Solução da equação de transferência radiativa sem simetria azimutal, em uma placa, utilizando discretização angular dupla

(1)

INSTITUTO DE MATEMÁTICA EESTATÍSTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇO EMMATEMÁTICA APLICADA

Solução da Equação de Transferên ia

Radiativa Sem Simetria Azimutal, em uma

pla a, utilizando dis retização angular dupla

por

Taline Foletto

Tese para a obtenção doTítulo de

Doutora em Matemáti a Apli ada

Profa. Cynthia Feijó Segatto

Orientadora

(2)

Foletto,Taline

Solução da Equação de Transferên ia Radiativa Sem

Simetria Azimutal, em uma pla a, utilizando dis retização

angular dupla /TalineFoletto.Porto Alegre: PPGMAp da

UFRGS, 2019.

72p.: il.

Universidade Federal do Rio Grandedo Sul, Programa

de Pós-Graduação em Matemáti a Apli ada, Porto Alegre,

2019.

Orientadora: Segatto, Cynthia Feijó

(3)

Radiativa Sem Simetria Azimutal, em uma

pla a, utilizando dis retização angular

dupla

por

Taline Foletto

Linha de Pesquisa: Teoria de Transporte de Partí ulas

Orientadora: Profa.Cynthia FeijóSegatto

Ban a examinadora:

Prof. Dr. BardoErnst Bodmann

PROMEC/UFRGS

Profa. Dra. Liliane BassoBari hello

PPGMAP/UFRGS

Prof. Dr. Ri ardoCarvalho de Barros

IPRJ/UERJ

Prof. Dr. Esequia Sauter

(4)

LISTA DE FIGURAS. . . vi

LISTA DE TABELAS . . . vii

RESUMO . . . ix

ABSTRACT . . . x

1 INTRODUÇO . . . 1

2 A EQUAÇO DE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA NA ATMOSFERA . . . 4

2.1 Con eitos físi os . . . 4

2.2 Formulação Matemáti a da ETR . . . 8

3 EQUAÇO DE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA SEM SIMETRIA AZIMUTAL: SOLUÇO LTS N . . . 12

4 UMA PROPOSIÇO PARARESOLUÇO DA EQUAÇODE TRANSFERÊNCIA RADIATIVA SEM SIMETRIA AZIMUTAL 16 4.1 Solução em Ordenadas Dis retas Dupla . . . 16

4.2 Método LTS N,M . . . 22 4.3 Método LTS N,M Não Espe tral . . . 23

5 RESULTADOS NUMÉRICOS . . . 28

5.1 Problema HAZE . . . 33

5.2 Problema CLOUD1 . . . 44

5.3 Estudo da implementação numéri a do esquema LTS N,M Não Espe tral e da onvergên ia da solução al ulada . . . 51

(5)

(6)

Figura2.1 Ângulospolar

θ

eazimutal

ϕ

quedenem adireçãodepropagação

de uma partí ula, no sistema de oordenadas artesianas. Fonte:

adaptado de Yamasoee Corrêa(

2016

). . . 5

Figura2.2 Esquema do in remento e atenuação de um feixe de radiação ao

longo de um aminho

ds

.

dI

(1)

λ

: absorção,

dI

(2)

λ

: emissão,

dI

(3)

λ

: espalhamento por remoção e

dI

(4)

λ

: espalhamento por adição. Fonte: adaptado de Yamasoee Corrêa (

2016

). . . 7

Figura2.3 Elemento de volume

dV

= dAds

. Fonte: adaptado de Ozisik

(

1973

). . . 9

Figura5.1 Termo ResidualProblema HAZE . . . 62

(7)

Tabela5.1 Problemas testes: interpolação polinomial . . . 29

Tabela5.2 Interpolação polinomial,problema

L

= 8

. . . 30

Tabela5.3 Interpolação polinomial,problema

L

= 82

. . . 31

Tabela5.4 Parâmetros dos problemas emtransferên ia radiativa . . . 32

Tabela5.5 Solução

LT S

210,50

para a Intensidade de Radiação do problema HAZE nadireção de

ϕ

= 0

e

ϕ

=

π

2

. . . 34

Tabela5.6 Solução

LT S

210,50

ϕ

= π

. . . 35

Tabela5.7 Diferenças per entuais para a solução

LT S

210,50

do problema HAZE nas direções

ϕ

= 0

,

ϕ

=

π

2

e

ϕ

= π

. . . 36

Tabela5.8 Solução

LT S

210,50

ϕ

= 0.0344329802π

. . . 38

Tabela5.9 Solução

LT S

210,50

ϕ

= 0.0280597103π

. . . 39

Tabela5.10 Solução

LT S

210,50

ϕ

= 0.0190794984π

. . . 40

LT S

210,50

ϕ

= 0.0126311542π

. . . 41

LT S

210,50

ϕ

= 0.0105869178π

. . . 42

LT S

210,50

ϕ

= 0.0019902343π

. . . 43

LT S

150,120

para a Intensidade de Radiação doproblema CLOUD1 nadireçãode

ϕ

= 0

e

ϕ

=

π

2

. . . 45

LT S

150,120

ϕ

= π

. . . 46

Tabela5.16 Diferenças relativas para a solução

LT S

150,120

do problema CLOUD1,

ϕ

= 0

,

ϕ

=

π

2

e

ϕ

= π

. . . 47

(8)

LT S

400,180

ϕ

= 0

e

ϕ

=

π

2

. . . 48

LT S

400,180

ϕ

= π

. . . 49

Tabela5.19 Diferenças relativas para a solução

LT S

400,180

do problema CLOUD1,

ϕ

= 0

,

ϕ

=

π

2

e

ϕ

= π

. . . 50

Tabela5.20 Tempos omputa ionais (em minutos) para exe ução de problemas LTS N,M espe trale não espe tral,

L

= 8

. . . 51

Tabela5.21 Tempos omputa ionais (em horas) para exe ução de problemas LTS N,M espe trale não espe tral,

L

= 82

. . . 52

Tabela5.22 Classi ação dos elementos da matriz LTS N,M dos problemas

LT S

210,50

e

LT S

150,120

. . . 53

Tabela5.23 Classi ação dos elementos dotermo fonte doproblema

LT S

210,50

54 Tabela5.24 Classi açãodoselementosdotermofontedoproblema

LT S

150,120

54 Tabela5.25 Intensidade de radiaçãopara o problema

LT S

210,50

e

ϕ

=

π

2

,

µ

=

1

,

τ

= 0.5

. . . 56

Tabela5.26 Intensidade de radiação para o problema

LT S

210,50

e

ϕ

= 0

e

µ

= −1

,

τ

= 0.5

. . . 57

LT S

150,120

e

ϕ

=

π

2

,

µ

= 1

,

τ

= 0.5

. . . 58

LT S

150,120

e

ϕ

= 0

,

µ

= −0.8

,

τ

= 0.5

. . . 59

Tabela5.29 Resíduos problema HAZE om

τ

≈ 0

. . . 61

τ

≈ 1

. . . 61

τ

∈ [0.2, 0.9]

. . . 61

Tabela5.32 Resíduos problema CLOUD1 om

τ

≈ 0

. . . 62

Tabela5.33 Resíduos problema CLOUD1 om

τ

≈ 1

. . . 62

(9)

En ontram-se, na literatura, diversos estudos que apresentam solução

para o problema de transferên ia radiativa sem simetria azimutal em uma pla a.

