Introdução à energia Exemplo

As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.

Introdução à energia

❑ Aos poucos cientistas e engenheiros desenvolveram uma técnica muitas vezes mais poderosa para analisar o movimento. Essa maneira acabou sendo estendida a outras situações , tais como: reações químicas, processos geológicos e funções biológicas.

❑ Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, que aparece em várias formas e tipos.

❑ Energia: grandeza escalar associada a um estado de um ou mais

corpos.

❑ Essa definição é muito vaga e para chegar a algum lugar vamos nos concentrar inicialmente em uma forma apenas de energia.

Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros, pela sua deformação, etc.

Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e

permanece útil também na mecânica quântica, relatividade,

eletromagnetismo, etc.

A

conservação da energia total

de um sistema isolado é uma lei

fundamental da natureza.

Essa forma de energia está associada ao estado de

movimento de um objeto.

Quanto maior sua velocidade, maior sua energia cinética 𝐾.

A forma correta de se atribuir um escalar (energia) a um

objeto de massa 𝑚 e velocidade 𝑣 é:

𝑲 = ½ 𝒎 𝒗

𝟐

Veremos que com essa escolha, é possível fazer previsões

físicas em acordo com as Leis de Newton.

UNIDADES: no SI, 1 kg . (m

2

/s

2

) = 1 J, J=Joule.

A energia transferida para um objeto, ou retirada dele, pela atuação de uma força, é chamada trabalho.

Consideremos um corpo de massa m que se desloca na direção x sob ação de uma força resultante constante que faz um ângulo θ com este eixo.


O trabalho realizado pela força F é definido como:

OBSERVAÇÃO: Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia após percorrer uma distância d.

Trabalho!

A!energia!transferida!para!um!objeto,!ou!re+rada!dele,!pela!atuação! de!uma!força,!é!chamada!trabalho.!!

!

Consideremos!um!corpo!de!massa!m'que'se'desloca!na!direção!x'sob! ação! de! uma! força! resultante! constante! que! faz! um! ângulo! θ! com! este!eixo.! ! O!trabalho!realizado!pela!força!F!é!definido!como:!! ! '' ' ' ' ' ' ''

O lado esquerdo representa a variação da energia cinética do corpo e o lado

direito é o trabalho,

W, realizado pela força para mover o corpo por uma distância

d:!

Problema 1-D: um corpo de massa m desloca-se na direção-x sob ação de uma

força resultante constante

que faz um ângulo θ com este eixo."

Energia cinética e trabalho

Veremos a relação entre forças agindo sobre um corpo e sua energia cinética."

m

F

a

x x

=

d

m

F

d

a

v

v

x x

2

2

2 0 2

₋

₌

₌

Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia! conforme a equação acima após percorrer uma distância d.!

Da segunda lei de Newton a

aceleração na direção-

x

é:"

d

F

mv

v

m

2

−

₀2

=

_x

2

1

2

1

(o produto escalar vem do fato que F_x = F cosθ)"

Então:"

F



•

•

0

θ

v

x!

v

d



m!

7" F128"–"1o""Semestre"de"2012"

W = F

x

d =



F ⋅

d



W = F

_{· d = F d cos ✓}

OBSERVAÇÃO: Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia após percorrer uma distância d.

Da definição é fácil ver que: o Uma força não executa trabalho sobre um sistema se o ponto de aplicação da força não se mover. o O trabalho realizado por uma força num objeto se movendo é zero quando a força aplicada for perpendicular ao deslocamento do ponto de aplicação.

o

A força normal, n, e a força gravitacional, mg, não executam

trabalho no objeto, pois cos(θ) = cos 90° = 0

o

_{A força F executa trabalho no objeto: W = F Δr cosθ}

Um corpo se desloca uma distância Δr sob a ação das forças indicadas na figura. Q u a i s fo rça s re a l i za m trabalho?

O sinal do trabalho depende da direção de F relativa ao Δr:

• Trabalho é positivo quando a projeção de F em Δr estiver

na mesma direção do deslocamento.

• Trabalho é negativo quando a projeção de F em Δr estiver

na direção oposta.

•

Trabalho é uma quantidade escalar.

• A unidade de trabalho é o Joule (J).

•

1 Joule = 1 Newton . 1 metro

Mais sobre Trabalho

q

Fr

dr

Exemplo 1 - Força constante

:

Um faxineiro está puxando um aspirador de pó pela mangueira a 30o com a

horizontal fazendo uma força de 50 N. Calcule o trabalho realizado pelo homem sobre o aspirador após puxá-lo por uma distância de 3 m. Fr dr

θ

= 30

F = 50 N

d = 3 m

!

"

#

$

#

W = Fd cos

θ

W = 50 × 3× cos30

W = 130 J

Força!constante:!exemplo!1!

Um!faxineiro!está!puxando!um! aspirador!de!pó!pela!mangueira!a!30o_! com!a!horizontal!fazendo!uma!força! de!50!N.!Calcule!o!trabalho!realizado! pelo!homem!sobre!o!aspirador!após! puxáclo!por!uma!distância!de!3!m.!

