Pontifícia Universidade Católica de Goiás Departamento de Computação Fundamentos IV. Clarimar J. Coelho

(1)

Pontif´ıcia Universidade Cat´

olica de Goi´

as

Departamento de Computa¸c˜

ao

Fundamentos IV

(2)

Essˆencia do c´

alculo

◮ Conceitos matem´aticos relacionados com a diferencia¸c˜ao e a

(3)

Diferenciar

◮ Significa marcar por diferen¸cas, distinguir,..., perceber a

diferen¸ca em ou entre

◮ No contexto da matem´atica, a derivada serve como o

principal ve´ıculo para a diferencia¸c˜ao

◮ Representa a raz˜ao de mudan¸ca de uma vari´avel dependente

(4)

Figura 1 - defini¸c˜

ao gr´

afica de derivada

◮ Conforme ∆x se aproxima de zero ao ir de a) at´e c), a

aproxima¸c˜ao por diferen¸cas v˜ao se convirtendo em uma derivada

(5)

Defini¸c˜

ao matem´

atica de derivada

◮ Come¸ca com uma aproxima¸c˜ao por diferen¸cas

∆y ∆x =

f(xi + ∆x) − f (xi)

∆x (1)

◮ y e f (x) são representa¸cões alternativas da variável

(6)

Primeira derivada

◮ Se ∆x aproxima de zero, como mostra a Figura de a) at´e c) ◮ O quociente das diferen¸cas se converte em uma derivada

dy

dx = lim∆x→0

f(xi + ∆x) − f (xi)

∆x

◮ onde dy /dx, denotada por y′ ou f′(x

i), ´e a primeira derivada

de y em rela¸c˜ao a x calculada em xi

◮ Como mostrado na Figura, a derivada ´e a inclina¸c˜ao da

(7)

Integra¸c˜

ao

◮ O proceso inverso da diferencia¸cão é a integra¸cão

◮ Integrar significa juntar partes em um todo, unir, indicar a

(8)

Integra¸c˜

ao, matematicamente

I = Z b

a

f(x)dx (2)

◮ Que representa a integral da fun¸c˜ao f (x) em rela¸c˜ao a

vari´avel independente x

◮ Calculada entre os limites x = a e x = b

(9)

Total da soma

◮ A Equa¸c˜ao (2) ´e o total da soma ou o valor de f (x)dx ao

longo do intervalo de x = a e x = b

◮ O s´ımboloR ´e uma letra S estilizada antiga que representa a

(10)

Figura 2 - integral definida

◮ Representa¸c˜ao gr´afica da integral de f (x) entre os limites

x = a e x = b

(11)

´

Area sob a curva

◮ A Figura 2 representa uma manifesta¸cão gráfica do conceito ◮ Para fun¸cões que estão acima do eixo x, a integral, expressa

pela Equa¸c˜ao (2) corresponde a ´area abaixo da curva de f (x) entre x = a e x = b

(12)

Rela¸c˜

ao entre diferencia¸c˜

ao e integra¸c˜

ao

◮ A distin¸cão ou discrimina¸cão da diferencia¸cão e o juntar da

integral s˜ao processos relacionados

(13)

Diferencia¸c˜

ao

◮ Se temos uma fun¸c˜ao dada y (t) que especif´ıca a posi¸c˜ao de

um objeto em fun¸c˜ao do tempo

◮ A diferencia¸c˜ao ´e um meio de determinar sua velocidade

v(t) = d dty(t)

(14)

Integra¸c˜

ao

◮ De manera inversa, se temos a velocidade como uma fun¸c˜ao

do tempo, a integra¸c˜ao determina sua posi¸c˜ao

y(t) = Z t

0

v(t)dt

◮ De maneira geral, o c´alculo da integral

I = Z b

a

f(t)dx

◮ E equivalente a resolver a equa¸c˜´ ao diferencial

dy

dx = f (x)

(15)

◮ A fun¸c˜ao ser a diferenciada ou integrada deve estar em uma

das siguientes trˆes formas:

1. Uma fun¸cão cont´ınua simples como um polinômio, uma fun¸cão exponencial ou uma fun¸cão trigonométrica

2. Uma fun¸c˜ao cont´ınua complicada que ´e dif´ıcil ou impos´ıvel de diferenciar ou integrar diretamente

3. Uma fun¸c˜ao tabulada onde os valores de x e f (x) s˜ao dados de um conjunto discreto de pontos, como dados experimentais de campo

(16)

No primeiro caso

◮ A derivada ou a integral da fun¸c˜ao simples ´e feita

(17)

No segunda caso

◮ As solu¸cões anal´ıticas não são fáceis e as vezes são

imposs´ıveis de obter

◮ Nesse caso, como no terceiro caso de dados discretos, deve

(18)

Diferencia¸c˜

ao gr´

afica

◮ Um m´etodo sem computador para determinar as derivadas a

partir de dados é conhecido como diferencia¸cão gráfica por ´

areas iguais

◮ Os dados (x, y ) s˜ao tabulados e, para cada intervalo,

emprega-se uma diferen¸ca dividida simples ∆y /∆x para estimar a inclina¸c˜ao (declive)

(19)

◮ Os valores s˜ao representados como uma curva em degraus

contra x (Figura 4)

◮ E uma curva suave para aproximar a ´´ area sob a curva ´e ent˜ao

desenhada

◮ E desenhada de modo que as ´´ areas positivas e negativas s˜ao

equilibradas visualmente

◮ As raz˜oes para determinados valores de x pode ser lido a

(20)

(21)

Diferencia¸c˜

ao por ´

areas iguais

a) Usamos as diferen¸cas divididas centradas para estimar a derivada em cada intervalo entre os dados

b) As estimativas da derivada s˜ao representadas na forma de gr´afico de barras

◮ Superpomos uma curva suave sobre este gr´afico para

aproximar a ´area debaixo do gr´afico de barras

◮ Isso ´e feito tra¸cando a curva tal que as ´areas iguais positivas e

negativas sejam equilibradas

(22)

Integra¸c˜

ao por ´

areas

◮ Podemos usar procedimentos visuais orientados para integrar

dados tabulados e fun¸c˜oes complicadas

◮ Um procedimento intuitivo simples consiste em desenhar o

gráfico da fun¸cão sobre uma quadr´ıcula (Figura 5) e contar o número de cuadros que se aproximam da área

◮ Este n´umero multiplicado pela ´area de cada quadro

proporciona uma estimativa aproximada da ´area total sob a curva

◮ Esta estimativa pode ser melhorada com uma grelha cada vez

(23)

(24)

Segmentos verticais

◮ Divis˜ao da ´area em segmentos verticais ou barras, com um a

altura igual ao valor da fun¸c˜ao no ponto m´edio de cada barra ( Figura 5)

◮ A área dos retángulos são calculadas e é feita a soma para

estimar a ´area total

◮ Sup˜oe-se que o valor no ponto m´edio da barra oferece uma

aproxima¸cão válida da altura por meio da fun¸cão em cada barra

◮ E poss´ıvel melhorar as estima¸c˜´ oes usando mais barras (e em

(25)

(26)

Emprego da diferencia¸c˜

ao

◮ A diferencia¸cão é comum em engenharia devido a análise das

mudan¸cas de vari´aveis, tanto no tempo como no espa¸co

◮ Muitas leis e outras generaliza¸c˜oes que aparecem

constantemente baseiam-se na maneira previs´ıvel que a mudan¸ca se manifesta no mundo f´ısico

◮ Um exemplo importante é a segunda lei de Newton, que não é

expressa em termos da posi¸cão de um objeto, mas sim sobre a altera¸cão do posi¸cão em rela¸cão ao tempo 1

1_{A for¸}_{ca resultante sobre um corpo ´}_{e igual ao produto da massa pela}

(27)

Fluxo de calor

◮ Al´em deste exemplo que envolve tempo, in´umeras leis que

regem a comportamento das vari´aveis no espa¸co s˜ao expressos em termos de derivadas

