UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Instituto de Física – Física Experimental IV
Relatório de atividade experimental ESPELHOS
Vítor Sudbrack 00244462
Porto Alegre, 07 de Maio de 2016.
Resumo: No presente estudo, espelhos côncavo e convexo foram estudados quantitativamente e qualitativamente. As imagens formadas por cada espelho, para diferentes posições do objeto, foram descritas. Através do uso de cinco metodologias diferentes, estimou-se a distância focal e o raio de curvatura dos espelhos. Em geral, os valores mesurados foram de encontro com o valor proposto pelo fabricante. Em um modelo que usava a divergência de raios paralelos para calcular o foco do espelho convexo não apresentou precisão nos valores encontrados. Um possível motivo foi discutido pelo autor.
INTRODUÇÃO
Espelhos e lentes são objetos de importante estudo na ótica devido à suas aplicações em diversos instrumentos da ciência moderna, como telescópios e microscópios.
Em particular, dois tipos de espelhos serão investigados neste relatório: o espelho côncavo e o espelho convexo. Caracteriza-se como côncavo como aquele espelho presente na superfície interna de uma casca esférica refletora. Já o convexo apresenta-se na superfície externa de uma casca esférica refletora.
As equações utilizadas neste relatório não serão demonstradas. Suas demonstrações podem ser encontradas facilmente em livros de física geral, como [1] e [2]. Aqui será usada a simbologia e as convenções utilizadas pelo livro de Física Básica de Moysés Nussenzveig[1] , resumidas na tabela abaixo.
Tabela 1. Simbologias e convenções aplicadas nas equações para descrição das imagens em espelhos.¹ Para tais convenções é necessário que o raio de luz incida da esquerda para a direita
no espelho.
Medida Símbolo Convenção de sinal
Posição do objeto² p
Positivo à esquerda do vértice, negativo à direita. Posição da imagem² q
Raio de curvatura r Positivo em espelhos côncavos, negativo em convexos.
Foco f
Amplificação vertical m
Positivo quando o objeto e a imagem têm o mesmo sentido vertical, negativo quando têm sentido
oposto.
¹ Neste relatório a notação seguida é apresentada por [1]. ² Medidos em relação ao vértice do espelho.
É importante ressaltar que as equações aqui descritas valem apenas para espelhos cujas dimensões são muito menores que o raio de curvatura, este critério é conhecido como “condição
de Gauss”.[3]
Quantitativamente as posições do objeto e da imagem estão relacionadas com o foco e o raio de curvatura do espelho da seguinte forma [1]:
A amplificação da imagem está relacionada com as posições do objeto e da imagem [1]:
É possível também descrever qualitativamente as posições tal como a tabela 2.
Tabela 2. Descrições qualitativas do objeto e da imagem formada por espelhos.
Relacionado à Caracterização Descrição
Posição
Real encontram ( , ) Quando os raios de luz se
Virtual
Quando apenas as extensões dos raios de luz se encontram
( , )
Tamanho
Ampliado
Quando a altura da imagem é maior que a altura do objeto
( ) Reduzido
Quando a altura do objeto é maior que a altura da imagem
( )
Sentido da altura
Direto
Quando as alturas da imagem e do objeto têm o mesmo
sentido ( ) Invertido
Quando as alturas da imagem e do objeto têm sentidos
opostos ( ) MATERIAIS
Anteparo branco; Suportes e banco ótico;
Lâmpada de feixe colimado de luz branca; Espelho côncavo; Espelho convexo; Lente convergente; Trena; Régua; Paquímetro. METODOLOGIA
I. Análise qualitativa das imagens
Nesta primeira parte do experimento, fixou-se o espelho côncavo em uma das extremidades do banco ótico com o uso dos suportes. Uma vela foi acesa e posicionada no meio do caminho ótico. Um anteparo na outra extremidade foi reposicionado para a formação da imagem da vela com nitidez. A imagem foi analisada e suas características anotadas. A vela é
então reposicionada e novamente move-se o anteparo para observar a imagem e caracterizá-la. O processo foi repetido com o espelho convexo, mas desta vez as imagens foram observadas diretamente no espelho.