Exemplo 2 - Força constante

: Um objeto movendo-se no plano xy realiza um deslocamento d = (2,0 i + 3,0 j) m submetido a uma força constante F = (5,0 i + 2,0 j) N. Calcule:

a) O trabalho realizado sobre o objeto. b) O comprimento do deslocamento. c) A intensidade da força.

d) O ângulo entre a força e o deslocamento.

Um!objeto!movendocse!no!plano!xy!realiza!um!deslocamento!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! subme+do!a!uma!força!constante!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.!Calcule:! a) O!trabalho!realizado!sobre!o!objeto.!! b) O!comprimento!do!deslocamento.! c) A!intensidade!da!força.! d) O!ângulo!entre!a!força!e!o!deslocamento.!  d = 2, 0 ˆi + 3, 0 ˆj

(

)

m  F = 5, 0ˆi + 2, 0 ˆj

(

)

N b)! _{d = 2}2 _{+ 3}2 _{= 13 m} c)! _{F = 5}2 + 22 = 29 N a)! _{W = F ⋅} _{d = 2 × 5 + 3× 2} W = 16 J d)! F ⋅ d = Fd cos θ cosθ =  F ⋅d Fd = 16 377 = 0,824 θ = cos−1

₍

0,824

₎

= 34, 5o

Força!constante:!exemplo!2!

Um!objeto!movendocse!no!plano!xy!realiza!um!deslocamento!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! subme+do!a!uma!força!constante!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.!Calcule:! a) O!trabalho!realizado!sobre!o!objeto.!! b) O!comprimento!do!deslocamento.! c) A!intensidade!da!força.! d) O!ângulo!entre!a!força!e!o!deslocamento.!  d = 2, 0 ˆi + 3, 0 ˆj

(

)

m  F = 5, 0ˆi + 2, 0 ˆj

(

)

N b)! _{d = 2}2 _{+ 3}2 _{= 13 m} c)! _{F = 5}2 + 22 = 29 N a)! _{W = F ⋅} _{d = 2 × 5 + 3× 2} W = 16 J d)! F ⋅ d = Fd cos θ cos_θ =  F ⋅d Fd = 16 377 = 0,824 θ = cos−1

₍

0,824

₎

= 34, 5o

Força!constante:!exemplo!2!

Consideremos o movimento vertical de um objeto sob a

ação da força de gravidade

Como a força gravitacional é constante (𝑚𝑔), a aplicação

de 𝑊=𝑭·𝒅 para o movimento vertical resulta em:

𝑊 = 𝑚𝑔𝑑 cos 180° = −𝑚𝑔𝑑

(subindo)

𝑊 = 𝑚𝑔𝑑 cos 0° = +𝑚𝑔𝑑

(descendo)

Para um lançamento qualquer,

o trabalho realizado pela

força gravitacional é

:

𝑊 = 𝑚𝑔𝑑 cos 𝜙 = −𝑚𝑔(𝑦

_f

− 𝑦

_i

)


Trabalho de uma força variável

Seja um corpo se movimentando na direção x sob a ação de uma força F também na direção x.

Vamos considerar que F varia com a posição: F = F(x)

Dividimos o intervalo (x₂ – x₁) em um número muito grande de pequenos intervalos Δx_i. Em cada intervalo a força é aproximadamente constante, logo, o trabalho em cada intervalo é simplesmente ΔW_i = F_i . Δx_i .

O trabalho total o intervalo (x₂ – x₁) é aproximadamente:

O trabalho total, escrito dessa forma, representa aproximadamente a área sob a curva F(x) versus x.

No limite em que Δx_i temos:

Agora, o trabalho total representa

exatamente a área sob a curva F(x)

versus x. No!limite!em!que!Δx_i!temos:

W = lim

xi!0

X

i

F

_i

(x) x

_i

_⌘

Z

x2 x₁

F (x)dx

Agora, o trabalho total representa

exatamente a área sob a curva

F(x) versus x.

Trabalho de uma força variável (1-D)

(O trabalho é a área sob a curva de força em função da posição!)

∫

=

2 1

)

(

x x

dx

x

F

W

No limite, fazendo Δx

_i

! 0

Seja

F = F(x)

a força resultante que atua sobre uma

partícula de massa

m

.

11 F128 – 1o _{Semestre de 2012}

Dividimos o intervalo

(x

₂

- x

₁

)

em um número muito

grande de pequenos intervalos

Δx

_i

.

W =

∑

i

F

i

Δx

i

Então:

A integração pode ser vista como a operação “inversa” da derivação. Isto é, dada a função f(x), queremos determinar outra função W(x), cuja derivada é igual à função dada : W‘(x) = f(x)

A função W(x) obtida com tal procedimento é denominada primitiva de f(x).

