Teoria de Conjuntos e Funções

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Teoria de Conjuntos e Fun¸

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oes

V´ıctor Arturo Mart´ınez Le´

on (victor.leon@unila.edu.br)

1 Introdu¸

c˜

ao `

a teoria de conjuntos

Um conjunto é formado de objetos, que são chamados de elementos. A rela¸cão básica entre um objeto e um conjunto é a rela¸cão de pertinência. Quando x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x ∈ A. Caso contrario, dizemos que x não pertence a A e escrevemos x /∈ A.

Exemplo 1. Seja A o conjuntos dos triˆangulos retˆangulos. Um objeto x pertence a A quando ´

e um triângulo e um de seus ângulos é reto. Se x não for um triângulo ou x for um triângulo que não possui ângulo reto, então x não pertence a A.

Usa-se a nota¸c˜ao

X = {a, b, c, . . .}

para representar ao conjunto X cujos elementos s˜ao os objetos a, b, c, etc. Por exemplo {, 4} ´

e o conjunto cujos elementos são os objetos e 4. Dado um objeto a, pode-se considerar o conjunto cujo único elemento é a. Esse conjunto é representado por {a} e é chamado de conjunto unitário.

Exemplo 2. O conjunto dos números naturais formado pelos números 1, 2, 3, . . . será denotado por o simbolo N. Por tanto

N = {1, 2, 3, . . .}.

O conjunto dos n´umeros inteiros que ser´a denotado por o simbolo Z. Assim Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

O conjunto Q dos número racionais é formado pelas fra¸cões p/q onde p ∈ N e q ∈ Z, sendo q 6= 0. Em s´ımbolos,

Q = {p/q; p ∈ N, q ∈ Z, q 6= 0}.

O método mais frequente de definir um conjunto é através de uma propriedade comum e exclusiva de seus elementos. Mais precisamente, parte-se de uma propriedade P . Ela define um conjunto X, assim se um objeto x goza da propriedade P , então x ∈ X. Escreve-se

X = {x; x goza da propriedade P }.

Exemplo 3. A propriedade P de um n´umero natural ser maior do que 4, define o conjunto X = {5, 6, 7, 8, . . .}, ou seja,

X = {x ∈ N; x > 4}. `

As vezes, ocorre que nenhum elemento de E satisfaz a propriedade P . Neste caso, o conjunto {x ∈ E; x goza a propriedade P } não possui elemento algum. Isto é o chamado conjunto vazio o qual denotaremos ∅. Por tanto o conjunto vazio ∅ é definido assim: qualquer que seja x, tem-se que x /∈ ∅.

Exemplo 4. Temos que {x ∈ N; 1 < x < 2} = ∅ e tamb´em {x ∈ N; x 6= x} = ∅.

Dados os conjuntos A e B, dizemos que A é um subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B. O qual denotaremos A ⊆ B. A rela¸cão A ⊆ B chama-se de rela¸cão de inclusão.

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Exemplo 5. N ⊆ Z ⊆ Q. Exemplo 6. Seja

P = {. . . , −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, . . .} chamado o conjunto dos n´umero pares e seja

I = {. . . , −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, . . .}

chamado o conjunto dos n´umeros impares. Note que P ⊆ Z e I ⊆ Z. Observe tamb´em que podemos escrever estos conjuntos como segue

P = {2n; n ∈ Z} e I = {2m − 1; m ∈ Z}.

Exemplo 7. Seja X o conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retˆangulos. Todo quadrado ´

e um retˆangulo, logo X ⊆ Y .

Dizemos que dos conjuntos A e B são iguais, o que denotamos A = B, se e somente se todo elemento de A é elemento de B e todo elemento de B é elemento de A. Em s´ımbolos:

A = B ⇔ [(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)] Teorema 1. Se satisfazem as seguintes propriedades:

(i) ∅ ⊆ A para todo conjunto A. (ii) ∅ ⊆ A para todo conjunto A.

(iii) A = B se e somente se A ⊆ B e B ⊆ A. (iv) Se A ⊆ B e B ⊆ C ent˜ao A ⊂ C.