II. Análise quantitativa do espelho côncavo
a. Determinação da distância focal através das posições do objeto e imagem
Juntamente com a análise qualitativa, utilizando uma trena, mediram-se as distâncias entre a vela e o espelho ( ), o anteparo e o espelho ( ) e o tamanho da imagem no anteparo ( ). A altura da vela foi medida com um paquímetro ( ). Foram realizadas medidas para quatro configurações distintas.
b. Determinação da distância focal através da convergência de raios paralelos A distância focal é o ponto de encontro de raios que incidem paralelos sobre o espelho. Pensando assim, ajustou-se a lâmpada de feixes colimados de tal forma que a imagem do filamento metálico se fizesse na parede ao fundo da sala, garantindo assim que os raios saiam o mais paralelo possível. Posicionou-se uma régua na saída da lâmpada, enquanto o espelho foi posicionado para que a imagem se formasse ao lado da saída da lâmpada. Assim, a distância medida entre a saída da lâmpada e o espelho é , uma vez que .
A imagem a seguir ilustra as medições descritas para o espelho côncavo.
Figura 1. Montagem dos equipamentos descritos nos itens II.a e II.b. A imagem também ilustra as variáveis
medidas.
III. Análise quantitativa do espelho convexo
a. Determinação da distância focal através da incidência radial sobre o espelho A frente da saída da lâmpada com o cartão circular foi posta uma lente convergente que redirecionavam os raios colimados que saíam da fonte para um ponto medido com um anteparo, a uma distância . A seguir foi posto o espelho convexo entre a lente e o anteparo na posição em que os raios refletidos na superfície do espelho seguiam a mesma trajetória que os raios incidentes, o que foi verificado vendo a imagem que ocorria no próprio cartão. Geometricamente sabe-se que para que isso ocorra os raios devem incidir radialmente à superfície. Portanto, a distância entre o anteparo e o espelho é o próprio raio do espelho.
b. Determinação da distância focal através da divergência de raios paralelos
Na saída da lâmpada colocou-se um cartão circular cujo diâmetro era conhecido. Este feixe incidiu no centro do espelho convexo e então se observou o diâmetro da imagem do feixe
sobre o próprio cartão. Ambos os valores e foram registrados, assim como a distância do cartão até o espelho, .
c. Determinação da distância focal através das posições do objeto e imagem
Posicionou-se uma vela e uma lente convergente no banco ótico. Observou-se com o anteparo a posição em que a lente convergente formava uma imagem real da vela. Posicionou-se então o espelho convexo, utilizando a imagem real da lente convergente como objeto virtual do espelho. Com o anteparo ao lado da lente e o espelho levemente virado, posicionou-se o espelho convexo até se obter uma imagem nítida no anteparo. Mediu-se então a distância entre a lente e sua imagem ( ) e a lente até o espelho, .
A figura a seguir ilustra os procedimentos descritos para análise com o espelho convexo.
Figura 2. Montagem dos equipamentos descritos nos itens III.a, III.b e III.c. A imagem também ilustra alguns dos
comprimentos medidos.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
I. Análise qualitativa das imagens
A tabela a seguir mostra as análises qualitativas feitas com os espelhos para diferentes posições. Algumas informações foram complementadas com dados encontrados na literatura. [3,4] Para os testes sabia-se de antemão que o foco do espelho era próximo de , dado fornecido pelo fabricante.
Tabela 3. Observações qualitativas sobre a imagem formada em espelhos curvos Objeto Imagem Posição Referente à posição Referente ao tamanho Referente ao sentido C ÔN C AV
O Anterior ao centro Real Reduzido Invertido
Entre o centro e o foco Real Ampliado Invertido
Entre o foco e o vértice Virtual Ampliado Direto
C
ON
VE
XO
Anterior ao vértice Virtual Reduzida Direto
A partir da tabela 3 é possível notar que dada as características qualitativas da imagem, já é possível localizar o objeto nos intervalos mostrados, desde que o objeto seja real. Interessante notar que, no espelho côncavo, quando o objeto encontra-se sobre o foco, não há formação de imagem.
II. Análise quantitativa do espelho côncavo
a. Determinação da distância focal através das posições do objeto e imagem
Os dados colhidos experimentalmente estão apresentados na tabela a seguir. Note que este experimento só é viável quando o objeto se encontra a uma distância maior que o foco, para então haver uma imagem real.
