José Miguel Aroztegui Massera

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COPPE/UFRJ

TÉCNICAS DE PROGRAMAÇ ÃO SEMIDEFINIDA E APLICAÇ ÕES EM OTIMIZAÇ ÃO DE MATERIAL

Jos´e Miguel Aroztegui Massera

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Doutor em Engenharia Mecânica.

Orientador: Jos´e Herskovits Norman

Rio de Janeiro Julho de 2010

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TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESS ÁRIOS PARA A OBTENÇ ÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MEC ÂNICA.

Examinada por:

Prof. Jos´e Herskovits Norman, D.Ing.

Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.

Prof. Nestor Alberto Zouain Pereira, D.Sc.

Prof. Alfredo Rocha de Faria, Ph.D.

Prof. Susana Scheimberg de Makler, D.Sc.

Prof. Jean Rodolphe Roche, D.Sc.

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Aroztegui Massera, Jos´e Miguel

Técnicas de programa¸cão semidefinida e aplica¸cões em otimiza¸cão de material/José Miguel Aroztegui Massera. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2010.

XIV, 83 p.: il.; 29, 7cm.

Orientador: Jos´e Herskovits Norman

Tese (doutorado) – UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecˆanica, 2010.

Referˆencias Bibliogr´aficas: p. 77 – 79.

1. Programa¸cão semidefinida. 2. Algoritmo de pontos interiores. 3. Otimiza¸cão de material. I. Herskovits Norman, José. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. T´ıtulo.

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Agradecimentos

Agrade¸co ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnológico (CNPq) e à Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro (FAPERJ) pelo suporte financeiro.

Agrade¸co ao Prof. Jos´e Herskovits pelas orienta¸c˜oes.

Agrade¸co ao Prof. Jean Roche, pela leitura minuciosa das provas te´oricas, sugest˜oes e cr´ıticas.

A minha esposa Camila pelo amor e compreens˜ao.

Aos colegas do laboratório: Henry, Mario, Martin, Elmer pelo apoio e incentivo. A minha mãe, irmã e irmão, pelo carinho e incentivo.

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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

Julho/2010

Orientador: Jos´e Herskovits Norman Programa: Engenharia Mecˆanica

Neste trabalho se apresentam modelos de otimiza¸cão estrutural de materiais lineares elásticos e técnicas de programa¸cão não linear semidefinida. Para cada ponto da estrutura se define um tensor de elasticidade. Os componentes deste tensor são as variáveis de projeto do problema de otimiza¸cão. A fim de considerar o espa¸co dos materiais admiss´ıveis da forma mais abrangente poss´ıvel, se impõe uma restri¸cão semidefinida positiva sobre o tensor de elasticidade. Se propõe um novo modelo de otimiza¸cão de estruturas planas. Neste modelo, a espessura e o material são simultaneamente variáveis de projeto. Baseado num modelo de elementos finitos, se definem formula¸cões de programa¸cão não linear semidefinida para cada problema de otimiza¸cão de material. Para resolver numericamente os problemas de otimiza¸cão considerados, se propõe duas alternativas. A primeira alternativa utiliza a técnica do “Feasible Arc Interior Point Algorithm” (FAIPA) onde se substituem as restri¸cões matriciais semidefinidas por restri¸cões sobre invariantes destas matrizes. A segunda alternativa consiste no desenvolvimento de um novo algoritmo para programa¸cão não linear semidefinida. Se apresenta a prova da convergência global do novo algoritmo. Por último, se realizam testes numéricos com implementa¸cões do FAIPA e do novo algoritmo proposto.

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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

TECHNIQUES FOR SEMIDEFINITE PROGRAMMING AND APPLICATIONS TO MATERIAL OPTIMIZATION

July/2010

Advisor: Jos´e Herskovits Norman Department: Mechanical Engineering

In this work models of structural optimization of linear elastic materials and nonlinear semidefinite programming techniques are presented. For each point of the structure an elasticity tensor is defined. The components of that tensor are the design variable of the optimization problem. In order to consider the most general set of admissible materials, a positive semidefinite constraint is imposed on the elasticity tensor. A new optimization model for planar structures is described. In this model, thickness and material design variables are considered simultaneously. Based on a finite element model, every material optimization problem is defined as a nonlinear semidefinite programming formulation. Two alternatives are proposed to solve the considered optimization problems. The first alternative uses the “Feasible Arc Interior Point Algorithm” (FAIPA) where semidefinite matrix constraints are replaced by invariant matrix constraints. The second alternative consists in the development of a new algorithm for nonlinear semidefinite programming. A proof for global convergence of the new algorithm is presented. Finally, numerical tests are performed for implementations of FAIPA and the new algorithm.

(7)

Sum´

ario

Lista de Figuras x

Lista de Tabelas xi

Lista de S´ımbolos xii

Lista de Abreviaturas xiv

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao e escopo . . . 1

1.2 Objetivos . . . 2

1.3 Contribu¸c˜oes da tese . . . 3

1.4 Estrutura do documento . . . 3

2 Otimiza¸c˜ao de material 5 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 5

2.1.1 Nota¸c˜ao . . . 5

2.1.2 Defini¸c˜oes . . . 7

2.2 Modelo constitutivo do material linear el´astico . . . 8

2.3 Formula¸c˜oes do equil´ıbrio . . . 10

2.4 Modelos de otimiza¸c˜ao . . . 13

2.4.1 Otimiza¸c˜ao da espessura e do material . . . 14

2.5 Modelo de elementos finitos . . . 16

2.6 Problemas de programa¸c˜ao semidefinida . . . 18

2.6.1 Minimiza¸c˜ao do tra¸co . . . 19

2.6.2 Minimiza¸c˜ao do volume . . . 19

2.7 Discuss˜ao dos modelos de otimiza¸c˜ao . . . 20

3 Otimiza¸cão de material com o FAIPA 22 3.1 Algoritmo de pontos viáveis por arcos viáveis . . . 22

3.1.1 Dire¸c˜ao vi´avel e de descida . . . 24

(8)

3.1.3 Busca em arco . . . 27

3.1.4 Algoritmo FAIPA . . . 28

3.1.5 Convergˆencia do FAIPA . . . 29

3.2 Restri¸c˜oes semidefinidas . . . 29

3.3 Modelos de otimiza¸c˜ao . . . 30

3.3.2 Minimiza¸c˜ao do volume . . . 32

4 Formula¸cão do problema de programa¸cão semidefinida 33 4.1 Defini¸cões e proposi¸cões básicas . . . 33

4.2 Condi¸c˜oes necess´arias de otimalidade . . . 36

4.3 Condi¸c˜ao de regularidade . . . 38

4.4 Convexidade . . . 39

5 Algoritmo de pontos interiores e dire¸cões viáveis para SDP (FDIPA-SDP) 41 5.1 Defini¸cões . . . 42

5.2 Caracteriza¸cão das dire¸cões viáveis . . . 43

5.3 Descri¸c˜ao do algoritmo . . . 44

5.3.1 C´alculo da dire¸c˜ao de busca . . . 45

5.3.2 Matriz do sistema linear . . . 46

5.3.3 Dire¸c˜ao vi´avel . . . 47

5.3.4 Busca linear . . . 50

5.4 Algoritmo FDIPA-SDP . . . 51

5.5 Prova de convergˆencia . . . 52

5.6 Caso n˜ao convexo . . . 64

6 Testes num´ericos 66 6.1 Testes com o FAIPA . . . 66

6.1.1 Dados da estrutura . . . 67

6.1.2 Minimiza¸cão do volume com restri¸cões de tensão . . . 67

6.1.3 Minimiza¸cão do volume com uma restri¸cão de deslocamento . 68 6.1.4 Discussão dos resultados . . . 70

6.2 Testes com o FDIPA-SDP . . . 71

6.2.2 Comparando resultados obtidos com FAIPA e com FDIPA-SDP 73 6.2.3 Problemas testes da biblioteca SDPLIB . . . 73

7 Conclus˜oes e propostas de pesquisa 75 7.1 Conclus˜oes . . . 75

(9)

7.2 Propostas de pesquisa . . . 76

Referˆencias Bibliogr´aficas 77

A O produto sim´etrico de Kronecker 80

A.1 Defini¸c˜oes . . . 80 A.2 Propriedades . . . 81

B Apˆendice B 82

(10)

Lista de Figuras

3.1 Arco viável. . . 27 6.1 Apoio e carregamento da estrutura com 200 elementos. . . 67 6.2 Min. do vol. com restri¸cões de tensão, distribui¸cão da espessura. . . . 69 6.3 Min. do vol. com restri¸cões de tensão, dire¸cões principais do tensor

de tensões. . . 69 6.4 Min. do vol. com restri¸cão de deslocamento, distribui¸cão da espessura. 70 6.5 Min. do vol. com restri¸cão de deslocamento, dire¸cões principais do

tensor de tens˜oes. . . 70 6.6 Apoio e carregamento da estrutura com 16 elementos. . . 72 6.7 Tra¸co das matrizes de elasticidade, solu¸c˜ao obtida com o FDIPA-SDP. 72