◮ Entre as mais comuns s˜ao as leis que consideram potencial ou

gradientes

◮ Por exemplo, a lei de Fourier da condu¸c˜ao de calor quantifica

a observa¸c˜ao de que o calor flui de regi˜oes de maior a menor temperatura

◮ No caso unidimensional, ´e expresa na forma matem´atica como

Fluxo de calor _{= −k}′dT

(28)

Derivada como medida

◮ A derivada proporciona uma medida da intensidade da troca

de temperatura, ou gradiente, que ocasiona a transferˆencia de calor

◮ Leis similares proporcionam modelos pr´aticos em muitas ´areas

da engenharia, entre eles incluem o modelo da dinamica dos fluidos, a transferência de massa, a cinética das rea¸cões qu´ımicas e o fluxo electromagnético

◮ A habilidade para estimar de maneira exata as derivadas ´e

uma qualidade importante da nossa capacidade para trabalhar de maneira eficiente nestas ´areas

(29)

C´

alculo de ´

areas

◮ O c´alculo das integrales ´e igualmente importante

◮ V´arios exemplos relacionados diretamente com a idea da

integral como a ´area sob a curva

◮ A Figura 6 ilustra alguns casos onde ´e usada a integra¸c˜ao com

(30)

Figura 6 - integral para o c´

alculo de ´

areas

a) Um top´ografo pode saber a ´area de um campo por uma corrente limitada e dois percursos em ziguezague

b) Um engenheiro em hidráulica pode conhecer a área da se¸cão transversal de um rio

c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a for¸ca exercida por vento n˜ao uniforme que sopra contra um lado de um pr´edio

(31)

Aplica¸c˜

oes da integral

a) Um top´ografo pode precisar de saber a ´area de um campo por uma corrente limitada e dois percursos em ziguezague

b) Um engenheiro em hidráulica precisa conhecer a área da se¸cão transversal de um rio

c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a for¸ca exercida por vento n˜ao uniforme que sopra contra um lado de um pr´edio

(32)

F´

ormulas de integra¸c˜

ao de

Newton-Cotes ou regras de

quadratura de Newon-Cotes

(33)

F´

ormulas de integra¸c˜

ao de Newton-Cotes

◮ As fórmulas de Newton-Cotes são os tipos de integra¸cão

num´erica mais comuns

◮ Se baseam na estrat´egia de substituir uma fun¸c˜ao complicada

ou dados tabulados por um polinômio de aproxima¸cão que é fácil de integrar: I = Z b a f(x)dx (3) ◮ onde f

n(x) = um polinˆomio da forma

fn(x) = a0+ a1x+ . . . + an−1xn−1+ anxn, n ´e o grau do

(34)

Figura 7 - segmentos

◮ A integral tamb´em pode ser aproximada atrav´es de um

conjunto de polinomios seccionalmente aplicados a dados ou a fun¸c˜ao por segmentos de comprimento constante

(35)

Formas fechadas e abertas

◮ Existen formas fechadas e abertas das f´ormulas de

Newton-Cotes

◮ As formas fechadas s˜ao aquelas onde se conhecem os dados

do inicio e ao final dos limites de integra¸c˜ao (Figura 8a)

◮ As formas abertas tem limites de integra¸c˜ao que se extendem

além do intervalo dos dados (Figura 8b), são similares a extrapola¸cão

◮ No geral, as formas abertas de Newton-Cotes n˜ao s˜ao usadas

para integra¸c˜ao definida

◮ São usadas para integrais impróprias e para a solu¸cão de

(36)

Figura 8 - formas abertas e fechadas

◮ Diferen¸ca entre as f´ormulas de integra¸c˜ao a) fechadas e b)

(37)

(38)

Regra do trap´ezio

◮ A regra do trapézio é a primera das fórmulas fechadas de

integra¸c˜ao de Newton- Cotes

◮ Corresponde ao caso onde o polinômio da Equa¸cão (3) é de

primeiro grau

I = Z b

a

(39)

´

Area sob a reta

◮ J´a vimos que uma reta pode ser representada por

f1(x) = f (a) +

f_{(b) − f (a)}

b − a (x − a) (4)

