Dado um disco compressor (ou nulogono) para (E) H
0
o
proce-dimento descrito em [40] que acha E 0
e, naturalmente, algoritmico. Para
completar um algoritmo que, de (E), produza uma tal laminac~ao
incom-pressvel (E 00
), precisamos de um procedimento que ache um disco
com-pressor, sealgum existir, eque identi que os casos ja incompressveis.
A procura por um disco compressor e teoricamente simples. Para
descrev^e-la,lembramosqueapropriedadedef serexpansordeterminauma
exaust~ao f-equivariante H 0 H 1 H 2 ::: tal que H = S i0 H i
. Assim, um disco compressor para H
0 esta
contido em algum H
k
H donde a procura sucessiva em H
1 , H 2 , H 3 :::
fatalmente o encontrara (em tempo nito). Esse processo, porem, esbarra
emdi culdadesfundamentalmentepraticas.NaSec~ao4.1abaixodiscutimos
comoencaminharaprocuraemalgunsexemplos,propondoideiasquedevem
torna-lamais e ciente. Masoprincpiobasicoeessencialmenteomesmo:se
n~aoachamos um disco compressor emH
i
oprocuramos emH
i+1 .
Se oprocesso de procuraque conduziremosda acerteza de achar um
discocompressor,n~aohanenhumaestimativaobviadequandoissoocorrera.
E, portanto, necessario saber identi car os casos em que a laminac~ao ja e
incompressvel,casocontrariooprocedimentodeprocurapodenuncaparar.
OresultadoprincipaldaSec~ao4.2abaixo(Teorema4.15)realizaessatarefa,
determinando um criterio de parada.
4.1
A procura por um nulogono.
Seja E = fE
1
;:::;E
m
g um sistema de discos determinando uma
estrutura de alcas para H. Nossa meta e achar um inteiro k > 0 tal que
(\H k ) H 0
sejacompressvel emH
k H
0 .
E claroqueissoe equivalente
adizerque,para algumE
i 2E,suaimagemf k (E i ) H 0 ecompressvelem H k H 0 . Aplicandof k af k (E i ) ea H 0
, a quest~ao se torna equivalente a
procura de k < 0 tal que, para algum E
i 2 E, o complemento E i H k
e compressvel. Aqui estamos, novamente, previlegiando o automor smo
contrator h = f 1
em vez de f. Isso traz algumas vantagens de ordem
pratica, como veremos a seguir (no Exemplo 3.10 mesmo ja seguimos essa
abordagem). Alem disso, essa abordagem apresenta clara semelhanca com
as tecnicas desenvolvidas por Bestvina e Handel em [2], [3] para o estudo
de automor smosde gruposlivres (verSec~ao2.6). Em[3]essa tecnicass~ao
usadas para se estudar automor smos de superfcies com grande sucesso.
Nossa abordagem pode ser vista como uma generalizac~ao de [3] embora,
no caso de automor smos de handlebodies, o poder dessas feramentas se
mostre bem mais limitado. De qualquer forma, nos permitir~ao achar, em
um sentido bemconcreto, compress~oes, nossa metaagora.
Propomos ent~aoque,porexemplo, emvez de considerar H
0 emH 1 = f(H 0 ), olhemos para H 1 = h(H 0 ) = f 1 (H 0 ) em H 0 . Aquela alternativa
precisa que achemos f(E), o que pode ser trabalhoso (especialmente se
tomamospot^enciasaltas)ededifcilvizualizac~aoerepresentac~ao. Emnossa
proposta podemos ver H
0
como uma vizinhanca do grafo associado a
estruturade alcas,dondeH
1
et~aosomenteumavizinhancade h( ),quee
maisfacildeseachare,especialmente,deserepresentar,enquantoosistema
de discos ca inalterado.
Seguindo [2], orientamos as arestas e
1 ;:::;e m de arbitrariamente e tomamos a projec~ao p de H 0
em que colapsa as 1-alcas e 0-alcas nas
respectivas arestas e vertice: nesse caso h n ! h n ( ) r ! se torna uma
equival^enciade homotopia de grafos.
Seja V o conjunto dos vertices de e consideremos um caminho
: I ! . Dizemos que e gra co se (@I) V, 1
(V) for discreto e
seforlocalmenteinjetivoemI 1
(V).Umaequival^enciade homotopia
: ! egra case for gra co em cada arestade .
Se a equival^encia de homotopia h = (rÆh)j : ! que de nimos
acima n~ao for gra ca, podemos altera-la por uma isotopia que a torne
gra ca,o que vamos suporde agoraem diante.
Podemos associar aimagem h(e
i )de uma arestae i de uma palavra nas letras e 1 ;:::;e m
, sem realizar cancelamentos (um elemento do
semi-grupo livre em 2k geradores). Essa palavra e, essencialmente, construida
seguindo as arestas orientadas de por onde o caminho h(e
i
) passa.
Mais precisamente, a construimos da seguinte forma: as componentes de
(h) 1
(V) s~ao arcos
j
levados nas arestas de . Como h e gra co, as
orientac~oes nas arestas de induzem por (h) 1
uma orientac~ao em cada
j
. Mas
j
tem orientac~ao herdada de e
i . Se h ( j ) e l associamos a j a letra e + l ou e l
, dependendo de as duas orientac~oes conicidirem ou n~ao.
Construimos a palavraseguindo os arcos
j
(ordenados pela orientac~aode
e
i
) econcatenando asrespectivasletras.
Essapalavradetermina,amenosdehomotopia,umcaminhoem ,que
usamospararepresentarh n
(e
i
).Comoem[3], usaremos essaspalavraspara
detectar candidatos a compress~ao (ver De nic~ao4.3 eLema 4.4 abaixo).
Exemplo 4.1. Voltamos ao Exemplo 3.10, onde o automor smo e dado
porg: H !H.Consideramosh=g 1
.Lembramosque tem duasarestas
orientadas a, b duais aos discos A;B 2 E. Vemos, ent~ao, que h age nas
arestas daseguinte forma:
a7!ab
b7!bab:
Podemos aplicar h a um caminho em , de forma que ca claro que
h se comporta como um homomor smo levando palavras em palavras.
E
bem clarotambemque(h n
)= h
n
,quedenotaremospor
h n
sem perigode
ambiguidade.
Exemplo 4.2. Continuando oExemplo 4.1,
h 2
eachado por iterac~ao:
h h a 7 ! ab 7 ! abbab b 7 ! bab 7 ! bababbab:
De nic~ao 4.3. Dizemos que um caminhogra co regride (ou e retrogrado)
sen~ao forlocalmenteinjetivo.
Usamos afalta de caminhos retrogrados para identi car
incompressi-bilidade,como noLema 4.4 abaixo.Precisaremos daseguintenotac~ao:seja
um caminhogra co orientado em . Segueque
h n
( ) tambeme caminho
gra co, com orientac~ao herdada de . Seguindo [2], de nimos D
h n
( )=e,
onde eea primeiraaresta de que h n ( )cruza. Lema 4.4. Se H 0
for compressvel em H
n H 0 ent~ao, { ou existearesta e i de tal que h n (e i ) regride,
{ ouexisteverticev de e arestaorientadae
j
taisque, paratodaaresta
orientada e saindo de v, D
h n
(e)=e .
De qualquer forma,existe m e aresta e k tais que h m (e k ) regride.
Observac~ao. Olemaebemaoestilo dateoriade Bestvina-Handel.Defato,
a conclus~ao nalsegue dela: se nenhum h m (e k ) regrideent~ao he um
train-track map ([2]) e, portanto, o fator de crescimento de M( ) e o fator de
crescimento do grupo fundamental de H, donde (E) = (
1
). Se H
0
fossecompressvelent~aopoderiamosreduzir(E)(peloTeorema2.28),uma
contradic~aocomaProposic~ao3.9.OExemplo4.1ecasoparticulardisso(ver
Exemplo4.5abaixo).Aseguirdaremosumademonstrac~aomaisgeometrica
para asoutras conclus~oes do lema.
Demonstrac~ao. Como vem sendo padr~ao nessa sec~ao, consideramos h =
f 1 . Se H 0 ecompressvelemH n H 0
ent~ao,paraalgumdisco E
j 2E, E j h n ( H 0 ) e compressvel em H 0
. Seja D um disco compressor, contido
na 0-alca V. Tal D borda com um disco D 0
E
j
uma bola B V.
Consideremos umacomponente de B\h n
( ) (que n~aoevazio).Se n~ao
contiver um vertice de h n
( ) ent~ao esta contida no interior de alguma
aresta h n
(e
i
) e e facil ver que h n (e i ) regride: @ D 0 E j donde h n (e i )
vemdeevaiparaa1-alcaassociadaaE
j ,provandoque h n (e i )n~aoeinjetiva navizinhanca dopontode h n
( ) quee mapeado no vertice v associado a
0-alcaV.
Se a componente de B \ h n
( ) contiver algum vertice h n
(v),
prosseguimos de forma similar ao caso anterior e concluimos que todas as
arestash n (e i )saindodeh n (v)seguemnadirec~aodeE j ,dondeD h n (e i )=e j .
Exemplo 4.5. Voltando aos Exemplos 3.10, 4.1, a equival^encia de
homo-topia
haplicadaasarestasa,bde produzpalavrascompot^enciassomente
positivas portanto, iterando, as palavras h n (a), h n (b) apresentam somente
expoentes positivos,mostrando quen~ao regridem,con rmandoque H
0
e incompressvel (ver Exemplo 3.10).
Defato,osExemplos3.10,4.1jatinhamfatordecrescimentominimal
logo H
0
tinhaque ser incompressvel.