(11)

Lista de Tabelas

6.1 Compara¸cão de solu¸cões ótimas, problemas 3.30/3.31 com restri¸cões

de tens˜ao . . . 69

6.2 Compara¸cão de solu¸cões ótimas, problemas 3.30/3.31 com restri¸cão de deslocamento . . . 70

6.3 Problema de m´ınimo tra¸co, FDIPA-SDP . . . 73

6.4 Problema de m´ınimo tra¸co, FDIPA-SDP/FAIPA . . . 73

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Lista de S´ımbolos

A ~ B produto sim´etrico de Kronecker entre A e B, p. 80 A> transposta da matriz A, p. 6

D _{conjunto de pontos de uma estrutura, D ⊂ R}nsd_{, p. 5}

G fun¸c˜ao de restri¸c˜_{ao, G : R}n_{→ S}m_{, p. 35}

Gk(x) matriz de derivada parcial de G respeito a xk em x, p. 36

K matriz de rigidez global, p. 17 KR matriz de rigidez reduzida, p. 17

L fun¸c˜_{ao Lagrangeana, L : R}m_{× S}m _{→ R, p. 37} Ω conjunto de pontos vi´aveis, p. 36

Ωa conj. de pontos vi´aveis x com f (x) 6 a, p. 42

ker(A) n´ucleo da transforma¸c˜ao linear associada a matriz A, p. 39 λmax(A) maior autovalor da matriz A, p. 34

λmin(A) menor autovalor da matriz A, p. 34

hA, Bi produto interno das matrizes A e B, p. 35

Rn×m conjunto de matrizes reais de tamanho n × m, p. 6 Sm conj. das matrizes reais sim´etricas m × m, p. 7

Sm+ conj. das matrizes reais sim. m × m semidef. pos., p. 7

Sm− conj. das matrizes reais sim. m × m semidef. neg., p. 33

Sm++ conj. das matrizes reais sim. m × m definida pos., p. 7

(13)

µ parˆametro positivo, p. 48

∇G(x) matriz de derivadas dos componentes de G(x), p. 36 ∇f (x) _{vetor gradiente de f : R}n_{→ R em x, p. 23}

∇g(x) matriz de derivadas parciais de g em x, p. 23 ν, η parˆametros da busca linear ν, η ∈ (0, 1), p. 50

A fecho do conjunto A, p. 11 λmin m´ınimo autovalor de Λ, p. 64

ρ valor máximo dos invariates das matrizes de elasticidade, p. 13 σ valor máximo para um invariante do tensor de tensões, p. 15

c valor m´aximo para a complacˆencia, p. 14

ρ valor m´ınimo dos invariates das matrizes de elasticidade, p. 13 f fun¸c˜_{ao objetivo, f : R}n _{→ R, p. 35}

h espessura de uma estrutura bidimensional, p. 14

nelem n´umero de elementos da malha de elementos finitos, p. 16

nnd n´umero de n´os da malha de elementos finitos, p. 16

nsd n´umero de dimens˜oes do espa¸co de pontos da estrutura, p. 5

posto(A) dimens˜ao do espa¸co vetorial gerado pelas colunas de A, p. 39 skw(A) parte antisim´etrica de A, p. 7

smat inversa de svec, p. 80

svec _{isomorfismo de S}m _{em R}12m(m+1), p. 80

sym(A) parte sim´etrica de A, p. 7

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Lista de Abreviaturas

BMI Binear Matrix Inequality, p. 35

FAIPA Feasible Arc Interior Point Algorithm, p. 2 FDIPA-SDP FDIPA for SDP, p. 50

FDIPA Feasible Direction Interior Point Algorithm, p. 41 FMO Free Material Optimization, p. 13

KKT Karush-Kuhn-Tucker, p. 42 LMI Linear Matrix Inequality, p. 35

NL-SDP Nonlinear Semidefinite Programming, p. 35 SDP Semidefinite Programming, p. 35

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Motiva¸

c˜

ao e escopo

A presente tese tem duas áreas de interesse: a otimiza¸cão de material e a programa¸cão semidefinida. A otimiza¸cão de material objetiva a escolha das caracter´ısticas do material de modo que se minimize o custo de um projeto de engenharia mecânica. Por sua vez, a programa¸cão semidefinida é a matemática utilizada para modelar e estudar as propriedades de uma classe de problemas de otimiza¸cão. A rela¸cão entre estas duas áreas é a seguinte: um problema de otimiza¸cão de material se modela como um problema de programa¸cão semidefinida. Assume-se a hipótese constitutiva de materiais lineares elásticos. Cada ponto do corpo verifica uma rela¸cão linear entre a deforma¸cão e a tensão. O material é caraterizado localmente por uma fun¸cão linear denominada tensor de elasticidade. Por razões f´ısicas, se assume que este tensor seja simétrico e definido positivo. Em s´ıntese, num ponto do corpo o material é caracterizado por uma matriz elástica simétrica definida positiva.

A otimiza¸c˜ao de material tem como objetivo, a busca de uma estrutura viável que minimize uma fun¸c˜ao custo. No contexto desta tese, se define estrutura viável aquela que, em cada ponto do corpo tenha uma matriz elástica simétrica definida positiva e, adicionalmente, verifique um conjunto de restri¸cões de origem mecˆanica. O custo do sistema ´e uma fun¸cão que depende do material escolhido em todo o corpo. Tipicamente, cada ponto do corpo tem associado um custo local que depende do material naquele ponto. Neste caso, o custo do sistema é a somatória destes custos locais. A massa do corpo é um exemplo de custo e a densidade um exemplo de custo local. A densidade num ponto é definida a partir do material naquele ponto. Outro exemplo de custo é a complacência. A complacência está associada à deforma¸cão do corpo para um sistema de for¸cas estabelecido. Em termos gerais, o corpo é menos complacente quanto mais r´ıgido ele é.

(16)

As restri¸cões de origem mecˆanica consideradas são de tensão ou de deslocamento. Assume-se um valor máximo para o quadrado de uma norma do tensor de tensões em todos os pontos da estrutura. Também se considera que determinada região do contorno não se desloque mais que uma distância máxima.

Um modelo de elementos finitos é empregado para obter o deslocamento do problema do equil´ıbrio. Desta forma, um problema de otimiza¸cão de material se escreve como um problema de programa¸cão não linear com restri¸cões semidefinidas sobre as matrizes elásticas de cada elemento. Este problema é denominado problema de programa¸cão não linear semidefinida.

Na atualidade existem poucas técnicas gerais para programa¸cão não linear semidefinida. Foram publicados o algoritmo de pontos interiores de Jarre [1], a técnica de programa¸cão quadrática sucessiva de Ramires e Correa [2] e o algoritmo do lagrangeno aumentado de Stingl [3].

As técnicas apresentadas em [2] e [3] são generaliza¸cões de algoritmos para programa¸cão não linear. Isto motiva o autor a questionar sobre uma poss´ıvel generaliza¸cão do “Feasible Arc Interior Point Algorithm” para programa¸cão semidefinida.

O “Feasible Arc Interior Point Algorithm” (FAIPA) é uma técnica geral para resolver problemas de programa¸cão não linear com restri¸cões de desigualdade e igualdade. O FAIPA não foi desenvolvido para resolver problemas com restri¸cões matriciais semidefinidas. No entanto, uma restri¸cão matricial definida positiva é equivalente a um sistema de restri¸cões de desigualdade sobre os invariantes desta matriz. Com base nesta propriedade, é poss´ıvel transformar o problema de programa¸cão semidefinida num modelo de programa¸cão não linear com restri¸cões de desigualdade. Deste modo, é poss´ıvel resolver problemas de otimiza¸cão de material com o FAIPA. A principal vantagem desta técnica é o fato de ser um algoritmo de pontos interiores: todas as estruturas geradas são viáveis e de menor custo em cada itera¸cão [4][5][6].

1.2 Objetivos

Os objetivos deste trabalho s˜ao

1. Formular novos modelos de otimiza¸c˜ao de material.

2. Resolver numericamente problemas de otimiza¸cão de material com o FAIPA. 3. Desenvolver técnicas gerais para programa¸cão semidefinida.

(17)

1.3 Contribu¸

c˜

oes da tese

´

E proposto um novo modelo de otimiza¸cão de espessura e material de estruturas planas. Esta formula¸cão minimiza o volume da estrutura com restri¸cões nos invariantes das matrizes elásticas do material e considera restri¸cões locais de tensão. Este modelo é apresentado nas se¸cões 2.4.1 e 2.6.2.

Estuda-se a forma de resolver problemas de otimiza¸cão de material com o FAIPA. Para resolver estes problemas com o FAIPA, propõe-se o uso dos invariantes das matrizes envolvidas nas restri¸cões semidefinidas. Esta contribui¸cão se desenvolve no cap´ıtulo 3.

