Experimento A0: Fractais

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Departamento de F´ısica - CCE F´ısica Experimental Roteiro

Experimento A0: Fractais

1. Introdução

A geometria euclidiana éconsiderada uma maneira adequada de descrever o mundo em que vivemos, por exemplo, a distância entre dois pontos, a área ou o volume de um determinado objeto são descritos nesta geometria. No entanto, esta geometria não descreve bem a forma de uma nuvem, de uma montanha e do litoral, por exemplo, porque não são esferas, cones ou arcos, respectivamente. Isto implica dizer que a natureza se apresenta com forma irregulares e portanto, um nova geometria é necessária para descrever tais formas da natureza. Com este problema em mente matemáticos do fim do século XIX e início do século XX propuseram um nova geométrica denominada Fractal. Um floco de neve, por exemplo, é um Fractal. Vejam a Figura 1.

Figura 1 - Fractais que formam os diferentes "flocos de neve".

A palavra Fractal origina-se no Latim Fractus, cujo significado é fragmentado ou fracionado. Além disto, “frac” indica a idéia de fração (parte), e “tal” pode significar total (todo). Fractais são formas geométricas elementares, isso significa que se um fractal for dividido em infinitas partes cada parte será equivalente ao objeto original. Um fractal pode conter infinitos detalhes que são autossimílares. Daí, a ideia de que a parte está no todo e o todo está na parte [1, 2, 3].

Para entender essa nova teoria de medidas, vamos usar o conceito de dimensão fractal, que chamaremos de dimensão topológica d. A dimensão topológica é definida da seguinte maneira [3, 4]:

1. d = 0 significa um ponto; 2. d = 1 significa uma linha; 3. d = 2 significa um plano;

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Departamento de F´ısica - CCE F´ısica Experimental Roteiro Vejamos alguns exemplos [3, 4]:

• para um fio de cabelo esticado, de densidade uniforme e homogêneo, d = 1; • para uma argola bem fina de densidade uniforme e homogênea, d = 2; • para um cubo, de densidade uniforme e homogênea, d = 3;

Outro exemplo é quando você observa uma folha de papel A4 sobre uma mesa, a dimensão d é igual a 2. E se você amassa esta folha tal que ela se assemelhe a uma esfera, agora a dimensão d é igual a 3. Desta forma podemos concluir que a dimensão deve estar relacionada com uma medida. Vamos ver como isso ocorre:

• Para dimensão 𝑑 = 1 se quisermos medir altura de uma pessoa podemos usar uma certa escala que vamos chamar de r, como por exemplo, um lápis (sem ponta) e contar quantos lápis N são necessários para equiparar o tamanho da pessoa. Portanto, a medida M da altura da pessoa será:

(1.1)

usaremos a letra 𝑀 para qualquer tipo de medida. Quanto menor for o tamanho do lápis, mais precisa será a nossa medida.

• Para dimensão 𝑑 = 2 se desejamos medir a área de uma página do livro de física vamos usar nossa escala como sendo quadrados de tamanho 𝑟 cuja área será 𝑟(_{. Assim, a medida da área da página}

pode ser expressa como:

(1.2)

Quanto menor for a escala 𝑟, ou seja, quanto menos forem os quadrados usados, mais precisa será nossa medida.

Dessa forma, para a medida em qualquer dimensão vamos usar a Equação (1.3):

(1.3)

em que N é uma constante, 𝑟 é um comprimento característico e d é a sua dimensão.

Nesta experiência, o objetivo é medir a dimensão fractal de diferentes bolinhas de papel amassadas. A proposta é fazer a bolinhas de papel com diferentes massas e relacionar com raio de cada "esfera”.

M = Nr1

M = Nr2

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2. Objetivos

• Medir a dimensão fractal de um objeto auto-similar;

• Dominar técnicas para aquisição analógica e digital de medidas de comprimento; • Análise quantitativa de dados: cálculo de erros, representação gráfica e regressão linear; • Análise crítica do fenômeno apresentado e elaboração de relatório técnico.

.

3. Material Utilizado

• Folha de papel A4; • Tesoura;

• Paquímetro; • Papel milimetrado.

4. Procedimento

1. Divida uma folha de papel A4 em dois pedaços iguais Figure 2

2. Com um dos pedaços faça uma bolinha de forma que fique o mais próximo possível de uma esfera; 3. Divida o outro pedaço em duas partes iguais e com um dos pedaços faça uma bolinha novamente. 4. Divida novamente o pedaço que restou em duas partes iguais e com uma das partes faça a bolinha

de papel;

5. Continue até obter 6 bolinhas de tamanhos diferentes. A menor bolinha chame de 1, a segunda menor de 2, e assim por diante;

6. Meça a massa de cada bolinha em uma balança digital e anote na tabela 1; 7. Com o paquímetro, meça o diâmetro D de cada bolinha e registre na tabela 1.

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5. Análise dos dados e discussão

1. Queremos com este experimento, obter o valor da dimensão d para as bolinhas construídas. Para isso, vamos usar a fórmula definida pela equação (1.3):

2. Vejam que esta fórmula não é linear, ou seja, a dimensão d é a uma potência. Para linearizar esta equação, vamos tomar o logaritmo natural em ambos os lados da equação, da forma:

(1.4)

Veja que agora temos uma equação linear. Esta equação é equivalente a uma equação da reta:

(1.5)

em que 𝑏 = 𝑙𝑛(𝑁) é o coeficiente linear e 𝑎 = 𝑑 é o coeficiente angular. 3. Complete a tabela 2.

4. Faça o gráfico em papel milimetrado. O eixo x será a coluna do diâmetro, ou seja, ln(𝑟) e o eixo y será a coluna da massa, ou seja, ln(𝑀) .

5. Faça a regressão linear e obtenha o valor dos coeficientes linear e angular. Análise Gráfica! 6. O coeficiente angular será o valor da dimensão fractal.

7. Compare o valor que você obteve com o valor obtido na referência [1] 𝑑 = (2, 5 ± 0, 2).

8. Que outros objetos da natureza compartilham as mesmas características observadas em uma bola de papel?

9. Qual deve ser o valor estimado da dimensão fractal do pulmão, do cérebro, do intestino? E de uma árvore? E do universo?

6. Referências Bibliográfica

1. Amaku, M., Morales, M., Horodynski-Matsushigue, L. B. et al., Fractais no Laboratório Didático. Rev. Bras. Ens. Fis., Dec. 2001, vol.23, no.4, p.422.

2. Atman, Allbens, Apostila de Física Experimental I, Departamento de Física e matemática, Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

3. Assis, T. A., Miranda, J. G. V., Mota, F. B., Andrade, R. F. S., Castilho, C. M. C., Geometria fractal: propriedades e características de fractais ideais. Rev. Bras. Ens. Fis., 2008, vol.30, no.2, p.2304.

4. Assafrão, D., Passos, C. A. C., Laboratório de Física Moderna, Capítulo 7, UAB, Neaad, UFES (2012)

5. Apostila de Laboratório de Física Experimental I: Roteiros de Experiências, Instituto de Física, Universidade Federal Fluminense.

ln( M )= ln(N ) + d.ln(r)

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Experimento A0: Fractais Experimento

Professor:______________________________________________________ Data: ___/___/___ Alunos:________________________, ___________________________, ________________________

Tabela 1 - Valores do diâmetro D de cada esfera e sua respectiva massa M.