Exemplo 4.6. Voltamos aos Exemplos 3.10, 4.1 e consideramos o mesmo
automor smog: H!H onde H temamesmaestrutura dealcas dadapor
E =fA;Bg. Aqui, porem, vamos usar um outro representante daclasse de
g, de formaque g 1
( )seja como naFigura 4.1.
a b H0 H0 H1 g(A) g(B) A B g
Figura4.1: Umnovo representanteparag,produzindoumfator de crescimento
quen~aoe minimal.
Veri camos facilmenteque hedada por: a7!b 1 bab b 7!bab:
Para essa escolha de g (na classe de isotopia) amatriz de incid^enciae
M(E)=M( ) T = 1 3 1 2 ! ;
cujofator de crescimentoe
(E)= 3+ p 13 2 :
Comon~aoeminimalhapossibilidadede H
0
sercompressvel.Defatoo
e,comoveremosmaisadiante(Exemplo4.12).Pelomomentonotamosqueo
caminho
h(a)=b 1
babregride,como previstopeloLema4.4. Emverdade
asregress~oes querealmentenosinteressam paraacharumacompress~aos~ao:
h 2 (a)=bb 1 a 1 b 1 cbbabcbb 1 babcbbabc h 2 (b)=bbabcbb 1 babcbbabc;
como veremos noExemplo 4.12abaixo.
Antes de desenvolvermos mais oExemplo 4.6acima,voltamosafazer
considerac~oes gerais. Em [40], Oertel desenvolve seu procedimento para
reduzirofatorde crescimentoapartirdeum nulogono.Emnossaproposta,
que privilegia e suas imagens por f 1
, e mais natural considerarmos
monogonos. O motivo basico e que a dualisac~ao de monogono produz um
caminho regressor. A recproca n~ao e verdadeira: ha caminhos regressores
cujadualisac~aon~ao produz monogonos.
Exemplo 4.7. Continuando o Exemplo 4.6, relembramos que o caminho
h(a)=b 1
babregride.Voltamosaoquadrodualeconsideramosaconstruc~ao
da superfcie rami cada B a partir das imagens g(E) H
1
interceptando
H
0
nas suas1-alcas.Devemos ent~aoveraFigura4.1representando H
1 com
osistemade discosg(E)enquantoH
0
euma vizinhancadografo.N~aofosse
pelocaminho
h(b),queseentrelacacomapartede
h(a)queregride,teriamos
um monogono emH
1
. Oentrelacamento,porem, obstrui omonogono.
Vemos, ent~ao,que nem todocaminho regressore interessante.
De nic~ao 4.8. Dizemos que um caminho regressor h n (e i ) e livre se n~ao
estiver entrelacado, i.e., se houver um meio-disco (D;
0 ; 1 ) tal que D\ h n ( ) = 0 , D\E = 1
. Dizemos que um tal disco e um monogono para
h n
(e
i
). Se n~ao houver monogonos para h n
(e
i
) dizemos que o caminho esta
obstruido.
Observac~ao. A necessidade dessa de nic~ao captura a diferenca entre
auto-mor smos de grupos livres ([2]) ou automor smos de superfcies ([3]) e os
automor smosde cuboscom alcas. Nemem [2], onde se lidam com classes
de homotopia, nem em [3], situac~ao semelhante a nossa mas em dimens~ao
2,oscaminhoregressoresobstruidos s~aorelevantes.Essa diferencae
funda-mental:em um certosentido esseeomotivopeloqualosautomor smosde
cubos com alcas s~ao mais ricos e difceis de se estudar. Certamente esse e
o motivo pelo qualessas tecnicas permitemsucesso bem mais limitadoem
nosso caso.
E claro que ha uma associac~ao bijetoraentre monogonos para B (ver
Sec~ao2.7.2)ecaminhos regressoreslivres(oquejusti canossa de nic~aode
monogonoacima). Em[40]se demonstraquea exist^encia de um monogono
(logo de um caminho livre) implica a exist^encia de um nulogono (logo a
laminac~ao n~ao goza da propriedade de incompressibilidade). Mostraremos
abaixoquearecprocaeverdadeirasesupomosque H 0 eincompressvel emH 1 H 0
,deformaqueateoriade[40]podeserdesenvolvidaconsiderando
caminhos regressores livres e monogonos em vez de nulogonos. Devemos
notar,porem,quetalexig^enciaenaturalmentesatisfeita:sempreprecisamos
\calcular"aomenos umiteradode h, deformaque \(H
1
H
0
)deveser,
sempre,bem entendido. Deagora emdiantesuporemosessa hipotese nessa
sec~ao.
Lema 4.9. Suponha que
H
0
seja incompressvelem H
1 . Se H 0 for
compressvel ent~ao algum
h n
(e
i
) sera caminho regressor livre.
Demonstrac~ao. Como no Lema 4.4 temos uma bola B bordada pelo disco
compressor D e um disco D 0 E j 2 E tal que B\h n ( ) contem um arco
quen~ao contem nenhum vertice de (ver Figura4.2). Esse arco e usado
para se achar a regress~ao: provamos no Lema 4.4 que h n (e l ) implica que h n (e l
)regride. Vamos mostrarque
h n
(e
l
)ecaminhoregressor livre.
H n D D 0 B
Figura 4.2: A exist^encia de um disco compressor implica que ha um caminho
regressorlivre.
Consideremos M = B H
n
, relembrando que H
n
deve ser visto
como uma vizinhanca de h n ( ). Seja A (@H n \B) a componente que borda a vizinhanca de .
E claro que A e um anel. Aceitemos
temporaria-menteo seguinte fato:
A rmac~ao 4.10. Asuperfcie Ae@-compressvelemB porummeio-disco
(; 0 ; ) tal que \H n = 0 A.
Da a rmac~ao tomamos o meio-disco (; 0 ; ) @-compressor para A, com 0 A e @B H n . Mas @B = D[D 0 e, como D 0 e um disco,
podemos alterar por uma isotopia de tal forma que \D 0 = ;, donde D H n
(verFigura4.3).Agora ca simplesacharum monogonopara
usando : e isotopico a 0 . 0 A D 0
Figura 4.3: Omeio-discocompressor (; 0
; ).
A A rmac~ao 4.10 seguira facilmente do seguinte lema tecnico mais
Lema 4.11. Suponha que
H
0
seja incompressvel emH
1 H 0 . Se C e uma componente de \ H n
ent~ao, para todo arco essencial @H
0 \C,
existe meio-disco (; ; ) tal que C H 0 e \(@H 0 \C)= .
Demonstrac~ao. Mostraremos, inicialmente, o lema no caso n = 1, i.e.,
quando C e uma componente de
\
H
1
. Nossa meta sera consuir uma
estrutura de produto S 0 I em C H 0
de talforma que:
{ @H 0 \CS 0 f0g, { todacomponente de (S 0 f0g) @H 0 intercepta @(S 0 f0g).
Assim, dado um arco essencial (@H
0
)\C,ele pode ser estendido
para um arco 0 propriamente mergulhado em S 0 f0g de forma que 0 \(@H 0 )\C = .
E claro,ent~ao,que= 0
I satisfaz aspropriedades
desejadas.
ComecamosestudandoocasodeCestarcontidaemuma1-alcadeH
1 .
Nessa situac~ao, a estrutura de produto da alca restringe a uma estrutura
de produto em (C H 0 ) ' S 0 I onde S 0
f0g e uma folha de bordo
de \(H
1
H
0
). Nessa estrutura de produto (@H
0
)\C consiste de uma
uni~aode aneisverticais,componentesde (@S
0 )I. Eclaroque(@H 0 )\C e
isotopico,porumaisotopiaambiente,aumasuperfcieemS
0
f0g.Usamos
talisotopiapara alterara estrutura de produto emC
H
0 .
E facilverque
@H
0
\CS
0
f0g satisfaz as propriedadesdesejadas.
Ooutrocaso,maistrabalhoso,ocorrequandoCeuma0-alcadeH
1 .A
ideiasera, grosseiramente, ade comecar com a estrutura produto can^onica
emumavizinhancade (@H
1
)\C eusa-laparaconstruir estruturasproduto
emC
H
t
quandotdecresce,atechegarat=0.Aquiseraimportantequeas
folhasde\(C
H
0
)estejamemposic~aodeMorse(semcentros)emrelac~ao
aestruturadeprodutocan^onicaemH
1
H
0
.Enquantotn~aocruzarumvalor
singular,podemosdescer aestrutura de produto sem problemas.Quando t
cruzar um valor singular signi cara que @H
t
cruzou uma sela de , sendo
necessarias algumas operac~oes para construir uma estrutura de produto
em C
H
t
. O argumento sera, essencialmente, um argumento indutivo.
Alertamos o leitor para o seguinte inconveniente tecnico: \H
1
tem uma
in nidade de folhas mas que est~ao sujeitas a uma relac~ao de equival^encia
com nitas classes (uma para cada disco de f(E)). Se o argumento sera
conduzido utilizando , as ideias podem car mais simples se o leitor
identi caressas folhas,imaginandof(E) emvez de .
Introduzimosaseguintede nic~ao:sejaP uma variedade compactade
dimens~ao 3, com bordo, e seja S @P. Suponhamos que P admita uma
0
1. S S 0 f0g e que 2. todacomponente de (S 0 f0g) S intercepta @(S 0 f0g).
Ent~ao dizemos que o par (P;S) admite uma estrutura de produto
conve-niente. Seja C t =C H t
, 0t <1.Nossa metaseraachar, para uma 0-alca
C e cada valorregulart 2[0;1),uma estrutura de produto convenienteem
(C
t ;(@H
t
)\C).
