Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo.

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FUNDAMENTOS DA MAT. FINANCEIRA E ESTAT. APLICADA

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Prezado aluno,

Esta apostila é a versão estática, em formato .pdf, da disciplina online e contém todas as informações necessárias a quem deseja fazer uma leitura mais linear do conteúdo.

Os termos e as expressões destacadas de laranja são definidos ao final da apostila em um conjunto organizado de texto denominado NOTAS. Nele, você encontrará explicações detalhadas, exemplos, biografias ou comentários a respeito de cada item.

Além disso, há três caixas de destaque ao longo do conteúdo.

A caixa de atenção é usada para enfatizar questões importantes e implica um momento de pausa para reflexão. Trata-se de pequenos trechos evidenciados devido a seu valor em relação à temática principal em discussão.

A galeria de vídeos, por sua vez, aponta as produções audiovisuais que você deve assistir no ambiente online – aquelas que o ajudarão a refletir, de forma mais específica, sobre determinado conceito ou sobre algum tema abordado na disciplina.Se você quiser, poderá usar o QR Code para acessar essas produções audiovisuais, diretamente, a partir de seu dispositivo móvel.

Por fim, na caixa de Aprenda mais, você encontrará indicações de materiais complementares – tais como obras renomadas da área de estudo, pesquisas, artigos, links etc. – para enriquecer seu conhecimento.

Aliados ao conteúdo da disciplina, todos esses elementos foram planejados e organizados para tornar a aula mais interativa e servem de apoio a seu aprendizado!

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2 Introdução

As pessoas físicas e jurídicas periodicamente realizam pagamentos. A capacidade e/ou conveniência de realizá-los de uma única vez ou parceladamente é considerada no momento do fechamento de um negócio ou da assinatura de um contrato.

Esta aula apresenta as regras utilizadas na matemática financeira para cálculos em série de pagamentos, assim como o cálculo de amortizações e equivalência de Fluxo de Caixa.

Objetivo:

1. Descrever as séries de pagamentos utilizadas na matemática financeira; 2. Identificar o conceito de equivalência de fluxo de caixa e os sistemas de amortização comumente utilizados.

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3 Conteúdo

Séries uniformes

Inicialmente, desenvolveremos as fórmulas usadas nas soluções de proble-mas envolvendo séries uniformes de pagamentos ou recebi-mentos, no regime de juros compostos.

As prestações, pagamentos ou recebimentos, são usualmente conhecidos como a abordagem do Modelo Price, na qual todas as prestações têm um mesmo valor, e normalmente são representadas pela sigla PMT.

Atenção

Fórmulas simplificadas para a capitalização e para o desconto de parcelas podem ser obtidas mediante a utilização da expressão para a soma de termos de uma progressão geométrica, que apresentaremos no decorrer desta aula.

Obtendo o Valor Futuro correspondente

Para entender melhor o que acabamos de ver, vamos considerar o fluxo de caixa a seguir que explicita um pagamento periódico, PMT, com o objetivo de se obter o Valor Futuro correspondente, VF, no final do período:

O problema consiste em determinar o montante acumulado VF.

Isso acontecerá no final de n períodos, a partir da capitalização das n prestações de uma série uniforme.

Todas essas séries possuem o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período, no regime de juros compostos.

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A série uniforme PMT obedece à convenção de final de período, sendo, portanto, denominada uma Série Postecipada!

Após exercício algébrico, transportando para o futuro cada prestação para o final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir:

Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VF:

Obtendo o Valor Presente correspondente

Agora, vamos considerar o fluxo de caixa a seguir que explicita um pagamento periódico, PMT, com o objetivo de se obter o Valor Presente correspondente, VP, no início do período.

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A obtenção do VP a partir do pagamento periódico PMT consiste no desconto das n prestações de uma série uniforme, todas com o mesmo valor e igual a PMT, com uma taxa de juros i por período e no regime de juros compostos. Da mesma maneira como no cálculo do VF, no cálculo do VP a série uniforme PMT obedece à convenção de final de período, sendo, portanto, denominada uma Série Postecipada.