Na grande maioria desses estudos, utiliza-se uma de omposição proposta por

Chandrasekhar [12℄ para resolução do problema proposto. Nessa de omposição,

para ada ângulo azimutal de interesse, o problema original é desa oplado em um

onjunto de problemas om simetria azimutal, os quais são resolvidos, então, por

métodos lássi os. Neste trabalho, per orremos um aminho diferente, no qual

onsideramos a dis retização das duas variáveis angulares do problema e, om

isto, obtemos um sistema de equações diferen iais ordinárias de primeira ordem

que é resolvido pelo método LTSN. Apli amos esta formulação na resolução de

problemas inseridos no ontexto de Transferên ia Radiativa na Atmosfera, mais

espe i amente em névoas e nuvens, os quais são ara terizados pelo alto grau de

anisotropia. Resolvemosessesproblemasmedianteautilizaçãodeideiassemelhantes

as utilizadas no esquema LTS

N

não espe tral [29℄. Para validar a formulação

proposta, apresentamos resultados de simulações numéri as, bem omo resultados

de um estudo a er a da qualidade da solução al ulada. Apresentamos, ainda,

(10)

There are several studies in the literature that present a solution to

the problemofradiativetransfer withoutazimuth symmetryin aplate. In the vast

majority of these studies,a de omposition proposed by Chandrasekhar [12℄ is used

to solve the proposed problem. In this de omposition, for ea h azimuthal angle

of interest, the original problem is de oupled into a set of problems with azimuth

symmetry, whi h are then solved by lassi al methods. In this work, we follow a

dierent path in whi h we onsider the dis retization of the two angular variables

of the problem and, thus, we obtain a system of rst order ordinary dierential

equationsthat issolved by the LTS

N

method. We appliedthis formulationtosolve

problems in the ontext of Radiative Transfer in the Atmosphere, spe i ally in

mistsand louds,whi hare hara terizedbyahigh degreeofanisotropy. Wesolved

these problems by using ideas whi h are similar to those used in the non-spe tral

LTS

N

s heme [29℄. In order to validate the proposed formulation, we presented

numeri al simulation results as well as results from a study about the quality of

the al ulated solution. We also presented omparisons of the solution found with

(11)

Em várias áreas das iên ias e engenharias, a equação de transporte

de partí ulas é utilizada omo um modelo matemáti o para des rever diversos

fenmenos físi os. De maneira geral, a equação de transporte modela esses

fenmenos mediante a des rição da distribuição espa ial, dire ional e energéti a

daspartí ulas quesepropagam emum determinadomeio,levando em onsideração

seus movimentose suas interações om os meiosmateriais[13℄. Dentre os exemplos

de apli ações desta equação, podemos itar sua utilização na modelagem de

propriedadesóti asdaatmosferaterrestre [39℄,[24℄; nades rição dadistribuiçãoda

populaçãode nêutrons nointeriordonú leo de umreatornu lear[13℄;emmedi ina

nu lear, no ál ulo e na análisede blindagens e na dosimetria das radiações[2℄; na

modelagem de sondas nu leares utilizadas para ara terizar a geologia do subsolo

nades oberta de poços subterrâneos [11℄, dentre outros.

Uma lasse importante de problemas modelados pela equação de

transporte de partí ulas neutras diz respeito àqueles que des revem o fenmeno

físi o da transferên ia de energia por radiação, ontexto no qual se dene a

Equação de Transferên ia Radiativa (ETR). Apli ações em ópti a [22℄, astrofísi a

[28℄,[17℄, iên ia atmosféri a [40℄,[23℄, sensoriamento remoto [34℄, tomograa [18℄

e radioterapia [2℄ são alguns exemplos de apli ações modeladas pela equação de

transferên iaradiativa.

Neste trabalho,serádada ênfaseaproblemasdetransferên iaradiativa

sem simetria azimutal na amadahomogênea da atmosfera, na faixa de energia do

espe tro daluzvisívelemnuvens enevoeiros, oqualestarásujeito aintensidadesde

radiaçãoin identes na fronteira. Problemas sem simetria azimutal ara terizam-se

(12)

en ontradas na literatura. Em

1960

, Case [5℄ props uma solução analíti a

para esta equação, porém, restrita a problemas envolvendo geometria artesiana

unidimensional, espalhamento isotrópi o e independên ia de tempo. Por possuir

tratamento analíti o omplexo, vários estudos foram realizados por diferentes

pesquisadores no âmbito do desenvolvimento de formulações para resolução de

aproximações da equação de transporte de partí ulas. Dentre essas aproximações,

en ontram-se a F

N

,

proposta por Sierwert [35℄; a aproximação P

N

de Jeans [28℄

e a proposição de Chandrasekhar [10℄ para aproximação SN. A aproximação S

N

-também onhe ida omo Métododas OrdenadasDis retas -tem omo ideia entral

aaproximaçãodotermo integralda equaçãopor QuadraturaGaussiana eposterior

apli ação do método da olo ação no onjunto de direções dis retas, as mesmas

usadasna aproximação do termointegral por quadratura.

Noquesereferearesoluçãodeproblemasdetransferên iaradiativasem

simetria azimutal, a de omposição de Chandrasekhar [12℄ é um método bastante

utilizadoe onsistenaexpansãodasoluçãodoproblema sem simetriaemuma série

de Fourier na variável azimutal, transformando a resolução de um problema sem

simetriaazimutalnaresoluçãode um onjuntodeproblemas omsimetriaazimutal.

Dentre as formulações propostas para a resolução dos problemas resultantes da

de omposição de Chandrasekhar, en ontra-se a formulação LTSN, que resolve de

formaanalíti aaaproximaçãoS

N

dessesproblemas. Demodogeral,aideiaprin ipal

do método LTS

N

onsiste na apli ação da Transformada de Lapla e na variável

τ

no onjunto de equações S

N

,

inversão analíti a da matriz simbóli a e resolução do

sistemalinearresultante[1℄,[16℄,[32℄. Importantedesta araqui,quea onvergên ia

dométodoLTS

N

estádemonstradanostrabalhos desenvolvidos porPazos eVilhena

[26℄,[27℄,osquaisprovaramque,àmedidaque

N

res e,asoluçãoLTS

N

seaproxima

(13)

N

problemas omaltasanisotropias,formuladosmedianteautilizaçãodade omposição

da intensidade de radiação proposta por Chandrasekhar [31℄,[33℄, [3℄, [4℄, [30℄;

na resolução de problemas de transferên ia radiativa om polarização [36℄, bem

omona resolução de problemas de transferên ia radiativa ondutivaemgeometria

ilíndri a [21℄. Entretanto, estudos desenvolvidos visando a resolução da equação

de transferên ia radiativa e onsiderando a dis retização de ambas as variáveis

angularesées assoe,paranosso onhe imento,restringe-seaotrabalhodesenvolvido

por Ladeia [19℄, [20℄, [21℄ para problemas de transferên ia radiativa ondutiva

em geometria ilíndri a e onsiderando baixo grau de anisotropia. Nesse sentido,

om o objetivo de aprimorar a formulação LTS

N

para o tratamento de problemas

de transferên ia radiativa unidimensionais e om altos graus de anisotropia,

propomos, nesta tese, um esquema que dis retiza o termo integral da equação em

ambas as variáveis angulares, utilizando a quadratura de Gauss-Legendre. Deste

pro edimento, resulta uma equação matri ial que será resolvida analiti amente

utilizandoaformulação LTS

N

.

