SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS
QUESTÃO 1
Um sistema de segunda ordem tem a seguinte função de transferência que relaciona a pressão de determinado vaso (y) com a vazão de entrada de carga (u):
2,5
25 5 1
onde o tempo é expresso em horas. O valor inicial, no estado estacionário para a variável de saída é 20psig e da variável de entrada é 4gph (galão por hora). No tempo t=0h, uma perturbação degrau negativo (B<0) é aplicada, de 4gph para 3gph. Pede-se:
a) Qual é o valor final da variável de saída?
b) Quando a variável de saída atinge pela primeira vez seu valor final? c) Qual é o valor mínimo da variável de saída?
d) Quando a variável de saída atinge pela primeira vez seu valor mínimo. e) Faça um gráfico da resposta do sistema com o tempo.
QUESTÃO 2
A resposta de um processo de segunda ordem sub-amortecido tem um tempo de subida de 1h, e apresenta um valor máximo de 15oC (em variáveis desvio), após uma
perturbação degrau no tempo t=0. Após um longo período, a saída do processo é 12oC
(novamente em variáveis desvio). Pede-se: a) Qual é o valor de τ?
b) Qual é o valor de ξ?
c) Quais são os polos? Mostre sua localização no plano complexo.
QUESTÃO 3
Considere o processo de misturação abaixo, onde parte da corrente é um bypass do tanque de mistura.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA DE QUÍMICA – EQE400 – MODELAGEM E DINÂMICA DE PROCESSOS PROF: MARCELLUS
Vimos em aula que funções de transferência de um polo e um zero são ditas de elementos lead-lag, muitas vezes não encontrados fisicamente na modelagem dos fenômenos, sendo muito comunns como elemento de controle. O caso acima é didaticamente interessante pois, para uma função de transferência com Cf como variável
de entrada e C3 como variável de saída, obtemos uma função de transferência do tipo
lead-lag.
Obtenha essa função de transferência. (Dica: Escreva o balanço de massa dinâmico em torno do tanque e um balanço estacionário em torno do ponto de mistura, depois da saída do tanque. Use variáveis desvio). Obtenha os parâmetros dessa função lead-lag.
QUESTÃO 4
Em um processo 2,1 (de dois polos e um zero) – seus polos estão localizados em -1±0,5i e o zero está localizado em 0,5.
a) Apresente o plano complexo para esse sistema, representando os polos e o zero;
b) Esboce o tipo de resposta que você esperaria para uma perturbação degrau unitário dada na variável de entrada. Explique.
c) Encontre a forma da função de transferência e verifique os seus resultados obtidos em b, admitindo que o processo possui ganho unitário.
QUESTÃO 5
Considere a função de transferência de terceira ordem abaixo, onde β é um parâmetro. Encontre as condições sobre o parâmetro β que resultarão em resposta inversa.
2
5 1 3 1 2 1
QUESTÃO 6
Considere uma função de transferência de segunda ordem com dinâmica no numerador (2,1):
1
1 1
(K>0). Admitindo que, dentre as constantes de tempo é a menor ( > ). Admita que uma perturbação degrau de magnitude B positivo é dada na variável de entrada do processo. Vimos em aula que esse processo tem três casos possíveis de resposta. Para o dado degrau B, as 3 respostas podem apresentar um máximo (no caso de overshoot), um mínimo
(no caso de resposta inversa) ou não haver pontos de máximo ou mínimo (no caso de se assemelhar à resposta de primeira ordem). Conseguimos em aula apresentar qualitativamente esse comportamento avaliando os termos de cada resposta.
Agora pede-se que você consiga mostrar isso analiticamente, um resultado bastante interessante! Para o caso > , mostre os limites que determinamos, ou seja, que:
Se > há overshoot Se < 0 há resposta inversa
Se 0 ≤ ≤ não há máximo ou mínimo (resposta próxima à primeira ordem).
Dica: Com a expressão da resposta ao degrau, avalie a sua derivada em relação ao tempo. Sabemos que para haver pontos críticos (extremos) em y(t), significa que dy/dt=0 nesse tal ponto. Outra dica: Resolva dy/dt=0, explicitando t. Sabemos que t sempre é positivo, daí, com isso, sua análise será possível de ser feita.