Após exercício algébrico, transportando para o presente cada prestação para o final do período considerado na série, pode-se deduzir a fórmula a seguir:

Utilizando a mesma expressão, PMT pode ser obtido a partir de VP:

Amortização

Tendo sido apresentadas as fórmulas para calcular VF e VP nas séries de pagamentos, consideraremos o conceito de Amortização.

Em termos genéricos, amortização é a parte da prestação que não corresponde aos juros, ou seja, é a parte real que a dívida diminui:

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6 Estudo da amortização

Observando, por exemplo, o último exercício resolvido, podemos estudar a amortização em cada um dos períodos.

Observando os valores da coluna Amortização podemos perceber que a cada mês os valores seguem a mesma progressão da taxa do período, ou seja, 1%:

Podemos afirmar que qualquer amortização do Modelo Price pode ser obtida a partir da primeira amortização pela fórmula:

Ou seja, por exemplo,

Conceito de Equivalência de Fluxos de Caixa

Considerando uma determinada taxa de juros no regime composto, podemos afirmar que dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes se seus Valores Presente (VP) forem iguais.

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7

Como estamos no regime de juros compostos, as verificações quanto à equivalência são feitas pela já conhecida fórmula que calcula os valores do fluxo para os períodos desejados.

Planos Equivalentes de Financiamento

A fim de estudar a equivalência de fluxos de caixa, vamos considerar a situação do exercício resolvido já apresentado (exemplo 2), no qual se determinou o valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de 1%, no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de $3.000,00.

A equação utilizada foi a seguinte:

Na condição desse problema, com prestações mensais iguais – Modelo Price, foi possível analisar mês a mês a composição do pagamento, contendo a parcela dos juros e da amortização.

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O Modelo Price costuma ser utilizado em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto ao consumidor.

Considerando esse fluxo de caixa como exemplo, veremos, a seguir, outras três possibilidades de se pagar o financiamento mantendo-se as mesmas condições de juros e prazo!

Outras possibilidades

Uma primeira alternativa é considerar um único pagamento no final do prazo. Assim, a amortização da dívida também seria única.

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Observando a amortização nesse quadro, o financiamento de $3.000,00 é liquidado em um único pagamento de $3.153,03, no final do quinto mês, que inclui juros de $153,03.

Outro fluxo de caixa equivalente possível, também com uma única amortização, seria pagar os juros no final de cada mês e a amortização no último mês.

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Observando esse quadro, o financiamento de $3.000,00 é liquidado em cinco pagamentos mensais de $30,00, correspondentes aos juros de cada mês, e mais um pagamento de $3.000,00, no final do quinto mês, para a amortização.

Um outro fluxo de caixa equivalente é o que considera as amortizações constantes Sistema de Amortizações Constantes – SAC.

Nesse caso, a amortização é obtida pela divisão do VP pelo prazo!

Atenção

Essa modalidade de pagamento é usualmente utilizada em operações de financiamento imobiliário e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral.

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11 Análise dos Planos Equivalentes de Pagamento

Considerando as possibilidades apresentadas de fluxo de caixa, podemos verificar a equivalência, pois todos têm o mesmo valor presente de $3.000,00 se descontados na mesma taxa de 1% ao mês.

Atenção

Ao observarmos as várias tabelas com os fluxos, notamos que, de acordo com o plano de pagamento, os valores pagos diferem, dando a impressão de não equivalência. No entanto, se

reaplicarmos os juros sacados antes do prazo final nos

respectivos planos na mesma taxa de 1% ao mês e realizarmos a soma, obteremos em todos os casos o valor que falta para chegar a $153,03.

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12 Juros Médios

Considerando uma situação em que a taxa de juros não é conhecida mas sabe-se o valor fixo de uma prestação – Modelo Price, o VP e o prazo PMT = $618,12 , VP = $3.000,00 e prazo de 5 meses, por exemplo.

Para encontrar um valor aproximado para a taxa de juros pode-se proceder da seguinte maneira:

Determinar o prazo médio do financiamento pela média aritmética do prazo com o número 1 (no exemplo, (5+1)/2 = 3 meses).

