corda pin¸cada), a fun¸c˜ ao u

0

´e cont´ınua mas n˜ao diferenci´avel em x = 0. No segundo caso (corda percutida), a fun¸c˜ ao v

0

n˜ao ´e cont´ınua em x = a e x = b. Em tais casos, as condi¸c˜ oes iniciais devem ser entendidas como limites: lim

t→0+

u(x, t) = u

0

(x), lim

t→0+

∂

t

u(x, t) = v

0

(x).

Al´em de condi¸c˜ oes de contorno e iniciais, h´a problemas que envolvem condi¸c˜ oes ditas condi¸c˜ oes subsidi´ arias, que imp˜ oe outros tipos de restri¸c˜ oes ` as solu¸c˜ oes, por vezes de car´ ater global. Um caso muito importante ´e o da equa¸c˜ ao de Schr¨odinger da Mecˆ anica Quˆ antica, onde imp˜ oe-se a condi¸c˜ ao que a solu¸c˜ ao deve ser de quadrado integr´ avel, ou seja, deve satisfazer

R

|u(~x, t)|²

d

ⁿ

~x <

∞

para todo t, onde a integra¸c˜ ao ´e feita na regi˜ ao espacial onde o sistema est´ a definido.

O fato importante ´e que as solu¸c˜ oes de equa¸c˜ oes a derivadas parciais dependem crucialmente das condi¸c˜ oes de contorno, iniciais ou subsidi´arias impostas. Em verdade, a pr´opria quest˜ ao da existˆencia e/ou unicidade da solu¸c˜ ao dessas equa¸c˜ oes depende crucialmente daquelas condi¸c˜ oes. Vide Se¸c˜ ao 18.6, p´agina 954.

•

Problemas bem-postos

Um problema envolvendo a resolu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais ´e dito ser um problema bem-posto caso se possa garantir: 1

^o

existˆencia de solu¸c˜ ao, 2

^o

unicidade de solu¸c˜ ao, 3

^o

continuidade em rela¸c˜ ao a condi¸c˜ oes iniciais e de contorno (continuidade aqui entendida em rela¸c˜ ao a alguma topologia conveniente). Esta no¸c˜ ao foi introduzida por Hadamard

²²

ao listar propriedades que modelos matem´aticos de sistemas f´ısicos deveriam idealmente possuir, uma coloca¸c˜ ao, ali´ as, ingˆenua, pois em F´ısica pode haver tamb´em interesse por problemas mal-postos. ´ E por vezes muito importante determinar a priori se um problema de interesse ´e bom-posto mas, particularmente na F´ısica, n˜ao apenas problemas bem-postos atraem a aten¸c˜ ao. A quest˜ ao da boa-postura de certas equa¸c˜ oes a derivadas parciais ´e ainda assunto de pesquisa, especialmente no que concerne ` a quest˜ ao da estabilidade de solu¸c˜ oes (continuidade em rela¸c˜ ao a condi¸c˜ oes inicias, de contorno e a parˆ ametros).

22Jacques Salomon Hadamard (1865–1963). Vide J. Hadamard: “Sur les probl`emes aux d´eriv´ees partielles et leur signification physique”.

Princeton University Bulletin, 49–52 (1902).

18.2 Algumas Classifica¸ c˜ oes de Equa¸ c˜ oes a Derivadas Parci- ais

18.2.1 Equa¸ c˜ oes Lineares, N˜ ao-Lineares, Semi-Lineares e Quase-Lineares

Equa¸c˜ oes a derivadas parciais podem ser classificadas de diversas formas de acordo com certas especificidades. M´etodos de resolu¸c˜ ao e propriedades das solu¸c˜ oes dependem dos tipos aos quais as equa¸c˜ oes pertencem e listaremos aqui alguns de maior relevˆ ancia. A nomenclatura que apresentaremos ´e importante para futuras discuss˜oes. A classifica¸c˜ ao mais b´asica divide as equa¸c˜ oes diferenciais em lineares e n˜ao-lineares.