QUESTÃO 7
A unidade de produção de um certo polímero consiste basicamente do conjunto mostrado na figura abaixo: um pré-misturador e um reator conectados em série por um tubo cujo comprimento não é desprezível.
O pré-misturador é um tanque agitado no qual uma elevada corrente de solvente inerte S (vazão volumétrica FS) é misturada com uma pequena vazão de agente de transferência de
cadeia A (vazão volumétrica FT). De acordo com o projeto, uma fração ρ da corrente de
agente de transferência de cadeia é alimentada diretamente na saída do prémisturador. O monômero M e o catalisador C são alimentados no reator contínuo do tipo tanque agitado, como também a corrente diluída de agente de transferência de cadeia do pré-misturador. O polímero é retirado na saída do reator e separado do monômero não reagido esolvente em outra seção que não é de nosso interesse agora.
O objetivo principal é controlar a viscosidade da solução polimérica normalizada ajustando-se a razão FT/FS. As variáveis pertinentes são definidas a seguir, em termos e
desvios a partir dos valores estacionários: u = razão FT/FS;
v = concentração do agente de transferência de cadeia medida na alimentação do tubo; w = concentração do agente de transferência de cadeia medida na entrada do reator; y = viscosidade da solução polimérica normalizada na saída do reator.
Dado que as seguintes funções de transferência são razoavelmente adequadas para cada porção indicada do conjunto indicado:
5 1
10 1 é − !" e$%& ' ( ) çã"
, 1225 1 -. "
onde a unidade do tempo é minutos e todas as outras unidades são unidades normalizadas de acordo com padrões industriais para este produto, pede-se:
a) Qual é a função de transferência global (para todo o processo de polimerização) que relaciona, em termos de variáveis desvio, a variável de entrada do processo (u) com a variável de saída (y)?
b) Obtenha expressões matemáticas individuais para a resposta de v(t), w(t) e y(t) para um degrau de magnitude 0,02 em u(t). Esboce as respostas obtidas separadamente, mostrando claramente todas as características distintas importantes;
c) Se uma modificação no processo tem o efeito aparente de deslocar a localização do zero de G1(s) de sua localização original no plano complexo para s=-0,05,
esboce as novas respostas v(t), w(t) e y(t) para a mesma perturbação degrau de magnitude 0,02 em u(t), admitindo que apenas a dinâmica do pré-misturador foi afetada pela modificação do processo. Mostre claramente todas as características distintas importantes de cada resposta.
QUESTÃO 8
Utilize a aproximação de Padé de primeira ordem “no sentido reverso” para aproximar a seguinte função de transferência.
1 − 3
2 1 5 1
Obtenha graficamente a resposta do sistema original acima (com resposta inversa) e o do que você aproximou (com tempo morto). Curiosidade: Essa estratégia “reversa” também é usada para a sintonia de controladores com métodos em que se necessite de tempo morto na curva de reação do processo.
QUESTÃO 9
Para o sistema cuja função de transferência é composta por: /$01
1 − 1
a) Desenhe o diagrama de blocos para esse processo em termos de G1 e G2, sendo 234567
819 e
2: 819 .
b) Mostre que possui zero localizado em:
−ln = >?
c) Mostre que a condição para que sistema apresenta resposta inversa é | | < | |
QUESTÃO 10
Uma operadora de processos aplica uma perturbação degrau em uma variável de entrada às 2:00h e não observa resposta até às 2:10h. Ela observa que a saída alcança 90% do seu valor final de estado estacionário às 2:45h. Ela acredita que este processo pode ser aproximado por um FOPDT.
a) Qual é o tempo morto para este processo (mostre as unidades)? b) Qual é a constante de tempo para este processo (mostre as unidades)? c) Qual é o ganho deste processo (mostre as unidades)?
QUESTÃO 11
O processo mostrado na figura abaixo é uma unidade regeneradora de catalisador, onde o ar quente remove o carbono do catalisador. A variável manipulada é a vazão de combustível e a controlada, a temperatura de regeneração. Admita que foi dado um degrau de +5 gpm na vazão de combustível e. os dados experimentais exibidos no gráfico para a resposta na temperatura do regenerador foram obtidos.
Postule um modelo de função de transferência e estime os parâmetros para um processo FOPDT, usando os métodos I e II apresentados e aula.Plote na mesma figura a predição dos modelos e os dados experimentais. Compare qualitativamente os resultados.
