TEORIA DOS NÚMEROS : MMC E MDC

(1)

Página 1 de 6 1. (Col. Naval 2016) Sejam x e y números reais tais que xy2 3. Sendo assim, o valor mínimo de x8y8 é

a) múltiplo de 18. b) um número primo. c) divisível por 5. d) divisível por 13. e) par maior que 300.

2. (Col. Naval 2016) Na divisão exata do número k por 50, uma pessoa, distraidamente, dividiu por 5, esquecendo o zero e, dessa forma, encontrou um valor 22,5 unidades maior que o esperado. Qual o valor do algarismo das dezenas do número k?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. (CFTRJ 2016) Observe as igualdades a seguir: 1 2 1 4 1 2 3 2 1 9 1 2 3 4 3 2 1 16 1 2 3 4 5 4 3 2 1 25 1 2 3 2014 2015 2014 3 2 1 N                                   

Encontre todos os divisores primos positivos do número N.

4. (UFU 2016) Em uma gráfica, uma impressora foi ajustada para imprimir as 323 páginas de um livro, em ordem crescente da 1ª até a 323ª página. Assuma que ocorreu uma pane, interrompendo a impressão e deixando de ser impresso um total de páginas, em cujas enumerações seriam utilizados 636 algarismos.

Se é o conjunto de todos os números usados na enumeração das páginas, então a quantidade de elementos desse conjunto que são quadrados perfeitos é igual a

a) 11. b) 8. c) 9. d) 10.

5. (CFTRJ 2016) Observe o algoritmo a seguir,

n 8

0 ,625

apresenta a divisão de certo número natural não nulo n por 8 : Mesmo sem informação sobre n e a parte inteira do quociente

 

, podemos afirmar que o menor número natural, maior do que n e divisível por 8 (quociente natural e resto zero) é:

a) n 1 b) n 3 c) n 5 d) n 7

(2)

Página 2 de 6 6. (UFJF 2016) Durante uma aula de matemática, uma professora lançou um desafio para seus alunos. Eles deveriam descobrir o menor de três números naturais usando apenas as seguintes informações:

- A soma dos números é 54.

- A soma dos dois números menores menos o maior número é 10.

- Os números divididos, respectivamente, o menor por 5, o intermediário por 7 e o maior por 9 deixam os mesmos restos e quocientes.

Determine o menor dos três números: a) 6.

b) 8. c) 10. d) 12. e) 14.

7. (UFJF 2016) Uma pessoa é deixada num certo ponto sobre uma pista quadriculada, como mostra a figura, com um cartão contendo instruções para chegar do outro lado da pista.

Começando a partir do ponto indicado pela seta da área quadriculada, de frente para a pista, caminhando apenas sobre as linhas e seguindo as instruções fornecidas, responda qual a alternativa cuja letra corresponde ao ponto final desta trajetória (cada passo significa passar de um vértice ao outro de um mesmo lado do quadrado no qual se encontra).

a) A. b) B. c) C. d) D.

8. (PUCSP 2016) Se n é um número inteiro positivo, chama-se indicador de n o número de elementos do conjunto (n){x | 1 x n e mdc (x, n)1}. Com base nessa definição, é correto afirmar que o indicador do número 24 é igual a:

a) 16 b) 12 c) 10 d) 8

(3)

Página 3 de 6 9. (Col. Naval 2016) Seja “A” o conjunto solução da inequação

2

1 1 1

x 1 x 1  _x ₁ no

universo dos números reais, . O conjunto A é a) [ 1, 1]. 

b) ] 1, 1].  c) [ 1, 1].  d) ]  , 1]. e) ] 1, [. 

10. (PUCCAMP 2016) Nelson possui um cãozinho e precisa medicar o seu animal regularmente com dois produtos, A e B, cuja função é mantê-lo livre de pulgas e carrapatos. O produto A é vendido em caixas com 24 comprimidos e deve ser tomado a cada 6 dias. O produto B é vendido em caixas de 10 comprimidos e deve ser tomado a cada 20 dias.

