Niterói – RJ 2013
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE FÍSICA
BACHARELADO EM FÍSICA
ALICE SANT’ANNA ALBUQUERQUE
MEDIDA DO ÍNDICE DE REFRAÇÃO UTILIZANDO O INTERFERÔMETRO DE MICHELSON.
Niterói 2013
ALICE SANT’ANNA ALBUQUERQUE
MEDIDA DO ÍNDICE DE REFRAÇÃO UTILIZANDO O INTERFERÔMETRO DE MICHELSON.
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Física - Bacharelado da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Bacharel.
Niterói 2013
A345 Albuquerque, Alice Sant’Anna
Medida do índice de refração utilizando o interferômetro de Michelson. / Alice Sant’Anna Albuquerque ; orientador: Paulo Acioly Marques dos Santos. –- Niterói, 2014.
34 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Física) – Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física, 2014. Bibliografia: f. 34.
1.ÍNDICE DE REFRAÇÃO. 2.INTERFERÔMETRO DE MICHELSON. I.Santos, Paulo Acioly Marques dos, Orientador.
II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física,
Instituição responsável. III.Título.
Niterói 2013
MEDIDA DO ÍNDICE DE REFRAÇÃO UTILIZANDO O INTERFERÔMETRO DE MICHELSON.
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Física - Bacharelado da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para a obtenção do Grau de Bacharel.
Aprovada em janeiro de 2014.
BANCA EXAMINADORA
__________________________________________________________________ Prof. Dr. Paulo Acioly Marques dos Santos
UFF
_____________________________________________________________________ Prof. Ms. Eden Vieira Costa
UFF
_____________________________________________________________________ Prof. Dr. Carlos Eduardo Rodrigues de Souza
Niterói 2013 DEDICATÓRIA
Dedico esta monografia, A minha Família, Ivone Costa Sant’Anna Albuquerque e Daniel Carrano Albuquerque, Aos meus irmãos, Adriana Sant’Anna Albuquerque e Maurício Sant’Anna Almeida, A minha amiga e companheira Débora Nunes Barros Vasconscelos
Ao meu namorado e companheiro, Alex Mesquita Eleutério,
Niterói 2013
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus, por me capacitar e ser meu porto seguro em todos os momentos.
Aos meus pais e minha irmã, por me apoiar e dar suporte, não somente durante a graduação, mas durante todos os momentos da minha vida.
Aos meus amigos e professores da graduação, que me acompanharam e insentivaram durante todo curso, em especial aos meus companheiros de estudos, Débora Nunes Barros Vasconscelos, Rafael Mynssen Brum, Claudio Reis,Diulei Choté, Gabriela Serodio, Beatriz Di Puglia, Rosembergue Brasileiro da Rocha Freire Junior, Marcello Nery, Claudio Reis, dentre outros.
Ao meu orientador nesta monografia Prof. Dr. Paulo Acioly Marques dos Santos, por compartilhar seus conhecimentos comigo.
Aos meus inesqueciveis amigos da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, por estarem sempre ao meu lado, e serem meus primeiros companheiros de estudos durante a graduação,em especial, Anelise Santos, Livia da Silva, Jefferson Maritins, Leonardo Abreu, Antônio Salvador Neto,Gabriela Lopez Cabral e Suelen Dulfes.
E por fim, ao meu namorado e companheiro, Alex Mesquita Eleutério, por me apoiar em todos os momentos desde o dia em que nos conhecemos.
Niterói 2013 RESUMO
Este trabalho tem como objetivo medir o índice de refração de uma lâmina de vidro utilizando o Interferômetro de Michelson. Para isso, utilizaremos uma lâmina de vidro de faces paralelas e de espessura conhecida, a referida lâmina será inserida perpendicularmente ao caminho óptico do feixe de luz que passa por um dos braços do interferômetro de Michelson e será rotacionada de forma controlada. Enquanto esta amostra é girada sobre seu eixo transversal, o caminho óptico do feixe de luz será alterado. Assim, como a diferença de caminho óptico através do meio neste caso está dependendo apenas do índice de refração, da espessura da lâmina e do ângulo com que a rotacionamos, ao medir a diferença de caminho óptico através do padrão de franjas de interferência produzido, conhecida a espessura da lâmina, será possível determinar seu índice de refração.