Note que quando escreve-se X ⊆ Y não está exclu´ıda a possibilidade de vir a ser X = Y . No caso em que X ⊆ Y e X 6= Y , diz-se que X é uma parte próprio ou um subconjunto próprio de Y o que denotamos por X ⊂ Y . Quando dizemos que A não é subconjunto de B quer dizer que existe um elemento a ∈ A tal que a /∈ B, o que denotamos por A 6⊆ B.

Exemplo 8. Q 6⊆ N.

Dado um conjunto X, denotamos por P(X) o conjunto formado por todos os subconjuntos de X. Isto é, A ∈P(X) é o mesmo dizer que A ⊆ X. P(X) é chamado conjunto das partes de X (ou conjunto potência).

Observa¸cão 1. Como ∅ ⊆ X e X ⊆ X então ∅, X ∈ P(X) logo P(X) 6= ∅. Também tem-se que P(∅) = ∅.

Exemplo 9. Seja X = {1, 2, 3} ent˜ao

P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, X}. Teorema 2. Se X ⊆ Y ent˜aoP(X) ⊆ P(Y ).

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2 Opera¸

c˜

oes com conjuntos

Vamos a definir a continua¸c˜ao as opera¸c˜oes existentes entre conjuntos:

Defini¸cão 1. Dados dois conjuntos A e B. A união de A e B, denotado por A∪B, é o conjunto formado por todos os elementos A mais os elementos de B. Assim afirmar que x ∈ A ∪ B quer dizer que pelo menos umas das afirma¸cões é verdadeira x ∈ A ou x ∈ B. Em s´ımbolos

A ∪ B = {x; x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Teorema 3. Dados A, B, C, A0 e B0 conjuntos. Se satisfazem as seguintes propriedades: (i) A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B. (ii) A ∪ ∅ = A. (iii) A ∪ A = A. (iv) A ∪ B = B ∪ A. (v) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. (vi) A ⊆ B ent˜ao A ∪ C ⊆ B ∪ C. (vii) A ∪ B = A se e somente se B ⊆ A. (viii) A ⊆ B e A0⊆ B0 _ent˜_{ao A ∪ A}0_{⊆ B ∪ B}0_. Exemplo 10. Z = P ∪ I.

Por outro lado, lembremos uma afirma¸cão dos número inteiros: Afirma¸cão: Dado p ∈ Z se satisfaz

(i) Se p ∈ I ent˜ao p2 ∈ I. (ii) Se p2 ∈ P ent˜ao p ∈ P . De fato:

(i) Como p ∈ I ent˜ao existe m ∈ Z tal que p = 2m − 1 logo

p2 = (2m − 1)2= 4m2− 4m + 1 = 2(2m2− 2m + 1) − 1 e como 2m2− 2m + 1 ∈ Z temos que p2 _{∈ I.}

(ii) Suponhamos que p /∈ P e por o Exemplo 10 ent˜ao p ∈ I e por (i) temos que p2 ∈ I o que ´e absurdo pois p2 ∈ P .

H´a muitos anos, surgiu a seguinte pergunta:

Será que existe d ∈ Q tal que d2 = 2? a resposta a essa pergunta é não.

De fato: se existe d ∈ Q tal que d2 = 2, como d ∈ Q existem p ∈ N e q ∈ Z, q 6= 0 tal que d = p/q é uma fra¸cão irredut´ıvel(isto é, p e q não tem fatores comuns). Assim como d2 = 2 e pela afirma¸cão anterior, temos

p q

2

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agora como p ∈ P existe n ∈ Z tal que p = 2n, onde n ∈ Z logo temos 4n2 = p2= 2q2⇒ q2 _{= 2n}2 _{⇒ q ∈ P,}

assim p e q são pares o que é absurdo pois p e q não tem fatores comuns.

Por tanto, tal número que satisfaz que d2 = 2 não é racional, este número d é chamado de número irracional. Denotaremos por

I = {conjuntos dos n´umeros irracionais}. Note que I 6= ∅, pois d ∈ I.

Exemplo 11. Assim definimos R = Q ∪ I chamado conjunto dos n´umeros reais.