Esfera Massa (g) (±_______)𝑔 D1 (mm) (mm) D2 (mm) D3 (mm) D4 (mm) D5 1 2 3 4 5 6

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Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 30, n. 2, 2304 (2008) www.sbfisica.org.br

Geometria fractal: propriedades e caracter´ısticas de fractais ideais

(Fractal geometry: properties and features of ideal fractals)

Thiago Albuquerque de Assis1_{, Jos´e Garcia Vivas Miranda}2_{, Fernando de Brito Mota}2_, Roberto Fernandes Silva Andrade2 _{e Caio M´ario Castro de Castilho}2

1_{Grupo de Sistemas Complejos, Departamento de F´ısica y Mecánica ETSI Agr´}_onomos, Universidad Politécnica de Madrid, Madrid, España

2_{Instituto de F´ısica, Universidade Federal da Bahia, Salvador, BA, Brasil}

Recebido em 27/9/2007; Revisado em 27/12/2007; Aceito em 31/1/2008; Publicado em 21/7/2008 Descobertas recentes revelam que modelos matemáticos euclidianos, de há muito estabelecidos e que pro-curam reproduzir a geometria da natureza, às vezes se apresentam incompletos e, em determinadas situa¸cões, inadequados. Especificamente, muitas das formas encontradas na natureza não são c´ırculos, triângulos, esferas, icosaedros ou retângulos. Enfim, não são simples curvas, superf´ıcies ou sólidos, conforme definidos na geome-tria clássica de Euclides (300 a.C), cujos teoremas possuem lugar de destaque nos textos de geomegeome-tria. Neste trabalho apresenta-se uma breve e elementar, mas que busca ser consistente, discussão sobre algumas defini¸cões e aplica¸cões relacionadas à geometria fractal, em particular fractais ideais. Caracterizaremos alguns fractais auto-similares que, por sua importância histórica ou riqueza de caracter´ısticas, constituem exemplos ilustrativos “clássicos” de propriedades de fractais, propriedades estas que muitas vezes aparecem dispersas numa literatura mais especializada. Mostra-se, por constru¸cão, que suas medidas de comprimento, área e volume, nas dimensões euclidianas usuais, dão margem a resultados contraditórios. Estes podem ser explicados pelo fato de que tais objetos só podem ser adequadamente mensurados em espa¸cos de dimensão fracionária.

Palavras-chave: fractais, auto-similaridade, dimens˜ao fractal.

Recent discoveries reveal that mathematical models, established a long time ago and searching to reproduce the nature’s geometry, sometimes result being incomplete and even inadequate in some situations. Specifically, many of the forms found in the nature are not circles, triangles, spheres, icosahedrons or rectangles. Finally, they are not simple curves, surfaces or solids, as defined in the classical geometry of Euclides (300 b.C), whose theorems possesses a prominent place in the geometry texts. In this work a brief and elementary, although intended to be consistent, discussion about some definitions and applications related to the fractal geometry is presented. It is also presented properties of some fractals that, for its historical importance or wealth of cha-racteristics, constitute “classical” illustrative examples of the fractals properties which, despite this, many times appear dispersed in the specialized literature. It is shown, by construction, that the measures of length, area and volume for these objects, within the usual Euclidean dimensions, lead to contradictory results. This can be explained by considering that these objects can be adequately measured using spaces of fractional dimensions. Keywords: fractals, self-similarity, fractal dimension.

1. Introdu¸c˜ao

O emprego do termo fractal pode ser temporalmente localizado no ano de 1975, quando Benoit Mandelbrot pela primeira vez dele fez uso. Quando, na iminˆencia da completude da sua primeira grande obra sobre o assunto [1], Benoit Mandelbrot sentiu a necessidade de encontrar um nome para descrever a geometria com que buscava representar as reais formas da natureza. Uma consulta a um dicion´ario de latim resultou no encon-tro do adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa

quebrar.1 _{Foi assim criada a palavra fractal. A partir}

deste trabalho de Mandelbrot, questões relativas à simi-litude entre uma figura e a sua amplia¸cão come¸caram a aparecer, cada vez com maior freqüência, na literatura cient´ıfica.

Tecnicamente, um fractal é um objeto que apresenta invariância na sua forma à medida em que a escala, sob a qual o mesmo é analisado, é alterada, mantendo-se a sua estrutura idêntica à original. Isto não é o que ocorre, por exemplo, com uma circunferência, que pa-rece reduzir a sua curvatura à medida em que amplia-mos uma das suas partes.

2_{E-mail: caio@ufba.br.}

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As principais propriedades que caracterizam os frac-tais são a auto-semelhan¸ca, a complexidade infinita e a sua dimensão. A auto-semelhan¸ca é identificada quando uma por¸cão, de uma figura ou de um contorno, pode ser vista como uma réplica do todo, numa es-cala menor. Esta caracter´ıstica pode ser melhor en-tendida a partir do exame da Fig. 1. A complexi-dade infinita refere-se ao fato de que o processo de gera¸cão de uma figura, definida como sendo um frac-tal, é recursivo. Isto significa que, quando se executa um determinado procedimento, no decorrer da mesma encontra-se como sub-procedimento o próprio procedi-mento anteriormente executado. Vale salientar que, no caso da constru¸cão iterativa de um fractal matematica-mente definido, dispõe-se de um número infinito de

pro-cedimentos a serem executados, gerando-se assim uma estrutura infinitamente complexa (ver Fig. 1). Final-mente, a dimensão de um fractal, ao contrário do que ocorre na Geometria Euclidiana, não é necessariamente um valor inteiro. Nela, um ponto possui dimensão zero, uma linha possui dimensão um, uma superf´ıcie possui dimensão dois e um volume possui dimensão três. No caso da dimensão fractal, ela é uma quantidade fra-cionária, representando o grau de ocupa¸cão da estru-tura no espa¸co que a contém. Como exemplos, pode-se citar a dimensão fractal da bacia fluvial do rio Ama-zonas que é 1.85 [2], dos relâmpagos no espa¸co tridi-mensional, 1.51 [3], dos angiogramas dos rins, 1.61 [4], dentre outros (ver Fig. 2).

c

Figura 1 - Exemplo de uma estrutura fractal constru´ıda iterativamente retratando a caracter´ıstica de auto-semelhan¸ca. A contru¸cão desta estrutura inicia-se com uma fita com um dado comprimento e provida de uma certa largura. A metade superior é substitu´ıda por dois galhos com metade tanto de comprimento como de largura, com os “galhos” formando sempre um mesmo ângulo. Este processo continua até que um fractal na forma de uma árvore é gerado. Para infinitas itera¸cões, verifica-se a complexidade infinita da estrutura.

Figura 2 - (a) Bacia do rio Amazonas obtida pelo radar de altimetria ERS-1, com dimensão fractal 1.85 (www.esa.int). (b) Tempestade no Capitólio, com raios cuja dimensão fractal é 1.51. (c) Sistema arterial dos rins com dimens˜ao fractal 1.61 (Origem: Gray’s Anatomy, 35a_{ed. p. 1327.)}

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Geometria fractal: propriedades e caracter´ısticas de fractais ideais 2304-3

O conceito de dimensão fractal vem atualmente sendo aplicado e calculado para linhas, figuras ou su-perf´ıcies em diversos campos. Na medicina, por exem-plo, como método de diagnóstico quantitativo de pa-tologias. Um dos campos onde este procedimento é mais desenvolvido é o diagnóstico do câncer, através da análise de imagens de tumores. As evidências ex-perimentais sugerem que tumores de câncer apresen-tam uma fronteira com dimensão fractal superior às que ocorrem em agregados de tecidos normais. Um exemplo, nesta linha de investiga¸cão, é o da deteçcão de núcleos at´ıpicos [5] (ver Fig. 3 (a)). Na tecnologia de fabrica¸cão de antenas, o conceito de dimensão fractal também ganha importância. A resposta das antenas

fractais difere acentuadamente das tradicionais, uma vez que são capazes de funcionar de forma otimizada, simultaneamente em várias freqüências. Esta carac-ter´ıstica faz das antenas fractais uma excelente alter-nativa para aplica¸cões de recep¸cão de banda larga (ver Fig. 3 (b)). Pode-se também verificar aplica¸cões nas mais diversas áreas da ciência, listando-se aplica¸cões na Minerologia [6], com o objetivo de medir a densidade dos minerais, a evolu¸cão dos terrenos e a descontinui-dade das rochas; na Biologia para a análise da rugo-sidade dos fungos [7] e de corais [8]; na indústria com a deteçcão automática de falhas em produtos têxteis [9]; no solo [10], na chuva [11], na economia [12], na

ecologia [13]. _c

Figura 3 - (a) Imagens digitalizadas do epit´elio cervical destacando a presen¸ca de um n´ucleo at´ıpico (http://tph.tuwien.ac.at/

∼_{svozil/publ/1999-fa-jfulltext.pdf). (b) Antenas fractais como modelos utilizados nos telem´}_oveis.

d

O objetivo deste trabalho é apresentar, de maneira rigorosa, o cálculo da dimensão fractal de conjuntos de-finidos por leis de constru¸cão recorrentes, que levam a figuras auto-similares em todas as escalas. Este proce-dimento, conquanto não possa ser usado para a análise de objetos reais, é relevante por servir de base para a introdu¸cão e determina¸cão quantitativa da geometria fractal.

2. Alguns aspectos a respeito da geome-tria fractal

O termo fractal aplica-se, em geral, a constru¸cões di-versas, tanto nas ditas formas abstratas como nas for-mas inerentes à natureza, que são objeto de estudo da F´ısica, enquanto forma e leis de forma¸cão e de escala. A discussão a respeito da geometria fractal requer uma análise sobre os tipos de fractais que existem, bem como das caracter´ısticas matemáticas que os definem, como comprimentos, áreas e as correspondentes dimensões fractais.

