Aplicação do método dos elementos finitos (MEF) para modelos de testes de formação em poços de petróleo

TIAGO ALMEIDA COSTA

APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

(MEF) PARA MODELOS DE TESTES DE FORMAÇÃO

EM POÇOS DE PETRÓLEO

CAMPINAS

2013

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas Biblioteca da Área de Engenharia e Arquitetura

Rose Meire da Silva - CRB 8/5974

Costa, Tiago Almeida,

C823a CosAplicação do método dos elementos finitos (MEF) para modelos de testes de formação em poços de petróleo / Tiago Almeida Costa. – Campinas, SP : [s.n.], 2013.

CosOrientador: Philippe Remy Bernard Devloo.

CosDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências.

Cos1. Método dos elementos finitos. 2. Poços de petróleo. 3. Análise e testes. I. Devloo, Philippe Remy Bernard,1958-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Finite element method application in well test analysis Palavras-chave em inglês:

Finite element method Oil wells

Analysis and testing

Área de concentração: Explotação

Titulação: Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo Banca examinadora:

Philippe Remy Bernard Devloo [Orientador] Rosângela Barros Zanoni Lopes Moreno Paulo Dore Fernandes

Data de defesa: 08-03-2013

AGRADECIMENTOS

Agradeço imensamente a Deus por estar sempre por perto nos momentos mais difíceis, zelando pela minha vida e cuidando dos meus passos mesmo quando insisto em seguir pelos caminhos errados.

Agradeço a minha família, principalmente aos meus pais, que sempre foram verdadeiros heróis presentes em todos os momentos da minha vida.

Agradeço ao meu Professor Orientador Philippe Devloo, pela dedicação, pela paciência, e pela oportunidade de conviver com um profissional tão inteligente, correto e justo em suas atitudes.

Agradeço aos colegas do LABMEC, sem os quais não teria alcançado grande partes dos resultados deste trabalho. Agradeço pela amizade, pelo companheirismo e pelos bons momentos vividos.

“Para viver em um lugar melhor, é preciso começar sendo uma pessoa melhor no lugar em que se vive. A mudança ocorre de dentro pra fora, do individual para o coletivo, não o inverso.”

RESUMO

A análise transiente da Equação da Difusividade Hidráulica (EDH) é de grande importância para a modelagem e interpretação de testes de formação, onde torna-se necessário captar efeitos da queda de pressão no reservatório devida a uma produção de curto tempo na vizinhança do poço. O Método dos Elementos Finitos (MEF) pode ser aplicado para essa finalidade com ganho significativo na precisão da resposta de pressão do modelo, observando que a capacidade de refinamento da malha ganha flexibilidade geométrica para a representação do problema, além da possibilidade de trabalhar com altas ordens polinomiais nas funções de aproximação. Neste trabalho, é apresentada a formulação variacional do problema a ser resolvido pelo MEF e o algoritmo implementado computacionalmente para se obter a solução da equação diferencial parabólica (problema em regime transiente), destacando as etapas adicionais em relação ao que se faz normalmente na solução da equação diferencial elíptica (problema em regime permanente). As diferenças principais são: i) a inclusão de uma matriz de massa e ii) a atualização do vetor de cargas a cada passo de tempo. Estão mostrados exemplos com a resolução do problema para diferentes condições de refinamento da malha e tamanho do passo de tempo. As respostas obtidas estão comparadas com as soluções analíticas existentes na literatura, agregando confiabilidade ao método de resolução do problema. Por fim, são feitos comentários sobre a potencialidade da ferramenta, explorando cenários mais amplos, tais como: poços construídos com geometria complexa, reservatórios com heterogeneidades significativas, inserção de fraturas, dentre outros que poderiam ser modelados utilizando a técnica.

ABSTRACT

The transient analysis of the hydraulic diffusion equation is the basis for modeling a well test. In order to understand it, it's necessary capture the pressure gradient effects in the well neighborhood that appear in the early times. The Finite Element Method (FEM) can be applied in order to reach this objective with significant precision gain in the pressure response of the well test model. The FEM has a notable refinement capability and in this implementation is possible to use different polynomial orders for the test and trial functions. It allows an excellent flexible geometric representation of the reservoir model and accurate numeric solution by using high polynomial orders. In this paper, the variational formulation and the computational implementation are presented to solve the parabolic diffusion equation under appropriate boundary conditions. In the transient solution process, two steps are emphasized; the inclusion of a mass matrix and the update of the load vector at each time-step. The numerical responses were compared to the available analytical solutions for vertical and horizontal wells in order to validate the program calculations. Finally the potential of the numerical tool is explored to analyze different problems, such as: significant heterogeneous reservoirs, wells with complex geometries and fracture analysis.

SUMÁRIO

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 - Exemplo de uma seção sísmica interpretada. ... 1

Figura 1.2 - Exemplo de perfil a poço aberto. ... 2

Figura 1.3 - Exemplo de testemunho. ... 3

Figura 1.4 - Quadros explicativos do processo de interpretação de testes. ... 5

Figura 3.1 – Elemento infinitesimal para representar a conservação de massa. ... 11

Figura 3.2 – Gráfico ilustrativo para a queda de pressão (psi) ao longo do poço horizontal considerando diferentes modelos de fluxo (referência [12]). ... 19

Figura 3.3 – Gráfico ilustrativo para a entrada de fluido (m3_{/d/m) ao longo do poço vertical} fraturado considerando diferentes modelos de fluxo. ... 20

Figura 3.4 – Ponto de equivalência para o fluxo entre os modelos de fluxo uniforme e de condutividade infinita (referência [14]). ... 22

Figura 3.5 – Esquema simplificado para o modelo de poço horizontal. ... 23

Figura 3.6 – Identificação dos regimes de fluxo para um poço horizontal através do gráfico de diagnóstico. ... 25

Figura 3.7 – Esquema simplificado para o modelo de fluxo do período radial inicial. ... 25

Figura 3.8 – Esquema simplificado para o modelo de fluxo do período de fluxo linear. ... 26

Figura 4.1 –Funções de base lineares. ... 32

Figura 4.2 – Aproximação da função f x

( )

= sen

( )

πx por funções de base lineares. ... 33

Figura 4.3 – Aproximação da função f x

( )

= sen

( ) por funções de base polinomiais de grau 2.