Este trabalho está organizado em

5

apítulos. No apítulo

2

,

apresentamos alguns dos prin ipais on eitos físi os relativos a Transferên ia

Radiativa na Atmosfera, bem omo uma formulação matemáti a para a ETR. No

apítulo

3

,des revemosométodoLTS

N

lássi outilizadonaresoluçãodeproblemas

de transferên ia radiativa sem simetria azimutal. Em seguida, no apítulo

4

,

apresentamosanossaformulaçãopropostaparaaresoluçãoanalíti adaaproximação

em ordenadas dis retas dupla da ETR sem simetria azimutal em uma pla a. No

apítulo

5

apresentamos resultados obtidos via simulações numéri as, bem omo

resultados de um estudo a er a da qualidade da solução al ulada. Apresentamos

também, neste apítulo, omparações das soluções obtidas om os resultados

disponíveisna literatura. Por m, no apítulo

6

, apresentamos as on lusões deste

(14)

RADIATIVA NA ATMOSFERA

Neste apítulo, des revemos alguns on eitos rela ionados à

Transferên ia Radiativa naatmosfera e apresentamos uma formulação matemáti a

da ETR supondo geometria unidimensional e meio parti ipante, a qual é derivada

apartir dos pro essos de atenuação e in remento daradiação[10℄,[40℄.

2.1 Con eitos físi os

SegundoYamasoeeCorrêa[40℄,Radiaçãoéaemissãooupropagaçãode

energianaformade ondaeletromagnéti aou,equivalente, omouxode fótons. No

sistematerrestre, aprin ipal fonte de radiação é provenientedo Sol. Esta radiação

visível hamamosde luz e é de suma importân ia nos pro essos quími os, físi os e

biológi osqueo orremnanaturezaeestãorela ionadasadiversosfenmenos,dentre

osquais,amudança limáti adoplanetaeolançamentodesatélitesmeteorológi os.

Asnuvens obrem er a de

40%

doplanetaTerra e umprem um importantepapel

naregulação daradiação armazenadana atmosfera,visto quereetem, absorvem e

transmitemradiaçãosolar eterrestre.

No ontexto da transferên ia radiativa na atmosfera, a ETR des reve

as alterações do uxo da radiação solar ausados pelos pro essos de interação da

radiação om osgasesepartí ulaspresentes nomeio. Neste trabalho,apresentamos

uma derivação da ETR mediante a realização de um balanço de energia para um

volume elementar no aminho de propagação de um feixe de luz, o qual in ide e

é espalhado no meio [10℄, [25℄. Para tanto, apresentamos a seguir, denições de

grandezas físi as presentes na ETR, bem omo a des rição dos on eitos físi os

(15)

Consideremos, ini ialmente, um ângulo sólido

Ω

denido omo arazão

entre aárea

A

de uma superfí ieesféri a e oquadrado doraio

r

daesfera, ou seja,

Ω =

A

r

2

.

(2.1)

Para a esfera de raio

r

ilustrada na gura (2.1), entrada em

O

e om um ponto

arbitrário em sua superfí ie om oordenadas esféri as

θ

e

ϕ

, denimos sua área

innitesimal omo:

dA

= rdθrsenθdϕ,

(2.2)

Assim, oângulo sólido innitesimaldenido poressa área é:

dΩ =

dA

r

2

= senθdθdϕ.

(2.3)

Figura2.1: Ângulos polar

θ

e azimutal

ϕ

que denem a direção de propagação de

umapartí ula, nosistema de oordenadas artesianas. Fonte: adaptado

de Yamasoee Corrêa(

2016

).

DenimosoFluxode Radiação[40℄ omooquo ienteentre aquantidadede energia

emitida,transferidaou re ebida emum intervalode tempo dado, istoé,

(16)

Radiân ia. A Irradiân ia é denida omo o quo iente entre o uxo de radiação

in idente

dφ

, em um determinado ponto de uma superfí ie, e a área da superfí ie

atravessada, ou

E

=

dφ

dA

;

(2.5)

já a Radiân ia mede a quantidade de radiação re ebida por um ponto, em uma

determinadadireção,

I

=

dE

cosθdΩ

.

(2.6)

Conhe endoaradiân iain identeemtodasasdireçõesde propagaçãodentrode um

ângulosólido

dΩ

, denimos airradiân ia total in idente por:

E

=

Z

2π

0

Z

π

0

I(θ, ϕ)cosθsenθdθdϕ.

(2.7)

Uma importante ara terísti a físi a da atmosfera é que ela pode ser

onsiderada um meio parti ipante. Meios parti ipantes são aqueles em que podem

o orrer os fenmenos físi os de absorção, emissão e/ou espalhamento durante a

propagaçãodaradiação. Ofenmenofísi odaabsorção (

k

λ

)produz umde remento da intensidade de radiação, no qual pode o orrer transformação da radiação

em outras formas de energia ou então surgir radiação em outra frequên ia [37℄.

Este pro esso ausa alteração físi a do meio atravessado. No aso da atmosfera,

aumento da temperatura [40℄. O fenmeno físi o da emissão (

j

λ

) in rementa a intensidade de radiação numa determinada orientação. Por m, o fenmeno físi o

dito espalhamento (

σ

sλ

) ausa mudança da direção de propagação da radiação, a qual pode ser reetida ou transmitida [23℄. Cabe desta ar aqui, que o subs rito

λ

,

utilizado nos parâmetros que des revem os fenmenos físi os a ima, indi a que os

mesmospodemo orremde maneirasdistintas para ada omprimentode onda. Os

pro essosdeespalhamentodaradiaçãoemnuvenssãopromovidosporelementosque

(17)

partí ulas resultantes da queima de ombustíveis fósseis e de pro essos industriais,

a poeira de erupção vul âni a, dentre outros. A atenuação (

β

λ

) da intensidade de radiaçãoé ausada pelos pro essos de absorção eespalhamento,ou seja,

β

λ

= k

λ

+ σ

sλ

,

(2.8)

enquanto queo in remento daradiaçãopode ser o asionado tanto pelopro esso de

emissãoderadiaçãoquantodeespalhamentoderadiaçãooriundasdeoutrasdireções.

A guraabaixo apresenta um esquema de um feixe in identede radiaçãosobre um

meio eos possíveis fenmenosfísi osque podem o orrer durante apropagação.

Figura2.2: Esquema do in remento e atenuação de um feixe de radiação ao longo

de um aminho

ds

.

dI

(1)

λ

: absorção,

dI

(2)

λ

: emissão,

dI

(3)

λ

: espalhamento por remoção e

dI

(4)

λ

: espalhamento por adição. Fonte: adaptado de Yamasoe eCorrêa (

2016

).

De a ordo om Chandrasekhar [10℄, as propriedades de um meio

(18)

100

km). Logo, podemos onsiderar a atmosfera por meio estrati ado em planos paralelos, onde todas as propriedades são invariantes sob translação em ada um

dos planos [40℄.

Considerando esta geometria, introduzimos, onvenientemente, uma variável que

rela ionao oe iente de atenuação domeio om aprofundidade

z

,denominada de

variávelópti a e representada por (

τ

). Nesse sentido, a relaçãoentre a variação do

oe ientede atenuação e aprofundidade é des ritapor:

dτ

= β(z)dz.

(2.9)

A função

p(cosΘ)

, onhe ida omo função de fase, des reve o padrão angular

de espalhamento da radiação e depende dos ângulos de in idên ia (

µ

′

_{, ϕ}

′

) e

espalhamento (

µ, ϕ

) - onde

µ

= cosθ

- e do omprimento de onda

λ

da radiação

in idente [40℄. Aqui,

Θ

é o ângulo formado pela direção de movimento do fóton

antes dainteraçãoe oângulo resultanteapós a interação.

