RESPOSTA DINÂMICA DE EDIFICAÇÕES SOB AÇÃO DE VENTO TURBULENTO. Carolina Vaz de Carvalho

RESPOSTA DINÂMICA DE EDIFICAÇÕES SOB AÇÃO DE VENTO TURBULENTO

Carolina Vaz de Carvalho

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador(a): Michèle Schubert Pfeil

RESPOSTA DINÂMICA DE EDIFICAÇÕES SOB AÇÃO DE VENTO TURBULENTO

Carolina Vaz de Carvalho

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

________________________________________________________ Profa. Michèle Schubert Pfeil, D.Sc.

________________________________________________________ Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.

________________________________________________________ Profa. Patricia Habib Hallak, D.Sc.

iii Carvalho, Carolina Vaz de

Resposta dinâmica de edificações sob ação de vento turbulento / Carolina Vaz de Carvalho. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2015.

XXIII, 76 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadora: Michèle Schubert Pfeil

Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Civil, 2015.

Referências Bibliográficas: p. 75-76.

v

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer aos familiares e amigos que me apoiaram nessa jornada, desde a graduação até o mestrado.

À orientadora D.Sc. Michèle Pfeil e demais participantes da banca, professor Ph.D. Ronaldo Carvalho Battista e professora D.Sc. Patricia Habib Hallak.

Ao professor Ph.D. Webe João Mansur pelos ensinamentos e incentivo à pesquisa, desde a Iniciação Científica, onde pude começar meus estudos na área de dinâmica.

Ao amigo D.Sc. Cid da Silva Garcia Monteiro pela ajuda, paciência e incentivo, desde a Iniciação Científica.

vi Resumo da Dissertação apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

RESPOSTA DINÂMICA DE EDIFICAÇÕES SOB AÇÃO DE VENTO TURBULENTO

Carolina Vaz de Carvalho Agosto/2015 Orientador(a): Michèle Schubert Pfeil

Programa: Engenharia Civil

vii Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ALONG-WIND TURBULENT RESPONSE OF BUILDING STRUCTURES Carolina Vaz de Carvalho

August/2015 Advisor(s): Michèle Schubert Pfeil

Department: Civil Engineering

viii

SUMÁRIO

1 Introdução ... 1

1.1 Contexto e Motivação ... 1

1.1.1 Ação dinâmica do vento ... 1

1.1.2 O Método de Davenport (1961) ... 1

1.1.3 Metodologias de cálculo de esforços devidos ao vento turbulento ... 4

1.1.4 Métodos propostos pela norma brasileira NBR 6123:1988 ... 5

1.1.5 Estudos realizados por Cardoso (2011)... 6

1.2 Objetivos do trabalho ... 7

1.3 Apresentação da tese ... 8

2 AÇÃO DINÂMICA DE VENTO TURBULENTO EM ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES ... 9

2.1 Características e modelagem matemática da velocidade do vento em tormentas extratropicais ... 9

2.2 Forças devidas à ação dinâmica do vento ... 11

2.2.1 Estruturas com pequenas dimensões ... 11

2.2.2 Estruturas Alteadas e/ou alargadas... 13

2.3 Formulação das equações de movimento ... 13

2.4 Solução numérica modal no domínio do tempo ... 16

2.5 Solução no domínio da frequência ... 17

2.5.1 Equação do movimento modal ... 17

2.5.2 Método de Davenport – Fator de rajada ... 18

2.5.3 Solução numérica modal no domínio da frequência (NFREQ) ... 19

2.5.4 Variância dos esforços no domínio da frequência através da análise modal 20 2.5.5 Forças equivalentes ... 21

2.5.6 Variância dos esforços no domínio da frequência separando resposta Background e Ressonante ... 22

3 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL ... 25

3.1 Dados de entrada ... 25

3.1.1 Dados da estrutura ... 26

ix

3.1.3 Dados nodais ... 27

3.1.4 Parâmetros do vento ... 28

3.1.5 Parâmetros do espectro de vento ... 28

3.2 Resultados obtidos ... 28

3.2.1 Espectros ... 29

3.2.2 Deslocamentos ... 29

3.2.3 Esforços de pico obtidos através da análise modal ... 29

3.2.4 Esforços de pico obtidos através da separação em background e ressonante30 4 EXEMPLO NUMÉRICO DA CHAMINÉ ... 32

4.1 Descrição da estrutura e seu modelo ... 32

4.2 Forças devidas ao vento ... 34

4.2.1 Força média do vento ... 34

4.2.2 Força flutuante do vento... 35

4.3 Frequências naturais e formas modais da estrutura ... 36

4.4 Amortecimento ... 36

4.5 Espectros obtidos ... 37

4.6 Resultados obtidos para o deslocamento no topo ... 39

4.7 Resultados obtidos para os esforços na base ... 40

4.7.1 Resultados no domínio do tempo ... 40

4.7.2 Resultados no domínio da frequência – Análise Modal... 44

4.7.3 Resultados no domínio da frequência – Separando Respostas Background e Ressonante ... 46

4.8 Resultados obtidos para os esforços ao longo da altura ... 50

4.9 Análise do fator de rajada ao longo da altura ... 52

5 EXEMPLO NUMÉRICO DE UMA EDIFICAÇÃO ... 53

5.1 Descrição da estrutura ... 53

5.2 Modelo estrutural ... 54

5.2.1 Seção dos elementos estruturais ... 54

5.2.2 Massas inseridas no modelo numérico ... 55

5.3 Forças devidas ao vento ... 56

5.3.1 Força média do vento – Edificação com 6 pórticos ... 57

x

5.4 Frequências naturais e formas modais – Edificação com 6 pórticos ... 59

5.5 Amortecimento ... 61

5.6 Resultados obtidos para o deslocamento no topo ... 62

5.6.1 Resultados para o prédio com 6 pórticos ... 62

5.6.2 Variação dos deslocamentos em função da largura do prédio ... 64

5.7 Resultados obtidos para os esforços na base – Prédio com 6 pórticos ... 65

5.7.1 Resultados no domínio da frequência – Análise Modal... 65

5.7.2 Resultados no domínio da frequência – Separando Respostas Background e Ressonante ... 70

6 CONCLUSÃO ... 73

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Ilustração do método de Davenport (adaptado por Davenport, 1967). ... 3 Figura 1.2 – Função densidade espectral da resposta e área sob o gráfico para cálculo da variância da resposta (adaptado por Davenport, 1967). ... 4 Figura 3.1 – Interface do programa inplementado. ... 25 Figura 3.2 – (a) Modelo em 3D - pórtico espacial; (b) Simplificação para o caso de um modelo 3D; (c) Nós representativos da estrutura. ... 26 Figura 3.3 – (a) Área de influência de um determinado nó; (b) Massa concentrada em um determinado nó. ... 27 Figura 3.4 – Representação do esquema para cálculo dos esforços na base e ao longo da altura. ... 30 Figura 4.1 – (a) Elevação da chaminé; (b) Modelo elaborado, com numeração de nós. 32 Figura 4.2 – Modos de vibração analisados. ... 36 Figura 4.3 – Gráfico da taxa de amortecimento em função da frequência natural de cada modo. ... 37 Figura 4.4 – Espectro de velocidade de vento Su de Harris. ... 37