πx ... 33

Figura 4.4 – Aproximação da função f x

( )

= sen

( )

πx por funções de base polinomiais de grau 3. ... 34

Figura 4.5 – Exemplo de particionamento do domínio e composição das funções de base. ... 35

Figura 4.6 – Repetição das funções de base lineares. ... 36

Figura 5.1 – Gráfico de pressão (kgf/cm2_{) ao longo do reservatório (distância radial do poço, dada} em m) para um tempo de produção fixado em 1 hora. Comparação da resposta do modelo simplificado com a solução analítica para um poço vertical. ... 43

Figura 7.2 – Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução semi-analítica para poço vertical (caso base). ... 49 Figura 7.3 – Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado ao poço vertical. ... 50 Figura 7.4 – Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas respectivas derivadas para a solução analítica e para a solução do MEF. ... 51 Figura 7.5 – Gráfico para a pressão no poço (em kgf/cm2_{) versus a tempo de produção (em horas).}

... 53 Figura 7.6 – Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas respectivas derivadas para a solução semi-analítica e para a solução do MEF. ... 54 Figura 7.7 – Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de

elementos finitos e a solução semi-analítica para poço horizontal. ... 55 Figura 7.8 – Gráfico da pressão no calcanhar do poço ao longo do tempo: influência da ordem polinomial nas funções de aproximação e do tamanho dos elementos. ... 56 Figura 7.9 – Gráfico de diagnóstico onde estão sobrepostas as curvas da queda de pressão e suas respectivas derivadas: influência da ordem polinomial nas funções de aproximação e do tamanho dos elementos. ... 57 Figura 7.10 – Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado ao poço horizontal. ... 58 Figura 7.11 – Detalhe do refinamento direcional da malha aplicado a partir do poço horizontal, em direção ao reservatório. ... 58 Figura 7.12 – Composição da curva final de "pressão no poço x tempo" a partir das simulações de tempo curto, tempo médio e tempo longo. ... 59 Figura 7.13 – Comparação entre a solução numérica adimensional e a solução analítica para poço vertical. ... 64 Figura 7.14 – Diferença percentual para a pressão adimensional entre a solução do programa de elementos finitos e a solução analítica para poço vertical. ... 65 Figura 8.1 – Adaptações na malha para a inserção de elementos que representem as fraturas. .... 69 Figura 8.2 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos e o simulador

comercial para um poço horizontal com 3 fraturas equidistantes: pressão no poço versus tempo. ... 70 Figura 8.3 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos e o simulador

Figura 8.4 – Diferença percentual para a pressão no poço entre a solução do programa de elementos finitos e o simulador comercial para um poço horizontal com 3 fraturas eqüidistantes. ... 72 Figura 8.5 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: pressão no poço versus tempo. Em vermelho, a solução para o poço horizontal sem fraturas. ... 73 Figura 8.6 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: IP versus tempo. Em vermelho, a solução para o poço horizontal sem fraturas. ... 74 Figura 8.7 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço

horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico. ... 75 Figura 8.8 – Solução do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: pressão no poço versus tempo para o caso k_V = 0,1 k_H. ... 76 Figura 8.9 – Solução do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3, 5 e 7 fraturas eqüidistantes: gráfico de diagnóstico para o casok_V = 0,1 k_H. ... 77 Figura 8.10 – Comparação entre a solução do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3 fraturas: pressão no poço versus tempo, com variação da permeabilidade vertical. ... 78 Figura 8.11 – Comparação entre as soluções do programa de elementos finitos para um poço horizontal com 3 fraturas: gráfico de diagnóstico, variando-se a permeabilidade vertical. ... 79 Figura 8.12 – Perfil de fluxo obtido ao longo do tempo para uma solução de vazão constante imposta. ... 80 Figura 8.13 – Perfil de fluxo obtido ao longo do tempo para uma solução de vazão constante imposta para o segundo caso. ... 82 Figura 8.14 – Perfil de fluxo acumulado após 24 horas de produção. ... 83

LISTA DE TABELAS

Tabela 7.1 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço vertical. ... 47

Tabela 7. 2 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal. ... 52

Tabela 8. 1 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal. ... 80

Tabela 8. 2 - Tabela com os parâmetros utilizados no caso base para poço horizontal. ... 81

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

MEF Método dos Elementos Finitos EDH Equação da Difusividade Hidraulica EBM Equação de Balanço de Massa

LISTA DE SÍMBOLOS

φ porosidade do meio Q vazão mássica ρ densidade do fluido v velocidade k permeabilidade K tensor de permeabilidades Φ potencial µ viscosidade

cf compressibilidade dos fluidos

cr compressibilidade da rocha

ct compressibilidade total

p pressão

t tempo

td tempo adimensionalizado

q vazão total de fundo de poço na pressão e temperatura do reservatório

qw vazão no poço

qref vazão de referência

pw pressão no poço

pd queda de pressão adimensionalizada

pi pressão inicial

Ei função exponencial integral

L comprimento efetivo do poço horizontal

Ld comprimento efetivo do poço horizontal adimensionalizado

g aceleração da gravidade

h espessura media do reservatório

rw raio do poço

rwd raio do poço adimensionalizado

y

∆ dimensão do elemento de volume na direção y

z

∆ dimensão do elemento de volume na direção z

A razão de anisotropia

zw posição relativa do poço horizontal em relação ao topo

zwd posição relativa do poço horizontal em relação ao topo adimensionalizada

xf comprimento de uma asa da fratura

1.

INTRODUÇÃO

O trabalho proposto está fortemente relacionado ao processo natural de caracterização de reservatórios. A modelagem inicial de um reservatório passa por algumas etapas essenciais. Dentre elas: o mapeamento da área de interesse através da interpretação sísmica; as estimativas iniciais de permeabilidade através de perfis a poço aberto, testes a cabo, análises de testemunhos e amostras laterais; testes de formação; análises das amostras de fluido e os ensaios petrofísicos especiais de laboratório.

A partir da interpretação sísmica, podemos obter informações muito importantes sobre o volume de um reservatório (ver Figura 1.1). É possível identificar, em muitas situações, o topo, a base e contatos das camadas produtoras e também é possível associar as assinaturas do mapeamento sísmico às características geológicas do sistema observado. Decidido pela perfuração do poço pioneiro, surgem informações mais precisas e é confirmada (ou não) a existência da acumulação de hidrocarbonetos prevista nos estudos de prospecção sísmica.

Figura 1.1 - Exemplo de uma seção sísmica interpretada.

As estimativas iniciais de permeabilidade, porosidade, saturações são dadas pelos perfis de poço aberto. São medidas indiretas que, associadas às técnicas adequadas de interpretação,

permitem identificar a qualidade inicial do reservatório. Na Figura 1.2, podem ser observados os perfis de raios gama (fornece uma estimativa de argilosidade da formação), o perfil de resistividade (importante na identificação de fluidos e no cálculo de saturações) e o cruzamento entre os perfis de densidade da rocha e de porosidade neutrônica (utilizados para identificação de litologia, além de ser indicador de zonas com capas de gás).

Figura 1.2 - Exemplo de perfil a poço aberto.

Ainda durante a fase de perfuração do poço, podem ser realizados testes a cabo em profundidades pré-determinadas do reservatório onde geralmente são coletadas amostras de fluido para as análises de laboratório. Nestes testes também é possível obter estimativas de permeabilidade da formação, além da possibilidade de identificação de limites verticais para as camadas de reservatório interpretadas através de testes de interferência vertical.

Sempre que possível, também são coletadas amostras de rocha sob a forma de testemunhos ou sob a forma de amostras laterais (também chamadas de plugues). São informações de alto custo, mas que são capazes de agregar muito valor aos estudos de reservatório. São excelentes para recompor o cenário geológico do reservatório em superfície, permitindo a identificação de fácies produtoras e das características do selo do reservatório. Ensaios de laboratório com corpos de prova extraídos de um testemunho ou de uma amostra lateral fornecem também informações ricas sobre porosidade, permeabilidade e saturações. A Figura 1.3 mostra um exemplo de testemunho disposto sobre uma bancada.