◮ A área abaixo desta reta é uma aproxima¸cão da integral de

f(x) entre os limites a e b I = Z b a f(a) +f(b) − f (a) b − a (x − a) dx

◮ O resultado da integra¸c˜ao ´e

I = (b − a)f(a) + f (b)

2 (5)

(40)

Como ´e obtida a regra do

trap´ezio

(41)

Como obter a regra do trap´ezio

◮ Antes da integra¸c˜ao, a equa¸c˜ao (4) pode ser escrita como

f1(x) =

f(b) − f (a)

b − a x+ f (a) −

af(b) − af (a) b − a

(42)

Como obter a regra do trap´ezio, cont.

◮ Agrupando os ´ultimos termos

f₁(x) = f(b) − f (a) b − a x+

bf_{(a) − af (a) − af (b) + af (a)} b − a ◮ ou f1(x) = f_{(b) − f (a)} b − a x+ bf_{(a) − af (b)} b − a

◮ Que pode ser integrada entre x = a e x = b para obter

I = f(b) − f (a) b − a x2 2 + bf_{(a) − af (b)} b − a x b a

(43)

Como obter a regra do trap´ezio, cont.

◮ Este resultado ´e calculado para dar

I = f(b) − f (a) b − a (b 2 − a2) + bf(a) − af (b) b − a (b − a) ◮ Como b2_{− a}2= (b − a)(b + a) I _{= [f (b) − f (a)]}a+ b 2 + bf (a) − af (b)

◮ Multiplicando e agrupando termos, temos

I _{= (b − a)}f(a) + f (b) 2

(44)

Significado da regra do trap´ezio

◮ Geometricamente, a regra do trap´ezio ´e equivalente a

aproximar a area do trap´ezio abaixo da reta que une f (a) e f(b) na Figura 9

◮ A integral aproximada ´e representada como

(45)

(46)

Figura 10 - representa¸c˜

ao gr´

afica da regra do trap´ezio

a) A fórmula para calcular a área de um trapezóide: altura pela média das bases

b) Para a regra do trapézio, o conceito é o mesmo mas agora o trapézio está sobre seu lado

◮ ou

(47)

Forma geral de Newton-Cotes

◮ Na regra do trapézio, a altura média é a média dos valores da

fun¸c˜ao nos pontos extremos, [f (a) + f (b)]/2

◮ Todas as f´ormulas fechadas de Newton-Cotes s˜ao escritas de

modo geral como na equa¸c˜ao (7)

(48)

Erro da regra do trap´ezio

◮ Quando usamos a integral abaixo de um segmento de reta

para aproximar a integral abaixo de uma curva temos um erro que pode ser importante (Figura 11)

◮ Uma estimativa do erro de truncamento local para uma s´o

aplica¸cão da regra do trapézio é

Ei = −

1 12f

′′

(ξ)(b − a)3 (8)

◮ ξ est´a em algum lugar no intervalo [a b]

◮ A equa¸cão (8) indica se a fun¸cão sujeita a integra¸cão é linear,

a regra do trap´ezio ser´a exata

◮ Para fun¸c˜oes com derivadas de segunda ordem e de ordem

(49)

Figura 11 - uma aplica¸c˜

ao da regra do trap´ezio

◮ Representa¸cão gráfica do emprego de uma só aplica¸cão da

regra do trap´ezio para aproximar a integral de

f_{(x) = 0.2 + 25x − 200x}2+ 675x3− 900x4+ 400x5 de x = 0 a 0.8

(50)

Como obter o erro da regra do

trap´ezio

(51)

Como obter o erro da regra do trap´ezio

◮ Uma maneira alternativa para obter a regra do trap´ezio

consiste em integrar o polinˆomio de interpola¸c˜ao de Newton-Gregory I = Z b a f(a) + ∆f (a)α + f ′′ (xi ) 2 dx (9)

◮ Para simplificar a an´alise, considere que se a = (x–a)/h, ent˜ao

(52)

Como obter o erro da regra do trap´ezio, cont.

