T E X T O D E R E V I S Ã O C Á L C U L O D I F E R E N C I A L & I N T E G R A L P A R A A F Í S I C A 3 JOSÉ ARNALDO REDINZ (DPF/UFV) JULHO DE 2004

Texto

(1)

T E X T O D E

R E V I S Ã O

DE

C Á L C U L O

D I F E R E N C I A L &

I N T E G R A L

P A R A A F Í S I C A 3

JOSÉ ARNALDO REDINZ (DPF/UFV) JULHO DE 2004

(2)

PREFÁCIO

Durante o tempo em que ministramos a disciplina Física 3, voltada para os estudantes de diversas engenharias, física, química e matemática, notamos que uma grande parte deles não possuía o domínio da matemática que se poderia esperar, tendo em vista os pré-requisitos dessa disciplina. O conteúdo da Física 3 exige tipicamente, para seu desenvolvimento e completa compreensão, que o estudante entenda e saiba efetuar operações com vetores, realizar derivadas, integrais definidas simples, integrais de linha, de superfície e de volume. No entanto não é esse o estágio de muitos alunos que ingressam nessa disciplina. Poderíamos mencionar aqui inumeráveis exemplos, retirados de nossa experiência, que revelam falta de intimidade por parte de muitos estudantes, com os conceitos básicos de cálculo e, em alguns casos, de trigonometria, geometria, ou outra área mais fundamental da matemática.

Além disso, notamos muitas vezes, um completo desprezo pelo rigor mínimo que o uso da linguagem matemática exige. Sinais são simplesmente trocados, um sinal + se transforma em um – magicamente, termos divergentes (1/0) são desprezados, jogados para debaixo do tapete, parâmetros constantes se transformam em variáveis e vice- versa, tudo para que enfim se emita uma “resposta” para o problema proposto. Não deveria ser esse, o comportamento esperado de estudantes das áreas de ciências exatas, mas enfim, não pretendemos entrar aqui nessa discussão. Apenas acreditamos que o mesmo desconforto que causaria em qualquer professor ver um estudante escrever a frase “nóis vai lá purque nóis qué”, deve também causar ver um estudante escrever a equação

a x dx=a

0 2

1

1 .

Tendo em vista essa realidade, estamos nos propondo aqui a oferecer um texto que auxilie os estudantes, relembrando, enfatizando e reforçando sua base matemática. Nosso texto é totalmente voltado para a disciplina Física 3, nos limitaremos ao conteúdo relevante e a um enfoque que acreditamos seja útil e, ao mesmo tempo, minimamente rigoroso para essa disciplina. Ao longo do texto propomos alguns poucos exercícios, para que o estudante interessado teste seu conhecimento no assunto. O conteúdo exposto aqui pode ser encontrado em qualquer livro de cálculo, e não estamos nos propondo a substituir disciplinas ou livros textos. Pelo contrário, torcemos para que os estudantes cursem cada vez com mais interesse essas disciplinas, enxerguem a beleza que a matemática muitas vezes revela, assimilem as lições de rigor e exatidão que essa ciência nos transmite e procurem se inspirar nos autores de livros textos consagrados nessa área.

Ao chegar na disciplina Física 3, os estudantes já terão estudado todos os conceitos aqui discutidos, e já devem ter tido oportunidade de exercita-los em diversos problemas. Mas a realidade é que, por algum motivo que nos escapa à elucidação, um sem-número de estudantes “esquece” quase tudo em um tempo muito curto. Talvez o desprezo pelo rigor matemático, quiçá revelador de um desprezo pela própria matemática, esteja relacionado com esse fenômeno. Será concebível um estudante de medicina, ou um médico que desprezem a biologia? Não sejamos ingênuos, deve haver muitos, afinal, ninguém precisa saber o que é uma mitocôndria para prescrever um remédio para gripe. Só nos resta torcer para que não nos deparemos com eles no percurso, ou nos percalços, de nossas vidas. Como já se disse, ensinar não é encher um balde vazio, ensinar é acender uma chama. Por algum motivo, que não pretendemos discutir aqui, essa chama às vezes permanece inerte, fria como o gelo.