Defini¸cão 2. Dados dois conjuntos A e B. A interse¸cão de A e B, denotado por A ∩ B, é o conjunto formado por todos os elementos comuns de A e B. Assim afirmar que x ∈ A ∩ B quer dizer, que tem-se ao mesmo tempo que x ∈ A e x ∈ B. Em s´ımbolos:

A ∩ B = {x; x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Teorema 4. Dados A, B, C, A0 e B0 conjuntos. Se satisfazem as seguintes propriedades: (i) A ∩ B ⊆ A e A ∩ B ⊆ B. (ii) A ∩ ∅ = ∅. (iii) A ∩ A = A. (iv) A ∩ B = B ∩ A. (v) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C. (vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). (vii) A ⊆ B ent˜ao A ∩ C ⊆ B ∩ C. (viii) A ∩ B = A se e somente se A ⊆ B. (ix) A ⊆ B e A0⊆ B0 ent˜ao A ∩ A0⊆ B ∩ B0.

Exemplo 12. Sejam A = {x ∈ N; x ≤ 10} e B = {x ∈ N; x > 5} ent˜ao A ∪ B = N e A ∩ B = {6, 7, 8, 9, 10}.

Exemplo 13. Sejam A = {x ∈ N; x > 2} e B = {x ∈ N; x < 3} ent˜ao A ∩ B = ∅.

Quando dois conjuntos A e B satisfazem que A ∩ B = ∅ dizemos que A e B são disjuntos. Defini¸cão 3. Seja X um conjunto e seja A ∈P(X), o complemento de A com respeito a X, denotada porCX(A), é o conjunto formado por todos os elementos de X que não pertencem

a A. Em s´ımbolos:

CX(A) = {x ∈ X; x /∈ A}.

Teorema 5. Dados A e B emP(X). Se satisfazem as seguintes propriedades: (i) A ⊆ B ent˜ao CX(B) ⊆CX(A).

(ii) CX(CX(A)) = A.

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(iv) CX(A) = X se e somente se A = ∅.

(v) CX(A ∪ B) =CX(A) ∩CX(B).

(vi) CX(A ∩ B) =CX(A) ∪CX(B).

(vii) A ∩CX(A) = ∅ e A ∪CX(A) = X.

Exemplo 14. C_Z(P ) = I, C_Z(I) = P , C_R(Q) = I e CR(I) = Q.

Defini¸cão 4. Seja X um conjunto e seja A, B ∈P(X). A diferen¸ca entre A e B , denotado por A − B (ou A \ B), é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Em s´ımbolos:

A − B = {x ∈ X; x ∈ A e x /∈ B}. Observa¸c˜ao 2. A − B = A ∩CX(B).

Teorema 6. A − B = A − (A ∩ B).

Frequentemente, tem-se um conjunto X que cont´em todos os conjuntos que ocorrem numa certa discuss˜ao. Neste caso, a diferen¸ca X − A chama-se simplesmente o complementar de A e denota-se C (A)(ou Ac). Em s´ımbolos, temos

x ∈ Ac⇔ x /∈ A.

Exemplo 15. Sejam A = {x ∈ Z; x ≥ −3} e B = {x ∈ Z; x ≤ 2}. Então A−B = {x ∈ Z; x ≥ 3} e B − A = {x ∈ Z; x ≤ −4}. Tomando Z como conjunto básico então Ac= {x ∈ Z; x < −3} e Bc_{= {x ∈ Z; x > 2}.}

Exemplo 16. Tomando R como conjunto b´asico temos Qc = I e Ic = Q. Tomando Z como conjunto b´asico Pc= I e Ic= P .

A no¸c˜ao de diferen¸ca reduz-se `a complementar, do seguinte modo: dados A e B conjuntos, contidos num conjunto fundamental X, relativamente ao qual tomamos complementares, temos:

A − B = A ∩ Bc.

3 Pares ordenados

Defini¸cão 5. Dados os objetos a e b, o par ordenado (a, b) é por defini¸cão o conjunto formado por dois elementos o conjunto unitário {a} e o conjunto {a, b}. Em s´ımbolos, temos

(a, b) = {{a}, {a, b}}.

a ´e chamada primeira coordenada e b ´e chamada segunda coordenada.

