NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS “CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO’’
MÓDULO – 4 (SEXTA SÉRIE)
NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possível Exemplos:
a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural) b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural) c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)
Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,
-1, -2, -3,...lê-se: menos um ou 1 negativo lê-se: menos dois ou dois negativo lê-se: menos três ou três negativo
Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números inteiros relativos, que será representado por Z.
Z = { ...-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,...}
5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as
temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números inteiros relativos:
a) 5° acima de zero = (R: +5 ) b) 3° abaixo de zero = (Resposta -3) c) 9°C abaixo de zero= (R: -9) d) 15° acima de zero = ( +15)
REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA
Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida, assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.
_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_ -6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
1) Escreva os números inteiros:
a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6) b) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 ) c) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2) d) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2) e) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1) f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.
-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_ -6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o menor deles.
a) -1 maior; -4, porque -1 está à direita de -4. b) -4 menor -2 , porque -4 está à esquerda de -2. c) +2 maior; -4, porque +2 está a direita de -4 d) -2 menor +1, porque -2 está à esquerda de +1.
Exercícios
1) coloque os números em ordem crescente. a) -9,-3,-7,+1,0 (Resposta -9,-7,-3,0,1) b) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25) c) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2) d) +60,-21,-34,-105,-90( R: -105,-90,-34,-21, +60) e) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20) f) -400,+620,- 840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO
1) Adição de números positivos
A soma de dois números positivos é um número positivo.
EXEMPLOS
a) (+2) + (+5) = +7 b) (+1) + (+4) = +5 c) (+6) + (+3) = +9
Simplificando a maneira de escrever a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5 c) +6 + 3 = +9
2) Adição de números negativos
A soma de dois números negativos é um número negativo Exemplos:
a) (-2) + (-3) = -5 b) (-1) + (-1) = -2 c) (-7) + (-2) = -9 Simplificando a maneira de escrever a) -2 - 3 = -5
b) -1 -1 = -2 c) -7 - 2 = -9
3) Adição de números com sinais diferentes a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3 c) (-10) + ( +3) = -7 EXERCÍCIOS
1) Dados os números x= 6, y = 5 e z= - 6, calcule:
a) x + y = (Resposta: +11) b) y + z = (R: -4) c) x + z = (R: -3) 2) Calcule a) 4 + 10 + 8 = (Resposta: 22) b) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24) c) 5 - 9 + 1 = (R: -3) d) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1) e) -8 - 2 + 3 = (R: -7) f) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20) g) -15 + 8 - 7 = (R: -14) h) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20 i) 24 + 6 - 12 = (R:+18) j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19) 3) Calcule a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (Resposta: -9) b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9) c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0) d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12) e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13) f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9) h) -(+7) -4 -12 = (R: -23) i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 ) j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50) l) - 50 - (+7) - 43 = (Resposta -100) m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4) n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11) o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10) p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40) q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11) r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20
EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Lembrem-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem: 10 parênteses () 20 colchetes [ ] 30 chaves { }
EXERCICIOS 1°) exemplo 8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5)= 8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 = 23 - 2 = 21 2°) exemplo 10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6)]= 10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] = 10 - 3 + 1 + 2 - 6 = 13 - 9 = 4 3°) exemplo -17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} -17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} = -17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } = -17 +5 - 2 - 6 + 9 = -25 + 14 = - 11
