ARITMÉTICOS
Rogéria Gaudencio do Rêgo (DM/CCEN/UFPB) Maria Alves de Azeredo (DME/CE/UFPB)
RESUMO
Este estudo tem por objetivo discutir sobre as diferentes estratégias utilizadas por alunos na resolução de problemas aritméticos. Embora na escola os alunos sejam precocemente conduzidos a resolver problemas por meio de algoritmos, o presente estudo mostra que um terço dos alunos de 4ª série ainda utilizam registros pessoais, como traços e bolinhas. Autores como Lerner e Sadovsky (2001), Cavalcanti (2001) e Zabala (1998) ajudam a analisar tal realidade, sinalizando que é papel da escola valorizar tais representações, explorando-as significativamente com os alunos.
Palavras-Chave: Resolução de problemas; Estratégias gráficas; Problemas
aritméticos
Preparar o aluno para resolver problemas, segundo alguns educadores, é um dos principais objetivos da educação escolar. Quem sabe resolver de maneira variada um grande número de problemas estará melhor preparado tanto para o mercado de trabalho como para exercer criticamente a sua cidadania. O aluno que desenvolve a capacidade de resolver problemas matemáticos aumenta a sua autoconfiança, aprende a raciocinar passo a passo, a efetuar a análise de situações, utiliza os conceitos e procedimentos matemáticos mais facilmente e, o que é mais importante, estará mais bem capacitado a aplicar a Matemática a situações-problema do dia a dia.
Resolver problemas exige uma atitude de investigação científica em relação ao que foi proposto e o questionamento às respostas obtidas. Entretanto, desde as séries iniciais do Ensino Fundamental, em geral, a atitude predominantemente valorizada é a busca do algoritmo que resolva
questões padrão. A resolução de problemas não é um tópico distinto em um conjunto de conteúdos ou procedimentos, mas um processo que deve permear a formação básica do aluno e fornecer o contexto segundo o qual conceitos e habilidades podem ser desenvolvidos. É importante que os alunos possam expor as suas idéias aos colegas e ao professor, compreendendo que há maneiras variadas de representar e desenvolver estratégias de soluções. Aos professores cabe valorizar as diferentes maneiras utilizadas pelos alunos para resolver problemas, da mesma maneira que valorizam as soluções. De acordo com Pozo (1998, p.14), “ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta”.
Em um trabalho de investigação envolvendo 242 alunos da 4ª série do Ensino Fundamental de 05 (cinco) escolas da rede municipal da cidade de João Pessoa, selecionadas adotando-se como critério a aproximação geográfica do Campus da UFPB e aceitação de convite de participação, foi aplicado um teste com seis questões envolvendo as quatro operações básicas, cujo objetivo era identificar os diferentes processos de resolução utilizados pelos alunos, bem como o domínio que possuíam dos algoritmos tradicionais e as maiores dificuldades apresentadas. Na aplicação do teste os alunos foram incentivados a registrar, do modo como desejassem, a estratégia utilizada e a solução por eles encontrada para cada questão. A investigação fez parte de um projeto de capacitação de professores da rede local, na perspectiva da utilização da resolução de problemas em sala de aula, tendo como ponto de partida os saberes e dificuldades que os alunos apresentam.
No presente trabalho discutiremos, especificamente, os resultados relativos aos alunos que utilizaram, como estratégia de resolução, registros gráficos diversos em uma ou mais questões do teste, compreendendo um universo de 80 alunos do total. Tais formas de resolução de problemas
aritméticos constituem construções pessoais empregadas pelos alunos em situações que envolvem operações cujo algoritmo não dominam e sobre o qual não têm segurança. Embora estas formas de registro não sejam ensinadas na escola, chamou nossa atenção o fato de um terço dos alunos investigados registrarem seus processos de resolução com figuras, ilustrações e/ou registros não convencionais. Pelo fato dos alunos não usarem com espontaneidade seus registros pessoais, no momento de aplicação dos testes, foi necessário estimularmos incisivamente os alunos a registrarem seus pensamentos, para que pudéssemos identificar o que eles sabiam.