•

Equa¸ c˜ oes lineares e n˜ ao-lineares

Uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais para uma fun¸c˜ ao u ´e dita ser linear se depender linearmente de u e suas derivadas parciais. Por exemplo, a forma mais geral de uma equa¸c˜ ao linear de segunda ordem nas vari´ aveis x e t ´e

a

1

(x, t) ∂

²

u

∂x

²

+ a

2

(x, t) ∂

²

u

∂t

²

+ a

3

(x, t) ∂

²

u

∂x∂t + a

4

(x, t) ∂ u

∂x + a

5

(x, t) ∂ u

∂t + a

6

(x, t)u = b(x, t) , (18.23) as fun¸c˜ oes a

k

, k = 1, . . . , 6, e b, acima, s˜ao em princ´ıpio arbitr´ arias, mas n˜ao contˆem nenhuma dependˆencia em u, apenas nas vari´ aveis x e t.

De modo geral, uma equa¸c˜ ao diferencial linear de ordem m em n vari´ aveis x

1

, . . . , x

n

´e da forma

X

α∈Mn m

a

α

(x

1

, . . . , x

n

) D

^α

u(x

1

, . . . , x

n

) = b(x

1

, . . . , x

n

) , (18.24) onde, usando a nota¸c˜ ao de multi-´ındices introduzida acima, a

α

, α

∈

M

ⁿm

, e b s˜ao fun¸c˜ oes em princ´ıpio arbitr´ arias das vari´ aveis x

1

, . . . , x

n

(recordar a defini¸c˜ ao de M

ⁿ_m

em (18.1)).

Muito frequentemente denotaremos uma equa¸c˜ ao diferencial linear por Lu = b, onde L ´e um operador diferencial linear como em (18.6) e b uma fun¸c˜ ao apenas de x

1

, . . . , x

n

.

•

Equa¸ c˜ oes lineares homogˆ eneas e n˜ ao-homogˆ eneas. O princ´ıpio de sobreposi¸ c˜ ao

Analogamente ao que ocorre para equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias lineares, uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais linear Lu = b ´e dita ser homogˆenea se a fun¸c˜ ao b for identicamente nula e n˜ ao-homogˆenea, caso contr´ ario.

Tamb´em como no caso de equa¸c˜ oes ordin´arias, vale para equa¸c˜ oes a derivadas parciais lineares e homogˆeneas o importante princ´ıpio de sobreposi¸c˜ ao (ou de superposi¸c˜ ao): se u

1

e u

2

s˜ao duas solu¸c˜ oes de uma equa¸c˜ ao homogˆenea (ou seja, se Lu

1

= 0 e Lu

2

= 0), ent˜ao qualquer combina¸c˜ ao linear γ

1

u

1

+ γ

2

u

2

´e igualmente uma solu¸c˜ ao da mesma equa¸c˜ ao, pois L γ

1

u

1

+ γ

2

u

2

= γ

1

Lu

1

+ γ

2

Lu

2

= 0. (Note-se que condi¸c˜ oes iniciais ou de contorno podem limitar as combina¸c˜ oes lineares poss´ıveis).

No caso de equa¸c˜ oes a derivadas parciais lineares n˜ao-homogˆeneas vale uma forma mais fraca do princ´ıpio de sobre- posi¸c˜ ao. Se u

1

e u

2

s˜ao duas solu¸c˜ oes de uma equa¸c˜ ao linear n˜ao-homogˆenea (ou seja, se Lu

1

= b e Lu

2

= b), ent˜ao uma combina¸c˜ ao linear da forma γ

1

u

1

+ γ

2

u

2

ser´a uma solu¸c˜ ao da mesma equa¸c˜ ao se e somente se γ

1

+ γ

2

= 1. De fato, L γ

1

u

1

+ γ

2

u

2

) = γ

1

Lu

1

+ γ

2

Lu

2

= (γ

1

+ γ

2

)b, que ´e igual a b se e somente se γ

1

+ γ

2

= 1.