Uma caracter´ıstica associada aos fractais gerados por sistemas de fun¸cões iterativas é a auto-similaridade exata, ou seja, a varia¸cão do comprimento de escala, sob a qual o fractal é analisado, o que leva sucessiva-mente a configura¸cões idênticas à configura¸cão inicial. Existem, contudo, fractais que são igualmente formados por minicópias, mas estas são anisotrópicas, ou seja, não são mantidas fixas às propor¸cões originais em to-das as dire¸cões. Ao se passar de uma escala para ou-tra, observa-se que o tamanho destas cópias não varia uniformemente em todas as dire¸cões do espa¸co. Neste caso, os fractais são chamados de auto-afins. Como exemplo destes fractais aproximados, encontrados na natureza, tem-se as células tumorais pertencentes à evolu¸cão do câncer. Estudos feitos nesta área afirmam, que na transi¸cão de um tumor benigno para um ma-ligno, a interface tumor/tecido sadio torna-se irregular com uma estat´ıstica que caracteriza a auto-afinidade [5] (ver Fig. 3 (a)). Outros exemplos de configura¸cões auto-afins podem ser verificados no estudo de séries tempo-rais rugosas [14], precipita¸cões [11], atividades financei-ras [12], entre outfinancei-ras áreas de investiga¸cão.

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2.1. Fractais determin´ısticos ou auto-similares Neste texto abordaremos as estruturas com geometria fractal que, por apresentarem uma auto-similaridade exata, são denominadas de fractais determin´ısticos. Por auto-similaridade exata entende-se a invariância da estrutura após uma transforma¸cão isotrópica, i.e., que se dá com a mesma intensidade em todas as dire¸cões. Se tomarmos um objeto S, constitu´ıdo por um con-junto de pontos R = {x1, x2, x3, ...}, a aplica¸cão de

uma tranforma¸c˜ao auto-similar com um fator de es-cala b, muda as coordenadas dos pontos para bR =

{bx1, bx2, bx3, ...}. Logo, o conjunto S, formado pelos

pontos de coordenadas R, é auto-similar se este resulta invariante após a referida transforma¸cão. Para exempli-ficar, considere-se um fractal denominado de triângulo de Sierpinski, como mostrado na Fig. 4(a). Sua cons-tru¸cão básica come¸ca com um triângulo equilátero, to-talmente preenchido. Inicialmente toma-se os pontos médios dos três lados que, juntamente com os vértices do triângulo original, formam quatro triângulos

con-gruentes. Em seguida, retira-se o triângulo central, concluindo-se assim a primeira etapa do processo básico de constru¸cão. Esta retirada resulta em três triângulos congruentes, cujos lados medem metade do lado do triângulo original. Repete-se, com cada um destes três triângulos, o procedimento anteriormente descrito. Com os triângulos resultantes repete-se o mesmo proce-dimento. Desta maneira, come¸cando-se com um único triângulo, geram-se, seqüencialmente, 3, 9, 27, 81, ... triângulos, correspondentes aos n´ıveis 1, 2, 3 e 4 respec-tivamente, representados na Fig. 4(b). Esta mesma lei de forma¸cão é sucessivamente aplicada, de modo que sua estrutura com forma triangular é constitu´ıda por triângulos seqüencialmente menores que são cópias per-feitas da forma inicial da figura. Assim, ao ampliar-se (“zoom”) uma parte qualquer, ter-se-á algo idêntico à figura como um todo (ver Fig. 4(a)). No limite de infinitas aplica¸cões deste procedimento obtém-se uma figura fractal auto-similar exata, ou simplesmente de-nominada de auto-similar.

c

Figura 4 - (a) O triângulo ADE, com todo seu conteúdo, é uma redu¸cão exata do triângulo ABC. O mesmo se pode dizer com rela¸cão aos triângulos CDF e de BEF. (b) Os cinco primeiros n´ıveis de constru¸cão do Triângulo de Sierpinski.

d

2.2. A Dimens˜ao Fractal

A dimensão euclidiana, é um conceito clássico, restando porém considerar importante ou pelo menos conveni-ente repeti-lo aqui. Tal dimensão, representa o número de coordenadas necessárias para descrever uma forma euclidiana. Por exemplo, uma coordenada (chamada comprimento) descreve uma linha. Duas coordenadas (comprimento e largura) são necessárias para descrever um plano e três coordenadas (comprimento, altura e largura) descrevem um volume. É simples então perce-ber, que desse ponto de vista um ponto tem dimensão zero. Usualmente, a dimensão euclidiana está asso-ciada a eixos perpendiculares, especificando portanto

em uma, duas ou três dimensões algum ponto per-tencente a uma linha, área ou volume respectivamente. Por indu¸cão, pode-se ampliar o racioc´ınio, sucessiva-mente, até n dimensões, ainda que reste sensorialmente imposs´ıvel perceber além da terceira dimensão. Vale salientar que as dimensões associadas à geometria eucli-diana são sempre números inteiros.

Considere-se, por exemplo, a curva de Koch, con-forme mostrada na Fig. 5. A constru¸cão se dá a partir de um segmento de reta que, em seguida, é dividido em três segmentos iguais. Depois disto, substitui-se o ter¸co médio por um triângulo equilátero retirando-lhe a base. O processo iterativo consiste em aplicar a mesma regra a cada um dos segmentos de reta que resultam

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da itera¸cão imediatamente anterior. Considerando-se cada passo nota-se que, de um n´ıvel para a seguinte, substituem-se três segmentos por quatro de igual com-primento, ou seja, o comprimento total é multiplicado por 4/3 correlacionando-se n´ıveis sucessivos. O limite de uma sucessão geométrica de razão 4/3 é infinito, o que significa que a figura final, i.e., aquela para a qual tende a sucessão descrita, terá um comprimento infi-nito. Este limite foi denominado por Mandelbrot como “infinito interno”. Portanto, no n-ésimo n´ıvel, o com-primento da curva de Koch será dado por

Sn = Sn−1+Sn

3 = (

4 3)

n_. ₍₁₎

Assim, no limite de um n´umero infinito de n´ıveis, tem-se o seguinte resultado

lim

n→∞Sn= ∞. (2)

Figura 5 - Os quatro primeiros n´ıveis para a constru¸c˜ao da Curva de Koch e seus correspondentes comprimentos.

Uma curva deste tipo, devido à sua complexidade infinita, contém um número de infinitas “dobras” que, se ampliadas, continuam aparecendo indefinidamente. Devido a este infinito detalhamento, esta curva “ocupa mais espa¸co” que uma linha convencional, possuindo as-sim uma dimensão fractal maior que 1.0, sem chegar, no entanto, a ocupar o espa¸co de uma faixa que a contém (dimensão 2.0). Desta maneira, conceito de dimensão fractal, D, está intimamente relacionado com a estrutu-ra de ocupa¸cão do espa¸co da figuestrutu-ra. Paestrutu-ra tal se fazem necessárias duas defini¸cões anteriores de dimensão: a dimensão topológica e a dimensão de imersão. A di-mensão topológica Dtpode ser definida iterativamente

a partir da defini¸cão da dimensão topológica de um ponto como sendo zero. A dimensão topológica de ou-tros objetos é dada pelo valor de Dt do elemento que

o torna desconexo [15] mais 1. Para uma curva, um ponto é suficiente para torná-la desconexa de forma que o correspondente valor de Dt será 0 + 1 = 1. Para

o plano, uma curva o torna desconexo, o que leva a 1 + 1 = 2 e para um volume, uma vez que uma su-perf´ıcie o torna desconexo, 2 + 1 = 3. Vale observar

que os valores numéricos das dimensões topológica e euclidiana, são usualmente coincidentes, apesar de se-rem dimensões distintas no que diz respeito à maneira pela qual são definidas. A dimensão de imersão, Di,

como sugere o nome, representa a dimensão na qual o objeto está imerso. Como ilustra¸cão, pode-se usar como exemplo as letras deste texto. Estas têm dimensão to-pológica 1, contudo estão imersas no espa¸co da folha do papel, ou tela do computador, o que implica em que sua dimensão de imersão seja 2.