O trabalho com formação continuada de professores das séries iniciais vem mostrando que estes desconsideram os registros não convencionais dos alunos e, mais do que isso, criticam e condenam que alunos de séries maiores, como de 3ª e 4ª séries os utilizem. Esta é uma realidade inversa aos resultados de pesquisas no campo da educação matemática. Segundo Lerner e Sadovsky (2001, p. 139):
Propor às crianças que anotem de que maneira resolveram a operação é dar um passo importante para o progresso de todos, porque isto permite que cada uma delas tome consciência do procedimento que utilizou e porque a confrontação se vê favorecida ao abrir-se a possibilidade de comparar anotações (e já não só explicações orais).
As seis questões envolviam, nessa ordem, uma multiplicação; uma subtração com a idéia de completar; uma adição com números decimais; uma subtração com a idéia de comparar; uma divisão não exata e uma subtração com a idéia de tirar. Escolhemos para a nossa análise as três questões que apresentaram maior índice de registros não convencionais (25, 23 e 28), as quais aqui denominaremos de primeira, segunda e terceira questões. A primeira questão (Com um pão de forma, Dona Vera faz 18
sanduíches pequenos. Com 4 pães de forma, quantos sanduíches pequenos ela conseguirá fazer?), foi a que apresentou o maior índice de acertos, por
sua solução, presentes em 25 das 75 respostas válidas, certas ou erradas (5 alunos deixaram a questão em branco).
Os registros foram bastante diversificados, entre os quais destacamos: o uso de quatro retângulos com ou sem o número 18 em seu interior, complementado pelo cálculo (4 x 18) efetuado por meio do algoritmo tradicional da multiplicação ou da soma de quatro parcelas de 18; quatro conjuntos de 18 traços verticais ou 4 barras divididas em 18 partes computados no total por meio de contagem simples e 4 conjuntos de 8 traços ou 8 conjuntos de 4 traços verticais, utilizados como apoio para o algoritmo tradicional, auxiliando a computação do resultado relativo à “tabuada” do 8, como ilustrado em seguida.
Uma aluna (25) utilizou, ainda, traços verticais, numerados em ordem crescente de 1 a 72 e outro (10), além de fazer o retângulo com o número 18 no interior, fez, ao lado de cada um deles, 18 traços verticais, computando o resultado por contagem e não por meio de algoritmos. O desenho de quatro retângulos (10, 51, 9, 56) presente em muitos testes, compreende uma forma do aluno “marcar” fisicamente o número de vezes que o número 18 deve ser somado, ou seja, de identificar com segurança o multiplicador ou o número de parcelas iguais na adição. Um outro aspecto que chama atenção é o uso dos registros enquanto suporte para o cálculo com o algoritmo, caso dos alunos 51 e 28.
Nº 56
Nº. 27
Nº 28
Nº9 Nº.51
A segunda questão (Preciso comprar uma calça jeans que custa R$
75,00, mas eu só tenho R$ 38,00. Quanto falta para que eu possa comprar a calça?), apresentou índice de acertos quase idêntico ao número de erros, 38
contra 39, respectivamente, e três respostas em branco. Os suportes gráficos foram nela utilizados por 23 alunos, sendo o principal um conjunto de traços verticais na quantidade equivalente ao valor complementar que corresponde à solução, isto é, 37 traços (16, 11, 14 e 37). Alguns alunos (11) registraram o “valor de partida”, no caso, o número 38, seguido de 37
riscos verticais ou bolinhas. Os erros mais freqüentes cometidos pelos que utilizaram a estratégia descrita foram provocados pela inclusão do limite inferior do intervalo na contagem, isto é, o aluno começava a contar a partir do 38, incluindo-o no total, ou ainda erros de contagem provocados por quantidade equivocada ou disposição dos traços, muito próximos uns dos outros. Alguns alunos utilizaram o algoritmo tradicional da subtração, efetuando registros gráficos, na forma de traços ou bolinhas, para auxiliar na operação, que envolvia uma reserva, desenhando 15 traços e riscando 8 deles, efetuando a contagem para registro no cálculo (29, 54 e 78), como ilustrado abaixo. Assim, mesmo dominando com habilidade a estrutura geral do algoritmo da subtração, o aluno necessita ainda de um recurso “concreto”, presente nos traços ou bolinhas, para efetuar a diferença de pequenos valores.