Figura 4.5 – Espectro da força modal de vento, S_F, para os 3 primeros modos de vibração. ... 38 Figura 4.6 – Espectro de amplitude modal, Sa, para os 3 primeros modos de vibração. 38

xii Figura 4.13 – Fator de rajada dos esforços de momento fletor e cortante, e do

deslocamento ao longo da altura da chaminé. ... 52

Figura 5.1 – Modelo estrutural da edificação estudada, com n pórticos (dimensões em m). ... 53

Figura 5.2 – Área de influência para a distribuição de massas das lajes nos elementos de vigas. ... 55

Figura 5.3 – Modos de vibração (1º modo ao 3º modo) analisados. ... 59

Figura 5.4 – Modos de vibração (4º modo ao 7º modo) analisados. ... 60

Figura 5.5 – Modos de vibração (8º modo ao 10º modo) analisados. ... 61

Figura 5.7 – Gráfico da taxa de amortecimento em função da frequência natural de cada modo. ... 62

Figura 5.8 – Nó de interesse para análise do deslocamento. ... 62

Figura 5.9 – Deslocamentos de pico obtidos no topo com a variação da largura da edificação. ... 64

Figura 5.10 – Relação entre o momento fletor de pico da superposição dos modos com a superposição de 10 modos. ... 68

Figura 5.11 – Relação entre o esforço cortante de pico da superposição dos modos com a superposição de 10 modos. ... 68

xiii

LISTA DE TABELAS

xv

LISTA DE SÍMBOLOS

Letras romanas maiúsculas:

( )

t

A – vetor de amplitudes modais de cada modo de vibração;

1

A – área correspondente à parcela ressonante da resposta em termos de deslocamento;

2

A – área correspondente à parcela quase-estática (background) da resposta em termos de deslocamento;

e

A – área frontal de exposição ao vento;

,

e k

A – área de exposição de influência do nó k; B – fator de resposta quase-estática (background);

C – matriz de amortecimento da estrutura;

Ca – coeficiente de arrasto do vento;

k

Ca – coeficiente de arrasto do vento no nó k;

Cas – coeficiente de arrasto superficial do terreno;

y

C – coeficiente de decaimento do co-espectro normalizado na direção y (lateral);

z

C – coeficiente de decaimento do co-espectro normalizado na direção z

(vertical);

E – módulo de elasticidade do material;

( )

aer

F t – força de amortecimento aerodinâmico;

(

, , ,

)

F x y z t – força do vento da direção longitudinal, no instante de tempo

t

;

( )

F z – força média (ou estática) do vento;

(

)

ˆ

_{, , ,}

F x y z t

– força dinâmica (ou flutuante) do vento;

( )

t

F – vetor das forças nodais externas; F – vetor das forças médias de vento;

( )

aer

F t – força de amortecimento aerodinâmico;

i

xvi

j

F – força equivalente correspondente à amplitude modal unitária;

,

j pico

F – vetor de forças de pico referente ao modo de vibração j ; max

F – vetor de forças equivalentes à ação extrema do vento;

pico

F – vetor de forças equivalentes de pico;

,

r II

F – fator de rajada correspondente à categoria II de terreno, para cálculo do fator S₂;

G – fator de rajada;

M

G – fator de rajada referente ao momento fletor;

u

G – fator de rajada referente ao deslocamento;

V

G – fator de rajada referente ao esforço cortante; H – altura total da estrutura;

( )

H f – função de admitância mecânica;

k

I – linha de influência de um esforço, aplicando-se carga unitária no nó k ;

u

I – intensidade de turbulência;

K – matriz de rigidez da estrutura;

L – altura sobre o terreno na qual se baseiam as medições do espectro de Harris;

uy

L – comprimento de escala de turbulência horizontal;

uz

L – comprimento de escala de turbulência vertical;

M – matriz de massa da estrutura;

M

– momento fletor estático;

i

M – momento fletor estático no nó i;

ˆ

pico

M

– momento fletor flutuante de pico;

,

ˆ

pico B

M

– momento fletor flutuante de pico, correspondente à contribuição da parcela background;

,

ˆ

pico ID

xvii , modos

ˆ

pico n

M

– momento fletor flutuante de pico com a superposição de n modos de vibração;

,

ˆ

pico Ri

M

– momento fletor flutuante de pico, correspondente à contribuição da parcela ressonante, referente ao modo de vibração i;

,

ˆ

Total pico

M

– momento fletor flutuante total de pico, obtido no domínio da frequência (através do método da análise modal ou do método B + R), ou obtido no domínio do tempo (via integração direta das equações de movimento ou via superposição modal);

N – altura número de graus de liberdade de uma estrutura discretizada; R – fator de resposta ressonante;

j

R – resposta devida à atuação da força equivalente F_j;

(

,

)

u k l

R u u – coeficiente de correlação cruzada entre a velocidade de vento u a duas alturas de dois diferentes nós, z_k e z_l;

( )

a

S f – função densidade espectral da resposta modal;

( )

,

a j

S f – função de densidade espectral da amplitude modal a_j referente ao modo de vibração j ;

( )

ˆ

F

S f – função densidade espectral da força flutuante do vento;

( )

ˆ ,

F j

S f – função densidade espectral da força flutuante modal do vento;

( )

ˆ , j F j

S f – valor da função densidade espectral da força flutuante modal do vento, para a frequência natural f ; _j

( )

ˆ_,ˆ Fk Fl

S

f

– espectro cruzado das forças flutuantes aplicadas nos nós k e l;

u

S – função densidade espectral das componentes flutuantes de velocidade de vento;

,

u i

S – função densidade espectral de turbulência no ponto i;

,

ui uj

S – função densidade espectral cruzada de turbulência nos pontos i e j ;

1

xviii

2

S – fator de correção da velocidade que considera a rugosidade do terreno, a dimensão da edificação e sua altura sob o terreno;

3

S – fator de correção da velocidade média que considera o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação;

T – intervalo de tempo total da análise;

ˆ

pico

T

– momento torsor flutuante de pico;

,

ˆ

pico B

T

– momento torsor flutuante de pico, correspondente à contribuição da parcela background;

, modos

ˆ

pico n

T

– momento torsor flutuante de pico com a superposição de n modos de vibração;

,

ˆ

pico Ri

T

– momento torsor flutuante de pico, correspondente à contribuição da parcela ressonante, referente ao modo de vibração i;

,

ˆ

Total pico

T

– momento torsor flutuante total de pico, obtido no domínio da frequência (através do método da análise modal ou do método B + R);

