Modelização Matemática do Tremor Humano na Doença de Parkinson

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Modelização Matemática do Tremor

Humano na

Doença de Parkinson

[email protected] EdgarEdgar FerreiraFerreira João Duarte João Duarte Ricardo Martins Ricardo Martins Tiago Marçal Tiago Marçal

Modelos dos Processos Modelos dos Processos Fisiológicos no Homem Fisiológicos no Homem

(2)

Introdução

O que é um tremor?

Î

Î Movimento rápido, aproximadamente rítmico, de determinada Movimento rápido, aproximadamente rítmico, de determinada parte do corpo

parte do corpo

Î

Î VerificaVerifica--se, normalmente, nas extremidades do corpose, normalmente, nas extremidades do corpo

Tipos de tremor

Î

Î Quanto ao estado de actividade da parte do corpo onde ocorreQuanto ao estado de actividade da parte do corpo onde ocorre

•

• Tremor de repouso Tremor de repouso •

• Tremor de acçãoTremor de acção

Î

Î Quanto à causaQuanto à causa

•

• Tremor FisiológicoTremor Fisiológico •

(3)

Introdução

O tremor fisiológico resulta da actividade oscilatória do SNC

CÓRTEX CEREBRAL (Estriado, substância nigra, núcleos sub-talâmicos) FEEDBACK CENTRAL CONJUNTO DE NEURÓNIOS MOTORES RECEPTORES DE ESTIRAMENTO MÚSCULO MOVIMENTO (Tremor fisiológico)

Propriedades da unidade motora (ritmos não sincronizados e sincronização não oscilatória)

Factores mecânicos Oscilações de grande latência

devido aos mecanismos de feedback

Oscilações de baixa latência devido aos mecanismos de feedback Oscilações resultantes da actividade do SNC Oscilações devidas ao mecanismo de feedback central

Tremor Fisiológico

Introdução

Devida aos mecanismos de feedback envolvidos no controlo motor

Tem um comportamento irregular

(4)

Introdução

Tremor Fisiológico

Existem circunstâncias extraordinárias que podem induzir o tremor:

• determinado tipo de medicação

• situações de descontrolo emocional • ansiedade, medo, stress

• fadiga física • hipotermia • dor

Tremor Patológico

• Resulta de uma distorção ou amplificação da actividade oscilatória do SNC • Tem um comportamento regular

Exemplo:

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Doença de Parkinson

Caracterização

•

• doença neurodegenerativa doença neurodegenerativa •

• perda de neurónios dopaminérgicos da substância nigra perda de neurónios dopaminérgicos da substância nigra

diminuição da produção de dopamina (neurotransmissor)

afecta a actividade do

(6)

Doença de Parkinson

Caracterização

_Î _{Núcleos da Base}

• Estriado

• Núcleos subtalâmicos • Substância nigra

ª importantes na organização e coordenação dos movimentos

ª inibição da actividade muscular indesejável

Logo, na doença de Parkinson…

incapacidade de controlar os movimentos

movimentos mais bruscos

dificuldade em manter a postura

tremor característico: movimentos circulares e

transversais do polegar e indicador

(7)

Tremor Parkinsoniano

Modelização matemática

O tremor Parkinsoniano está associado a grupos de neurónios, loc

O tremor Parkinsoniano está associado a grupos de neurónios, localizados alizados

no córtex cerebral, que geram potenciais de acção sincronizados

no córtex cerebral, que geram potenciais de acção sincronizados a a

frequências semelhantes à frequência do tremor.

Edwards

Edwards, , BeuterBeuter e e GlassGlass desenvolveram um modelo:desenvolveram um modelo: •

• representativo de uma rede neuronal inibitóriarepresentativo de uma rede neuronal inibitória •

• modeliza a transição do tremor fisiológico para o tremor Parkimodeliza a transição do tremor fisiológico para o tremor Parkinsonianonsoniano •

• considera que o tremor Parkinsoniano e o tremor fisiológico têconsidera que o tremor Parkinsoniano e o tremor fisiológico têm origem m origem no mesmo circuito motor

no mesmo circuito motor

•

(8)

Tremor Parkinsoniano

Modelização matemática

Cada unidade desta rede neuronal constituída por N unidades pode

Cada unidade desta rede neuronal constituída por N unidades pode ser ser

representada pela seguinte equação:

1

( )

N i i ij j i j

dy

y

w g y

dt

= − +

∑

₌

−

τ

•

• yy_i_i

Ö

actividade da actividade da ii--éésimasima unidadeunidade •

• ww_i_i_j_j

Ö

eficácia sináptica da ligação da unidade eficácia sináptica da ligação da unidade jj que actua em que actua em ii