Niterói 2013 ABSTRACT
This study aims to measure the refractive index of a glass plate using the Michelson interferometer. To achieve this objective, a glass plate of a parallel faces with known thickness will be inserted normally to the optical path of the light beam passing through one arm of the interferometer and it will be rotated in a controlled manner. While this sample is rotated around its transverse axis, the optical path of the light beam changes. Thus, as the optical path difference across the medium in which case depends only on the refractive index and thickness of the plate and the angle with which we rotate, measuring the optical path difference, is possible to determine its refractive index.
Niterói 2013 Sumário 1 Introdução ... 10 2 Introdução Teórica ... 12 3 Interferômetro de Michelson ... 24
4 Medida do índice de refração utilizando o Interferômetro de Michelson ... 28
5 Resultados Obtidos ... 31
5 Conclusão e Perspectivas ... 36
Niterói 2013 1. INTRODUÇÃO
O Interferômetro de Michelson, desenvolvido em 1880, é sem dúvidas o mais conhecido, e provavelmente um dos mais versáteis instrumentos interferométricos.
A montagem de um Interferômetro de Michelson, consiste em uma combinação de dois espelhos, um transversal ao outro, e um divisor de feixe, que possibilita a obtenção de padrões de interferência em um anteparo. Um feixe de luz que sai da fonte de iluminação, passa pelo divisor de feixe que divide o feixe em dois. Esses feixes separados são refletidos de volta para esta lâmina semi-prateada por dois espelhos, que estão posicionados um em cada braço do interferômetro. Quando os dois Feixes de luz se encontram em um anteparo, é possível observar os padrões de interferência produzidos pela diferença de caminho óptico que estes feixes percorreram. Este arranjo experimental permite controle de diferença de fase do padrão de interferência de forma precisa, constituindo-se numa excelente ferramenta metrológica.
Figura 1 : Interferômetro de Michelson.(Extraída do livro Fundamentos da Física Volume 4 – Óptica e Física Moderna; Halliday Resnick; Editora LTC; Cap.35; Pg. 97)
Niterói 2013
Com a finalidade de demonstrar a importância do Interferômetro de Michelson como ferramenta básica de estudo de interferometria, utilizaremos um kit experimental didático, adotado para diversos experimentos que possibilitam a comprovação de alguns princípios básicos de interferometria. O kit utilizado, O Pasco scientific Model OS-9255A thru OS-9258A, está disponibilizado para o curso de graduação em física no laboratório didático do Instituto de Física da Universidade Federal Fluminense.
Usaremos este kit da Pasco em um dos experimentos sugeridos no roteiro do fabricante, a determinação do índice de refração de uma lâmina de vidro de faces paralelas e espessura conhecida. Comprovaremos a eficiência do kit através dos resultados obtidos, e acrescentaremos a este, abordagens que facilitarão o estudo de interferência em possíveis cursos de óptica clássica no Instituto de Física da UFF. Portanto, a presente monografia pode ser utilizada como importante ferramenta complementar ao kit comercial da Pasco referente a este Instrumento.
Niterói 2013 2. INTRODUÇÃO TEÓRICA
2.1 ONDAS HARMÔNICAS
Qualquer forma de onda pode ser sintetizada por uma sobreposição de ondas harmônicas. A onda harmônica plana é a forma mais simples de onda, descrita por uma função seno ou cosseno. Todas as outras formas de onda, mesmo as mais complexas, podem ser decompostas em conjuntos de ondas senoidais através da aplicação das Séries de Fourier. A onda harmônica também é conhecida como onda senoidal.
(x,t) |t0(x)Asinkx f (x) (2.1.1)onde k é uma constante positiva como número de onda, ou frequência espacial e representa o número de ondas por unidade de comprimento. Para transformar em uma onda progressiva viajando na velocidade v na direção positiva de x, precisamos substituir x por (x - vt), assim:
(x,t)Asink(xvt) f (xvt) (2.1.2)Fixando o valor de x ou t obtém-se uma perturbação no espaço ou no tempo, respectivamente. O período no qual a onda se repete no espaço (período espacial) é denominado comprimento de onda (λ) e é definido como a extensão espacial de um ciclo completo de uma onda. No caso das ondas harmônicas, uma subtração ou adição de uma unidade de comprimento de onda no valor de x produz o mesmo resultado que subtrair ou adicionar 2π do argumento do seno. Assim, a partir da equação 2 têm-se:
(x,t)(x
,t)Asink[(x
)vt]Asin[k(xvt)2
] (2.1.3) e k
2
(2.1.4)Niterói 2013 Como k e λ são números positivos:
k2
(2.1.5)
Figura 2: Função harmônica, que serve como o perfil de uma onda harmônica. Um comprimento de onda corresponde a uma mudança de ϕ a 2π radianos.(Extraída do livro Optics; Eugene Hecht; Editora Pearson Addison Wesley; Cap.2; Pg. 15).
