Oscilações do nível do bismuto no limite de baixos números quânticos

i

¡,fARI O JAIIìO CAZ ECA

SBI-IFUSP

l llllll lllll illlillllll lll

ilililililil ililllililililil]ililr

30sM81 0T0509

OSC]LAÇÕES DO NÍVEL DE FERMI DO BISI,ÍUTO NO LIMI?E DE BAIXOS _{NÚMEROS QUÃTITICOS}

\

ir

SÃO I

T ø¿ ¿ de lrl¿¿ Í.nado a"lclLQ.^ ¿ntadcL ao Inlti-futo d¿ Fí,síca da

US P, como _{fJd",LÍ.¿ do,s} ne.qui

. ¿if o¿ n¿ce-6^ ã.nio,s _fra,,tLa. a-obt.enção _{do títuLo} dø Mutn-e- eH Ciî.ncía.,s .

AGRAoECItIENT 0S

. 0e^Ø i cLmo^ exprLe^^a.,1 a.qu¿ no/sL0^ ¿íneøn-o's a"g)Lr"d¿eímøn to¿ ã' tctd.o,s, quQ. íorLnl"rL(Lm ytoatívøX- ct neaLizctçãct dø¿,sø tttctba.X-l,to, e, e.m e^peciaL àt ,søguLntø,s p¿^^oa^:

Ao Pno(. Dn, Jot:6. Beze.ndø Pene.ina.

Neto,

peL-a ¿uga.^-Lã"0 ø ottLønta-çã.o dø,s¿ø tnabaLho,

Ao Pno(1. Dtt, Jo¿'ø |,lanuøL dø Va-,sconc'øLo¿ l'{antín,s, pØ I-a. tuct ottentação no L(rboh-cLtînio, óe-m a quctl não ¿ønía yto,s,tíveL obtøn o^ dado¿ nQ.ce.¿^ã-nio's a øÁ^Q- tna"ba"Ll,to .

Ao Pno[. Dn. Angø.Lo PLccinL, ytø.Lo Q.mp,LQ-^tLmo do cní2

tal-

de. bitmuto.

A Pna(ø. Dna.. CøcLLía" de A.F. Pímønt¿!., do Depa"nta-mønÍo dø CníttaX-ogtta(La" ytø,La. onLønta,ção do eni^taL,

Ao.s coLega",s LìcLnda l,l. dø Fi.tLma" Rodtti.guØ^

,

Jo¿6. Ca"n

Lo¿ Sant on¿L!-í ø Kazunotti U)a"taní

,

p eX-a",s p,Lov øito¿

a"t

di¿ eu¿,sõ e,s duna"nt¿ 0,A dí[øn-øntet (a-'søt d¿¿¿¿ tnabaLl+o,

A'o S¿. )¿wo"X-d Caytytø,L,Lo e-

^ua. ec¿uiytø, ytøLo nitttogî.nío

ø 'o hõ.Lio .Líc¡uLdo que

not

(onam gonne,eído¿.

Ao S¿. Fnancitco de PauX-a )Livøína Q.

^u0, øc¡uiytø, pL

.La conlÐLução do potLf.a-a.mo^tna.

À S¿4

.

ManL-i C6.¿a.n Patønnott,Lo

,

ytøI-o t¡to-ba-Lho dø da.-tíLo gna.día".

B_*E_S_U_U_a

Realizamos medj-das das oscilações do níve1

de

Ferni do bistnuto observando as variações _{do potencial de}

_contato

_em um nonocristal. As nedidas foran

feitas

em diferentes temperatg

ras, e

com o ca.mpo magnético varj.ando

de 0 a *

₂₀

KG,

_na di

reção

binãria

dos eixos cristalográficos.

As oscilações observadas nas curvas experimentais ïe sultam da passagem dos

nÍveis

de Landau dos elõtrons de nassaefe

tiva

leve pelo nÍve1 de Fermi. Oscilações nenores tambfm foram

observadas num

intervalo

de 8 a

tu 11

KG,

que identificamos

como sendo provenientes da passagen dos

níveis

de Landau dos

bu-racos pelo níve1 de Fermi.

4=E=9=r=B=4=ç=I

We have measured the Fermi 1eve1 oscillations _of bisnuth by observing _{the contact potencial variations} of a mono-crystal. The measurements ivere made at different temperatures,

with applied magnetic field para1le1 _{to the binary direction of} the crystallographic axes in the range 0 ¡, Z0 KG.

The osci.llations obtained from the experimental curves

are the results of the passage of the Landau 1evels of the lorv effective mass electrons through the Fermi 1eve1. Smal1

oscill-ations have also been observed within the range 8 .r, _{1l KG rvhich} t{e identify as being due to the passage of the Landau levers of

the holes through the Fermi level

Fron the data obtained from the experimental curve and by using the model v.P.D. (8), we fitted a theoretical curve from wlrich rve have determined the parameters _{that characterize this}

! _{=N =Q =r= =g =E=}

CAPTTULO 1 TE0R'Í. A

CAPTTULO IT

TT-

rt-TT.

TÍ-

tr-

TT-CAPîTULO TTI ITl TTI

LNTR00UçÃ,0

c0¡Jcrus0Es

A?ENOTCE 1

REFERÊl\/C TAS

pag. 1 2 3 7 L4 34 34 35 4L 4L 44 4s 48 48 50 73 75 78

I-1 T c) a.l ô)

Con.sídzttaçõe,/s a. lLe.,speít.ct do _{bí¿muto . .} . Rø,sumo do¿ tnodeX-o¿ quQ- prLøc¿dønam o mo-de.Lo V.P.D.

...

...

...

Mctd¿I-o V.?.0

T ECNf CAS EXPERIMEÄ/TAIS

PTLQ.TJA-hLaçAO dCt AnlO ¿tnA

Sí¿tøma Ctiogî.nico Camyto l'Áa"gn6.t.ico

Pantø e!-etn6nica"

MEDTOAS E ANÃtlSE DOS RESüLTAD(0S

...

¿

R¿X-a"to ,so bn¿ o Pto g,LcLml- Comytuta"eLona,L . Aytttø,sønt.ação ø Contøntã"nio tobnø

o^

Rø-¿u.Lta"do,s

obtido¿

...

...

trN'!B0AAçIO

0 bismuto á un material muito estudado devido

baixa dens idacle eletrônica (1018 cm-3) , e pequena massa

dos elátrons. Por essa tazão o efeito <le Haas-van Alphen to pronunci-ado. Esse efeito nos dã, infornações sobre as

de energia nas proxinidades da superfície de Fermj_.

I

a sua

e fe tiva e

mu1-faixas

0 objetivo desse trabalho e investigar as oscilações do nível de Fermi _, produzidas por um monocristal d.e bismuto, quan

do submetemos o nesmo a altos campos magnéticos. Em posse cles

ses dados investiganos o modelo desenvolvido por V.p.Df8), een contranos os parânetros que caracter izan esse ¡nocle1o.

0 nodelo ja tol testado païa experimentos de

nìagne-to-reflexão, mas nossa _{intensão 6 testar o} nesmo para os daclos

obtid.os pelo m6todo desenvolvido por picci-ni (11). uma vez que

este m6todo 6 simples e não requer uma aparelhagen _muito

sofis-ticada, estando portanto nosso laboratório capacitado para rea-Iizâ-Ia,

em três mod.rlos

N6s procuramos detalhar bem

o

trabalrro

e

o divicimos partes. No primeiro capítulo nós fizenos

um

resumo dos que serviram de base para o desenvolvimento

_do

moclelo

V. P.D. (8) . Em seguida apresentamos de maneira ben d.etalhad.a

es-se rnodelo.

No segundo capítulo nós descrevemos a

amostra, os equipanentos necessários _{para efetuar} o método de medida que _{foi util} ízad.o.

No terceiro capítulo nós apresentamos os

suas _{respectivas tabelas, os dados cotìseguidos das} cas ajustadas e anaf isamos os mesnìos.

preparaçao as medidas,

da

e

gráficos con

-z-TEORTA

a,)

C o n¿ Ld¿n açõ z,s IL notysøLl.o do bL,smttfct

O bismuto c um elemento do grupo V. É um seminietal possuindo clensidade c1e portadore.s da ordem de 101t .r-t, ocu-pando portanto uma lração muito pequena da Zona de Brillouin (2.