Tabela 4. Dados dos pontos conjugados colhidos experimentalmente
Posição do objeto (±0,1 cm) Posição da imagem (±0,1 cm) Altura da imagem (±0,1 cm) 18,0 23,2 38,0 15,1 31,7 62,0 13,4 43,2 95,0 11,9 74,0 18,0
A qualidade dos dados pode ser comparada através da amplificação vertical calculada através da equação (2). A altura do objeto utilizado foi medida com o paquímetro como .
Tabela 5. Comparação da amplificação vertical calculada através de diferentes equações Amplificação ( ) Amplificação ( ) Diferença (%) -1,289±0,004 -1,37±0,02 7 -2,099±0,007 -2,25±0,03 7 -3,22±0,01 -3,44±0,04 7 -6,22±0,02 -6,53±0,07 5
O sinal negativo da amplificação vertical demonstra que o sentido da imagem era o oposto do sentido do objeto. Nota-se que ambos diferem em menos de um décimo, validando a qualidade dos dados.
A partir destes dados, utilizando a expressão (1), determinam-se a distância focal e o raio de curvatura do espelho.
Tabela 6. Valores encontrados para o foco e o raio de curvatura do espelho côncavo Distância focal (±0,1 cm) Raio de curvatura (±0,2 cm)
10,1 20,3
10,2 20,5
10,2 20,5
10,3 20,5
10,2 20,4
As incertezas nos valores são devidas a incerteza experimental, uma vez que ela é maior que o desvio da média dos dados. O valor encontrado está muito próximo do valor proposto pelo fabricante considerando as incertezas das medidas.
b. Determinação da distância focal através da convergência de raios paralelos As distâncias em que a sombra dos escritos da régua estava focalizada no anteparo foram medidas quatro vezes. Os valores registrados foram , , e
Como é sabido, a imagem se formará em uma distância igual ao raio de curvatura do espelho. Assim, determina-se o raio de curvatura como , e o foco (metade desse valor) é . Novamente as incertezas foram relacionadas com a incerteza das medições experimentais, uma vez que esta foi maior que o desvio padrão médio dos dados.
O valor encontrado está de acordo com o valor proposto pelo fabricante, .
III. Análise quantitativa do espelho convexo
a. Determinação da distância focal através da incidência radial sobre o espelho A tabela a seguir resume os dados mensurados experimentalmente.
Tabela 7. Distâncias medidas experimentalmente com uma lente convergente e um espelho convexo Distâncias Lente-Anteparo (±0,1 cm) Distâncias Lente-Espelho (±0,1 cm) 97,8 78,5 87,0 66,5 89,0 69,0
Estes valores fornecem os seguintes raios de curvatura ( ) e o foco para o
espelho convexo.
Tabela 8. Raio de curvatura e distância focal calculados para o espelho convexo (sinal negativo por convenção)
Raio de curvatura (±0,1 cm) Distância focal (±0,1 cm) -19,3 -9,7 -20,5 -10,3 -20,0 -10,0 -19,9±0,3 -10,0±0,2
Neste método as incertezas estão relacionadas com o desvio padrão da média dos valores individuais, uma vez que esta foi maior que os erros instrumentais. O valor encontrado está de acordo com o proposto pelo fabricante, .
b. Determinação da distância focal através da divergência de raios paralelos A tabela a seguir mostra os valores obtidos experimentalmente com o espelho convexo.
Tabela 9. Distâncias medidas experimentalmente com o espelho convexo Distância Lâmpada-Espelho (±0,1 cm) Diâmetro original (±0,1 cm) Diâmetro ampliado (±0,1 cm) 9,7 1,6 11,4 12,6 0,7 8,4 4,5 0,2 1,3 2,8 1,6 2,5 232,0 4,7 125,0 9,4 1,6 4,4 17,6 1,6 4,8 17,6 1,0 3,6
Os valores de distância focal e raio de curvatura estão expostos na tabela 10, onde se utilizou a seguinte equação que pode ser obtida através da igualdade de ângulos.
A quantidade de medições realizadas foi aumentada devido à dispersão de valores para a distância focal, conforme pode ser visto.