Por último, propõe-se uma gereraliza¸cão do “Feasible Direction Interior Point Algorithm” (FDIPA)[7] para resolver problemas de programa¸cão não lineares semidefinida. Embora seja uma extensão do FDIPA, cabe destacar que foi necessário estabelecer uma condi¸cão suficiente (ver proposi¸cão 5.2.1) para que uma dire¸cão seja viável (ver se¸cão 5.3.3). O novo algoritmo gera dire¸cões de busca que verificam esta caracteriza¸cão tornando-o um algoritmo de dire¸cões viáveis. No cap´ıtulo 5 se realiza um estudo teórico deste novo algoritmo provando-se a convergência global do mesmo.

1.4 Estrutura do documento

O texto est´a dividido nos seguintes cap´ıtulos:

Cap´ıtulo 2. Neste cap´ıtulo se apresenta o modelo de material linear el´astico, o problema do equil´ıbrio elasto-estático e os modelos de otimiza¸cão de material que serão resolvidos. E apresentada uma nova formula¸c˜´ ao para minimizar o volume de estruturas planas onde a espessura e o material são variáveis de projeto simultaneamente. Discutem-se as vantagens desta abordagem em compara¸cão com os modelos atuais de otimiza¸cão de material.

Cap´ıtulo 3. Apresenta-se a primeira forma de resolver os problemas de otimiza¸cão apresentados no cap´ıtulo 2. Apresenta-se o FAIPA como uma ferramenta de otimiza¸cão e a classe de problemas que é capaz de resolver. Mostra-se como as restri¸cões matriciais semidefinidas podem ser representadas por um conjunto de restri¸cões não lineares. Finalmente, definem-se as formula¸cões dos problemas de otimiza¸cão que são resolvidas com o FAIPA.

Cap´ıtulo 4. Neste cap´ıtulo se definem os elementos necess´arios para apresentar o problema geral de programa¸cão não linear semidefinida. Apresentam-se as condi¸cões necessárias de otimalidade e de unicidade dos multiplicadores de Lagrange. As defini¸cões e proposi¸cões deste cap´ıtulo são usados no seguinte cap´ıtulo.

(18)

Cap´ıtulo 5. Apresenta-se un novo algoritmo para programa¸cão não linear semidefinida denominado FDIPA-SDP. Realiza-se a prova teórica da convergência do algoritmo.

Cap´ıtulo 6. A partir de implementa¸c˜oes das técnicas do cap´ıtulo 3 e 5, se resolvem os problemas de otimiza¸cão apresentados no cap´ıtulo 2. Comparam-se solu¸cões obtidas com ambas técnicas e se resolvem alguns problemas testes de uma biblioteca de programa¸cão linear semidefinida.

Cap´ıtulo 7. Este cap´ıtulo ´e dedicado `as conclus˜oes e propostas de pesquisa futura.

Em s´ıntese, os cap´ıtulos 2 e 3 apresentam os problemas de otimiza¸cão de material e como se resolvem com o FAIPA. Enquanto que os cap´ıtulos 4 e 5 se dedicam ao problem geral de programa¸cão semidefinida e ao novo algoritmo FDIPA-SDP. Os cap´ıtulos 2 e 3 são independentes de 4 e 5. O leitor pode optar por come¸car com a parte de programa¸cão semidefinida (cap´ıtulos 4 e 5) para logo ir à parte de otimiza¸cão de material (cap´ıtulos 2 e 3).

(19)

Cap´ıtulo 2

Otimiza¸

c˜

ao de material

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Para estabelecer um problema de otimiza¸cão de material é necessário definir o tensor de elasticidade e estudar sua dependência com o problema do equil´ıbrio para um corpo cont´ınuo linear elástico.

O material é caracterizado pelo tensor de elaticidade em cada ponto do sólido. O tensor de elasticidade é definido como uma fun¸cão dependente da posi¸cão do corpo. Os componentes do tensor de elasticidade podem variar livremente com a única restri¸cão de que o tensor seja semidefinido positivo.

Procura-se, dentre todos os tensores de elasticidade, aquele que minimize uma fun¸cão custo e tal que se verifique restri¸cões sobre o tensor de elasticiade e outras restri¸cões de origem mecânica.

Por outro lado, para que as formula¸cões do problema do equil´ıbrio linear elástico possam ser utilizadas, o tensor de elasticidade deve ser, por hipótese, definido positivo. Com esta hipótese, pode-se provar que, com condi¸cões de contorno adequadas, a solu¸cão do problema de equil´ıbrio é única. Na configura¸cão do equil´ıbrio são obtidas as respostas mecânicas (deslocamento, deforma¸cão e tensão). Tais respostas mecânicas devem verificar as restri¸cões do problema de otimiza¸cão.

Propõe-se um problema de minimiza¸cão do volume de estruturas planas com restri¸cões definidas sobre o tensor de elasticidade e restri¸cões locais de tensão ou deslocamento. Por último, se apresenta um modelo de elementos finitos e os problemas de programa¸cão semidefinida que serão resolvidos numericamente.

2.1.1 Nota¸

c˜

ao

Seja um corpo cont´ınuo ocupando uma regi˜_{ao limitada D ⊂ R}nsd _{onde n}

sd = 2

(20)

O conjunto Rm ´e o espa¸co euclideano m-dimensional. O conjunto de matrizes reais de tamanho n × m ´_{e denotado por R}n×m_{. Se a ∈ R}m, a ´e um vetor coluna de dimens˜_{ao m × 1. Se A ∈ R}n×m_{, A}>

∈ Rm×n _´_{e a transposta de A. Emprega-se o}

seguinte produto interno em Rm _{e R}m×m

ha, bi = a>b = Pm i=1aibi hA, Bi = tr(A>_{B) =} Pm i=1 Pm j=1AijBij

onde tr(A) ´_{e a soma dos componentes da diagonal de A ∈ R}m×m_{. A norma utilizada}

se denota por k.k e ´e definida como k.k =qh., .i.

O conjunto dos operadores lineares T : Rnns _{→ R}nns _s˜_{ao denotados por Lin.}

O conjunto dos operadores lineares L : Lin → Lin são denotados por Lin. Se usará a palavra “tensor” como sinônimo de “operador linear” num espa¸co vetorial de dimens˜_{ao finita. Observe que existem isomorfismos entre Lin, R}nns×nns _{e R}n2ns

assim como entre Lin e Rn2

ns×n2ns. Portanto, todos estes espa¸cos vetoriais podem ser

representados numa base espec´ıfica, como matrizes em Rn×m _{ou vetores em R}m_.

Sejam V e W espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita munidos de um produto interno denotado por h., .i.

A transposta [8] da transforma¸c˜ao linear C : V → W, tamb´em chamada de transforma¸c˜ao linear adjunta [9] de C, ´e uma transforma¸c˜ao linear C> : W → V definida pela condi¸c˜ao hCA, Bi = hA, C>Bi para todo A ∈ V e B ∈ W.

Defini¸c˜ao 2.1.1. Um operador linear C : V → V ´e denominado sim´etrico [8] ou auto-adjunto [9] quando

hC[A], Bi = hA, C[B]i para todo A, B ∈ V.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Um operador sim´etrico C : V → V ´e definido positivo quando hC[A], Ai > 0

para todo A ∈ V r {0}. Neste caso, se escreve C 0.

Analogamente, se hC[A], Ai > 0 para todo A ∈ V, C ´e semidefinido positivo e se escreve C < 0.

Seja m a dimens˜ao de V.

A matriz C ∈ Rm×m de todo opearador linear auto-adjunto C : V → V, relativa a uma base ortonormal de V ´e sim´etrica, i.e. C = C> _{[9]. Se denota por S}m o conjunto das matrizes de coeficientes reais e sim´etricas de tamanho m × m. Quando o operador for semidefinido positivo, a matriz do operador ´e denominada

(21)

m × m, sim´etricas, semidefinidas positivas ´_{e denotado por S}m₊_{. Analogamente, S}m₊₊ ´e o conjunto das matrizes m × m sim´etricas, definidas positivas. Observe que o conjunto dos operadores sim´_{etricos de Lin, S}m _{e R}1₂m(m+1) _s˜_{ao isomorfos e que o}

conjunto dos operadores sim´_{etricos de Lin e S}12m(m+1) tamb´em s˜ao isomorfos.

O tra¸co de um operador linear A : V → V, denotado por tr (A), ´e o tra¸co da matriz A ∈ Rm×m _{do operador A numa base qualquer de V. O tra¸co est´}_{a bem}

definido por que independe da base escolhida para V.

A parte simétrica e antisimétrica de uma transforma¸c˜ao linear A entre espa¸cos vetoriais de dimensão finita é definida como

sym (A) = 1 2

A + A>

skw (A) = 1₂A − A>

respectivamente. Se a parte sim´etrica de A é nula, A ´e denominada antisimétrica. Se a parte antisim´etrica de A é nula, A ´e denominada simétrica.

Um operador linear Q ∈ Lin é ortogonal quando QQ> = Q>Q = I. Geometricamente, um operador linear ortogonal é uma rota¸cão em torno de um ponto fixo ou é uma reflexão em torno de um plano que passa por este ponto fixo. Um operador ortogonal leva uma base ortonormal noutra base ortonormal. Os operadores ortogonais serão usados na defini¸cão da simetria do material.