Normalizada, afunção de fase pode ser es rita omo:

1 4π

Z

2π

0

Z

π

0

p(cosΘ)senθdθdϕ = 1.

(2.10)

2.2 Formulação Matemáti a da ETR

A m de apresentarmos uma derivação da ETR, onsideremos uma

determinada quantidade de energia

dQ

, denida para um uxo passando em um

intervalodetempo

dt

,porumelementodeárea

dA

,nasdireções ompreendidaspor

um ângulo sólido

dΩ

, em um intervalo de omprimento de onda

(λ, λ + dλ)

. Esta

quantidadede energiapode ser expressa em termosda radiân ia

I

λ

[10℄ omo:

(19)

onde

θ

é o ângulo entre a direção do uxo radiante e a direção normal

n

ˆ

ao plano

de

dA

. Expressando (2.11) emtermos de

I

λ

:

I

λ

=

dQ

cosθdtdAdΩdλ

.

(2.12)

Consideremos, ainda, um ilindro de omprimento

ds

e base om área

dA

poronde um feixe de radiaçãoatravessa,

Figura2.3: Elemento de volume

dV

= dAds

. Fonte: adaptado de Ozisik(

1973

).

Como des rito na seção anterior, em meios parti ipantes a radiação pode sofrer

pro essos de absorção, emissão e espalhamentodurante sua propagação. Portanto,

daenergia

dQ

queatravessa o ilindro,háuma variaçãolíquidaao nal,parte dela

devido àatenuação daradiaçãopelomeio, quepode ser expressa omo:

d(dQ)

atenuada

= −β

λ

I

λ

cosθdtdAdΩdλds,

(2.13)

onde

β

λ

éo oe iente de atenuação.

Nomesmo ilindro,de volume

dV

, além daenergia atenuada há tambéma energia

emitidapelomeio, que pode ser es rita omo:

d(dQ)

emitida

= j

λ

cosθdtdV dΩdλ,

(20)

paradireções onnadasaumelementodeângulosólido

dΩ

eonde

j

λ

éo oe iente deemissãodomeio. Avariaçãolíquidade energiaresultadobalançoentreaenergia

atenuada e emitidano meio,

d(dQ)

liq

= d(dQ)

atenuada

+ d(dQ)

emitida

.

(2.15)

Substituindoaexpressão(2.11)em(2.15)e onsiderandoasequações(2.13)e(2.14),

temos:

dI

λ

= −β

λ

I

λ

ds

+ j

λ

ds,

(2.16) ou

dI

λ

β

λ

ds

= −I

λ

+

j

λ

β

λ

.

(2.17) Na expressão (2.17), a razão

j

λ

β

λ

dene a função fonte e depende da radiação em

ada ponto e em todas as direções dentro de um elemento de volume, podendo ser

interpretada omo:

F

λ

=

σ

sλ

β

λ

Z

4π

I

λ

(

−→

ξ

′

)

p( ˆ

ξ

′

_{, ˆ}

_ξ)

4π

dΩ

′

_,

(2.18) onde

σ

sλ

β

λ

representa a fração da perda de energia atribuída ao espalhamento [10℄,

onhe ida omo albedo de espalhamento simples (

ω

);

−→

ξ

′

_{= ˆ}

_ξ(θ

′

_{, ϕ}

′

₎

representa a

direçãode propagaçãodaenergiaemum ângulosólido

dΩ

′

e

p( ˆ

ξ

′

_{, ˆ}

_ξ)

afunçãode fase

de espalhamento.

Considerando

ω

e os ângulospolar

θ

′

e azimutal

ϕ

′

, rees revemos (2.18) omo:

F

(θ

′

_{, ϕ}

′

_{) =}

ω

4π

Z

2π

0

Z

π

0

p(θ, ϕ, θ

′

_{, ϕ}

′

_)I(θ

′

_{, ϕ}

′

_)senθ

′

_dθ

′

_dϕ

′

_,

(2.19) onde

dΩ

′

_{= senθ}

′

_dθ

′

_dϕ

′

.

Classi amente, expande-se a função

p(cos Θ)

em polinmios de

(21)

p(cos Θ) = P(µ, µ

′

_{, ϕ, ϕ}

′

_{) =}

L

X

q=0

(2 − δ

0,q

)

L

X

ℓ=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ)P

_ℓ

q

(µ

′

_{) cos[q(ϕ − ϕ}

′

_)],

(2.20) onde

β

_ℓ

q

= β

ℓ

(ℓ − q)!

(ℓ + q)!

(2.21)

são os oe ientes daexpansão, om

β

0

= 1

e

|β

ℓ

| < 2l + 1

,

l

= 0, 1, 2, ..., L

,

L >

0

e

P

_ℓ

q

(µ) = (1 − µ

2

)

q

2

d

q

dµ

q

P

ℓ

(µ)

(2.22)

são asfunções asso iadas de Legendre.

Por m, podemos es rever a equação (2.17) levando em onsideração

geometriaplano-paralelo ea expressão para afunção fonte, de formaque

cosθ

dI(z, θ, ϕ)

β

λ

(z)dz

= −I(z, θ, ϕ) + F (z, θ, ϕ),

(2.23)

onde

dz

= cosθds

.

Usando a denição de aminho óti o

τ

e a expressão para a função fonte (2.19),

rees revemos (2.23) eobtemos a expressão:

µ

d

dτ

I(τ, µ, ϕ) + I(τ, µ, ϕ) =

ω

4π

Z

1 −1

Z

2π

0

p(µ, ϕ, µ

′

_{, ϕ}

′

_{)I(τ, µ}

′

_{, ϕ}

′

_)dµ

′

_dϕ

′

_.

(2.24)

A expressão (2.24) dene, portanto, a Equação da Transferên ia Radiativa em

(22)

RADIATIVA SEM SIMETRIA AZIMUTAL:

SOLUÇO LTS

N

Neste apítulo,des revemos ométodoLTS

N

utilizadopara aresolução

deproblemasde transferên iaradiativasemsimetriaazimutal. Classi amente,estes

problemassão formuladosmedianteautilizaçãodade omposiçãodaintensidade de

radiação proposta por Chandrasekhar [10℄. Na de omposição de Chandrasekhar,

o vetor intensidade de radiação é expandido em uma série de Fourier na variável

azimutal,aqualétrun ada em

L

termos-onde

L

representaograude anisotropia

-e,posteriormente, essaexpansãoésubstituídanaequaçãode transferên iaradiativa

semsimetriaazimutal. Deste pro edimento,obtém-sequeos oe ientes dasérie de

Fouriersão soluçõesde um onjuntode

2L + 1

problemas semelhantes aoproblema

om simetria azimutal. Dentre os diversos métodos propostos para aresolução dos

2L + 1

problemas resultantes da de omposição de Chandrasekhar, en ontra-se o métodoLTS

N

[31℄,[4℄, [30℄, [33℄, [3℄.