Tabela 10. Valores de distância focal e raio de curvatura para o espelho convexo Raio de curvatura (±0,1 cm) Distância focal (±0,1 cm) -1,6 -0,8 -1,2 -0,6 -0,7 -0,4 -5,0 -2,5 -9,1 -4,5 -5,4 -2,7 -8,8 -4,4 -6,8 -3,4
Os valores estão extremamente imprecisos e muito distantes dos valores expresso pelo fabricante e obtido pelo outros métodos. Os autores ajustaram os raios para se encontrarem o mais colimado possível e mais centrado no espelho convexo também. A justificativa encontrada está no modelo utilizado, que não expressa a realidade física do sistema, em que os raios sofriam difração ao passar pelo orifício do cartão, desfazendo seu paralelismo. A difração está ilustrada na figura abaixo. Note que os raios mais difratados são justamento os mais próximos do contorno, que são os raios que iluminam o contorno do círculo projetado e que foi medido.
Figura 3. É possível verificar que os raios de luz paralelos em amarelo divergem quando passam por uma barreira.
O fenômeno responsável por esta não colimação dos raios é chamado difração e é tão mais acentuado quando menor do diâmetro do oficio do cartão e será potencializado quanto maior a distância entre o espelho e o cartão. Fonte: Só Fisica, 2008.
Portanto, os valores encontrados não representam a medida física desejada.
c. Determinação da distância focal através das posições do objeto e imagem As distâncias coletadas experimentalmente são mostradas na tabela a seguir.
Tabela 11. Distâncias medidas experimentalmente utilizando uma lente convergente e um espelho convexo
Posição virtual do objeto (±0,1 cm) Posição da imagem (±0,1 cm) -7,5 32,3 -7,3 34,2 -6,7 37,4
Estes valores resultam nos seguintes raios de curvatura e distâncias focais através da equação (1).
Tabela 12. Valores de distância focal e raio de curvatura para o espelho convexo Raio de curvatura (±0,1 cm) Distância focal (±0,1 cm) -19,5 -9,8 -18,6 -9,3 -16,3 -8,2 -18±1 -9,1±0,6
As incertezas associadas aos dados individuais foram o erro do instrumento de medida. Já a incerteza nas médias foi o desvio padrão médio dos valores, pois este foi maior que a incerteza dos valores individuais.
Os valores de raio de curvatura e de distância focal estão próximos do valor proposto pelo fabricante, , porém não estão de acordo dentro de suas incertezas.
CONCLUSÃO
Qualitativamente observaram-se as imagens formadas por espelhos côncavos e convexos. Espelhos convexos são usados quando é necessário se ter uma imagem mais periférica da paisagem em uma área reduzida, como, por exemplo, no retrovisor de ônibus ou na entrada de estabelecimentos comerciais. Já os espelhos côncavos são utilizados para se ter uma imagem mais ampliada de uma região pequena, como, por exemplo, em acessórios de maquiagem e ferramentas odontológicas.
Quantitativamente, determinou-se o raio de curvatura e a distância focal dos dois espelhos através de cinco métodos baseados nos conhecimentos de ótica geométrica. Os valores encontrados deram bons resultados em geral e concordaram com o valor proposto pelo fabricante. O método de utilização de raios paralelos incidindo sobre um espelho convexo, e a partir da divergência dos mesmos calcula-se a distância focal, não forneceu um resultado preciso. Justifica-se que a difração dos raios ao passarem pelo cartão possa ser a causa do erro no modelo físico.
BIBLIOGRAFIA
[1] NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica – vol. 4. 1ªed. São Paulo: Blucher, 1998.
[2] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física – Volume 4. LTC, Rio de Janeiro. 2012.
[3] WIKIPEDIA. Espelhos esféricos. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Espelhos_esf%C3%A9ricos>. Acesso em 30/04/2016.
[4] CAVALHEIRO, C. A. Espelhos côncavos. Disponível em: < http://www.infoescola.com/fisica/espelhos-concavos/>. Acesso em 30/04/2016.
[5] WIKIPEDIA. Curved mirrors. Disponível em: <
https://en.wikipedia.org/wiki/Curved_mirror>. Acesso em 30/04/2016.
COLWELL, C. H. Spherical mirrors. Disponível em: < http://dev.physicslab.org/Document.aspx?doctype=3&filename=GeometricOptics_SphericalMirr ors.xml>. Acesso em 30/04/2016.
SÓ FÍSICA. Difração. Disponível em:
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/Ondas/difracao.php>. Acesso em 07/05/2016.