Observa¸c˜ao 3. No caso que a ∈ X e b ∈ Y temos que {a}, {a, b} ⊆ X ∪ Y logo {a}, {a, b} ∈ P(X ∪ Y ) assim {{a}, {a, b}} ⊆ P(X ∪ Y ) por tanto {{a}, {a, b}} ∈ P(P(X ∪ Y )).

Teorema 7.

(a, b) = (c, d) se e somente se a = c e b = d.

Isto é, dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se suas primeira coordenadas a e c, forem iguais e suas segundas coordenadas b e d, também.

Repare que (a, b) 6= (b, a) salvo se a = b. De maneira an´aloga definimos ternos ordenados (a, b, c) ou n-tuplas ordenadas (a1, . . . , an).

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Defini¸cão 6. O produto cartesiano dos conjuntos A e B, que denotamos por A × B, é o conjunto cujos elementos são pares ordenados (a, b) cuja primeira coordenada a ∈ A e a segunda b ∈ B. Em s´ımbolos, temos

A × B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.

Quando A = B, denotamos A2= A × A. De maneira an´aloga definimos A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C},

assim denotamos A3 = A × A × A e An= A × · · · × A (n-vezes). O subconjunto ∆ ⊆ A × A, formado pelos pares (a, a) cujas coordenadas s˜ao iguais, chama-se a diagonal de A2.

Exemplo 17. Seja A = {1, 2, 3} e B = {, 4} ent˜ao

A × B = {(1, ), (1, 4), (2, ), (2, 4), (3, ), (3, 4)}.

Surge a seguinte pergunta: A × B = B × A? Em principio, note que quando A = B temos a igualdade. Em geral a resposta ´e n˜ao! De fato, considere o exemplo anterior, logo temos

B × A = {(, 1), (, 2), (, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.

Exemplo 18. A introdu¸cão de coordenadas cartesianas no plano faz com que cada ponto seja representado por um par ordenado (x, y), onde x é sua abscissa e y sua ordenada. Isto identifica o plano com o produto cartesiano R2 = R × R, onde R é o conjunto dos números reais. Teorema 8. Dados A, B, X e Y conjuntos, temos as seguinte propriedades:

(i) Ou A = ∅ ou B = ∅ se e somente se A × B = ∅. (ii) Se A ⊆ X e B ⊆ Y ent˜ao A × B ⊆ X × Y . (iii) (A ∪ B) × X = (A ∪ X) × (B ∪ X). (iv) (A ∩ B) × (X ∩ Y ) = (A × X) ∩ (B × Y ). (v) (A − B) × X = A × X − B × X.

4 Rela¸

c˜

oes

Defini¸cão 7. Dados os conjuntos A e B. Uma rela¸cão R de A em B é um subconjunto do produto cartesiano de A e B. Em s´ımbolos, R é uma rela¸cão de A em B se R ⊆ A × B. Observa¸cão 4. Tem-se:

1. R ∈P(X × Y ).

2. Se acostuma escrever aRb em vez de (a, b) ∈ R.

3. Se Y = X 6= ∅ ent˜ao R ∈P(X2_{) ´}_{e chamada de rela¸}_c˜_{ao bin´}_{aria em X.}

Exemplo 19. Seja A = {1, 2, 3} e B = {2, 4, 6} ent˜ao

A × B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6)}

logo R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} ´e uma rela¸c˜ao de A × B. Note que podemos escrever R como segue R = {(x, 2x); x ∈ A}.

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Defini¸cão 8. O dom´ınio de uma rela¸cão R de A em B, que denotamos Dom(R), é o conjunto formado pelas primeiras coordenadas dos pares em R e a imagem da rela¸cão R, que denotamos Im(R), é o conjunto formado pelas segundas coordenadas dos pares em R, isto é,

Dom(R) = {a; (a, b) ∈ R} e Im(R) = {b; (a, b) ∈ R}. Observa¸c˜ao 5. Dom(R) ⊆ A e Im(R) ⊆ B.