Não possuímos formação específica em um curso formal de matemática, seja em nível de graduação ou pós-graduação. Por isso apresentaremos uma visão da matemática do ponto de vista de um físico, cientes de nossas limitações nessa área, mas cientes também de nossas responsabilidades e deveres acadêmicos. Não queremos, no entanto, que fique a impressão de que somos simples leigos “chutadores”. Acreditamos que possuímos formação e experiência, na área de matemática, suficientes para a tarefa – modesta - a que nos

(3)

propomos. Na graduação cursamos várias disciplinas nessa área, além de outras que cursamos, por vontade própria, no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), no Rio de Janeiro. Acima de tudo admiramos a matemática e temos a esperança de transmitir, e quem sabe contagiar, essa admiração no texto que se segue.

Algumas vezes somos questionados na sala de aula, se o que estamos abordando trata-se de física ou de matemática. Na nossa opinião, e de muitas autoridades no assunto, não podemos separar uma ciência da outra. Já se disse que “a física é o estudo dos fenômenos naturais passíveis de descrição matemática”, o resto seria astrologia. A essa propriedade da natureza, que a faz descritível através de formulações matemáticas, P. A. M.

Dirac, prêmio Nobel de física, denominou “qualidade matemática da natureza”. A física e a matemática evoluíram e evoluem juntas, como nos casos do cálculo com a mecânica clássica, e da análise vetorial com o eletromagnetismo.

A física também gera matemática, como no caso da teoria ergódica, toda uma área moderna de pesquisa na matemática que teve origem após os trabalhos de Boltzmann na mecânica estatística. Por essas razões, acreditamos que ao incentivar o estudo da matemática estaremos melhorando a formação dos estudantes em física.

Para a elaboração desse texto nos baseamos principalmente na coleção de quatro livros de títulos Cálculo 1, Cálculo 2 e etc. de George B. Thomas Jr., professor emérito de matemática do MIT/USA. Nossos exemplares desses livros foram editados pela LTC em 1978, e foram adquiridos, num golpe de sorte, na Feira do Livro Usado em Vitória, ES, nos tempos de faculdade. Segundo o autor desses livros, os estudantes devem ser expostos desde cedo à idéia de que uma derivada é uma taxa de variação, e de que uma integral é uma soma. Procuraremos enfatizar aqui essa visão prática do cálculo.

1- FUNÇÕES,LIMITES E GRÁFICOS DE FUNÇÕES:

Uma função é uma regra que associa elementos de um conjunto (domínio) a elementos de outro conjunto (imagem).

A cada elemento do domínio a regra associa apenas um elemento da imagem. Nos limitaremos aqui principalmente a funções definidas em conjuntos de números. Se f é a função, dizemos que f associa xD a f(x)I . Por exemplo, a função f :xx2 associa a um número no conjunto dos reais () um outro número no conjunto dos reais positivos (+). Escrevemos simplesmente f(x=2)=4 ou ainda f(3)=9. A função módulo f :x x também associa números em a números em +, por exemplo, f(3)=3 e f(5)=5. De maneira geral

x2

x = .

Algumas vezes uma função não está nem definida em um ponto particular, por exemplo x=a, mas podemos estar interessados no valor dessa função quando nos aproximamos infinitamente desse ponto. Se o ponto

a

x= está “perdido” no meio do domínio de f , podemos nos aproximar dele tanto pela esquerda quanto pela direita. Chamamos essa operação - de aproximação infinita da variável x do ponto x=a - de tomar o limite de x tendendo a a, denotada por limx→a. Quando nos aproximarmos pela esquerda, ou seja, por valores de x menores do que a, denotamos o limite por limx→a. Quando nos aproximarmos pela direita, ou seja, por valores de x maiores do que a, denotamos o limite por limx→a+. Se x=a está no domínio de f , ou seja, se está definida a imagem f(a), então, a função f é dita contínua em x=a se limxa f(x)= f(a)=limxa+ f(x). Por exemplo, a função f(x)=1/(x1) não está definida em x=1 e limx1 f(x). Essa notação significa que f(x), nesse limite, é maior que qualquer número positivo que você puder imaginar. A função

x x x

f( )=sen( )/ não está definida em x=0, pois resulta em 0/0, mas pode-se demonstrar que nesse caso

1 ) (

limx0 f x = .

