UNESP
“UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO””
Engenhocas: Catapulta
Docente: Profª. Drª. Maria Lúcia Pereira Antunes
Angela Yuri Saito Angelita de Cássia Roquetto
Beatriz Capelo Olimpio Camila Cardoso Leite da Silva
Junho de 2016 Sorocaba
Objetivo
Por meio de uma catapulta, determinar a velocidade inicial de lançamento de um corpo realizando movimento oblíquo, lançamento esse realizado com diferentes angulações.
Introdução
Há duas formas de se pensar em composição de movimento. Na primeira, o movimento do objeto é pensado como resultante de dois movimentos, como quando dois sistemas de coordenadas estão em movimento relativo (o primeiro movimento seria o deslocamento de um objeto observado num determinado sistema de referência, já o segundo movimento é associado ao deslocamento desse sistema de coordenadas. Um exemplo disso são carrosséis, os cavalos sobem e descem num eixo vertical, por outro lado o carrossel gira em relação ao parque). Já na segunda forma, o movimento do objeto é pensado como resultante de dois ou três outros movimentos retilíneos ao longo de eixos ortogonais. Por exemplo, no estudo do lançamento de projéteis, Galileu introduziu a decomposição do movimento em duas componentes, uma horizontal e outra vertical. O movimento de duas componentes em eixos ortogonais é complexo, assim sendo, a decomposição de movimentos é um artifício para equacionar alguns problemas em duas (no plano) ou três (no espaço) dimensões em termos de equações de uma dimensão em função do tempo.
Há muitos movimentos que ocorrem em duas dimensões, ou seja, em um plano. Quando é tratado o movimento dos projéteis, considera-se a superfície da Terra como sendo plana.
Estudando o lançamento de um projétil de um ponto em um certo instante (tempo t=0), este pode ser uma bala de canhão por exemplo, dados pelas coordenadas (x0, y0). Esse projétil será lançado no espaço com uma
velocidade inicial v0. O vetor velocidade formará um ângulo θ com a horizontal
(eixo x), sendo este conhecido como ângulo de tiro. Sendo as componentes do vetor velocidade as seguintes:
É possível a partir destes dados, prever a posição da partícula, bem como prever sua velocidade para qualquer instante de tempo. O maior
interesse será em calcular a altura máxima atingida; o tempo de queda (o tempo de duração do voo livre) e; o alcance do projétil na posição horizontal. Para conseguir calcular tais objetivos, é preciso determinar as equações básicas do movimento.
Assim sendo, temos que como a aceleração da gravidade aponta na direção perpendicular à superfície terrestre, o sistema de coordenadas cartesianas mais indicado é aquele no qual um dos eixos é paralelo ao chão (eixo x) e o outro eixo é paralelo à aceleração da gravidade. Pode-se estudar o movimento do projétil com a composição de dois movimentos: um na direção vertical (eixo y) e outro na direção horizontal (eixo x).
Como não existe aceleração ao longo do eixo x, o movimento nessa direção é uniforme e escreve-se:
Sendo X0 a coordenada inicial (no tempo t=0) e V0x a componente da
velocidade inicial no eixo x.
A componente da velocidade no eixo x é constante e dada por:
Já ao longo do eixo y a aceleração é constante e dada pela aceleração da gravidade g. O movimento no eixo y é, portanto, uniformemente variado e, para a orientação de eixos consideradas, escreve-se:
Sendo y0 a coordenada inicial (eixo y) e V0y a componente da velocidade
inicial.
A componente da velocidade escreve-se:
Chega-se assim a conclusão de que, dadas a posição inicial (x0, y0) e a
velocidade inicial (v0x, v0y) do projétil, pode-se determinar a sua posição e
Para a posição, basta determinar x e y. Sendo essas coordenadas, para um tempo qualquer, dadas pelas seguintes expressões:
Já para a velocidade, a qualquer tempo, tem-se a seguinte expressão para suas componentes:
Sendo, portanto, estas as equações básicas do movimento. A partir delas pode-se obter informações sobre esse movimento.