Determinar a porcentagem total de juros em relação a VP (soma dos juros/VP), no exemplo, $90,60/$3.000,00 = 0,0302.

Determinar os juros médios dividindo a porcentagem obtida no item 2 pelo prazo no item 1. No exemplo, 0,0302/3 = 0,010067 ou 1,0067% ao mês.

Aplicando esse conceito no fluxo com Sistema de Amortizações Constantes teríamos:

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Percentual de juros = $90,00/$3.000,00 = 0,03 e, portanto, juros médios de 0,01 ou 1% ao mês.

Atividade proposta

Sabendo que: • PMT1 = $1.000,00; • PMT2 = $900,00; • PMT3 =$1.312,16.

Determine a taxa efetiva mensal, no regime de juros compostos, que faz com que os dois fluxos de caixa da figura abaixo sejam equivalentes.

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14 Aprenda Mais

Para saber mais sobre o que estudamos até aqui, leia os capítulos 6 e 8 da obra a seguir:

• PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999, 6. ed.

Referências

ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas, 2001, 6. ed.

PUCCINI, A. L. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. São Paulo: Saraiva, 1999, 6. ed.

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15 Exercícios de fixação

Questão 1

Um banco financia automóveis em um prazo de três anos com uma taxa efetiva de 2% ao quadrimestre, no regime de juros compostos. Qual o valor da prestação quadrimestral de um automóvel cujo valor à vista é de $60.000,00?

a) $9.433,12 b) $8.250,53 c) $7.350,93 d) $8.233,52 e) $7.455,07 Questão 2

Uma dívida deve ser liquidada em duas prestações quadrimestrais iguais a $1.500,00. Determine o valor do VP dessa dívida sabendo-se que o financiamento foi estabelecido com uma taxa de 2% ao mês no regime de juros compostos.

a) $3.118,12 b) $3.021,57 c) $2.855,14 d) $2.933,12 e) $2.666,01 Questão 3

Um financiamento de $2.000,00 de VP deve ser amortizado em cinco prestações mensais iguais e sucessivas. A taxa de juros no financiamento é de 3% ao mês, no regime de juros compostos. Determine o valor da prestação mensal sabendo

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que o pagamento da primeira prestação deverá ocorrer no ato da liberação dos recursos. a) $501,37 b) $423,99 c) $467,14 d) $512,12 e) $489,54 Questão 4

Um banco remunera os depósitos de seus investidores na base de 1,3% ao mês, no regime de juros compostos. Um investidor realiza nesse banco cinco depósitos mensais de $600,00. Determine o valor do saldo acumulado no final do oitavo mês após o primeiro depósito.

a) $3.242,28 b) $3.123,99 c) $3.567,14 d) $3.312,12 e) $3.489,54 Questão 5

Sabendo que uma caderneta de poupança oferece uma taxa de juros de 0,5% ao mês, no regime de juros compostos, determine o valor do depósito que acumule um montante de $12.000,00 no final de um ano, imediatamente após o último depósito.

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b) $823,99 c) $967,14 d) $814,17 e) $972,80 Questão 6

Considere um financiamento de $3.800,00 contratado para pagamento em dez meses no qual se pagou de juros um total de $265,00. Determine os juros médios desse financiamento. a) 1,1823% ao mês; b) 1,2814% ao mês; c) 0,9831% ao mês; d) 1,2679% ao mês; e) 1,2503% ao mês.

