O Princípio da Indução Matemática
e Recursividade
Indução Matemática é um processo de prova ou demonstração de propriedades definidassobre o conjunto dos números inteiros que, baseada numa quantidade finita
de observações, estende
e generaliza a propriedade para todo o conjunto de números inteiros. O processo de prova baseia-se nos seguintes argumentos:
Prove que a propriedade vale para n=1, supondo que a propriedade vale para n,
prove que
ela também vale para n+1. O Princípio de Indução Matemática
Para provar n N P(n):
Provar:
1. P(0) (caso base) 2. - (k)[P(k) P(k+1)] (passo indutivo)
Lembrete: Para provar que alguma coisa é verdadeira para todo inteiro n que algum valor, pense em indução.
Exemplo 6.4:
20 = 1 = 21 – 1
20 + 21 = 1 + 2 = 3 = 22 – 1
20 + 21 + 22 = 1 + 2 + 4 = 7 = 23 – 1
20 + 21 + 22 + 23 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 24 – 1 No exemplo acima o padrão mais geral parece com:
20 + 21 + 22 +…+ 2n = 2n-1 – 1
Mas, não podemos afirmar que este padrão será sempre verdadeiro para todos os valores de n a menos que provemos.
1. Prove que para todo número natural n, 20 + 21 + 22 +…+ 2n = 2n-1 – 1.
2. Prove que n N, 3|(n3 – n), ou seja, que n3 – n é divisível por 3.
3. Prove que n 5, 2n > n2.
4. Prove que para todo inteiro positivo n, n2> n
5. Prove que n2 > 3n para n 4.
6. Prove que o número 22n – 1, n N é divisível por 3.
7. 12 + 22 + … + n2 = k(k+1)(2k+1)/6
9.
∑
i=1
n
1
i(i+1)=
n
n+1 , 10.
∑
i=1n
i(i+1)=n(n+1)(n+2)
3
Relações de Recorrência
Definições recorrentes
Uma definição onde o item sendo definido aparece como parte da definição é chamada de definição recorrente ou definição por recorrência ou ainda definição por indução.
Como??
1. Uma base, ou condição básica, onde alguns casos simples (pelo menos um) do item que está sendo definido são dados explicitamente.
2. Um passo de indução ou recorrência, onde novos casos do item que está sendo definido são dados em função dos casos anteriores.
Seqüências Definidas por Recorrência
Define-se o primeiro valor (ou alguns poucos ) na seqüência e depois os valores subseqüentes na seqüência em termos de valores anteriores
Exemplo:
A seqüência S é definida por recorrência por
1. S(1) = 2
S(n) = 2S(n -1) para n 2(relaçao de recorrencia)
Algoritmos Definidos por Recorrência(Algoritmo Iterativo)
S(inteiro n)
//função que calcula iterativamente o valor S(n) para a seqüência S do exemplo //anterior
Variáveis locais:
inteiro i //índice do laço
Valor corrente // valor corrente da função S se n = 1 então
retorne 2 senão
i = 2
ValorCorrente = 2 enquanto i <= n faça
ValorCorrente = 2 * ValorCorrente i = i + 1
fim do enquanto
//agora o ValorCorrente tem o valor S(n) retorne ValorCorrente
fim da função S
S(inteiro n)
//função que calcula o valor S(n) de forma recorrente para a //seqüência S do exemplo anterior
se n = 1 então retorne 2 senão
retorne 2 * S(n - 1) fim do se
fim da função S
(algoritmo decorrente) Mais curto
Mais complicado
Pode acontecer overflow
Resolvendo relações de recorrência
Lembrando, do exemplo anterior:
S(1) = 2 1)
S(n) = 2S(n - 1) para n 2 (2) Como
S(1) = 2 = 21
S(2) = 4 = 22
S(3) = 8 = 23
S(4) = 16 = 24
e assim por diante, vemos que
S(n) = 2n (3)
É possível calcular diretamente S(n) sem ter que calcular explicitamente ou por recorrência.
(3) Solução em forma fechada para a relação de recorrência (2) sujeita à condição básica (1)
Problemas Recorrentes
A Torre de Hanói
Matemático francês
Édouard Lucas em 1883 (8 discos).
Lenda romântica sobre a Torre de Brama, com 64 discos de ouro
empilhados em três agulhas de diamantes.
Considerando uma torre com n discos
1. n – 1 discos menores para pino intermediário (Tn-1
movimentos)
2. maior disco (um movimento)
3. n – 1 discos menores em cima do maior (Tn-1
movimentos)
Tn 2Tn + 1, para n > 0
Corremos o risco de mover o maior disco mais de uma vez Tn 2Tn + 1, para n > 0
Essas duas inequações junto com a trivial para n = 0, fornecem T0 = 0
Tn = 2Tn-1 + 1, para n > 0
Como resolver essa relação de recorrência?
Uma possibilidade é adivinhar a solução e depois provar que adivinhamos corretamente. (Casos mais simples)
T1 = 2 * 0 + 1 = 1 T2 = 2 * 1 + 1 = 3
T3 = 2 * 3 + 1 = 7 T4 = 2 * 7 + 1 = 15
T5 = 2 * 15 + 1 = 31 T6 = 2 * 31 + 1 = 63
Está parecendo que
Tn = 2n – 1
Dicas para encontrar uma forma fechada, ou seja, encontrar uma solução da relação de recorrência:
1. Considere casos simples. Isso nos faz compreender melhor o problema e nos ajuda nas etapas 2 e 3.
2. Ache uma expressão matemática e prove sua validade.
3. Ache uma forma fechada para a expressão matemática e demonstre sua validade.
Curiosidade:
Para a Torre de Brama (n=64), serão necessários 264 –1
movimentos
(aproximadamente 18 quintilhões). Com a velocidade de um movimento por microssegundo, isso levaria 5000 séculos! Exercicios. Prove que
1. 1 + 2 + 22 + … + 2n = 2n+1 - 1, para todo n 1. 2. Para qualquer inteiro positivo n, 2n > n.
3. Para todo inteiro positivo n, o número 22n – 1 é divisível por 3. 4. Prove 13 + 23 + … + n3 = 1/4(n+1)2 n2
5. Encontre uma solução em forma fechada para a relação de recorrência
S(n) = 2S(n-1) + 3 para n 2
sujeita à condição básica S(1) = 4
6. Sendo a(n+1)= ½[ a(n) +2/a(n)], s(1)=1. Determine os 4 primeiros termos da sequencia.
7. Mostre que numa PA tem-se que o termo geral é a(n)=an = a1
+ (r-1)n
Mostre ainda que a soma dos termos é Sn=(a1+an)/2
8. 1 +a+a2
