Sistemas Aleatórios. Um sistema é aleatório quando seu estado futuro só pode ser conhecido. jogar uma moeda ou um dado. decaimento de uma partícula

Sistemas Aleat ´orios

Um sistema ´e aleat´orio quando seu estado futuro s ´o pode ser conhecido pela realizac¸˜ao de uma experiˆencia.

❒ jogar uma moeda ou um dado

❒ decaimento de uma part´ıcula

❒ trajet´oria de uma part´ıcula ao passar num certo meio

❒ se um embri˜ao vai ser masculino ou feminino

❒ formac¸˜ao das esp´ecies

❒ bolsa de valores

A descric¸˜ao anal´ıtica desses problemas n˜ao ´e poss´ıvel.

☞

Essas regras envolvem aleatoriedade de alguma forma.

O que podemos saber s˜ao grandezas probabil´ısticas. Qual a probabilidade de um certo evento ocorrer.

Calculamos m´edias e desvios padr˜oes.

A comparac¸˜ao com o resultado experimental nos dir´a se o modelo est´a correto ou n˜ao.

Probabilidade - Distribuic¸ ˜oes discretas

x ´e uma vari´avel aleat´oria que pode ter m valores diferentes xi com i variando de

1 a m. (dado: m = 6, x1 = 1, x2 = 2, ..., x6 = 6)

Definimos a frequˆencia de ocorrˆencia do evento xi como o n´umero de vezes

N(xi) que ocorre xi quando repetimos o experimento N vezes.

Temos ent˜ao que

m X

i₌₁

N(xi) = N

A frequˆencia relativa do evento xi e definida como´ F(xi) =

N_(xi) N

Se o experimento ´e repetido N → ∞, F(xi) se torna um n´umero cada vez mais

definido que ´e a probabilidade de ocorrˆencia do evento xi P(xi) = lim

N →∞

N(xi)

N

que est´a entre 0 e 1. e temos

m X

i₌₁

Distribuic¸˜ao Discreta Uniforme

P (x1) = P (x2) = . . . = p m X i=1 P (xi) = p m X i=1 1 = pm = 1 p = 1/m N 10 100 1000 104 105 106 N (x₄) 3 12 163 1698 16605 166753 F (x₄) 0.3 0.12 0.163 0.1698 0.1660 0.16675 P (x4) = p = 1/6 = 0, 166666...

Distribuic¸˜oes discretas

Se conseguirmos determinar a func¸˜ao P (xi) passamos a conhecer bem o sistema.

Em geral, o que conseguimos determinar s˜ao as m´edias e desvios padr˜oes:

¯ x = X i xiN (xi) N = X i xiP (xi) σ2 = X i (xi − ¯x)2P (xi)

No caso de uma moeda, a probabilidade de tirar N₁ caras em N jogadas ´e

dada pela distribuic¸˜ao binomial

P (N, N 1) = N !

N1!(N − N 1)!

pN1qN −N1, ₍₁₎

onde p ´e a probabilidade de tirar cara em uma jogada, e q de tirar coroa.

Distribuic¸˜oes Cont´ınuas

Se X ´e uma vari´avel cont´ınua, fica sem sentido falar na probabilidade de

ter x como resultado.

Definimos um intervalo dx e dP (x)

como a probabilidade de encontrar o resultado entre

x e x + dx. dP (x) depende de x e do tamanho de dx.

Quanto maior for o intervalo considerado, maior ser´a o valor num´erico de dP (x) para um mesmo x

Neste caso ´e mais significativa

a definic¸˜ao de densidade de probabilidade

dP (x)

dx = fX(x) ou seja,

A func¸˜aofX(x) define a distribuic¸˜ao da vari´avel aleat´oria X

se queremos saber qual a probabilidade de ter x entre os valores a e b,

temos

P (a ≤ x ≤ b) = Z b

a

P (x)dx. (2)

P (x) deve ser tal que R P (x)dx = 1

A m´edia e desvio padr˜ao s˜ao definidas como:

¯ x = Z xP (x)dx σ2 = Z (x − ¯x)2P (x)dx

Gerac¸˜ao de n ´umeros aleat´orios

Problema determin´ıstico: conhecer a trajet ´oria ou a evoluc¸˜ao temporal de uma determinada vari´avel.

Sistema ´e aleat´orio: cada trajet´oria ser´a diferente, mesmo partindo de uma ´unica condic¸˜ao inicial. O que tem sentido ´e conhecer o comportamento m´edio.