Exemplo 20. Consideremos a rela¸c˜ao R do Exemplo 18, temos Dom(R) = A e Im(R) = B, nem sempre acontece isto. Por exemplo consideremos a seguinte rela¸c˜ao:

S = {(1, 2), (1, 4), (2, 2)} de A em B, neste caso, temos

Dom(S) = {1, 2} e Im(S) = {2, 4}.

Defini¸cão 9. A inversa de uma rela¸cão R, que denotamos por R−1, é uma rela¸cão de B em A definido como segue

R−1= {(b, a); (a, b) ∈ R}. Exemplo 21. As rela¸c˜oes inversas do Exemplo 18 e 19 s˜ao

R−1 = {(2, 1), (4, 2), (6, 3)} e S−1= {(2, 1), (4, 1), (2, 2)} respectivamente, cujos dom´ınios e imagens s˜ao

Dom(R−1) = {2, 4, 6} = B = Im(R) e Im(R−1) = {1, 2, 3} = A = Dom(R) Dom(S−1) = {2, 4} = Im(S) e Im(S−1) = {1, 2} = Dom(S). Observa¸c˜ao 6. Temos:

1. Se R ∈P(X × Y ) ent˜ao R−1∈P(Y × X). 2. (R−1)−1 = R.

3. Dom(R−1) = Im(R) e Im(R−1) = Dom(R).

Defini¸cão 10. Seja X 6= ∅ e R um rela¸cão binária em X. Dizemos que R é uma rela¸cão de equivalência se ela satisfaz as seguintes propriedades:

1. (Reflexiva) aRa para todo a ∈ X.

2. (Sim´etrica) Para todo a, b ∈ X, se aRb ent˜ao bRa.

3. (Transitiva) Para todo a, b, c ∈ X, se aRb e bRc ent˜ao aRc.

Defini¸cão 11. Seja X 6= ∅ e R um rela¸cão binária em X. Dizemos que R é uma rela¸cão de ordem parcial se ela satisfaz as seguintes propriedades:

1. (Reflexiva) aRa para todo a ∈ X.

2. (Anti-simétrica) Para todo a, b ∈ X, se aRb e bRa então a = b. 3. (Transitiva) Para todo a, b, c ∈ X, se aRb e bRc então aRc.

Dizemos que uma rela¸cão binária R em X é um ordem total se R é uma rela¸cão de ordem parcial e para todo par de elementos de R são comparáveis, isto é, se a, b ∈ X então aRb ou bRa.

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5 Fun¸

c˜

oes

Defini¸cão 12. Uma fun¸cão f de A em B, que denotamos f : A → B, é uma rela¸cão de A em B tal que Dom(f ) = A e se satisfaz que

se (x, y) ∈ f e (x, z) ∈ f ent˜ao y = z,

isto quer dizer, que a cada elemento x ∈ A existe um ´unico elemento y ∈ Im(f ), chamado o valor que a fun¸c˜ao assume em x. Denotaremos y = f (x).

Usa-se a nota¸cão x 7→ f (x) para indicar que f faz corresponder a x o valor f (x). Muitas vezes se diz a “fun¸cão f ” em vez de “a fun¸cão f : A → B”.

Não se deve confundir f com f (x): f é a fun¸cão, enquanto que f (x) é o valor que f assume num elemento x de seu dom´ınio.

Exemplo 22. Consideremos R e S como no Exemplo 18 e 19 R é fun¸cão de A em B? S é fun¸cão de A em B?

• R é uma fun¸cão de A em B, pois é uma rela¸cão de A em B e para cada elemento do Dom(R) existe um único elemento da Im(R).

• S não é fun¸cão de A em B, pois (1, 2) ∈ S e (1, 4) ∈ S mas 1 6= 4.

Exemplo 23. Sejam A = {alunos da UNILA }, B = {números inteiros}. Definamos a seguinte fun¸cão f : A → B que a cada elemento do Dom(f ) associa seu ano de nascimento. Outro exemplo é a fun¸cão g : A → B que a cada elemento do Dom(R) associa seu ano de entrada na UNILA.