A dimensão fractal, D, ou de medida, tem como conceito básico a no¸cão intuitiva de preenchimento do espa¸co. Em razão disto, existe a necessidade de se esta-belecer uma defini¸cão do que é um fractal e que atenda a todas as espécies de constru¸cão. Para Mandelbrot [1], “Um dado conjunto A constitui um fractal se, em

A, Di> D > Dt, sendo D a dimens˜ao fractal e Dta

di-mensão topológica do conjunto A”. Kenneth Falconer [15] propõe uma defini¸cão menos rigorosa em termos das caracter´ısticas dos fractais. Uma destas caracter´ısticas seria a complexidade infinita, ou seja, o fato que suces-sivas amplia¸cões de um fractal levam, indefinidamente, a mais detalhes como já discutido.

A dimensão fractal de um conjunto, parte-se da de-fini¸cão de espa¸co métrico Rn_{. Na reta definimos um}

intervalo como um segmento de reta, enquanto que no Rn _{o intervalo ´e definido como uma esfera de raio}

ε, centrada em xi. Esta esfera ser´a representada por

B(xi, ε), sendo ent˜ao uma bola aberta definida como

B(xi, ε) = {yi ∈ Rn/d(xi, yi) < ε}, onde d(xi, yi) ´e a

m´etrica do espa¸co Rn _{que pode ser expressa por}

d(xi, yi) = v u u tXn i=1 (xi− yi)2, (3) onde xi = (x1, x2, ..., xn) e yi = (y1, y2, ..., yn), e

satisfaz os seguintes axiomas

(i) d(xi, yi) ≥ 0 ∀ xi, yi ∈ Rn, e d(xi, yi) = 0 ⇔

xi = yi

(ii) d(xi, yi) = d(yi, xi) ∀ xi, yi∈ Rn

(iii) d(xi, zi) ≤ d(xi, yi) + d(yi, zi) ∀ xi, yi, zi∈ Rn

J´a uma bola fechada ´e definida como: B(xi, ε) =

{yi ∈ Rn/d(xi, yi) ≤ ε}. Representa-se o menor

n´umero de bolas fechadas de raio ε necess´ario para se ter uma cobertura A, com A ⊂ Rn_{e ε > 0, por N (A, ε).}

Um conjunto A, ter´a caracter´ısticas fractais se [16]

N (A, ε) ∼= Cε−D, (4)

sendo C uma constante positiva. Da´ı segue-se que

N (A, ε) C ∼= µ 1 ε ¶D . (5)

(11)

Calculando-se o logaritmo neperiano dos dois mem-bros da rela¸c˜ao 5, tem-se

ln(N (A, ε) C ) ∼= ln µ 1 ε ¶D , (6) e, portanto D ∼= ln(N (A, ε) − ln(C) ln(1 ε) . (7) Como ln(C)/ln(1

ε) tende a 0 `a medida em que ε → 0,

segue-se que a dimens˜ao fractal de um conjunto pode ser definida pela seguinte express˜ao

D = lim ε→0 · ln(N (A, ε)) ln(1 ε) ¸ . (8)

2.3. Propriedades de alguns fractais

auto-similares

Entre a segunda metade do século XIX e a primeira metade do século XX, foram propostos vários objetos matemáticos com caracter´ısticas especiais que foram, durante muito tempo, considerados como “monstros matemáticos”, uma vez que desafiavam as no¸cões co-muns de infinito e para os quais não havia uma ex-plica¸cão objetiva. Uma vez que os fractais exibem, como propriedade, a infinita complexidade, as medidas clássicas de comprimento, área ou de volume perdem o sentido intuitivo. Descrevemos neste trabalho algu-mas propriedades clássicas associadas a alguns fractais auto-similares que confirmam tal hipótese.

2.3.1. Conjunto de Cantor

Cantor (1845-1918), que se destacou por apresentar idéias altamente inovadoras sobre o conceito de infi-nito, propôs a constru¸cão de um objeto que resultou chamar-se de conjunto de Cantor [18]. A constru¸ccão geométrica do conjunto de Cantor recebe, por vezes, o nome de “Poeira de Cantor”. Para sua constru¸cão, inicia-se com um segmento de reta de comprimento unitário. Divide-se este segmento em 3 partes iguais, retirando-se o seu ter¸co médio. Essa é a primeira etapa, ou primeiro n´ıvel, da constru¸cão. Na segunda etapa, retira-se o ter¸co médio de cada um dos dois segmen-tos restantes da primeira etapa. As por¸cões restantes são novamente divididas e delas são retirados os ter¸cos médios, procedendo-se sucessivamente do mesmo modo. O processo é repetido fazendo-se o número de etapas, ou n´ıveis, N , tender a um n´umero infinitamente grande. A figura obtida quando N → ∞ é o conjunto de Can-tor. Algumas etapas da sua constru¸cão são mostradas na Fig. 6.

Figura 6 - Cinco primeiros n´ıveis de constru¸cão do Conjunto de Cantor. A dimensão fractal do Conjunto de Cantor é

D = log(2)/log(3) ' 0.630.

´

E interessante analisar o que acontece com o n´umero de segmentos, nN, com o comprimento de cada

seg-mento, cN, bem como com o comprimento total do

conjunto, CtN, em cada gera¸c˜ao N de sua constru¸c˜ao.

Entende-se por comprimento total a soma dos compri-mentos dos segcompri-mentos de um conjunto. No n´ıvel inicial, ou seja, para N = 0, tem-se um segmento de modo que

n0 = 1. No n´ıvel 1, tˆem-se 2 segmentos. No n´ıvel 2

são quatro segmentos, enquanto na gera¸cão 3 são oito segmentos. Deste modo, decorre imediatamente desta constru¸cão, que no n-ésimo n´ıvel, o n´umero de segmen-tos é 2N_{, ou seja}

nN = 2. (9)

No Conjunto de Cantor, isto ´e, para N →∞, tem-se lim

N →∞2

N _{= ∞,} ₍₁₀₎

ou seja, nesta estrutura, o n´umero de segmentos tende ao infinito.

Uma caracter´ıstica, aparentemente paradoxal com a afirma¸c˜ao anterior, pode ser verificada ao se analisar o comprimento total do conjunto de Cantor, CtN. Para

isso, é necessário primeiramente analisar o comprimento de cada segmento, cN, que compõe o Conjunto de

Can-tor no correspondente n´ıvel. No primeiro n´ıvel, N = 0, o comprimento do segmento ´e cN=1; no segundo n´ıvel

cN = 1/3; no terceiro n´ıvel cN = 1/9. Ent˜ao, no

n-´esimo n´ıvel, o comprimento de cada segmento ´e ex-presso por cN = µ 1 3 ¶N . (11)

Portanto tem-se que, no limite para infinitos n´ıveis lim N →∞cN = limN →∞ µ 1 3 ¶N = 0. (12)

Desta maneira, o comprimento de cada segmento tende a zero. Por isso, o resultado do conjunto de Can-tor é uma série de pontos “pulverizados”; da´ı a deno-mina¸cão de “Poeira de Cantor”.

Para se analisar o comprimento total CtN do

con-junto de Cantor, basta que se multiplique o n´umero de segmentos pelo comprimento de cada um deles. Logo

(12)

Geometria fractal: propriedades e caracter´ısticas de fractais ideais 2304-7 CtN = µ 2 3 ¶N . (13)

Quando o n´umero de gera¸c˜oes tende a infinito, tem-se lim N →∞CtN = limN →∞ µ 2 3 ¶N = 0. (14)

Portanto, o comprimento do Conjunto de Cantor tende a 0. Observam-se pois caracter´ısticas do con-junto de Cantor que são paradoxais. Ao mesmo tempo em que o número de segmentos de que é composto o conjunto tende a infinito, conclui-se que o conjunto de segmentos possui um comprimento total nulo. As cons-tru¸cões matemáticas que encerram tais contradi¸cões são comumente chamadas de “Monstros Matemáticos” ou ainda de “Casos Patológicos”.

´

E natural ent˜ao que se conclua que o Conjunto de Cantor possui uma dimens˜ao que se situe entre 0 e 1. Com efeito, para este resultado basta considerar o con-junto de bolas unidimensionais como sendo formado, em cada n´ıvel, por segmentos de reta de comprimento

² = (1/3)N _{e que para cobrir a estrutura, necessita-se}

de N (A, ²) = 2N _{segmentos. ´}_{E claro que ² → 0 quando}

N → ∞. Assim, para esta configura¸c˜ao auto-similar, utilizando-se a express˜ao 7, tem-se D = log(2)/log(3) = 0.630...