(

, , ,

)

U x y z t – velocidade total do vento (estática + flutuante) na direção longitudinal x, no instante de tempo

t

;

0

U – velocidade básica do vento;

,

j pico

U – vetor de deslocamento de pico referente ao modo de vibração j ;

( )

U z – velocidade média (ou estática) do vento ao longo da direção vertical z;

( )

10

U – velocidade média (ou estática) do vento na cota vertical z=10m;

k

U – velocidade média (ou estática) do vento no nó k;

m

U – média das velocidades médias (ou estáticas) do vento em dois pontos i e j;

( )

,

rel

U x t – velocidade do vento em relação à da estrutura;

V

– esforço cortante estático;

i

V – esforço cortante estático no nó i;

ˆ

pico

xix ,

ˆ

pico B

V

– esforço cortante flutuante de pico, correspondente à contribuição da parcela background;

,

ˆ

pico ID

V

– esforço cortante flutuante de pico, obtido através da integração direta das equações de movimento;

, modos

ˆ

pico n

V

– esforço cortante flutuante de pico com a superposição de n modos de vibração;

,

ˆ

pico Ri

V

– esforço cortante flutuante de pico, correspondente à contribuição da parcela ressonante, referente ao modo de vibração i;

,

ˆ

Total pico

V

– esforço cortante flutuante total de pico, obtido no domínio da frequência (através do método da análise modal ou do método B + R), ou obtido no domínio do tempo (via integração direta das equações de movimento ou via superposição modal);

( )

t

X – vetor de deslocamento nodal;

( )

t

Xɺ – vetor de velocidade nodal;

( )

t

Xɺɺ – vetor de aceleração nodal;

1

xx Letras romanas minúsculas:

( )

j

a t – amplitude modal referente ao modo de vibração j ;

b – relação entre a velocidade média em

t

segundos, a z_ref =10m, sobre terreno de categoria i, e esta mesma velocidade sobre terreno de categoria II;

k

b – largura de exposição ao vento do nó k;

c

c – amortecimento crítico;

j

c – amortecimento modal referente ao modo de vibração j ;

f – frequência de um espectro;

r

f – frequência de ressonância;

j

f – frequência natural referente ao modo de vibração j ;

j

f – força modal referente ao modo de vibração j ;

g – fator de pico;

B

g – fator de pico da resposta background;

j

g – fator de pico referente ao modo de vibração j ;

j

g – fator de pico referente ao modo de vibração j ;

j

k – rigidez modal referente ao modo de vibração j ;

l – dimensão característica de uma estrutura;

i

m – massa concentrada do nó i;

j

m – massa modal referente ao modo de vibração j ;

p – expoente (lei potencial) que depende da rugosidade do terreno e do intervalo de tempo no qual se efetua a análise;

ˆr – resposta flutuante (dinâmica) em termos de esforços;

ˆ_B

r – resposta flutuante (dinâmica) de pico em termos de esforços, correspondente à contribuição da parcela background;

,

ˆ_{R j}

r – resposta flutuante (dinâmica) de pico em termos de esforços,

correspondente à contribuição da parcela ressonante, referente ao modo de vibração j ;

xxi

(

, , ,

)

u x y z t – velocidade flutuante do vento na direção longitudinal x, no instante de tempo

t

;

k

u – velocidade flutuante (dinâmica) do vento no nó k;

(

, , ,

)

v x y z t – velocidade flutuante do vento na direção secundária (lateral) y;

(

, , ,

)

w x y z t – velocidade flutuante do vento na direção vertical z; x – coordenada espacial da direção principal (longitudinal) do vento; x – resposta total em termos de deslocamento;

x – resposta média (estática) em termos de deslocamento;

i

x – resposta média (estática) em termos de deslocamento no nó i;

ˆx – resposta flutuante (dinâmica) em termos de deslocamento; ˆ_pico

x – resposta flutuante (dinâmica) de pico em termos de deslocamento;

max

x – resposta total máxima em termos de deslocamento;

max

ˆx – resposta flutuante (dinâmica) máxima em termos de deslocamento;

xɺ – velocidade da estrutura na direção do vento;

y – coordenada espacial da direção secundária (lateral) do vento;

z – coordenada espacial da direção vertical;

i

z – cota do nó i;

0

z – comprimento de rugosidade da categoria do vento;

ref

z – altura de referência para relacionar a velocidade média em duas alturas diferentes, na lei potencial.

Letras gregas:

α

– coeficiente de proporcionalidade entre a massa e o amortecimento; β – coeficiente de proporcionalidade entre a rigidez e o amortecimento;

f

∆ – intervalo de frequências do espectro;

y

∆

– distância horizontal entre dois nós; z

∆ – distância vertical entre dois nós;

,

est j

xxii

i

ζ

– taxa de amortecimento total (estrutural e aerodinâmico) referente ao modo de vibração j ;

r

ζ

– taxa de amortecimento total (estrutural e aerodinâmico);

ν

– taxa de ultrapassagem para cálculo do fator de pico;

ρ

– massa específica do ar;

,

a j

σ – desvio padrão da resposta em termos de amplitude modal referente ao modo de vibração j ;

2 ,

a j

σ – variância da resposta em termos de amplitude modal referente ao modo de vibração j ;

B

σ

– desvio padrão da resposta flutuante de pico em termos de esforços, correspondente à contribuição da parcela background;

2

B

σ

– variância da resposta flutuante de pico em termos de esforços, correspondente à contribuição da parcela background;

ˆ

M

σ

– desvio padrão do momento fletor flutuante de pico;

,

R j

σ – desvio padrão da resposta flutuante de pico em termos de esforços, correspondente à contribuição da parcela ressonante, referente ao modo de vibração j ;

2 ,

R j

σ – variância da resposta flutuante de pico em termos de esforços, correspondente à contribuição da parcela ressonante, referente ao modo de vibração j ;

2

r

σ

– variância da resposta em termos de esforços;

ˆ

T

σ

– desvio padrão do momento torsor flutuante de pico;

u

σ – desvio padrão da velocidade do vento;

,

u k

σ – desvio padrão da velocidade do vento no nó k;

2

u

σ – variância do espectro de velocidade do vento;

ˆ

V

σ

– desvio padrão do esforço cortante flutuante de pico;

x

σ

– desvio padrão da resposta nodal flutuante;

2

x

σ – variância da resposta nodal flutuante;

,

x k

xxiii

2 ,

x k

σ – variância da resposta flutuante no nó k;

j

φ – vetor de forma modal (autovetor) referente ao modo de vibração j ;

T j

φ – transposta do vetor de forma modal (autovetor) referente ao modo de vibração j ;

,

j k

φ – vetor de forma modal (autovetor) referente ao modo de vibração j no nó

k;

Φ – matriz dos vetores

φ

_j de formas modais (autovetores);

T

Φ – transposta da matriz de formas modais;

