AULA DE APOIO - 1 FÍSICA MATEMÁTICA I. A transformada de Fourier

AULA DE APOIO - 1

FÍSICA–MATEMÁTICA I

A transformada de Fourier

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades Assuntos da aula 1 Definições e Propriedades Visão geral Motivações

Linearidade e limitação uniforme

2 Exemplos

3 Outras propriedades

Definições e Propriedades

Exemplos Outras propriedades

Visão geral

Motivações

Linearidade e limitação uniforme

Denotamos por L1 _{o conjunto das funções f : R −→ C, a valores} complexos, tais que as integrais impróprias de f e |f | existam. Isto requer que f e |f | sejam (Riemann) integráveis em cada intervalo [−M, N] e que os limites lim M,N→∞ Z N −M f (x )dx e M,N→∞lim Z N −M |f (x )| dx existam. A integral R∞ −∞|f (x )| dx é a norma kf k1 de f em L1. A tranformada de Fourier ˆf de f ∈L1 é definida pela integral

ˆ f (ξ) = √1 2π Z ∞ −∞f (x )e −iξx_{dx (1)}

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Motivações

Linearidade e limitação uniforme

e a anti-transformada de Fourier de g ∈L1 é, analogamente, dada por ˇ g (x ) = √1 2π Z ∞ −∞g (ξ)e i ξx d ξ (2)

Pretendemos nesta, e na próxima aula, estabelecer a inversa de Fourier de forma que f possa ser representada por uma integral (análoga a expansão de Fourier)

f (x ) =? √1 2π Z ∞ −∞ ˆ f (ξ)ei ξxd ξ = (ˆf ˇ)(x ) .

Com esta ferramenta complementaremos nosso estudo das equações diferenciais parcias que descrevem a condução do calor e a

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Visão geral

Motivações

Linearidade e limitação uniforme

Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:

f (x ) =? a0 2 + ∞ X n=1  ancos nπ L x + bnsin nπ L x 

onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx , (ˆf (ξ−n) = (L/ √ 2π)(a−n+ ib−n)) ˆ f (ξn) = v u u t 2 πL an− ibn 2 = v u u t 2 π Z L −Lf (x ) cos ξnx − i sin ξnx 2 dx

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Visão geral

Motivações

Linearidade e limitação uniforme

Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:

f (x ) =? a0 2 + ∞ X n=1 an− ibn 2 e inπx /L + an+ ibn 2 e −inπx /L !

onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx , (ˆf (ξ−n) = (L/ √ 2π)(a−n+ ib−n)) ˆ f (ξn) = v u u t 2 πL an− ibn 2 = v u u t 2 π Z L −Lf (x ) cos ξnx − i sin ξnx 2 dx

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Exemplos Outras propriedades

Visão geral

Motivações

Linearidade e limitação uniforme

Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:

f (x ) =? √1 2π ∞ X n=−∞ ˆ f (ξn) ei ξnx ∆ξn , ξn = nπ L e ∆ξn = π L

onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx , (ˆf (ξ−n) = (L/ √ 2π)(a−n+ ib−n)) ˆ f (ξn) = v u u t2 πL an− ibn 2 = v u u t 2 π Z L −Lf (x ) cos ξnx − i sin ξnx 2 dx

Definições e Propriedades

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Visão geral

Motivações

Linearidade e limitação uniforme

Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:

f (x ) =? √1 2π ∞ X n=−∞ ˆ f (ξn) ei ξnx ∆ξn , ξn = nπ L e ∆ξn = π L

onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx , (ˆf (ξ−n) = (L/ √ 2π)(a−n+ ib−n)) ˆ f (ξn) = v u u t2 πL an− ibn 2 = v u u t 2 π Z L −Lf (x ) cos ξnx − i sin ξnx 2 dx

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Linearidade e limitação uniforme

Podemos pensar a transformada de Fourier como o limite de L tendendo a ∞ de uma série de Fourier de f em [−L, L]:

f (x ) =? √1 2π ∞ X n=−∞ ˆ f (ξn) ei ξnx _∆ξ n , ξn = nπ L e ∆ξn = π L

onde, pela fórmula de Euler: e±iξx = cos ξx ± i sin ξx , (ˆf (ξ−n) = (L/ √ 2π)(a−n+ ib−n)) ˆ f (ξn) = v u u t 2 πL an− ibn 2 =√1 2π Z L −Lf (x ) e −iξnx dx .