De forma análoga à discussão sobre λ, vamos examinar o período pelo qual uma onda completa um ciclo em determinado ponto do espaço.
O período temporal τ.
(x,t)(x,t
)Asink[xv(t
)]Asin[k(xvt)2
] (2.1.6) kvt 2
(2.1.7) Mais uma vez, k,v e τ são quantidades positivas, portanto: kvt2
(2.1.8) Substituindo (2.1.5) em (2.1.8) temos: 2 vt2 (2.1.9)Logo, de (2.19) obtemos a seguinte expressão para o período temporal:
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O inverso do período temporal, ou seja, o número de ondas que atravessa um ponto fixo no espaço é denominado de frequência υ e
(2.1.11)
Substituindo (2.1.11) e (2.1.5) em (2.1.2) temos:
(x,t)Asin(kx2vt) (2.1.12)
Sendo a frequência angular, Podemos reescrever a função de ondas harmônicas como:
(x,t)Asin(kxt) (2.1.13)Esta é a equação de ondas harmônicas comumente usada na literatura.
FASE E VELOCIDADE DE FASE:
Vamos examinar uma função de onda harmônica qualquer, tal como (2.1.13):
O argumento da função seno é conhecido como a fase da onda:
= (kx-t) (2.1.14)
Em t=x=0 temos o caso especial:
(x,t) |xto(0,0)0 (2.1.15) Podemos escrever a função de onda de forma mais geral:
(x,t)Asin(kxt) (2.1.16) Onde, é a fase inicial. Ter uma fase inicial diferente de zero, significa dizer que em t= 0 a onda tem uma amplitude diferente de zero.Niterói 2013
Portanto, podemos escrever a fase da onda da seguinte maneira:
=(kx-t+) (2.1.17)
A derivada parcial de em relação à t, fixando x constante, é a taxa de mudança de fase com o tempo. Ou seja:
t
x
(2.1.18) Analogamente, a razão da mudança de fase com a distância, fixando t constante, é : x t k (2.1.19) Usando os resultados para as derivadas parciais de com relação ao tempo e a posição, podemos escrever: x t t x x t (2.1.20)
O termo da esquerda representa a velocidade de propagação na condição de constante de fase. Aplicando os resultados das derivadas parciais obtidas nas equações (2.1.18) e (2.1.19) obtemos:
x
t
k v (2.1.21)Esta é a velocidade com a qual o perfil se move, e é mais comumente conhecida como velocidade de onda, ou ainda, velocidade de fase. Esta velocidade de fase, tem sinal positivo quando a onda se move na direção crescente de x e sinal negativo quando a onde se move na direção decrescente de x.
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A equação diferencial de ondas, introduzidas por Jean Le Rond d’Alembert (1717-1788) em 1747, é normalmente o ponto de partida para o estudo de qualquer onda física. Qualquer função que seja solução desta equação representa uma onda.
Essa expressão é uma derivada parcial, linear e de segunda ordem. Por ser uma derivada parcial, ela depende de variáveis independentes tanto espaciais como referentes ao tempo. Para o caso de uma onda unidimensional, têm-se:
2 x2 1 v2 2 t2 (2.2.1)
Esta equação revela uma intrigante propriedade de ondas, que é bastante diferente do comportamento de um fluxo de partículas clássicas. Suponha-se que as funções de onda e sejam soluções independentes da equação de ondas, então, ( também é uma solução da mesma equação.
Isto é conhecido como o princípio da sobreposição, e que pode facilmente ser comprovado uma vez que:
2 1 x2 1 v2 2 1 t2 (2.2.2) e 2 2 x2 1 v2 2 2 t2 (2.2.3)
Fazendo uma soma das duas expressões obtemos:
2
1
x2
2
2
x2 1 v2
2
1
t2 1 v2
2
2
t2 (2.2.4)Obtendo como solução da equação:
2
x2(
1
2) 1 v2
2
t2(
1
2) (2.2.5)Niterói 2013
Quando duas ondas separadas chegam ao mesmo lugar no espaço onde elas se sobrepõem, o resultado é a adição (ou subtração) delas sem que nenhuma das ondas seja interrompida ou destruída, uma vez ultrapassada a região de sobreposição, cada uma das ondas percorrerá seu caminho sem que nada tenha sido afetado pela sobreposição anterior.