A m de des revermos a solução LTS

N

lássi a utilizada para

a resolução de problemas de transferên ia radiativa sem simetria azimutal,

onsideramoso seguinte problema de albedo, lássi o daliteratura:

µ

∂

∂τ

I(τ, µ, ϕ) + I(τ, µ, ϕ) =

ω

4π

Z

1 −1

Z

2π

0

p(cos Θ)I(τ, µ

′

_{, ϕ}

′

_)dµ

′

_dϕ

′

_,

(3.1) om ondiçõesde ontorno:

I(0, µ, ϕ) = πδ(µ − µ

0

)δ(ϕ − ϕ

0

) se µ > 0

(3.2) e

I(τ

0

, µ, ϕ) = 0 se µ < 0,

(3.3)

(23)

• τ ∈ [0, τ

0

]

;

• µ = cos θ

onde

θ

é oângulo polar, portanto

µ

∈ [−1, 1]

;

• ϕ ∈ [0, 2π]

é oângulo azimutal;

• ω ∈ [0, 1]

representa oalbedo de espalhamento;

• p(cos Θ)

é a função de espalhamento, onde

Θ

é o ângulo formado pela direçãode movimentodofótonantes dainteraçãoeoânguloresultante

após ainteração.

Consideramos, ainda, a seguinte expansão para a intensidade de

radiação, proposta porChandrasekhar [10℄:

I(τ, µ, ϕ) = I

∗

_{(τ, µ, ϕ) + πδ(µ − µ}

0

)δ(ϕ − ϕ

0

)e

−τ

µ

.

(3.4)

Substituindo a igualdade (3.4) em (3.1)-(3.3) e, após algumas

manipulaçõesalgébri as, obtemos oproblema a ser satisfeito por

I

∗

_{(τ, µ, ϕ)}

:

µ

∂

∂τ

I

∗

_{(τ, µ, ϕ) + I}

∗

_{(τ, µ, ϕ) =}

ω

4π

Z

1 −1

Z

2π

0

p(cos Θ)I

∗

_{(τ, µ}

′

_{, ϕ}

′

_)dµ

′

_dϕ

′

_{+ S(τ, µ, ϕ)}

(3.5)

om ondiçõesde ontorno om in idên ia nulas evetor fonte

S(τ, µ, ϕ)

dado por

S(τ, µ, ϕ) =

ω

4

L

X

q=0

(2 − δ

0,q

)

L

X

ℓ=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ)P

_ℓ

q

(µ

0

) cos[q(ϕ − ϕ

0

)]e

−τ

µ0

_.

(3.6)

Para resolvermos o problema des rito pelas equações (3.5)-(3.6)

via método LTS

N

Clássi o, primeiramente utilizamos a expansão proposta por

Chandrasekhar,expandindoovetorintensidadederadiaçãoemumasériedeFourier

navariávelazimutal,

I

∗

_{(τ, µ, ϕ) = I}

∗0

c

(τ, µ) +

∞

X

i=1

I

∗i

(24)

usando a ortogonalidade das funções seno e osseno, obtém-se que os oe ientes

I

∗i

s

(τ, µ)

da série trun ada de Fourier (3.7) são as soluções dos

L

problemas semelhantes aproblemas om simetriaazimutal,des ritos omo:

µ

∂

∂τ

I

∗m

s

(τ, µ) + I

∗m

s

(τ, µ) =

ω

2

L

X

l=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ)

Z

1 −1

P

_ℓ

q

(µ

′

)I

∗m

s

(τ, µ

′

)dµ

′

,

(3.8)

para

m

= 1, 2, .., L

e om ondições de ontorno nulas.

Já os oe ientes

I

∗i

c

(τ, µ)

da série de Fourier (3.7) são as soluções dos seguintes

L

+ 1

problemassemelhantes aproblemas omsimetriaazimutal,des ritos

omo:

µ

∂

∂τ

I

∗m

c

(τ, µ) + I

∗m

c

(τ, µ) =

ω

2

L

X

l=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ)

Z

1 −1

P

_ℓ

q

(µ

′

_)I

∗m

c

(τ, µ

′

_)dµ

′

_{+ S}

∗m

_{(τ, µ),}

(3.9)

om ondiçõesde ontorno nulas,

m

= 0, 1, 2, .., L

e vetor fontedado por:

S

∗m

_{(τ, µ) =}

ω

2

L

X

l=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ)P

_ℓ

q

(µ

0

)e

−τ

µ0

_.

(3.10)

Desta forma,asoluçãopara o problemade transferên ia radiativasem

simetriaazimutal (3.5) e om ondições de ontorno homogêneas érees rita omo:

I(τ, µ, ϕ) =

L

X

i=0

I

∗i

_c

(τ, µ) cos[i(ϕ − ϕ

0

)] + πδ(µ − µ

0

)δ(ϕ − ϕ

0

)e

−τ

µ

,

(3.11) ondeas funções

I

∗i

c

(τ, µ)

tem a mesmaformaqueas soluções om simetriaazimutal (3.9)-(3.10).

A aproximação S

N

[9℄ destes problemas om simetria azimutal é

realizada mediante a aproximação do termo integral das equações (3.9) por

QuadraturaGaussiana de ordem

N

ea posteriorapli açãodométododa olo ação

no onjunto de direções dis retas, as mesmas usadas na quadratura. Deste

pro edimento, resultao seguinte onjunto de equações diferen iais

d

dτ

I

m

n

(τ ) +

1 µn

I

m

n

(τ ) =

ω

2

L

X

ℓ=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ

n

)[

N

X

k=1

P

_ℓ

q

(µ

k

)I

m

k

(τ )w

k

+ S

m

n

(τ )],

(3.12)

(25)

Este onjunto de equações é resolvido, então, de maneira lássi a,

utilizando o método LTS

N

,

mediante:

i)

a apli ação da Transformada de Lapla e

na variável espa ial das equações S

N

;

ii)

a inversão analíti a da matriz asso iada

e

iii)

a resolução do sistema linear resultante. Deste pro edimento, obtém-se uma

soluçãoanalíti aparaosproblemas sem simetriaazimutaldes ritos em(3.5)-(3.6).

Desta forma, a resolução de problemas sem simetria azimutal pelo método LTS

N

e utilizando a abordagem de Chandrasekhar exige a resolução de um onjunto de

2L + 1

problemas om estrutura semelhantes aos problemas omsimetria azimutal.

Bus ando aprimorar o método LTS

N

no sentido da resolução de

problemas sem simetria azimutal e om elevadas anisotropias, propomos, a seguir,

uma abordagem de solução na qual onsideramos a dis retização de ambas as

variáveis angulares do termo integral da equação e ujo pro esso impli ará na

resolução, por um pro esso semelhante ao utilizado no método LTS

N

,

de apenas

(26)

EQUAÇO DE TRANSFERÊNCIA

RADIATIVA SEM SIMETRIA AZIMUTAL

Neste apítulo, apresentamos um esquema para resolução analíti a da

aproximação em ordenadas dis retas dupla da equação de transferên ia radiativa

semsimetriaazimutalemumapla ae omaltograudeanisotropia. Aaproximação

daequaçãode transferên iaradiativaseráobtidamedianteadis retizaçãodotermo

integral emambas as variáveisangulares, utilizandoa quadratura gaussiana dupla.

A equação matri ialresultante deste pro esso será, então, resolvida analiti amente

utilizandoaformulação LTS

N

.