Calcule o valor das seguintes expressões: 1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (Resposta: 17) 2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 ) 3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15) 4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17) 5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 ) 6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5) 7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4) 8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21) 9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26) 10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2) 11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18) 12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20) 13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29) 14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 ) 15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33) 16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1) 17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 ) 18) -{ -2 - [ -3 - (- 5 + 1) ]} - 18 = (R: -13) 19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15) 20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS. MULTIPLICAÇÃO 1) Efetue: a) (+8). (+5) = (Resposta: 40) b) (-8) . (-5) = (R: 40) c) (+8) .(-5) = (R: -40) d) (-8) . (+5) = (R: -40) e) (-3). (+9) = (R: -27) f) (+3) . (-9) = (R: -27) g) (-3) . (-9) = (R: 27) h) (+3). (+9) = (R: 27)
i) (+7) . (-10) = (R: -70) j) (+7) . (+10) = (R: 70) l) (-7) . (+10) = (R: -70) m) (-7). (-10) = (R: 70 2) Efetue os produto a) (-3). (+2). (-4). (+1). (- 5) = (Resposta -120) b) (-1) . (-2). (-3). (-4). (-5) = (R: -120) c) (-2) . (-2). (-2). (-2). (-2). (-2) = (R: 64) d) (+1) . (+3). (-6). (-2). (-1). (+2)= (R: -72) e) (+3). (-2). (+4). (-1). (-5). (-6) = (R: 720) f) 5 . (-3). (-4) = (R: +60 DIVISÃO
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação Observe: a) (+12) : (+4) = (+3) b) (-12) : (-4) = 3 , c) (+12) : (-4) = (-3) d) (-12) : (+4) = (-3), 1)Calcule o quocientes a) (-48): (+12) = (Resposta: -4) b) (-32): (-16) = (R: 2) c) (+60): (-12) = (R: -5) d) (-64): (+16) = (R: -4) e) (-28): (-14) = (R: 2) f) (0): (+5) = (R: 0) 2)Resolver as expressões a) 20: 2 -7 = (Resposta: 3 ) b) -8 + 12: 3 = (R: -4) c) 6 : (-2) +1 = (R: -2) d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5) e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12) f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35) g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8) h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0) j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11 l) (-12) 3 + 6 = (R: 2) m) (-54): (-9) + 2 = (R: 8) n) 20 + (-10). (-5) = (R: 70) o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 ) p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8) POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais, podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma:
. A base sempre será o valor do fator
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete. A potência é o resultado do produto.
• Base positiva
Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente. (+2)5 = +2. (+2). (+2). (+2). (+2) = 32
• Base negativa
Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação. (-5)3 = (-5). (-5). (-5) = - 125
RADICIAÇÃO
• 1º caso: Expoente inteiro maior que 1.
Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem as unidades do expoente. Assim: Exemplos: a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64 b) 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1 c) (–2)4= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16 d)
• 2º caso: Expoente 1
Toda potência de expoente 1 é igual à base. Assim:
Exemplos a) 51 = 5 b)
• 3º caso: Expoente zero
Toda potência de expoente zero é igual a 1. Assim:
Exemplos a) 50 = 1 b) = 1
• 4º caso: Expoente inteiro negativo
Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.
Assim:
Exemplos: a)
b) c)
Veja alguns exemplos de expressões numéricas com potência em sua estrutura. 1) 3 . {43 – [5 . 60 + 7 . (92 – 80)]}
3. {64 – [5 . 1 + 7 . (81 – 80)]} 3 . {64 – [5 + 7.1 ]} 3. {64 – [5 + 7]} 3. {64 – 12} 3. 52= 156 2) (33 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (32 . 2 + 10)2]} (27 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (9 . 2 + 10)2]} (27 + 21)2 : {4 . [800 – (18 + 10)2]} 2304 : {4 . [800 -784]} 2304 : {4 . 16} 2304: 64 = 3 FRAÇÕES
O símbolo a/b significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos de fração.
a de numerador; b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural.
Veja um exemplo:A fração 8/2 é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, 8/2 é um número natural e 8 é múltiplo de 2.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário
Classificação das frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador:
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.
Frações equivalentes
Exemplo: são equivalentes
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração .
Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .
Simplificação de frações
Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração
é uma fração simplificada de .
A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum
Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o 10caso
Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
3) Calcule o valor da expressão:
) 5/6 – (1/3 + 1/5 ) = ( Resposta: 9/30) ou (3/10) b) 2/5 x ( 3/4 + 5/8) = ( R: 22/40) ou (11/20) c) 1/2: ( 2/3 + 3/4 ) = ( R: 12/34) ou ( 6/17) d) ( 1/3 + 1/2 ) : 5/6 = (R: 30/30) ou (1) e) 1/2 . ( 2/3 + 3/4 ) = ( R: 17/24)
f) ( 5/7 x 2/3 ) : 1/6 = (R: 60/21) ou ( 20/7) g) (3/2 - 2/5 ) + ( 5/4 - 2/3) = (R: 101/60)
h) 1 + (1/2 - 1/5) - (7/4 - 5/4) = (R: 16/20) ou ( 4/5) i) ( 7/8 - 5/6) + ( 8/9 - 7/9) = (R: 11/72)
Problemas fracionários
1)Adílson comprou um rolo com 480 metros de arame e usou 3/5 para fazer uma cerca. a)Quantos metros de arame ele usou?
b)Quantos metros restaram?