2.3 INTERFERÊNCIA
A teoria de interferência óptica é essencialmente baseada no princípio de sobreposição linear de campos eletromagnéticos. O princípio de sobreposição permite que um campo elétrico total E seja composto pela soma vetorial de campos individuais.
E E(1)E(2)... (2.3.1)
O mesmo é verdade para campos magnéticos. Este princípio é consequência do fato de que as equações de Maxwell para o vácuo são equações diferenciais lineares.
Como o campo elétrico oscila em uma frequência muito elevada, torna-se impossível detectar e medir o valor instantâneo do campo elétrico. Porém quando se refere à “quantidade” de luz que ilumina uma superfície, utiliza-se o conceito de irradiância. A irradiância é definida como a média temporal da quantidade de energia que atravessa, por unidade de tempo, uma superfície perpendicular à direção de fluxo da energia, ou seja, é a média temporal da amplitude do vetor de Poynting S. Em meios dielétricos, isótopos, lineares e homogêneos, a irradiância é dada por:
I S
v E2 (2.3.2) Substituindo E2 por 1 B 2 temos: I 1 v B 2 (2.3.3)Niterói 2013
é a permissividade elétrica do meio material;
é a permeabilidade magnética do meio material; v é a velocidade da luz no meio homogêneo;
é a média temporal do quadrado do campo elétrico total.
A irradiância pode ser medida diretamente com diversos sensores tais como células fotoelétricas, emulsões fotográficas, entre outros. Portanto, convenientemente o estudo de interferometria é baseado na irradiância.
Considerando duas fontes pontuais, S1 e S2, de ondas monocromáticas, com
mesma frequência, polarizadas linearmente e num meio homogêneo. As fontes são separadas pela distância a que é muito maior do que o comprimento de onda, λ, dos feixes. No ponto P, suficientemente distante de forma que as ondas sejam consideradas como planas..
Podemos, reescrevemos (2.3.1) da seguinte maneira para duas fontes pontuais
E E(1)E(2) (2.3.4) Agora, substituindo (2.3.1) em (2.3.2) obtemos:
(2.3.5) Considerando o campo elétrico como uma onda harmônica e como a fase inicial de cada onda para t=0, podemos escrever:
= (2.3.6)
= (2.3.7) Assim o termo pode ser escrito da forma:
= (2.3.8)
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cos(A+B) = cos(A).cos(B) – sin(A).sin(B) (2.3.9)
Podemos reescrever (2.3.9) da seguinte forma:
(2.3.10) Aplicamos a média apenas aos termos dependentes do tempo, obtendo:
(2.3.11) O valor médio de uma grandeza x durante um ciclo é dada por:
(2.3.12)
Assim, usando a relação (2.3.12) obtemos:
(2.3.13)
(2.3.14)
(2.3.15)
Portanto, substituindo (2.3.13), (2.3.14) e (2.3.15) em (2.3.12) obtemos:
(2.3.17)
Niterói 2013 (2.3.17) Substituindo (2.3.17) em (2.3.5) tem-se: (2.3.18) Ou ainda: (2.3.19)
Onde o termo = é a diferença de fase entre as
Ondas em P devido aos diferentes percursos e a uma defasagem inicial. É esta diferença de fase que proporciona o fenômeno de interferência.
Voltando a equação da irradiância total, têm-se:
(2.3.20) e assim, nota-se que se os campos elétricos forem perpendiculares entre si, o termo responsável pela interferência se anula e, portanto, não há interferência. Este caso ocorre quando os feixes são polarizados perpendicularmente.
O caso mais frequente refere-se à situação em que os feixes são paralelos, neste caso pode-se fazer um tratamento escalar da equação (2.3.19).
Considerando-se:
(2.3.21)
(2.3.22)
, (2.3.23) a equação da irradiância total pode ser reescrita na forma:
Niterói 2013 ou ainda:
(2.3.25) A irradiância total pode ser maior, menor ou igual à ( dependendo do valor de , que é função de . O valor máximo da irradiância total é obtido quando
, ou seja:
para (2.3.26)
Portanto quando a diferença de fase é um múltiplo inteiro de , diz-se que as ondas estão em fase e a interferência é construtiva e total. Por outro lado, quando ( diz-se, que a interferência é construtiva. O valor mínimo da irradiância total ocorre quando , ou seja:
para , (2.3.27)
e neste caso diz-se que a interferência é destrutiva e total. No caso particular onde , têm-se que . Com estas condições obtêm-se
Imáx=4Io (2.3.28)
e
Imin=0. (2.3.29)
Assim, a interferência óptica pode ser definida como a interação entre duas ou mais ondas luminosas, gerando um padrão em que a irradiância total difere da soma das irradiâncias individuais.