Usamos o computador para simular processos usando regras

pr´e-determinadas, que em geral envolver˜ao aleatoriedade em alguma forma. Essas regras formam o modelo, e saberemos se s˜ao adequadas a

posteriori, ou seja, depois que calcularmos as m´edias e flutuac¸ ˜oes e

compararmos com um sistema real.

Devemos escolher corretamente a distribuic¸˜ao utilizada. Na simulac¸˜ao computacional isso ´e feito sempre a partir de um gerador de n ´umeros aleat´orios. O C vem com a func¸˜ao rand() que gera n´umeros inteiros entre 0 e RAND MAX que est´a definida em stdlib.h

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main()

{ int s, i, N, x, a, b;

printf("digite um numero inteiro e pressione enter\n\n"); scanf("%d", &s);

printf("informe o numero de sorteios\n\n"); scanf("%d", &N);

a = 0;

b = RAND_MAX;

printf("\nsorteia %d inteiros entre %d e %d:\n\n", N, a, b ); srand(s); // inicializa a semente

for(i = 1; i <= N; i++){

x = rand();

printf("%d %d\n\n",i,x);

}

Para gerar n´umeros entre 0 e 1:

x = ((double)rand())/RAND MAX Para gerar n´umeros entre a e b:

x = a + (b-a)*((double)rand())/RAND MAX

Modifique o programa anterior para gerar n´umeros aleat´orios entre 2

n´umeros `a sua escolha. Calcule e imprima a m´edia e o desvio padr˜ao (σ):

xm = 1 N N X i=1 xi σ2 = 1 N N X i=1 x2_i ! − x2_m Preencha um histograma.

Gerac¸˜ao de Distribuic¸˜ao N˜ao Uniforme

M´etodo da Transformada

Suponha X seja distribu´ıda de acordo com PX(x). Ou seja, a

probabilidade de encontrar X com valor entre x e x + dx ´e PX(x)dx. Seja y uma outra vari´avel aleat´oria, tal que y = f (x).

A distribuic¸˜ao PY (y) pode ser obtida a partir de PX(x) usando-se a lei fundamental de transformac¸˜ao de probabilidades:

|PX(x)dx| = |PY (y)dy| ou PY (y) = PX(x)     dx dy     (3)

Queremos gerar uma distribuic¸˜ao de Poisson, descrita por

PY (y) = exp(−y) a partir da distribuic¸˜ao uniforme PX(x) = 1. Usando PY (y) =    dx dy    temos exp(−y) =   dx dy    =⇒ x = R y 0 exp(−y)dy = 1 − exp(−y) Invertendo, temos: x − 1 = − exp(−y) =⇒ ln(1 − x) = −y =⇒ y = − ln(1 − x)

Assim, usamos o gerador de n´umeros padr˜ao para conseguir valores de x

e calculamos y usando y = − ln(1 − x). ´

E importante notar que em geral isso envolve manipular os n ´umeros gerados de alguma forma, ajustando normalizac¸˜ao e deslocamento.

0 x 1 y p(y) Ry 0 p(y)dy

M´etodo da rejeic¸ ˜ao

Queremos gerar uma distribuic¸˜ao de

acordo com PY (y), definida no intervalo

[ymin, ymax], cujo valor m´aximo ´e 1. Sorteamos um n´umero

y₁ uniformemente entre ymin e ymax. Geramos um

outro n´umero aleat´orio entre 0 e 1 (pteste) Aceitamos

Tarefa 12

1. Use o m´etodo da transformada para gerar uma sequˆencia de n´umeros entre 0 e 10, distribu´ıdos de acordo com

P (y) = exp (−y)

2. Use o m´etodo da rejeic¸˜ao para gerar uma sequˆencia de n´umeros distribu´ıdos de acordo com a distribuic¸˜ao gaussiana:

P (y) = _σ√1

2π exp [−(y − ym)

2_/(2σ2_)]

com Pmax = 1. Experimente os valores σ = 2.0 ym = 0.0,

σ = 2.0 ym = 5.0,σ = 4.0 ym = 0.0. O que acontece com a

distribuic¸˜ao quando ym ´e aumentado? E quando σ ´e aumentado?

Nos dois exerc´ıcios, guarde o resultado em um histograma. Salve o resultado do histograma em um arquivo para ser visualizado no gnuplot. O eixo x deve ser o valor do centro do bin e o conte ´udo do histograma deve ser normalizado por