4.1 Solução em Ordenadas Dis retas Dupla

Visando a onstrução de uma aproximação em ordenadas dis retas

duplapara oproblema de transferên ia radiativades ritopor(3.5)-(3.6), partimos

daaproximação dotermo integral

R

1 −1

p(cos Θ)I

∗

_{(τ, µ}

′

_{, ϕ}

′

_)dµ

′

_dϕ

′

, presente em(3.5),

medianteQuadratura de Gauss-Legendre de ordem

N

. Nesse sentido, es revemos

Z

1 −1

p(cos Θ)I

∗

(τ, µ

′

, ϕ

′

)dµ

′

dϕ

′

≈

N

X

t=1

P(µ, µ

t

, ϕ, ϕ

′

)I

∗

t

(τ, ϕ

′

)ω

t

dϕ

′

,

(4.1)

onde

µ

t

são as raízes da quadratura de Gauss-Legendre de ordem

N

, ordenadas de formade res ente:

−1 < µ

N

< . . . < µ

N

2 +1

<

0 < µ

N

2

< . . . < µ

1

<

1,

om

N

par, e os

ω

t

são os respe tivos pesos da quadratura de Gauss-Legendre de ordem

N

, dados por:

ω

t

=

Z

1 −1

N

Y

j=1,t6=j

(µ − µ

j

)

(µ

t

− µ

j

)

dµ

(27)

e

P(µ, µ

t

, ϕ, ϕ)

afunção de espalhamento,des rita por (2.20).

Emseguida, apli amoso método da olo ação na variávelangular

µ

, onsiderando

afunção Deltade Dira

δ(µ − µ

n

)

omoa funçãoteste easraízes daquadratura de Gauss-Legendre de ordem

N

omo ospontosde olo ação. Destaforma,obtemoso

sistemade equações dis retizadasna variávelangular

µ

, des ritoa seguir:

µ

n

d

dτ

I

∗

n(τ, ϕ) + I

∗

n(τ, ϕ) =

ω

4π

N

X

t=1

Z

2π

0

P(µ

n

, µ

t

, ϕ, ϕ

′

)I

∗

t

(τ, ϕ

′

)ω

t

dϕ

′

+ S

n

(τ, µ

n

, ϕ),

(4.2)

om as ondições de ontorno dadas por:

I

∗

n(0, ϕ) = 0, se µ

n

>

0,

(4.3)

I

∗

_n(τ

0

, ϕ) = 0, se µ

n

<

0.

(4.4)

Pro edendo a dis retização dos termos angulares da equação de

transferên iaradiativasem simetriaazimutal,aproximamos,agora,otermointegral

R

2π

0

P(µ

n

, µ

t

, ϕ, ϕ

′

_)I

∗

t

(τ, ϕ

′

)ω

t

dϕ

′

da equação (4.2) por Quadratura Gaussiana de ordem

M

, ouseja:

Z

2π

0

P(µ

n

, µ

t

, ϕ, ϕ

′

)I

∗

t

(τ, ϕ

′

)ω

t

dϕ

′

≈

M

X

k=1

P(µ

n

, µ

t

, ϕ, ϕ

k

)I

∗

tk

(τ )ω

t

ω

k

,

(4.5)

onde

ϕ

k

são asraízes daquadratura de Gauss-Legendre de ordem

M

, ordenadas de formade res entenointervalo

0 < ϕ

k

<

2π

, om

M

naturale

M

6= 0

. Os

ω

k

são os respe tivos pesos daquadratura de Gauss-Legendre de ordem

M

.

Dando ontinuidade à des rição do esquema proposto, apli amos o

método da olo ação na variável angular

ϕ

onsiderando a função Delta de Dira

δ(ϕ − ϕ

m

)

omo a função teste e as raízes da quadratura de Gauss-Legendre de

ordem

M

omo os pontosde olo ação. Ao término deste pro edimentoobtemos o

seguinte sistemade equações S

N,M

que representa uma aproximação da equação de

transferên iaradiativa(3.5) mediante adis retização de suas variáveis angulares:

d

I

∗

nm(τ ) +

1 I

∗

nm(τ ) =

ω

N

X

M

X

P(µ

n, µt, ϕm, ϕk

)I

∗

tk(τ )w

t

w

k

+ S

nm

(τ, µ

n

, ϕ

m

),

(28)

I

∗

_{nm(0) = 0 se µ}

n

>

0

(4.7)

e

I

∗

nm(τ

0

) = 0 se µ

n

<

0,

(4.8)

evetor fontedado por:

S

nm

(τ ) =

ω

4µ

n

L

X

q=0

(2 − δ

0,q

)

L

X

ℓ=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ

n

)P

q

ℓ

(µ

0

) cos q(ϕ

m

− ϕ

0

)e

−τ

µ0

_.

(4.9) Substituindo

P(µ

n

, µ

t

, ϕ

m

, ϕ

k

)

pelaexpressãodada naequação(2.20), rees revemos

(4.6) omosegue,

d

dτ

I

∗

nm

(τ ) +

1 µ

n

I

∗

nm

(τ ) =

ω

4πµ

n

N

X

t=1

M

X

k=1

c(n, t, m, k)I

∗

tk

(τ )w

t

w

k

+

ω

4µ

n

c(n, µ

0 , m, ϕ

0 )e

−τ

µ0

,

(4.10) om

c(n, t, m, k) =

L

X

q=0

(2 − δ

0,q

)

L

X

ℓ=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ

n

)P

ℓ

q

(µ

t

) cos q(ϕ

m

− ϕ

k

)

(4.11) e

c(n, µ

0

, m, ϕ

0

) =

L

X

q=0

(2 − δ

0,q

)

L

X

ℓ=q

β

_ℓ

q

P

_ℓ

q

(µ

n

)P

q

ℓ

(µ

0

) cos q(ϕ

m

− ϕ

0

),

(4.12)

onde

n, t

: 1, . . . , N

e

m, k

: 1, . . . , M

. (

µ

0

,

ϕ

0

) é a direção de in idên ia da radiaçãono ontorno,xadapreviamenteenão perten enteao onjuntodedireções

dis retizadas.

Naforma matri ial,este sistemade equações S

N,M é es rito omo:

d

dτ

I

∗

(τ ) − AI

∗

(τ ) = F(τ).

(4.13)

(29)

Ovetor

F(τ )

representa o vetor fonte de ordem

N M

e é dadopor:

F(τ ) =







ω

4µ

1

c(1, µ

0

,

1, ϕ

0

)e

−τ

µ0

ω

4µ

1

c(1, µ

0

,

2, ϕ

0

)e

−τ

µ0

. . .

ω

4µ

1

c(1, µ

0

, M, ϕ

0

)e

−τ

µ0

ω

4µ

2

c(2, µ

0

,

1, ϕ

0

)e

−τ

µ0

ω

4µ

2

c(2, µ

0

,

2, ϕ

0

)e

−τ

µ0

. . .

ω

4µ

2

c(2, µ

0

, M, ϕ

0

)e

−τ

µ0

ω

4µ

n

c(N, µ

0

,

1, ϕ

0

)e

−τ

µ0

ω

4µ

n

c(N, µ

0

,

2, ϕ

0

)e

−τ

µ0

. . .

ω

4µ

n

c(N, µ

0

, M, ϕ

0

)e

−τ

µ0







.

(4.14)

A matriz

A

é uma matriz quadrada de ordem

N M

formada por

N

2

sub-matrizes quadradas

A

IJ

de ordem

M

,

A =







A

11

A

12

. . . A

1J

A

21

A

22

. . . A

2J

. . . . . . . . .

A

I1

A

I2

. . . A

IJ







,

(4.15)

(30)

A

IJ

=

















−

1 µ

I

0 . . .

0

0 −

_µ

1 I

. . .

0

. . . . . . . . .

0 · · ·

−

_µ

1 I







+

ωw

I

4πµ

I







c(I, J, 1, 1) . . . c(I, J, 1, j)

. . .

c(I, J, i, 1) · · · c(I, J, i, j)













w

1

0 . . .

0

0 w

2

. . .