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Linearidade e limitação uniforme

Os ˆf (ξ)’s desempenham o mesmo papel dos “coeficientes” de uma

série de Fourier. Ao desenvolver a transformada de Fourier, vamos encontrar muitas similaridades com as séries mas há também algumas surpresas, não todas bem-vindas.

Aos alunos que procuram motivações em Matemática e Física para o estudo de transformada de Fourier (o que é e para que serve), faço referência ao sítio de perguntas e respostas “Mathematics Stack Exchange”

https://math.stackexchange.com/questions/1002/fourier-transform-for-dummies

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Visão geral Motivações

Linearidade e limitação uniforme

A transformada de Fourier é uma transformação linear: se f , g ∈L1 e a, b ∈ C, então h(x ) = af (x ) + bg(x ) ∈ L1 e

ˆ

h(ξ) = aˆf (ξ) + b ˆg (ξ).

A transformação leva funções de L1 em funções limitadas (que tendem a 0 em ±∞ por Riemann-Lebesgue): como 

e −iξx  = 1,   ˆf (ξ)    ≤ 1 √ 2π Z ∞ −∞|f (x )| dx = kf k₁ √ 2π < ∞ .

Afim de apreciar estas propriedades de ˆf , daremos alguns exemplos

Definições e Propriedades

Exemplos

Outras propriedades

Suponha a > 0. Seja f (x ) = √2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x ) = 0 se |x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,

ˆ f (ξ)= Z a −a 1 2ae −iξx_dx = Z a −a 1 2a(cos ξx − i sin ξx ) dx = 1 a Z a 0 cos ξx dx = sin aξ aξ .

Definições e Propriedades

Exemplos

Outras propriedades

Suponha a > 0. Seja f (x ) = √2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x ) = 0 se |x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,

ˆ f (ξ) = Z a −a 1 2ae −iξx_dx = Z a −a 1 2a(cos ξx − i sin ξx ) dx = 1 a Z a 0 cos ξx dx = sin aξ aξ .

Definições e Propriedades

Exemplos

Outras propriedades

Suponha a > 0. Seja f (x ) = √2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x ) = 0 se |x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,

ˆ f (ξ) = Z a −a 1 2ae −iξx_dx = Z a −a 1 2a(cos ξx − i sin ξx ) dx = 1 a Z a 0 cos ξx dx = sin aξ aξ .

Definições e Propriedades

Exemplos

Outras propriedades

Suponha a > 0. Seja f (x ) = √2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x ) = 0 se |x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,

ˆ f (ξ) = Z a −a 1 2ae −iξx_dx = Z a −a 1 2a(cos ξx − i sin ξx ) dx = 1 a Z a 0 cos ξx dx = sin aξ aξ .

Definições e Propriedades

Exemplos

Outras propriedades

Suponha a > 0. Seja f (x ) = √2π(2a)−1 se |x | ≤ a e f (x ) = 0 se |x | > a. Então, usando a fórmula de Euler e a paridade de f ,

ˆ f (ξ) = Z a −a 1 2ae −iξx_dx = Z a −a 1 2a(cos ξx − i sin ξx ) dx = 1 a Z a 0 cos ξx dx = sin aξ aξ .

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades Se f (x ) = e−c|x |, c > 0, então ˆ f (ξ)= √1 2π Z 0 −∞e cx_e−iξx_{dx +}Z ∞ 0 e −cx_e−iξx_dx ! = √1 2π    e(c−i ξ)x c − i ξ       0 −∞ − e −(c+iξ)x c + i ξ       ∞ 0    = √1 2π 1 c − i ξ + 1 c + i ξ ! = v u u t2 π c c2 _{+ ξ}2 .