2)Jonas comprou uma moto usada em 12 prestações de R$ 400,00. Cada prestação equivale a 2/9 de seu salário.
a) Qual é o salário de Jonas?
b)Considerando o salário de Jonas como o todo(a unidade), qual é a fração do salário que representa o valor total da moto? Essa fração é maior que 1?
3)Do salário de R$ 864,00 recebido no mês de suas férias, Mário gastou 1/4 na compra de uma bicicleta e 3/8 em uma viagem.
a)Quanto custou a bicicleta? b)Quanto Mário, gastou no total? c)Quanto restou do salário dele?
4)Em 100 litros de ar comprimido, há aproximadamente: 78 litros de nitrogênio; 21 litros de oxigênio; 1 litro de uma mistura de vapor d"água, gás carbônico, gases raros e impurezas.
a)Que fração representa a parte de nitrogênio contida em 100 litros de ar comprimido? b)O que significa a fração 21/100 nessa informação
6) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (Resposta: 800)
7) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (Resposta: 32) 8) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça? (Resposta: 18 m)
9) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros o automóvel percorreu? (R: 360 km)
10) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4. Quantos quilômetros já foram percorridos? (R :54 km)
11) Um livro tem 240 páginas.Você estudou 5/6 do livro. Quantas páginas Você estudou?
(R: 200)
12) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200) 13) Os 3/4 do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200) 14) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75)
15) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a capacidade desse reservatório? (R: 600 litros)
16) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada? (R: 270 km)
17) Para revestir 3/4 de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos são necessários para revestir toda a parede? (R: 200)
18) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol? (R: 210)
19) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? (R: 400 km)
20) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele acertou?
(R: 30 )
21) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R: 18)
22) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou devendo? (R: 126,75)
Razões - Introdução
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividirem o comprimento de um deles pelo outro. Assim:
Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
A razão 1/2 pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)
o quociente ou a:b.
A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).
Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres). Observações:
1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:
Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
ou a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:
b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção , temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Aplicações da propriedade fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos:
Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120
x = 24
Logo, o valor de x é 24.
Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19
3x = -19 x =
Logo, o valor de x é .
Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução:
(aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Equações de primeiro grau (com uma variável) Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:
ax = -b
Considera a equação2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede 2º membro
Qualquer parcela, do 1º o u do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Exercícios de Equações de 1º Grau
1-Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
X + (x + 1) + (x + 2) = 393 3x + 3 = 393
3x = 390 x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132. 2- Determine o valor do X: 4x – 12 = 8 4x = 8 + 12 4x = 20 X = 20/4 X = 5
3- Resolva as equações a seguir: a)18x – 43 = 65 b) 23x – 16 = 14 –17x c) 10y – 5 (1 + y) = 3 (2y – 2) – 20 d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 e) (x – 5)/10 + (1 – 2x)/5 = (3-x)/4 f) 4x (x + 6) – x2 = 5x2
Problemas do primeiro grau
1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?
A) R$ 20,00 B) R$ 20,50 C) R$ 22,00 D) R$ 22,50
2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número? A) 15 B) 30 C) 45 D) 90
3.José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café?
A) 87,5 B) 125,6 C) 262,5 D) 267,5 E) 272,0
4-Num estacionmento há carros e motos,totalizando 85 veículos.O número de carros é igual a 4 vezes o de moto.Qual é o número de carros e de motos presentes no
estacionamento?
5-César tem 15 lápis a mais que Osmar,e José tem 12 lápis a menos que Osmar.O total de lápis é 63.Quantos lápis tem cada um?
6-A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
7-Uma peça de tecido teve de ser dividida em duas partes, sendo uma delas sete vezes maior do que a outra. Sabendo que a peça de tecido tinha inicialmente 48 metros, quantos metros tem a peça menor?
8- A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um?