2.1.2 Defini¸

c˜

oes

Seja um corpo B ocupando uma regi˜_{ao limitada D ⊂ R}nsd_.

Um campo de deslocamento se define a partir da defini¸c˜ao da regi˜ao D, e de uma deforma¸c˜ao f , representado por uma fun¸c˜_{ao f : D → R}nsd_{. O deslocamento ´}_e

definido como uma fun¸c˜_{ao u : D → R}nns _{onde u(x) = f (x) − x ´}_{e o deslocamento do}

ponto x provocado pela deforma¸c˜ao f em x ∈ D.

Exemplo 2.1.1. f ´e uma deforma¸c˜ao r´ıgida se preserva a distˆancia, i.e. kf (y) − f (x)k = ky − xk

para todo x, y ∈ D

Se o deslocamento u for diferenci´avel em D [10], ∇u(x) denota o gradiente ou derivada de u no ponto x. A derivada de u no ponto x ´e um exemplo de operador linear em Rnns_{, i.e. ∇u(x) ∈ Lin.}

Os tensores

E(u) = sym(∇u) W (u) = skw(∇u)

(22)

se denominam campo de deforma¸cão infinitesimal e campo de rota¸cão infinitesimal, respectivamente. Os nomes destes tensores estão motivados pelo fato de que um campo de deslocamentos u associado a uma deforma¸cão r´ıgida com k∇uk = ε verifica que E(u) é um infinitesimal de ordem ε. Desta forma, para tal deslocamento u, ∇u é antisimétrica [11]. Esta propriedade motiva a seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜ao 2.1.3. Um campo de deslocamento u se denomina um deslocamento

r´ıgido infinitesimal quando ∇u ´e constante e antisim´etrica em D.

Em vista desta defini¸c˜ao um deslocamento r´ıgido infinitesimal u se caracteriza por ter uma deforma¸c˜ao infinitesimal nula, isto ´e, E(u) = 0. Por este motivo, quando dois campos de deslocamento u1 e u2 verificam o mesmo campo de deforma¸c˜ao

E(u1) = E(u2), a diferen¸ca u1 − u2 ´e um deslocamento r´ıgido infinitesimal.

Geometricamente, um deslocamento r´ıgido infinitesimal consiste numa composi¸cão de uma transla¸cão e uma rota¸cão de ângulo infinitesimal.

A divergˆencia de u, denotada por div(u), ´e definida por div(u) = tr(∇u). A divergˆencia de A ∈ Lin ´e definido por hdiv(A), vi = div(A>_{v) para v ∈ R}nns

constante.

2.2 Modelo

constitutivo

do

material

linear

el´

astico

O corpo é denominado linear elástico se a tens˜ao num ponto x ∈ D ´e uma fun¸cão linear do gradiente do deslocamento u em x. Isto é para cada x ∈ D, existe um operador linear C(x) ∈ Lin tal que [8]

S(x) = C(x) [E(u(x))] , x ∈ D, (2.1) onde S(x) e E(u(x)) s˜ao os tensores de tensão e de deforma¸cão infinitesimal em x ∈ D, respectivamente. Pelo teorema de conserva¸c˜ao do momento angular, o tensor de tens˜oes S(x) ´e simétrico [12]. A fun¸c˜_{ao C é chamada de campo de elasticidade e} C(x) ∈ Lin é denominado tensor elasticidade em x ∈ D.

O campo de elasticidade C verifica os seguintes axiomas para todo A, B ∈ Lin

C[skw(A)] = 0, (2.2)

(23)

O axioma (2.2) indica que deslocamentos r´ıgidos infinitesimais não induzem tensão. A condi¸cão (2.3) assegura que o tensor de tens˜_{oes resultante C[A] seja} simétrico. A hipótese (2.4) indica que o tensor de elasticidade é simétrico. Equivalentemente, o trabalho resultante ao longo de um caminho fechado de pequenas deforma¸cões é nulo. A simetr´ıa do tensor de elasticidade também garante a existencia da fun¸cão de energia armazenada [12]

E(u) = 1

2hE(u), C [E(u)]i, em D. (2.5) Por outro lado o tensor de elasticidade se assume semidefinido positivo por uma motiva¸cão f´ısica: o trabalho resultante ao longo de um caminho de pequenas deforma¸cões, partindo da deforma¸cão nula, é não negativo [12].

Fixando uma base ortonormal B = {e1, . . . , ensd} ⊂ R

nsd_{, as matrizes dos}

tensores S(x) e E(x) relativas a esta base s˜ao matrizes sim´etricas denotadas por σ(x) ∈ Snsd _{e ε(x) ∈ S}nsd_{, respectivamente. Em raz˜}_{ao da simetria de S(x) e E(x) ´}_e

usual representar as matrizes σ(x), ε(x) como vetores de R12nnd(nsd+1).

Em vista das hip´_{oteses (2.2), (2.3) e (2.4) a matriz do operador C(x) se representa} como uma matriz em S12nsd(nsd+1).

Para modelos bidimensionais (nsd = 2) [13]

σ =      S11 S22 S12      , ε =      E11 E22 2E12      , C =      C1111 C1122 C1112 C1122 C2222 C2212 C1112 C2212 C1212      , σ = Cε (2.6)

onde Sij, Eij e Cijkl s˜ao os componentes de S(x), E(x) e C(x) no sistema de

coordenadas B = {e1, e2}, respectivamente. Para modelos tridimensionais, existem

representa¸c˜_{oes similares onde ε(x), σ(x) ∈ R}6 _{e C(x) ∈ S}6.

A matriz C definida em (2.6) se denomina matriz de elasticidade e seus componentes de coeficientes el´asticos. O material no ponto x ∈ D fica definido atrav´_{es de uma matriz C(x) ∈ S}3

+.

Defini¸c˜ao 2.2.1. Se a densidade e a matriz de elasticidade C independem da

posi¸c˜ao em D, o material ´e denominado homogêneo. Caso contrário, o material é denominado de heterogêneo.

A homogeneidade do material está caracterizada pela independência dos coeficientes elásticos respeito à posi¸cão do corpo. Num sólido onde o material é homogêneo, a matriz de elasticidade é uma constante.

Defini¸c˜ao 2.2.2. Dado x ∈ D, quando a matriz de elasticidade C(x) independe

da base ortonormal B, o material ´e denominado isotr´opico em x. Caso contr´ario, o material ´e denominado anisotr´opico em x.

(24)

A isotropia do material num ponto x ∈ D est´a relacionada com o conceito de simetria do material no ponto x. A simetria do material no ponto x ∈ D ´e definido por um grupo de operadores ortogonais Q em Rnsd_{. A transforma¸c˜}_{ao ortogonal}

Q pertence ao grupo de simetria do material no ponto x se para todo operador sim´etrico A ∈ Lin

QC(x)[A]Q> = C(x)[QAQ>] (2.7) Um operador ortogonal Q pode significar uma rota¸cão em torno do ponto x ou bem uma reflex˜ao em torno de um plano que passa por x. Seja B0 a base ortonormal obtida da aplica¸c˜ao de Q à base ortonormal B. A transforma¸c˜ao ortogonal Q (rota¸cão ou reflex˜ao) pertence ao grupo de simetria do material no ponto x se a matriz de C(x) relativa a base B e igual a matriz de C(x) relativa a base B0.

Quando o grupo de simetria do material em x ´e definido pelas reflexões em torno de três planos perpendiculares entre si, o material é denominado ortotrópico. Tais planos são chamados de planos de simetria do material e as retas perpendiculares relativas aos mesmos são denominadas eixos de simetria do material. Um exemplo de material ortotrópico é a madeira. Um dos eixos de simetria da madeira tem a dire¸cão das fibras.

A matriz de elasticidade C de um material isotr´opico apresenta o seguinte formato [13] Ciso =      a1 a2 0 a2 a1 0 0 0 1 2(a1− a2)      (2.8)

onde ai s˜ao fun¸c˜oes da posi¸c˜ao em D.

Um modelo de tensão plana assume que os componentes da tensão na dire¸cão perpendicular `a estrutura (σ13, σ23 e σ33) são desprez´ıveis em compara¸cão com

os componentes no plano da estrutura (σ11, σ22 e σ12). Assumindo um material

isotr´opico, as fun¸c˜oes a1 e a2 em Ciso podem-se expressar em termos do m´odulo de

Young E e o coeficiente de Poisson ν da seguinte forma [13].

a1 =

E (1 − ν2₎

a2 = νa1

(2.9)

2.3 Formula¸

c˜

oes do equil´ıbrio

Nesta se¸cão se apresentam algumas formula¸cões do problema de equil´ıbrio da elasticidade linear [13] que se usaram nos problemas de otimiza¸cão.