2

a

χ – função de admitância aerodinâmica;

(

,

)

u r f

ψ ∆ – função de co-espectro normalizado;

j

1

1

INTRODUÇÃO

1.1

Contexto e Motivação

1.1.1

Ação dinâmica do vento

A natureza flutuante da velocidade do vento originado de diferentes tipos de tormentas pode levar as estruturas a apresentar respostas dinâmicas. Entretanto, na maior parte dos casos, não é possível se prever o comportamento exato da ação do vento em um determinado instante (ou um intervalo) de tempo, em termos de, por exemplo, valor de velocidade. Assim, o vento é uma ação aleatória, e deve ser descrito através de médias estatísticas para que seja possível se prever tanto as ações extremas (de pico) como os seus efeitos nas estruturas. Nos casos dos ciclones extratropicais, os ventos, também denominados ventos de camada limite atmosférica, são bem comportados, mantendo sua direção e propriedades estatísticas relativamente constantes por até várias horas. Estes são os ventos tradicionalmente considerados nas normas de projetos de estruturas (Blessmann, 1995).

A aplicação a uma estrutura de um carregamento variável no tempo nem sempre conduz a uma resposta dinâmica. A relação entre as frequências de excitação e as de vibração da estrutura e as taxas de amortecimento modais é que governam o tipo de resposta. No caso de excitação devida ao vento considera-se que as estruturas que apresentem frequências fundamentais abaixo de 1 Hz são vulneráveis à ação dinâmica do vento. Já as estruturas que possuem altas frequências fundamentais de vibração e altas taxas de amortecimento apresentam comportamento quase-estático diante da ação de vento, ou seja, as respostas apenas dependem dos valores instantâneos da ação.

1.1.2

O Método de Davenport (1961)

2 de conceitos estatísticos de processo aleatório estacionário à velocidade de vento para determinar seu valor de pico, admitindo distribuição de probabilidades de Gauss.

De acordo com este método, a resposta estática da estrutura à ação do vento, devida à velocidade média, é multiplicada pelo fator de rajada para resposta, G , para considerar as suas vibrações devidas à turbulência do vento. O fator G é, portanto, definido como a razão entre a resposta máxima esperada, x_max, em certo intervalo de tempo (em geral tomado 10 minutos) e a resposta média (ou estática), x, neste mesmo intervalo: max x G x = (1.1) sendo: max ˆmax x = +x x (1.2)

que, escrita em termos de fator de pico g, torna-se:

max x

x = +x g

σ

(1.3)

onde:

max

ˆx é a resposta flutuante máxima;

x

σ

é o desvio padrão da resposta flutuante.

De acordo com a equação anterior, a resposta flutuante máxima esperada, é calculada multiplicando-se o desvio padrão da resposta flutuante,

σ

_x, pelo fator de pico

g.

As flutuações da velocidade de vento, em torno do valor médio, são descritas pela função de densidade espectral ou simplesmente espectro de velocidade. A partir dessa descrição chega-se às forças atuantes na estrutura e finalmente à resposta em termos de deslocamento.

3 flutuante de vento pela chamada função de admitância aerodinâmica introduzida por Davenport e que leva em conta a correlação espacial das pressões na superfície exposta. O espectro da resposta é obtido por meio da função de admitância mecânica ou função de resposta em frequência.

O desvio padrão da resposta flutuante,

σ

_x, é a raiz quadrada da variância, σx2,

que é a área sob o gráfico da função de densidade espectral de resposta. Esta área é convenientemente calculada em duas parcelas conforme ilustra a Figura 1.2: parcelas sub-ressonante e ressonante, correspondentes às áreas A₂ e A₁, respectivamente. Como a resposta na região sub-ressonante é quase-estática, a área A₂ é calculada a partir da integral do espectro da própria força de vento. Enquanto que a área A₁ é calculada a partir da magnitude do espectro de resposta na frequência f_r de ressonância.

Figura 1.1 – Ilustração do método de Davenport (adaptado por Davenport, 1967).

velocidade força resposta

espectro de flutuações de velocidade admitância aerodinâmica espectro da força de vento admitância mecânica espectro de resposta tempo

frequência (escala log.)

densidade de probabilidade

4

Figura 1.2 – Função densidade espectral da resposta e área sob o gráfico para cálculo da variância da resposta (adaptado por Davenport, 1967).

1.1.3

Metodologias de cálculo de esforços devidos ao vento

turbulento

O fator de rajada é adotado nas normas de projeto para estimativas através de cálculos manuais da resposta de estruturas flexíveis devida ao vento turbulento. O procedimento usual é calcular o fator de rajada, G, com base na amplitude do modo fundamental de vibração, admitindo-se a forma modal aproximada por funções das coordenadas z (vertical) e y (lateral). Ou seja, x_max na equação (1.3) é uma resposta em termos de deslocamento. Para se obter outros tipos de respostas (diagramas de momentos fletores, deslocamento, etc), aplica-se o valor de G calculado com base em deslocamentos à distribuição de forças de vento associadas ao valor médio da velocidade, U z

( )

. A utilização de G assim calculado para a determinação de outros tipos de respostas é, portanto, um procedimento aproximado.

5 distribuição das forças médias, ou seja, F_max ≠GF . Para superar esta limitação, o

método foi revisado por diversos autores (Loredo-Souza, 1996 apud Loredo-Souza et al., 2005; Dyrbye & Hansen, 1997; Holmes, 2007) utilizando o conceito de linhas de influência, usualmente adotado em projetos de estruturas sujeitas a cargas móveis, como, por exemplo, em pontes. A resposta total deve ser calculada adicionando a contribuição dos modos de vibração em que há resposta ressonante.

Vickery (1995) considerou uma estrutura de cabo tracionado com frequência fundamental de

0, 2 Hz

sob ação de vento turbulento, para determinar a reação de apoio de pico V_pico, em um dos extremos, de acordo com três abordagens:

(i) Método de Fator de Rajada

(

V_pico = ⋅G V

)

;

(ii) Análise Modal completa (com aplicação das parcelas média e flutuante de força devida ao vento);

(iii)Método B LI

( )

+R: método com separação de resposta V em parcelas quase-estática (background) e ressonante utilizando o conceito de linhas de influência.

Para obter o valor da resposta média utilizando o método (ii) foi necessário considerar 20 modos na análise dinâmica. Já em relação à variância da resposta flutuante os resultados foram descritos em termos de um fator adimensional cujos valores obtidos foram: 0,218 (através do método (i)), 0,196 (através do método (ii), considerando 12 modos na análise modal), e 0,197 (através do método (iii), considerando apenas 1 modo na análise).

Com este resultado, ficou clara a vantagem no uso da metodologia (iii), em relação à análise modal. O uso da metodologia da análise modal para a determinação da parcela quase-estática se mostrou menos eficiente já que esta parcela fica distribuída na resposta de diversos modos.