2.3.2. Ilha de Koch

Nesta se¸cão é discutido um dos processos de forma¸cão do que se denomina de Ilha de Koch. No caso, parte-se de uma linha fechada, denotada de “ilha”, que tem como gera¸cão inicial a forma de um triângulo equilátero. O processo de constru¸cão se inicia substituindo o ter¸co central de cada um dos lados, supostos cada um de primento unitário, por outros dois segmentos com com-primentos de 1/3, formando-se uma estrutura triangu-lar, sem a base que justamente corresponderia à por¸cão removida, como já explicado na se¸cão 2.2. Obtem-se então uma estrutura com comprimento total de 4 uni-dades (três conjuntos de quatro partes cada um, cada parte com comprimento 1/3). O processo é repetido para cada um dos doze segmentos, sucessivamente, até que para infinitos n´ıveis tem-se a estrutura chamada de Ilha de Koch (ver Fig. 7).

Primeiramente procede-se a uma análise de como a área, limitada pelos segmentos que constituem a figura, muda no processo iterativo. No n´ıvel inicial, N = 0, tem-se um triângulo equilátero de lado l, cuja área S0

´e dada por

S0=l

2√₃

4 . (15)

Para o segundo n´ıvel, ou seja, para N = 1, acres-centa-se à área do triângulo original, 3 triângulos de lado l/3. Assim, a área S1 da ilha será

Figura 7 - Os quatro primeiros n´ıveis da ilha de Koch triangular. A dimens˜ao fractal da Ilha de Koch ´e D = log(4)_log(3) ' 1.26.

S1= S0+ 3 µ l 3 ¶2√ 3 4 . (16)

Para o terceiro n´ıvel, ou seja, para N = 2, acrescenta-se à área da estrutura resultante para N = 1, 12 triângulos de lado l/9. Assim, a área S2 será dada

por S2= S0+ 3 µ l 3 ¶2√ 3 4 + 12 µ l 9 ¶2√ 3 4 . (17)

Logo, para o n-´esimo n´ıvel, tem-se

SN = S0+ 3l2 √ 3 4 N X i=1 4i−1 µ 1 3 ¶2i . (18)

A Eq. (18) pode ser reescrita como

SN = S0+ l2. √ 3 12 N X i=1 µ 4 9 ¶i−1 . (19)

Fazendo N → ∞, tem-se que o somatório da Eq. (19) é uma série geométrica de razão q = 4/9, de modo que tem-se ∞ X i=1 µ 4 9 ¶i−1 =9 5. (20)

Portanto, tomando-se o limite da ´area SN para infinitos

n´ıveis, tem-se lim N →∞SN = 2 5 √ 3l2_. ₍₂₁₎

A expressão para o per´ımetro da Ilha de Koch pode ser facilmente determinada, a partir da análise feita na se¸cão 2.2. Como cada lado do triângulo equilátero (N = 0), corresponde a um segmento gerador da Curva

(13)

de Koch, então o per´ımetro da constru¸cão da Ilha de Koch para o n-ésimo n´ıvel, TN, é dado por

TN = 3(

4 3)

N_. ₍₂₂₎

Estes resultados mostram que a área, delimitada por uma linha de comprimento infinito, de acordo com o processo de constru¸cão exposto nesta se¸cão, é finita. A dimensão fractal da ilha de Koch é determinada de modo que, para o n´ıvel N , o n´umero de segmentos de comprimento (1/3)N _{que recobrem a correspondente}

curva, ´e dado por 4N_{. Portanto, obt´em-se, a partir}

da express˜ao 7, o valor D = log(4)/log(3) = 1.26...

2.3.3. Gaxeta de Sierpinski

Nesta se¸cão será discutido o processo de constru¸cão da Gaxeta de Sierpinski, também conhecida como Triângulo de Sierpinski. São apresentadas algumas ca-racter´ısticas geométricas do mesmo, como o cálculo da área obtida para diferentes n´ıveis e o cálculo do com-primento resultante para infinitos n´ıveis no processo de constru¸cão. Um processo simples de constru¸cão do Triângulo de Sierpinski se inicia a partir de um triângulo equilátero totalmente preenchido (n´ıvel ini-cial, N = 0). Posteriormente determinam-se os pontos médios de cada um dos três segmentos que delimitam o triângulo inicial, de modo que, ligando-se estes três pontos médios, obtém-se quatro triângulos onde cada lado corresponde à metade do lado do triângulo ini-cial. Ao retirar-se o triângulo central tem-se a segunda configura¸cão correspondente a N = 1, concluindo-se portanto o processo básico de constru¸cão. O processo é repetido com cada um dos três triângulos restantes (Ver Fig. 4(b)), e sucessivamente com cada triângulo equilátero formado na seqüência.

Para a determina¸cão da área do Triângulo de Sierpinski, considera-se inicialmente um triângulo equilátero de lado l, cuja área, S0, é dada por

S0= l

2√₃

4 . (23)

Em cada passo N , subtrai-se a ´area de nNtriˆangulos

com lados lN. Tem-se ent˜ao que n1= 1, n2= 3, n3= 9,

..., nN = 3N −1. Os lados lN, s˜ao obtidos pela redu¸c˜ao

dos lados do triˆangulo original por um fator 1/2, ou seja lN = µ 1 2 ¶N l. (24)

Desse modo, a ´area S1 ser´a expressa por

S1= S0− µ l 2 ¶2√ 3 4 . (25)

A ´area S2 ser´a dada por

S2= S0− µ l 2 ¶2√ 3 4 − 3 µ l 4 ¶2√ 3 4 . (26) Para N = 3, ter-se-´a S3= S0− µ l 2 ¶2√ 3 4 − 3 µ l 4 ¶2√ 3 4 − 32 µ l 8 ¶2√ 3 4 . (27)

Multiplicando e dividindo o segundo membro da Eq. (27) por 3, a mesma pode ser simplificada `a se-guinte forma S3= S0−l 2√₃ 12 3 X N =1 µ 3 4 ¶N . (28)

Portanto, para N → ∞ obt´em-se

SN = S0− l2 √ 3 12 ∞ X N =1 µ 3 4 ¶N = 0. (29) ´

E interessante discutir o per´ımetro de cada um dos triângulos obtidos em cada n´ıvel da constru¸cão para se calcular a soma do per´ımetro dos 3N _{triângulos no n´ıvel}

N . Esta an´alise permite calcular a soma dos

per´ıme-tros dos triângulos da figura como um todo. Analoga-mente ao que foi feito para determina¸cão do número de triângulos, nN, determina-se o per´ımetro de cada

triângulo para um determinado n´ıvel. Para N = 0, tem-se o per´ımetro do triângulo original de lado l, ou seja, T0 = 3l. Para N = 1, o lado de cada triângulo

gerado será l/2, o que resulta em um per´ımetro 3l/2. Para N = 2 o lado de cada triângulo gerado será l/4, o que resulta em um per´ımetro 3l/4, para cada triângulo. Portanto, para o n´ıvel N , tem-se que o per´ımetro de cada triângulo, TN, resulta em

TN =

3l

2N. (30)

Como o número adicional de triângulos removidos do n´ıvel N é 3N_{, a soma P}

N dos per´ımetros dos

triˆan-gulos no n´ıvel N ´e dada por

PN = 3 µ 3 2 ¶N l. (31)

Para o Triˆangulo de Sierpinski, quando N → ∞, tem-se

lim

N →∞PN = ∞. (32)

Logo, o per´ımetro aumenta indefinidamente à medida que aumentamos o número de n´ıveis na constru¸cão do Triângulo de Sierpinski. Isto leva a uma conclusão aparentemente paradoxal: a área total de todos os triângulos tende para zero enquanto que o per´ımetro

(14)

da estrutura formada, aumenta indefinidamente. A di-mensão fractal deste fractal pode ser determinada se notarmos que tal estrutura é formada por três cópias de si mesma, cada uma reduzida por um fator de 1/2. Assim, a partir da expressão 7, substituindo as bolas de raio ² por triângulos equiláteros de lado l/2N_{, chega-se}

portanto à expressão D = log(3)/log(2) = 1.58... Este resultado indica, portanto, que a gaxeta de Sierpinski só pode ser adequadamente medida em um espa¸co cuja dimensão é determinada pela sua dimensão fractal Df.

2.3.4. Esponja de Menger

A constru¸cão da Esponja de Menger é baseada no mesmo princ´ıpio utilizado para a constru¸cão do Triângulo de Sierpinski. Contudo, o processo iterativo é feito com um cubo, estendendo-se portanto a uma situa¸cão tri-dimensional (ver Fig. 8).