B.). Ele possui uma estrutura c.ristalina romboedral A7, Esta

estrutura pode ser gelada de uma rede cúbica sirnples, por duas

pequenas distorções.

Va.mos considerar duas redes cúbicas de face centrada

se interpenetrando. Para criar a estrutura A7 prirneiro uma

sub-rede fcc 6 transladada em\re1ação a outra ap longo da diagonal

do cubo (ver f igura f ₎ . Uma tração 6 feita tarnbém ao longo

des-sa diagonal.

, A diagonal do corpo na qual essas distorções estão as sociadas 6 o eixo trì.gonal da estrutura A7. Hâ, portanto dois átonros por cé1ula uni t.âria. Ernbora as ciistorções sej an pequenas,

os elementos de simetri-a na estrutura A,7 são reduzidos

conside-ravelmente, nós tenos para o eixo trigonal três eixos binários , cada un distando do outto de I20o e perpendiculares ao eixo tri gonal, e tres planos de espelJro cada um normal ao eixo binário.

Cono vimos, â êstrutura 47. pode ser vista como se ios

se originada de distorções ern Lrna rede cúbica. Tanbérn a Z.B. po

de ser a Z.B. da fcc por una coìnpressão ao longo do eixo trigo-nal. A compressão é ao longo c1a direção trigonal fT figura _Z.

0s elententos de simetria são os lnesmos da rede do cristal . A fa

ce hexagonal que cont6:u T são hexágonos regulares, mas as

-3-tr.as Seis face.s hexagonais não são TegulaTeS, e o que era antes

quadra<lo após a compressão torltou-se retârtgulo.

A superfície eie Ferni 6 constituÍda por tres pacotes

de e1átrons e um pacote cle buracos

,

os el6trons estão local

íza-dos no ponto L cla Z.B. e os buracos no

ponto T figura

2. Esses pacotes possuem a forma de elips6ides de

revo-lução

.

O eixo

principal

de e ada el ips6iclc elc el6trons

está

a 120o dos cÒrïespondentes eixos

prineipais

elos outtos dois

elip-sõicles. O eixo principal do elips6ide forna um ângulo

de tu

60

e om

o

eixo biss etr-:¿ (ver f

igura

3)

.

0

nivel

de Ferrni õ

determi-naclo quando o nülnero de cl6trons e buraeos se igualam.

Vamos

identifiear

os el6trons en pesados

e

leves, coL 'forme _{a suâ masSa ef}

_etiva

_de e íe lot.ron se j a grande ou pequena rqs

pee tivarnente .

*

_Quando f

ôr

ap1 ie aelo un e anpo magn6tico ao longo na direção dos eixos

eristalográfieos,

por exemplo, terernos dois

paeotes com el.6trons lcves e um paeote eom eIétrons pesaelos. Pa

ra o

eampo nagn6tieo na direção

bissetriz

dos eixos

cristatogr{

f,icos tcreno: ur paeote eom el6trons Leves e dois pecotes com e]ê

trons pesados. _Quando o earnpo magn6tieo

for

aplicado na direção do eixo

eïistalogråfieo

trigonal

teremos

três

pacotes de elêtrons equivalentes e pesados,

fÍguras

4,5 e

6

respectivalnente.

As nassas efetivas do

eÍelotron

sâo relacionadas

pera f6rniula (1)

com a area

fr2 ðA

n E I-1

2¡¡ ðe

*

onde A

õ

a área eneerrada pela

6rbita

dos el6trons, p).ano perpendicular ao e anpo nragtrético.

-4-FTGURA 1 E¿tttutuna. A7 a pantin da" e.AttLutulla. cí,biect timytLet

ì(

,' t"

-5-T;

]

¿

6 B,

8.'t t

FTGURA 3 - Relação Q-nltLe, oá eixo^ crLL^taL.ogn-a$íeo,s do bí¿muto

lbinãnio,

bi,s,søto¡t ø tnigona"Ll e o,s eíxo^ dor eI-Lp

^6idQ.^ dct¿ ¿L-etnctn.s,

H l1 ao ¿rto Ii.i'io

Ca"mpo ma.gnî.frieo n0. dineçãl do øixo binã.nio

.

Tømo6

doL¿ øLipt6idøt de ma.^ta" edøtiva dø cíeLotnon pa.Áa Y

x

-

-6-H ll ao cil o l¡ t¡¿l ri ¡

Cam,¡to magni.tLco na. dinøção do øixo bí,s¿øtnLz. T¿mo,s um ø,típd6¡dø de ma.¿'sa. ø(øtíva de

cícLotnon

,¡tøta"do

e. doí¿ elLyt,s6íde.,s dø ma..s¿a. ø(øtiva" dø _cícX-otnon X.svø.

H Il ao ci¡o trigo,ral Y

X

FIGURA 5

Y

,(

Ca,mpo magnd-tico na díttøçã-o do øixo tnigona.Î. 0¿ tr,.î.¿

øLipd6idet poóôuQ.m ma-^ôa" e(et.iva dø cícLotnon

p¿^0"-ti

¿

?

^t\

Y

FIGURA 7 Tone dø ßniI-Louin do b.i,smuto

in¿etita

no ttctmboedno,

ø LQ-u^ eixo,s, cní¿LaLognî.6ieo,s L)LLgonaL, binã"tio ø

bi's,s ølniz .

b) Retumo dot mod¿Lo¿ uø e-tLo"n o modzlo V.P.D (8)

O nodelo que nõs usamos para analisar nossas dados ob

tidos

de um experinento do

tipo

de Haas-van

Alphen,

ro

qual oÞ

servamos as oscilações do nÍve1 de Fermi,

foi

desenvolvido por Vecchi, Pereira e Dress"th".r, (8)

.

Faremos a seguir um breve

re-sumo de alguns modelos que serviram como base para o seu desen-volvimento.

Mod¿I-o S. B. R (2t

/<

a-3,

obti-ö

dos de um experimento do

tipo

Shubnikov-de Haas, basearam-se

no

41

moclelo não parabólico para as

faixas

dos

e16trons,

incluindo a

possibilidade de desdobramento

(splitting) ,

dos

níveis

de

ener-gia para os el6trons e buracos devido a diferentes spi-ns.

O nodelo consiste de um conjunto de

três

elipsóides para os

elétrons,

e um elipsóide para os buracos

.

Para

os

e1é-trons a energia na ausência de campo nagn6tico

ê

dada por:

E ->1) e0 -+p

2m

E(1 + ₎ r-2

r-3

ao

I SaO

tens or o

aqui E- é a _'g energia do "gap" entre duas faixas, Ë é o momen

to îa ausência de campo nagnético e ?-1 = jñ'* , 6 o tensor

de massa efetiva en unidade de massa de el6tron 1ivre.

Para os buracos a energia'na ausência de campo magn6

tico 6 dada por _\

2

? P

+

1 tPr

.2

P ) ₃2 E

E

o _M +

1 M

o

onde E^ ê a energia do topo da faixa dos buracos relativa

o

2m

fundo da faixa dos el6trons conforme figura 8, onde L e pontos da Zona de Brillouin (2.8.). E o correspondente do inverso da massa efetiva á dado por

3

1

+-+

Mt

0

0

0 0

0

0

d,,

-9-[

1^"r' )

btt**- _úf'þ*'

'r^l

1

¡.1 ÃtL õrl

tti r! I

7

FIGURA 8

-Ëo

Etquømo- dQ. _{aLxa.t ,LacoÁ lpo nto I )

EF

h. I _''-') f

a¿l l¡L Itf

pa"rLa" o ^

na. z.B.

¿L-etno n,s lpo

nto

L

I

ø bu

A quantidade de portadores em cada elipsóide é deter

ninada pela energia do

nÍvel

de

Ferrni

(Ep)

_,

e 6 proporcional ao volume desse

elipsóide.

A energia de Fermi é achada quando onú mero de buracos

for

igual

ao número de e16trons.