•

τ

_i_i

Ö

representa o limiar de actividade da unidade representa o limiar de actividade da unidade ii

•

• g(yg(y_j_j) )

Ö

função resposta de determinada unidade função resposta de determinada unidade jj aos seusaos seus estímulos de entrada

estímulos de entrada

-- Degrau de HeavisideDegrau de Heaviside

(9)

Tremor Parkinsoniano

Modelização matemática

Rede Neuronal Considerada (N=6)

1 4 6 2 3 5 α α α

α Ö ligação com eficácia sináptica

variável (α Є[0,1] ) 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 W α α α         = −           

As eficácias sinápticas consideram

As eficácias sinápticas consideram--se se

negativas, pois nas regiões do SNC que este

modelo representa, a dopamina tem um

efeito inibitório.

(10)

Tremor Parkinsoniano

Modelização matemática

Equações diferenciais que descrevem o comportamento em cada uma

das seis unidades ao longo do tempo:

1 1 2 6 2 2 4 6 3 3 4 5 4 4 1 6 5 5 1 2 6 6 3 5 1 ( ) 1 ( ) 1,5 1 ( ) 1 ( ) 1,5 1 ( ) ( ) 1,5 1 ( ) 1 ( ) 1,5 1 ( ) 1 ( ) 1,5 ( ) ( ) 1,5 dy y g y g y dt dy y g y g y dt dy y g y g y dt dy y g y g y dt dy y g y g y dt dy y g y g y dt α α α = − − ⋅ − ⋅ + = − − ⋅ − ⋅ + = − − ⋅ − ⋅ + = − − ⋅ − ⋅ + = − − ⋅ − ⋅ + = − − ⋅ − ⋅ +

(11)

Tremor Parkinsoniano

Implementação

Implementação em Simulinkem Simulink

In1 Out1 g(yj) In1 In2 Out1 Subsistema

Uma unidade básica da rede neuronal pode ser representada em Sim

Uma unidade básica da rede neuronal pode ser representada em Simulink :ulink :

1 Out1 1 s Integrator -1.5 Constant 2 In2 1 In1

(12)

Tremor Parkinsoniano

In1 Out1 g(y6) In1 Out1 g(y5) In1 Out1 g(y4) In1 Out1 g(y3) In1 Out1 g(y2) In1 Out1 g(y1) y1 To Workspace1 In1 In2 Out1 Subsistema 6 In1 In2 Out1 Subsistema 5 In1 In2 Out1 Subsistema 4 In1 In2 Out1 Subsistema 3 In1 In2 Out1 Subsistema 2 In1 In2 Out1 Subsistema 1 Scope Alfa Alfa Implementação

Implementação em Simulinkem Simulink

1 4 6 2 3 5 α α α

Para 6 unidades básicas

relacionadas de acordo com o

esquema, construiu

esquema, construiu--se este se este diagrama de blocos:

(13)

Tremor Parkinsoniano

Comportamento

Comportamento da rede neuronal de acordo com o degrau de Heavisideda rede neuronal de acordo com o degrau de Heaviside

1 , 0 ( ) 0 , 0 j j j y g y y ≥  =  _< 

O degrau de Heaviside é definido como…

…

… e é implementado em Simulink através do seguinte subsistema: e é implementado em Simulink através do seguinte subsistema:

1 Out1 >= Relational Operator Product 1 Constant1 0 Constant 1 In1 In1 Out1 g(yj)

(14)

Tremor Parkinsoniano

Comportamento

•

α

= 1 = 1 ÆÆ Situação Fisiológica Situação Fisiológica ÆÆ eficácia sináptica das ligações inalteradaeficácia sináptica das ligações inalterada

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tempo (s) A m pl itud e Saída da unidade 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Espectro de Frequências de y1 Frequência (Hz) A m pl itude Transformada de Fourier Transformada de Fourier

(15)

Tremor Parkinsoniano

Comportamento

•

α

= 0.8 = 0.8 ÆÆ Situação Transitória Situação Transitória ÆÆ eficácia sináptica das ligações ligeiramente alteradaeficácia sináptica das ligações ligeiramente alterada

Transformada de Fourier Transformada de Fourier 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Tempo (s) A m pl itud e Saída da unidade 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Espectro de Frequências de y1 A m pl itude

(16)

Tremor Parkinsoniano

Comportamento

•

α

= 0.5 = 0.5 ÆÆ Situação Patológica Situação Patológica ÆÆ eficácia sináptica das ligações muito alteradaeficácia sináptica das ligações muito alterada