No entanto a partir da equação:
Tem-se:
Substituindo t pela expressão acima obtida na equação encontra-se:
Desta forma obtém-se para a trajetória a expressão:
Sendo, portanto, a equação da trajetória a equação de uma parábola. A altura máxima do projétil será atingida quando sua velocidade se igualar a zero no eixo y, pois nesse momento ele deixará de subir. Isto ocorre no tempo (tm) dado por:
Isto é,
A altura máxima (Ym) será dada pela substituição de t por tm na
expressão:
Assim sendo,
Quando o projétil y=0, quer dizer que ele atingiu o chão no instante tq,
assim:
A solução dessa equação dará:
Quando o projétil atinge o chão ele também atingi uma posição no eixo x, a qual é chamada de alcance. Para determina-lo basta substituir o tempo t, pelo tempo de queda tq na equação x = x0 + v0xt, obtendo-se assim:
Especificamente, nesse experimento, o tema explorado será a fórmula do Alcance (R), sendo esse a distância máxima entre o ponto de lançamento e o ponto de queda, ou seja, quando y=0, o que leva a relação ilustrada pela Figura 1:
R = x(t) - x0
Figura 1: Esquema relativo ao plano de lançamento oblíquo de um corpo qualquer.
Pode-se considerar x0 como origem do eixo x, ou seja, x0=0. Como x(t) é
definido como produto da velocidade inicial pelo cosseno do ângulo de lançamento em relação ao tempo, tem-se assim:
t = R/v0.cosƟ0
Paralelamente a isso, tem-se também que y(t) – y0 = 0 implicando na
relação:
v0.senƟ0.t – gt2/2 = 0
Substituindo t se obtém:
v0.senƟ0.[R/v0.cosƟ0] – [R/v0.cosƟ0]2.g/2 = 0
Após algumas manipulações,
v0.senƟ0.[R/v0.cosƟ0] = [R/v0.cosƟ0]2.g/2
v0.senƟ0 = ([R/v0.cosƟ0]2.g/2)/[R/v0.cosƟ0]
v0.senƟ0 = [R/v0.cosƟ0].g/2
R = 2 v0.senƟ0. v0.cosƟ0/g
R = 2 v02 senƟ0.cosƟ0/g
Chega-se à formula final do alcance: R = sen(2Ɵ).v02/g
Que será utilizada nesse experimento para determinar-se a velocidade inicial na qual o corpo é lançado da catapulta, ou seja:
[R.g/sen(2Ɵ)]1/2
= v0
Nota-se que o alcance (R) não depende da massa do corpo, assim sendo, utilizaremos corpos com massas diferentes, mas que possuem mesmo padrão de forma, para que a variação da resistência do ar seja desprezível.
Materiais e Métodos Materiais: Cabo de vassoura Pregos Parafusos Furadeira 2 ganchos de metal 4 discos de madeira Vigas de madeira Chave de fenda Martelo Alicate Elásticos de dinheiro Fita métrica (±0,1) cm Lixa Serrote Lápis Transferidor Cilindro de madeira Papel cartão Câmera Fita adesiva Pedras Métodos:
Primeiramente cortaram-se dois pedaços de viga com 24x4 cm (Corpo 1), outros dois pedaços com 4x7 cm (Corpo 2) e um de 10x4 cm (Corpo 3), como podemos ver nas Figuras 2 e 3.
Figura 2: dimensões das peças esquematizadas apresentando cota em cm.
Figura 3: Apresentação das peças de madeira cortadas para a preparação da base da catapulta, sendo elas da esquerda para a direita o Corpo 3, o Corpo 1 e já acoplado a ele o Corpo 2.
Em seguida, serrou-se o cabo de uma vassoura em 4 pedaços com 10 cm cada (Corpo 4) e em um deles talhou-se uma concavidade com centro na metade e profundidade de 1 cm. Com isso, adquiriu-se um pequeno cilindro de madeira proveniente de móveis planejados, com aproximadamente 15 cm (Corpo 5). Também foi serrado um pedaço de vassoura com 20 cm (Corpo 6), de acordo com a Figura 4.