Figura 1.3 - Exemplo de testemunho.

Por fim, iremos tratar do tema “Testes de Formação”. Nesta etapa, o poço é completado provisoriamente para produzir, sob uma vazão especificada, durante um tempo suficiente para criar uma perturbação de pressão no reservatório. Após um tempo determinado, o poço é fechado e um registrador de pressão observa no fundo do poço tanto a queda de pressão durante a produção, quanto o retorno ao equilíbrio após o fechamento do poço. O processo pode ser modelado analiticamente através da equação da difusividade hidráulica observada sob as condições de contorno para o período transiente (comportamento de reservatório infinito). A questão é tratada

como um problema inverso: onde se conhece a resposta de pressão e é preciso determinar o modelo que, ao receber os mesmos parâmetros de entrada, é capaz de fornecer resposta semelhante à resposta observada. O parâmetro de entrada é a vazão (medida e controlada em superfície) e a resposta do modelo é a pressão no fundo do poço. A resposta de pressão gerada pelo modelo deve ser a mesma observada pelo registrador de pressão posicionado no fundo do poço.

O esquema da Figura 1.4 explica com mais clareza o processo de interpretação de um teste de formação. Num primeiro momento, dispõe-se das informações de medição de vazão e dos registros de pressão de um registrador posicionado no fundo do poço, conforme pode-se observar no primeiro quadro. No segundo quadro, a diferença entre a pressão inicial e a pressão observada no poço é plotada em função do tempo num gráfico de diagnóstico, com escala logarítmica em ambos os eixos. Nesse tipo de gráfico, a derivada da queda de pressão com relação ao logaritmo natural do tempo t p ln ∂ ∂

é constante para o escoamento radial, caracterizando a assinatura do regime de fluxo e permitindo sua identificação nos dados observados. Outros regimes de fluxo também apresentam assinaturas conhecidas e podem ser identificados de modo semelhante. Identificados os regimes de fluxo, as soluções analíticas apropriadas são empregadas e os parâmetros do reservatório são obtidos através do ajuste do modelo teórico aos dados observados (é o que mostra o terceiro quadro). Por fim, os parâmetros ajustados individualmente são incorporados ao modelo sintético completo, que deve ser capaz de reproduzir o histórico de pressão observado, conforme observado no quarto quadro.

Todas as informações mencionadas são reunidas e contextualizadas de modo a formar um modelo geológico e um modelo de simulação de fluxo onde serão feitas as previsões de comportamento do reservatório ao longo da sua vida produtiva.

A proposta deste trabalho está voltada para reproduzir o comportamento de testes de pressão em poços através de modelos baseados no Método dos Elementos Finitos (MEF), validando os resultados com as soluções analíticas e semi-analíticas disponíveis na literatura.

1.1. Motivação

A motivação para este trabalho surgiu a partir de dois problemas enfrentados numa situação real de testes de formação.

No primeiro caso, o cenário era o de um poço horizontal multi-fraturado em um reservatório carbonático de baixa permeabilidade segmentado em camadas com diferentes características permo-porosas (diferentes níveis de permeabilidade e porosidade) e também caracterizado por diferentes níveis de depleção nas camadas. Esse fato ocorreu devido à produção de fluido das camadas do mesmo reservatório em outros poços do campo de petróleo. As camadas do reservatório estavam inclinadas num ângulo de aproximadamente 30 graus em relação ao plano horizontal (ângulo de mergulho) e o poço horizontal perfurado atravessou várias dessas camadas distintas. O poço foi completado de modo a permitir a produção através de fraturas concentradas nas regiões de interesse comercial produtivo. Foi realizado um teste de pressão nesse reservatório e a interpretação dependia de um modelo teórico não existente que contemplasse solução para esta configuração poço/reservatório. A solução utilizada à época foi a de utilizar um simulador comercial de testes de formação, programado sob a teoria de volumes finitos, para obter uma resposta aproximada sem considerar de forma rigorosa os diferentes níveis de pressão e as propriedades médias da rocha de cada camada.

No segundo caso, um poço vertical foi submetido a um fraturamento hidráulico. A fratura deveria ter sido limitada ao topo e à base da camada de interesse, mas acabou se prolongando e comunicando o poço com uma outra zona do reservatório. Sob essas condições, o teste de pressão realizado deveria ser interpretado e, novamente, foi necessário utilizar como recurso um simulador numérico que atendesse as peculiaridades e objetivos de um teste de poço.

Em ambos os cenários, um programa de elementos finitos poderia ser empregado para modelar o problema. Seriam propostas várias simulações, variando os parâmetros de entrada do modelo, até que a resposta de pressão do modelo numérico se aproxime da resposta de pressão observada no poço. Estes modelos numéricos seriam aplicados para os casos específicos, onde não existe solução analítica para o problema.

1.2. Objetivos

O objetivo do trabalho é o de construir e validar modelos numéricos de simulação de fluxo que sejam capazes de representar testes de pressão em poços utilizando o MEF. Para tal, faz-se necessária a implementação da solução da equação da difusividade para fluxo em regime transiente. O MEF foi escolhido por proporcionar maior grau de flexibilidade para refinamento da malha, além de permitir a utilização de altas ordens polinomiais para as funções teste (que aproximam a solução do problema da solução real). Assim, torna-se possível a observação mais detalhada do comportamento de pressão na região próxima do poço. A aplicação destes modelos pode ser bastante útil onde não há solução analítica para o problema inverso (interpretação do teste), tal como o exemplo a ser explorado de um poço horizontal multi-fraturado. Adicionalmente, pode tornar viável a análise de testes em reservatórios mais complexos, que apresentem heterogeneidades significativas. Em resumo, o estudo se propõe a resolver problemas de interpretação de testes em poços de diferentes configurações.

2.

REVISÃO DA LITERATURA

Com relação à formulação e solução de problemas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF), as referências [1, 2, 3, 15] foram utilizadas como base. A revisão abordou o estudo dos tópicos básicos sobre Elementos Finitos, tais como: construção de uma formulação variacional para um problema; definição da geometria da malha; escolha adequada do espaço de aproximação; aplicação do método de Galerkin; resolução do sistema algébrico gerado pelo equacionamento da formulação; análise dos resultados e cálculo das estimativas de erro. Alguns conceitos sobre notação indicial de operadores matemáticos foram extraídos da referência [4].

Para validar o modelo de fluxo obtido com a aplicação da técnica de elementos finitos na equação diferencial da difusividade hidráulica (problema transiente), foi utilizada inicialmente a solução analítica conhecida para poço vertical. A solução e as condições de contorno estabelecidas são explicitadas a seguir e foram obtidas das referências [5, 6, 8].