(25)

a) um dom´ınio regular [8] D ⊂ Rnsd _{de contorno Γ, composto por duas fronteiras}

abertas Γu e Γs tais que Γu∩ Γs = φ e Γ = Γu∪ Γs.

b) Um campo de deslocamentos prescritos u0 : Γu → Rnsd.

c) Um sistema de for¸cas externas (b0, s0) sendo b0 : D → Rnsd for¸cas de corpo e

s0 : Γs → Rnsd for¸cas de superficie.

d) Um tensor de elasticidade C : D → Rnsd_{, C 0 em D.}

A formula¸c˜ao forte do problema de valor de contorno procura um campo de deslocamentos u ∈ U onde

U := {u : D → Rnsd_{|u(x) = u}

0(x), x ∈ Γu}.

tal que se verificam as seguintes equa¸c˜oes

div (S(x)) + b0(x) = 0, x ∈ D S(x) [n(x)] = s0(x), x ∈ Γs u(x) = u0(x), x ∈ Γu (2.10) onde S(x) = C(x) [E(x)] , x ∈ D E(x) = sym(∇u(x)), x ∈ D (2.11)

e n ´e um vetor unit´ario normal ao contorno que aponta para fora do dom´ınio D. A primeira equa¸cão de (2.10) é a equa¸cão de equil´ıbrio de for¸cas, a segunda equa¸cão representa a prescri¸cão do vetor de for¸cas de superficie no contorno Γs e a terceira

equa¸c˜ao a prescri¸c˜ao dos deslocamentos no contorno Γu

Usando o teorema da divergência [8] é poss´ıvel provar que a formula¸cão forte é equivalente a seguinte formula¸cão fraca: buscar u ∈ U tal que

a(u, v) − (b0, v) − (s0, v)Γ = 0, v ∈ V (2.12) sendo a(u, v) = R DhC(x)[E(u(x))], E(v(x))idx (b0, v) = R Dhb0(x), v(x)idx (s0, v)Γ = RΓshs0(x), v(x)idx (2.13) onde U := {u : D → Rnsd_{|u(x) = u} 0(x), x ∈ Γu}. (2.14)

´e o espa¸co das solu¸c˜oes fracas e

V := {v : D → Rnsd_{|v(x) = 0, x ∈ Γ}

(26)

´e o espa¸co das varia¸c˜oes.

Para apresentar a formula¸c˜ao variacional, define-se o funcional de energia potencial total como

Φ(u) = 1

2a(u, u) − (b0, u) − (s0, u)Γ. (2.16) Observe que, segundo (2.13), a(u, u) = 2R

DE(u(x))dx.

Seja v ∈ V , u ∈ U e > 0. A energia de deforma¸c˜_{ao E, definida em (2.5), para} um campo de deslocamentos u + v verifica

E(u + v) = 12hE(u), C[E(u)]i + hE(u), C[E(v)]i + 2 1

2hE(v), C[E(v)]i

= E(u) + hE(u), C[E(v)]i + 2

E(v)

(2.17)

Usando (2.17) para calcular a primeira varia¸c˜ao de Φ em u na dire¸c˜ao v ∈ V se obt´em [8]

lim

ε→0

Φ(u + εv) − Φ(u)

ε = a(u, v) − (u, v) − (u, v)Γ, v ∈ V (2.18) consequentemente, qualquer ponto estacion´ario u ∈ U da energia potencial total Φ é também solu¸cão da formula¸c˜ao fraca. Portanto, a formula¸cão variacional do equil´ıbrio procura u ∈ U tal que

lim

ε→0

Φ(u + εv) − Φ(u)

ε = 0, v ∈ V (2.19)

Adicionalmente, se existe uma solu¸c˜ao forte u, se verifica

Φ(u) = min{Φ(u) : u ∈ U } (2.20)

e u ´e ´unico caso as condi¸c˜oes de contorno incorporadas no conjunto U exclua campos de deslocamento r´ıgido infinitesimal.

Para provar (2.20) se usa a equa¸c˜ao (2.17) com = −1 e a equa¸c˜ao (2.12) para chegar ao seguinte resultado

Z

DE(u(x) − u(x))dx = Φ(u) − Φ(u),

u ∈ U

Como E nunca ´e negativa por ser C < 0, Φ(u) 6 Φ(u) para todo u ∈ U e a igualdade se verifica quando o campo u − u represente um deslocamento r´ıgido infinitesimal.

(27)

2.4 Modelos de otimiza¸

c˜

ao

Nesta se¸cão formulam-se problemas de otimiza¸cão de material onde as variáveis de projeto são os componentes do tensor de elasticidade. Na literatura, estes problemas se denominam de Parametriza¸cão Livre do Material, “Free Material Optimization” (FMO) [14][15][16]. O espa¸co dos parâmetros do material está restringido pelo conjunto de tensores admiss´ıveis que se define a seguir.

Defini¸c˜ao 2.4.1. Sejam ρ e ρ n´_{umeros reais tais que 0 6 ρ < ρ. O espa¸co dos}

tensores de elasticidade admiss´ıveis se define como

M =

n

C ∈ Lin : C < 0, ρ 6 tr(C) 6 ρ em D

o

alternativamente, num sistema de coordenadas ortonormal

M =

n

C ∈ Snsd _{: C < 0, ρ 6 tr(C) 6 ρ em D}o_.

Por motivos f´ısicos se considera C semidefinida positiva. Se ρ > 0, a restri¸c˜ao no tra¸co ρ 6 tr(C) exclui o caso C = 0. Contudo, a matriz C ∈ M pode ter valores pr´oprios nulos. A restri¸c˜_{ao tr(C) 6 ρ exclui o caso tr(C) = +∞.}

Nos problemas de FMO, o custo do material num ponto é definido como o tra¸co da matriz de elasticidade naquele ponto. Esta escolha do custo é arbitrária dado que não existe, em primeira instância, uma medida do custo do material em fun¸cão dos coeficientes da matriz de elasticidade. O tra¸co da matriz é uma medida do tensor de elasticidade que não depende do sistema de referência considerado. O tra¸co do tensor de elasticidade num ponto é uma medida da rigidez naquele ponto.

A seguir se colocam alguns modelos de otimiza¸cão da literatura [14][15]. O problema de máxima rigidez ou de m´ınima complacência se escreve como:

max min{Φ(u) : u ∈ U } : C ∈ M, Z Dtr(C)dx 6 v (2.21) onde Φ(u) ´_{e definido em (2.16) e v ∈ R ´e uma constante. Em [17] a quantidade}

R

Dtr(C)dx ´e considerada uma medida de recurso ou custo da estrutura. Neste

contexto, a restri¸c˜aoR

Dtr(C)dx 6 v indica uma restri¸c˜ao na quantidade m´axima de

material a ser empregado.

Para ver por que o problema (2.21) maximiza a rigidez da estrutura, seja u0 =

b0 = 0. Em consequˆencia, os espa¸cos das fun¸c˜oes U e V definidos em (2.14) e (2.15)

s˜ao iguais. Considere u∗ = u∗(C) uma solu¸c˜ao do problema do equil´ıbrio (2.12) para um campo de elasticidade C, portanto

(28)

e por (2.20) e (2.22) tem-se

min{Φ(u) : u ∈ U } = Φ(u∗) = 1₂a(u∗, u∗) − (s0, u∗)Γ

= −1₂(s0, u∗)Γ

(2.23)

Substituindo o resultado (2.23) em (2.21), tem-se min (s0, u∗)Γ : C ∈ M, Z Dtr(C)dx 6 v (2.24) Analizando a fun¸cão objetivo do problema (2.24), conclue-se que se está minimizando a complacência da estrutura.

O problema de m´ınimo tra¸co se obt´em colocando a integral do tra¸co ao longo do corpo como fun¸cão objetivo e considerando uma restri¸cão de complacência

min Z Dtr(C)dx : C ∈ M, (s0 , u∗)Γ 6 c , (2.25)

onde c ´e uma constante. A fun¸c˜ao objetivo nesta formula¸c˜ao ´e denominada de peso ou volume [17].

Os problemas precedentes são teóricos e não representam problemas reais de engenharia. O tra¸co não mede o peso, densidade ou volume, a restri¸cão de complacência não exclui singularidades da tensão no corpo. Na continua¸cão apresentam-se modelos de otimiza¸cão de maior interesse para a engenharia.

2.4.1 Otimiza¸

c˜

ao da espessura e do material

Propõe-se um novo modelo de otimiza¸cão de estruturas planas onde se minimiza o volume e se consideram restri¸cões semidefinidas sobre as matrizes de elasticidade do material.

Assumem-se as seguintes hip´oteses:

Hip´otese 2.4.1. Considere uma estrutura plana ocupando uma regi˜ao limitada D = D2× [0, h], D2 ⊂ R

2

(2.26) onde h ´e uma constante positiva. Considere a seguinte nota¸c˜ao, [x1, x2, x3] ∈ R3,

x = [x1, x2] ∈ D2. Assuma que os componentes do tensor de tens˜oes verificam as

hip´oteses de tens˜ao plana, σ13 = σ23 = σ33 = 0. Considere um material definido

a partir de um campo matricial C : D2 → S3. Assuma que a densidade e C s˜ao

constantes ao longo da coordenada x3. Seja b0 = u0 = 0 e s0 : Γs → R3 com

(29)

Nestas hip´oteses, os vetores σ, ε e a matriz C s˜ao da forma (2.6) e se verifica U = V .