Figura 4: Cabo de vassoura previamente cortado seguindo as medidas já mencionadas, sendo apresentado da direita para a esquerda o Corpo 4 (quatro primeiros cilindros proveniente de um mesmo cabo de vassoura possuindo a mesma dimensão entre si), o Corpo 5 e o Corpo 6.
Em uma marcenaria encomendaram-se 4 moedas de madeira com 5 cm de diâmetro possuindo um furo central com o diâmetro médio de um parafuso (Corpo 7), de acordo com a Figura 5.
Figura 5: Moedas de madeira apresentando 5 cm de diâmetro (corpo 7).
Foram feitos furos na viga de 24x4 cm (Corpo 1) com uma furadeira (sendo os furos feitos da seguinte forma, a partir da extremidade mais afastada da alavanca: 2cm da ponta até o primeiro furo, do primeiro furo para o segundo
3cm, do segundo para o terceiro furo 4cm e do terceiro para o quarto furo 11cm) como apresentado pela Figuras 6.
Figura 6: Esquema da marcação dos furos na base da catapulta.
O esquema de montagem da catapulta seguirá de acordo com a Figura 7, sendo já fixados ganchos na parte superior da catapulta.
Com pregos, fixou-se a base da catapulta, ligando o Corpo 1 ao Corpo 2 a 7 centímetros da extremidade, como descrito pela Figura 6. O processo foi realizado para os dois Corpos 1, de acordo com a Figura 8.
Figura 8: Base da catapulta já furada apresentando estrutura final seguindo a Figura 6.
Também, com a furadeira foram feitos furos no pedaço de vassoura com 20 cm, no entanto neste foi feito apenas um furo. Com as laterais prontas, encaixou-se o Corpo 5 em ambos os lados, e ele foi transpassado no furo do Corpo 6 (pedaço de vassoura com 20 cm), depois de fixar nele um gancho de varal. Na próxima etapa, encaixou-se a viga com côncavo (Figura 9) ligando as duas laterais e para liga-la na parte de cima, fixou-se a estaca de madeira nos parafusos previamente colocados na viga com 4x7, terminando assim a estrutura base da catapulta, como apresentado pelas Figuras 10, 11, 12 e 13.
Figura 10: Início da montagem da base da catapulta, com um dos lados já fixados, onde foi pregado o Corpo 3.
Figura 11: Preparação para parafusar os dois “pés” da catapulta demonstrando também seu braço ainda não fixado.
Figura 12: Fixando a base da catapulta utilizando para isso um martelo e pregos já fixados.
Figura 13: Base da catapulta totalmente acoplada.
Sequencialmente, parafusaram-se os cilindros de vassoura nos furos das extremidades com as moedas de madeira, de acordo com as Figuras 14, 15, 16, 17 18 e 19.
Figura 14: Início da colocação das rodas da catapulta.
Figura 15: Colocação das rodas da catapulta, fixando também os cilindros (Corpo 4) de sustentação.
Figura 16: Finalização da colocação das rodas de um lado da catapulta.
Figura 17: Mesmo procedimento de colocação das rodas, agora com um par já fixado.
Figura 18: Finalizando a colocação das rodas.
Figura 19: Catapulta com as quatro rodas já fixadas.
O mesmo foi feito para os outros dois cilindros, porém sem a moeda, de acordo com as Figuras 20, 21, 22, 23, 24 e 25.
Figura 20: Início da fixação dos Corpos 4 que possuem papel na sustentação da estrutura da catapulta.
Figura 21: Representação da fixação dos pedaços de cabo de vassoura sendo acoplados à catapulta.
Figura 22: Catapulta com todos os Corpos 4 fixados, ainda sem os elásticos enganchados vista de cima.
Figura 23: Catapulta pronta ainda sem os elásticos enganchados vista lateral.