CONDIÇÕES PARA SE OBTER INTERFERÊNCIA
Para que um padrão de interferência seja estável é necessário que as frequências de ambos os feixes sejam muito próximas uma da outra, pois caso haja uma diferença
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o tempo. Assim, em determinado ponto do espaço a irradiância variará entre máximos e mínimos muito rapidamente também, resultando na percepção da irradiância média (I1+I2).
A possibilidade de se obter padrões de interferência utilizando uma fonte de luz branca surge do fato que cada componente de cor, as ondas de mesma frequência, interfiram entre si produzindo um padrão de interferência que embora ligeiramente deslocadas umas das outras, produzem um padrão único de luz branca. Este padrão único de luz branca, embora possível, não é tão nítido quanto de uma fonte semi-monocromática. Outro ponto fundamental que se deve analisar é a coerência entre as duas perturbações luminosas. Diz-se que são coerentes entre si se a diferenças entre as suas fases permanecer constante no tempo, incoerentes se essa diferença nunca for constante e parcialmente coerente se a diferença for constante durante certo tempo.
Uma perturbação luminosa proveniente de uma fonte pontual e estritamente monocromática é descrita pela equação
(x)Asen(k't) infinita no espaço e tempo.
A sobreposição de duas dessas perturbações será coerente, já que a diferença de fase será constante no tempo. No entanto, uma fonte real, nunca será estritamente monocromática e pontual. A natureza corpuscular do processo de emissão de luz por fontes semi-monocromáticas faz com que a luz seja constituída por trens de ondas independentes uns dos outros, já que cada átomo emissor não produz uma onda infinita no espaço e no tempo. Porém há um valor médio de tempo do qual é possível prever o comportamento do campo luminoso, esse valor é dado pela coerência temporal da fonte. Também é útil medir a coerência temporal como uma sucessão de grupos de onda bem definidos dado por:
lc = c.tc (2.3.39)
onde lc é o comprimento de coerência e tc o tempo de coerência.
A ordem de grandeza das dimensões das fontes luminosas também é outro fator que faz com que a coerência da fonte varie. Assim, em uma fonte extensa, duas perturbações luminosas provenientes de pontos diferentes podem ou não ser totalmente coerentes. Com o advento dos lasers, tornou-se mais fácil observar o fenômeno de interferência, pois o processo de emissão do laser faz com que seu feixe tenha uma alta coerência.
No caso dos interferômetros de divisão de amplitude, as características do divisor de feixes também devem ser analisadas, uma vez que a porcentagem do feixe
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transmitido e refletido interfere significativamente na visibilidade dos padrões de interferência. Conforme é demonstrado na análise do divisor de feixes, é desejável que o divisor de feixes tenha a característica de dividir o feixe em 50% transmitido e 50% refletido, pois neste caso tem-se a maior intensidade luminosa.
Niterói 2013 3. O INTERFERÔMETRO DE MICHELSON
[1]O interferômetro de Michelson é um dos mais conhecidos interferômetro de divisão de amplitude. Em um interferômetro de divisão de amplitudes, a onda primária é dividida em ondas secundárias que possuem a mesma estrutura da onda primária, mas com amplitudes cuja somatória não excede à primária. As ondas secundárias se propagam por trajetórias distintas e posteriormente interagem e interferem.
A base interferômetro de Michelson é composto por uma fonte de luz(L), dois espelhos (M1 e M2), um espelho semi-reflexivo (divisor de feixes) (O),uma placa compensadora
(C) (paralela ao divisor de feixes e de espessura idêntica ao mesmo) e um anteparo de visualização das franjas (D), que são dispostos conforme a Figura 3.
Figura 3 : Montagem do interferômetro de Michelson.(Extraída do livro Optics; Eugene Hecht; Editora Pearson Addison Wesley; Cap.9; Pg. 408)
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O feixe de luz ao ser emitido pela fonte é dividido no divisor de feixes em dois feixes secundários, As duas ondas são refletidas por espelhos,M1 e M2 , e voltam para o
divisor de feixe, a parte da onda proveniente M2 passa através do separador de feixe e
vai para baixo, a parte da onda vinda de M1 é defletida pelo divisor de feixe para o
detector. As duas ondas se unem, e são dirigidas ao anteparo de visualização das franjas formando um feixe composto. No anteparo é possível verificar os padrões de Interferência.