Na presença de um campo rnagn6tico na

direção z

os

auto

estados de el6trons são rotulados pelos números quânticos

n, PZ e

s =

t

1

E

E(1 +

E )

(n.

$l

ìleH* g ßoH I-5

h

h *

mz .em

onde:

g m_{c c}

*

?,

h

6

o vetor unitário na direção do campo magn6tico.

det _^*

rl2 -IU-r-7 I-8 r-9 I-10 r-11 T.I2 * 2 4n ( o r/2

m_c ( _{* )}

^z

h +-)m h

2

g _{_} S_{+--> )}

det m

s

m

o

nassa do spin.

é a massa do

el6tron

livre

e 6

o

tensor de

0 núnero de estados com energias nenores

que

Ef

ra

os

três

elips6ides de el6trons é dado por

3/2 _L/2 + m S pa N9 ]- (Ep)

z eH *

F

(

Er(1+

I

) ,t/t

E E(n,s)

2

h c n

onde

Nb (EF)

,s E_F E(n,s) (n 2 + 312_eH

)

(mz)u2

I

(E o h c * E F ) 1 )

e para o elips6ide de buraco 6 dado por:

Er)

( E(n,s)

ll ,s

A sonat6ria z

I¡

quais o radicando 6 posítivo. A neutralidade de carga exige que

Ne (Er) N (Ep) I- 13

1 b

ea

solução dessa equação nos AS oscilações do níve1 de

Fer-ni.

3

I

i=1

dã

les

çao

e

vo

0 modelo S.B.R. apresenta 6 a introdução da massa efetiva teórica, e o outro refere-se ao

1-t = _t, o qual envolve uma raLz para altos campos magnáticos.

dois inconvenientes. U¡n de de spin se,m uma j us ti f i

ca-último nível de Landau n=0

quadrada de número

negati-I'lodøLo do WoLÁó (31

P.A. lVolf f construiu seu modelo partindo do modelo d e duas faixas desenvolvido por cohen e gtount(4). E1e utiliza um

'conjunto de quatro faixas degeneradas duas a duas devido a

pre-sença do spin. As faixas têm seus extremos num ponto kol0 na

2.8.. As equações resultantes são si-nilares a da teoria de

Di-lsl

ract"', e os elenentos de natriz que são negligencì-ados no mode 1o de duas faixas, quando tratados relativisticamente desempe-nham un papel importante em sólidos.

As funções de onda para un el6tron em k perto de ko na 2.8., são escritos en termos de quatro funções peri6dicas pa

ta o fundo da faixa

(i) u

(k,r)

4

I

i=1

(tr ti)

].

onde u sao funções do fundo da faixa.

-

LZ-A substituição dessas funções na equaçãode

Schrodin-ger resulta em quatro equações acopladas para os coeficientes de

expansão _,f' (3). No Haniltoniano resultante aparecem termos que poden ser identificados na teoria cle oit".(5).

O Haniltoniano de lVolff não considera o efeito de ou tras faixas fora do lnodelo de duas faixas degeneradas e podemos

escrevê-1o da seguinte forma

<--)

e 1

e 1

+->

K.o

'G

-t -'

ifl

K.o

Hw r-15

r- 16

<-->

-1

onde

(ks)

o

são as matrízes de spin de Pauli

Ì

6 um operador que

satisfaz

a

reláção

R

t i

=

iß"tta

iS

ê o

vetor

unitário

na direção do canpo magnético

apli

cado

é un parâmetro ß*

A função de onda encontrada por lVolff que satis faz a equação secular

Hwv

(6)

Er!

vem da função de onda de quatro componentes, onde duas se refe-rem a faixa de condução e duas a faixa de valência, e são respec

tiar"^"rrt"(6)

+

I

u" ,, (ks) *e

l%-Ju,,

¿(s)0_{n 3}

-ir

rp

Itrs

E_{Ilrs (k}

S) *e

(k

Z'(s)0n(ks)

-ír

_4'(s)0n(k3)

L/2

ur,r(kt)+e

un,s (kJ) _0",r(kt)+e

2En,, (ks)

Z(s)0n(ks)

Eil*

ES SAS funções de onda são definidas mais detalhadamente na seção

ModøX-o dø BanaÁÁ (7 I

0 nodelo desenùolvido por G.A. Baraff

tem

muita coi-sa em comum con o rnodelo de

wotff(3),

as diferenças

básicas

são

que Baraff considera outras faixas

fora

do modelo de duas faixas

degeneradas, atuando neste como uma perturbação, e

outro

ponto

que'é rnuito inportante refere-se aos

níveis n=0 e s=-1

das

faixas

de va1ôncia e condução. Esses

níveis

podem

se

aproximar e depois se repelirem mutuamente, ou podern somente se

repelir

de pendendo da direção do campo rnagn6tico.

Ét¡.r?¡

r-18

o'

H

-c

o-Nívei¿ de enengía"

_!=0

patLa cL^ _da-ixa.t de. va!-encía ø eondução em _[unção do campo mctgnî.tLco ,

0

¿

6

-¿

FTGURA 9

Na presença de um campo magn6tico, o

Baraff não pode ser diagonalizado exatamente, e

gias de.Landau para perturbação em primeira ordem

v6s de

-

L4-FIamíltoniano de

os níveis de enel

são achados atTa

r-19

nn 6oHamiltoniano

de

HB Hw + H_p

onde HW ê o Hamiltoniano de lVolff e

pertu::bação, gu€ _é dada por

e

B ->

K c -'K -+ -+_o

-) o

ft*Tv

0

+Lc +0

H_p bz0

.e

_R.w

onde

ttt'v u

T

t't

dôscrevem essencialmente

_{a interação}

en-tre

as faixas de

fora

do nodelo de duas faixas degenerado com as faixas deste,

e t

são as _{matrizes de spin de} pauli.

A função de onda que _{resorve a equação}

_secular,

_são

as mesmas que

l{olff

usou em seu modelo.

Mas o nodelo de Baraff em sua forma

original,

é

difí

ci1

de ser

utiLizado,

devido a quantidade de parâmetros que pos

sui.

Mesmo quando

k=0

a

expressão _{para a energia torna-se} mui

to

conplicada. o nodelo v.p.DJ8) que nós

utilizamos, e

que pas-saremos a descrever em seguida, resultou de

sinplificações

in-troduzj-das no nodelo de Earaf.f. fundarnentadas em dados experimen

tais,

c)

ModeLo V.P.D

lsl

muto pode se-r aproxirnada a duas faixas acopladas no ponto 7.,8.. 0 modelo de du¿rs faixas vem da teoria de perturbação com relação de dispersão dada por

E+

ilr

+

2

1..ã'.

È

L/z + 2E _o11

õ

-

15-L ð,A

) T-2I

r-22

(-)

e conduçáo

+_{0 por argumentos}

r-23 +->_K.p

z

E

1

-r

(

-+ onde cr,

efetiva

g

2<c

n

6 um tensor adimensionado e nos dá

o

inverso da massa

lpi

v>

<vlpjlc>

0._{1l rJ}

onde

v e c

referem-se as faixas de va1ência

(*),

as quais são separadas pela energia

Er.

E

de s imetria

(9)

assurne a seguinte f orma

(** )-1

m

E o_ò

01100

ê

0 0

ozz

ozs

0

o¿-5 d"--JJ

1, 2 e 3

referem-se as direções

binárias,

bissetriz

e

trigo-na1 dos eixos

cristalogrâficos

respectivamente.

As massas

efetivas

de

cíclotron

dos outros

dois

elip

sóides

ã'

(1200) são obtidos fazenáo uma rotação de

I20o

e 2400 entorno do eixo trigonal

0 nodelo de duas faixas consiste de un par de nÍveis duplamente degeneraclos

,

tendo suas extremidades num ponto ko

/

0 na Z.B. .