H´ a ainda uma outra observa¸c˜ ao elementar, mas relevante, a se fazer sobre equa¸c˜ oes lineares n˜ao-homogˆeneas. Seja u uma solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao linear n˜ao-homogˆenea Lu = b e seja v uma solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao homogˆenea Lv = 0 (para o mesmo operador diferencial linear L). Ent˜ao u + v ´e igualmente solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao linear n˜ao-homogˆenea. De fato, L(u + v) = Lu + Lv = b.

Esse ´ ultimo fato ´e muito empregado na pr´atica quando se deseja encontrar uma solu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao n˜ao- homogˆenea satisfazendo certas condi¸c˜ oes de contorno. Se uma solu¸c˜ ao u n˜ao satisfaz as condi¸c˜ oes de contorno, por vezes

´e poss´ıvel encontrar uma solu¸c˜ ao satisfazendo as condi¸c˜ oes desejadas adicionando a u uma solu¸c˜ ao v conveniente da equa¸c˜ ao homogˆenea.

Listamos, por fim, mais uma propriedade elementar, por´em relevante, de solu¸c˜ oes de EDP’s lineares n˜ao-homogˆeneas.

Se u

1

e u

2

s˜ao duas solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao n˜ao-hmogˆenea Lu = b, ent˜ao u

1−

u

2

´e solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao homogˆenea Lu = 0.

A prova ´e elementar. Com isso vemos que duas solu¸c˜ oes de uma mesma EDP linear n˜ao-homogˆenea sempre diferem por uma solu¸c˜ ao da correspondente EDP linear homogˆenea.

•

Equa¸ c˜ oes expl´ıcitas. Parte principal de uma EDP

Uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais de ordem m (n˜ ao necessariamente linear) ´e dita ser uma equa¸c˜ ao expl´ıcita (ou, mais raramente, extr´ınseca) se for da forma

G

1

x, u, D

^α1

u . . . , D

^αM

u

= G

2

x, u, D

^β1

u . . . , D

^βN

u

, (18.25)

para certas fun¸c˜ oes G

1

e G

2

, onde x

≡

(x

1

, . . . , x

n

), com

|αj| ≤

m para todo j = 1, . . . , M e

|βk|

< m para todo k = 1, . . . , N, ou seja, se o lado esquerdo contiver todas as derivadas de ordem m (a ordem da equa¸c˜ ao) e o lado direito contiver derivadas de ordem menor que m. Essa defini¸c˜ ao ´e um tanto amb´ıgua, pois o lado esquerdo pode conter tamb´em derivadas de ordem menor m que podem ou n˜ao ser passadas para o lado direito. Suporemos no que segue que na forma (18.25) n˜ao seja mais poss´ıvel eliminar derivadas de ordem menor que m do lado esquerdo o que, admitidamente, nem sempre pode ser feito de modo ´ unico.

A parte de uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais expl´ıcita que cont´em as derivadas de maior ordem (ou seja, o lado esquerdo de (18.25)) ´e denominada parte principal da equa¸c˜ ao. Por exemplo, a parte principal da equa¸c˜ ao linear de

ordem m de (18.24)

X

α∈Nn m

a

α

(x

1

, . . . , x

n

) D

^α

u(x

1

, . . . , x

n

) (recordar a defini¸c˜ ao de N

ⁿ_m

em (18.2)).

Certas propriedades de equa¸c˜ oes diferenciais dependem de caracter´ısticas de sua parte principal, de modo que ´e relevante classific´a-las de acordo com propriedades da mesma.