Exemplo 24. Seja A = {pessoas}. Se a cada x ∈ A fazemos corresponder f (x) ∈ A de maneira que f (x) seja irmão de x, então f não é uma fun¸cão por duas razões. Primeiro por exce¸cão pois nem toda pessoa tem irmão. Segundo por ambiguidade pois existem pessoas que têm mais de um irmão.

Mais grave é considerar que fun¸cões de dom´ınios diferentes sejam iguais. Entretanto, cometemos este abuso quando, por exemplo, o dom´ınio de uma fun¸cão contém o dom´ınio da outra. Quando a prudência mandar, devemos lidar com os conceitos de restri¸cão e extensão. Defini¸cão 13. Sejam f : A → B e g : C → D. Dizemos que f é uma restri¸cão de g ou que g é uma extensão de f se A ⊆ C e f (x) = g(x) para todo x ∈ A. Neste caso, escrevemos f = g|A.

Defini¸cão 14. Sejam f : A → B e C ⊆ A. A imagem de C por f é definida por f (C) = {y ∈ B; existe x ∈ C tal que f (x) = y} = {f (x); x ∈ C}. Em particular, o conjunto f (A) é chamado de imagem de f .

Teorema 9. Dada uma fun¸c˜ao f : A → B e sejam X, Y ⊆ A temos (i) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).

(ii) f (X ∩ Y ) ⊆ f (X) ∩ f (Y ). (iii) X ⊆ Y ent˜ao f (X) ⊆ f (Y ).

(iv) f (∅) = ∅.

Defini¸c˜ao 15. Sejam f : A → B e C ⊆ B. A imagem inversa ou pr´e-imagem de C por f ´

e definida por

f−1(C) = {x ∈ A; f (x) ∈ C}.

Se C = {y}, então escrevemos f−1(y) em vez de f−1({y}). Se f−1(C) = {x}, então fazemos o abuso de nota¸cão x = f−1(C).

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Teorema 10. Dada uma fun¸c˜ao f : A → B e sejam X, Y ⊆ A temos (i) f−1(X ∪ Y ) = f−1(X) ∪ f−1(Y ). (ii) f−1(X ∩ Y ) = f−1(X) ∩ f−1(Y ). (iii) f−1(Yc) = (f−1(Y ))c. (iv) X ⊆ Y ent˜ao f−1(X) ⊆ f−1(Y ). (v) f−1(B) = A. (vi) f−1(∅) = ∅.

Defini¸cão 16. Uma fun¸cão f : A → B é dita sobrejetiva se f (A) = B, ou seja, se qualquer que seja y ∈ B, existe x ∈ A tal que f (x) = y.

Observamos na defini¸cão anterior que, ao se tratar da sobrejetividade de uma fun¸cão, deve estar claro qual conjunto está sendo considerado como contradom´ınio.

Exemplo 25. Seja A = {1, 2}. A fun¸cão f , definida por f (x) = x para todo x ∈ A, não é sobrejetiva de A em {1, 2, 3} mas é sobrejetiva de A em 1, 2. De modo geral, toda fun¸cão é sobrejetiva na sua imagem.

Defini¸cão 17. Uma fun¸cão f : A → B é dita injetiva ou inje¸cão se para quaisquer x, y ∈ A tais que x 6= y temos f (x) 6= f (y), ou equivalentemente, se x, y ∈ A são tais que f (x) = f (y), então x = y; ou ainda, se para todo y ∈ f (A) existe um único x ∈ A tal que f (x) = y.

Faremos a seguinte conven¸cão de terminologia. Diremos que uma fun¸cão f tem a propriedade P em A, se f |A tem a propriedade P . Por exemplo, dizer que f é injetiva em A significa que

f |A é injetiva. Isto é muito usual, sobretudo em conversas informais entre matemáticos.

Defini¸cão 18. Uma fun¸cão f : A → B é dita bijetiva ou bije¸cão se ela é injetiva e sobrejetiva. Quando existe uma bije¸cão f : A → B dizemos que existe uma correspondência biun´ıvoca entre A e B.