-

lv-\_ì

rr

rt¡

E1

l-* :

_,*-L4

EF

l, ( *.-' ₎

o

to

f

FIGURA 1 O tÅodeLo dø duat $aixa.a

Vanos chanar o haniltoniano desse sistena

de

H

(isto

é o hamiltoniano de

Wolff)

que

6

dado por:

Ê ëI

o

(6)

r-24

i'ãK

_nn

T' H

o

-iG*n

+o_n -E 1

onde

e =

E_o

+

, on

são as

três natrizes

de Pauli

para

spin

e nós fazenos uma sonatória sobre as

três

componentes

2

+>

f

_{e a matriz}

unitária

(2 _x

dos por(6)

2).

As componentes

de

K'

lf

_+-

e

2 4Lc

ft

1

sao

n,

da

Kt

(kr

xz H ₎ k₁

/ñF

c

q

ã

(kz-#*rH)

k

-11

tr

r7

-r-25b

I-25c

T-26

T-27

I-28

Kz

K¡ k

c

2

11

/-"ilH 3

Num campo rnagnático

ft

sati sfaz a seguinte relação

onde

.+

K

iß

ß _*

m_c

é a massa

efetiva

de

cfclotron

dada por

det 'n *

t/z

* ) ms/2

-)

H *

-l' K X

le lft *

c

* *c

(

tc

tH

*

tH á a nassa

efetiva

na direção do campo rnagnático

ê* _r-29

e o versor na direção do campo nagn6tico

6

a nassa do e1ótron

livre.

O haniltoniano da

eq.

I-24 pode ser resolvido

exata-mente quando na presença de um campo magnático externo.

nfi ( h m tr ₎ m

h

t

i

:

I

¡ ¡_I

,

¡

i

A solução da equação secul

ar

para a

função

envelope

s era

rl,+ (k , (kr)

+e

DrS 3 _Zun

,s (ks )

para a

faixa

de condução

L'(t)

or, (ks)

H _{, Eu

z(s)

0

I- 30

o

onde a função

q/

6 conposta de quatro component", (8)

(k n 3) )

-iG

tt,, (kt) +e

íG

ur _,, (kt) +e

Z(s)

0n (ks)

I:31a

¿'(r)

or, (ks)

I-3lb

a função de

onda

do

I-32a ,, ,, (k5) *t

r¡_rlrs (k₃₎

ZEn,s (ks)

para a

faixa

de _{valência, onde On(k3)} é oscilador harnônico

e ¿(s)

são spinores

t(

₂ )

)

t:l

1

[:] 1

2

2

L,(

1

2

onde 11= 0, 1, 2 , 3

lfk

₅

2ß*

*

zgH

Ák ₃

*

+ZeBH

I

n+--s

2

r/2 +eK 2

3

1

Ð-2

7

_ntH 1

. _{,(-' ( ) I-32c}

r-32d

r-33

I-54

a H

+

a

r _J¡1 H

aqui a

6 operador de destruição

_{e ^*}

ê o operador de criaçâo.

0

auto

valor resultante

_\ 6 dado por

nf,,,

{rr)

=

t

_t:

(n* z -s)

1

e

o campo nagnético exteino está na

direção

S, os

sinais (*)

e

(-)

referem-se as

faixas

de condução e valência respectivamente,

e

a energla

cinótica

ao longo da direção do campo nagn6tico 6 dada por um termo envolvendo KS.

Vanos introduzir um novo número

quântico

j

dado por

j

e reescrever a equaçao

I-33

da seguinte forma

(Ks)

t j

-zu-O modelo acima considera um pequeno número

de

esta-dos, pontos de

alta

simetria, acoplados entre

si.

Vamos denomi¡ar

esse conjunto de quase degenerado (CQD).

garaff(7) _{modificou o} modelo de duas faixas de worfl3) inc.luindo

o

efeito

de outras

faixas fora

do conjunto CQD como

una perturbação no CQD. O haniltoniano de

Baraff

é dado por

Hn

m

H_p

cïr

+

û

.

_ï'r

.'Ê

+þ CrV

3

+ H

o r-36

r-38

I-39

onde

+

ó' (K

r-37

é o haniltoniano de perturbação do

sistema,

tt

ê

a

mattiz nula ,(2

x 2),

a sornat6ria 6

feita

sobre.as

três

componentes

n.

8t't'(U)

e un tensor adinensional que independe

de

H.

-> ë^ -- ->

K. Dt'u. K C'V 6

2 4 _k

(i.$c.ÌlT

_C

_{Lr o'}

<+ <+

0

ftl

_'nn

î+lv

É* 3

=l

n=1 p

H

ë Bv

->

ïr)

1

2

n;

c

3 b

b

*

mas

V

c

3

det

tc'v

o;

''

V

-zL-+

0

termo

LCrV ven da interação com as

faixas

fo

ra

do nodelo de duas faixas

->

s

o

tCtV

-lJ ß* T- 4L

que depende linearmente

de

H,

aqui

Tt'u

são vetores adimensio

naIs.

H

lc'v

A solução de CQD em

fr^

será dada

por

u

o

com ener

gia

EL, e o conjunto de

faixas

fora

(CFF) do CQD

será

dado

poruv

com

energia

Eu

A função de onda cornpleta

qtte

re-solve a equação secular será

j

È 0

I,p

CQD

(i,Ì)

e H H= Hk=k o ê dada por

¡i

,È1ua +

,pi

(î,fr)

_uu

+

_r

( _I

CFF

j

t

) r- 42

r- 43

r-- 44 I-4s onde J L u ++->

i (k-ko)

. r

CL

j

cÈl L

E

j

(k) ₎

+ H

Èllo

e j. se

refere

a

faixa

considerada.

J*

As auto funções Qtr

(r)

são soluções da equação

J

->

k

0 ( ) (

.>

r

ft H fr J È 0 .>

r

onde o e H Ê

6 o

haniltoniano

de um

el6tron

(Ho)

I

ll

_o

2 2

h (k-ko)

H + +_V ö

(k-k

_'o+J

+

X V V(i) +

o

) r- 46

r- 47

sera tro

r-48

r-49

ftlÊo 2m

e +

v

e

o

operador velocidade dado por

+

+p

m 2 (rnc ₎

2 fl

+

2

na presença de um campo rnagn6tico _{externo o operador} p

caclo nas equações acima por

e-)

-A

c

onde 6 o potencial vetor do _{campo magn6tico}

-> p -+

Îf

->

A

+

A +

V

-'

fl= X

'

Na

figura

abaixo vamos esquematizar os

nÍveis

de

ener-gia nagnétj.ca para o modelo de duas

faixas,

_{e o modelo nodificado} - _{de duas f ai.xas.}

No nodelo de duas

faixas

todas exceto a primeira fai:ca são duplamente degeneradas. Vanos

divídir

os

nÍveis

de Landau em

dois

conjuntos

j=0 e jl0,

devido as características diferentes

que arnbos os conjuntos apresentam quando _{subnetidos a um campomag}

n, AA.ê^

l^',-,

(ø

lX)

( ¿')

H, ar^^

fu MW

(wt+)

g

I=¿

)'l

( ¿)

? ₊

+

o41

þ",",4

.1

3

E_F

(t )

1=o _t

+

E=o

+

(r,

1--o

7't

l=z

{*;*a

,"ol;*,'¿'

I

a

(¿ _I +

+ c

9

(a ₎

to

aquL 0 níLme.tLo e.nttLø pa"Lô.nt¿Áe.^ no^ dã. a degøn¿tLeÁcã-ncia do vi,v¿L

FIGURA 11

-

E^qu¿ma. do¿ nív¿L¿ de. ønøngLa ma.gn6.tLca. pa,,La o

mo-døI-o dø duat (a,íxa",s e o modøLo de dua¿ _da-ixat modL

{ícado po,L Ba.rLaó6.

al Cont¿eão no^ nívøí¿ de La"nda,u

jl|

No nodelo de duas faixas

degenerados,

isto

é

(n,

_ll

e

ma energia conforme

Fig.