•

Equa¸ c˜ oes quase-lineares

Uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais ´e dita ser uma equa¸c˜ ao quase-linear se sua parte principal depender linearmente das derivadas de maior ordem. Assim, a forma geral de uma equa¸c˜ ao quase-linear de ordem m em n vari´ aveis x = (x

1

, . . . , x

n

)

´e

X

α∈Nn m

a

α

x, u, D

^β1

u, . . . , D

^βk

u

D

^α

u(x) = H x, u, D

^β1

u, . . . , D

^βk

u ,

onde H e as fun¸c˜ oes a

α

dependem eventualmente de x, de u e de k derivadas do tipo D

^βl

u, l = 1, . . . , k, com

|βl| ≤

m−1.

Novamente, k

≤ |Mⁿm−1|

=

^n+m_m−⁻1¹

.

Assim, a forma geral de uma equa¸c˜ ao quase-linear de primeira ordem ´e:

Xn k=1

a

k

(u, x) ∂ u

∂x

_k

= b(u, x) ,

onde x = (x

1

, . . . , x

n

) s˜ao as n vari´ aveis das quais a fun¸c˜ ao u depende e onde as fun¸c˜ oes b(u, x) e a

k

(u, x), k = 1, . . . , n, s˜ao fun¸c˜ oes de x e de u, mas n˜ao de derivadas de u. A forma geral de uma equa¸c˜ ao quase-linear de segunda ordem ´e (por simplicidade, mas sem perder em generalidade, consideraremos apenas fun¸c˜ oes em duas vari´ aveis: x e y):

a(x, y, u, ∂

x

u, ∂

y

u) ∂

²

u

∂x

²

+ b(x, y, u, ∂

x

u, ∂

y

u) ∂

²

u

∂x∂y + c(x, y, u, ∂

x

u, ∂

y

u) ∂

²

u

∂y

²

= d(x, y, u, ∂

x

u, ∂

y

u) , onde as fun¸c˜ oes a, b, c e d dependem de x, y, u, e das duas derivadas parciais de primeira ordem de u.

A equa¸c˜ ao da ´ optica geom´etrica

∂ u

∂x

2

+

∂ u

∂y

2

= 1 n˜ao ´e uma equa¸c˜ ao quase-linear (nem pode ser reescrita como tal).

•

Equa¸ c˜ oes semi-lineares

Uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais ´e dita ser uma equa¸c˜ ao semi-linear se sua parte principal for um operador linear.

Assim, a forma geral de uma equa¸c˜ ao semi-linear de ordem m em n vari´ aveis x = (x

1

, . . . , x

n

) ´e

X

α∈Nn m

a

α

(x) D

^α

u(x) = H x, u, D

^β1

u, . . . , D

^βk

u

,

onde a

α

s˜ao fun¸c˜ oes apenas de x e H depende eventualmente de x, de u e de k derivadas do tipo D

^βl

u, l = 1, . . . , k, com

|βl| ≤

m

−

1. Naturalmente, acima k ´e um n´ umero natural satisfazendo k

≤ |Mⁿ_m−1|

=

^n+m_m−⁻₁¹

. E de se notar que toda equa¸c˜ ´ ao linear ´e semi-linear e toda equa¸c˜ ao semi-linear ´e quase-linear.

Um outro coment´ario ´e que diversas equa¸c˜ oes diferenciais quase-lineares de primeira ordem podem ser resolvidas por um m´etodo denominado m´etodo das caracter´ısticas, do qual falaremos na Se¸c˜ ao 18.5, p´agina 923. Diversas equa¸c˜ oes diferenciais lineares e homogˆeneas podem ser resolvidas pelo m´etodo de separa¸c˜ ao de vari´ aveis, sobre o qual falaremos na Se¸c˜ ao 18.3, p´agina 911.