Para validar os resultados do modelo numérico obtidos para poço horizontal, o trabalho foi dividido em duas etapas. Inicialmente, foi comparada a estimativa de produtividade da solução numérica para regime permanente com as estimativas de produtividade previstas na literatura. Para validação destes resultados, dado que não existe uma solução analítica fechada, foram consultadas mais de uma fonte com proposta de solução para o problema: [5, 7, 11]. Foram encontradas grandes diferenças nas estimativas do índice de produtividade entre as metodologias propostas e, ficou entendido que a comparação com o índice de produtividade analítico não se mostrava ser uma forma eficiente de validar a solução numérica. A solução para regime permanente foi considerada no princípio do trabalho devido a sua simplicidade, por não conter o termo de acumulação associado à variação temporal da pressão ao longo do reservatório. Numericamente falando, isso torna o modelo numérico implementado bem mais simples, pois não há necessidade de construir a matriz de massa nem de utilizar o avanço da solução no tempo. Essa etapa serviria como uma validação inicial do trabalho que estaria por vir e foi de grande utilidade para revisão dos métodos disponíveis na literatura para estimativa de produtividade em poços horizontais.

Verificada a compatibilidade das estimativas de produtividade, tornou-se necessário também verificar a resposta de pressão para o reservatório, em especial na posição do poço em regime transiente, onde é esperada a identificação dos regimes de fluxo através dos gráficos de diagnóstico.

Foi feita uma revisão completa sobre as considerações a respeito da condição de contorno adotada para obtenção da solução analítica de poço horizontal nos seus três casos principais: i) fluxo uniforme; ii) condutividade infinita (representa a solução de fluxo uniforme avaliada num ponto de pressão equivalente) e iii) fluxo uniforme considerando a pressão média do poço. Para fins de comparação com o modelo numérico, foi utilizada a solução para condutividade infinita. As referências [7, 9, 14, 13, 12, 10] foram tomadas como base.

A aplicação do programa de elementos finitos para poços horizontais com múltiplas fraturas teve seus resultados comparados ao modelo numérico do simulador comercial para testes de formação Saphir da empresa Kappa Engineering, cuja licença para fins educacionais está disponível para a Unicamp. Também foi consultada a referência [7] para detalhes sobre a interpretação dos resultados.

Ainda que não tenham sido consideradas neste trabalho, foram consultadas referências para o ajuste de curvas, visto que trata-se de um problema inverso e requer cuidados no tratamento de dados sob o ponto de vista matemático.

3.

DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

A Equação Diferencial que rege o problema do escoamento de fluido no meio poroso é derivada da equação da continuidade, da lei de Darcy e das equações de estado. A equação, escrita na forma geral descreve o fluxo de fluido levemente compressível em um meio poroso anisotrópico.

Para desenvolver as equações, é adotado um elemento de volume infinitesimal com dimensões ∆x, ∆y e ∆z e porosidade φ (ver Figura 3.1) por onde ocorre o escoamento do fluido, aqui assumido como monofásico. A simulação ocorre durante um intervalo de tempo, ∆t, pré-determinado.

Figura 3.1 – Elemento infinitesimal para representar a conservação de massa.

A equação diferencial que rege esse fenômeno é obtida quando avaliamos esse princípio num elemento de volume suficientemente pequeno, cujas dimensões tendem para zero. O caso mais geral ocorre para a movimentação de fluido nas três direções: x, y e z. Na Figura 3.1, observa-se a movimentação de fluido na direção x, entrando pela face A e saindo pela face oposta A*. As mesmas considerações podem ser estendidas para as direções y e z.

A lei de conservação da massa estabelece, para um fluxo através de um elemento de volume num determinado intervalo de tempo, ∆t, que:

massa que entra

A velocidade aparente do fluido, v_x na direção x, é definida pela razão entre a vazão

q x, y,z,t

(

)

[

m3/ s

]

e a área que o fluido atravessa:

v_x = qx

∆y∆z e analogamente para as outras direções:

v_y = qy

∆x∆z vz =

qz

∆x∆y

Considerando a lei de conservação de massa para escoamento monofásico em três dimensões, temos para o caso do fluxo de fluido compressível na direção x que:

[

massa que entra

]

=∆y∆z

(

ρvx

)(

x,y,z,t

)

(3.2) e

[

massa que sai

]

=∆y∆z

(

ρvx

)(

x+∆x,y,z,t

)

. (3.3) Analogamente, têm-se as equações para as direções y e z.

A massa acumulada no elemento durante o intervalo de tempo ∆t pode ser obtida da relação:

[

]

[

( )(

) ( )(

)

]

t t z y x t t z y x z y x acumulada massa ∆ − ∆ + ∆ ∆ ∆ = φρ , , , φρ , , , . (3.4)

onde φ é a porosidade do meio.

Substituindo (3.2), (3.3) e (3.4) em (3.1), segue-se que:

(

)(

)

(

)(

)

[

∆y∆zρv_x x+∆x,y,z,t −∆y∆z ρv_x x,y,z,t

]

+

[

∆x∆z

( )

ρv_y

(

x,y+∆y,z,t

)

−∆x∆z

( )

ρv_y

(

x,y,z,t

)

]

(

)(

)

(

)(

)

[

]

[

( )(

) ( )(

)

]

t t z y x t t z y x z y x t z y x v y x t z z y x v y x _{z z} ∆ − ∆ + ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ − ∆ + ∆ ∆ ρ , , , ρ , , , φρ , , , φρ , , , . (3.5)

Dividindo tudo por ∆x∆y∆z, tem-se que:

(

)(

) (

)(

)

( )

(

)

( )

(

)

∆ − ∆ + + ∆ − ∆ + y t z y x v t z y y x v x t z y x v t z y x x vx , , , ρ x , , , ρ y , , , ρ y , , , ρ

(

)(

) (

)(

)

[

]

[

( )(

) ( )(

)

]

t t z y x t t z y x z t z y x v t z z y x vz z ∆ − ∆ + = ∆ − ∆ + , , , , , , , , , , , , ρ φρ φρ ρ . (3.6)

Considerando um elemento de volume infinitesimal, cujas dimensões tendem para zero, quando ∆x → 0, ∆y → 0, ∆z → 0 e ∆t → 0, temos a equação da conservação de massa na forma diferencial (equação da continuidade):

(

)

( )

(

)

( )

t z v y v x vx y z ∂ φρ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ρ ∂ = − − − . (3.7)

Denominando por Q a vazão mássica

( )

ρv , a equação assume a forma compacta:

( )

0 = + t Q div ∂ ρφ ∂ . _(3.8) Q= −ρv . (3.9)

Definindo o potencial como:

gz p+

ρ

=

Φ . (3.10)

Temos, pela Lei de Darcy:

Φ ∇ − = µ K v D _(3.11) onde ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇ z k y j x iˆ ˆ ˆ D

é o operador gradiente aplicado à função escalar.

Seja K o tensor de permeabilidade nas direções x, y e z e µ a viscosidade, temos:

Q= −ρ

µK∇Φ. (3.12)

( )

t t t ∂ φ ∂ ρ ∂ ρ ∂ φ ∂ φρ ∂ + = . _(3.13)

( )

t p t p p t ∂ φ ∂ ∂ φ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ρ ∂ φ ∂ φρ ∂ + = . _(3.14)

( )

t p p p t ∂ ∂ ∂ φ ∂ φ ∂ ρ ∂ ρ φρ ∂ φρ ∂ + = 1 1 . (3.15)

( )

_[

_]

t p c c t f r ∂ ∂ φρ ∂ φρ ∂ + = _(3.16)

Onde, cf representa a compressibilidade dos fluidos e crrepresenta a compressibilidade da

rocha. Na equação a seguir, a soma [cf + cr] é definida como a compressibilidade total do sistema,

ct.