Conforme esbocamos, consideraremos a estrutura de produto padr~ao
em H
1
H
0
, o que determina uma func~ao altura h: (H
1
H
0
) ! I por
projec~ao.Vamos considerarf(E) H 0 em(H 1 H 0
),quepodeser colocado
em posic~ao de Morse de forma que os pontos crticos sejam todos selas e
em alturas distintas. Como \(H
1
H
0
) esta de forma natural em uma
vizinhanca N(f(E)), um ponto de sela p
i
de f(E) em altura s
i
determina
uma famlia a um par^ametro de selas de . Vamos supor que famlias
distintas est~ao em intervalos de alturas disjuntos. Mais precisamente, da
famlia associada a p
i
, seja p
i
a mais baixa de todas as selas e p +
i
a mais
alta, donde a famlia esta em altura V
i = [v i ;v + i ] = [h(p i );h(p + i )], que
chamamos de o intervalo singular da famlia. Vamos supor que, se p
i , p
j
s~ao selas distintas de f(E), ent~ao V
i \V
j
= ;. Mencionamos que ha uma
quantidade nitade taisfamlias.
Fixada uma famlia de selas de ndice i, consideramos os seguintes
objetos (representados na Figura 4.4): sejam F a folheac~ao produto de
H
1
H
0
porsuperfcies (com orientac~aotransversal induzidaporI) eU
i a
carta folheada contendo p +
i
. Podemos supor que p
i 2 U i . As coordenadas de Morse locais em p i
determinam o arco can^onico (na folha L que
contem p
i
) curvando para baixo. Similarmente, temos um arco can^onico
+ (na folha L + contendo p + i
) curvando para cima. Consideramostambem
um arco
i
: I ! U
i
transversal a F (seguindo a orientac~ao transversal)
passando por todas as selas da famlia i, com (0) = p
i
e (1) = p +
i .
Usaremosessas construc~oes logoadiante.
Diremos que um valor regular t e livre se t 2= V
i
para todo intervalo
singularV
i
.Caso contrarioe dito cercado.
Se um valor regular livre t < 1 estiver su cientemente proximo de 1
ent~ao n~ao ha valores singulares em [t;1], portanto \(H
1
H
0
) consiste
de aneis isotopicos a aneis verticais, donde C
t
admite uma estrutura de
produto.
Ebemclaroque,nessecaso,(C
t ;(@H
t
)\C)admiteuma estrutura
de produto conveniente.
+ p + i p i L + L U i
Figura4.4: Afamliade sela dendiceina carta folheadaU
i .
Passamos a demonstrac~ao do passo de induc~ao. Suponha que t e
valor regular e que (C
t ;(@H
t
) \ C) admita uma estrutura de produto
conveniente. Vamos mostrar que, se t 0
< t tambem for regular com [t 0
;t]
interceptando exatamente uma extremo v +
i , V
i
de um intervalo singular
V i , ent~ao (C t 0 ;(@H t 0
) \ C) tambem admite uma estrutura de produto
conveniente. Hadois casos a serem considerados:
1. t e valorregular livre.
Seja V
i
o intervalo singular abaixo de t que seja mais alto (i.e., se
v e um valor crtico e v > v + i ent~ao v > t). Se V i = ; n~ao existe
valorsingular em [0;t] e,portanto, (C
0 ;(@H
0
)\C) admite estrutura
de produto conveniente, completandoa demonstrac~aono caso n =1.
Suponha, ent~ao, que V
1
6= ; e seja t 0
2 V
i
um valor regular cercado.
Vamosmostrarque(C
t 0
;(@H
t 0
)\C)admiteumaestruturadeproduto
conveniente.
Inicialmente, consideramos toda a construc~ao feita na carta folheada
U
i
. Podemos supor que @ +
@H
t
. Notamos, tambem, que se
0 < s < 1 ent~ao i (s) 2= C: de fato, i (s) pertence ao interior de uma 1-alca de H 1
, que n~ao intercepta C (estamos supondo que C e
uma 0-alca). Ha dois sub-casos a serem considerados:
(a) (1) 2= C
Nesse caso a famlia de selas n~ao alterara a topologia de
(C ;(@H)\C):podemossuporque(\h 1
[t 0
;t]) Ueverticalna
estrutura de produto,donde aestrutura de produto conveniente
em (C
t ;(@H
t
)\C) induz estrutura de produto conveniente em
(C t 0 ;(@H t 0 )\C) (b) (1)2C Nesse caso, C t 0 e homeomorfo a C t
mas o mesmo n~ao se aplica
a (@H t 0)\C e (@H t )\C. Na verdade (@H t 0)\C e homeomorfo
a seguinte superfcie S (@H
t
) \ C: seja o arco obtido
projetando + verticalmente em @H t . De nimos S = (@H t )\ C t N().
Eclaroqueopar(C
t
;S)tambemadmiteestruturade
produto conveniente. Mas (C
t ;S)e homeomorfo a(C t 0 ;(@H t 0 )\
C), induzindo neste uma estrutura de produto conveniente.
Isso completa oestudo do casoem que tevalorregularlivre.
2. t e valorregular cercado.
Seja V i tal que t 2 V i . Existe t 0 < v i
valor regular livre com [t 0
;t]
contendo exatamente um valor extremo de algum intervalo singular
V
j
(exatamentev
i
).Consideramosnossaconstruc~aonacartafolheada
U
i
epodemossuporque@ @H
t 0
.Nessecaso,tambem,se0<s<1
ent~ao
i
(s) 2= C (o argumento e o mesmo do outro caso). Ha,
novamente, dois sub-casos aserem considerados:
(a) (0)2= C
Segue como em 1.(a).
(b) (0)2C Nesse caso C t e C t 0
n~ao s~ao homeomorfos: seja o arco obtido
pelaprojec~aode em@H
t 0
.Consideramosomeio-discovertical
(; ;). E claro que (;@) (C t 0 ;@C t 0 ). Consideramos M = C t 0
N() e a superfcie S @M de nida por S =
(@H
t 0)\C)
N().Segueque(M;S)eisotopicoa(C
t ;(@H
t )\C),
donde (M;S) admite estrutura de produto conveniente.
Maspodemosdar aN() umaestrutura de 1-alca(de dimens~ao
3), que restringe a uma estrutura de 1-alca(de dimens~ao2) em
N() @N(). Segue que (C t 0 ;(@H t 0 )\C) e obtido de (M;S)
pelaadic~ao dopar de 1-alcas (N();N()).
Agora damos a N() uma estrutura extra de produto N() '
N()I (ondeidenti camosN()f0g com N()@N()).
Podemos, talvez modi cando a estrutura de produto em M,
determinando estrutura de produto emC t 0 'S t 0 I (onde S t 0 e obtida de S t pela adic~ao de N()).
E imediato pela construc~ao
que (@H t 0) \C S t 0 f0g:
Efacil,tambem,veri carquetodacomponentedeS
t 0 f0g @H t 0 intercepta@(S t 0 f0g),donde(C t 0 ;(@H t 0 )\C)admite estrutura de produto conveniente.
Isso completa a analise de casos, que usamos para mostrar que
(C
0 ;(@H
0
)\C) admite estrutura de produto conveniente: podemos tomar
uma sequ^encia 1 > t
1 > t 2 > > t k > 0 onde t i
alterna entre ser valor
regular livre e valor regular cercado. Se tomamos uma tal sequ^encia de
maiortamanhopossvelent~aoteraexatamenteum termoemcada intervalo
singulareemcadaintervalocomplementar.Oestudodoscasosacimamostra
como passar de t i para t i+1 , donde todo(C t i ;(@H t i )\C) admite estrutura
de produto conveniente, em particular quando i = k. Mas, conforme ja
argumentamosnocaso1,issoimplicaque(C
0 ;(@H
0
)\C)admiteestrutura
de produto conveniente.
Isso completa a demonstrac~aodo lema nocaso de n =1.
Provamos o caso geral por induc~ao. Suponhamos que o lema vale
para n. Sejam C uma componente de
\ H n+1 e um arco essencial em (@H 0
)\C. Por hipotese existe meio-disco (; ; ) talque:
(;@) C H 0 ;@(C H 0 ) ; com @\@H 0 = .
Mas, a menos de isotopia, \ ((@H
n ) \ C) consiste de arcos i essenciais em (@H n )\C. Aplicando f n obtemos f n ( i ) uma colec~ao de arcos essenciais em (@H 0 )\f n (C). Mas f n (C) e uma componente de \ H 1
,ondejaprovamosolema.Portanto,paracadaf n ( i ),construimos orespectivomeio-disco i emf n
(C).Porcorteecolagempadr~ao,podemos
supor que os
i
s~ao disjuntos dois-a-dois. Levamos os meio-discos para
H n+1 H n , tomando f n ( i
). Por construc~ao, o disco 0 = S i f n ( i ) e
ummeio-discocomaspropriedadesdesejadas,completandoademonstrac~ao
para n+1.
Observac~ao. Demonstramos o lema acima para completar a prova do
Lema 4.9. Ressaltamos, porem, que seu interesseemais geral: eledescreve
como @H intercepta uma 0-alca de H para m < n, mostrando que essa
intersec~aoe muito bem comportada. De fato, voltaremos a recorrer a essa
descric~aomais adiantenadissertac~ao(Sec~ao 4.2).
Demonstrac~ao da A rmac~ao 4.10. Seja 0
Aqualquerarcopropriamente
mergulhado eessenciale aplicamoso Lema 4.11
A motivac~ao dos ultimos resultados foi o estudo de caminhos
regres-sores livres. Mostramos, no Lema 4.9, que a laminac~ao n~ao goza da
propriedade de incompressibilidade se e somente se existem caminhos
re-gressores livres. Concentraremos, ent~ao, nossa atenc~ao a procura de tais
caminhos.