Exemplo 26. Sejam A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6} e C = {1, 4, 9, 16}. Consideremos as fun¸cões f : A → B, g : A → C e h : A → A definidas por f (x) = 2x, g(x) = x2, h(x) = 2 para todo x ∈ A. Temos que f é injetiva e sobrejetiva e, portanto, bijetiva. Temos ainda que g é injetiva mas não é sobrejetiva e h não é injetiva e nem sobrejetiva.

Defini¸c˜ao 19. Sejam f A → B e g : C → D tais que f (A) ⊆ C. Definimos a fun¸c˜ao composta g ◦ f : A → D que a cada x ∈ A associa g(f (x)) ∈ D.

A defini¸c˜ao anterior faz sentido pois dado x ∈ A temos que f (x) ∈ f (A) e como f (A) ⊆ C temos f (x) ∈ C. Neste caso podemos aplicar g e encontrar g(f (x)) ∈ D.

Observamos ainda que a opera¸cão de composi¸cão de fun¸cões é associativa, isto é, se f : A → B, g : C → D e h : E → F com f (A) ⊆ C e g(C) ⊆ E, então temos

((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ (g ◦ f ))(x) = h(g(f (x))) para todo x ∈ A. Para f : A → A definimos fn_{: A → A por f}n_{= f ◦ · · · ◦ f (n vezes).}

Teorema 11. Se f : A → B e g : B → C são injetivas então g ◦ f : A → C é injetiva. Também se f e g são sobrejetivas então g é sobrejetiva. Em particular, a composta de duas bije¸cões é uma bije¸cão.

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Teorema 12. Sejam f : A → B e g : B → C fun¸c˜oes. Dado X ⊆ A, tem-se (g ◦ f )(X) = g(f (X)).

Se Z ⊆ C, temos

(g ◦ f )−1(Z) = f−1(g−1(Z)).

Defini¸cão 20. Dadas as fun¸cões f : A → B e g : B → A, diremos que g é uma inversa à esquerda para f quando g(f (x)) = x para todo x ∈ A.

Exemplo 27. Seja f : R+ → R definida por f(x) = x2_{, e g : R → R}+_{, definida por g(y) =}√_y

se y ≥ 0 e g(y) = se y < 0. Para todo x ∈ R+, temos g(f (x)) = g(x2) = √x2 _{= x. Logo g ´}_e

uma inversa `a esquerda de f .

Teorema 13. Uma fun¸cão f : A → B possui inversa à esquerda se, e somente se, é injetiva. Defini¸cão 21. Dadas as fun¸cões f : A → B e g : B → A, diremos que g é uma inversa à direita para f quando f (g(y)) = y para todo y ∈ A.

Exemplo 28. Seja f : N → N definida por f (1) = 1 e, se x > 1, f (x) =número de fatores primos distintos que entram na composi¸cão de x. Definamos g : N → N pondo g(y) =menor número natural que é o produto de y fatores primos distintos. Então, para todo número natural y, temos f (g(y)) = y. Portanto g é uma inversa à direita de f

Teorema 14. Uma fun¸cão f : A → B possui inversa à direita se, e somente se, é sobrejetiva. Defini¸cão 22. Sejam f : A → B e g : B → A tais que (g ◦ f )(x) = x para todo x ∈ A e (f ◦ g)(y) = y para todo y ∈ B. Dizemos que f é invert´ıvel, que g é a inversa de f e escrevemos g = f−1.

Não devemos confundir f−1 da defini¸cão acima com f−1 da Defini¸cão 12.

Repare que intercambiando f com g, A com B e x com y as hipóteses da Defini¸cão 17 não mudam, porém a conclusão dirá que f é a inversa de g. Conclu´ımos que f é a inversa de g se, e somente se, g é a inversa de f .

Se f : A → B é injetiva, então mesmo quando ela não for sobrejetiva, ainda poderemos considerar sua fun¸cão inversa f−1 ficando subentendido que o dom´ınio de f−1 é f (A) (e não B). Desta forma (f−1◦ f )(x) = x para todo x ∈ A e (f ◦ f−1)(y) = y para todo y ∈ f (A).

Teoria de Conjuntos e Funções