1.1.4

Métodos propostos pela norma brasileira NBR

6123:1988

6 modelo discreto, que também baseiam-se parcialmente no método de Davenport. Ambos os processos aplicam a análise modal para a obtenção da resposta de pico flutuante. O primeiro aplica-se a edificações de seção constante e distribuição de massa aproximadamente constante, nos quais podem ser atribuídas funções para definir a forma modal do primeiro modo de vibração. No segundo modelo, denominado de modelo discreto, a edificação é representada por um modelo numérico para o qual se obtém as formas modais discretizadas e as correspondentes frequências naturais de vibração. O método basicamente consiste em determinar um vetor de forças a ser aplicado estaticamente à estrutura, de modo que resulte o deslocamento máximo esperado, x_max, da equação (1.2). Este vetor tem duas parcelas, sendo a primeira resultante da ação do vento com velocidade média e a outra correspondente ao valor de pico do deslocamento flutuante. Sendo assim, os métodos indicados pela NBR 6123:1988 não apresentam a limitação apontada do método do fator de rajada G

quando tomado como valor único para todos os tipos de resposta (ver item 1.1.3).

Diferentemente do método de Davenport, o cálculo da área sob o espectro de resposta modal não é obtido conforme ilustra a Figura 1.2 e sim por integração numérica admitindo uma forma modal linear ao longo da altura (Galindez, 1979). O método é aplicado com auxílio de gráficos para diferentes categorias de rugosidade de terreno e em seu desenvolvimento o valor de pico do deslocamento foi tomado de acordo com a equação (1.2), adotando-se

g

=

4

.

1.1.5

Estudos realizados por Cardoso (2011)

Cardoso (2011) realizou um estudo comparativo entre diferentes métodos para a determinação da resposta máxima em termos de deslocamentos de estruturas alteadas sob ação de vento originado de ciclones extratropicais. Foram analisadas 3 estruturas alteadas, para o modo fundamental de vibração: uma torre de reservatório de água, uma chaminé de 180 m de altura e um edifício de 50 m de altura.

7 Além destas verificações, propôs a utilização do modelo discreto da NBR 6123:1988 através de um programa computacional, baseado na solução modal exata no domínio da frequência. Este programa, com interface de uso simples e livre, fornece diretamente o vetor de forças a ser aplicado estaticamente na estrutura, reproduzindo o máximo deslocamento esperado.

Em seu trabalho, Cardoso (2011) achou boa correlação entre os resultados dos métodos, exceto para o resultado do modelo discreto da NBR 6123:1988, cujo deslocamento máximo foi inferior aos demais métodos. Os resultados foram apenas em termos de deslocamento, para o modo fundamental, de estruturas alteadas. Não foram abordados os resultados em termos esforços solicitantes e nem foi considerada a correlação das pressões na direção transversal ao vento.

1.2

Objetivos do trabalho

Em prosseguimento do trabalho de Cardoso (2011) o presente trabalho de pesquisa tem os seguintes objetivos:

(i) Realizar estudo comparativo de diferentes metodologias para determinação de respostas de pico de estruturas de edificações flexíveis sob a ação de vento turbulento incluindo a correlação espacial das pressões na direção lateral e abordando as respostas em termos de esforços solicitantes ao longo da altura;

(ii) Avaliar a metodologia adotada no método discreto da NBR 6123:1988 frente às demais e fornecer indicações para o uso do método discreto, como por exemplo, o número mínimo de modos necessários para se obter um alto porcentual da resposta total em termos de momento fletor e esforço cortante na base.

8 Para isso, foi aprimorado um programa computacional em linguagem Fortran para resposta de estruturas de chaminés, de modo que possa abordar também estruturas flexíveis de edificações.

1.3

Apresentação da tese

Este trabalho está dividido em 6 (seis) capítulos. O primeiro capítulo apresentou um breve resumo sobre o contexto do tema que será abordado, incluindo a metodologia introduzida por Davenport, a tratativa que é feita na Norma Brasileira sobre o assunto e o trabalho feito por Cardoso (2011). Por conseguinte, foram apresentados os objetivos deste trabalho.

O segundo capítulo faz um resumo teórico da ação dinâmica de vento turbulento em edificações, apresentando a descrição física e matemática dessa ação.

No terceiro capítulo é descrita toda a implementação computacional que foi elaborada, para se obter respostas dinâmicas em termos de deslocamento e esforços de edificações no domínio da frequência, e forças flutuantes de vento no domínio do tempo, citando as equações utilizadas e as considerações feitas.

O quarto capítulo apresenta o exemplo numérico de uma chaminé, cujo modelo estrutural pode ser representado por um conjunto de elementos alinhados na direção vertical, e a força de vento possui correlação apenas na direção vertical. Foram estudados o deslocamento flutuante no topo e os esforços flutuantes na base e ao longo da altura, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência.

O quinto capítulo apresenta o exemplo numérico de um prédio, cujo modelo estrutural pode ser simplificado, porém sem deixar de utilizar a correlação da força de vento na direção da largura da edificação, além da direção vertical. Foram estudados o deslocamento flutuante no topo e os esforços flutuantes na base e ao longo da altura, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência.

9

2

AÇÃO DINÂMICA DE VENTO TURBULENTO

EM ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES

Serão apresentados neste capítulo a formulação das forças originadas do vento e das equações diferenciais de movimento e alguns métodos para sua solução.

2.1

Características e modelagem matemática da velocidade do

vento em tormentas extratropicais

Apresenta-se aqui uma breve descrição das principais características dos ventos originados pelos ciclones extratropicais (tormenta EPS). Os registros de vento indicam as variações no tempo da magnitude e da direção da velocidade do vento em um determinado local. O campo de velocidade de vento é descrito com base em um sistema cartesiano: à direção predominante do vento, atribui-se a coordenada x, a direção horizontal ortogonal a esta é a direção y, e a direção z positiva para cima.

O vetor velocidade de vento em certo instante de tempo pode ser escrito em termos de três componentes (Simiu e Scanlan, 1996):

– na direção longitudinal x: U x y z t

(

, , ,

)

=U z

( ) (

+u x y z t, , ,

)

(2.1)

– na direção lateral y: v x y z t

(

, , ,

)

(2.2)

– na direção vertical z: w x y z t

(

, , ,

)

(2.3)

onde:

( )

U z é a velocidade média que depende somente da altura z acima do terreno; u, v e w são as componentes flutuantes da velocidade, que são tratadas como processos aleatórios estacionários de média nula.

A variação da velocidade média U z

( )

com a altura z pode ser descrita pela expressão empírica, denominada lei potencial, que relaciona a velocidade média em duas alturas diferentes, sendo a altura zref geralmente tomada como zref =10m.