Nº 16 Nº11
Nº37
Nº29 Nº. 54
A idéia de completar, na subtração envolvida na questão, foi trabalhada de maneira direta na estratégia adotada pelos alunos que utilizaram a primeira forma de registro citada, embora este significado da subtração, em geral, seja pouco explorado em sala de aula.
A terceira questão (Solange economizou 100 reais e comprou um
tênis que custava 64 reais. Com quanto dinheiro ela ainda ficou?),
apresentou 31 respostas corretas contra 28 erradas e 11 em branco. Foi a questão que apresentou o maior número de formas diferentes de registros gráficos de apoio, feitas por 28 alunos, destacando-se entre estes: uso de 100 traços verticais ou bolinhas seqüenciados no espaço disponível, sendo 64 riscados e os demais computados por contagem simples (37 e 13), sendo que outro aluno (42) além do registro não convencional coloca a conta de subtração, demonstrando a necessidade de colocar o ‘certo’; registro de 36 traços complementando o valor contado até 100, partindo-se do 64 (57), e registro de 10 conjuntos de 10 traços, sendo 64 deles riscados (sete primeiras linhas) e os demais sublinhados e contados para determinação da resposta (40). Na mesma perspectiva, um aluno (63) registrou dez vezes o número 10, riscando seis deles e decompondo um em unidades, das quais riscou 4, apresentando um nível mais elaborado de representação do que a anterior.
Os alunos que utilizaram a última estratégia citada tiveram maior êxito na identificação do total por contagem, o que não aconteceu com vários
alunos que utilizaram as 100 marcas traçadas de forma seqüencial. Um aluno escreveu os números de 1 a 100, riscando os 64 primeiros e contando os demais (18). O fato da questão ter apresentado tantas formas diferentes de resolução gráfica permitiria ao professor discutir e trabalhar com os alunos, entre outras coisas, a importância da organização quando da representação de idéias e as limitações do recurso, em função dos valores envolvidos.
Nº 37
Nº57 Nº
42
Nº 18 Nº 13
Em várias questões pudemos observar a utilização simultânea do registro gráfico e do algoritmo, este último para “validar” o resultado, obtido com o apoio do primeiro, ou o uso do registro gráfico para conferir a resposta obtida via algoritmo. Um dos alunos realizou as operações de subtração por complementação, por meio de traços e contagem simples, conferindo os resultados posteriormente somando o valor obtido com o valor menor, obtendo o maior, demonstrando capacidade de reversibilidade, embora não demonstrasse domínio do algoritmo da subtração. A grande diversidade de estratégias gráficas envolvidas nas resoluções das questões aponta não apenas na direção da disposição dos alunos em utilizarem formas não convencionais de solução, via algoritmo tradicional, mas podem fornecer indícios acerca do nível de compreensão dos alunos quanto à forma e uso desses algoritmos e do modo como organizam informações, elementos de fundamental importância para o trabalho do professor.
De acordo com Zabala (1998), para contribuir para uma aprendizagem efetiva dos alunos os professores precisam levar em conta as contribuições destes tanto no início quando durante o transcurso das atividades, as quais poderão direcionar o planejamento das seqüências didáticas, sinalizando sobre o que sabem e o que ainda precisam aprender, avaliando-os conforme suas potencialidades reais. Caberia ao professor, segundo o mesmo autor, ajudar os alunos a encontrarem sentido no que fazem e a refletirem sobre seu próprio processo de aprendizagem, a partir do estabelecimento de relações entre conceitos novos e antigos,
interiorizando-os e atribuindo-lhes significado. Além disso, pode-se afirmar que a estimulação dos alunos na busca de maneiras eficazes de resolver problemas favorece o desenvolvimento da autonomia, uma vez que as estratégias são elaboradas, pensadas e construídas pelos próprios alunos. O momento atual exige cidadãos que possam pensar com autonomia, as relações matemáticas nele presente. Um outro aspecto a ser levantado é a possibilidade de interação na sala de aula a partir da diversidade de procedimentos encontrados. Segundo Lerner e Sadovsky (2001, p. 139) “entre as crianças que inicialmente contam nos dedos ou com risquinhos no papel, há muitas que avançam para a decomposição decimal graças à interação com os colegas que a utilizam”.