( )

t p c t t ∂ ∂ φρ ∂ φρ ∂ = _(3.17) Substituindo (3.12) e (3.17) em (3.8): 0 = + Φ ∇ − t p c K div _t ∂ ∂ φρ µ ρ . (3.18) ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = z k y j x i

div ˆ ˆ ˆ é o operador divergente aplicado ao vetor. Note que, para uma viscosidade constante:

(

)

[

K p gk

]

[

div

(

K p

)

div

(

K

( )

gk

)

]

div K div 1 ˆ 1 ρ ρ ρ ˆ µ ρ ρ µ µ ρ + ∇ − = + ∇ − = Φ ∇ − . (3.19)

O termo "div

(

ρK∇p

)

" pode ser expandido da seguinte forma (Referência [4]):

(

K p

)

div

(

K p

) (

K p

)

p

div ρ ∇ =ρ ∇ + ∇ ⋅∇ . (3.20)

O segundo termo do lado direito da equação 3.20 pode ser escrito como:

(

∇

)

⋅∇ =

(

∇

)

(

∇

)

= + + 2 2 2 . z p k y p k x p k c p c p K p p K _{f f x y z} ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ ρ . (3.21)

Tanto a compressibilidade do líquido como os gradientes de pressão são em geral valores muito pequenos, de modo que quando elevados ao quadrado resultam em termos menores ainda e, portanto, desprezíveis quando comparados com os outros termos da equação. Sendo assim, o termo apresentado pela equação 3.21 pode ser desprezado e a equação 3.19 assume a forma:

div −ρ µK∇Φ = − 1 µ ρdiv K

(

∇p

)

+ div

(

ρK

( )

ρg ˆ k

)

. (3.22) ou div −ρ µK∇Φ = − 1 µ

[

ρdiv K

(

∇Φ

)

]

. (3.23) Substituindo 3.23 em 3.18:

(

)

0 1 = + Φ ∇ − − t p c K div _t ∂ ∂ φρ µ . (3.24) ou, finalmente:

(

)

t p c K div t ∂ ∂ φρ = Φ ∇ − . _(3.25)

Com relação às condições de contorno, o potencial de equilíbrio do reservatório define a condição de tempo inicial:

Φ X,t

(

)

= Φ X,t

(

)

0 = pi+ρgz X = X(x,y,z,t) X∈ Ω, t= 0. (3.26)

As Condições de Contorno Externas (CCE) são classificadas da seguinte forma: i) Potencial constante na fronteira (condição de contorno do tipo Dirichlet)

Φ X,t

(

)

= Φ X,t

(

)

₀ = pi+ρgz X ∈ ΩD. (3.27)

ii) Fluxo zero na fronteira (condição de contorno do tipo Neumann)

iii) Reservatório Infinito

Φ X,t

(

)

= Φ X,t

(

)

₀ = pi+ρgz X →∞, t> 0. (3.29)

As Condições de Contorno Internas (CCI) representam a condição de produção do poço: i) Potencial constante no poço (condição de contorno do tipo Dirichlet)

Φ X,t

(

)

= Φ X,t

(

)

_w = pw+ρgz X ∈ Γw, t> 0. (3.30)

Seja pw uma pressão especificada no poço.

ii) Vazão constante imposta no poço (condição de contorno do tipo Neumann)

q_w = −K∇Φ⋅ n = constante X ∈ Γw, t > 0. (3.31)

A solução analítica para o poço vertical produzindo por vazão constante em regime transiente (reservatório infinito), considerando escoamento radial plano, é dada pela equação (3.32) usando as condições de contorno (3.29), (3.31): − = kt r c E kh q p p t w i i w 4 2 1 2 2 φµ π µ . (3.32)

Onde q é a vazão total do poço (nas condições de pressão e temperatura do reservatório), k a média geométrica das permeabilidades no plano normal à direção do poço e Ei é a função

exponencial integral, definida como:

E_i

( )

X = −E_i

(

−X

)

= e −ξ ξ X ∞ dξ. (3.33)

Para a análise de poços horizontais, foi utilizada a solução de condutividade infinita dada pela solução de ponto equivalente da solução de fluxo uniforme apresentada pela referência [9], representada na equação 3.34 para as mesmas condições de contorno do caso anterior (3.29 e 3.31):

p_w= pi− qµ 2πkh π 4 k ky 1 τ 0 t erf k kx + xd 2 τ + erf k kx − xd 2 τ exp− y_d2 4τ ×

(

)

(

)

(

)

[

n π L τ nπz nπz

]

dτ n wd d d − + × ∞ =1 2 2 2 cos cos exp 2 1 (3.34) Onde, Ld = L / 2h)

[

( )

]

kv/ kh x_d = 2x / L

[

]

k_h/ k_x y_d = 2y / L[ ] k_h/ k_y z_d = z / h z_wd = z_w/ h r_wd = 2r

[

_w/ L

]

k_h/ k_v t_d = 4k_ht /φµctL 2

(

)

kh = kxky h = espessura do reservatório (m)

kx= permeabilidade na direção x no plano areal (md)

ky = permeabilidade na direção y no plano areal (md)

kv= permeabilidade na direção z (md)

zw= distância vertical entre o limite inferior do reservatório e o poço (m).

Foi utilizado o valor de xd = 0,732, onde a solução de poço horizontal para fluxo uniforme é

igual à solução para condutividade infinita (refs.: [7] e [9]).

3.1. Considerações sobre Poços Horizontais

As soluções disponíveis na literatura para avaliar o desempenho de poços horizontais durante o período transiente são, basicamente, de dois tipos: i) fluxo uniforme, que considera constante a entrada de fluido em qualquer ponto do poço; ii) condutividade infinita, onde a pressão é

considerada constante ao longo de todo o poço. Ainda é possível trabalhar com a solução de fluxo uniforme considerando a pressão média ao longo do poço.

Os modelos mencionados até aqui não consideram a perda de carga por fricção existente no interior do poço. Isso, para efeitos práticos, é uma consideração coerente com o que ocorre numa situação real (à exceção de poços com pequenos diâmetros, casos onde o óleo é de alta viscosidade, ou em casos onde se praticam vazões muito altas). O modelo de condutividade infinita foi utilizado para validar as soluções numéricas obtidas com o método dos elementos finitos neste trabalho.

Uma solução que levasse em conta os efeitos da perda de carga por fricção, seria um modelo de condutividade finita (iii), onde nem o fluxo nem a pressão seriam uniformes ao longo do poço (existe a possibilidade de trabalhar desta forma no programa de elementos finitos utilizado). A queda de pressão (diferença entre a pressão inicial de equilíbrio e a pressão no poço, (pi - pwf) é

menor na extremidade do poço horizontal, onde a perda de carga é menor, e aumenta no sentido do calcanhar do poço, onde a perda de carga é máxima.