Figura 8 - Figura mostrando a esponja de Menger, uma rede aparentemente sólida com uma área de superf´ıcie infinita e volume nulo. A dimensão fractal da Esponja de Menger é

D = log(20)/log(3) ' 2.72.

O processo de constru¸cão se dá de tal forma que, para N = 0, tem-se um cubo maci¸co de lado l e com volume V0= l3. Para N = 1, o cubo é dividido em 27

cubos menores e iguais, cada um com uma aresta igual a l/3. Remove-se o cubo central, bem como os seis cu-bos situados no meio de cada face do cubo maior. Este processo é repetido seqüencialmente com todos os cubos restantes, dividindo cada um em 27 outros com 1/3 da aresta do cubo imediatamente anterior. Similarmente, remove-se o cubo central e cada cubo na por¸cão central das faces. No segundo n´ıvel, ou seja, N = 1, o volume da esponja, V1, será dado por

V1= V0− 7 µ l 3 ¶3 . (33)

No terceiro n´ıvel, ou seja, N = 2, cada um dos 20 cubos restantes s˜ao divididos em mais 27 cubos iguais, dos quais 7 s˜ao retirados, cada um com volume (l/9)3_.

Deste modo, o volume da esponja, V2, ser´a dado pela

express˜ao V2= V0− 7 µ l 3 ¶3 − 7 µ l 9 ¶3 20. (34)

A Eq. (34) pode simplesmente ser reescrita na forma

V2= V0− 7l3 2 X N =1 µ 1 3 ¶3N 20N −1_. ₍₃₅₎

Portanto, para o n-´esimo n´ıvel, fazendo N →∞, o volume da esponja ser´a dado por

VN = V0− 7l3 ∞ X N =1 µ 1 3 ¶3N 20N −1_{= 0.} ₍₃₆₎

Logo, observa-se que o volume da Esponja de Men-ger tende a zero, quando o número de n´ıveis tende a infinito. Para determina¸cão da área da superf´ıcie desta estrutura fractal, SN, tem-se que para N = 0, S0= 6l2.

Para N = 1 tem-se S1= S0+ 6l2 µ 1 3 ¶2 20. (37)

Portanto, para o n-ésimo n´ıvel, com N →∞, a área da superf´ıcie associada à esponja será dada por

SN = S0+ 6l2 ∞ X N =1 µ 1 3 ¶2N 20N _{= ∞.} ₍₃₈₎

Conclui-se então, que a Esponja de Menger possui volume nulo e uma área infinita na medida em que o número de n´ıveis tende a infinito. Neste caso o cálculo da dimensão fractal, pelo mesmo método usado ante-riormente, leva a D = (log 20)/(log 3) = 2,726...

3. Considera¸c˜oes finais

O objetivo deste trabalho foi trazer ao leitor casos sim-ples, mas ilustrativos, que mostram como diversos obje-tos auto-similares só podem ser adequadamente medi-dos em espa¸cos de dimensão fracionada. Através do cálculo de comprimento, área e volume, para tais obje-tos, fica explicitado que estas medidas podem diver-gir ou se anular identicamente quando a sua dimensão é respectivamente maior ou menor do que aquela di-mensão Euclidiana escolhida pra se efetuar a medida. Conquanto o conceito de dimensão fractal seja apresen-tado em diversos textos, cremos que o cálculo expl´ıcito de medidas de objetos fractais em espa¸cos de dimesão inteira facilitará ao leitor a apreensão do conceito de medidas de dimensão fracionada.

4. Agradecimentos

O trabalho de pesquisa que os autores desenvolvem nas suas respectivas institui¸c˜oes tem o apoio da FAPESB, CNPq e AECI.

(15)

Referˆencias

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Philosophy of the Infinite (Cambridge, Massachusetts ,

(16)

FRACTAIS: PADRÕES COMPLEXOS DE INCRÍVEL

BELEZA

(Fractals: Complex patterns of incredible beauty)

GRACIELE PEREIRA DA CRUZ Universidade Nove de Julho, São Paulo, SP

graci_ju@yahoo.com.br

Abstract:

This work is an educational proposal that uses fractals as the mainly motivational tool. Interesting features of non Euclidian and fractal geometries are describes and some examples of the most commons fractals are explored. At the fourth section we write a short biography of Benoit Mandelbrot and at the end of the paper we mentioned some of the applications of the fractals on different fields of knowledge. Keywords: Non-Euclidian geometry; Fractal geometry;, Benoit Mandelbrot

Resumo.

Este trabalho consiste numa apresentação sucinta de uma proposta de ensino abordando como meio motivador os fractais. Aspectos da geometria não-euclidiana bem como de geometria fractal são descritos, assim como alguns exemplos dos fractais mais conhecidos. Uma breve biografia de Benoit Mandelbrot é descrita, e ao final do trabalho mencionamos algumas das utilidades dos fractais nas diversas áreas do conhecimento.

Palavras-chave: Geometria não-euclidian; Geometria Fractal; Benoit Mandelbrot

1. Introdução

Atualmente muitas áreas do conhecimento vêm passando por transformações, dentre elas a matemática. Desta forma futuros professores de matemática devem pesquisar a diversidade de avanços que esta área apresenta, para que os educandos tenham acesso a esses conhecimentos, tendo maior prazer, motivação e interesse pela disciplina. Para que isso ocorra é importante que o professor apresente os conteúdos de forma inovadora, fazendo com que haja ligação com o cotidiano do aluno e que o encante de alguma forma. Para tal buscamos abordar alguns conteúdos de matemática utilizando como meio motivador os fractais.

2. Geometria não-euclidiana

A geometria como outros ramos da Matemática tem seu surgimento desde os tempos mais remotos. Podemos estabelecer que a geometria tem seu ponto inicial na Grécia por volta de 300 a.C., quando Euclides escreveu “Os elementos”e nessa época a geometria euclidiana estava totalmente desenvolvida.

Contudo, começaram a ocorrer vários questionamentos sobre a geometria euclidiana, fazendo com que vários matemáticos voltassem a estudar o assunto. Isso gera um grande acontecimento na história da matemática, a descoberta da geometria não-euclidiana, que ocorreu por volta da primeira metade do século XIX, por parte de vários matemáticos que tentaram uma prova para o Quinto Postulado de Euclides: Quinto Postulado – É verdade que, se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos

(17)

Por volta de 1820 já se conheciam os primeiros teoremas da geometria não-euclidiana, nome dado por Gauss (1777-1855). Desde o início dos anos de 1800, Gauss começou a se interessar pela questão da possível existência de geometrias não-euclidianas. No entanto ele sabia que a existência de uma geometria não-euclidiana criaria uma perturbação imensa na matemática e que os que apoiassem essa descoberta publicamente, iriam sofrer uma reação extremamente dura. Foi por isso que Gauss preferiu manter seu status social e não divulgou os resultados de sua pesquisa, porém manteve contato com vários matemáticos de sua época.

Por mais de 2000 anos geômetras ocuparam-se em demonstrar o postulado das paralelas como um teorema a partir dos nove axiomas e postulados restantes.

No entanto a descoberta da geometria não-euclidiana deu-se a Bolyai e

Lobachevsky, apesar de Gauss ter sido o primeiro a alcançar tais conclusões.

János Bolyai (1802-1860) em 1832 publicou os resultados de sua pesquisa sobre

geometrias não-euclidianas como um apêndice a um trabalho volumoso de seu pai, o matemático Farkas Bolyai. Curiosamente, Bolyai nunca publicou seus trabalhos a não ser esse apêndice, mas deixou mais de 20.000 páginas de manuscritos de trabalhos matemáticos desenvolvidos por ele até sua morte.

Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) ao se interessar pela geometria

não-euclidiana fez com que ele fosse visto na Rússia como uma “pessoa excêntrica”. Publicou em russo (1829/30) o primeiro artigo sobre geometria não-euclidiana no Karzain Bulletin, dois ou três anos antes de Bolyai. Na tentativa de provar o Quinto Postulado admitiu que isto seria impossível, surgindo assim uma nova geometria, hoje conhecida como geometria hiperbólica.

3. Aspectos históricos dos fractais

Poderíamos dizer que o começo da história dos fractais foi por volta do ano de 1975, no qual Benoit Mandelbrot criava a palavra fractal, mas uma série de acontecimentos anteriores abriram caminho para que essa iniciativa surgisse.

Entre a segunda metade do século XIX e a primeira do século XX, foram sendo propostos vários objetos matemáticos com características especiais e que foram durante muito tempo considerados “monstros matemáticos”, já que desafiaram as noções comuns de infinito [(1)].