Note que um feixe passa através de “O” três vezes, enquanto que os outros atravessam apenas uma vez. Assim, cada feixe passará através de um vidro de igual espessura apenas quando um compensador de chapa C é inserido paralelo ao divisor de feixe. O compensador é uma cópia exata do separador de feixe, com a exceção de qualquer possível prateamento ou de revestimento de película fina sobre o divisor de feixe. O compensador está posicionado num ângulo de 45 °, de modo que O e C são paralelas entre si. Com o compensador no lugar, qualquer diferença de caminho óptico é decorrente da diferença caminho real.
Uma maneira de se compreender a formação dos padrões de interferência no interferômetro de Michelson é representar os componentes da experiência alinhados conforme vistos por um observador localizado no detector. O observador na posição do detector vê simultaneamente os espelhos M1 e M2, juntamente com a fonte, no divisor
de feixe. Podemos redesenhar o interferômetro como se todos os elementos estivessem em uma linha reta. Aqui M1 corresponde à imagem do espelho M1 no divisor de feixe e
∑ foi girado sobre a linha com O e M2. As posições destes elementos no diagrama
dependem das suas distâncias relativas a partir de (por exemplo, M1 pode estar em
frente, atrás, ou coincidente com M2 e pode até passar por ele).As superfícies de ∑1 e ∑2
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Figura 4: Rearranjo conceitual do interferômetro de Michelson. (Extraída do livro Optics; Eugene Hecht; Editora Pearson Addison Wesley; Cap.9; Pg. 409)
Considerando o ponto da fonte S emitindo luz em todas as direções. E, analisando o percurso de um desses feixes com angulo de incidência , as reflexões ocorrem em M1 e M2.Para um observador em D, os dois raios refletidos irão parecem ter
vindo dos pontos de imagem S1 e S2. Como mostrado na figura 4, a diferença do
caminho óptico para estes raios é aproximadamente 2d cosθ, que representa uma diferença de fase entre os feixes que será dada por
2dcosm=m0 (3.1)
em que agora é m e m é um número inteiro. Se esta condição é satisfeita para o
ponto S, então será igualmente bem cumprida para qualquer ponto em ∑ que se encontra no circula de raio O’S, onde O’ se encontra sobre o eixo do detector. Com isso o observador vê um padrão de interferência de franjas circulares concêntricas.
Utilizando uma fonte de luz extensa, obtém-se um padrão de interferência de ondas constituído por vários anéis concêntricos claros e escuros alternadamente. Uma vez que se desloca o espelho M2 em direção à M1, diminui, cosm aumenta e m diminui,
com isso, os anéis retraem-se e sempre que d diminui em múltiplos de o/2 , a franja de
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observação, porém, devido à diferença de fase de π radianos, ocasionado pelo divisor de feixes, essa franja corresponde a uma irradiância mínima.
O interferômetro de Michelson-Morley pode ser utilizado para realizar medições de distâncias extremamente precisas, pois uma vez que um dos espelhos afasta-se de
o/2 , surge uma nova franja interior que passa a ocupar o lugar da franja adjacente.
Assim, ao contar o número de franjas N cairemos numa diferença de caminho dada por: 2dcosm=(m+N)0/2 (3.2)
Assim é possível determinar a distância percorrida pelo espelho, a partir da diferença das expressões (3.1) e (3.2), que recai na seguinte expressão:
d=N(o/2) (3.3)
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4. MEDIDA DO ÍNDICE DE REFRAÇÃO UTILIZANDO O INTERFERÔMETRO DE MICHELSON
[3]O interferômetro de Michelson possui excelente sensibilidade para pequenas variações no caminho óptico, sendo assim, o mesmo pode ser usado para medir pequenas distâncias e o índice de refração de materiais transparentes ao comprimento de onda da fonte utilizada. Para a medida do índice de refração o interferômetro de Michelson é alinhado de forma a visualizar o padrão de interferência em um anteparo e o material a ser analisado é colocado em um dos braços do interferômetro. Para determinação do índice de refração do material que estamos estudando, a amostra é girada sobre o eixo perpendicular a direção de propagação, de modo a variar o caminho óptico sobre a mesma alterando o padrão de interferência. Assim, ao contar o número de franjas à medida que a amostra é girada, o índice de refração do material pode ser determinado.
Figura 5: Representação de contagem de franjas. (Extraída de Introduction Manual Ang Experiment Guide for the Pasco scientific model OS-9255 A trhu 9258A.)