10 onde p é o expoente que depende da rugosidade do terreno e do intervalo de tempo no qual se efetua a média. Para análises dinâmicas de estruturas, toma-se em geral um valor médio de velocidade em um intervalo de tempo de

600s

. O ajuste do valor de U z

( )

em função do tempo de média é feito para a altura z_ref por meio de expressões descritas em Blessmann (1995) ou pelo fator de rajada, F_{r II,} , do Anexo A da NBR 6123:1988 em relação ao tempo de

3 s

.

A função densidade espectral das componentes flutuantes de velocidade de vento (ou simplesmente espectro), S_u, descreve o conteúdo em frequência do processo. Existem diversas expressões propostas para as funções S_u, em geral baseadas em medições experimentais e escritas na forma adimensional. Será aqui utilizado o espectro de Harris, que obedece à expressão:

( )

(

)

15 6 2 ₂ 1 0, 6 2 u u f S f X X

σ

= ₊ (2.5) sendo: f as frequências do espectro; 1

X a frequência adimensional, dada por

( )

1 10 f L X U = , com L=1800m; 2 u

σ a variância da velocidade média do espectro, dada pela expressão:

( )

2 20 2 10 3 u Cas U σ = (2.6) sendo:

Cas o coeficiente de arrasto superficial do terreno;

( )

10 r II, 0

U =b F U a velocidade média na altura de referência z_ref =10m, onde:

,

r II

F é o fator de rajada correspondente à categoria II;

0

U é a velocidade básica do vento;

b é relação entre a velocidade média em

t

segundos, a zref =10m, sobre terreno de categoria i, e esta mesma velocidade sobre terreno de categoria II.

11 flutuação entre dois pontos i e j , pode ser considerada por meio da função densidade espectral cruzada de turbulência, cuja parte real é denominada co-espectro e é dada por:

( )

( ) (

)

, , , ,

ui uj u i u j u

S = S f S f ψ ∆r f (2.7)

sendo ψ_u

(

∆r f,

)

a função de co-espectro normalizado:

(

)

₂

(

)

2 ₂

(

)

2 , exp u r f f Cy yj yi Cz zj zi Um ψ ∆ = − − + −    (2.8) onde:

(

y z_i, _i

)

e

(

y z_j, _j

)

são as coordenadas dos pontos i e j ;

y

C e C_z são os coeficientes de decaimento, obtidos por ajustes através de dados experimentais, podendo ser tomados, como C_y =16 e C_z =10 (Simiu e Scanlan, 1996), respectivamente. Ou ainda, C_y =10 e C_z =10 (Procedimentos 1 e 2 do Eurocódigo);

m

U é a média das velocidades médias do vento nos pontos i e j .

2.2

Forças devidas à ação dinâmica do vento

2.2.1

Estruturas com pequenas dimensões

As forças devidas ao vento são calculadas com base no campo de velocidades de vento não perturbado pela presença da estrutura. Admitindo uma estrutura em repouso e de pequenas dimensões em relação aos turbilhões incidentes, a força devida ao vento na direção da velocidade média (direção longitudinal) pode ser escrita pela seguinte expressão:

(

)

2

(

)

, , , , , , 2 e F x y z t = ρU x y z t Ca A (2.9) sendo:

(

, , ,

)

U x y z t a velocidade do vento;

ρ

a massa específica do ar;

Ca o coeficiente de arrasto, obtido para a ação do vento considerado (no caso, turbulento);

e

A a área frontal de exposição do vento.

12

(

)

(

2

( )

( ) (

)

)

, , , 2 , , ,

2 e

F x y z t = ρ U z + U z u x y z t Ca A (2.10)

Foi desprezado o termo quadrático 2

(

)

, , ,

u x y z t , pois em geral, para ventos

fortes, tem-se u2

(

x y z t, , ,

)

≪U z

( )

_{. E, desta forma, para fins de simplificação} matemática, a relação entre a força e a velocidade flutuante é linear.

Pode-se, então, escrever também a força F x y z t como a soma de duas

(

, , ,

)

parcelas: uma força média (ou estática), F z

( )

, e uma dinâmica (ou flutuante),

(

)

ˆ

_{, , ,}

F x y z t

:

(

_{, , ,}

)

( ) (

ˆ

_{, , ,}

)

F x y z t

=

F z

+

F x y z t

(2.11) sendo:

( )

2 1 2 e F = ρCa A U z (2.12)

( )

( ) (

)

ˆ

_{, , ,}

e

F t

=

ρ

Ca A U z u x y z t

(2.13)

Para a estrutura em movimento, com componente x na direção do vento, a força total é função da velocidade do vento em relação à da estrutura, U_rel

( )

x t, , que substitui

(

, , ,

)

U x y z t na equação (2.9). Sendo xɺ a velocidade da estrutura na direção do vento, e desprezando-se a velocidade nas outras direções além de x, tem-se:

( )

,

( ) ( )

,

rel

U x t =U x t −x tɺ _(2.14)

Neste caso, a equação (2.10) é reescrita como:

( )

(

2

( )

( ) ( )

( ) ( )

)

, 2 , 2 ,

2 e

F x t = ρ U z + U z u x t − U z x x tɺ Ca A _(2.15) onde as parcelas u x t x x t

( ) ( )

, ɺ , _{e x}ɺ2

( )

_{x t, foram desprezadas.}

Assim, a última parcela dá origem à chamada força de amortecimento aerodinâmico:

( )

( ) ( )

,

aer e

13

2.2.2

Estruturas Alteadas e/ou alargadas

Para estruturas cuja dimensão característica não é pequena em relação às dimensões dos turbilhões, deve-se levar em conta a correlação espacial das pressões devidas ao vento no cálculo da força, que neste caso, é tratada na forma de uma resultante em toda a edificação. A dimensão característica l de uma estrutura pode ser expressa pela raiz quadrada da sua área exposta ou pela dimensão da diagonal desta área. Já a dimensão característica dos turbilhões é dada por U f . A razão entre as dimensões características da estrutura e dos turbilhões é expressa por f l U. Vickery (1965) e Davenport (1963) introduziram a função de admitância aerodinâmica

(

)

2

a f l U

χ

para relacionar as funções densidades espectrais da força flutuante resultante, S , e da flutuação da velocidade do vento, _Fˆ Su, levando em conta a

correlação espacial das pressões devidas ao vento. Trata-se de um ajuste do espectro da força de arrasto em relação ao caso ideal de uma estrutura envolvida pela turbulência com correlação perfeita. Através de estudos teóricos e experimentais em túneis de vento feitos em discos e placas planas propuseram a seguinte expressão:

2 4 3 1 2 1 a f l U χ =   +    (2.17)

Assim, a função densidade espectral da força, S_Fˆ

( )

f , é escrita a partir da

relação entre a força média do vento e a velocidade média, sendo expressa por:

( )

(

)

2 ₂

( )

ˆ 4 a u

F

S f = F U χ S f (2.18)

2.3

Formulação das equações de movimento

Neste estudo, foram adotadas as seguintes hipóteses para a formulação das equações:

14 O comportamento dinâmico de uma estrutura, discretizada em N graus de liberdade, obedece a um sistema de N equações de movimento, escrito na forma matricial como:

( )

t +

( )

t +

( )

t =

( )

t

M Xɺɺ C Xɺ K X F _(2.19)

onde:

M, C e K representam respectivamente as matrizes de massa, amortecimento e rigidez da estrutura;

( )

t

Xɺɺ , Xɺ

( )

t e X

( )

t são respectivamente os vetores de aceleração, velocidade e deslocamentos de cada grau de liberdade;

( )

t

F é o vetor das forças externas;

t

é a variável independente que representa o tempo.