Na Figura 3.2 (extraída da referência [12]), são comparados os três diferentes modelos em resultados da queda de pressão ao longo do poço horizontal para três simulações distintas. A figura foi inserida com o objetivo de ilustrar as feições da resposta esperada, e os resultados completos e parâmetros de entrada podem ser consultados no texto original. A vazão praticada na simulação com o modelo de condutividade finita foi bastante alta em relação aos demais modelos, de modo que pudesse ser ressaltada a assinatura do perfil de pressão esperada ao longo do poço horizontal. A solução de fluxo uniforme foi pensada inicialmente para poços verticais fraturados e desenvolvida por Gringarten, Ramey e Raghavan [13]. No caso do poço vertical fraturado, a fratura estende-se em duas direções diametralmente opostas a partir do centro do poço. Entretanto, a entrada uniforme de fluido ao longo da fratura requer que a pressão tenha um valor menor no centro do poço e vá aumentando até atingir seu valor máximo no limite da fratura.

O mesmo raciocínio pode ser estendido ao caso do poço horizontal, pois há equivalência entre as soluções para poço vertical fraturado e poço horizontal. Observando o exemplo de modelo de fluxo uniforme para poço horizontal da Figura 3.2, nota-se que a queda de pressão é menor nas extremidades do poço e maior em direção ao centro, confirmando o comportamento previsto.

Ao trabalhar com o modelo de condutividade infinita (considerando a extensão da solução de poço vertical fraturado para poços horizontais), a pressão é a mesma em qualquer posição do poço incluindo a extensão da fratura (observe na Figura 3.2, obtida através do programa de

elementos finitos utilizado neste trabalho, o IP3D). Sob essa condição, o perfil de vazão do poço fraturado apresenta valores mais altos nas extremidades da fratura e valores mais baixos no centro da fratura, ou seja, no poço. A extensão dessas conclusões pode ser observada na Figura 3.3.

Figura 3.2 – Gráfico ilustrativo para a queda de pressão (psi) ao longo do poço horizontal considerando diferentes modelos de fluxo (referência [12]).

Figura 3.3 – Gráfico ilustrativo para a entrada de fluido (m3_{/d/m) ao longo do poço vertical}

fraturado considerando diferentes modelos de fluxo.

A referência [13] mostrou que, para o caso de poço vertical fraturado considerando fluxo uniforme, a resposta de pressão adimensionalizada é dada por:

pd = π 4 1 τ 0 t erf 1+ xd 2 τ + erf 1− xd 2 τ exp − y_d2 4τ (3.35)

Onde, pd é a queda de pressão adimensional

pd =

2πkh

qµ ∆p (3.36)

Onde, td é o tempo adimensional

t_d = kt

xd = x / xf

yd = y / yf

xf = comprimento da asa da fratura (m)

yf = altura da fratura (m) h = espessura do reservatório (m) k = permeabilidade areal (m2₎ q = vazão (m3_/s) µ = viscosidade (Pa.s) φ = porosidade (%)

ct = compressibilidade total do sistema (1/Pa )

rw = raio do poço (m)

∆p = pi− pw, é a queda de pressão, ou seja, a diferença entre a pressão inicial e a pressão na posição de interesse (Pa)

t = tempo (s)

A pressão no poço é obtida avaliando a equação (3.35) em xd = 0 e yd = 0. A referência [14]

também mostrou que a resposta de pressão para o modelo de condutividade infinita pode ser obtida substituindo o valor de xd = 0,732 e yd = 0 na equação (3.35), onde o modelo de fluxo uniforme

coincide com o modelo de condutividade infinita. A Figura 3.4 mostra o gráfico onde ocorre o ponto de equivalência dos dois modelos.

Figura 3.4 – Ponto de equivalência para o fluxo entre os modelos de fluxo uniforme e de condutividade infinita (referência [14]).

Os mesmos conceitos aplicados aos poços verticais fraturados podem ser estendidos aos poços horizontais, de modo aproximado. A referência [7] propõe o uso da solução de fluxo uniforme dada pela equação (3.38) avaliada no ponto de equivalência entre a solução de fluxo uniforme e condutividade infinita. A equação que define a queda de pressão para os poços horizontais de condutividade infinita fica estabelecida como a solução de fluxo uniforme avaliada no ponto xd = 0,732: × − − + + − = τ τ τ τ π π µ 4 exp 2 732 , 0 2 732 , 0 1 4 2 2 0 d x x t y i w y k k erf k k erf k k kh q p p

(

)

(

)

(

)

[

n π L τ nπz nπz

]

dτ n wd d d − + × ∞ =1 2 2 2 cos cos exp 2 1 (3.38)

onde L_d = L / 2h)

[

_{( )}

]

k_v/ k_h y_d = 2y / L[ ] k_h/ k_y z_d = z / h z_wd= z_w/ h r_wd = 2r

[

_w/ L

]

k_h/ k_v t_d = 4k_ht /

(

φµc_tL 2

)

k_h= kxky h = espessura do reservatório

kx= permeabilidade na direção x no plano areal (md)

ky = permeabilidade na direção y no plano areal (md)

kv= permeabilidade na direção z (md)

zw= distância vertical entre o limite inferior do reservatório e o poço (m).

Observe que há um termo discretizado através de um somatório. Este termo é que faz com que a solução seja semi-analítica, pois terá de ser truncado em algum momento do cálculo da solução.

É importante observar que:

i) a solução dada é a do modelo de linha fonte, ou seja, o poço tem uma única dimensão; ii) para poços extensos, onde Ld é muito grande, o termo do somatório na equação (3.38)

tende a zero. Sendo assim, no caso limite, a solução de poço horizontal se reduz a solução do poço vertical fraturado (o mesmo ocorre para valores muito altos de td;

iii) Com a substituição x = ±L /2, é possível obter a solução de fluxo uniforme para o poço produzindo a partir de ambas as extremidades;

iv) Com a substituição xd = 0,732 na equação (3.38), é possível obter uma solução

equivalente a do modelo de condutividade infinita. Observações extraídas da referência Referência [7].

3.2. Análise Transiente de Testes de Formação em Poços Horizontais

Tal como mencionado na introdução, o objetivo de um teste de formação em um poço horizontal é a obtenção de parâmetros do reservatório, tais como: permeabilidade horizontal e vertical, índice de produtividade, pressão estática, identificação de possíveis limites do reservatório, entre outros. Dentre as incertezas do modelo teórico, há de ser considerado que o comprimento horizontal do poço que efetivamente produz pode não corresponder ao comprimento perfurado e completado, e também que a trajetória do poço nunca é perfeitamente horizontal. Além de todas essas observações, o modelo ainda recebe simplificações para considerar os efeitos do fluxo semi-esférico que ocorre nas terminações do poço horizontal (conhecidos como end effects).

Submetido o poço a uma taxa de produção especificada (vazão controlada) e, conhecendo a perturbação imposta e a resposta de pressão do poço, é possível determinar os parâmetros do modelo teórico que melhor se ajustam aos dados observados.