Cantor (1845-1918) colocou o problema de uma linha à qual ele retirava o seu

terço médio, seguido do terço médio de cada um dos segmentos restantes e assim sucessivamente, gerando o que foi chamada de “poeira de Cantor” que sendo infinita, possuiria medida igual a zero. Em 1904 surge a curva de von Koch (1870-1924) que sendo uma linha rodeada por uma área infinita, possuiria um comprimento infinito.

Já em 1918 Gaston Julia (1893-1978) e Pierre Fatou (1878-1929), apresentaram um trabalho sobre processos iterativos envolvendo números complexos que mais tarde vieram a ser conhecidos como “Conjuntos de Julia”. Outro matemático que teve grande importância foi Poincaré (1854-1912) que foi provavelmente o primeiro a compreender e expor a noção de Caos.

No entanto, a partir da segunda metade deste século foi que os acontecimentos começaram a se suceder cada vez mais. Rapidamente Edward Lorenz (1917-2008), um metereologista americano dedicava-se em 1961 com a Judá de um computador, a tarefa de aumentar a confiabilidade das previsões metereológicas. Um dia, tentando repetir uma experiência que havia feito anteriormente, se enganou com os números que deveria

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introduzir no computador, truncando as casas decimais, o que ocasionou no final uma significativa diferença nos resultados. A este fenômeno deu-se o nome de “Efeito Borboleta”, devido a possibilidade simbólica de o bater de asas de uma borboleta em Pequim, poder provocar um tufão em Nova York.

Pouco tempo depois já na década de 70, James Yorke viria a encontrar nos trabalhos de Lorenz a chave para os problemas sobre os quais se debruçava, dando ao Caos seu nome e juntamente com outros como May ou Hoppensteadt, divulgaria esta nova Ciência que acabara de criar ([1]).

A partir de então surge a figura de Benoit Mandelbrot.

4. Benoit Mandelbrot

Nascido em Varsóvia, polônia em 20 de novembro de 1924 é um matemático francês de origem judaico-polonesa. Criou-se em Paris onde foi aluno da célebre École Polytechnique. Em 1948, foi para os Estados Unidos onde estudou ciência aeroespacial no Instituto de Tecnologia da Califórnia. Desde então dedicou-se aos mais variados ramos do conhecimento como geologia, economia, comunicação, biologia, termodinâmica, metereologia e computação ([2]).

O termo fractal provém da palavra fractus, que significa quebrado, irregular ou descontínuo. Foi essa a palavra escolhida por Mandelbrot para rotular sua descoberta que o levou a publicar o livro “Les Objects Fractales: Forme, Hasard et Dimension”, que reescrito em 1977 teve o nome alterado para “The Fractal Geometry os Nature”.

Os termos fractais não foram descobertos nem criados por Mandelbrot, ele apenas os nomeou, visto que estes já eram conhecidos antes de sua descoberta. Há indícios de que eles existiam antes do século XX e eram conhecidos como “monstros matemáticos” na Grécia Homérica, Índia e china. Mandelbrot se apoiou em estudos de outros matemáticos como Georg Cantor, David Hilbert (1862-1943), Giusepe Peano (1858-1932), von Koch (1870-1924), Waclaw Sierpinski (1882-1969), entre outros para definir os fractais.

5. Geometria Fractal

A geometria fractal surgiu da necessidade de se calcular e descrever certos fenômenos da natureza ou objetos que não possuem forma definida.

Descontinuidade, surtos de ruídos, poeira de Cantor – fenômenos como estes não eram mencionados nas geometrias dos últimos dois mil anos. As formas de geometria clássica são as linhas e os planos, os círculos e as esferas, os triângulos e os cones. Representam uma poderosa abstração da realidade, e inspiraram uma vigorosa filosofia de harmonia platônica. Euclides fez delas uma geometria que durou dois milênios, a única geometria conhecida da maioria das pessoas, até hoje. Os artistas viram nelas uma beleza ideal, os astrônomos ptolomaicos construíram uma teoria do universo com elas ([3]).

Mandelbrot tinha outras idéias. Para ele as nuvens não eram esferas, as montanhas não eram cones, e os relâmpagos não percorrem uma linha reta. Para ele o

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exemplo, não era sua direção, mas sim a distribuição dos seus ziguezagues.

Mandelbrot não tomava as medidas euclidianas básicas tais como extensão, profundidade e espessura para suas teorias, pois dizia que elas não abrangiam a essência das formas irregulares, mas voltou seus trabalhos para a idéia da dimensão. Ele foi além das dimensões 0,1,2,3... até uma impossibilidade aparente: as dimensões fractais.

A dimensão fracionada torna-se uma maneira de medir o grau de aspereza, ou de fragmentação, ou de irregularidade de um objeto. Mandelbrot fez com sua geometria uma afirmação sobre os padrões irregulares que estudara na natureza: que o grau de irregularidade permanece constante em diferentes escalas. O mundo exibe, repetidamente, uma irregularidade regular, o que torna tal afirmação verdadeira.

Estes estudos, sobre os padrões irregulares nos processos naturais e a investigação das formas infinitamente complexas tiveram um ponto em comum, a auto-semelhança.

A auto-semelhança é a simetria através das escalas, isto é recorrência, um padrão dentro de outro. Exemplo dessa forma, é a curva de Koch que exibe auto-semelhança mesmo sob grande ampliação. A auto-semelhança está contida na construção das curvas e é uma característica facilmente identificável.

As percepções da geometria fractal ajudaram cientistas que estudavam a maneira pela qual as coisas se fundiam, a maneira pela qual se separavam ou a maneira pela qual se fragmentavam. Ajudou-os a examinar os materiais, as superfícies microscopicamente irregulares dos metais, os pequenos orifícios e canais de rochas porosas portadoras de petróleo, as paisagens fragmentadas de uma zona de terremotos.

Um dos cientistas que utilizou os trabalhos de Mandelbrot a respeito de geometria fractal foi Christopher Scholtz, professor da Universidade de Colúmbia, que se especializava na forma e estrutura da terra sólida.

Scholtz viu que a geometria fractal proporcionava um vigoroso instrumento para a descrição das irregularidades específicas da superfície da terra. Scholtz tornou-se conhecido em seu campo como uma das poucas pessoas que adotavam técnicas fractais, e ele sabia que alguns dos seus colegas geofísicos encaravam esse pequeno grupo como exce6entricos, mesmo assim Scholtz considerava indispensáveis os instrumentos da geometria fractal.

“É um modelo único, que nos permite enfrentar a gama das mutáveis dimensões

da terra”, disse ele. “Proporciona-nos os instrumentos matemáticos e geométricos para descrever e fazer previsões. Uma vez vencida a dificuldade e entendido o paradigma, podemos começar a medir coisas e pensar nela de uma nova maneira. Passamos a vê-las de maneira diferente. Temos uma nova visão, não é igual à visão antiga, absolutamente – é muito mais ampla”([3]).

É difícil romper o hábito de pensar nas coisas em termos de seu tamanho e de sua direção. A geometria fractal, porém busca para alguns elementos da natureza uma escala característica. Furacão, por definição é uma ventania de certa intensidade. Na realidade, os cientistas atmosféricos estão compreendendo que o tumulto no ar forma um continuum, desde os pés-de-vento que arrastam o lixo nas ruas de uma cidade até os vastos sistemas ciclônicos visíveis d espaço.

Essas estruturas complexas estão presentes em várias coisas, um exemplo é o corpo humano. No aparelho digestivo, o tecido revela ondulações dentro de ondulações, os pulmões tem de concentrar uma maior superfície possível no menor espaço e o

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sistema circulatório tem de apertar uma enorme área de superfície num volume limitado, se assemelhando a curva de Koch que aperta uma linha de extensão infinita numa pequena área.

Os vasos sanguíneos da aorta dos capilares, formam um outro tipo de continuum. Eles se ramificam, se dividem e voltam a ramificar-se até se tornarem muito estreitos. A natureza dessa ramificação é fractal.

Uma década depois que Mandelbrot publicou suas especulações a respeito de fisiologia, alguns biólogos teóricos começaram a verificar padrões fractais nas estruturas do corpo. O sistema coletar urinário revelou-se fractal, a rede de fibras especiais do coração, que transmitem os pulsos de corrente elétrica aos músculos que se contraem, o canal biliar do fígado, todas essas estruturas além de outras, possuem certas descrições fractais e aí nos perguntamos, como a natureza conseguiu produzir essa arquitetura tão complicada.