Na prática, é difícil se determinar uma matriz que represente o amortecimento da estrutura. Desta forma, arbitra-se uma suposição para se obter esta matriz, de maneira a simplificar a solução das equações de equilíbrio. Costuma-se adotar C como sendo uma matriz proporcional à matriz de massa e à matriz de rigidez, ou seja, utiliza-se a simplificação:

α β

= +

C M K (2.20)

que, substituída no sistema de equações de movimento conduz a:

( ) (

t + α +β

) ( )

t +

( )

t =

( )

t

M Xɺɺ M K Xɺ K X F (2.21)

sendo:

α

o coeficiente de proporcionalidade entre a massa e o amortecimento; β o coeficiente de proporcionalidade entre a rigidez e o amortecimento.

Existem vários métodos para solução do sistema de equações acima. O método de superposição modal é um dos mais utilizados, por conduzir a um sistema de equações desacopladas (para o caso de amortecimento proporcional). Com este método, é possível selecionar as equações mais relevantes para cada estrutura e correspondente força de excitação.

O método da superposição modal consiste em fazer uma transformação de coordenadas físicas em coordenadas generalizadas. Para isso, escrevem-se os deslocamentos na base formada pelos modos naturais de vibração:

( )

t = ⋅

( )

t

15 sendo:

[

φ φ1 2 φN

]

= …

Φ a matriz dos vetores

φ

_i de formas modais;

( )

t

A o vetor de amplitude das coordenadas modais para cada modo de vibração. Utilizando esta transformação e pré-multiplicando a equação (2.21) pela transposta da matriz de formas modais, Φ , obtém-se: T

ΦTMΦAɺɺ

( )

t +

(

α

ΦTM+

β

ΦTK

)

ΦAɺ

( )

t +ΦTKΦA

( )

t =ΦTF

( )

t (2.23) Em função das propriedades de ortogonalidade dos autovetores em relação à matriz de massa, chega-se a um sistema de equações desacopladas, com a equação correspondente ao modo de vibração j dada por:

( )

(

)

( )

( )

( )

j j j j j j j j m a tɺɺ +

α

m +

β

k a tɺ +k a t = f t _(2.24) sendo:

( )

j

a t a amplitude modal referente ao modo de vibração j ;

T

j j j

m =φ Mφ é a massa modal referente ao modo de vibração j ;

T

j j j

k =φ Kφ é a rigidez modal referente ao modo de vibração j ;

T

j j

f =φ F é a força modal referente ao modo de vibração j . e o amortecimento modal, c , escrito como: _j

j j j

c =αm +β k (2.25)

Utilizando-se a relação 2

j j j

k =ω m , sendo ω_j a frequência natural do modo de vibração j , e substituindo-a na equação (2.24):

( )

(

2

)

( )

2

( )

( )

j j j j j j j j j j

m a tɺɺ +

α

m +

β ω

m a tɺ +

ω

m a t = f t _(2.26) Dividindo-se a equação pela massa modal m finalmente chega-se a: _j

( )

(

2

)

( )

2

( )

( )

j j j j j j j

a tɺɺ +

α β ω

+ a tɺ +

ω

a t = f t m _(2.27)

16 A obtenção dos coeficientes de proporcionalidade

α

e β é feita por meio de medições experimentais de 2 (duas) taxas de amortecimento para 2 (dois) diferentes modos,

ζ

₁ e

ζ

₂ e suas respectivas frequência naturais,

ω

₁ e

ω

₂. A taxa de amortecimento

ζ

_r é expressa como:

j r c c c

ζ

= (2.28)

sendo c_c =2m_jω_j o amortecimento crítico e substituindo na equação anterior, obtém-se: 2

j r j j

c = ζ mω (2.29)

Substituindo- se a equação (2.29) em (2.25), e dividindo-se a equação por m , j

tem-se o sistema de equações:

2 1 1 1 2 2 2 2 2 2

α β ω

ζ ω

α β ω

ζ ω

 _{+ =}   + =  (2.30)

2.4

Solução numérica modal no domínio do tempo

Na solução numérica modal no domínio do tempo, as equações do movimento são resolvidas por integração numérica. A força modal é calculada em cada instante de tempo e o deslocamento de cada nó é obtido combinando-se a contribuição dos diversos modos de vibração.

As forças de vento são tratadas como sendo distribuídas na área de exposição e calculadas considerando-se a correlação cruzada da componente flutuante da velocidade de vento. Ou seja, as equações são resolvidas considerando somente a componente flutuante da força de vento,

F t

ˆ

( )

, expressa na equação (2.13). Desta forma, os resultados obtidos são as respostas flutuantes (dinâmicas), ˆx. Estas respostas flutuam em torno da resposta média (estática), x . Para qualquer instante de tempo, a resposta total é a soma das duas parcelas. E o mesmo pode ser feito para se obter a resposta máxima, conforme expresso na equação (1.2).

17 flutuante do vento, S_u, da função co-espectro normalizado,

ψ

_u (equação (2.8)), e das coordenadas espaciais de cada nó. Com o histórico dos deslocamentos obtidos em um determinado nó, é possível se obter a resposta de pico deste nó no domínio do tempo, calculando-se o fator de pico (através da equação (2.36), onde a taxa de ultrapassagem é o número de vezes que o histórico da resposta cruza o eixo do tempo), e extraindo-se o desvio padrão através da equação da variância:

2 2 0 1 ˆ T x x dt T =

_∫

σ

(2.31)

Da mesma forma, pode-se obter a resposta em termos de esforços solicitantes. A variância de um esforço (momento fletor, esforço cortante etc), σ_r2, é calculado a partir do histórico deste esforço no tempo, através da expressão:

2 2 0 1 ˆ T r r dt T

σ

=

_∫

(2.32)

2.5

Solução no domínio da frequência

2.5.1

Equação do movimento modal

Aplicando a transformada de Fourier a ambos os lados da equação de movimento (2.27), chega-se a equação no domínio da frequência, cuja solução pode ser escrita em termos de função de densidade espectral da amplitude de deslocamento modal, Sa j_,

( )

f :

( )

(

)

( )

( )

2 ˆ , 4 , 1 2 a j F j j j S f H f S f m π f = _(2.33) sendo: 2 j j f

ω

π

= a frequência natural do modo de vibração j ;

( )

H f a função de admitância mecânica, ou função de resposta em frequência,

18

r

ζ

é a taxa de amortecimento total (estrutural e aerodinâmico);

( )

ˆ ,

F j

S f é a densidade espectral da força modal, que pode ser obtida de diferentes formas, as quais serão mostradas a seguir.