Transformada de Fourier Transformada de Fourier 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Saída da unidade 1 Tempo (s) A m pl itude 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 10 20 30 40 50 60 Espectro de Frequências de y1 Frequência (Hz) A m pl itude Tremor Parkinsoniano Tremor Parkinsoniano

(17)

Tremor Parkinsoniano

Comportamento

Comportamento da rede neuronal de acordo com uma função da rede neuronal de acordo com uma função SigmóideSigmóide

A função

A função SigmóideSigmóide é definida para é definida para ββ=4=4 como…como…

…

… e é implementado em Simulink através do seguinte bloco: e é implementado em Simulink através do seguinte bloco:

1 tanh(4 ) ( ) 2 j j y g y = + (1+tanh(4*u))/2 g(yj) -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Função sigmóide para Beta = 4

Entrada

Sa

íd

(18)

Tremor Parkinsoniano

•

α

= 1 = 1 ÆÆ Situação Fisiológica Situação Fisiológica ÆÆ eficácia sináptica das ligações inalteradaeficácia sináptica das ligações inalterada

Transformada de Fourier Transformada de Fourier

Comportamento

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Saída da unidade 1 Tempo (s) A m plit ud e 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 10 20 30 40 50 60 70 Espectro de Frequências de y1 Frequência (Hz) A m pl itude

(19)

Tremor Parkinsoniano

Comportamento

•

α

= 0.8 = 0.8 ÆÆ Situação Transitória Situação Transitória ÆÆ eficácia sináptica das ligações ligeiramente alteradaeficácia sináptica das ligações ligeiramente alterada

Transformada de Fourier Transformada de Fourier 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Saída da unidade 1 Tempo (s) A m plit ud e 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 5 10 15 20 25 30 Espectro de Frequências de y1 A m pl itude

(20)

Tremor Parkinsoniano

Comportamento

•

α

= 0.5 = 0.5 ÆÆ Situação Patológica Situação Patológica ÆÆ eficácia sináptica das ligações muito alteradaeficácia sináptica das ligações muito alterada

Transformada de Fourier Transformada de Fourier Tremor Parkinsoniano Tremor Parkinsoniano 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Saída da unidade 1 Tempo (s) A m plit ud e 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 Espectro de Frequências de y1 Frequência (Hz) A m pl itude

(21)

Tremor Parkinsoniano

Análise dinâmica da rede neuronal

Para y

Para y₂₂, y, y₅₅ e ye y₆₆:: •

• Degrau de Heaviside Degrau de Heaviside ÆÆ

α

= 1= 1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Dinâmica da rede neuronal para alfa=1

y6

Não se identifica

qualquer singularidade

(22)

Tremor Parkinsoniano

Para y

Para y₁₁, y, y₂₂ e ye y₃₃:: •

• Degrau de Heaviside Degrau de Heaviside ÆÆ

α

= 0,5= 0,5

Trajectória

aproximadamente

rectangular

rectangular –– ciclo ciclo limite

limite –– em torno de um em torno de um centro centro -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y1 Dinâmica da rede neuronal para alfa=0.5

y2

(23)

Tremor Parkinsoniano

Para y

Para y₂₂, y, y₄₄ e e yy₅₅:: •

• Função Função SigmóideSigmóide ÆÆ

α

= 1= 1

Trajectória tende para

um foco (estável) um foco (estável) oscilando oscilando -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -0.5 0 0.5 y2 Dinâmica da rede neuronal para alfa=1

y4

(24)

Tremor Parkinsoniano

Para y

Para y₂₂, y, y₄₄ e ye y₆₆:: •

• Função Função SigmóideSigmóide ÆÆ

α

= 0,5= 0,5

Trajectória tende para

um foco (estável) um foco (estável) oscilando oscilando -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -0.5 0 0.5 1 y4 Dinâmica da rede neuronal para Alfa=0.5

y2

(25)

Conclusões

•

• modelo representa, de forma aceitável, o comportamento da redemodelo representa, de forma aceitável, o comportamento da rede neuronal envolvida no controlo do tremor humano

neuronal envolvida no controlo do tremor humano

•

• acompanha a evolução da doença de Parkinson e respectivas alteacompanha a evolução da doença de Parkinson e respectivas alterações rações no tremor humano

no tremor humano

•

• contudo verificamcontudo verificam--se algumas imprecisões:se algumas imprecisões: •

• as gamas de frequências obtidas nos espectros são bastante as gamas de frequências obtidas nos espectros são bastante inferiores às esperadas , embora as formas dos espectros estejam

inferiores às esperadas , embora as formas dos espectros estejam

correctas

•

• devidas ao número reduzido de unidades considerado e/ou a devidas ao número reduzido de unidades considerado e/ou a limitações associadas ao Simulink

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