11.

todos os

níveis if\

são 1,

(n-r r - |l

tên a

Devido

a

introdução do

haniltoniano

de

perturbação

H-,

_p' vamos fazer uso da

teoria

de perturbação ern primeira ordem,

pata

calcular as

separação dos

níveis

de energia para cada spin

produzida

por

Hp. em cada

níve1 jlO

nas

fai*as

de condução e

valência. A

matriz

(2 x

2) para tn

ê dada por

<i,

₊

_Inpl

i,

+

,

<i, -

₊

_l"pl

J

<j,

+

_lnpl

j,-+,

.i,-+lHplj,*,

ß*

<i,

₊

_lHelj

_,

_*,'

=

j

r-50

0s elementos da mattiz acima para a

faixa de

condu-\

t

T

I

çao sao

J

E. +e l

+

2bÏ

_i

cuï

.

tÏ)

I-51a

t;,]

+

(bÏ

j

[,';

H +

Eì

-'

ß* H zbV₁ J

ZE

,j,-+

_lH¡

j,-*r.

*

ßH (b

ï-r:)

+

2E

+E

)

_rT)

l

(bI .

J

[,'r

H

* ß

E

ZE

j

+

2e (E

r-e) r/2

+

lHplj,

-

*,'

=

t rr-î^

,11 _k

<j,

_E. ( 3 ₎

)+e

e pata a faixa de valência

* ßH

__

(bi

.

rä)

J

*

ß

lroï

i

-

(bï

.

r'rt

]

<j,

₊

_Irpl

i,

_ir"

[zui

i .

(bï

+

rä)

]

*

I-51c

+

T-52a

+

r-52b H

ß

H

<i,

-+

_Irpl

i,-*,"

= ß* H

H

lroï

i-

cul

.rå)J

lrrî

i

+ (b;

+ r:)J

*

L/2

<i,

₊

_Inpl

i,

_-

_i,"

=

*

H

+

(bï Lc₎

3

ß

E

J

nas equações acima

foi

usada uma forma simplificada para a ener

-26-I-53

I-54a

I.s4b

(1 ₀₎

con-gLa

E

çoe s

lui,r(kj)

I

c

E5,r(kg)

lur,,, (k3) I

lEi-r,-s

(kj)

I lu"-t,-s (ks) I

j

0s elementos de matriz

fora

da diagonal

não

acoplan

dois

_{níveis ifo}

em

k¡i0',

então vamos considerar

a

teoria

de

perturbação para os valores

de ks

perto do zero.

vamos_escre-ver

as energias para os nÍveis de Landau

jf},

usando

teoria

de

perturbação em prirneira ordem como

c

tj

+

.j

_rs

_l"pl

_i,s>

( ₎

,s 3

Dá sinplicidade do espectro de magneto-reflexão

obòervado, para transição êntre os

níveis

de Landau

jf}

cluiu-se que

E k

Ev

j

j

+

<j,S

lnpl

j,s>v

b

_I

c bV

_I

-¿v

3

Lc

5

r-55

I-56

Essas sinplificações perrnite-nos, _escre\rer as

equa-I-51 e I-52

da seguinte fotro" (6)

e

(_)2b

E.

J

ß

<j,s Itpl

j,S>

1 *

L/2 _*

tt

* GßH

-27

-T-57b

I-57c

r-57 d

r-58

r-60

<j,s

Heli,-s)e

<j,s

Hplj ,-s)v

2e (8,-e)

ñk

GB H

E

) Zbt

ß*j

H + 2sGß H 3

E.+e

J

j

<j,slHplj,s)v

( e

L/2

2e (E,-e) ã.k ₃

E. +e

J EJ

onde

G (bi +L c

3)

(bÏ

+

ti)

H

b bv I-s9

1

O parârnetro

ß*

que aparece nas equações acima não

6

aquele do nodelo de duas

faixas, pois

o mesmo tamb6m

foi

nodi

ficado,

devido a perturbação en primeira ordem dos

níveis

fora do modelo de duas

faixas

(NIrF) .

Partindo das equações

I-54 e I-57,

podemos

escre-ver

as

energias para os

níveis

_ilO c

I b1=

[" + +

E:

J ,s (ks)

-

zslG ß*l

Na equação

I-60

temos uma correção na parte de spin,

caracterizado pelo parâmetro de separação de

spin

G,

que 6

o nesmo para todos os

níveis

de Landau,

e

é determinado experimen

talmente, e depende da orientação do campo magn6tico externo cont

-28-b

I

Nív øí¿ d¿ La"ndau i = 0

0s

níveis

de Landau

j=0

nas faixas de

valência

e

condução são tratados com um caso especíal

_,

uma vez qve esses são

os únicos não degenerados no nodelo de duas

faixas.

Os níveis

j=0

da fatxa de va1ência

e

faixa de condução são separados por

um certo _"gap" de energia, quando

o

campo magn6tico 6 nulo

.

lr{as a d.istância entre esses

níveis

diminui com

o

aumento do canponag nático at6 um

valor

mínino, quando a distância entre

esses

ní-veis

volta

a aumentar.

Como a aproximação é ¿e primeira orden, vamos

tratar

os dois nÍveis j

=0

cono quase-degenerados

,

e

resolver a

iììa-tríz 2x2

ð.adapor

<o,c

_lnpl

o ,c> <o,c

lnpl

o,v)

I-61 <o,v

_Itpl

o,c) <o,v

_lnpl

o _,v>

os dois níveis j=0 têm r =

₊

para as faixas

valência. Calculado os elementos de

matrizrc)

os da matriz acima podem

ser

escritos como

+

lcß"¡

H

o

de condução e

auto valores

lcg-lH

E o

ñk

E

ico.lH

1 ä ks

q'

,TE

E+

_o Ê

3

o

Eo

-il

lce.l

1 H E

r-62

onde

H t=<L

E=

_o r- 63

r-64

vamos aumentar a ordem da perturbação na equação aci

r[â,

isto

porque outros

níveis

exercem sobïe oS níveis j=0 uma

perturb ação.

Isto foi

proposto

por

gataff.(7)

,

que usou nos

ter-mos fora da diagonal em kS=O, originando nos elementos

de

ma-triz entre j=0 e jlo

perturbação de segunda ordem'

Os elementos da

natriz

de perturbação

nn

entre j=0

e oS outros

níveis

de Landau são

nulos,

com exceção

dos

níveis

j=L

nas faixas de valência e condução. Mas a

perturbação

tn acopla os

níveis j=t

com

j=2,

assim n6s teremos

correção

de

segunda ordem nos termos da diagonal da

mattíz

6

x

6

Matenaticamente a

matriz

6

x 6

pode ser

escrita

da

seguinte forma

LL

lurlz't *

orr,ì

<plHolz> .zlHnlut

E E

u

L

orrde

L e L'

correspondem aos ni-veis j=0 e j=l e variam

de 1 a 6, U inclui

todos os

nÍveis

fora

do subconjunto j=0

e j=1

da

fig.

11

, U

varia

de 7

a

10

e nã.r acopla

os

ní-veis

1

e 2,

porque o acoplamento dos

nÍveis

1 e 2

são

tratados

somente no CQD. As auto funções de equação

I-64

são dadas pela

equação I.31.

Os

níveis j=0

não são acoplaclos em kS=0,

isto

por

que as

faixas

de valência e condução ten paridades

opostas

em

kr=0,

e

a perturbação devido a um campo magn6tico aplicado, não

-30-co nas faixas de valência e condução, por meio de

faixas

fora clo

nodelo de duas

faixas.

Assim os dois

níveis j=0

não serão aco plados em nenhurna ordem de perturbação.

'

_{Mas resultados experinentais}

(8)

_{indican que}

_de

_fato

existe um pequeno acoplamento entre os

nÍveis j=0 en

kS = Q.

Assinr

foi "rrr*ido(8),

que

o

acoplamento

interfaixa

para os

nÍ-veis j=0

em

kJ=0,

seria

proporcional ao campo magn6tico ap1! cado

e

independente

de k3.

Então

H I

Htt

+

ß*

+p H r-65

H.,)

/¿ t¿

r-66 I

onde P nente) ,

em kS=

Para se chegar a uma forma a qual possamos

ttatar

æta

liticamente

a

equação

I-64,

vamos

construir

uma

matriz

2

x

2 que será uma aproximação dessa

matriz 6 x 6

(6)

2

é um parâmetro adimensional (determinado

experimental-e representa o acoplanento entre os dois níveis j = 0 0.

z

lHr

o

H H

u H

1_{u u u 1}

H

vl

I1

+

I

ü

,r'fr,?.