18.2.2 Classifica¸ c˜ ao de Equa¸ c˜ oes de Segunda Ordem. Equa¸ c˜ oes Parab´ olicas, El´ıpticas e Hiperb´ olicas

•

Transforma¸ c˜ ao da parte principal de uma EDP

Dada uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais de tipo semi-linear, ´e importante, para diversos prop´ositos, saber como sua parte principal se transforma por uma mudan¸ca (local, eventualmente) de vari´ aveis (x

1

, . . . , x

n

)

→

(ξ

1

, . . . , ξ

n

) (suposta diferenci´avel e de Jacobiano n˜ao-nulo). No que segue, para n˜ao carregar em excesso a nota¸c˜ ao, consideraremos equa¸c˜ oes semi-lineares, mas o caso de equa¸c˜ oes quase-lineares e idˆentico, como o leitor pode facilmente perceber. Se considerarmos o operador

_∂x^∂aa

k

, a

∈N

, ´e muito f´ acil constatar, aplicando a regra da cadeia, que ap´ os a referida mudan¸ca de vari´ aveis o mesmo transforma-se em

X

β∈Nn a



 Yn j=1

∂ ξ

j

∂x

_k βj





∂

^a

∂ξ

^β1¹· · ·

∂ξ

n^βn

+

· · ·

, (18.26)

sendo que os termos omitidos envolvem derivadas de ordem menor que a. Se α ´e um n-multi-´ındice, segue disso que o operador

_∂x^α1∂|α|

1 ···∂x^αnn

transforma-se segundo

∂

^|α|

∂x

^α1¹· · ·

∂x

^αnⁿ −→ X

β1∈Nn α1

· · · X

βn∈Nn αn



 Yn k=1



 Yn j=1

∂ ξ

j

∂x

_k (βk)j









∂

^|α|

∂ξ

^γ1¹· · ·

∂ξ

n^γn

+

· · ·

, (18.27) ou seja

D

_x^α −→ X

β1∈Nn α1

· · · X

βn∈Nn αn



 Yn k=1



 Yn j=1

∂ ξ

j

∂x

_k (βk)j









D

^γ_ξ

+

· · ·

, (18.28) onde γ ´e o n-multi-´ındice γ = β

1

+

· · ·

+ β

n

e onde novamente omitimos derivadas de ordem menor que

|α|.

Se a parte principal da equa¸c˜ ao considerada for de ordem m e possuir a forma

X

α∈Nn m

a

α

(x

1

, . . . , x

n

) D

^α

u(x

1

, . . . , x

n

) =

X

α∈Nn m

a

α

(x) ∂

^m

u

∂x

^α1¹· · ·

∂x

^αnⁿ

(x) ,

´e muito f´ acil constatar, usando as express˜oes acima, que ap´os a referida mudan¸ca de vari´ aveis a mesma torna-se

X

α∈Nn m

a

α

x(ξ)

X

β1∈Nn α1

· · · X

βn∈Nn αn



 Yn k=1



 Yn j=1

∂ ξ

j

∂x

_k (βk)j









∂

^m

u

∂ξ

1^γ1· · ·

∂ξ

n^γn

x(ξ) ,

onde γ ´e o n-multi-´ındice γ = β

1

+

· · ·

+ β

n

e onde novamente omitimos derivadas de u de ordem menor que m, j´ a que nosso interesse est´ a apenas na transforma¸c˜ ao da parte principal. Essa ´ ultima express˜ao ´e a parte principal da equa¸c˜ ao nas vari´ aveis ξ e pode ser escrita na forma

X

γ∈Nn m

˜

a

γ

(ξ

1

, . . . , ξ

n

) ∂

^m

u

∂ξ

^γ1¹· · ·

∂ξ

^γnⁿ

x(ξ) ,

onde

˜

a

γ

(ξ

1

, . . . , ξ

n

) :=

X

α∈Nn m

X

β1∈Nn α1

· · · X

βn∈Nn αn

a

α

x(ξ)



 Yn k=1



 Yn j=1

∂ ξ

j

∂x

k

(βk)j







 Yn l=1

δ

γl,(β1)l+···+(βn)l

.