Figura 24: Catapulta pronta ainda sem os elásticos enganchados vista de frente.
Figura 25: Catapulta pronta ainda sem os elásticos enganchados vista de trás.
Passaram-se elásticos nos dois ganchos laterais, e sendo ele passado também no gancho do braço da catapulta, finalizando assim a montagem do protótipo, de acordo com as Figuras 26 e 27.
Figura 26: Catapulta finalizada com os elásticos enganchados.
Figura 27: Catapulta finalizada com os elásticos enganchados.
Com uma fita adesiva acoplou-se à lateral da catapulta, de acordo com a Figura 28, um transferidor de papel, para que fosse possível medir o ângulo de lançamento.
Figura 28: Transferidor de papel acoplado a catapulta.
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Para realizar as medidas, primeiramente realizaram-se 5 lançamentos de corpos com dimensões parecidas (Figura 29) submetidos à angulação de 30º em uma superfície plana, anotando a distância percorrida por esses com uma trena, e depois repetiu-se este procedimento para as angulações de 45º e
60º, anotando os valores obtidos, como representado genericamente pelas Figuras 30, 31, 32 e 33.
Figura 29: Corpos que foram arremessados pela catapulta durante o experimento.
Figura 30: Início do trajeto de um corpo qualquer arremessado pela catapulta.
Figura 31: Início do trajeto de um corpo qualquer sendo lançado pela catapulta construída visto de trás.
Figura 32: Objeto quase no fim de seu trajeto.
Resultados
Ao realizarem-se as medições com os ângulos de 30, 45 e 60º em uma superfície plana obtiveram-se as 5 distâncias que seguem nas Tabelas 1, 2 e 3.
Tabela 1: Distâncias alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de 30º. Ângulo de 30° Distância Alcançada (cm) 470 520 530 560 730 562±100
Tabela 2: Distâncias alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de 45º. Ângulo de 45° Distância alcançada (cm) 340 370 360 360 410 360±26
Tabela 3: Distância alcançada pelo corpo lançado quando submetido à angulação de 60º em lançamentos. Ângulo de 60° Distância Alcançada (cm) 100 100 130 130 130 118±16.4
Com as distâncias médias foi possível calcular a velocidade inicial de lançamento e seu erro, dados apresentados na Tabela 4.
Tabela 4: Velocidade inicial média de cada corpo de acordo com o ângulo de lançamento.
Ângulo (°) Velocidade (cm/s)
30 700±100
45 600±10
Discussão
Embora se tenha chegado em um valor experimental da velocidade inicial do corpo, esse contém erros que não puderam ser mensurados, tais como a precisão do ângulo, a resistência do ar, a inclinação da superfície e o fato de se ter desconsiderado a altura inicial de lançamento, pois as medidas obtidas foram os valores horizontais percorridos pelos corpos quando tocam o chão, sendo que esse não seria verdadeiramente o valor inicial na vertical (eixo Y) de lançamento. Porém, utiliza-se o dado obtido para apenas se ter ideia da velocidade que se pode lançar pequenos corpos com a catapulta construída.
Outro fato notório se deu nesse experimento foi a comprovação de que a massa do corpo não influencia em sua velocidade, pois mesmo alterando os corpos o alcance obtidos por eles num dado ângulo condiz com a média.
Conclusão
Pode-se concluir ao final do experimento e montagem, que independente dos erros de medida, principalmente quanto se tange ao referencial adotado, quanto maior for o ângulo de lançamento do objeto pela catapulta, menor será a distância alcançada pelo corpo e consequentemente menor será a sua velocidade média, sendo este resultado independente da massa e tamanho do objeto.
Referências
E-FÍSICA. Mecânica: Composição do Movimento, Movimento em duas
direções. Disponível em
<http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/composicao/intro/>. Acesso em 24 de abril de 2016.
Só Física. Movimento Oblíquo. Disponível em
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/movobl.php>. Acesso em 23 de abril de 2016.