◮ Devido h = b–a (para um segmento da regra do trap´ezio), os

limites de integra¸c˜ao a e b correspondem a 0 e 1, respectivamente

◮ Logo, a equa¸c˜ao (9) ´e expresa como

I = h Z 1 0 f(a) + ∆f (a)α +f ′′ (ξ)α(α − 1)h2 2 deα

◮ Supomos que para uma h pequeno, o termo f′′(x) ´e

aproximadamente constante, então o resultado da integra¸cão é

I = h αf (a) + α 2 2 ∆f (a) + α3 6 − α2 4 f′′ (ξ)h2 1 0

(53)

Como obter o erro da regra do trap´ezio, cont.

◮ Tomando os limites de integra¸c˜ao

I = h = f(a) + f (b) 2 − 1 12f ′′ (ξ)h3

◮ Como ∆f (a) = f (b) − f (a), o resultado pode ser escrito como

I = h = f(a) + f (b) 2

| {z }

Regra do trap´ezio

− 1 12f ′′ (ξ)h3 | {z } Erro de truncamento

◮ O primeiro termo é a regra do trapézio e o segundo é uma

(54)

Aplica¸c˜

ao simples da regra de

trap´ezio

(55)

Exemplo 1 - aplica¸c˜

ao simples da regra do trap´ezio

◮ Usando a equa¸c˜ao (5) integre numericamente

f(x) = 0.2 + 25x − 200x2+ 67x3_{− 900x}4+ 400x5

◮ No intervalo [0, 0.8]

◮ O valor exato da integral determinado de forma anal´ıtica ´e

(56)

Solu¸c˜

ao

◮ Calcular a fun¸c˜ao nos limites

f(0) = 0.2 f(0.8) = 0.232

◮ Substituindo na equa¸c˜ao (5), temos

I = 0.80.2 + 0.232

(57)

Solu¸c˜

ao, cont.

◮ O erro pode ser calculado como

Ei = 1.640533 − 0.1728 = 1.467733

◮ Corresponde a um erro relativo porcentual de ǫ

i = 89.5%

◮ A razão desse erro tão grande é evidente no gráfico da Figura

(58)

Solu¸c˜

ao, cont.

◮ A área sob a reta não leva em conta uma por¸cão significativa

da integral que est´a acima da reta

◮ Em situa¸c˜oes reais, talvez n˜ao conhecemos o valor verdadeiro

da integral

(59)

Solu¸c˜

ao, cont.

◮ Para obter essa estimativa calculamos a segunda derivada da

fun¸c˜ao no intervalo, derivando duas vezes a fun¸c˜ao original

f′′

(60)

◮ O valor médio da segunda derivada é calculado usando a equa¸cão Mé_dia₌ Rb a f(x)dx b − a f′′ (x) = R0.8 0 (−400 + 4050x − 10800x2+ 8000x3)dx 0.8 − 0 = −60

◮ Que é equivalente a equa¸cão (8) e o resultado é

Ea= −

1

12(−60(0.8)

(61)

Solu¸c˜

ao, cont.

◮ E_a ´e da mesma ordem e mesmo sinal do erro verdadero ◮ Existe uma discrepˆancia, uma vez que num intervalo desse

tamanho, a média da segunda derivada não é necessariamente uma aproxima¸cão precisa de f′′

(x)

◮ Indicamos o erro aproximado pela nota¸c˜ao E_a e o valor no

(62)

Aplica¸c˜

ao m´

ultipla da regra de

trap´ezio

(63)

Aplica¸c˜

ao m´

ultipla da regra de trap´ezio

◮ Uma forma de melhorar a precis˜ao da regra do trap´ezio

consiste em dividir o intervalo de integra¸cão de a até b em vários segmentos e aplicar o método a cada um dos intervalos (Figura 12)

◮ As ´areas dos segmentos se somam para obter a integral em

todo o intervalo

◮ As equa¸cões resultantes se chamam fórmulas de integra¸cão de

(64)

Figura 12 - aplica¸c˜

ao m´

ultipla da regra do trap´ezio

◮ Ilustra¸cão da aplica¸cão múltipla da regra do trapézio

a) dois segmentos

b) trˆes segmentos

c) quatro segmentos

(65)