A formula¸c˜ao fraca resulta na busca de u ∈ V tal que

ah,C(u, v) = (s0, v)Γ, v ∈ V (2.27)

onde

ah,C(u, v) = RD2h(x)ε(u(x))

>_{C(x)ε(v(x))dx} _(2.28)

sendo (s0, v)Γdefinida em (2.13) e a espessura h, se considera uma fun¸c˜ao da posi¸c˜ao

x ∈ D2.

Descreve-se na continua¸c˜ao o problema de otimiza¸c˜ao da espessura [16]. min h,u R D2h(x)dx sujeito a kσe(x)k2 6 σ, x ∈ D2 ah,Cf ix(u, v) = (s0, v)Γ, v ∈ V h 6 h(x) 6 h, x ∈ D2 (2.29)

onde h, h e σ s˜_{ao constantes que verificam 0 < h 6 h e σ > 0. O deslocamento u} ´e solu¸c˜ao do equil´ıbrio (2.27) sendo Cf ix uma matriz de elasticidade fixa de entrada

do problema. Se assume que Cf ix é definida positiva. Como restri¸cão de tensão

se considera, para todo ponto x ∈ D2, o quadrado da norma do tensor de tens˜oes

menor que uma tens˜ao admiss´ıvel σ.

Propõe-se um novo modelo que se denominar´a problema de otimiza¸cão da espessura e do material. O mesmo minimiza o volume da estrutura com restri¸c˜oes locais de tensão e se define da seguinte forma

min h,C,u R D2h(x)dx sujeito a _{C(x) ∈ M, x ∈ D}2 kσe(x)k2 6 σ, x ∈ D2 ah,C(u, v) = (s0, v)Γ, v ∈ V h 6 h(x) 6 h, x ∈ D2 (2.30)

Os problemas (2.29) e (2.30) podem incluir outras restri¸cões de origem mecânica, como por exemplo, restri¸cões nos deslocamentos em determinada região no contorno do corpo.

No problema (2.29) seria poss´ıvel considerar restri¸cões de tensão de von Mises. Entretanto, no desenho de materiais anisotrópicos como é o caso do problema (2.29), não há um critério de falha estandarizado. O critério de falha dependerá

(30)

na realiza¸cão da solu¸cão ótima. A fim de obter resultados independentes de como serão implementados na prática, se utiliza a norma do tensor de tensões.

Os problemas de otimiza¸cão apresentados serão resolvidos numericamente com algoritmos de programa¸cão matemática. Por este motivo, na próxima se¸cão, se introduzem modelos discretos para estas formula¸cões.

2.5 Modelo de elementos finitos

Para resolver o problema do equil´ıbrio (2.27) numericamente, emprega-se o M´etodo dos Elementos Finitos [13].

Nesta se¸c˜ao se consideram as hip´oteses 2.4.1.

Suponha que exista uma parti¸c˜ao Dα _{do dom´ınio D}

2 em nelem subdom´ınios

quadrados, D(e)_{, e = 1, . . . , n}

elem, de ´area α. Para esta parti¸c˜ao Dα, define-se o

vetor de espessuras como

h = [h1, . . . , he, . . . , hnelem]

>

∈ Rnelem _(2.31)

e o vetor de matrizes de elasticidade como

C = [C1, . . . , Ce, . . . , Cnelem]∈ R

3×(3nelem) _(2.32)

desta forma, as fun¸c˜oes h e C s˜ao aproximadas por fun¸c˜oes constantes por partes em D(e)_{. Para cada elemento e, a matriz C}

e ∈ S3 ´e definida como: Ce =      C11(e) C (e) 12 C (e) 13 C12(e) C (e) 22 C (e) 23 C13(e) C (e) 23 C (e) 33      . (2.33)

Seja nnd o número total de nós dos elementos na parti¸cão. Escolhe-se uma base

de fun¸c˜oes de forma {N1, . . . , Nnnd} definidas na parti¸c˜ao D

α_{. A partir desta base,}

definem-se Vα, um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita que aproxima V definido em (2.15). Assume-se que vα∈ Vα _{verifica v}α_{(x) ≈ 0 com x ∈ Γ}

u.

Desta maneira, na formula¸c˜ao de Galerkin procura-se o deslocamento uα _{∈ V}α

tal que

ah,C(uα, vα) = (s0, vα)Γ, vα ∈ Vα (2.34)

As fun¸c˜oes de forma s˜ao escolhidas para que a solu¸c˜ao uα_{convirja, quando α → 0,}

(31)

A solu¸c˜ao uα ∈ Vα _{se expressa como} uα(x) = nnd X i=1 Ni(x)ui, x ∈ Dα (2.35)

onde ui ∈ R2 ´e o vetor deslocamento ou vetor de graus de liberdade do n´o i.

Substituindo uα_{e v}α_{no formato (2.35) em (2.34), se chega a formula¸}_c˜_{ao de elementos}

finitos K(h, C)u = p (2.36) onde K(h, C) = Pnelem e=1 Ke(he, Ce) Ke(he, Ce) = he R D(e)B_e(x)>C_eB_e(x)dx (2.37) Os componentes do vetor u ∈ R2nnd _s˜_{ao os deslocamentos dos n´}_{os de todos os}

elementos. O vetor p ∈ R2nnd _´_{e a vers˜}_{ao discretizada da fun¸c˜}_{ao s}

0 definido na

fronteira Γs. A matriz Be ∈ R3×(2nnd)´e uma matriz de nnd blocos de dimens˜ao 3 × 2.

Cada bloco q = 1, . . . , nnd da matriz Be se define da seguinte forma. Se o n´o q

pertence ao elemento e, ent˜ao, o bloco q de Be ´e a matriz

Be,q =          ∂Nq ∂x1 0 0 ∂Nq ∂x2 ∂Nq ∂x2 ∂Nq ∂x1          (2.38)

caso contr´ario, se coloca a matriz nula de dimens˜ao 3 × 2.

A matrix K(h, C) do sistema linear (2.36) se denomina matriz de rigidez global. Impondo as condi¸c˜oes de contorno, se eliminam linhas e colunas de K(h, C) obtendo-se a matriz de rigidez reduzida KR(h, C). Eliminando os componentes de u e p

correspondentes as linhas eliminadas em K(h, C), se obt´em o sistema linear

KR(h, C)uR = pR (2.39)

A seguinte proposi¸cão fornece uma condi¸cão necessária para a unicidade da solu¸cão da formula¸cão de elementos finitos.

Proposi¸c˜ao 2.5.1. Se Ce  0 para todo e = 1, . . . , nelem e as condi¸c˜oes de contorno

definidas em Vα _s˜_{ao tais que n˜}_{ao admitem deslocamento r´ıgido n˜}_{ao trivial, ent˜}_ao

KR(h, C) 0.

(32)

Nas hip´otese de que Ce < 0 para todo e = 1, . . . , nelem, ´e poss´ıvel provar (usando

os mesmos argumentos que na prova em [13]) que a matriz de rigidez global K(h, C) ´e semidefinida positiva.

Seja ue ∈ R8 o vetor de deslocamentos do elemento e, isto ´e, ue cont´em os

componentes de u que correspondem aos graus de liberdade dos n´os do elemento e. Em base a representa¸c˜ao vetorial da equa¸cão constitutiva apresentada em (2.6), é poss´ıvel calcular o tensor de tensões e o tensor de deforma¸cão no baricentro do elemento e atrav´es das seguintes fórmulas [13]

σe= Ceεe, εe= B0ue (2.40)

onde B0 ∈ R3×8 ´e uma matriz de quatro blocos de tamanho 3 × 2. Cada bloco da

matriz B0 ´e uma matriz Be,q calculada no baricentro do elemento e, sendo q um

n´o deste elemento. Uma vez que todos os elementos tem a mesma geometria, B0

depende apenas da ´area α do elemento [18].

O quadrado da norma do tensor de tens˜oes no baricentro do elemento e, denotada por kσek2, se calcula da seguinte forma

kσek2 = σe>σe (2.41)

onde σe ´e calculado em (2.40).

2.6 Problemas de programa¸

c˜

ao semidefinida

Agora se traduzem os modelos de otimiza¸c˜ao (2.25), (2.29) e (2.30) nas suas vers˜oes discretas, utilizando o modelo de elementos finitos.

A fun¸c˜ao objetivo R

Dtr(C)dx ´e traduzida em

Pnelem

e=1 tr(Ce). A vers˜ao discreta

de C ∈ M ´e um conjunto de restri¸c˜oes semidefinidas Ce < 0 e num conjunto de

restri¸c˜_{oes de desigualdade ρ 6 tr(C}e) 6 ρ onde e = 1, . . . , nelem. A restri¸c˜ao de

complacˆencia (s0, u)Γ 6 c se escreve como p>u 6 c e onde u e p s˜ao definidos em

(33)

2.6.1 Minimiza¸

c˜

ao do tra¸

co

Deste modo, o problema de m´ınimo tra¸co definido em (2.25) torna-se min C,u Pnelem e=1 tr(Ce) sujeito a Ce< 0 e = 1, . . . , nelem ρ 6 tr(Ce) 6 ρ e = 1, . . . , nelem p>_{u 6 c} K(h0, C)u = p (2.42)

onde h0 ´e um vetor de espessuras fixas e positivas. Observe que as vari´aveis de

projeto deste problema s˜ao C e u.