Na figura (1) mostramos os gráficos de algumas funções bastante comuns:

(4)

a) f(x)=ax+b com a e b constantes, cujo gráfico é uma reta, que passa pelo ponto

) ) 0 ( , 0

(x= f =b e que possui inclinação a.

b) f(x)=ax2 +bx+c, cujo gráfico é uma parábola, com a “boca” para cima se a>0 ou para baixo se

<0 a .

c) x

x a

f( )= , cujo gráfico é uma hipérbole, que não está definida em x=0. d)

= <

2 ) 2

( 2

x para x

x para x x

f , cujo gráfico apresenta uma descontinuidade em x=2. Note nesse gráfico a indicação de que em x=2 a função assume o valor 4, marcado com a bola cheia Q, e não 2, marcado com a bola vazada {.

e) f(x)=ekx, que também denotamos por f(x)=exp(kx). f) f(x)=lnx, o logaritmo natural, que só está definido para x>0.

FIGURA 1: gráficos de algumas funções comuns.

Podemos definir também funções de várias variáveis, como, por exemplo, f(x,y)= x2 +y2 e

ϕ θ ϕ

θ, ) cos sen ,

(r r

f = . A área A de um retângulo de lados x e y, por exemplo, é dada pela função

y x y x

A( , )= . Os gráficos dessas funções são representados por superfícies ou outros objetos mais complicados e até mesmo impossíveis de serem desenhados no plano.

Exercício: Faça gráficos das funções f(x)= x e f(x)=1/(x1) com 5< x<5.

Antes de avançarmos, é interessante fazer aqui uma revisão das propriedades de algumas funções que aparecem freqüentemente em física.

• Função exponencial: f(x)=exp

( )

kx =ekx com k uma constante. A base e vale aproximadamente

71828 ,

2

e . Note que f(a+b)=exp

(

k

(

a+b

) )

=exp(ka+kb)=exp(ka)exp(kb)= f(a) f(b).

• Função logaritmo natural, ou neperiano: f(x)=lnx. A função logaritmo natural é a inversa da função exponencial, pois se a=eb então b=lna, ou ainda, x=ln

( )

ex e x=exp

( )

lnx . O logaritmo natural é o logaritmo na base e, ou seja, o logaritmo natural de um número x>0 é o número y a que temos que elevar a base e para que dê como resultado x, ou seja, x=ey. Note que

( )

ln ln ( ) ( ) ln

)

(ab ab a b f a f b

f = = + = + e f(ak)=ln

( )

ak =klna=k f(a) com k um número racional. A propriedade ln

( )

ab =lna+lnb está nas raízes históricas da origem da função logaritmo.

(5)

Antes da existência das calculadoras eletrônicas, a tarefa de multiplicar dois números grandes requeria um bocado de tempo e esforço. John Napier (daí o nome neperiano) teve a idéia de criar uma função que permitisse a realização de produtos através de somas. Assim, para calcular ab, primeiro se achava em uma tabela de logaritmos os números lna e lnb, se somava esses dois números e finalmente se procurava novamente na tabela qual o número correspondente ao logaritmo lna+lnb. Note ainda que

0 1

ln = e que ln

(

x0

)

−∞. Já mencionamos que a função logaritmo só este definida no conjunto dos números positivos. De fato, o logaritmo de um número negativo é um número imaginário, por exemplo,

( )

1 =iπ

ln , com i= 1. Poderíamos nos perguntar por que as funções exponencial e logaritmo estão definidas na base e, um número que vale aproximadamente 2,718 e que além de irracional é transcendental. De fato, a escolha dessa base está na raiz da própria definição de logaritmo, como área abaixo da hipérbole e, por conseguinte, na função exponencial, como inversa da função logaritmo. Nada nos impede de definir funções exponencial e logaritmo em bases diferentes, como por exemplo, o logaritmo decimal (x=10y). No entanto, a base e se integra de uma maneira única às outras funções e permite escrevermos igualdades intrigantes como, por exemplo: cosθ = 12

(

eiθ +eiθ

)

e ainda eiπ +1=0.