Exemplo 4.12. No Exemplo 4.7 vimos que o caminho regressor
h(a) =
b 1
bab n~ao e livre, de forma que, para acharmos um monogono, devemos
considerar iteradosmaiores de
h. No Exemplo 4.6achamos aspalavras
h h a 7 ! b 1 ba b 7 ! bb 1 a 1 b 1 cbbabcbb 1 babcbbabc b 7 ! ba b 7 ! bbabcbb 1 babcbbabc;
onde destacamos assequ^encias de letras que ser~ao relevantes para seachar
ummonogono.NaFigura4.5podemosidenti carosarcosdeh(a),h(b)que
s~aolevadas a regress~aode h 2
(a), h 2
(b) (ver tambema Figura4.1).
H1
g(A) g(B)
Figura 4.5: A representac~ao, em H
1
,dos trechos de 1-alcas de H
0
que, em H
2 ,
determinar~ao umacompress~ao.
De fato,seconsideramososcaminhos h 2
(a),h 2
(b) emumavizinhanca
de h( ), e facil de se ver que as regress~oes destacadas s~ao livres (ver
Figura4.6).
Observac~ao. Aqui precisamos tomar cuidado com a forma como
identi -camosa0-alcadeH
0
com a0-alcade H
1
.Nossa escolhade representac~ao,
respeitandoa estrutura de produto de H (ver Exemplos 3.1, 3.10) garante
H 0 H 1 H2 g 2 (A) g 2 (B) Figura 4.6: Odiscog 2 (B)ecompressvelem H 2 H 0 .
Gostariamos de poder realizar o cancelamento sugerido pelas
regress~oes livres com uma isotopia (no quadro dual das guras, isso e
equivalentea realizar um desvio, vide Sec~ao 2.7). Porem, elas so aparecem
seconsideramosh 2
.Issoeum inconveniente: qualqueroperac~aoque
realize-mos deve ser equivariante. Nossa meta sera, ent~ao,modi car de formaa
obteruma regress~aolivreemum unicopasso, permitindoque umaisotopia
de h realize o cancelamento sugeridopelaregress~ao de forma equivariante,
reduzindo o fatorde crescimento.
Observac~ao. A exist^encia do caminho regressor livre implica a exist^encia
de uma disco compressor para . Esse quadro e exatamente o dual e
equivari^ancia traz o mesmo problema. As tecnicas desenvolvidas em [40]
visam modi car o sistema E de forma que uma compress~ao apareca em
H
1 H
0
, portantouma isotopiaequivariantepode ser realizada, reduzindo
o fatorde crescimento.Em verdade, astecnicas queusamos aqui s~ao duais
as tecnicas de [40]. Notamos que as semelhancas com as tecnicas de [2, 3]
s~aoclaras se seguimosnossa abordagem.
Continuamos subdividindoas arestas a, b2 , introduzindo um novo
verticeemcadaumaconformedescreveremos:sejavoverticede .Notamos
que
h 1
(v) consiste de 6 pontos: o proprio vertice v, 3 pontos no interior
da aresta a e dois no interior da aresta b. Seguindo a orientac~ao de a,
consideramosoprimeirotalpontoeoacrescentamoscomovertice,dividindo
aarestaemduas outras,quedenominaremos porce a 0
,nessa ordem,como
mostraa Figura 4.7b).
Representaremos essa divis~ao por a = ca 0
. Pela escolha do vertice, c
e levada por h em b 1 e a 0
7! bab. Similarmente, subdividimos a aresta b,
0
a)
b)
c)
a b a 0 a 0 c d d 0 b 0 b 0Figura 4.7: O processo de dobra: a) o grafo original ; b) por subdivis~ao das
arestas obtem-se 0
;c)a dobra e realizadaidenti candoc 1 com d ,obtendo-se 00 . verque h age como b 0
7! bae d 7!b. Temos, em resumo,um novo grafo 0 com arestas a 0 , b 0 ,c ed, com
h agindo nelas daseguinte forma:
a 0 7! bab = b 0 dca 0 b 0 d b 0 7! ba = b 0 dca 0 c 7! b 1 = d 1 (b 0 ) 1 d 7! b = b 0 d: Como c 1 e d s~ao levadados por h ao mesmo caminho b 0 d, podemos
identi caressas duas arestasporuma dobra,obtendo da identi cac~ao uma
unica aresta d 0
, comoindica a Figura4.7c).
Observac~ao. No quadro dual de [40] isso corresponde a realizar um
down-move.
Assimobtemosum novografo 00 comtr^esarestasa 0 ,b 0 ed 0 ,nasquais
h age daseguinteforma:
a 0 7!b 0 d 0 (d 0 ) 1 a 0 b 0 d 0 b 0 7!b 0 d 0 (d 0 ) 1 a 0 d 0 7!b 0 d 0 :
Pelosargumentosjadadosanteriormente,asregress~oesdestacadass~aolivres
e podemos realizaro cancelamento:
a 0 7!b 0 a 0 b 0 d 0 b 0 7!b 0 a 0 d 0 7!b 0 d 0 :
Observac~ao. Noquadro duala subdivis~aocorresponde aum splite adobra
corresponde a se tomar a \band sum" dos discos A, B, obtendo um novo
0
como A 0 , B 0 e temos E 0 = fA 0 ;B 0 ;D 0
g, duais as respectivas arestas de 00
.
Assim,vemosna guraque,aposrealizadasessas operac~oes,g(E 0
) H
0 n~ao
e mais incompressvel emH
1 . a 0 b 0 d 0 H 0 H 0 H 1 g(A 0 ) g(B 0 ) g(D 0 ) D 0 A 0 B 0 g
Figura 4.8: O quadro dual: depois de realizado o down-move vemos que a
laminac~aoe compressvelemH
1 H
0 .
A Figura 4.9mostra asituac~ao nal, depois de realizadao desvio.
H0 H1 g(A 0 ) g(B 0 ) g(D 0 )
Figura4.9: Aposrealizadaa diversion.
Voltando a nossa abordagemnotamos que, como no Exemplo 4.5, as
palavrasproduzidaspor
hapresentamsomentepot^enciaspositivasdea 0 ,b 0 e d 0
,portantonenhumiterado
h n
produziracaminhosregressores,implicando
a incompressibilidadede . Observamos que a matrizde incid^encia de E e
dada por: M(E)=M( ) T = 0 B @ 1 2 1 1 1 0 0 1 1 1 C A ;
cujofator de crescimentoe
(E)= 3+
p
5
2
que, como ja vimos, e o fator de crescimento minimal de g: H ! H
(Exemplo 3.10).
4.2
A parada: o primeiro nulogono de uma laminac~ao compressvel n~ao
pode ser muito alto.
Nos exemplos analisados na Sec~ao 4.1, concluimos que as
respecti-vas laminac~oes gozavam da propriedade de incompressibilidade por
carac-tersticas especiais: seus fatores de crescimento eram mnimos, dados pelo
fatorde crescimentode
1
pelainversa ou, analogamente, osrespectivos
h n
n~aoproduziamcaminhosregressores.Isson~aoeregrageral(Exemplo3.16).
Como garantir que uma laminac~ao goza da propriedade de
incom-pressibilidade? Nessa sec~aomostramos que,se
H
0
for compressvelem
H
H
0
, ent~ao existe um n 2 N (dependendo somente do g^enero de H e
do numero de discos em E) tal que H 0 e compressvel em H n H 0 . A
procura pornulogonos se torna,ent~ao, um processo nito.
Para enunciar esse resultado, o principal dessa sec~ao, precisamos de
duas de nic~oes sobre superfcies emH.
De nic~ao 4.13. Seja F H uma superfcies mergulhada. A altura
h(F)2[0;1] de F eo numerode @H
i
distintosque F intercepta.
Ade nic~aodecomplexidadedeumasuperfciedadaabaixoebastante
primitivamasboaosu cienteparasuperfciesplanares.Elaserausadapara
seachar um disco compressor (Lemas 4.27, 4.31 e4.32).
De nic~ao4.14. SejaF umasuperfciecompactaeplanar.A complexidade
C(F) de F ede nida como:
C(F)=(# componentes do bordo de F) 2(# componentes de F):
Agora jaestamosequipadospara enunciaroresultado principaldessa
sec~ao: Teorema 4.15. Se H 0 e compressvel em H H 0 ent~ao ha um disco compressor D satisfazendo: h(D)C(T)+1;
onde a superfcie planar T e de nida como T =@H
N(E).
A Proposic~ao4.15determina,portanto,uma condic~aode paradapara
a procura por nulogonos: se nenhum disco compressor for achado em H
n
para nC(T)+2ent~ao n~ao hanenhum taldisco em H.
A seguir daremos um esboco daprovado teorema.
A variedade ambientesera o completamentode H , M = \ H ; quee,essencialmente,
H unidocomoconjunto ^
das folhasdebordode
(videSec~ao2.2).Portanto,M ef-invariante, n~aoecompacta e@M = ^
.
A pergunta sobre a incompressibilidade de H
0
se traduz diretamente
como a quest~ao da exist^encia de discos compressores para @M = ^
em
M H
0 .
A ideia da prova e, grosseiramente, a seguinte: suponhamos que ha
discos compressores e escolhamos um, diga-se D. Se h(D) C(T)+1, o
teoremaestaprovado.Sen~ao,usamosDpararealizarcirurgiasem@H
i \M:
1. comecamos com F 0 = S i0 @H i \M; 2. se F j
\D 6=; ent~ao, por uma isotopia de D, podemos supor que F j
corta D em meio-discos. Escolhemos um tal meio-disco que seja
mais interno;
3. realizamos uma compress~ao ao bordo em F j
ao longo de de forma
equivarianteobtendo F j+1
;
4. se necessario realizamos uma isotopia em D de forma que este
inter-cepte F j+1
essencialmente;
5. voltamos aopasso 2, substituindo F j por F j+1 . Enquanto F j
interceptar D (passo 2) continuamos realizando as
cirurgiasdiscritas nopasso 3, obtendo F j+1
de F j
(vejaFigura 4.10).