1

1

2 (Eo-Eu) (Eo-Eu' ₎

e

ttu

Huz _{H- H '}

ru uu

FI _u¿r^ _*

i

vtl,2

+ 2 I

z ri2L

) )

H

1 H _Eo-E

u

+ I

U, U'l 1 ,2 (-E_u (-E_u

Mantendo somente os prirneiros termos da correção

terceira

ordem,

e

levando em conta que nun campo magn6tico

E., >>

IO

1

E+E )

o 1

I

E+E_{o 1}

H*_2T

em

I-68

r-69

r-7 0

Hrr .

₊

_lrrl'

(s*H)z ( 1

ffrr

= _{E E} + +

o

I

2

.L

I

8 L (ß*H¡

2 2,

2rt

k₃

e

1

)

( + +

E mfi o E1

2-3

2

L,

bl(ß-H)

=-

ll

2 E1 2 o z2 E e

Hlz =H

+i

L2

o

z 5

Itrl

b1 (ß*H¡

äk

z

J

ZE

1

onde

c v v

L L

1 -L1 +iL ¿

podernos s irnplif

icar

as equações acina

,re

_t^H

It.lz

E

ca*lH- 'J-' C*l

_Ze

ir;

J-c 3/2

ßnH

I

t-l'

br (g 2

H₁₁ E

e

*_H)

e

E

e 6

k

r-7 3

r-7 4

3

_lco.lH

+

_pß*

H

i

EJ + H 2 1 2 lL.,.l _I ^ *

t_ H_t2 r-7 2

2e

Resolvendo o problema de autovalores para

os

niveis

j=0,

da rnatriz aproximada 2

x 2

obtemos k-_J

(ß*H)2

b

z 2 r/2

(ks)

= + I Hrrl + lH

tzl

j =o

2"

+

j=o (ks) = +

[('"

+lco.lH

Itrl

( E

)s

3/2

e 2 H * o 2

¡11¡2u, [ß*H) 2

)' + e 2 2 ñ k 3 ttH (P L/2 + ) + * .2 bl

(ß.n')

(+

lco.¡H I r_,-¡

2u,

(ß *H) 2

ß*H) 2

2e

e

no caso

particular

quando kS=0 temos

t

lco.lH l,

tl'

+ +

E_j=o(ks=o _{) =}

e-2

f.azendo

(pg.s) 2 _]

-JJ-r-7 6

I-7 5a

temos

(

[= e lco.lu l,

tl'

I

trl'

2

ß"H b1 (ß * n)2

2 e

L/2 +

E_j

=o (k=o)

1{n

+

A dependência

de E1-^

_.

com o campo rnagn6tico á nos

J =U

trada na

figura

12, mostrando tamb6m que

a

in-trodução

do

termo de acoplamento Pß*H

6

importante, e determina a energia

míni-na de separação entre os dois

níveis j=0 en

kS=O

0s

níveis j=0

se aproximam para baixos campos

nag-néticos,

devido a predominância do termo

A

até que o mesmo

t"

\\

anule para um deterninado campo magnático,

e

a distância nínina

entre os

nÍveis j=0

será

igual

ao

valor

do

terrno

Pg*H. Com o

aumento do campo nagn6tico o

termo

A volta

a

ser predorninante,

e a distância entre os

nÍveis j=0

começa a aumentar novarnente. -\-_I

t

?. Ji

o q¡\

{a,ì¡.^ d.c

rnJu _7L

o

lr{ 6

H (rq)

l¡ìt ^ le (a là ¿ì'

Va.niaçã.0 da- ønengLa ¿m (unção do campo magnî.tieo'pa-,Lo- oÁ

nívei¿ i=0

em Þ3=0

0 pattãmetno

P

A døtettmínado expe,Limentalmenl.e ø depende da" otientaçãn do cqmpo magní.tieo.

FIGUR/. 1 2

-54-CAPTTULO TI

TÉ.CN i CAS EXPERTMENT AT S

a.l Pttøyta"za"ção da ano,st¡ta

O monocristal de bisnuto usado em nosso experimento,

foi

fornecido _{pela "Metal} Research

Ltd.",

o mesmo

foi

crescido

na direção do eixo

trigonal

com um desvio

de

tu zo

,

e

apresenta

uma pureza

de

99 .9999%

.

Tendo a f orma

cilfnd.rica

com

lg

run de

diânetro

e

14 mm de altura.

una de suas faces

foi

polida mecanicanente com

pas-ta

de dianante, e

polido

quirnicamente com um "etching" composto por uma parte de ácido

nítrico

e

tr.ês partes

de

_{água. com o po} limento necânico removemos da face do monosristal as asperezas

deixando a mesma bastante

regular.

E usando _o polimento quÍmico

retiramos as impurezas deixadas pelo polinento rnecânico, fican-do na superfÍcie somente monocristal de bismuto.

A necessidade do procedimento _acima,

_visa

_o passo se

guinte na preparação da amostra que

6

_{a orientação do}

_cristal

Por meio de

raio-x

e fazendo uso da técnica de

Laue,

determina

mos no laboratório _{de microscopia do IFUSp, as direções dos}

ei-xos

cristalográficos

_binário

e bisse

tríz

e a confirnação do

ei-xo

trigonal,

conforme

figura

3.

Feita as orientações do monocristal de

bismuto,

nos so

objetivo

era preparia:" com essa amostra, un dispositivo _çefun cionasse como um capacitor. Para tanto colamos, usando graxa de

fazendo uso cie pincel _, uma camada de prata coloidal da Micro Cir cuits Compãny, a qual foi desenvolvida em acetona antes de ser apli cada. A prata coloidal adere fortemente a superfície da mi-ca constitu j.ndo a outra placa do nosso capacitor.

A necessidade de se usar a prata coloidal como outra

placa, deve-se ao fato euê , sendo a mesma policristalina não da râ, contribuição as oscilações do nÍvel de Ferni. Isto porquesen

do policristalina a m6dia desses efeitos 6 nula nesse rnaterial. O conjunto acima descrito formará o capacitor queu.sa remos para nedir as oscila.ções do níve1 de Fermi, rIâ figura 13

esquemati-zanos o capacitor.

i¿-L r¡lo

rr*t'

U'.^- a¿

ti LÍ,¡¡c

FTGURA 1 3 Etc¿uøma, do eapacíton u¿ado no Q.xpe.,Límento

Realizamos testes com

o

capacitor

temperatura uma capacitância de tu 280 pF

amostra, e nedimos

e pressão ambiente.

a

b

)

¡,|î.to do d¿ l,lødida

As oscilações do nível de Ferni no monocristal de bi:

muto, serão fornecida-s pela diferença de potencial entre mono-cristal, que constitui uma das faces do capacitor e a camada de

-JU-A necessidade cle se obter um tempo razoavelmente lon

go,

para o escoarnento das cargas do monocristal de bismuto

pa-ra

o

policristal,

nos obriga a colocar entre essas placas um ma

terial dielátrico

de reduzida espessura. Esse conjunto

foi

des-crito

na

parte a

deste capítulo. A camada de

prata

ccloidal

sendo

policristalina,

não contribuirã. para as oscilações do

ní-vel

de

Ferni,

portanto todo

efeito

observado será devido ao

mo-nocristal

de bisnuto.

O capacitor por nós construÍd.o será ligado

en

s6rie

com um

eletrômetro

Keithley modelo 602. A

resistência

interna

do eletrômetro 6 muito

aLta

tu L}LZ ohm,

e a capacitância de

en

trada deste é

de

20

pF.

As capacitâncias parasitas do

circui-to (fios

de ligação, bastão do porta amostra, capacitância de cn

trada do eletrômetro) estão ligados en

s6rie

com o nosso capaci

tor

amostra conforme

figura

14.

c?