•

Transforma¸ c˜ ao da parte principal de uma EDP semi-linear de segunda ordem

O caso de equa¸c˜ oes a derivadas parciais semi-lineares de segunda ordem ´e de particular importˆancia em aplica¸c˜ oes e por essa raz˜ ao vamos olh´ a-lo com mais detalhe. Consideremos uma equa¸c˜ ao a derivadas parciais de segunda ordem definida em

Rⁿ

da forma

_n

X

a=1

Xn b=1

A

ab

∂

²

u

∂x

a

∂x

b

= F

x, u, ∂ u

∂x

1

, . . . , ∂ u

∂x

n

,

onde os coeficientes A

ab

s˜ao reais, satisfazem a condi¸c˜ ao de simetria A

ab

= A

ba

, n˜ao s˜ao todos identicamente nulos e s˜ao eventualmente tamb´em fun¸c˜ oes de x, u,

_∂x^{∂ u}₁

, . . . ,

_∂x^{∂ u}_n

, n˜ao dependendo de derivadas de ordem maior que 1 de u. A fun¸c˜ ao F ´e real. A parte principal da equa¸c˜ ao acima ´e

Xn a=1

Xn b=1

A

ab

∂

²

u

∂x

a

∂x

b

(18.29)

e sua vers˜ao no sistema de coordenadas ξ ser´a

Xn c=1

Xn d=1

B

cd

∂

²

v

∂ξ

c

∂ξ

b

+

· · ·

,

onde omitimos os operadores diferenciais de ordem menor que 2, onde v(ξ) = u x(ξ) e onde B

cd

:=

Xn a=1

Xn b=1

A

ab

∂ξ

c

∂x

a

∂ξ

d

∂x

b

. Essa rela¸c˜ ao ´e melhor escrita em forma matricial:

B = JAJ

^T

, (18.30)

onde B ´e a matriz real sim´etrica n×n cujos elementos de matriz s˜ao B

jk

, A ´e a matriz real sim´etrica n×n cujos elementos de matriz s˜ao A

jk

, e J ´e a chamada matriz Jacobiana

²³

, cujos elementos de matriz s˜ao J

kl

=

^∂ξ_∂x^k_l

. A transforma¸c˜ ao (18.30)

´e uma transforma¸c˜ ao de congruˆencia (vide p´agina 518). O fato de os coeficientes da parte principal de um operador de segunda ordem se transformarem segundo uma transforma¸c˜ ao de congruˆencia tem consequˆencias interessantes a serem exploradas. Como discutimos na Se¸c˜ ao 10.5.2, p´agina 516, o n´ umero de autovalores positivos, o n´ umero de autovalores negativos e o n´ umero de autovalores nulos (incluindo multiplicidade) de uma matriz real sim´etrica (ou autoadjunta) ´e conservado por transforma¸c˜ oes de congruˆencia. Esse ´e o conte´ udo do Teorema 10.18, p´agina 517, conhecido como Lei de In´ercia de Sylvester. Esse fato permite classificar operadores de segunda ordem de modo an´ alogo ` a classifica¸c˜ ao de matrizes sim´etricas reais apresentada ` a p´agina 518. Essa classifica¸c˜ ao ´e de grande importˆancia na teoria das equa¸c˜ oes a derivadas parciais.

•

Classifica¸ c˜ ao de EDPs de segunda ordem

Equa¸c˜ oes a derivadas parciais em

Rⁿ

, de segunda ordem, e cujas partes principais s˜ao quase-lineares, ou seja, da forma (18.29), podem ser classificadas em cada ponto de acordo o n´ umero de autovalores positivos, negativos e nulos (incluindo a multiplicidade) que possui a matriz dos coeficientes A

ab

de sua parte principal. Essa classifica¸c˜ ao ´e de grande importˆancia na teoria das equa¸c˜ oes a derivadas parciais. Dizemos que a equa¸c˜ ao ´e

•

Parab´ olica, se ao menos um dos autovalores da matriz A for nulo (em cujo caso A ´e singular);

•

El´ıptica, se todos os autovalores da matriz A forem positivos ou se todos forem negativos;

23Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).