Cada cirurgiareduziraacomplexidadedas superfcies,que,emalgum
momento,chegaraa 1.Issoimplicaquealgumacomponenteconexadessas
superfcies e um disco (Lema 4.27). Como todas as operac~oes s~ao feitasde
formaequivariante,podemosescolheroprimeirotaldiscoquen~aointercepta
H
0
. Se formos cuidadosos, podemos provar que esse disco e essencial em
M H
0
, sendo, portanto, um disco compressor de @M. Vamos manter
estimativasdas alturas das superfcies ao longo doprocesso, de formaque,
quando acharmos esse disco compressor, teremos um limite superior para
sua altura.
F 0 F 1 F 2 @M @H 0 @H 1 @H 1 D
Figura4.10:Oprocedimentodascirurgias.Cadasetarepresentaumacompress~ao
aobordorealizadaao longodeummeio-discocortado de D.Ascompress~oess~ao
realizadas deforma equivariante
Essa descric~ao e bastante simpli cada, ha varios detalhes dos quais
precisaremos cuidar. Mantendo a estrategia geral em mente, adiantamos
que uma boaparte dotrabalho tera uma das duas seguintes func~oes:
1. descrever as propriedades boas de F 0
que s~ao preservadas pelas
cirurgias;
2. controlarasalturasdassuperfciesintermediariaseoqu~aopertoest~ao
de ter um disco como componente.
No esprito dotem 1acima, discutiremosbrevementecomo H
i
inter-cepta M. Comecamos introduzindo a seguinte de nic~ao.
De nic~ao 4.16. Um subconjunto A M e limitado se existir k 2 Z tal
que A(H
k
\M). Caso contrarioelee dito ilimitado.
E imediato que H
i
\M e limitado.
E facil ver, tambem, que H
i \M
temumain nidadede componentescompactas,quasetodasdaformaDI
(onde D e um disco, D f0;1g @M e (@D) I @H
i
), sendo as
excess~oes emnumero nito. Alemdisso, cada uma das componentes e uma
bolatopologica fechada.
Analogamente, @H
i
\M euma superfciepropriamentemergulhadae
limitada.Temuma in nidadede componentes,todas compactase,amenos
de uma quantidade nita, todas aneis. Podemos, portanto, generalizar a
de nic~aode complexidadede umasuperfcie(de nic~ao4.14,quepedequea
superfciesejacompacta)paraseaplicara@H
i
\M:complexidadeeaditiva
com uni~ao disjuntae aneis t^emcomplexidade zero.
Quando demos o esboco da estrategia, comecamos considerando
S
i0 @H
i
\M. Na verdade, se trabalhamos com F 0 = S i2Z @H i \M, que
emais simetrico,a notac~aoeargumentos cammais levese claros. E claro quef(F 0 )=F 0
, motivandoa seguinte de nic~ao mais geral.
De nic~ao 4.17. Uma superfcie equivariante F em M e uma sequ^encia com dois ns F = (:::;F 1 ;F 0 ;F 1
;:::) de superfcies propriamente
mer-gulhadas, limitadase disjuntasdois a dois F
i M tais que: F i+1 =f(F i ): Cada F i
eum nvelde F e poderemos nos referir a F
i
comoo nvel i de F.
Dizemos que F e planar se F
i
o for. Podemos extender a noc~ao de
complexidadeparaseaplicarassuperfcies equivariantesplanaresde nindo
C(F) = C(F
i
) (notamos novamente que faz sentido considerar C(F
i
) desde
que, a menos uma quantidade nita, todas as componentes de F
i
sejam
aneis).
Abaixo estendemos ade nic~aode superfcie incompressvel para uma
superfcie equivariante F. Alertamos o leitor para um abuso de notac~ao:
quando nos referimos a F como um conjuntoqueremos dizer S
i F
i .
De nic~ao 4.18. Uma superfcie equivariante F = (:::;F
1 ;F 0 ;F 1 ;:::)
em M e incompressvel se, para todo disco mergulhado D M com
D\F =@D, existir um disco D 0
F talque @D 0
=@D.
Observac~ao. Notamos que F pode ser incompressvel em M mesmo com
suas componentes F
i
sendo compressveis: um disco compressor D para F
i
pode deixarde determinarum disco compressorpara F se interceptar uma
in nidade de outros F
j
(de forma que n~ao exista uma curva fechada em
D\F que seja mais ouinterior:veja Figura4.11).
F
i1
F
i
D
Figura4.11: Umdiscocompressor D paraF
i
que n~aoe compressor paraF
Todas as superfcies equivariantes com as quais lidaremos ser~ao
planares e incompressveis. Seja ent~ao F uma tal superfcie equivariante.
Suponhamostambem que cada F
i
intercepte todas as componentes de M.
ComoF
i
elimitadaelaestacontidaemalgumH
k
. SejaS umacomponente
deF
i
contidaemumacomponenteB deH
k
\M.Essa componenteB euma
bola,portantoSasepara.Istoeverdadeparaqualquervalorde k
arbitrari-amente grande ent~ao, em verdade, S separa uma componente de M. Seja
C o fecho de uma componente de M F
i
(alertamos que esse fecho deve
ser tomado em M,n~ao emH).Algumas taiscomponentes C s~ao limitadas
e outras n~ao.A uni~ao das ilimitadas sera um subconjunto de M fechado e
ilimitado,chamadode exteriorde F
i
,denotado porOut(F
i
).Ofechodeseu
complementoM Out(F
i
)eum subconjuntolimitadochamadode interior
de F
i
,denotado porIn(F
i ).
Lema 4.19. Se M 0
for uma componente de M ent~ao Out(F
i ) \ M
0
e
fechado,conexo e ilimitado.
Isso da uma caracterizac~ao de Out(F
i )\M 0 : se o fecho C de uma componentede M 0 F i
for ilimitado ent~ao C =Out(F
i )\M
0
.
Demonstrac~ao. Oquen~aoeimediatodade nic~aoesomentequeOut(F
i )\ M 0 econexo. PorF i
ser limitadaelaestacontida emalgumH
n e,assim,M 0 H n Out(F i
). Alem disso qualquer componente de Out(F
i ) deve interceptar M 0 H n (ja que Out(F i ) e ilimitado). Mas M 0 H n = (M H n )\M 0
e conexo,portanto Out(F
i )\M
0
tambem oe.
A conclus~ao nal segue imediatamente.
Grande parte da regularidade das superfcies equivariantes que ser~ao
consideradasedescrita pelade nic~aoabaixo.
De nic~ao 4.20. Seja F = (:::;F
i ;F
i+1
;:::) uma superfcie equivariante
planar.Suponhaque,amenosdeumaquantidade nita,ascomponentesde
cada F
i
s~ao aneis. Se, para i<k, asseguintes condic~oes foremsatisfeitas:
1. ascomponentes de In(F i ) s~aobolas, 2. encadeamento: In(F i ) In(F k
) (que e equivalente a Out(F
k ) Out(F i )), 3. In(F i
)intercepta todas as componentes de In(F
k ), 4. F i =In(F i )\Out(F i ),
ent~aodizemos queF e regular.
Relembrandooesbocodademonstrac~ao,usaremos umdisco
compres-sordalaminac~aopararealizarcompress~oes aobordo de formaequivariante
em uma superfcieequivariante. Issonos levaa seguintede nic~ao.
Remete-mos o leitora Sec~ao2.1 paraa de nic~aode meio-discoe meio-disco
bordo-compressor.
De nic~ao 4.21. Dadauma superfcieequivarianteF =(:::;F
i ;F
i+1 ;:::),
ummeio-discobordo-compressorequivarianteparaF emMeumasequ^encia
com dois ns = (:::;
i ;
i+1
;:::) de meio-discos disjuntos dois a dois
satisfazendo: 1. i \F = i F i e i \@M = i , 2. i+1 =f( i )e 3. i
e meio-disco @-compressor para F = S
i F
i .
Podemos nos referir a como o bordo superior de
i
e a como o
seu bordo inferior.
Uma bordo-compress~ao equivariante de F ao longo de e uma nova
superfcie equivariante F 0 = (:::;F 0 i ;F 0 i+1 ;:::), onde cada F 0 i e obtido de F i
por uma @-compress~ao ao longo de
i
(e claro que F 0
e, de fato, uma
superfcieequivariante).
Considere um meio-disco @-compressor
i para F i .Dizemos que i e bom se: { i In(F i ) ou { i Out(F i ) e i n~aosepara Out(F i ).
Caso o contrario, se
i Out(F i ) e i separar Out(F i ), dizemos que i
e ruim. Um meio-disco @-compressor equivariante e dito bom ou ruim
quando
i
for, respectivamente, bomouruim.
b)
c)
a)
Figura4.12: a) e b) tpicos discosbons;c)tpicodiscoruim.
A distinc~aoentre meio-discosbons eruinsenaturalemnosso quadro.
Se for bom, a respectiva @-compress~ao preservaravarias propriedadesboas
dasuperfcieequivariante. O lema seguinte exempli caisso.