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Como já foi discutido anteriormente, no interferômetro de Michelson as franjas de interferência surgem por causa da diferença de caminho óptico entre os braços do interferômetro. Quando temos a amostra inserida em um dos braços do interferômetro e a giramos de um ângulo r em torno do seu eixo, obtemos a variação do caminho óptico correspondente a esse ângulo, que é dado pela diferença de caminho óptico da amostra com relação ao caminho óptico na ausência da amostra (caminho óptico de referência).
A diferença de caminho através da placa de vidro depende da espessura da placa(t), do ângulo com que a placa é rotacionada sobre seu eixo (r) e do índice de refração da placa (η), este último pode ser calculado, se os outros dois forem medidos.
Figura 6 – Representação geométrica da mudança de caminho de um feixe por uma placa rotacionada sobre seu próprio eixo. (Extraída do livro Ligth; George S. Monk;Editora Drover Publications Inc; Experiments in light; Pg.377)
Seja OP a direção original da luz normal ã placa de espessura t. O caminho óptico total entre a e c para a luz viajando em uma direção é tb c. Após a placa ser rotacionada de um ângulo r este caminho óptico aumenta para ad+de.
Consequentemente, uma vez que a luz viaja através do caminho duas vezes. O aumento total do caminho óptico é:
2(ad + de - t +bc) (4.1) Entretanto, Podemos extrair da figura 6:
ad t
Niterói 2013 bc t cosit (4.4) Assim,:
tcosit tanisinit tanrsini
tt
cosit
N
2 (4.5)
Usando a lei de Snell,
sinisinr. Onde r é o ângulo de refração e i o ângulo de incidência.
[(1cos r)2tN
](2tN
)(1cos r)N2
24t (4.6)
Entretanto, o último termo é muito menor comparado com os outros, e pode ser desprezado,levando a expressão para o índice de refração à:
(2tN
)(1cos r)Niterói 2013 5. RESULTADOS OBTIDOS
Para determinar o índice de refração do vidro, montamos o interferômetro de Michelson em sua configuração original, usamos como fonte, um laser de Helio-Neonio de potência 0,95mW e comprimento de onda:
Figura 7 - Interferômetro de Michelson modelo: Pasco scientific Mode OS-9255A thru OS-9258A. À direita, imagem original retirada do manual da Pasco, referente à montagem experimental.
O interferômetro de Michelson foi alinhado, sem a presença da amostra, de forma a gerar padrões de interferência. Em seguida, a placa de vidro usada como amostra, foi inserida perpendicular ao caminho de um dos feixes de luz do interferômetro. Esta foi rotacionada sobre o eixo perpendicular a direção de propagação de um ângulo de 10º, gerando uma diferença de caminho que pôde ser calculada ao contar o número de
Niterói 2013 lâmina de vidro de acordo com o ângulo desejado.
Foi usada uma placa de vidro de dimensões 5,23 x 5,12 cm. A espessura desta placa de vidro foi medida com o auxílio de um paquímetro de precisão de 0,5mm. Para isso, foram medidas as espessuras dos quatro cantos da amostra e calculada a média dos quatro valores. Obtendo assim, o valor para espessura
t
5
,
75
x
10
3m.Entretanto, sabemos que em todo experimento interferometria, existe um fator que deve ser levado em conta, o erro do operador. Neste caso, a sensibilidade do interferômetro e o erro do operador ao contar o número de franjas pode ocorrer. Portanto, para evitar a ocorrência deste tipo de erro, foi feita uma especulação de quantas franjas aproximadamente deveriam ser observadas, com base no índice de refração tabelado para o material da nossa amostra e considerando a placa rotacionando em torno do seu eixo de um ângulo de 10º
Assim, usando um valor padrão para o índice de refração da amostra utilizada deduzimos de (4.7) que a ordem do número de franjas que deve ser obtida para o ângulo r será
N
2t(1cos r)2t(1cos r)
(n1cos r) (5.1) O índice de refração tabelado para a lâmina de vidro comum utilizada é = 1.5.Tabela 1 – Índice de refração de alguns tipos de vidro
Material Índice de refração
vidro crown 1,517
vidro flint 1,620
vidro comum 1,500
Niterói 2013 Com os seguintes valores de:
t=5,75x10-3 m (5.2) =6,33x10-7m (5.3) r =10º (5.4) que substituídos em (5.1), obtemos:
N90
(5.5) que representa o valor de numero de ordens esperado para os dados acima.