Com a assinatura da derivada de pressão no poço horizontal plotada contra o tempo num gráfico log-log (gráfico de diagnóstico), é possível identificar os regimes de fluxo que ocorrem durante um período de fluxo, como demonstra a Figura 3.6.

Figura 3.6 – Identificação dos regimes de fluxo para um poço horizontal através do gráfico de

diagnóstico.

Na etapa seguinte, os regimes de fluxo são analisados de forma isolada através de gráficos especializados para determinar parâmetros do modelo, como mostrado a seguir:

No período do regime de fluxo denominado radial inicial (que também pode ser entendido como fluxo radial vertical, ver esquema da Figura 3.7) a solução analítica adimensionalizada para a queda de pressão no poço (modelo de condutividade infinita, Referência [8]) é dada por:

P_DL =2πkLw∆p qµ = 1 2ln 4t_D γ + SD (3.39)

Num gráfico dep contra _D

€

ln t_D, conhecida a inclinação da reta e os valores da vazão q e da viscosidade µ, é possível estimar o produto

€

kL (seja

€

k = kvkh). O valor de SD, refere-se à parcela

de dano do poço.

No segundo regime de fluxo observado, denominado linear inicial (ver esquema da Figura 3.8) a solução analítica adimensionalizada para a queda de pressão no poço (modelo de condutividade infinita, Referência [5) é dada por:

PDL

A1/ 2 = 2 πtD + ST

A1/ 2 (3.40)

sendo A, a razão de anisotropia definida por:

A= kv

kh

(3.41)

Num gráfico de p contra _D tD , conhecida a inclinação da reta e a espessura média do reservatório, é possível estimar o valor da permeabilidade média areal, kh. O valor de ST ,

refere-se a parcela de dano do poço acrescida de efeitos de compensação do modelo. De modo simplificado, fica assim determinada a interpretação de parâmetros do reservatório para a análise de dados transientes de pressão num modelo de poço horizontal. A partir do conhecimento das permeabilidades médias horizontal e vertical (kh e kv) e do comprimento do poço que efetivamente

produz Lw, é possível gerar estimativas de produtividade de longos tempos para o reservatório de

interesse.

Finalmente, os parâmetros de reservatório e poço podem ser obtidos através processo de ajuste das pressões do modelo teórico com os dados de pressão observados através de um registrador de pressão instalado no fundo do poço.

4.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS SOBRE O MÉTODO DOS

ELEMENTOS FINITOS

O método dos elementos finitos é uma técnica numérica para resolver problemas de valor de contorno. A técnica consiste na divisão do domínio em um número finito de elementos (os quais chamamos de elementos finitos) e na utilização de funções apropriadas para construir uma aproximação da solução real sobre esses elementos, utilizando conceitos variacionais. Uma análise por elementos finitos requer as seguintes etapas:

i) construção de uma formulação variacional para o problema;

ii) definição da geometria da malha, ou seja, de como será a divisão do domínio em elementos discretos;

iii) escolha do espaço de aproximação (para que se defina a ordem polinomial das funções de aproximação);

iv) aplicação do método de Galerkin para o espaço de funções adotado;

v) resolução do sistema algébrico gerado pelo equacionamento da formulação; vi) análise dos resultados e cálculo das estimativas de erro.

4.1.

Formulação Variacional

A construção de uma formulação variacional é a ferramenta básica para uma análise por elementos finitos. Um exemplo hipotético pode ser adotado para demonstrar o conceito, como o caso do problema descrito pela equação diferencial que segue:

u" x

( )

= F x

( )

, x∈ (0,10)

u(0)= u(10) = 0

(4.1)

Multiplicando-se ambos os lados da equação por uma função teste, aqui especificada como

( ) ( )

x v x dx F

( ) ( )

x v xdx u

Ω

Ω " = ∀v x

( )

, (4.2)

E integrando por partes, obtém-se a formulação variacional do problema: encontrar u(x) tal que

( ) ( )

x v x dx F

( ) ( )

x v xdx u

Ω

Ω ' ' = ∀v x

( )

, (4.3)

uma vez que a integral no contorno é nula de acordo com as condições de contorno especificadas. As premissas são válidas desde que u(x) e v(x) sejam pertencentes ao espaço de funções admissíveis H₀1

( )

Ω = v | v e v' ∈ L2 Ω

( )

, v 0

( )

= v 10

( )

= 0

{

}

. (4.4)

4.2.

Aproximação de Galerkin

Na aproximação de Galerkin, as soluções aproximadas são definidas por:

u x

( )

= αjϕj

( )

x j=1 N , (4.5) em sub-espaços V ⊂ H0 1 Ω

( )

de dimensão finita N. As funções teste v(x) aão formadas pela combinação linear das funções de base v(x)=ϕi

( )

x . Substituindo essa definição em 4.2,

obtém-se que:

( )

x

( )

x dx F

( ) ( )

x xdx N j i j N j i j = Ω = Ω = ′ ′ 1 1 ϕ ϕ ϕ α . (4.6)

O sistema de equações descrito em 4.6 pode ser escrito matricialmente como:

K

Seja K = K

[ ]

_ij denominada matriz de rigidez, definida por:

( )

( )

Ω ′ ′ = x xdx Kij ϕi ϕj , (4.8)

seja

α

=

[

α

₁,

α

₂,...,

α

_N

]

T a solução do sistema de equações e F = F

[

₁,F₂,...,F_N

]

o vetor de cargas, cujos elementos são definidos por:

( ) ( )

Ω

= F x x dx

Fi ϕi , _(4.9)

A solução "

α

" do sistema de equações 4.7 constituirá a aproximação da solução real do problema definido em 4.2 que é dada por:

u x

( )

= αjϕj

( )

x j=1

N

. (4.10)

As funções ϕi

( )

x recebem o nome de funções de base e são escolhidas de modo a produzir

os espaços de interpolação, como funções linearmente independentes. Um conjunto de funções

ϕ

i

( )

x ,

ϕ

2

( )

x,...,

ϕ

N

( )

x

{

}

é linearmente independente em um intervalo definido (a,b) se a equação:

c₁ϕi

( )+ c

x 2ϕ2

( )

x + ...+ cNϕN

( )

x = 0,

4.3.

Funções de Base

As funções de base são construídas de modo que sejam capazes de produzir espaços de interpolação, com funções linearmente independentes. Um conjunto de funções base lineares para o exemplo descrito em 4.1 pode ser visto na Figura 4.1.

Figura 4.1 –Funções de base lineares.

As funções de base estão associadas aos nós do domínio. Na Figura 4.1, são nós:

€

x= 0, x = 1, x = 2,...x = 10. Os nós das extremidades não tem funções associadas, pois o espaço de funções adotado é o espaço H10

( )

Ω =

{

v|v e v' ∈ L2

( )

Ω, v

( )

0 =v

( )

10 =0

}

e as funções devem valer zero em

€

x= 0 e

€

x=10. A função associada a um nó "n" deve ter valor unitário no próprio nó e deve ter valor zero nos demais nós do domínio.