A seguir se apresenta uma proposi¸c˜ao que permite eliminar a vari´avel de projeto u do problema (2.42).

Proposi¸c˜_{ao 2.6.1. Se K < 0, se verifica a seguinte equivalˆencia}

Ku = p p>_{u 6 c}    ⇐⇒   c −p> −p K  < 0 (2.43)

Demonstra¸c˜ao. Veja no apˆendice B.1.1.

Em vista da proposi¸cão (2.6.1), é poss´ıvel eliminar a vari´avel de projeto u da formula¸cão (2.42), obtendo-se min C Pnelem e=1 tr(Ce) sujeito a Ce < 0 e = 1, . . . , nelem ρ 6 tr(Ce) 6 ρ   c −p> −p K(h0, C)  < 0 (2.44)

Em contrapartida, o problema (2.44) cont´em uma restri¸c˜ao semidefinida de uma matriz que inclui a matriz de rigidez K(h0, C).

2.6.2 Minimiza¸

c˜

ao do volume

De forma análoga, a versão discreta da fun¸cão objetivo R

D2h(x)dx definida em

(2.29) se escreve como Pnelem

e=1 he. Assim, o problema de otimiza¸c˜ao da espessura

torna-se min h,u Pnelem e=1 he sujeito a kσek2 6 σ e = 1, . . . , nelem K(h, Cf ix)u = p h 6 he6 h e = 1, . . . , nelem (2.45)

(34)

onde Cf ix=

h

C_{f ix}(1), . . . , C(nelem)

f ix

i

∈ R3×(3nelem) _´_{e um vetor de matrizes de elasticidade}

fixo, sendo C_{f ix}(e)  0. O quadrado da norma do tensor de tens˜oes do elemento ´e definida em (2.41).

Por ´ultimo, a vers˜ao discreta do problema de otimiza¸c˜ao da espessura e do material em (2.30) se reduz a min h,C,u Pnelem e=1 he sujeito a Ce < 0 e = 1, . . . , nelem ρ 6 tr(Ce) 6 ρ e = 1, . . . , nelem kσek2 6 σ e = 1, . . . , nelem K(h, C)u = p h 6 he6 h e = 1, . . . , nelem (2.46)

2.7 Discuss˜

ao dos modelos de otimiza¸

c˜

ao

Os modelos de minimiza¸cão do tra¸co (2.42) e de minimiza¸cão da complacência (2.24) não são apropriados para aplica¸cões de engenharia porque solu¸cões ótimas obtidas com estes modelos são estruturas r´ıgidas e provavelmente possuem pontos de concentra¸cão de tensão. Por outro lado, o tra¸co da matriz de elasticidade do elemento não mede o volume do elemento. Por este motivo, acredita-se que o modelo de minimiza¸cão de espessura e material (2.30) seja de maior interesse para aplica¸cões reais.

A formula¸cão de minimiza¸cão do tra¸co (2.42) contém restri¸cões não lineares de desigualdade e igualdade. No entanto, o problema é equivalente a (2.44). O problema (2.44) contém uma restri¸cão semidefinida com a matriz de rigidez K(h0, C). Contudo, matriz de rigidez K(h0, C), o tra¸co e a própria matriz Ce são

fun¸c˜oes lineares com respeito aos coeficientes das matrizes Ce. Assim, o problema

(2.44) ´e um problema de programa¸c˜ao linear semidefinida.

O problema de otimiza¸cão da espessura (2.45) minimiza o volume de uma estrutura com um material fixo. No entanto, o problema de otimiza¸cão da espessura e material (2.46) minimiza o volume estrutural permitindo a mudan¸ca do material em cada ponto do corpo. Estes problemas são não lineares devido às restri¸cões de tensão em cada elemento. O problema (2.46) tem a complica¸cão adicional de possuir restri¸cões matriciais semidefinidas. Apesar disto, as restri¸cões semidefinidas para modelos bidimensionais envolvem matrizes de tamanho 3 × 3.

Assumindo que exista uma solu¸c˜ao h∗ para o problema (2.45), é de esperar que exista uma solu¸c˜ao (h∗∗, C∗∗) do problema (2.46) tal que h∗∗ seja uma solu¸cão ótima com menos volume que h∗. Esta afirma¸cão é razoável por que o problema (2.46)

(35)

tem C como vari´avel de projeto e permite organizar o material enquanto que (2.45) mant´em C fixo.

As técnicas para programa¸cão não linear com restri¸cões são adequadas para o problema (2.45). No entanto, para resolver (2.42), (2.44) e (2.46) seriam inapropriadas por conter restri¸cões matriciais semidefinidas.

Nesta tese se prop˜oe uma forma de resolver os problemas (2.42) e (2.46) mediante a t´ecnica do “Feasible Arc Interior Point Algorithm”.

(36)

Cap´ıtulo 3

Otimiza¸

c˜

ao de material com o

FAIPA

3.1 Algoritmo de pontos vi´

aveis por arcos vi´

aveis

Nesta se¸cão se descreve o “Feasible Arc Interior Point Algorithm”, algoritmo proposto por Herskovits [7]. O FAIPA é uma técnica geral de resolu¸cão do problema de programa¸cão diferenciável não-linear com restri¸cões

min

x∈Rnf (x)

sujeito a gi(x) 6 0 i = 1, . . . , m

(3.1)

A formula¸cão (3.1) tem a seguinte leitura: procurar na região viável

∆ = {x ∈ Rn: gi(x) 6 0, i = 1, . . . , m} (3.2)

o vetor x∗ tal que

f (x∗_{) 6 f (x), para todo x ∈ ∆.} (3.3) O vetor x ∈ Rn _´_{e denominado vetor de vari´}_{aveis de projeto. A fun¸c˜}_{ao f : R}n_→

R ´e denominada fun¸cão custo ou fun¸cão objetivo. As fun¸cões gi : Rn → R são

denominadas fun¸c˜oes de restri¸c˜ao de desigualdade.

Um ponto x∗ que verifica a condi¸cão (3.3) é denominado m´ınimo global do problema (3.1). Desafortunadamente, a condi¸cão (3.3) não é facil de verificar em geral. O m´ınimo global somente pode ser caracterizado em situa¸cões especiais, por exemplo, quando as fun¸c˜oes f e g s˜ao convexas.

As técnicas gerais de programa¸cão matemática como o FAIPA, procuram pontos denominados m´ınimos locais.

(37)

Defini¸c˜ao 3.1.1. O ponto x∗ ∈ ∆ ´e um m´ınimo local do problema (3.1) quando existe ε > 0 tal que f (x∗_{) 6 f (x), para todo x ∈ ∆ ∩ B(x}∗, ε).

Para entender o funcionamento do FAIPA é necessário estabelecer as condi¸cões de otimalidade de um m´ınimo relativo. Para isso, algumas defini¸cões e condi¸cões usuais da programa¸cão matemática serão apresentadas na continua¸cão.

Se f e g s˜ao da classe C1_{, f e g}

j possuem as n derivadas parciais

∂f ∂xi

(x), ∂gj ∂xi

(x), x ∈ Rn, j = 1, . . . , m, i = 1, . . . , n

e estas derivadas parciais s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas. O gradiente de f ´e denotado por

∇f (x) = _∂f ∂x1 (x) . . . ∂f ∂xn (x) > ∈ Rn_. _(3.4)

As derivadas parciais de gi respeito de xk se agrupam na seguinte matriz ∇g(x)

definida como

∇g(x) = h∇g1(x) . . . ∇gm(x)

i

∈ Rn×m. (3.5)

Defini¸c˜ao 3.1.2. Define-se a fun¸c˜ao Lagrangena do problema (3.1) como L : Rn× Rm

→ R

L(x, λ) = f (x) + g(x)>λ. (3.6) Onde g(x)> = [g1(x), . . . , gm(x)]. Em vista de (3.5) e (3.6), o gradiente da fun¸c˜ao

Lagrangeana respeito de x rescreve-se

∇xL(x, λ) = ∇f (x) + ∇g(x)λ. (3.7)

Defini¸c˜ao 3.1.3. O conjunto de restri¸c˜oes ativas em x ∈ ∆ se define como

A(x) = {j ∈ {1, . . . , m} : gj(x) = 0}. (3.8)

Condi¸c˜ao de regularidade 3.1.1. Dado x ∈ ∆, as restri¸c˜oes do problema (3.1) satisfazem a condi¸c˜ao de regularidade de independˆencia linear em x se o conjunto {∇gj(x) : j ∈ A(x)} ´e linearmente independente.