Lema 4.22. Sejam F, F 0
superfcies equivariantes, F 0
obtida de F por
uma bordo-compress~ao equivariante ao longo de um bom meio-disco
{ Se i In(F i ) ent~ao: In(F 0 i )=In(F i ) N( i ); Out(F 0 i )=Out(F i )[N( i ): { Se i Out(F i ) e i n~ao separa Out(F i ) ent~ao: In(F 0 i )=In(F i )[N( i ); Out(F 0 i )=Out(F i ) N( i );
Se F for ainda regular e incompressvel ent~ao F 0
tambem e regular e
incompressvel.
Demonstrac~ao. Dividimosa prova emdois casos como noenunciado:
{
i
In(F
i ).
Provamos inicialmenteasequac~oes qued~aoIn(F 0 i ) eOut(F 0 i )apartir de F e i .
Considere uma componente M 0 de M. Se i * M 0 ent~ao F 0 i \M 0 = F i \M 0
easituac~aoeid^entica emF e F 0 :In(F 0 i )\M 0 =In(F i )\M 0 e Out(F 0 i )\M 0 = Out(F i )\ M 0 . Consequentemente so precisamos
considerar o caso em que
i M 0 . A Figura 4.13 o representa esquematicamente. Out(F i ) In(F i ) @M 0 i N( i ) @N(i)
Figura4.13: Ocaso emque
i
In(F
i )
Notamosque (Out(F
i
)[N(
i
))\M 0
)eo fechode uma componente
de M 0
F 0
i
e, jaque contemoconjuntoilimitadoOut(F
i
),e,porsua
vez, ilimitadotambem. Concluimos,peloLema 4.19, que
Out(F 0 i )=Out(F i )[N( i ):
Da equac~ao acimae dade nic~ao de In(F 0 i ) conclui-se que In(F 0 i )=In(F i ) N( i ):
SeF forincompressvel,provamosqueF 0
tambemoeobservandoque
bordo-compress~oes preservam incompressibilidade. A demonstrac~ao
desse fato segue de forma id^entica a dofato analogo para a de nic~ao
usual de incompressibilidade: se D 0
for um candidato a disco
com-pressor para F 0
, podemos aplicar uma isotopia a D 0
de forma que o
disco n~ao intercepte a copia de
i emF
i
.Podemos, agora,desfazer a
bordo-compress~ao e ter D 0
como candidato a disco compressor para
F.ComoF eincompressvel,existeumdiscoDF
i com@D=@D 0 e D\@ i =;.MasD F 0 i ,mostrando queD 0 n~aoediscocompressor.
Continuamos supondo que F e regular e veri cando cada uma das
condic~oes de regularidade para F 0
.
A primeira segue facilmente da equac~ao In(F 0 i ) = In(F i ) N( i ) demonstradaacima: i
edisco propriamentemergulhado emIn(F
i ),
portantoN(
i
)separa a componente de In(F
i
) que acontem(que e
uma bola)em duas bolas.
Suponhamos de agora emadianteque i<k.
Para a segunda condic~ao, In(F
i ) In(F k ) e k \F i = ; implicam que In(F 0 i )=In(F i ) N( k )In(F i )In(F k ) N( k )=In(F 0 k ); provando encadeamento.
Para a terceira condic~ao usamos, novamente, que In(F
k
) e uni~ao
disjunta de bolas e que
k
separa a componente que intercepta
em duas componentes de In(F 0
k
). Seja B (o fecho de) uma dessas
componentes e S a componente de F 0
k
que esta contida em @B (i.e.
S =@B @M).SeF forumdiscoent~aoB temqueinterceptarIn(F
i )
(para algumi<k)porque
k e um meio-disco bordo-compressor. Porem In(F 0 i ) In(F i
), donde B deve interceptar, portanto conter,
algumacomponente de In(F 0
i
). Isso pode ser generalizado facilmente
para qualquer l < k por uso da segunda condic~ao de regularidade
(encadeamento). Se S n~ao for um disco ent~ao existe um laco n~ao
trivial S bordando um disco mergulhado D B. Como F 0
e
incompress
ivel, esse disco deve interceptar algum F 0
. Em verdade,
deve interceptar qualquer F 0 l (para l <k):se F 0 l
fosse minimalcom a
propriedade D\F 0 l 6= ; ent~ao F 0 l
seria compressvel, mostrando que
n~ao existe tal nvel minimal. Novamente pela segunda condic~ao de
regularidade,segue que D intercepta todo F 0
l
(para l <k).
Finalmente, a quarta condic~ao de regularidade para F 0
segue
direta-mentedamesma condic~aopara F eda formade seobter F 0 i de F i : F 0 i = F i N( i ) [@N( i ); onde @N( i ) =f0;1g i naestrutura de produto de N( i ) (veja Figura4.13). { i Out(F i ) e i n~aosepara Out(F i ).
Como no caso anteror, para se obter In(F 0 i ) e Out(F 0 i ) de F e i ,
precisamos somente considerar a componente M 0 de M que contem i . Out(F i ) In(F i ) @M 0 i N( i ) @N( i ) Figura 4.14: i Out(F i )
OLema 4.19 nos dizque Out(F
i )\M
0
econexo, fechado e ilimitado.
Como N(
i
)e uma bolacompacta, segue que Out(F i ) N( i ) \ M 0
econexo, fechado eilimitado.PeloLema 4.19, novamente:
Out(F 0 i )=Out(F i ) N( i ) eent~ao In(F 0 i )=In(F i )[N( i ):
Se F for incompressvel, a prova da incompressibilidade de F 0
e a
mesmado caso anterior.
SupomosagoraqueF eregulareprovamosamesmapropriedadepara
F 0 . Como In(F i ) e N( i
) s~ao bolas se interceptando em um disco em
seus bordos,sua uni~aoIn(F
i )[N( i )=In(F 0 i
)tambemeumabola,
mostrando aprimeira condic~ao.
Para mostrarasegunda condic~aode regularidade,supomosque i<k
e notamos que In(F
k ) In(F 0 k ). Mas In(F i ) In(F k
) por hipotese
e,tambem, i In(F k ), implicandoque In(F 0 i )=In(F i )[N( i )In(F k )In(F 0 k ); mostrando encadeamento.
Continuamos provando a terceira condic~ao: cada componente de
In(F 0
k
) contemuma componentede In(F
k
) que, por sua vez, contem
uma componente de qualquer In(F
i
) para i < k. Mas, porque
i
In(F
k
), podemos concluir que cada componente de In(F
k
) contem
uma componente de In(F 0
i
) e, consequentemente, cada componente
de In(F 0
k
)contemuma componente de In(F 0
i ).
A quarta condic~aosegue como nocaso anterior.
Lema 4.23. Suponhamos que F seja uma superfcie equivariante em M
e que D M seja um disco propriamente mergulhado interceptando F
transversalmente em arcos. Seja um bom meio-disco bordo-compressor
equivarianteparaF esejaF 0
acompress~aodeF aolongode.Suponhamos
ainda que essa @-compress~ao elimina a intercec~ao de D com algum nvel,
i.e., existe um nvel k tal que D\F
k 6=; mas D\F 0 k =;. { Se i In(F i
) ent~ao k deve ser o nvel mais baixo que D intercepta
(i.e., se i<k ent~ao D\F
i =;);
{ Se
i
estacontidoemeseparaOut(F
i
) ent~ao K deve seronvelmais
alto que D intercepta (i.e., se i>k ent~ao D\F
i =;).
Emtodososcasos,Ddeve interceptar F 0
em,nomaximo,umnvela menos
que F.
Demonstrac~ao. Consideramosos dois casos como noenunciado:
{ Se
i
In(F
i ):
Sejam ondice maximaltalque D\F
m 6=;mas D\F 0 m =;.Ent~ao ouDIn(F 0 m )ouD Out(F 0 m
).O quede fato acontece e oultimo,
porque D intercepta Out(F
m ) Out(F m )[ N( m ) = Out(F 0 m ) (a
ultimaigualdade vindo doLema 4.22).
MasOut(F 0
m
)n~aointercepta F
i
quando i<m (porque nem Out(F
m ) nem N( m ) interceptam) portantoD\F i
=;. Segue ent~aoque m e
{ Se
i
esta contido eme separa Out(F
i ):
Oargumento e analogo aocaso anterior: seja m ondice minimaltal
que D\F m 6= ; mas D\F 0 m =;. Ent~ao D In(F 0 m ). Mas In(F 0 m ) n~aointercepta F i
quando i>m portanto m e o nvel mais alto de F
queD intercepta.
A conclus~ao nal e imediata.
Asde nic~oeselemasaseguirser~aousadasparaseobtercontrolesobre
as alturas das superfcies e para obter condic~oes su cientes para que elas
tenhamum discocomo componente.
De nic~ao 4.24. Ondice de intersec~ao de uma superfcie equivariante F
com um disco D (denotado por I(F;D)),eo numerode nveisdistintosde
F queinterceptamD.
De nic~ao 4.25. Se F e uma superfcie equivariante, d(F) (de down) e o
menor inteiro talque, para todok >d(F),
F
i \@H
(i k) =;:
Similarmente,sejau(F)(deup)omenorinteirotalque,paratodok <u(F),
F
i \@H
(i+k) =;:
Observamos que essas de nic~oes n~aodependem de i.
Lema 4.26. Se F for uma superfcie equivarianteent~ao, para qualquer i:
1. h(F i )=d(F)+u(F)+1; 2. @H (i 1 d(F)) In(F i ) e @H (i+1+u(F)) Out(F i ).
Demonstrac~ao. Segue diretamente dade nic~ao.
Lema 4.27. Seja S uma uni~ao disjunta de superfcies compactas planares
e suponhamos que somente uma quantidade nita dessas n~ao s~ao aneis
(fazendo, ent~ao, sentido considerar C(S)). Se C(S) < 0 ent~ao uma
com-ponente de S e um disco.