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Questão 7

Considere os fluxos de caixa abaixo e determine X para que eles sejam equivalentes com uma taxa de juros de 12% ao ano.

a) X= $4.798,47 b) X= $5.697,35 c) X= $4.972,34 d) X= $5.314,58 e) X= $5.064,45

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Questão 8

Considere os fluxos equivalentes na figura abaixo e calcule a razão entre PMT1 por PMT2 com uma taxa de juros de 10% ao ano.

a) 0,426543; b) 0,245642; c) 0,398192; d) 0,453675; e) 0,547234. Questão 9

O valor das prestações mensais de um financiamento com juros mensais de 1%, no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de $1.000,00 é de $206,04. Considerando o Modelo Price, o total de juros pagos é de:

a) $30,20; b) $26,40

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c) $32,25 d) $43,50 e) $54,60

Questão 10

Um financiamento com juros mensais de 1%, no regime de juros compostos, com prazo da operação de cinco meses e VP de $1.000,00 é negociado no modelo de amortizações constantes (SAC). Nesse caso, o total de juros pagos é de: a) $40,00; b) $56,30; c) $45,20; d) $30,00; e) $42,10.

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Modelo Price: O nome do modelo, Price, nada tem a ver com a palavra inglesa price (preço, em português), mas sim com uma homenagem ao matemático inglês Richard Price (1723-1791) que desenvolveu, a pedido de uma seguradora inglesa, tábuas de mortalidade que serviram de base para o cálculo de seguros e aposentadorias. A partir desse estudo, as tábuas foram adaptadas, dotadas e universalizadas pelos franceses como forma de amortização de empréstimos. Por isso, chamamos sistema francês ou tabela Price o processo de amortização de dívidas com prestações iguais.

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22 Aula 3

Exercícios de fixação

Questão 1 - C

Justificativa: Os dados do problema são os seguintes:

VP = $60.000,00; i = 2% ao quadrimestre e n = 3 anos = 9 quadrimestres.

Questão 2 - E

Justificativa: Uma solução para o cálculo do VP da dívida é calcular o VP parcial de cada parcela quadrimestral. Os dados do problema são os seguintes:

PMT = $1.500,00; i = 2% ao mês e n = 2 quadrimestres. Para o primeiro quadrimestre,

Para o segundo,

VP = 1.280,24 + 1.385,77 = $2.666,01 Questão 3 - B

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Trata-se de uma série antecipada para a qual não foi definida fórmula. O artifício para resolver o problema é "puxar" o valor financiado em um período de um mês e assim proceder com o cálculo segundo a fórmula para uma série postecipada.

O fluxo de caixa equivalente é, portanto,

Logo, os dados do problema são os seguintes: VP = $1.941,75; i = 3% ao mês e n = 5 meses.

Questão 4 - A

Justificativa: Com o auxílio do fluxo de caixa da figura abaixo calculamos inicialmente o valor acumulado no final do quinto depósito utilizando a fórmula conhecida e depois transportamos esse valor para o final do oitavo mês após o primeiro depósito.

Os dados do problema são os seguintes:

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Questão 5 - E

Justificativa: Os dados do problema são os seguintes.

Questão 6 - D

Justificativa: O prazo médio no caso é 5,5 meses ((10+1)/2). A porcentagem total de juros é $265,00/$3.800,00 = 0,069737. Logo, os juros médios foram de 0,069737/5,5 = 0,012679 ou 1,2679%.

Questão 7 - E

Justificativa: Sendo os fluxos equivalentes, seus VP devem ser iguais.

X = $3.604,78 x (1,12)3 = $5.064,45</p>

Questão 8 - C

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O VP também pode ser calculado a partir do segundo fluxo de caixa:

Logo,

Questão 9 - A

Justificativa: Para saber o total de juros pagos, é preciso calcular mês a mês os saldos e os respectivos juros mensais:

Logo, o total de juros pagos nesse modo de pagamento é de $30,20.

Questão 10 - D

Justificativa: Para saber o total de juros pagos, é preciso calcular mês a mês os saldos e os respectivos juros mensais:

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Beniamin Achilles Bondarczuk é Doutor em Engenharia de Produção pelo Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE-UFRJ), Mestre em Engenharia de Sistemas e Computação e Graduado em Engenharia Mecânica e de Automóveis pelo Instituto Militar de Engenharia (IME). Foi professor do IME e de várias Instituições de Ensino Superior (IES) no Rio de Janeiro, em cursos de Graduação e Pós-Graduação. Atualmente, é Oficial do Exército e trabalha com pesquisa, desenvolvimento e avaliação de produtos de defesa.