FTGURA 1 4 Et quøma do cLttcuito

C capacitor amostra

representa a tensão devido a variação do poten

cial

de contato.

capacitância parasita do sistena

E

R c

Y

v.

resistência interna do eletrômetro

eletrômetro

A diferença de potencial entre as placas

do

capaci-tor

6 dada pela oscilação do

nÍvel

de Fermi. A passagem dos

nÍ-veis

de Landau pelo

nível

de Fermi, será caracteri zada pelo des

vio

do ponteiro do eletrômetro (que no

inÍcio

do experimento es

tará

no

zero).

Esse _{desvio ó} devido a descarga do

capacitor

na resistência do

eletrônetro.

O capacitor se descarregarâ. emumcer

to

intervalo

de tenpo

r

_euê á uma característica do

circuíto

_e

é dado

por

R(C+Cn) (rempo de relaxação do sistena).

0

eletrômetro que usaremos em nosso experimento

pos-sue una _{resistência interna} d.a or,lem

de

tu L}LZ ohm,

a

capacitÐ

cia

do nosso capacitor mais a capacitância parasita

do

sistema

) á da ordem de ^,360 pF, a _{constante de tempo d.o circui}

R(c+cp) será da ordem de tu _{360 segundos, eue 6 o tempo dir}

ponível para que possamos

varrer

o campo rnagn6tico aplicado de 0

a

20 KG.

'

_{Dentro desse}

_intervalo

_{de tempo em que ocorrerá a des}

carga do capacitor, o

nÍvel

de Fermi

oscilará

e o campo magnóti

co

variará

linearrnente com o tenpo

de 0 a

z0 Kg. para obser-varmos as oscilações do

nÍvel

de Ferrni, a constante de tempo do

circuíto n(c+cn)

terá

que ser maior, que o tempo gasto par:a w.r rermos o campo nagn6tico de 0

at6

Z0 KG.

Pode-se notar pera exposição acima que a capacitância deve

ser alta,

para que possamos obter bons

resultados. rsto

6

possÍvel se a espessura do

dielétrico for

_{bastante reduzida,} pois

a

área A

6 uma

caracterlstica

intrinseca _{da nossa}

_amostra,

_e não pode ser muito

naior

que

1 cm2.

A capacitância 6 dada por

R

E

(c*

to

C_p

A

_E

e

o

k

m Kg

A n, _t0-4

_{m2 e}

_k .ì,

_6,

_deverenos

_ter

_{d "r, 10-5}

_n

_pa

Ta que possanos

ter

um capacitor com tu 600 pF.

Tal

capacitância não

6

conseguida, uma vez que a camada de graxa d.e

silicone,

usa

da para

fixar

a

folha

de mica no bismuto, aumenta a distância eL

tre

as placas d.o nosso _{capacitor diminuindo, portanto}

_a

capaci-tânc ia.

Resolvendo

o

circuito

da

figura

14, temos que a rela

ção entre o

sinal lido (vr)

e o

sinal

gerado na

interface

(v.)

será:

v*

onde

_{& éa.constantediel6tricada micae q}

ê adistânciaen

tre

as placas do c.apacitor, portanto

a

espessura do

dielftrico,

e ,o

ê a pernissivídade

el6trica

do vácuo. Sendo

,o

tu 1011

S2 2

z

II-2

1

/.+-jtt C

v,n ₁

I I-3

C

-r

-r

_c

1

onde

Z

ê a irnpedância equivalente da resistência do

eletrône-tro

e das capacitâncias _{parasitas do sistema, Z ê dada por}

(

₊

+ _¡r,rcn) -1 _{substituindo na equação}

_II-S

_temos

j

oRC

v*

_v.

aqul V V s (j¿ù.-9)

c

V_o ir¡

t

m

-59-II-5

T I-6

osc ila-o

c

vrn

As oscilações do potencial de contato para

_o

modelo

de elétrons

livres

são peri6dicas, mas o modelo que nós estamos

usando não 'e _{o de el6trons}

_livres,

_{portanto as oseil¿ções não são pe}

riódicas.

Assim a freqüência de

oscilação (+)

que nós vamos

usar é una aproxirnação.

Vanos considerar duas situações distintas

a)

quando R(C+C-) _.-'-pr.

_{o\ .. 1 '}

_{Zn '\ r} r

2t

nos dâ, o período das

U)

oscilações do nÍve1 de Ferni

\.

j

tlRC V

II.7

usando a equação

II-5

temos:

dVc

RC

II-8

dt

O eletrômetro indicará uma voltagem que á

diretamen-te

proporcional a derivada da diferença de potencial de contato

entre as placas do capacitor.

c

V=

_m

V=

_m

b)

quando n(C+Cn)

_{fi ,, 1 ; isto}

é o período das

ções 6 menor que

o

tempo de relaxação do sistena

C _{I I.9}

nesse caso a voltagem no eletrônetro 6 diretamente proporcio

nal

a diferença de potencial no capacitor amostra,

a

menos

-r

_p

V=

_m V_c

p

-40-A tensão nedida no

eletrômetro (V*),

6 proporcional

a

corrente que atravessa a resistência interna do mesno,

e

essa

tensão está defasada das oscilações do nÍve1 de Fermi (V.).

Es-sa defasagem acarreta uma certa atenuação na tensão medida (Vrn),

atenuação esta que é dada por(12)

-r/ 2

V 1

1+ 1

1

-r;

m

tgO ₌

3

1e

II-10

I I-11

TT-L2

(urR(C+Cn))z

mas

_*

(c+cp)

resultando portanto numa atenuação cornpletamente despre zível. Te

remos tanb6n uma defasagem entre a.s oscilações do

nível

de Fer

¡ni

(V.)

_,

e a tensão medida (\t*)

1

trr R (C+C )_p

I

e arc

tg

( I I-13

urR (C+Cn)

30 II-14

Assin sendo nós podernos usar a equação

II-9

como uma

boa aproxinação da ecluação

II-4.

)

c)

Ponta Ãmo¿tna

0 conjunto porta amostra (figura 15) é constituído por

duas partes,o bastão de

latão

e a caixa porta amostra.

A caixa porta amostra ó cornposta por um corpo de aral

dite

(A)

,

o qual possui um

orifÍcio

que acomoda a

amostra

(B)

no seu

interior.

As peças

(C) (D) e (E)

formam um conjunto que é responsáve1 pela pressão exercida no capacitor amostra, pa

ra

melhor contato entre as placas do mesmo, uma vez que

(D)

'e uma rnola de bronze fosforoso. As partes (E)

e

(F) atrav6s dos fios

de ligação (G) f.azen

o

contato da caixa porta amostra com o bas

tão de latão.

0 bastão de 1atão ten duas finalidades distintas,urìa

tlelas 6 a de sustentar a caixa porta amostTa,

e

a outra

6

f.azet

a

ligação entre

o

capacitor amostra

e s

êxterior

(eletrôrnetro).

0

tubo de

fatio

(H) 6 un dos pólos de

contato, e

o

outro pófo 6 un

fio

de manganina

(I) ,

que

fica

no

interior

do tg bo de

latão,

e

6

isolado deste por. uma bucha de

teflon

(J)

.

Te

mos na extrémidade superior do bastão de latão uma rolha de

te-fion (L)

(que

isola

os dois pólo.s)

_,

cujo centro á vazado

por

uin

pino de latão onde o

fio

de manganina

6

soldado. Na saÍda deste

bastão há um conector

tipo

BNC, que

liga

esses

pótot

(placas do

capacitor) aos intrumentos de nedida.

dl

Si¿tøma. CnLogõ.nico

0 sistema criogênico que nós usamos (na Figura 18),6

constituído por um dewar

netálico

que encerra na extrenidade in

ferior

urna bobina supercondutora. Nesse dewar

fica

o H6tio-4 1í

L

r

H

I

U G

J

A

B

D c

E

F

.[)af ir

para

de

ontracla dc ï,å

banho cle N

l¡¿rnho de II

paredes con vacuo

bobina

suìre l:con<lutor.r

o nr¿trìä;iii'tr()

J ¿t Y,oi'¡l-,;t /

Vcf CUO

¿¿4 I

2

e4

alimentação cla l-,r;l.l n¡r

-:rexaustclr

cxausto l:

L¡astão de

sunorte

vãlvula r'í:ìrõ. transferênci a

caixa porta amostra e arnostra

outro dewar menor, cuja

finalidade é

isolar

a amostra

do

banho

de

hétio

da bobina supercondutora, possibilitando

o

controle da

ternperatura. Exíste uma comunicação entre o espaço experimental

deste dewar e o banho da bobina, cuja

finalidade ã

transfsir

hé

lio

1íquido para o resfriamento da amostra. _Quando

a

experiência

está sendo realizada, está comunicação 6 nantida fechada.