9- A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número? 10- Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?
11- A metade do quadrado de um número menos o dobro desse número é igual a 30. Determine esse número.
PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
A gasolina teve um aumento de 5%
Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 5,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$ 10,00 Dos jogadores que jogam no Inter, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos à seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: Calcular 10% de 300. Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de faltas esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte em R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00
1-João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu trabalho, seu patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário. João recebeu de gratificação
(A) R$ 100,00 (B)R$ 125,00 (C) R$ 250,00 (D) R$ 350,00
Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o preço era R$ 30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu fazer um desconto de 15%, e a bolsa passou a custar o mesmo que na loja B.Qual o preço da bolsa na loja B?
Resolução: 0,15 A = 30,00A = 200,00 Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10
B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00 Exercícios:
1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. a) Um apartamento foi vendido por R$ 162.400,00. Determine a comissão recebida pelo
corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão
do corretor. Determine o valor da comissão.
2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento? 3-João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia pagar à vista. Sabendo que o valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 15% maior que o valor à vista, responda: Quanto João vai pagar no total?
a)R$ 1575,00 b)R$ 1650,00 c)R$ 1725,00 d)R$ 1800,00 e)R$ 1875,00
4-Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original dele. Se o vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou?
a)R$ 59,50 b)R$ 58,80 c) R$ 58,20 d)R$ 57,60 d)R$ 57,00 e)Nenhuma
5-No dia 1 deste mês, um produto estava sendo vendido por R$ 400,00. No dia 10, esse produto sofreu uma redução de 50% no seu preço. No dia 20, ele foi reajustado com um aumento de 50%. Escolha a alternativa correta.
( ) O produto estava mais barato no dia 1 do que no dia 20.
( )No dia 20 o produto estava com o mesmo preço que ele estava no dia 1. ( )O produto estava mais barato no dia 20 do que no dia 1
6-Ana tem 20 anos e morou durante 5 anos nos Estados Unidos, 4 anos na Austrália e o resto no Brasil. Em porcentagem, quantos anos ela morou no hemisfério sul?
a)20% b)25% c)50% d)60% e)75%
7- Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveram-se 900 famílias carentes. A prefeitura começou programar esinscreveram-se programa atendendo, no 1º mês 15% dessas famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais que o mês imediatamente anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido do total de famílias.
a) 21%b) 40%c) 45%d) 52%e) 55%
8- Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário?
9- Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha?
10- Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da
velocidade máxima do meu carro?
11- Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia?
12- Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei?
13- Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de teres corrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?
14-Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel?
15- Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?
16- Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais?
17- Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
18-Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um mês, ela, apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra?
19- Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi
aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)?
20-De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.
21-Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
22-Uma caneta que custava R$ 60,00 sofreu um desconto de 5%.Quanto você pagará por essa caneta?
23-Por quanto deverei vender uma mercadoria que me custou R$ 720,80 para lucrar 30%?
24- Qual a taxa porcentual de: a) 3 sobre 5?
A taxa é de 60% b) 10 sobre 20?
25- Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro?
26- Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%?
27-Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 130,40 sofreu um acréscimo de 2,5%. Qual é o novo valor dessa prestação?
28-Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados.Qual a taxa de porcentagem dos alunos aprovados e reprovados?
29- Um produto foi comprado por R$ 280,00 e revendido posteriormente por R$ 440,00, qual a taxa percentual de lucro?
30-Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro? 31-Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas.Qual a taxa de porcentagem das frutas estragadas?
32- Calcular as porcentagens: a) 2,3% de R$ 128,00 b) 0,9% de R$ 680,00 c) 10% de R$ 688,90 d) 0,5% de R$ 1234,00 e) 12% de 980,00 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS
• Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo 2013.
• Santo André Luis Pereira • Mendes, Denise
• Carrochano, Maria Clara. • Fernandes, Maria Lídia Bueno. • Catelli, Roberto Júnior.
• Giansanti, Roberto
• Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna. • Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD. • Praticando Matemática- Álvaro Andrini (50
, 60, 70 e 80 série) Editora do Brasil. S/A.
OBSERVAÇÃO: Para entender melhor e se preparar bem para a prova é importante que estude o módulo ou os módulos anteriores ao que vai cursar.