Teorema 3.1.1. Se f e g s˜ao fun¸c˜oes da classe C1_{, x}∗ _´_{e um m´ınimo relativo do}

(38)

existe um ´unico vetor de multiplicadores de Lagrange λ∗ _{∈ R}m tal que, ∇L(x∗_{, λ}∗_{) = 0} gi(x∗)λ∗i = 0, i = 1, . . . , m gi(x∗) 6 0 λ∗ _{> 0} (3.9)

onde a ∇L est´a definida em (3.7). Demonstra¸c˜ao. Ver [19]

Um ponto (x∗, λ∗) que verifica as condi¸c˜oes (3.9) ´e denominado de ponto de Karush-Kuhn-Tucker (KKT).

O FAIPA ´e um m´etodo iterativo. Dado um ponto ponto inicial x0 _{tal que g(x}0_{) <}

0, o algoritmo gera uma sequˆencia de pontos {(xk_{, λ}k_)}

k∈N tal que g(xk) < 0 e

f (xk+1_{) < f (x}k_{) de modo que a sequˆ}_{encia converge a um ponto de KKT. Para tal}

fim, em xk _{calcula-se uma dire¸c˜}_{ao d}k _{∈ R}n _vi´_{avel do problema (3.1) e de descida}

para a fun¸c˜ao f no ponto xk.

Defini¸c˜_{ao 3.1.4. d ∈ R}n ´e uma dire¸c˜ao vi´avel do problema (3.1) no ponto x ∈ ∆ se existe Θ > 0 tal que x + td ∈ ∆ para todo t ∈ [0, Θ].

Defini¸c˜_{ao 3.1.5. d ∈ R}n _´_{e uma dire¸c˜}_{ao de descida da fun¸c˜}_{ao f no ponto x ∈ R}n _se

existe δ > 0 tal que f (x + td) < f (x) para todo t ∈ (0, δ). ´

E poss´ıvel provar que se d>∇gj(x) < 0 para todo j ∈ A(x) ent˜ao, d ´e uma

dire¸cão vi´avel de (3.1) em x. Analogamente, se d>∇f (x) < 0 então d ´e uma dire¸cão de descida para f em x. Em vista destas propriedades, se descreve na continua¸c˜ao, como o FAIPA calcula uma dire¸c˜ao viável e de descida.

3.1.1 Dire¸

c˜

ao vi´

avel e de descida

Motivado pelas equa¸cões de igualdade da condi¸cão de KKT (3.9), se define a seguinte fun¸cão φ : Rn_{× R}m _{→ R}n_{× R}m φ(x, λ) =   ∇L(x, λ) G(x)λ  

onde G(x) = diag(g(x)). Para achar as ra´ızes de φ pelo m´etodo de Newton, calcula-se a matriz Jacobiana de φ obtendo-calcula-se

∇φ =   H(x, λ) ∇g(x) Λ∇g(x)> G(x)  ∈ R (n+m)×(n+m) (3.10)

(39)

onde H(x, λ) = ∇xxL(x, λ) ´e a Hessiana da fun¸c˜ao Lagrangeana (3.6) e Λ = diag(λ).

Uma itera¸c˜ao de Newton para resolver o sistema n˜ao linear de equa¸c˜oes φ(x, λ) = 0 torna-se   Bk _∇g(xk₎ Λk_∇g(xk₎> _G(xk₎     xk+10 − xk λk+10 − λk  = −   ∇f (xk_{) + ∇g(x}k_)λk G(x)λk   (3.11) onde Bk _{= H(x}k_{, λ}k_{) e (x}k+1 0 , λ k+1

0 ) representa o novo ponto. No FAIPA, a matriz

B ´e uma aproxima¸c˜ao quase-Newton de H ou a matriz identidade. Para a prova da convergˆencia global do algoritmo se precisa que B seja definida positiva [7].

Definindo dk

0 = x

k+1

0 − xk e desenvolvendo o sistema linear (3.11) obt´em-se

Bk_dk 0 + ∇g(xk)λ k+1 0 = −∇f (xk) Λk_∇g(xk₎>_dk 0 + G(xk)λ k+1 0 = 0 (3.12)

Prova-se em [7] que se d0 6= 0, então d>0∇f (x) < 0, ou seja d0 é uma dire¸cão de

descida. Contudo d0 não é necessariamente viável. Para ver isto, a segunda equa¸cão

de (3.12) fornece as seguintes igualdades

λk_j∇gj(xk)>dk0 + gj(xk)λk+10j = 0, j = 1, . . . , m

indicando que ∇gj(xk)>dk0 = 0 para todo j ∈ A(xk).

Para garantir que uma dire¸c˜ao dk seja vi´avel, define-se outro sistema linear nas vari´aveis dk e λk

Bk_dk _{+ ∇g(x}k_)λk+1 _{= −∇f (x}k₎

Λk∇g(xk₎>_dk ₊ _G(xk_)λk+1 _{= −ρ}k_λk (3.13)

adicionando uma quantidade negativa no lado direito da segunda equa¸c˜ao (3.12), onde o parˆametro ρk _´_{e um n´}_{umero positivo.}

Observando a segunda equa¸c˜ao de (3.13) chega-se a que ∇gj(xk)>dk = −ρkλk < 0

para todo j ∈ A(xk_{), isto ´}_{e, d}k _´_{e uma dire¸c˜}_{ao vi´}_avel.

O efeito do parˆametro positivo ρ ´e defletir a dire¸c˜ao d0 para dentro da regi˜ao

vi´avel. Como d0 é uma dire¸cão de descida, é poss´ıvel definir uma cota superior para

ρ de modo que d tamb´em seja de descida. Esta cota superior pode estabelecer-se com a seguinte condi¸c˜ao

d>∇f (x) < ξd>0∇f (x)

onde ξ ∈ (0, 1). Como d>0∇f (x) < 0, esta condi¸c˜ao faz que d seja uma dire¸c˜ao de

(40)

Outra forma de obter a dire¸c˜ao vi´avel e de descida dk consiste em resolver o seguinte sistema linear auxiliar nas vari´aveis dk1 e λ

k+1 1 Bkdk1 + ∇g(xk)λ k+1 1 = 0 Λk∇g(xk₎>_dk 1 + G(xk)λ k+1 1 = −λk (3.14) calcular ρk _{∈ R como} ρ 6 (ξ − 1)d > 0∇f (x) d> 1∇f (x) se d>₁∇f (x) > 0. Caso contrario, se d> 1∇f (x) 6 0, assume-se ρ 6 ϕkd0k2

para algum parˆametro fixo ϕ > 0. Logo definindo dk = dk0 + ρkdk1

λk+1 = λk+10 + ρkλ

k+1

1

se obt´em a solu¸c˜ao do sistema (3.13) onde, em particular, a dire¸c˜ao dk _´_{e vi´}_{avel e de}

descida.

3.1.2 Busca linear

Na semi-reta {xk _{+ td}k _{: t > 0} ´}_{e poss´ıvel procurar um passo t}k _{> 0 tal que}

xk+1_{= x}k_{+ t}k_dk _{verifique f (x}k+1_{) < f (x}k_{) e g(x}k+1_{) < 0.}

A busca linear de Armĳo [19] procura o primeiro elemento tk _{da sequˆ}_encia

1, ν, ν2_{, ν}3_{. . . tal que}

fxk_{+ t}k_dk _{6 f (x}k_{) + t}k_.η.dk >_{∇f (x}k₎ _(3.15)

onde η ∈ (0, 1). A condi¸c˜ao (3.15) assegura uma redu¸c˜ao de f é reduzida η vezes a redu¸cão de uma fun¸c˜ao linear tangente a f em t = 0. Adicionalmente, deve verificar-se que gj xk_{+ t}k_dk _{< 0} _{se λ}k+1 j > 0 gj xk_{+ t}k_dk _{6 g} j(x) se λ k+1 j < 0 (3.16) As condi¸cões (3.16) são importantes para provar os seguintes fatos:

1. A sequˆencia {tk_}

k∈N converge para um n´umero positivo t∗.

2. Se a sequˆencia {xk_}

k∈N converge para um ponto x∗ tal que gj(x∗) = 0 com

(41)

Estes dois fatos s˜ao fundamentais na prova da convergˆencia do algoritmo a um ponto de KKT [7].

3.1.3 Busca em arco

O FAIPA permite a busca do parˆametro tk ao longo de uma curva definida pela seguinte equa¸c˜ao

A(t) = xk_{+ td}k_{+ t}2_˜

dk.

A dire¸c˜ao ˜dk_{, leva em conta a curvatura das restri¸c˜}_{oes no ponto x}k_{. Para isso se}

calcula primeiro

ωk = g(xk+ dk) − g(xk) − ∇g(xk) e logo se resolve um terceiro sistema linear em ˜dk _{e ˜}_λk+1

Bk_d˜k _{+ ∇g(x}k_)˜_λk+1 _{= 0}

Λk_∇g(xk₎>_d_˜k ₊ _G(xk_)˜_λk+1 _{= −Λω}k (3.17)

A figura 3.1 indica uma interpreta¸c˜ao geom´etrica das dire¸c˜oes dk

0, ρdk1 e ˜dk junto

aos gradientes de −∇f (xk) e ∇gj(xk) onde j ∈ A(xk).