O valor de cada item est´ a entre parˆ enteses.

universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2017.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turma q3

EXAME FINAL – 12/07/2017

Orienta¸ c˜ ao: O exame ´ e estritamente individual, sem consulta ou calculadora.

Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circular as respostas! Apenas so- lu¸c˜ oes leg´ıveis e justificadas receber˜ ao pontos: escrever todos os passos. Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parˆ ametros e o n´ umero de cada regra no passo em que ´ e utilizada. Respostas memorizadas mas sem justificativas n˜ ao receber˜ ao pontos! Integrais de convolu¸c˜ ao em respostas devem ser calculadas!

O valor de cada item est´ a entre parˆ enteses.

Quest˜ ao 1. Dar a solu¸c˜ao completa, expl´ıcita e simplificada de cada item.

1.a (1,0). x dy

dx = y (1 + ln (y/x)) 1.b (1,0). x ² + y ² + x

dx + xy dy = 0

1.c (1,0). t dy

dt + y = −t ² y ² 1.d (1,2). d ² y

dt ² + 2y = 12 t + e ^{− 2t} 1.e (1,1). d ² y

dt ² + 4y = 2 tan (t), t ∈

− π 2 , π

2

1.f (1,2). y ^′′ (t) + y(t) = 2 u π/2 (t) − 5δ

t − 3 π 2

; y(0) = 0, y ^′ (0) = 0

Quest˜ ao 2 (1,5). Calcular a s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f (x) = x ² definida em [−π, π].

Quest˜ ao 3 (2,0). Considere-se a EDP abaixo submetida `as condi¸c˜oes dadas:







u t (x, t) = u xx (x, t) para 0 < x < 3 e t > 0, u x (0, t) = 0 = u x (3, t) para t > 0,

u(x, 0) = cos(π x) − 4cos(5 π x) para 0 ≤ x ≤ 3.

Reescrever a EDP submetida apenas `as condi¸c˜oes homogˆeneas dadas como

dois problemas, um em x e um em t. A partir disto, obter a solu¸c˜ao u(x, t)

como uma s´erie formal da EDP ainda submetida apenas `as condi¸c˜oes homo-

gˆeneas (Ver as dicas no verso). Ent˜ao, assumindo a convergˆencia da s´erie,

calcular u(x, t) submetida a todas as condi¸c˜oes dadas.

Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜oes de Z ^′′ (z) = −λ Z (z) com 0 ≤ z ≤ L (logo, o autovalor ´e −λ) submetidas `as respectivas condi¸c˜oes de contorno (abaixo, n ´e inteiro).

Caso Z ^′ (0) = 0 = Z ^′ (L): Z n (z) = cos n π z L

, λ n = n π L

2

para n > 0; e Z 0 (z) = 1, λ 0 = 0 (para n = 0);

Caso Z (0) = 0 = Z(L): Z n (z) = sen n π z L

, λ n = n π L

2

para n > 0.

Regra f (t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. s ∈ F (s) = L{f(t)}(s)

01 e ^at a ∈ R (a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈ R (0, +∞) s/(s ² + ω ² )

03 sen(ωt) ω ∈ R (0, +∞) ω/(s ² + ω ² )

04 cosh (ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) s/(s ² − ω ² )

05 senh(ωt) ω ∈ R (|ω|, +∞) ω/(s ² − ω ² )

06 t ⁿ n ∈ N (0, +∞) n! / s ⁿ⁺¹

07 t ^r r ∈ (−1, +∞) (0, +∞) Γ(r + 1) / s ^r+1

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞) R e ^{− cs}

Regra f(t) = L ^{− 1} {F (s)}(t) Const. F (s) = L{f (t)}(s) 09 a f (t) + b g(t) a, b ∈ R a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F (s/a) / a

11 e ^at f (t) a ∈ R F (s − a)

12 t ⁿ f (t) n ∈ N (−1) ⁿ F ⁽ⁿ⁾ (s)

13 f (t)

t se h´a lim

t → 0

f(t) t

Z + ∞ s

F (v) dv

14 f ^(k) (t) k ∈ N s ^k F (s) −

k − 1

X

=0

f ^() (0) s ^{k − 1 − }

15

Z t 0

f(u) du F (s)

s

16 u c (t) f (t) c ∈ (0, +∞) e ^{− cs} L{f(t + c)}(s) 17 u _c (t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e ^{− cs} F (s) 18 Se f (t + P ) = f (t) P ∈ (0, +∞) 1

1 − e ^{− sP} Z P

0

e ^{− st} f (t) dt

19 (f ∗ g )(t) ←− Convolu¸c˜ao! F (s) G(s)