2.5.2

Método de Davenport – Fator de rajada

O método de Davenport foi inicialmente desenvolvido para estruturas representadas por um sistema do tipo massa – mola – amortecedor com frequência natural f_r para o qual a função densidade espectral da resposta em deslocamento modal

( )

,

a j

S f é dada por (2.33), e a função densidade espectral da força resultante é dada por

(2.18).

Substituindo-se a equação (2.18) na equação da função densidade espectral da resposta chega-se ao espectro de resposta que tem o aspecto ilustrado na Figura 1.2. O fator de rajada, G, para resposta pode ser escrito na forma:

1 2 _u G= + g I B+R (2.35) onde:

( )

2 ' 0 a u B

χ

S f df ∞

=

_∫

é o fator de resposta quase-estática (background);

( ) ( )

2 2 ' 0 a u r R

χ

S f H f df ∞

=

_∫

é o fator de resposta ressonante;

u

I é a intensidade de turbulência dada por:

(

0

)

1 ln u I z z = .

Para o cálculo de B admite-se uma ação quase estática do vento, ou seja, admite-se H f

( )

=1 sobre todo o espectro. Para a determinação de R considera-se o valor do espectro de força na frequência natural f_r.

Davenport (1961) deduziu a seguinte expressão para o fator de pico g:

( )

( )

2 ln 0, 577 2 ln

g= νT + νT (2.36)

onde:

19 2 0 1 2 m m

ν

π

= , onde m_n

ω

nS_a

( )

ω ω

d +∞ −∞ =

_∫

(2.37)

T é o intervalo de tempo total da estimativa.

2.5.3

Solução numérica modal no domínio da frequência

(NFREQ)

Para uma estrutura discretizada em N nós, o espectro de forças modais pode ser escrito como:

( )

( )

ˆ, , , ˆ ,ˆ 1 1 N N j k j l F j Fk Fl k l S f φ φ S f = = =

∑∑

(2.38)

sendo

S

_{Fk Fl}ˆ _,ˆ

( )

f

o espectro cruzado das forças flutuantes aplicadas nos nós k e l, expresso por:

( )

( )( )

( )

ˆ ,ˆ 2 2 , 4 k l k l k l uk ul Fk Fl S f = ρ U U Ca Ca A A S f (2.39)

onde S_{uk ul,}

( )

f é o espectro cruzado da componente flutuante de velocidade do vento, equação (2.7).

Nesta equação utiliza-se a hipótese de que as forças de vento podem ser determinadas a partir do campo de velocidades do vento não perturbado pela estrutura tomando-se a correlação espacial das pressões de vento idêntica à correlação das velocidades flutuantes através do co-espectro normalizado da equação (2.8). Esta hipótese se justifica pela ocorrência de dois efeitos opostos:

(iv) as pressões na face frontal de uma edificação são melhor correlacionadas entre si do que o são as velocidades flutuantes de vento;

(v) as pressões devidas ao vento na face de sotavento não são bem correlacionadas com as pressões de barlavento.

A hipótese acima mencionada seria não conservadora a julgar pelo efeito (i) e seria conservadora pelo efeito (ii). Como os efeitos se compensam e tendo em conta a grande dispersão de resultados, esta hipótese é tida como uma boa aproximação (Dyrbye & Hansen, 1997).

Tal como no método de Davenport, a resposta de pico é dada pela equação (1.3), cujo desvio padrão

σ

_x é obtido a partir da variância da amplitude modal 2

,

a j

20 solução numérica NFREQ, o cálculo da variância é feito através da área total

(

A₁+A₂

)

abaixo da curva da densidade espectral do deslocamento modal (Figura 1.2), por integração numérica com intervalos de frequência igual a ∆ =f 10−3Hz:

( )

2 , , 0 a j Sa j f df

σ

=∞

_∫

(2.40)

A variância de um deslocamento x de um nó k qualquer para n modos de vibração na análise é dada por:

2 , , , , , 1 1 n n x k i k j k a i a j i j

σ

φ φ σ σ

= =

=

∑∑

(2.41)

Desenvolvendo a equação acima, tem-se:

2 2 2 2 2

, 1 ,1 1 ,1 2 ,2 , 1 , 1 ,

x k a a a n a n n a n n a n

σ =φ σ +φ σ φ σ +…+φ σ φ σ− − +φ σ (2.42) Quando as frequências naturais estão razoavelmente espaçadas, ou seja, quando seus valores não são muito próximos, pode-se adotar uma aproximação que despreza os termos cruzados da equação (termos do somatório em que i≠ j) e considera apenas os termos em que i= j. Assim, a variância de um deslocamento x de um nó k qualquer pode ser aproximada por:

2 2 2 , , , 1 n x k i k a j i

σ

φ σ

=

=

∑

(2.43)

2.5.4

Variância dos esforços no domínio da frequência através

da análise modal

Segundo Holmes (2007), similarmente ao cálculo do deslocamento apresentado em (2.43), a variância de uma resposta da estrutura (momento fletor, esforço cortante etc), σ_r2, pode ser obtida conhecendo-se a resposta R devida à atuação de um vetor de _j forças equivalentes F , correspondente à amplitude modal unitária, j a , conforme a j

expressão abaixo: 2 2 2 , 1 n r a j j j

R

σ

σ

=

=

∑

(2.44)

21 2

j =ωj j

F Mφφφφ (2.45)

2.5.5

Forças equivalentes

Na análise modal, a determinação dos esforços internos de pico para cada modo j é feita calculando-se um vetor de forças equivalentes, F_pico, a ser aplicado estaticamente na estrutura:

, ,

j pico = j pico

K U F (2.46)

sendo:

K a matriz de rigidez da estrutura;

,

j pico

F o vetor de forças de pico referente ao modo de vibração j ;

,

j pico

U o vetor de deslocamento de pico referente ao modo de vibração j , dado por: , , j pico=g σj a j j U φφφφ _(2.47) onde: j

g é o fator de pico do modo de vibração j ;

,

a j

σ _{é o desvio padrão da resposta modal do modo de vibração j ;}

j

φφφφ é o autovetor do modo de vibração j .

Assim, substituindo a expressão do deslocamento de pico, a força de pico é expressa por:

, ,

j pico = g σj a j j

F K φφφφ (2.48)

que, desenvolvida, fica:

2

, ,

j pico =ωj g σj a j j

F M φφφφ (2.49)

onde M é a matriz de massa diagonal da estrutura.

Conhecendo o vetor das forças de pico, os esforços de pico são obtidos aplicando-se estaticamente essa força correspondente em cada nó da estrutura.