Demonstrac~ao. Pelo menos uma componente deve ter menos que duas
(portantouma) componentes de bordo.
Finalmente,completandoapreparac~aoparaoargumento,de nimoso
queentendemosporumdiscointerceptarumasuperfciedeformaessencial.
Sejam D um disco limitado e propriamente mergulhado em M e F uma
superfcie equivariante. Consideremos D \ F e seja C
0
o fecho de uma
componentede D F (n~aonecessariamentemais aointerior).Suponhamos
queC
0
eparalelaaumasubsuperfcieC
1 F i porumprodutoP =CI M com Cf0g=C 0 eCf1g=C 1
. Se P estacontida nofecho de uma
componente de M F ent~ao podemos aplicar uma isotopia a D ao longo
de P e simpli carjD\Fj.
De nic~ao 4.28. Um disco propriamente mergulhado e limitado D
inter-ceptaumasuperfcieequivariantede formaessencial seD\F n~aopodeser
simpli cado pelaoperac~ao descritaacima.
Podemos agora voltar a estrategia geral da prova do Teorema 4.15 e
faz^e-laprecisa.
Seja D um disco compressor para @M em M
H
0
. Inicialmente,
realizamos uma isotopia em D a m de que intercepte ([
i @H
i
) \M de
formaessencial. Em particulartalintersec~ao consistede arcos.Lembramos
que T = @H
N(E) e que o Teorema 4.15 enuncia que ha um disco cuja
altura e menor que ou igual a C(T)+ 1. Se h(D) C(T)+ 1 ent~ao a
demonstrac~aotermina,portanto supomos queh(D)C(T)+2.
SejaF 0 =(:::;F 0 1 ;F 0 0 ;F 0 1
;:::)asuperfcieequivariantede nida por
F 0 i =@H i \M; i2Z: Comecando em F 0
, usaremos D para realizar bordo-compress~oes em F j
,
obtendo F j+1
. Podemos precisar aplicar uma isotopia a D para que este
intercepteF j+1
deformaessencial,porissointroduziremosdiscosisotopicos
D j+1
.
Umargumentoindutivogarantiraalgumaspropriedadesaj,F j eD j , listadasabaixo. a) F j
e uma superfcie equivariante planar;
b) F j
e regulare incompressvel;
c) d(F 0 )+u(F 0 )=0 ed(F j )+u(F j )(j 1) para j 1; d) C(F j )=C(F 0 ) j; e) I(F j ;D j )h(D) j;
f) D j
intercepta F j
de forma essencial.
Suponhamos, ent~ao, quej, F j
eD j
satisfacam todas aspropriedades
a) a f) e que I(F j ;D j ) 1 (logo F j \D j 6= ;). Consideremos um arco F j \D j maisinternoemD j
.Elebordacom@D j
umdisco maisinterno
D 0 D j . Seja F j i 0 o nvel onde D 0 intercepta F j i.e., D 0 \F j = F j i 0 . Tal D 0
e um meio-disco bordo-compressor pela propriedade f). Queremos
escolher um tal meio-disco que seja bom. Se nenhum meio-disco mais ao
interior for bom ent~ao aplicamos uma isotopia a D j
usando a seguinte
a rmac~ao.
A rmac~ao4.29. SeumdiscomaisinternoD 0 D j comrespeitoaF j \D j
forummeio-discobordo-compressorruim(signi candoqueseparaOut(F j i )) ent~aoD j
e isotopicoa umdisco ^
Dquetem um disco maisao interior quee
bom. Alem disso ^
D pode ser escolhido interceptando F j
de forma essencial
e tal que I(F j ; ^ D)=I(F j ;D j ).
Se aceitarmos temporariamente a a rmac~ao (sua demonstrac~ao sera
dadaao nal dasec~ao) substituimos D j
por ^
D semperdadas propriedades
a)a f).Podemos ent~aosupor que odisco mais aointerior D 0
e bom, o que
faremos daqui emdiante.
Consideremos i =f (i i 0 ) (D 0 ), i2Z.
Lema 4.30. A sequ^encia = (:::;
i ; i+1 ;:::) e um bom meio-disco equivariante bordo-compressor F j .
Demonstrac~ao. Veri camosinicialmentequeos
i
s~aodisjuntosdoisadois.
Seja i < k e suponhamos que
i In(F j i ). Como k \ F j i = ; ent~ao k \In(F j i )=;,implicandoque k \ i =;.Ocasoemque i Out(F j i )
e completamenteanalogo.
Cada i eclaramenteum meio-disco; i+1 =f( i
)porde nic~ao;ea
propriedadef) garante quecada meio-disco e bordo-compressor.
E bom pelaescolha de D 0
.
Se realizamosuma bordo-compress~aoequivarianteemF j
ao longode
obtemosumanovasuperfcieequivarianteF j+1
.Mostraremosadiantepor
induc~aoqueF j+1
satisfaz todas aspropriedades a)af).Portantopodemos
continuar aplicandoo argumento enquantoF j
\D6=;,quando faz sentido
a de nic~ao de . Mas a meta e achar um disco compressor logo devemos
interromper oprocesso indutivose F
i
tiver algumdisco como componente.
Dizemosent~aoqueoprocessoparaseF j
\D=;ousealgumF j
i
tem disco
Lema 4.31. O processo indutivo para em algum passo l C(T)+1 e F l
i
tem uma componente quee um disco.
Demonstrac~ao. Cada boa bordo-compress~ao reduz a complexidade de F j
:
seomeio-discoseparaIn(F j
i
)ent~aoacompress~aoaumentatantoonumero
de componentes quanto de componentes de bordo em 1, enquanto se n~ao
separaOut(F j
i
)aumentao numerode componentes de bordo sem mudar o
numerode componentes. Emtodocaso acomplexidadecai em1 apos cada
compress~ao, em algum momento chegando a 1, implicando que F j
i tem
um disco como componente (Lema 4.27). Logo o processo para, diga-seno
passol.Ent~aoF l 1
satisfaztodasaspropriedadesa)af)eF l 1
\D l 1
6=;.
Novamente segue doLema 4.27 que C(F l 1 i )0porque F l 1 i n~ao pode ter
nenhum disco como componente. Pela propriedaded):
l 1C(F 0
)=C(T);
mostrando quel C(T)+1.
Pelapropriedade e)e a desigualdadeacima
I(F l ;D l )h(D) lC(T)+2 l1; implicando que F l \D l
6=;. Portanto quando o processo parar no passo l
cada F l
i
tem uma componente queeum disco.
Lema 4.32. Suponha que j e F j
satisfacam as propriedades a) a f) acima
e que F j
i
tenha um disco como componente. Ent~ao ha umdisco compressor
para ^ H 0 em M H 0
cuja altura e menor que ou igual a j.
Demonstrac~ao. ConsideremosD
i F j i umacomponentedeF j i quesejaum
disco.EscolhemosiomenorinteirotalqueD
i \H 0 =;(maisprecisamente, i=d(F j
)+1). Lema 4.26 ea propriedade c)implicamque
h(D i )h(F j i )j:
Veri camosagora queD
i
eum disco compressor. Eleeparaleloa um disco
D 0 @M (porque @M = ^ e uni~ao de discos) e D i [D 0
borda uma bola
compacta B In(F j
i ).
E su ciente provar que B \H
0 6= ;. Isto porque D i \H 0
=; portanto uma componente de H
0
\M que intercepte B deve
estarcontidanela.Segueent~aoqueD 0 \H 0 6=;(novamentepoisD i \H 0 =;) e ent~ao que @D 0 n~aoe contratilem @M H 0 .
Mostramos agora que B\H
0
6= ;. Considere uma componente C de
In(F j )contendo B. Se B C ent~aoD i *F j , contradizendo regularidade.
Portanto B e componente de In(F j
i
) e ent~ao, por regularidade de F j
, B
deve conter uma componente de In(F j
k
) para todo k<i. Mas ha um valor
para k talque In(F j k )H 0 (tome k 1 u(F j )) portanto B\H 0 6=;,
completandoa demonstrac~ao.
Demonstrac~ao do Teorema 4.15. Lema 4.31 acima garante que em algum
passo l C(T)+1 os F l
i
t^em uma componente que e um disco. Mas o
Lema 4.32 mostra ent~ao que ha um disco compressor para ^
H
0 cuja
altura e menor que ou igual a l C(T)+1, completando a demonstrac~ao
seaceitamos o argumento de induc~aoe a A rmac~ao4.29.
Passamos agora a demonstrac~ao do argumento de induc~ao. Ainda
supomos aA rmac~ao 4.29.
Demonstrac~ao do argumento de induc~ao. Comecamos veri cando as
pro-priedades para F 0 e D 0 =D: a) eclaro;
b) segue facilmente de In(F 0 i )=H i \M; c) d(F 0 )=u(F 0 )=0; d) obvio; e) I(F 0 ;D 0 )=h(D); f) D 0
=Dfoi escolhido parasatisfazer essa propriedadelogono incio.
Precisamos agora de veri car o passo de induc~ao. Supomos que
j C(T) (o que implica que D j \ F j 6= ;) e que F j satisfaz todas as propriedadea)af).A intersec~aoD j \F j
determina, o qualsupomosser
bom pela A rmac~ao 4.29. Usamos para obter F j+1 (bordo-compress~ao equivariante). Se D j intercepta F j+1
de forma essencial ent~ao D j+1
=D j
,
caso contrarioaplicamosisotopia aD j
paraobter D j+1
interceptandoF j+1
de forma essencial. Ha dois casos a seremconsiderados:
{ i In(F j i ) e { i Out(F j i ) e i n~ao separa Out(F j i ). Mostraremos queF j+1
satisfaz todas as propriedadeem cada caso.