Mandelbrot por sua vez diz que as complicações só existem no contexto da geometria euclidiana tradicional. Como fractais, as estruturas ramificantes podem ser descritas com transparente simplicidade, com apenas algumas informações. Mandelbrot passava naturalmente das árvores pulmonares e vasculares para árvores botânicas reais, árvores que precisavam captar o sol e resistir ao vento, com ramos fractais e folhas fractais. E os biólogos teóricos começaram a especular que a escala fractal não era apenas comum, mas universal, morfogênese.

Tendo consolidado suas idéias em um livro sobre a natureza e a história da matemática, Mandelbrot conheceu uma margem de sucesso acad6emico que não estava habituado, tornando-se uma peça importante do circuito das conferências científicas.

Para os matemáticos puros, Mandelbrot continuava um marginal, polemizado, porém ele encontrou uma aceitação mais entusiástica entre os cientistas aplicados que trabalhavam com petróleo, rochas ou metais, em especial nos centros de pesquisas de grandes empresas.

6. Exemplos de Fractais

Os fractais são formas geométricas abstratas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem indefinidamente, mesmos limitados a uma área finita.

Definição 1. Um dado conjunto E é fractal se, em E, D>D, sendo D a dimensão fractal

e Dt a dimensão topológica do conjunto E. A dimensão topológica é a dimensão de Euclides e a dimensão fractal de um objeto, mede o seu grau de irregularidade, a estrutura e comportamento.

Em ([4]), uma definição menos rigorosa é proposta, em termos das características das construções ou conjuntos denominados fractais. Uma dada

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 Estrutura fina em qualquer escala.

A estrutura fina consiste no detalhamento infinito, sucessivas ampliações de um fractal levam a mais e mais detalhes.

 Não pode ser descrito de maneira simples por uma função analítica ou em linguagem geométrica tradicional.

Isso se deve ao fato de que os fractais são construídos através de processos iterativos. É impossível representá-los por uma função simples ([5]).

 Possui alguma espécie de auto-similaridade

A auto-similaridade consiste em obter réplicas menores da figura através de sua divisão (ou no caso de fractais sua ampliação).

 Sua dimensão fractal é estritamente maior que a sua dimensão topológica.

 Em muitos casos tem uma lei de formação simples.

Para o fractal essa lei de formação é o processo que é repetido a cada iteração. Como descrito em ([6]) os fractais podem ser classificados em três categorias principais, que dependem do modo como o fractal é formado ou gerado. São elas:

6.1. Sistemas de funções iteradas.

Os fractais determinísticos também conhecidos como fractais geométricos, são subconjuntos gerados por transformações geométricas simples do próprio objeto nele mesmo. Abaixo são dados alguns exemplos desses fractais.

Conjunto de Cantor

O conjunto de Cantor é um subconjunto do intervalo [0,1] definido pelo matemático Georg Cantor como limite de um processo iterativo. A construção de tal conjunto segue os seguintes passos:

1 - No passo 0, considera-se o intervalo [0,1];

2 - No passo 1, retira-se o terço do meio do intervalo [0,1];

3 - No passo 2, retira-se o terço do meio de cada um dos dois intervalos criados pelo passo 1;

4 - No passo n, retira-se o terço do meio de cada um dos intervalos criados pelo passo n-1.

O conjunto de Cantor é o conjunto dos pontos que não são retirados em nenhum passo do processo, vale a pena observar que este conjunto é infinito e não-enumerável.

Curva de Peano

A Curva de Peano, apresentada em 1890, é um exemplo de um fractal que preenche o plano. Uma curva que preenche o plano passa por todos os pontos de uma determinada área, acabando por, gradualmente, a ocupá-la totalmente.

O ponto de partida para a construção de tal curva é começar com um segmento. Na primeira iteração o segmento é substituído por 9 segmentos de comprimento igual a

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um terço do comprimento do segmento inicial. Esses 9 segmentos constituem a primeira iteração da construção recursiva da curva de Peano. Depois, o processo recursivo aplica-se a cada um dos 9 aplica-segmentos, até o infinito.

Características da Curva de Peano

A Curva de Peano no nível 1 possui nove segmentos, como as substituições são efetuadas em cada um desses, pode se encontrar miniaturas da curva no nível 1 em nove partes do nível 2. Deste mesmo modo, pode se encontrar nove miniaturas do nível 2, no nível 3 e assim sucessivamente.

 Estrutura fina

Ao se ampliar a curva, não se perde a quantidade de detalhes que ela possui.

 Fácil construção

Um passo repetido indefinidamente.

 Difícil descrição analítica

Não se consegue descrever esta curva através de simples função analítica.

Curva de Hilbert

A curva de Hilbert é uma curva fractal contínua que preenche o espaço, descoberta pelo matemático alemão David Hilbert em 1891, como um variante das curvas que preenchem o espaço descoberta por Giuseppe Peano em 1890.

Características da Curva de Hilbert  Auto-semelhança

Quatro cópias do fractal, reduzidas pela metade no próprio fractal.

 Estrutura fina

Ao ampliarmos essa curva, não perdemos a quantidade de detalhes que ela possui.

Apesar da complexidade, é composta por alguns passos repetidos indefinitivamente.

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Curva de Koch

A Curva de Koch é uma curva geométrica e um dos primeiros fractais a serem descritos. Aparece pela primeira vez num artigo de 1906, intitulado “Une méthode geometrique élémentaire pour l’étudie de certaines questions de La théorie dês courbes planes”, de autoria do matemático sueco Helge Von Koch. O conhecido Floco de Neve

de Koch corresponde à mesma curva, sendo que sua construção se inicia a partir de um

triângulo eqüilátero ([7]).

Para construirmos este fractal podemos construí-lo a partir de um segmento de reta submetido a alterações recorrentes, isto é, a iterações, como descritas a seguir: 1 – Divide-se o segmento de reta em três segmentos de igual comprimento.

2 – desenha-se um triângulo eqüilátero, em que o segmento central, referido no primeiro passo, servirá de base.

3 – Apaga-se o segmento que serviu de base ao triângulo do segundo passo.

Procedendo da mesma forma para cada um dos quatro segmentos que ficam, formam-se dezesseis novos segmentos menores. A figura abaixo representa as seis primeiras construções.

Características da Curva de Koch  Auto-semelhança

Em cada nível encontramos 4 cópias da figura no nível anterior, em tamanho reduzido sendo que, para cada uma dessas 4 partes ocorre o mesmo.

Processo de obtenção simples, dois passos repetidos indefinitivamente.

 Difícil descrição matemática

Não existe uma função analítica que descreva tal curva.

Triângulo de Sierpinski

Foi primeiramente descrito pelo matemático polonês Waclaw Sierpinski. O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica fractal obtido através de um processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo), não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.

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Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é através do seguinte algoritmo:

1 – Para começar o processo partimos de um triângulo eqüilátero.

2 – Em seguida unem-se os pontos médios de cada lado do triângulo, formando 4 triângulos cujos lados estão ligados.

3 – Retira-se agora o triângulo central. A recursão consiste em repetir indefinidamente o procedimento anterior em relação a cada um dos triângulos obtidos.

Características do Triângulo de Sierpinski

Possue todas as características de um fractal, ou seja:

 Auto-semelhança.

 Estrutura fina.

 Simplicidade na lei de formação.

 Processo de construção é repetitivo.

 Não é descrito de modo analiticamente simples.

Acima estão relacionados alguns dos fractais mais conhecidos porém há vários outros exemplos. Abaixo relacionaremos a aplicação de um exemplo destes fractais, em nosso caso o Triângulo de Sierpinski como um meio motivador para o ensino de Progressões Geométricas e de matrizes, aonde utilizaremos o conceito de sistemas de funções iteradas.

Dado um triângulo eqüilátero de lados 1cm, calculamos a altura h desse triângulo e em seguida sua área. Temos assim que sua altura e sua área serão dadas pelas seguintes expressões:

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6.2 Fractais gerados por computadores.

Também chamados de fractais de fuga, um exemplo é o conjunto de Mandelbrot, que matematicamente, é o conjunto dos parâmetros c para os quais a “órbita” do ponto 0 por c, isto é, o conjunto das iteradas é limitado, onde fc é a função:

, onde Z0=0 e c = a+bi.

6.3 Fractais aleatórios.

São também chamados de fractais naturais, quando o todo é estaticamente semelhante a uma ampliação de uma parte dizemos que o fractal é aleatório.