• Função seno: f(x)=senx. Trata-se de uma função periódica que assume valores no intervalo [0,1] e de período T0 =2π, pois f(x+T0)= f(x) para todo x. Vale ainda f(0)=sen0=0 e

1 2 / sen ) 2 /

(π = π =

f . A inclusão de uma constante k, na forma f(x)=sen

( )

kx define uma função de período T arbitrário, dependente do valor de k. De fato, para satisfazer a igualdade f(x+T)= f(x), ou seja, sen

(

k(x+T)

)

=sen

( )

kx , deve valer: sen

(

kx+kT

)

=sen

( )

kx , ou seja, kT =2π e portanto

k T =2π/ .

• Função co-seno: f(x)=cosx. Possui propriedades análogas às da função seno. Vale f(0)=cos0=1 e

(

/2

)

0

cos ) 2 /

(π = π =

f . Vale lembrar ainda que sen

(

a+b

)

=senacosb+senbcosa e

b a b

a b

a ) cos cos sen sen (

cos + = . Ainda: sen2 x+cos2 x=1 para todo x.

2DERIVADAS DE FUNÇÕES:

Consideremos a tarefa de calcular a inclinação de uma reta dada (veja a figura (2a)). Assumindo que as escalas nos eixos vertical e horizontal são as mesmas, a inclinação da reta é simplesmente a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo horizontal x. Essa inclinação pode ser então medida com um transferidor ou simplesmente calculada através da construção de um triângulo retângulo cuja hipotenusa coincide com a reta. Assim, se m é a inclinação da reta, obtemos:

x m y

Δ

= Δ

=tanθ

Por exemplo, se um veículo viaja com velocidade constante V numa estrada reta, então sua posição ao longo da estrada crescerá linearmente no tempo t, isto é, x(t)= x0 +Vt. O gráfico de x(t) versus t será uma reta e a inclinação dessa reta será a velocidade V do veículo, ou seja:

t V t

t t V t

t

t V x t V x t

t t x t x t

m x =

=

+

= +

= Δ

= Δ

1 2

1 2 1

2

1 0 2 0 1

2 1

2) ( ) ( ) ( )

(

sendo t1 e t2 tempos arbitrários.

Consideremos agora a tarefa de calcular a inclinação m de uma curva, dada por uma função f(x)

contínua (veja a figura (2b)). É fácil notar que essa inclinação, de fato a inclinação da reta tangente à curva, muda em cada ponto. Assim, é mais correto falarmos da inclinação m(x) da curva no ponto x. Podemos simplesmente

(6)

desenhar uma corda que conecta o ponto (x,f(x)) a um ponto mais adiante (x+Δx,f(x+Δx)) sobre a curva.

A inclinação dessa corda é:

x x f x x f x

x x

x f x x mcorda f

Δ

Δ

= +

Δ +

Δ

= ( + ) ( ) ( ) ( )

FIGURA 2: inclinação (derivada) de uma reta e de uma curva.

Se imaginarmos agora que o ponto (x+Δx,f(x+Δx)) se aproxima do ponto (x,f(x)), podemos ver que a corda se aproxima da reta tangente à curva no ponto (x,f(x)). Ou seja:

x x f x x x f

m x

Δ

Δ

= Δ ( + ) ( ) lim

)

( 0 (1) Por exemplo, se f(x)= x2, então f(x+Δx)=(x+Δx)2 = x2 +2xΔx+(Δx)2 e assim:

x x x x

x x x x

x x x x x x

m x x (2 ) lim x 2 2

) lim ( lim 2

)

( 0 0

2 2 2

0 = +Δ =

Δ Δ +

= Δ Δ

Δ + Δ

= Δ + Δ Δ

A nova função m(x), obtida da função f(x), é chamada de derivada da função f(x). Essa nova função é representada comumente de duas formas, dependendo da conveniência. Podemos representar a função derivada por f '(x) ou ainda:

dx

df (2)

Nessa última expressão os símbolos diferenciais df e dx representam novas variáveis, que, por definição, estão relacionadas por: df = f '(x)dx (veja a figura (2b)).