Pelo acompanhamento feito com as professoras dos alunos envolvidos na pesquisa, constatamos que estas seguem os moldes tradicionais de ensino com problemas: os alunos copiam o enunciado dos problemas, têm um tempo para solucioná-los e a correção é feita coletivamente, com a operação realizada via algoritmo convencional correspondente, pela própria professora. Não são exploradas a riqueza e complexidade do ato de resolver problemas, sendo valorizado apenas o resultado. As diferentes estratégias adotadas pelos alunos, sejam elas na forma de registros gráficos ou não, não têm seu alcance ou limitações analisados. Mesmo tendo respondido às questões corretamente, suas soluções não são aceitas por não terem sido obtidas do modo esperado pelo professor, deixando no aluno a sensação de frustração, apesar do esforço pessoal demandado. Em geral vistos pelo professor como incapazes, para o nível escolar em que se encontram, os alunos que utilizam registros gráficos de apoio para a resolução de problemas aritméticos se sentem diminuídos diante dos colegas que usam apenas os algoritmos formais, mesmo que de modo inadequado ou incorreto.
De acordo com Cavalcanti (2001), os alunos representam suas soluções de acordo com o contexto ou estrutura do problema, o que variaria de acordo com sua segurança e, “das várias representações que fazem,
uma ou outra se aproxima da técnica operatória, o que não se traduz necessariamente em algoritmo tradicional” (idem, p. 122). Na medida em que evoluírem, em termos de domínio de conceitos e habilidades matemáticas, os alunos caminharão naturalmente na direção do uso da linguagem formal e dos algoritmos tradicionais, por meio de uma aprendizagem significativa, se seus processos de desenvolvimento forem valorizados e respeitados.
Considerando todos esses aspectos, a formação dos professores ganha novos matizes, uma vez que a direção por eles estabelecida no uso de determinados meios pedagógicos é determinante no processo de aprendizagem do aluno. Segundo Sztajn (1997), nos cursos de formação inicial e continuada não basta ampliar os conhecimentos dos professores quanto a conteúdos matemáticos ou pedagógicos, mas trabalhar sua visão acerca da importância do papel social que irá realizar. No caso específico da resolução de problemas, é preciso que os professores compreendam que, como afirma Pozo (2001, p. 15), “o verdadeiro objetivo final da aprendizagem da solução de problemas é fazer com que o aluno adquira o hábito de propor-se problemas e de resolvê-los como forma de aprender”. Cabe a nós, professores que atuamos como formadores de formadores, sermos educacionalmente eficazes e desenvolvermos ações pedagógicas que levem à autonomia e à compreensão da diversidade, as quais poderão ser, pela vivência prática, um dia trabalhados em sala de aula por nossos educadores.
Referências
CAVALCANTI, Cláudia T. Diferentes formas de resolver problemas. In: SMOLE, Kátia S. e DINIZ, Maria I. (Org.) Ler, escrever e resolver problemas. Porto Alegre: Artmed, 2001.
LERNER Delia e SADOVSKY, Patrícia. O Sistema de Numeração: um problema didático. In: PARRA, Cecília e SAIZ, Irmã (Orgs.) Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Trad. Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artes Médicas, 2001.
POZO, Juan Ignacio (Org.) A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Artmed, 1998.
SZTAJN, Paola. Conteúdos, atitudes e ideologia: a formação do professor de matemática. In: CANDAU, V. M. (Org.). Magistério: construção cotidiana. Petrópolis: Vozes, 1997.