{ i In(F j i ).
a) segue da de nic~ao de bordo-compress~ao equiv
b) Lema 4.22;
c) aqui u(F j+1
) = u(F j
). Suponha que k < i e que j = 0. Ent~ao
@H k = F 0 k e logo i \@H k = ;. Portanto F 0 i \@H k = ; donde d(F 1 )=0.
Agora supomos que k = i 1. Em geral, para qualquer j,
i \ F j (i 1) =;eent~ao i \ In(F j (i 1)
)=;.LogodoLema4.26.2vemos
que i \@H (i 2 d(F j )) =; e portanto F j+1 i \@H (i 2 d(F j )) =;. Observamos que F j+1 i \@H (i d(F j )) 6= ; ent~ao d(F j+1 ) e igual ou ad(F j )oua d(F j )+1,denendendo se i \@H (i 1 d(F j )) for
vazio ou n~ao De qualquer forma u(F j
)+d(F j
) aumenta em no
maximo1.
d) como a componente de In(F j i ) que contem i e uma bola, i a separa. Logo i separa a componenteS de F j i queintercepta,
produzindo duas componentes S 0 , S 00 de F j+1 i . PortantoF j+1 i = (F j i S)[(S 0 [S 00 ) e ent~ao C(F j+1 i )=C(F j i ) C(S)+C(S 0 [S 00 ): Mas S 0 [S 00
tem uma componente e uma componente de bordo
a mais que S,donde C(S 0 [S 00 )=C(S) 1. Segueque C(F j+1 i )=C(F j i ) 1: e) lembramos que se D j n~ao interceptar F j+1 de forma essencial
ent~ao obtemosoutro D j+1
comessa propriedadeporisotopiade
D j . Como D j intercepta F j
de forma essencial ent~ao I(F j ;D j+1 ) I(F j ;D j
). Lema 4.23 diz que I(F j+1 ;D j+1 ) I(F j ;D j+1 ) 1, mostrando que I(F j+1 ;D j+1 )I(F j ;D j ) 1: f) segue da escolhade D j+1 . { i Out(F j i ) e i n~ao separa Out(F j i );
Quase todos os argumentos nesse caso s~ao essencialmente os mesmo
usados no anterior (podemos precisar trocar direc~oes: acima por
abaixo, interior por exterior, etc). Em tais situac~oes evitaremos
de-talhes,quepodemser facilmentepreenchidos seguindo osargumentos
a) direto da de nic~ao. b) direto do Lema4.22; c) aqui d(F j+1 ) = d(F j
). O resto do argumento segue de forma
analoga ao caso anterior: se j = 0 ent~ao u(F 1 ) = 0. Para um j generico, i \ Out F j (i+1) = ; e Lema 4.26.2 implica que i \ @H (i+2+u(F j )) = ;. Mas i \ @H (i+u(F j )) 6= ; logo u(F j+1 ) = u(F j ) ou u(F j+1 ) = u(F j ) + 1 dependendo de i \@H (i+1+u(F j ))
ser vazio ou n~ao. Novamente u(F j )+d(F j ) aumentaemno maximo 1. d) Como i n~ao separa Out(F j i
) ent~ao tambem n~ao separa a
com-ponente S F j
i
que intercepta, produzindo uma componente
S 0 F j+1 i . Portanto F j+1 i =F j i S[S 0 e ent~ao C(F j+1 i )=C(F j i ) C(S)+C(S 0 ):
Mas tanto S quanto S 0
s~ao conexos e S 0
tem uma componente
de bordo a menosque S dondeC(S 0 )=C(S) 1 e novamente C(F j+1 i )=C(F j i ) 1:
e) mesmo argumentodo caso anterior;
f) escolha de D j+1
.
O objetivo nal e demonstrar a A rmac~ao 4.29. Antes provamos o
seguinte lema.
Lema 4.33. Se um meio-disco bordo-compressor (
i ; i ; i ) para F j i for
ruim ent~ao existe uma subsuperfcie S
i F
j
i
que n~ao e um disco tal
que S i \ i = i
e tal que a superfcie S 0 i = S i [ i goza da seguinte
propriedade: para todo arco essencial S 0
i
, existe meio-disco
bordo-compressor (; ; ) em M.
Demonstrac~ao. Comecamos escolhendo H
n tal que F j i [ i H n \M. Lembramos que F j i e obtido de F 0 i = @H i
\M por compress~oes ao bordo.
Seja j = 0. Pelo Lema 4.11, para todo arco essencial F j
i
\M existe
meio-disco (; ), onde (Out(F j i ) \H n )\ M e @(H n \M).
Esse propriedade e preservada por @-compress~oes boas: supondo que vale
para F j i , seja ( 0 ; 0 ; 0
) um meio-disco bom, que usamos para obter F j+1
i
(lembramosqueF j+1 i = F j i N( 0 ) [( 0 0 [ 0 1 ),onde 0 0 , 0 1 @N( 0 ) s~ao copias paralelas de 0 em N( 0 ) ' 0 I). Seja F j+1 i um arco
essencial. Poruma isotopia,podemos suporque n~aointercepta as copias
0 0 , 0 1 F j+1 i de 0 ,donde F j i . Como e essencialemF j+1 i tambem o e em F j i
donde, por hipotese, existe meio-disco @-compressor (; ; )
em (Out(F j
i )\H
n
)\ M. Podemos supor que \ 0
= ; por cirurgias
de corte e colagem padr~ao: se \ 0
6= ; eliminamos inicialmente todas
as curvas fechadas da intersec~ao por isotopias. Se \ 0
contiver arcos,
tomamos ummaisaobordoem 0 ,separandoumdiscoD 0 0 .Notamos que, como \ 0 = ;, \( [ 0
) = ;. Mas separa um disco
D 00 . Modi camos trocando D 00 por D 0 , afastando D 0 levemente de
D e suavizando as quinas. Tal cirurgia reduz j\ 0
j donde, apos uma
sequ^encia nitadetaisoperac~oes,podemossuporque\ 0
=;.Notamos
que permanece inalterado.
Como\ 0
=;podemossuporque\N( 0
)=;,donde(; ; )
e um disco @-compressor para F j+1
i
em H
n
\M. Alem disso, e claro que
Out(F j+1
i ).
Provamos, portanto, que, para todo j e para todo arco essencial
F j
i
\M, existe meio-disco (; ; ), onde (Out(F j i )\H n )\M e @(H n \M).
Voltamos a situac~ao descrita no enunciado e seja, como de costume,
M 0
a componente de M que contem
i
. Pelo menos uma componente de
Out(F j i ) i \M 0 eilimitada:Out(F j i )\M 0 eilimitadaeN( i )M 0 e
limitada.PoroutroladoumargumentocomoousadonoLema4.19garante
que n~ao ha mais doque uma componenteilimitada logo Out(F j i ) i \ M 0
,quetemexatamenteduascomponentes,temumacomponenteilimitada
e umalimitada, ofechodesta denotado porM
i (veja Figura 4.15). M i S i i i F i i Figura4.15: Omeio-disco i separando Out(F i )
E bem claro que @M
i @Out(F j i )[ i . Ja que @Out(F j i ) @M e F j i vemos que @M i @M F j i [ i . MasF j i [ i Out(F j i ) Out(F j i+1 )
portantoM i Out(F j i ) Out(F j i+1 )(porque M i elimitado).Emparticular M i \F j k =; para k6=i, dondeM i \F j F j i . Seja agora S i = @M i @M. E claro que S i ( F j i porque o bordo superior i de i
separa uma componente de F j
i
. Tambem e claro que
@M i F j i [ i [@M eque i @M i
,implicandoqueofechode@M
i @M e S i [ i . Alem disso S i \ i F j i \ i = i . Como S i \ i 6= ; ent~ao S i \ i = i
. Fica facil ver ent~ao que se S
i
fosse um disco ent~ao, como
M i \F j =;, i seria paralelo aS i porM i
,contrariando a hipotese de que
e meio-discobordo-compressor. Seja S 0 i =S i [ i
que,portanto, tambemn~aoeum disco.
@M S i S 0 i i Figura 4.16: S 0 i =S i [ i Consideramos, agora, S 0 i H n \M 0 e seja S 0 i um arco essencial.
Seguindoumargumentocomoodadonoinciodaprova,podemossuporque
que S
i F
j
i
, donde existe meio-disco (; ; ) tal que: Out(F j i ), \ i = ;, @M 0 [@H n . Segue que M i e, como M i \H n = ;, \@H n = ;, donde @M 0
, de forma que (; ; ) e meio-disco bordo
compressor para S 0
i
emM.
Demonstrac~ao da A rmac~ao 4.29. Seja F j i o nvel de F j que intercepta D 0 e de na i = D 0 \ F j i
. Aplicamos o Lema 4.33 para
i = D 0 , i e i = @D 0
. Consideramos a superfcie S 0 i e i S 0 i (ver Figura 4.16).
E claro que existe um arco S 0 i ligando i @S 0 i a alguma outra componentede@S 0 i talque \ i
consistedeumunico arco ligando
i
a
i
(ver Figura4.17). Ainda usando oLema 4.33, obtemos um meio-disco
(; ; )(Figura4.18).
Notamos,agora,queD j
\=.Podemos tomarumaisotopiade D j
aolongode levando oarco umpouco alemde ,obtendo um disco
^ D. Considerando ^ D\F j
vemos quehaum discomaisaointeriorD 00
cujo
bordosuperiorconsistedauni~aodeumarcodobordosuperior
i de i com um arco contido em S i
. Alem disso o bordo inferior e um arco 0
em @M