. . . . . .

0

. . . . . .

0 . . .

w

j







se

I

= J

ωw

J

4πµ

I







c(I, J, 1, 1) . . . c(I, J, 1, j)

. . .

c(I, J, i, 1) · · · c(I, J, i, j)













w

1

0 . . .

0

0 w

2

. . .

. . . . . .

0

. . . . . .

0 . . .

w

j







se

I

6= J

(4.16) onde

I, J

: 1, . . . , N

e

i, j

: 1, . . . , M

. 20

(31)

I

∗

_{(τ ) =}





I

∗

1

(τ )

I

∗

2

(τ )





,

(4.17) onde

I

∗

1

(τ )

e

I

∗

2

(τ )

são sub-vetores do vetor intensidade de radiação

I

∗

_{(τ )}

, ada um de ordem

N M

2

. O vetor

I

∗

1

(τ )

ontém a intensidade de radiação nas direções positivasde

µ

:

I

∗

1

(τ ) =







I

∗

1,1

(τ )

. . .

I

∗

1,M

(τ )

. . .

I

∗

N M

2 ,1

(τ )

. . .

I

∗

N M

2 ,M

(τ )







(4.18) eo vetor

I

∗

2

(τ )

a intensidade de radiaçãonas direçõesnegativas de

µ

:

I

∗

2

(τ ) =







I

∗

N M

2 +1,1

(τ )

. . .

I

∗

N M

2 +1,M

(τ )

. . .

I

∗

N M,1

(τ )

. . .

I

∗

N M,M

(τ )







.

(4.19)

Na seção seguinte, será demonstrado a utilizaçãoda formulação LTS

N

para aresolução analíti a do onjunto de equações S

N,M

(32)

N,M

A resolução do problema des rito por (4.10) e om ondições de

ontorno nulas será desenvolvida, aqui, de maneira análoga àquela proposta no

método LTS

N

para a resolução da aproximação S

N

da equação de transporte de

partí ulas. Esta proposta de resolução analíti a da aproximação S

N,M

da equação

de transferên ia radiativa sem simetria azimutal será denominada LTS

N,M

.

Nesse

sentido, primeiramente apli amos a Transformada de Lapla e na variável espa ial

dasequaçõesS

N,M

,

representadas matri ialmentepor(4.13). Obtemos,destaforma,

um sistemalinear de

N M

equaçõese

N M

in ógnitas, dependentes doparâmetro

s

edadas por:

(sJ − A)¯

I

∗

_{(s) = I}

∗

_{(0) + ¯}

F(s),

(4.20)

em que

I

¯

∗

_{(s) = L[I}

∗

_{(τ )]}

e

F(s) = L[F(τ )]

¯

são as transformadas de Lapla e,

s

é

um parâmetro omplexo e

J

uma matriz identidade de ordem

N M

. Em seguida,

resolvemosa equação (4.20) para aintensidade de radiaçãotransformada, obtendo

I

∗

(τ ) = B(τ)I

∗

(0) + H(τ)

(4.21)

om

B(τ ) = L

−1

[(sJ − A)

−1

]

(4.22)

eo vetor

H(τ )

denido omo:

H(τ ) = B(τ ) ∗ F(τ ) =

Z

τ

0

B(τ − ξ)F(ξ)dξ,

(4.23)

onde osinal

∗

representa a onvoluçãomatri ial.

A expressão (4.21), nos forne e, então, uma solução analíti a da

aproximação S

N,M

(33)

N,M

NométodoLTS

N

NãoEspe tral[29℄,amatrizasso iada

A

éde omposta

omo

A

= D + A

C

, onde

D

é a matriz que ontém os termos da diagonal de

A

e

A

C

é a matriz om os demais termos de

A

. Esta mudança na forma de es rever

A

impli a o desa oplamento das equações, visto que a matriz

D

é diagonal, e por este motivo, o ál ulo de autovalores da matriz asso iada não é ne essário. Neste

método Não Espe tral, a solução das equações resultantes é obtida de maneira

re ursiva: primeiramente resolve-se um sistema om a fonte e as ondições de

ontorno do problema original e, em seguida, resolve-se os demais problemas om

fontedeterminadapeloprodutoentre asoluçãodoproblemaanterioreamatriz

A

C

, om ondições de ontorno homogêneas. O número de equaçõesa serem resolvidas

nesse pro essoé es olhido de formaa obteruma pre isãopres rita.

Comoobjetivode onstruirmosométodonãoespe tralparaaresolução

doproblema S

N,M

,

asso iadoà(4.10), primeiramentede ompomosamatrizLTS

N,M

erees revemos oproblema daseguinte maneira:

d

dτ

I

∗

(τ ) − AI

∗

(τ ) = F(τ)

(4.24)

d

dτ

I

∗

(τ ) − [(A − D) + D]I

∗

(τ ) = F(τ)

d

dτ

I

∗

(τ ) − DI

∗

(τ ) = (A − D)I

∗

(τ ) + F(τ)

d

dτ

I

∗

(τ ) − DI

∗

(τ ) = A

c

I

∗

(τ ) + F(τ),

om

A

c

= (A − D)

e ondiçõesde ontorno:

I

∗

(0) = 0

se

µ >

0

(4.25) e

I

∗

(τ

0

) = 0

se

µ <

0.

(4.26)

(34)

Nesta de omposição,

D

é umamatriz diagonal,dada por:

D =







D

11

0 . . .

0

0 D

22

. . .

0

. . . . . . . . .

0

0 . . . D

IJ







,

(4.27)

para

I, J

: 1, . . . , N

e onde

D

IJ

são sub-matrizes quadradas de ordem

M

, assim denidas:

d

ij

=







−

1 µ

I

+

ωw

I

c(I,J,i,j)w

j

4πµ

I

se

i

= j

0

se

i

6= j

,

(4.28) om

i, j

: 1, . . . , M

.

Jáa matriz

A

c

édenida omo:

A

c

=







A

∗

11

A

12

. . . A

1J

A

21

A

∗

22

. . . A

2J

. . . . . . . . .

A

I

1

A

I2

. . . A

∗

IJ







,

(4.29)

para

I, J

: 1, . . . , N

, ujos elementos são:

a

∗

_ij

=







ωw

I

c(I,J,i,j)w

j

4πµ

I

se

i

6= j

0

se

i

= j

,

(4.30) e

a

ij

=

n

ωw

I

c(I,J,i,j)w

j

4πµ

I

∀i, j,

(4.31)

onde

i, j

: 1, . . . , M

e

F(τ )

ovetor fonte(4.19).

Resolvemos (4.24) de forma re ursiva. Para isso, supomos a

de omposiçãoda intensidade de radiação omo:

I

∗

(τ ) =

∞

X

k=0

(35)

d

dτ

∞

X

k=0

I

∗k

(τ ) − D

∞

X

k=0

I

∗k

(τ ) = A

C

∞

X

k=0

I

∗k

(τ ) + F(τ).

(4.33)

Essasequaçõessão, aqui,resolvidas omooseguintepro essore ursivo:

Para

k

= 0

,resolvemos o problema:

d

dτ

I

∗0

(τ ) − DI

∗0

(τ ) = F(τ),

(4.34)

om as ondições de ontorno dadas pelas equações (4.25) e (4.26). Nas demais

re ursões, ou seja,para

k

= 1, 2, ...

,resolvemos os problemas:

d

dτ

I

∗k

(τ ) − DI

∗k

(τ ) = A

C

I

∗(k−1)

(τ ),

(4.35)

om ondiçõesde ontorno nulas.