Quanto maior a ordem polinomial das funções de base, melhor será a aproximação da solução real do problema. A seqüência de figuras a seguir (Figuras 4.2, 4.3 e 4.4) ilustra o quanto se pode melhorar a representação da função "

€

f x

( )

= sen

( )

πx " utilizando funções de base de diferentes ordens polinomiais.

Figura 4.2 – Aproximação da função f x

( )

= sen

( )

πx por funções de base lineares.

Figura 4.4 – Aproximação da função f x

( )

= sen

( )

πx por funções de base polinomiais de grau 3.

4.4.

Particionamento do Domínio

No método dos elementos finitos, o domínio é dividido em elementos Ωe (que chamamos de elementos finitos). As funções de base lineares da Figura 4.1 são construídas pela soma das funções sobre elementos, como pode ser observado na Figura 4.5.

( ) ( )

x v xdx u

( ) ( )

x v x dx u Nelem i e ′ ′ = ′ ′ = Ω Ω 1 , _(4.11)

onde Nelem é o número de elementos do domínio. Assim, a aproximação de Galerkin fica estabelecida da seguinte forma:

Figura 4.5 – Exemplo de particionamento do domínio e composição das funções de base.

Como os valores das funções são nulos em todo o domínio, exceto nos elementos aos quais as funções estão associadas, a integral de cada função sobre o domínio pode ser substituída pela integral das funções sobre os elementos:

( )

( )

( ) ( )

= _{= Ω} = = = _Ω = ′ ′ N i Nelem e i N i N j j Nelem e i j x x dx F x xdx e e 1 1 1 1 1 ϕ ϕ ϕ α . _(4.12)

4.5.

Construção do Sistema de Equações

A aproximação de Galerkin, descrita em 4.12, pode ser escrita sob a forma matricial. A matriz de rigidez global é construída a partir das matrizes de rigidez locais dos elementos.

Sejam Kij e e F_ie

( )

x

( )

x dx K j i j e ij e ′ ′ = Ω ϕ ϕ α .

( ) ( )

x xdx F F e i e i Ω = ϕ _(4.13)

a matriz de rigidez e o vetor de carga locais de um elemento e. Observando novamente a Figura 4.1, fica sugerida a divisão do domínio em 10 elementos Ω1 = 0,1

( )

, Ω2 = 1,2

( )

, ...,

36

Figura 4.6 – Repetição das funções de base lineares.

O elemento 1 possui uma única função, a qual compõe, em conjunto com o elemento 2, a função de base

€

ϕ1. O elemento 2, por sua vez, possui funções pertencentes às funções de base

€

ϕ1 e

€

ϕ2, assim como a seqüência até chegar no décimo elemento. A indexação entre as funções dos

elementos e as funções de base associadas é muito importante para a construção da matriz de rigidez e do vetor de cargas do sistema. As matrizes de rigidez locais dos elementos são dadas por:

K1 = K1,1 1 0 0 0 , K2 = K1,1 2 K1,2 2 K_2,12 K_2,22 , ..., K10 = 0 0 0 K2,2 10 . Onde K = K1 + K2 + ...+ K10 .

K = K1,1 1 + K1,1 2 K1,2 2 0 0 0 0 0 0 0 K_2,12 K_2,22 + K1,1 3 K_1,23 0 0 0 0 0 0 0 K_2,13 K_2,23 + K1,1 4 K_1,24 0 0 0 0 0 0 0 K2,1 4 K2,2 4 + K1,1 5 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... 0 0 0 0 0 0 0 ... ... K_1,29 0 0 0 0 0 0 0 K2,1 9 K2,2 9 + K2,2 10 , K = F1 1 + F1 2 F₁2 + F1 3 F1 3 + F1 4 ... ... ... ... ... F1 9 + F1 10

e a solução do sistema linear K

[ ]

⋅

{ }

α = F

{ }

, leva à aproximação da solução:

u x

( )

= αiϕi

( )

x i=1

9

.

4.6.

Estimativas de Erro

O método dos elementos finitos busca uma aproximação para a solução verdadeira procurada, dentro do subespaço de funções V_H escolhido. Caso o subespaço escolhido V_H não seja adequado, a função de aproximação não terá precisão satisfatória para representar a solução real. Neste caso, uma análise para verificar o erro associado é necessária. De uma forma geral, o erro pode ser calculado obedecendo a relação simples definida por:

e x

( )

= u x

( )

− uh

( )

x .

onde u x

( )

é a solução exata e u_h

( )

x é a solução aproximada. As principais normas utilizadas nos estudos de estimativas de erro são:

i) norma de energia -E

( )

Ω :

e _B2 = B u − u

(

h,u− uh

)

,

onde B representa uma forma bilinear; ii) norma L2

( ):

Ω e _L2 2 = u− uh Ω 2 dx ; iii) semi-norma H1

( )

Ω : e_H1 2 = ∇u − ∇uh Ω 2 dx ; iv) normaH1

( )

Ω : e _H1 2 = e _L2 2 + e_H1 2 ; v) norma L∞

( )

Ω : e _L∞ = sup_x∈Ω

{

u(x)− u_h(x)

}

.

Utilizando uma norma e conhecendo-se o resultado analítico do problema em questão, o cálculo do erro estaria simplificado. Como nem sempre é possível obter solução analítica para um problema solucionado por método numérico, utilizam-se conceitos onde o erro da aproximação pode ser estimado.

5.

APLICAÇÃO DO MEF AO PROBLEMA DE INTERESSE

Este capítulo tem o objetivo detalhar a aplicação da técnica de elementos finitos ao problema de interesse, a equação da difusividade hidráulica, sujeita às condições de contorno especificadas no capítulo 3 para o caso de regime transiente (reservatório infinito). A formulação variacional para o problema foi desenvolvida e está apresentada nas equações que seguem, assim como a discretização do problema para elementos finitos.

O objetivo é chegar na estrutura do sistema de equações, descrevendo a construção da matriz de rigidez, da matriz de massa, do vetor de cargas e a imposição das condições de contorno para a solução do problema.

A equação da diferencial para o problema é dada por:

(

)

t p c K div t ∂ ∂ φµ = Φ ∇ . _(5.1)

Multiplicando ambos os lados da equação 5.1 pelas funções teste e integrando a equação diferencial, tem-se que:

(

)

[

]

Ω Ω Ω = Ω Φ ∇ d t p c d K div I t ϕi ∂ ∂ φµ ϕ _(5.2)

e, integrando por partes, obtém-se a forma fraca para o problema:

(

∇Φ⋅

)

−

(

∇Φ⋅∇

)

Ω= Ω Ω d K ds n K ϕI ϕI ∂ Ω Ω d t p c_t ϕ_i ∂ ∂ φµ _(5.3)

Seja

τ

um tempo fixo, mas arbitrário:

(

X

)

p

( ) ( )

X p _j j j τ ϕ τ = , , onde X = X x, y,z

(

)

, _(5.4)

(

)

=

(

)

+ =

(

( ) ( )

+

)

Φ j j j X gz p gz X p X,τ ,τ ρ τ ϕ ρ , e _(5.5)