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades Se f (x ) = e−c|x |, c > 0, então ˆ f (ξ) = √1 2π Z 0 −∞e cx_e−iξx_{dx +}Z ∞ 0 e −cx_e−iξx_dx ! = √1 2π    e(c−i ξ)x c − i ξ       0 −∞ − e −(c+iξ)x c + i ξ       ∞ 0    = √1 2π 1 c − i ξ + 1 c + i ξ ! = v u u t2 π c c2 _{+ ξ}2 .

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades Se f (x ) = e−c|x |, c > 0, então ˆ f (ξ) = √1 2π Z 0 −∞e cx_e−iξx_{dx +}Z ∞ 0 e −cx_e−iξx_dx ! = √1 2π    e(c−i ξ)x c − i ξ       0 −∞ − e −(c+iξ)x c + i ξ       ∞ 0    = √1 2π 1 c − i ξ + 1 c + i ξ ! = v u u t2 π c c2 _{+ ξ}2 .

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades Se f (x ) = e−c|x |, c > 0, então ˆ f (ξ) = √1 2π Z 0 −∞e cx_e−iξx_{dx +}Z ∞ 0 e −cx_e−iξx_dx ! = √1 2π    e(c−i ξ)x c − i ξ       0 −∞ − e −(c+iξ)x c + i ξ       ∞ 0    = √1 2π 1 c − i ξ + 1 c + i ξ ! = v u u t2 π c c2 _{+ ξ}2 .

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades Se f (x ) = e−c|x |, c > 0, então ˆ f (ξ) = √1 2π Z 0 −∞e cx_e−iξx_{dx +}Z ∞ 0 e −cx_e−iξx_dx ! = √1 2π    e(c−i ξ)x c − i ξ       0 −∞ − e −(c+iξ)x c + i ξ       ∞ 0    = √1 2π 1 c − i ξ + 1 c + i ξ ! = v u u t2 π c c2 _{+ ξ}2 .

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades -3 -2 -1 1 2 3 x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 f(x) a = 1/2, 1, 2

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades -15 -10 -5 5 10 15 ξ -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 f (ξ) a = 1/2, 1, 2

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades -10 -5 5 10 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 f(x) c = 1/2, 1, 2

Definições e Propriedades Exemplos Outras propriedades -10 -5 5 10 ξ 0.5 1.0 1.5 f (ξ) c = 1/2, 1, 2

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

Denote por τaf (x ) = f (x − a) a translação de f por a ∈ R, e ebf (x ) = eibxf (x ) a modulação de f por eb(x ) = eibx. Suponha f ∈L1 e a e b reais. Então a. τd af (ξ) = e−aˆf (ξ) ; b. ed bf (ξ) = τbf (ξ) ;ˆ c. b¯ f (ξ) = ˆf (−ξ) ; d. f (ξ) é uniformemente contínua ;ˆ

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

a. Mudando a variável x para y = x − a, temos

d τaf (ξ) = 1 √ 2π Z ∞ −∞f (x − a)e −iξx_dx b. Claramente, d ebf (ξ) = 1 √ 2π Z ∞ −∞f (x )e −i(ξ−b)x_{dx = τ} bf (ξ) .ˆ

c. Tomando o complexo conjugado da integral ˆf (−ξ), obtemos

ˆ f (−ξ) = √1 2π Z ∞ −∞ ¯ f (x )e−iξxdx = ¯_{f (ξ) .}b

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

a. Mudando a variável x para y = x − a, temos

d τaf (ξ) = e−iaξ√1 2π Z ∞ −∞f (y )e −iξy_{dy = e} −af (ξ) .ˆ b. Claramente, d ebf (ξ) = 1 √ 2π Z ∞ −∞f (x )e −i(ξ−b)x_{dx = τ} bf (ξ) .ˆ

c. Tomando o complexo conjugado da integral ˆf (−ξ), obtemos

ˆ f (−ξ) = √1 2π Z ∞ −∞ ¯ f (x )e−iξxdx = ¯_{f (ξ) .}b

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

d. Como kf k₁ < ∞, dado ε existe K > 0 tal que

v u u t2 π Z −K −∞ |f (x )| dx < ε e v u u t2 π Z ∞ K |f (x )| dx < ε . (3) Consequentemente, ˆ f (ξ) − ˆf (η) = √1 2π Z ∞ −∞f (x )  e−iξx − e−iηx dx onde |I1| ≤ √1 2π Z −K −∞ |f (x )|     e−iξx − e−iηx  dx