Pelo fato de que

D

foi onstruída diagonal, os sistemas (4.34) e (4.35) podem ser

es ritos omo

N M

equações desa opladas. Desta maneira, a resolução do sistema

(4.34)se dámediante aresolução das seguintes equações:











d

dτ

I

∗0

i

(τ ) − d

ii

I

∗0

i

(τ ) = F

i

(τ )

i

= 1, 2, ..., NM

I

∗0

i

(0) = 0

i

= 1, 2, ...,

N M

₂

I

∗0

i

(τ

0

) = 0

i

=

N M

₂

+ 1, ..., NM,

(4.36)

ujassoluçõessão onhe idas e expressas por:

I

∗0

_i

(τ ) = e

d

ii

τ

_I

∗0

i

(0) + e

d

ii

τ

_{∗ F}

i

(τ )

I

∗0

_i

(τ ) = e

d

ii

τ

_I

∗0

i

(0) +

Z

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη

i

= 1, 2, ..., NM.

(4.37)

Entretanto, omo des onhe emos os valores de

I

∗0

i

(0)

para

i

=

N M

2

+ 1, ..., NM

, apli amos as ondições de ontorno (4.25 - 4.26) nas equações (4.36), om

i

=

N M

2

+ 1, ..., NM

e

τ

= τ

0

, obtendo, daí,

I

∗0

_i

(τ

0

) = e

d

ii

τ

0

I

∗0

i

(0) +

Z

τ

0

e

d

ii

(τ

0 −η)

F

i

(η)dη.

(4.38)

(36)

Isolando

I

∗0

i

(0)

em(4.38),temos que:

I

∗0

i

(0) = I

∗0

i

(τ

0

)e

−d

ii

τ

0

−

Z

τ

0

e

−d

ii

η

_F

i

(η)dη

i

=

N M

2 , ..., N M.

(4.39) Substituindo (4.39) na equação (4.37), obtemos a expressão que forne e a solução

para asdireções

µ <

0

,

I

∗0

_i

(τ ) = e

d

ii

τ

_(I

∗0

i

(τ

0

)e

−d

ii

τ

0

−

Z

τ

0

e

−d

ii

η

_F

i

(η)dη) +

Z

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη

= e

d

ii

(τ −τ

0 )

I

∗0

_i

(τ

0

) −

Z

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη +

Z

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη

= e

d

ii

(τ −τ

0 )

I

∗0

_i

(τ

0

) −

Z

τ

0 τ

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη

= e

d

ii

(τ −τ

0 )

I

∗0

_i

(τ

0

) +

Z

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη,

i

=

N M

2 + 1, ..., NM.

(4.40) Desta maneira, a solução do problema re ursivo (4.34) a ompletamente

determinada:







I

∗0

i

(τ ) = e

d

ii

τ

I

∗0

i

(0) +

R

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη,

i

= 1, ...,

N M

₂

I

∗0

i

(τ ) = e

d

ii

(τ −τ

0 )

I

∗0

i

(τ

0

) +

R

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη,

i

=

N M

₂

+ 1, ..., NM.

(4.41)

Devidoàs ondiçõesde ontorno doproblema, rees revemos (4.41) omo:







I

∗0

i

(τ ) =

R

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη,

i

= 1, ...,

N M

₂

I

∗0

i

(τ ) =

R

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_F

i

(η)dη,

i

=

N M

₂

+ 1, ..., NM.

Osdemais termos da re ursão para determinação dovetor intensidade de radiação

I

∗

_{(τ )}

são assoluções das equações

d

dτ

I

∗k

i

(τ ) − d

ii

I

∗k

i

(τ ) = A

C

I

∗(k−1)

i

(τ )

i

= 1, ..., NM,

(4.42)

om ondiçõesde ontorno nulas e

k

= 1, 2, ...

,as quaissão dadas por:

I

∗k

i

(τ ) = e

d

ii

τ

_I

∗k

i

(0) + e

d

ii

τ

_{∗ A}

C

I

∗(k−1)

i

(τ )

I

∗k

i

(τ ) = e

d

ii

τ

_I

∗k

i

(0) +

Z

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_A

C

I

∗(k−1)

i

(η)dη

i

= 1, 2, ..., NM.

(4.43)

(37)

Nestes problemas, onhe emos somente os

N M

2

primeiros valores do vetor

I

∗k

i

(0)

. Desta forma, apli ando ideias análogas àquelas apresentadas na re ursão zero e

onsiderandoagoraas ondiçõesde ontornonulas, expressamosassoluçõesde ada

problema re ursivo (4.42) omo:







I

∗k

i

(τ ) =

R

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_A

C

I

∗(k−1)

i

(η)dη

i

= 1, 2, ...,

N M

2

I

∗k

i

(τ ) =

R

τ

0

e

d

ii

(τ −η)

_A

C

I

∗(k−1)

i

(η)dη

i

=

N M

2

+ 1, ..., NM.

(4.44)

Desta maneira, ao término deste pro edimento, obtemos a solução

LTS

N,M

do problema (4.10) de forma Não Espe tral, o que representa a novidade

(38)

Conforme des rito na seção 4.2, a formulação LTS

N,M

nos forne e a

soluçãointensidadede radiação al uladano onjuntode direçõesdis retas

(µ

i

, ϕ

j

)

, om

i

= 1, 2, ..., N

e

j

= 1, 2, ..., M

. Desta maneira,para al ularmos a intensidade

de radiação em uma direção distinta das direções dis retas, utilizamos a té ni a

de in lusão de nós tí ios, onhe ida omo

DN I

[8℄.

DN I

é uma té ni a

de interpolação angular que onsiste na in lusão de nós tí ios nos esquemas

de quadratura utilizados, os quais são asso iados a pesos de valor zero. Uma

ara terísti a relevante desta té ni a é o aumento da ordem da matriz asso iada.

Porexemplo, se in luirmos

R

e

S

novas direções dis retas nas quadraturas

N

e

M

,

respe tivamente, utilizadas na resolução dos problemas sem simetria azimutal via

LTS

N,M

,

anovamatriz LTS

N,M

asso iada passaráa ter ordem

(N + R)(M + S)

.

Outroaspe to relevante a er a daimplementação numéri a dométodoLTS

N,M diz

respeito a função de fase

p(cos Θ)

, des ritapor (2.20). Devido ao overow ausado

pelos fatores

P

m

ℓ

(µ)

de (2.20) para problemas om elevadas anisotropias, optamos porutilizarasfunções

D

m

ℓ

,quesãoospolinmiosmodi adosdeLegendrepropostos por[6℄ edes ritas omo:

D

m

_ℓ+1

(µ) =

(2l + 1)µD

m

ℓ

(µ) − (l

2

− m

2

)

1

2

D

m

ℓ−1

(µ)

[(l + 1)

2

_{− m}

2

_]

1

2

,

(5.1)

para

l

= m, m + 1, ...

, tendo omo valores ini iais

D

0

(µ) = 1

.

Para al ularmosasintegraisde onvolução,utilizamosQuadratura Gaussiana om

100

pontos. No que se refere a interpolação da função

A

C

I

∗(k−1)

_{(τ )}

, utilizamos a

fórmulade Newton. Diversos testesforamrealizados am de veri ar aquantidade

de pontos ne essários na interpolação da função de modo a se obter um resultado

satisfatórioparaaintensidadederadiação al ulada. Apresentamos,aseguir,alguns

resultados dessas simulações, onsiderando dois problemas ujos parâmetros estão