A tenperatura pode ser variada bombeando-se no

espa-ço experimental,

isto

6 diminuindo a pressão do vapor de n6fio. 0

valor

da temperatura á obtido lendo-se a pressão do

vapor de

h6tio

sobre o

fr6tio

líquido,

êfl manômetros de mercúrio

(para

_o

intervalo

de temperatura

'4,2

a

2,3 I()

e

em manômetro

de ó1eo (para tenperaturas

entre 2,3 e

L,2 K)

a

qual

ê

con-vertida

em temperatura por meio da tabela _"The 1958 Hé Scale of ,L3)

Temperatrrt" tt \'

Para

controlar

a temperátura é necessário controlar a

'vazão _do

_h6tio

_gasoso,

_isto

_ê

_feito

_{manualmente controlando as}

vãlvulas de saída do

hétio

gasoso, e olhando num manômetro

dife-rencial.

Dessa forma consegue-se a estabilidade da temperatura.

Com esse sistema consegue-se uma variação na tempera

tura

entre

L,2 e

4,2

K, com

precisão de 0,01 K.

el

Ca"myto Ma,gn6.tieo

'+'+'

exper].men-para que pu

0 carnpo magnético que nós usamos em nosso

to,

tinha

que obedecer as seguintes características

déssemos observar as oscilações do

nÍvel

de Fermi:

a)

tinha

que ser

pelo níve1 de

penúttino nÍve1 de'Landau passa

alta,

Fermi

pols o

-.+J-b) tinha que Ser uniforme, uma Vez que a nossa amostla eTa

re-lativamente grancle, e se assin ;ão fosse nós poderlamos ter

en diferentes partes ð,a amostra diferentes campos

nagnéti-cos, acarretando ern diferentes concentraçõe's de portadores

de carga nas diferentes partes da amostra.

VA AS

a)

b)

campo rnagn6tico máxino

de

70 KG

homogeneidade no campo magnãtico superior

a

0,01% emulna es

fera

de 1 polegada de diâmetro.

A bobina supercondutora que

seguintes

característi.",

(15)

nos

utili

zamos apresenta

proporc

1o-atrav6s

da a mesma pas

ve r

ifi

car

na

deterni-O

valor

do campo rnagn6tico 6 diretamente

nal

a

corrente, e ê obtido observando-se a corrente bobina supercondutora, essa corrente 6 nedida quando sa por um

resistor de

0,01 ohm, podemos dessa forma

a voltagem nos terrninais desse

resistor.

A precisão

nação do campo rnagn6tico 6

de

10 Gauss.

d) Pant.ø EL¿Ltôniea

0

instrumento usado para

nedir

a diferença de

poten-cial

de contato entre as placas do capacitor,

foi

um eletr&netro

Keithl ey-602 da Keithley Instrurnents, que possui uma

alta

impe-dância de

entrada

1014 ohm e uma capacitância de entrada de 20 pF.

O eletrômetro estava ligado por meio de um cabo

coa-xial

ã

saÍda do bastão porta-amostra. A saída desse eletrômetro

estava acoplada ao Y de um registrador X-Y da VARIAN. 0 X

Packard

-

34808, que por sua vez estâ, ligadoaumresistor

_de

_0,01

ohm,

e

este à saída dos

terninais

da bobina supercond.utora.

Atrav6s do voltímetro

digital

_observarnos

_a

_varíação

do potencial na saída da bobina supercondutora. Essa variaçãode

potencial esta diretamente relacionada com a variação

do

campo

nagn6tico na bobina supercondutora.

A varredura do campo rnagn6tico não pode ser

nuito

rã-pida,

uma vez que

isto

acarretaria

em uma instabilidade na bobi

na supercondutora. Assim escolhemos uma velocidade d.e varredura

de

tu 1 minuto, e dentro desse perÍodo o campo rnagn6tico variava

de 0 a t20

KG.

fonte de

lfmcnt ição

l¡ohina

suf)er-conrlutora neriôncia

controle

rle

campo

reglstrado XY

eletromet

X

Y

-to-CAPTTULO ITT

/^IEDTOAS E AAJÃIÍSE

'OS RESULTAOil-S

ql

ReLato ¿obne

o

Pnogtama ConputaeíonaL

0 programa computacional que utiLizamos para descre

ver

as oscilações do

nível

de Fermi,

foi

desenvolvido por Jos6

Pereira Rezende no MIT(14). Nós implantamos o programa,

fize-mos algunas modificações no mesmo, e o usamos com o objetivode

ajustar

as curvas obtidas experimentalmente das oscilações do níve1 de Ferni para.um experinento do

tipo

de Haas-van Alphen.

No nosso trabalho o níve1 de Ferni é deterninado pe 1a igualdade do número de..portadores de carga,

isto

6

ni

p

onde

n;

nos dâ a concentração de el6trons de cada elipsóide

!,

localizad.os no ponto

L

da

2.8., e P

nos dá aconcentração

de buracos no ponto

I d" 2.8.,

conforme

figura

2.

As nedidas que nós realizamos com

o

campo magnético

na direção

binária

dos

eixot

cristalográficos

figura 4,

eviden

cian principalmente o cornportamento d.os el6trons de massa de

cl

clotron leve

(ternos dois elipsóides com massa

efetiva

de cíclc

tron

leve),

eu€ nos gráficos de 1

a

3 são evidenciados pelos pi

cos na energia Fermi. Variando o campo nagn6tico

entre 0

e

tu 15 KG nós observamos todos os

picos, isto 6

todos os níveis

de Landau com massas efetivas de

clclotron

leves

iá

passarampe

1o

nÍvel

de Fermi, con exceção do

níve1 j=0

no qual teremos todos os estados eletrônicos (desses elips6ides).

3

I

Lar o

campo

T-7 4

massa

por

No programa conputacional nós

utilizamos,

para

sinu-comportamento dos portadores de

carga

na presença

de

um

magn6tico

variável,

a

equação

I-60 para if\

e a equação

para j=0

desenvolvidos no V.P.D.(8)

p^t^

os el$trons de

efetiva

de

cíclotron

leve.

A expressão da energia

para j=0

em

ks=O

é

dada

rlz

-+9-r-7 5

+ 2

(kS=0) =

t

[, ¡coo"lH)

2 _(P

ß*H)

E

E g

2 +

j=o

onde (*) e (-)

se referem as faixas de valência e condução respectivarnente, separados pelo gap de

energia

tg com

H=0

Aqui

I Goß*

|

representa o termo

de

separação

entre os

ní-veis

j=0, e

(Pß*)2

t"pt.renta

o

acoplamento entre os níveisj=9.

A aproximação_.entre os áois

níveis j=0

em kH=O é

verificada

para baixos campos magnéticos, at6 un deterninado va

lor

do campo magnético onde a distância entre esses

níveis

6 nÍ .nima. A

partir

daí

começam

a

se afastar mutuamente conforme figu

ra

12.

O procedirnento descrito na

figura I2

é observado so-mente no modelo

teórico,

uma vez que necessitamos de campos nag

néticos rnuito

altos

para observar

tal

comportamento. Esse

com-portamento para os

níveis j=0 foi

descrito por garaff(7) _' Para os elétrons de massa

efetiva

de

clclotron

pesa-da e para os buracos utilizamos o modelo desenvolvido por Snith,

Baraff e Rowel

fQ) .

O motivo

6

que sendo grande a diferença

en-tre

as massas

efetivas

(as massas efetivas de el6trons pesados e

de buracos são muito maiores que as massas

efetivas

de el6trons

leves),

enquanto

já

passaram todos os

nÍveis

de Landau, corn exce-ção do

nível j=0,

para os elfitrons de massa

efetiva

de