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

d. Como kf k₁ < ∞, dado ε existe K > 0 tal que

v u u t2 π Z −K −∞ |f (x )| dx < ε e v u u t2 π Z ∞ K |f (x )| dx < ε . (3) Consequentemente, ˆ f (ξ) − ˆf (η) = √1 2π Z −K −∞ + Z K −K + Z ∞ K ! f (x )e−iξx − e−iηx dx onde |I1| ≤ 1 √ 2π Z −K −∞ |f (x )|     e−iξx − e−iηx  dx

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

d. Como kf k₁ < ∞, dado ε existe K > 0 tal que

v u u t 2 π Z −K −∞ |f (x )| dx < ε e v u u t 2 π Z ∞ K |f (x )| dx < ε . (3) Consequentemente, ˆ f (ξ) − ˆf (η) = √1 2π Z −K −∞ + Z K −K + Z ∞ K ! f (x )e−iξx − e−iηx dx onde |I1| ≤ v u u t 2 π Z −K −∞ |f (x )| dx < ε ,

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| ≤ 1 √ 2π Z K −K |f (x )|     e−iξx − e−iηx  dx e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| = 1 √ 2π Z K −K|f (x )|      Z ξ η −ixe −isx_ds      dx e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| ≤ 1 √ 2π Z K −K|x | |f (x )|      Z ξ η   e −isx  ds      dx e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| ≤ K √ 2π|ξ − η| Z ∞ −∞|f (x )| dx e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| = K kf k₁ √ 2π |ξ − η| e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| = K kf k₁ √ 2π |ξ − η| e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| = K kf k₁ √ 2π |ξ − η| e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas |I2| = K kf k₁ √ 2π |ξ − η| e, analogamente a I1, |I3| < ε .

Existe δ suficientemente pequeno tal que, para todo ξ, η ∈ R tais que |ξ − η| ≤ δ,   ˆf (ξ) − ˆf (η)    ≤ 2ε + K kf k₁ √ 2π δ < 3ε

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

e. Para um K > 0 finito, a integral

Z K −K f 0_{(x )e}−iξx_{dx = f (x )e}−iξx   K −K + i ξ Z K −Kf (x )e −iξx_dx

com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f0 ∈L1_,

f (±K ) tende a 0 quando K → ∞ (a rigor, segue da desigualdade de

Sobolev).

Tomando K → ∞ obtemos desta expressão vezes √1

2π a igualdade desejada: fc0(ξ) = i ξˆf (ξ).

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

e. Para um K > 0 finito, a integral

Z K −K f

0_{(x )e}−iξx_{dx = f (K )e}−iξK _{− f (−K )e}i ξK _{+ i ξ}Z K

−K f (x )e

−iξx_dx com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f0 ∈L1_,

f (±K ) tende a 0 quando K → ∞ (a rigor, segue da desigualdade de

Sobolev).

Tomando K → ∞ obtemos desta expressão vezes √1

2π a igualdade desejada: fc0(ξ) = i ξˆf (ξ).

Definições e Propriedades Exemplos

Outras propriedades

Translações, modulações, continuidade e etc.

Provas

e. Para um K > 0 finito, a integral

Z K −K f

0_{(x )e}−iξx_{dx = f (K )e}−iξK _{− f (−K )e}i ξK _{+ i ξ}Z K

−K f (x )e

−iξx_dx com a igualdade obtida por integração por partes. Como f , f0 ∈L1_,

f (±K ) tende a 0 quando K → ∞ (a rigor, segue da desigualdade de

Sobolev).

Tomando K → ∞ obtemos desta expressão vezes √1

2π a igualdade desejada: fc0(ξ) = i ξˆf (ξ).