Encontramos os seguintes valores experimentais para o número de ordens por tentativa indicados na tabela 2:
Tabela 2 – Número de franjas por tentativa.
Tentativas Número de franjas N
1 91
2 90
3 92
4 95
92
Para o calculo do índice de refração, usaremos o valor médio do número de ordens por tentativa.
Assim, substituindo (5.2), (5.3) e (5.4) na equação (4.7) obtida no capitulo anterior, e usando o valor médio do número de ordens obtido no experimento, obtemos:
= 1,492 1,500 (5.6) o que significa que, de acordo com a tabela 1, a lâmina utilizada é de vidro comum.
Agora vamos avaliar o erro no índice de refração em relação ao número de ordens por tentativa, através do método de verificação de erro por atribuição de varrição.
Niterói 2013 Vamos supor então que o erro seja de 2 franjas. Para isso, usaremos os respectivos valores:
N+=94 (5.7)
e
N-=90 (5.8)
Como sabemos, o índice de refração é dado pela expressão (4.7):
N t N t ) co s 1 ( 2 ) co s 1 )( 2 ( (4.7)Podemos reescrever (4.7) da forma:
N t N t ) cos 1 ( 2 ) cos 1 )( 2 ( (5.9) e
N t N t ) cos 1 ( 2 ) cos 1 )( 2 ( (5.10) Substituindo os valores deN
eN
em (4.7), obtemos:- =1,4976 (5.11)
e
+ =1,5087 (5.12)
Assim, fazendo a diferença entre + e e entre e - para concluir o método de
verificação de erro por atribuição de varrição, obtemos o seguinte erro:
+ - = 0,0163 (5.13)
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Portanto, o índice de refração com a variação de erro da amostra de vidro usada no laboratório é:
Niterói 2013 6. CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS.
Neste trabalho, foi utilizado o interferômetro de Michelson com o objetivo de determinar o índice de refração de uma amostra de vidro. Para isto, deduzimos a partir de uma analise geométrica da montagem experimental uma expressão para o índice de refração da amostra em função do número de ordens por tentativa e do ângulo com o qual a amostra seria rotacionada. A partir desta expressão, deduzimos também uma expressão para o número de ordens por tentativa que deveria ser obtido ao rotacionarmos a amostra de um ângulo de arbitrário, (5.1). Posteriormente utilizamos um valor padrão para o índice de refração de uma amostra de vidro comum, bem como a espessura de nossa amostra, obtendo assim, o número de ordens por tentativa que deveria ser obtido ao rotacionarmos a amostra de um ângulo de , o que possibilitou, minimizar o erro do operador.
O resultado esperado para o índice de refração do vidro comum é de 1,5. Obtivemos um resultado para o índice de refração da placa de vidro usada como amostra de η=1,4924 ± 0,0163 que é aproximadamente 1,5, o que indica que a lâmina utilizada é realmente uma lâmina de vidro comum.
Para este trabalho, foi utilizado um kit didático da Pasco para experimentos utilizando o interferômetro de Michelson fornecido pelo instituto de física da Universidade Federal Fluminense. O Pasco scientific Model OS-9255A thru OS-9258A é um kit, que apesar de ser versátil, possibilitando diversos tipos de experimentos que comprovam princípio básicos de interferência óptica, como a determinação do índice de refração do ar e do vidro, não recebe a devida atenção em nenhuma disciplina fornecida atualmente durante o curso de graduação em física.
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Minha monografia pode ser utilizada futuramente, como material de consulta, em uma possível disciplina de graduação do curso de física que aborde mais profundamente os conceitos de óptica, em especial, de interferometria, pois abrange aspectos não abordados pelo kit da Pasco, como a dedução do número de franjas que devem ser observadas ao rotacionar a amostra de um certo ângulo, o que possibilitará a minimização do erro mecânico da montagem instrumental facilitando a utilização do kit e a visualização dos resultados experimentais, e portanto o entendimento dos temas abordados.
Niterói 2013 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] “Optics”, E. Hecth, 2ed., Addison Wesley, New York. 1994.
[2] “Introduction to modern Optics”, Grant R. Fowles, 2ed,New York. 1975. [3] “Light- Principles and Experiments”, George S. Monk, 2ed, New York. 1963. [4] “Instructin Manual and Experiment Guide for the Pasco scientific Model OS-9255A thru OS-9258A”
[5] ”Fundamentos da Física Volume 4 – Óptica e Física Moderna”, Halliday Resnick; 8ed, Rio de Janeiro, 2009.