Figura 13 - formato geral e nomenclatura para integrais de

aplica¸c˜

ao m´

ultipla

◮ Existe n + 1 pontos igualmente espa¸cados (x

(66)

n segmentos de mesma largura

◮ Existem n segmentos de mesma largura

h= b − a

n (10)

◮ Se a e b s˜ao definidos como x

0 e xn, respectivamente, a

integral completa ´e representada como

I = Z x1 x0 f(x)dx + Z x2 x1 f(x)dx + . . . + Z xn xn−1 f(x)dx

(67)

Substituir a regra de cada integral

◮ Substituindo a regra do trap´ezio em cada integral obtemos

I = hf(x0) + f (x1) 2 + h f(x1) + f (x2) 2 + . . . + h f(xn−1) + f (xn) 2 (11) ◮ Ou agrupando os termos I = h 2 " f(x0) + 2 n=1 X i=1 f(x1) + f (xn) # (12)

◮ Ou usando a equa¸c˜ao (10) para expressar a equa¸c˜ao (12) na

forma geral da equa¸c˜ao (7)

I _{= (b − a)} | {z } Largura f(x0) + 2Pn=1_i=1 f(xi) + f (xn) 2n | {z } Altura m´edia (13)

(68)

Divis˜

_{ao por 2n}

◮ Como o somat´orio dos coeficientes de f (x) no numerador

dividido entre 2n ´e igual a 1

◮ A altura m´edia representa uma m´edia ponderada dos valores

da fun¸c˜ao

◮ De acordo com a equa¸c˜ao (13), aos pontos interiores s˜ao

dadas duas vezes o peso que aos dois pontos extremos f (x0) e

(69)

Adi¸c˜

ao de erro

◮ Tem um erro com a regra trapézio para múltiplas aplica¸cões,

adicionando os erros individuais de cada segmento

Et = −(b − a) 3 12n3 n X i=1 f′′ (ξi) (14) ◮ Onde f′′(x

i) ´e a segunda derivada num ponto xi, localizado

no segmento i

◮ Este resultado ´e simplificado ao estimar a m´edia ou valor

m´edio da segunda derivada em todo o intervalo como

¯ f′′ ≈ Pn i=1f ′′ (ξi) n (15) ◮ Logo, P f′′(ξ

i) ≈ n¯f′′ e a equa¸c˜ao (14) ´e reescrita como

Ea= (b − a) 2

12n2 ¯f ′′

(70)

Erro dividido por quatro

◮ Assim, se o número de segmentos é duplicado ◮ O erro de truncamento é dividido por quatro

◮ Observe que a equa¸c˜ao (16) ´e um erro aproximado devido a

(71)

Exemplo 2 - aplica¸c˜

ao m´

ultipla da regra do trap´ezio

◮ Use a regra do trap´ezio com dois segmentos para estimar

f(x) = 0.2 + 25x–200x2 + 675x3–900x4+ 400x5

◮ No intervalo [a = 0 b = 0.8]

◮ Use a equa¸c˜ao (16) para estimar o erro ◮ O valor correto para a integral ´e 1.640533

(72)

Solu¸c˜

ao

◮ n = 2(h = 0.4) ◮ f(0) = 0.2 f (0.4) = 2.456 f (0.8) = 0.232 ◮ I = 0.80.2+2(2.456)+0.232 4 = 1.0688 ◮ E t = 1.640533–1.0688 = 0.57173, Ea = 34.9% ◮ E a= − 0.8 3 12(2)2(−60) = 0.64

◮ Onde –60 ´e a m´edia da segunda derivada, determinada

(73)

Algoritmo regra do trap´ezio

◮ Portugol ◮ Fun¸c˜ao f (x) = 0.2 + 25 ∗ x −200 ∗ x2+ 675 ∗ x3− 900 ∗ x4+ 400 ∗ x5; ◮ Execu¸c˜ao i = tpzC (′f1′, 0, 0.8, 2) ◮ Resultado i = 1.0688