Equa¸c˜ao de Segundo Grau
Resumo elaborado por Ralph Costa Teixeira: Livro Texto
J. Delgado, K. Frensel e L. Crissaff. Geometria Anal´ıtica. Col PROFMAT
Equa¸
c˜
ao do Segundo Grau
Se numa equa¸c˜ao for poss´ıvel colocar uma das vari´aveis como fun¸c˜ao quadr´atica da outra, ent˜ao esta equa¸c˜ao representa uma par´abola no plano.
Se numa equa¸c˜ao for poss´ıvel colocar uma das vari´aveis como fun¸c˜ao quadr´atica da outra, ent˜ao esta equa¸c˜ao representa uma par´abola no plano.
Os elementos da par´abola (v´ertice, parˆametro, etc.) podem ser
Determine os elementos principais da par´abola
Determine os elementos principais da par´abola x2+ 4x − 56 + 12y = 0. Completando o quadrado: (x + 2)2− 4 − 56 + 12y = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y − 5 = −(x + 2) 2 12
Determine os elementos principais da par´abola x2+ 4x − 56 + 12y = 0. Completando o quadrado: (x + 2)2− 4 − 56 + 12y = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y − 5 = −(x + 2) 2 12 O v´ertice ´e V (−2, 5).
Determine os elementos principais da par´abola x2+ 4x − 56 + 12y = 0. Completando o quadrado: (x + 2)2− 4 − 56 + 12y = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y − 5 = −(x + 2) 2 12 O v´ertice ´e V (−2, 5).
Determine os elementos principais da par´abola x2+ 4x − 56 + 12y = 0. Completando o quadrado: (x + 2)2− 4 − 56 + 12y = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y − 5 = −(x + 2) 2 12 O v´ertice ´e V (−2, 5).
Como 4p = 12, o parˆametro ´e p = 3.
Determine os elementos principais da par´abola x2+ 4x − 56 + 12y = 0. Completando o quadrado: (x + 2)2− 4 − 56 + 12y = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y − 5 = −(x + 2) 2 12 O v´ertice ´e V (−2, 5).
Como 4p = 12, o parˆametro ´e p = 3.
O sinal − na frente do (x + 2)2 indica concavidade para baixo.
Ent˜ao o foco est´a 3 unidades abaixo do v´ertice, e a diretriz 3 unidades acima.
Determine os elementos principais da par´abola x2+ 4x − 56 + 12y = 0. Completando o quadrado: (x + 2)2− 4 − 56 + 12y = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ y − 5 = −(x + 2) 2 12 O v´ertice ´e V (−2, 5).
Como 4p = 12, o parˆametro ´e p = 3.
O sinal − na frente do (x + 2)2 indica concavidade para baixo.
Ent˜ao o foco est´a 3 unidades abaixo do v´ertice, e a diretriz 3 unidades acima.
Determine os elementos principais da par´abola
x2+ 4x − 56 + 12y = 0.
O v´ertice ´e V (−2, 5).
Como 4p = 12, o parˆametro ´e p = 3.
Casos Degenerados da Par´
abola
Se uma das vari´aveis n˜ao aparece na equa¸c˜ao de segundo grau, temos
um caso degenerado da par´abola.
Se uma das vari´aveis n˜ao aparece na equa¸c˜ao de segundo grau, temos
um caso degenerado da par´abola.
Ent˜ao a equa¸c˜ao representar´a 0, 1 ou 2 retas - basta resolver para a
No plano xy , o que a equa¸c˜ao x2− 13x + 11 = 0 representa? U´e, cadˆe o y ...? Ah, ´e um caso degenerado...
No plano xy , o que a equa¸c˜ao x2− 13x + 11 = 0 representa? U´e, cadˆe o y ...? Ah, ´e um caso degenerado...
No plano xy , o que a equa¸c˜ao x2− 13x + 11 = 0 representa? U´e, cadˆe o y ...? Ah, ´e um caso degenerado...
Ent˜ao ´e s´o pensar nisso como uma quadr´atica em x .
Como ∆ = 132− 4.11 = 125 > 0, a equa¸c˜ao tem duas ra´ızes, a saber
x1=
13 + 5√5
2 ; x2 =
13 − 5√5 2
No plano xy , o que a equa¸c˜ao x2− 13x + 11 = 0 representa? U´e, cadˆe o y ...? Ah, ´e um caso degenerado...
Ent˜ao ´e s´o pensar nisso como uma quadr´atica em x .
Como ∆ = 132− 4.11 = 125 > 0, a equa¸c˜ao tem duas ra´ızes, a saber
x1=
13 + 5√5
2 ; x2 =
13 − 5√5 2 Na reta real, seriam dois pontos...
No plano xy , o que a equa¸c˜ao x2− 13x + 11 = 0 representa? U´e, cadˆe o y ...? Ah, ´e um caso degenerado...
Ent˜ao ´e s´o pensar nisso como uma quadr´atica em x .
Como ∆ = 132− 4.11 = 125 > 0, a equa¸c˜ao tem duas ra´ızes, a saber
x1=
13 + 5√5
2 ; x2 =
13 − 5√5 2 Na reta real, seriam dois pontos...