Na tabela que se segue exibimos algumas funções de uso freqüente e suas derivadas. Considere que k é uma constante:

Função f(x) Derivada f '(x)

xn nxn1

) (

sen kx kcos(kx) )

(

cos kx ksen(kx)

x

ek kekx

x

ln 1/x

Podemos definir também derivadas de ordem superior, como a derivada segunda de f(x) no ponto x, representada por f ''(x)=(f '(x))', ou ainda

2 2

dx f d dx df dx

d =

Definimos também a derivada terceira f ' ''(x)(ou f (3)(x)) e etc.

(7)

Caso não tomemos o limite Δx0, mas consideremos simplesmente Δx pequeno, obtemos uma expressão que aproxima a função f em um ponto x+Δx em termos dessa mesma função em um outro ponto x, ou seja:

x x f x f x x

f( +Δ ) ( )+ '( )Δ (Δx0)

A figura (2b) ilustra essa aproximação. Note que a expressão acima aproxima o verdadeiro salto em f(x),

) ( ) (x x f x f

f = +Δ

Δ , pelo valor de df , que é de fato o salto ao longo da reta tangente. Quanto menor o valor de Δx, mais df se aproxima de Δf .

Por exemplo, se f(x)=x2, então f(3)=9 e f(3,1)=9,61 exatamente. Caso não soubéssemos, poderíamos estimar o valor de f(3,1) pela expressão acima, resultando em:

6 , 9 6 , 0 9 ) 1 , 0 ( 2 9 ) 1 , 0 ( ) ( ' ) 3 ( ) 1 , 0 3 ( ) 1 , 3

( = f + f + f x x=3 = + xx=3 = + =

f A notação

a

x x

f( ) = usada acima denota a função f(x) avaliada em x=a.

Se quiséssemos uma maior precisão nos cálculos, poderíamos fazer uso do Teorema de Taylor, que define a série de Taylor como uma expressão exata para uma função (infinitamente diferenciável) f em um ponto x+Δx em termos dessa mesma função e de suas derivadas, em um outro ponto x:

( ) ( )

...

! 3

) ( '' '

! 2

) ( ' ) '

( ' ) ( )

( +Δ = + Δ + Δ 2 + f x Δx 3 + x x

x f x f x f x x f

sendo n!=n(n1)(n2)...1 a função fatorial (0!=1!=1). Esse teorema se aplica a um grande conjunto de funções, como polinômios, senx, ex, etc.

Assim, voltando ao nosso exemplo, como f ''(x)=2x, f ' ''(x)=2 e f (n>2)(x)=0, obtemos:

( )

9 0,6 0,01 9,61 2

1 , ) 0 ( '' ) 1 , 0 ( ) ( ' ) 3 ( ) 1 , 0 3 ( ) 1 , 3 (

2 3

3 + = + + =

+

= +

= f f f x x= f x x=

f

que é o valor exato de (3,1)2. Caso nos deparemos com uma função cujas derivadas são todas não nulas, poderemos obter valores aproximados simplesmente truncando a séria em algum ponto. A posição em que truncamos a série é arbitrária, dependendo da precisão almejada.

Exercício: Use a série de Taylor para estimar o valor de 3 27,3 com 5 casas decimais. Confira seu resultado usando uma calculadora (note que 3 27 =3).

Uma outra forma de aproximar funções por séries é a que faz uso da Fórmula Binomial de Newton. Todos sabemos desenvolver as séries (a+b)2 =a2 +2ab+b2 e (a+b)3 =a3 +3a2b+3ab2 +b3. Qual será a expansão de (a+b)15? Isaac Newton respondeu essa pergunta, mais ainda, ele respondeu todas as perguntas, ou seja:

! ...