Supondo que hoje ele tenha dado os dois produtos a seu cãozinho e que para isso tenha tido que abrir uma nova caixa de cada produto, no próximo dia em que ele tiver que dar os dois produtos juntos a seu cãozinho ainda haverá, na caixa do produto A,

a) 25 comprimidos. b) 20 comprimidos. c) 14 comprimidos. d) 12 comprimidos.

11. (Col. Naval 2016) Considere as divisões de números naturais, em que D é o divisor. A soma de todos os restos possíveis e pares dessas divisões é 182. Sabendo que D é ímpar e múltiplo de 3, o resto da divisão de [(2 0 1 5) 2015]    2016[(2 0 1 6) 2016]    2015 por D é a) 0 b) 1 c) 2 d) 15 e) 16

(4)

Página 4 de 6

Gabarito:

Resposta da questão 1: [A]

 

8 8 8 8 8 8 8 8 4 4 4 4 8 8 8 8 x 0 y 0

Média Aritmética Média Geométrica

x y x y x y 2 (xy) 2 (xy) 2 3 (xy) 144 x y 2 144 x y 288                   

Assim, o valor mínimo de x8y8 é 288, que é um número divisível por 18. Resposta da questão 2: [B]









k q k 50q 50 k q 22,5 k 5 q 22,5 5 5 q 22,5 50q 112,5 45q q 2,5 k 125                  

Assim, o algarismo das dezenas no número que é igual a 2. Resposta da questão 3:

Pela lógica apresentada no enunciado, pode-se escrever: N2015

Logo, os números primos divisores de 2015 são: 5, 13 e 31. Resposta da questão 4:

[D]

Número de páginas não impressas: 636 : 3212 Total de páginas impressas: 323212111

Escrevendo todos os quadrados perfeitos de 1 até 111, temos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Temos então 10 quadrados perfeitos utilizados na enumeração das páginas. Resposta da questão 5:

[B]

Se a parte inteira do quociente fosse igual a zero (menor número possível nesse caso), poder-se-ia escrever:

0,625 8   n n 5

(5)

Página 5 de 6 Resposta da questão 6:

[E]

Sejam x, y e z números naturais, com x y z. Tem-se que x y z 54 x y 32 . x y z 10 z 22          

Além disso, vem x5qr, y7qr e z9qr, sendo q, r e r5. Ora, mas z22 implica em q2 e r4. Portanto, segue que a resposta é x   5 2 4 14.

Resposta da questão 7: [B]

19 é um número primo e o reto da divisão de 19 por 5 é 4. Seguindo as orientações propostas, temos o seguinte trajeto:

Portanto, o vértice final será o ponto B. Resposta da questão 8:

[D]

Os elementos do conjunto que não possuem divisores comuns com o número 24, com exceção número 1.

São eles: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19{ , 23}.

Portanto, o indicador do número 24 é o número 8. Resposta da questão 9:

(6)

Página 6 de 6



 





 





 





 











2 2 x 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 A x / x 1 ou x 1 A x / 1 x 1 [ 1, 1]                 _   _                             Resposta da questão 10: [C]

Para calcular o número de dias necessários para que seu cão tome os dois remédios juntos novamente devemos calcular o mínimo múltiplo comum entre 6 e 20, ou seja, 60.

Como o medicamento da caixa A é tomado a cada 6 dias, depois de 60 dias já foram tomados 60 : 610 comprimidos da caixa A, restando 14 comprimidos.

Resposta da questão 11: [B]

2016 2015 2016 2015

2016 201

D 1 Restos possíves e pares 2 1 2 3

2 D 1 D 1 D 1 2 1 2 3 182 1 2 3 91 91 1 2 3 12 2 2 2 D [(2 0 1 5) 2015] [(2 0 1 6) 2016] [8 2015] [9 2016] [8 17] [9 18 1 13 D 2 2 ] 7        _  _                                                    5 __[136]2016__{[27 2]}_ 2015 _₁2016_₀2015 _₁