3

) 2 )(

1 (

! 2

) 1 ) (

( 1 2 2 3 3 +

+ +

+

=

+ N N N a b

b N a

b N a N a b

a N N N N N (3)

para N inteiro positivo. Podemos compactar essa expressão na forma:

=

=

+ N

n

n n N

N a b

n N n b N

a

0 !( )!

) ! (

Um caso particular dessa expressão é, para a=1:

=

=

+ N

n

n

N b

n N n b N

0 !( )!

) ! 1 (

Consideremos então a função f(x)=(1+x)15. Quanto vale (1,01)15? A calculadora nos fornece imediatamente

...

16096 . 1 ) 01 , 1

( 15 = Como exercício, vamos esquecer esse resultado por enquanto e vamos estimar o valor de

)15

01 , 1

( usando a série binomial de Newton. Note que para x0, vale:

(8)

6 ...

13 14 15 2

14 15 15

1 ) 1

( 15 2 × × 3 +

× + + +

+x x x x

Então:

(

0,01

)

105(0,01) 455(0,01) 1 0,15 0,0105 0,000455

15 1 ) 01 , 0 1 ( ) 01 , 1

( 15 = + 15 + + 2 + 3 = + + +

Finalmente:

160955 .

1 ) 01 , 1

( 15

No caso da função f(x)=(1+x)α com α não sendo um inteiro positivo, a expansão binomial se transforma numa série infinita, dada pela equação (3).

Voltando às derivadas, se f = f(x) e x=x(t), ou seja, se f é uma função implícita de t, usamos a regra da cadeia para calcular df /dt:

dt dx dx df dt

df = (4)

Por exemplo, se f(θ)=sen(kθ) com k uma constante, então, seja u=kθ . Nesse caso f = f(u) e u=u(θ), e portanto:

) cos(

) (cos

sen θ θ

θ θ

θ d k u k k k

u d du

d d

du du df d

df = = = =

Um outro exemplo: considere uma caixa d’água que tem a forma de um paralelepípedo de base retangular de lados a e b e altura L. Uma torneira está enchendo essa caixa com uma vasão de ϑ litros por segundo.

Partindo da caixa vazia em t =0, quanto tempo leva para a caixa encher?

Seja h(t) a altura do nível da água no tempo t (h(0)=0). Então, o volume de água contido na caixa no tempo t

é V(t)=abh(t) (em m3). Se não há vazamentos de água, a taxa de variação no tempo desse volume deve ser exatamente ϑ (em m3/s), ou seja:

ϑ

=

=

= dt

bdh dt a

dh dh dV dt

dV então

ab dt dh = ϑ

(em m/s).

Essa última equação (diferencial) é fácil de ser resolvida, obtemos:

abt abt h

t

h = + ϑ = ϑ

) 0 ( )

( e portanto, o instante em que a caixa encherá será aquele t* para o qual h(t*)=L, ou seja

ϑ

t* = abL (em segundos).

Exercício: use a regra da cadeia para calcular a derivada de f(x)=eg(x) em relação à x, sendo g(x)

uma função diferenciável.

O fato de que a derivada de f(x) calculada em x0 é a inclinação da reta tangente à curva de f(x)

versus x no ponto x0 sugere muitas aplicações práticas desse conceito. Por exemplo, se x0 estiver “perdido” no meio do domínio de f e se nesse ponto a função contínua f apresenta um máximo ou um mínimo, então, vale

0 ) (

' x= x0 =

f . Consideremos o seguinte exemplo: Um fabricante de latas de alumínio para refrigerantes deseja fazer uma lata cilíndrica que contenha um dado volume ϑ (cm3). Supondo que essa lata deverá ter base circular de raio R e altura H, determinemos as dimensões ideais da lata para que o gasto de material seja mínimo.

Primeiramente podemos identificar uma relação entre R e H dada por ϑ =πR2H , sendo que ϑ será considerado uma constante nesse problema. O gasto G de material, considerando que a folha de alumínio tem uma espessura dada, pode ser medido pela área da lata, duas tampas na forma de disco e um retângulo lateral, ou seja:

) (

2 2

2 ) ,

(R H R2 RH R2 RH

G = π + π = π +

Imagem

Referências

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