EXEMPLO: Consideremos f(x) = sen(x). Desejamos encontrar um outra

função W(x), tal que, W´(x) = sen(x). Esta função procurada é W(x)= -cos x, pois W´(x) = sen x.

A função G(x)=-cos x + 5 também tem sua derivada igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função qualquer admite mais de uma primitiva.

Integração: a noção de primitiva

Se duas funções são primitivas da função f(x), então, a diferença entre elas é uma constante.

Denomina-se Integral indefinida de uma função f(x) à operação de determinação da expressão da primitiva dessa função, F(x)+C; esta operação é simbolicamente representada por

Integral indefinida

Portanto, da definição, teremos Denominacse!Integral!indefinida!de!uma!função!f(x)!à!operação!de! determinação!da!expressão!da!primi+va!dessa!função,!F(x)+C;!esta! operação!é!simbolicamente!representada!por! ! ! ! ! Portanto,!da!definição,!teremos!

f (x)dx

∫

f (x)dx

∫

= W (x) + C onde W '(x) = f (x)

Integral!definida!

Denominacse!Integral!indefinida!de!uma!função!f(x)!à!operação!de! determinação!da!expressão!da!primi+va!dessa!função,!F(x)+C;!esta! operação!é!simbolicamente!representada!por! ! ! ! ! Portanto,!da!definição,!teremos!

f (x)dx

∫

f (x)dx

∫

= W (x) + C onde W '(x) = f (x)

Integral!definida!

A integral definida de uma função f(x) entre x=a e x=b é denotada como O resultado da integral definida é um número que pode ser calculado pela fórmula

Integral definida

_{Integral!definida!}

A!integral!definida!de!uma!função!f(x)!entre!x=a!e!x=b!é!denotada! como! ! ! ! O!resultado!da!integral!definida!é!um!número!que!pode!ser! calculado!pela!fórmula! ! !

f (x)dx

a b

∫

f (x)dx

a b

∫

= W (b) − W (a) = W (x)

_ab

Integral!definida!

A!integral!definida!de!uma!função!f(x)!entre!x=a!e!x=b!é!denotada! como! ! ! ! O!resultado!da!integral!definida!é!um!número!que!pode!ser! calculado!pela!fórmula! ! !

f (x)dx

a b

∫

f (x)dx

a b

∫

= W (b) − W (a) = W (x)

_ab

EXEMPLOS

Fim do curso acelerado de cálculo integral !

EXEMPLOS!

kx dx a b

∫

= 1 2 kx 2 a b = 1 2 k b 2 − a2 # $ %& 2senx dx 0 π

∫

= −2cox ₀π = −2 cos"_# π − cos0$_{% = 4}

2senx dx

0 2π

∫

= −2cox ₀2π = −2 cos 2"_# π − cos0$_{% = 0}

ex dx 0 2

∫

= ex ₀2 = e2 − e0 = e2 −1 xn _dx a b

∫

= 1 n +1x n+1 a b = 1 n +1 b n+1 − an+1 ! " #$ (n ≠ −1) Fim!do!curso!acelerado!de!cálculo!integral!!!

A força exercida por uma mola em função de sua elongação é dada pela

Lei de Hooke

F = – k x

o quando x é positivo (mola é esticada), F é negativa.

o quando x = 0 (na posição de equilíbrio), F = 0.

o quando x é negativo (mola é comprimida), F é positiva.

Exemplo: Força elástica (mola)

F

_H

_{= −kx}

A!força!exercida!por!uma!mola!em! função!de!sua!elongação!é!dada!pela! Lei!de!Hooke! ! ! ! ! o  quando!x'é!posi+vo!(mola!é! es+cada),!F'é!nega+va.!! o  quando!x'=!0!(na!posição!de! equilíbrio),!F'=!0.!! o  quando!x'é!nega+vo!(mola!é! comprimida),!F'é!posi+va.!!

Exemplo:!Força!elás<ca!(mola)!

7-7

Work Done by a Spring Force

We next want to examine the work done on a particle-like object by a particular type of variable force —namely, a spring force, the force from a spring. Many forces in nature have the same mathematical form as the spring force. Thus, by examining this one force, you can gain an understanding of many others.

The Spring Force

Figure 7-9a shows a spring in its relaxed state —that is, neither compressed nor extended. One end is fixed, and a particle-like object — a block, say — is attached to the other, free end. If we stretch the spring by pulling the block to the right as in Fig. 7-9b, the spring pulls on the block toward the left. (Because a spring force acts to restore the relaxed state, it is sometimes said to be a restoring force.) If we compress the spring by pushing the block to the left as in Fig. 7-9c, the spring now pushes on the block toward the right.

To a good approximation for many springs, the force from a spring is pro-portional to the displacement of the free end from its position when the spring is in the relaxed state.The spring force is given by

(Hooke’s law), (7-20)

which is known as Hooke’s law after Robert Hooke, an English scientist of the late 1600s. The minus sign in Eq. 7-20 indicates that the direction of the spring force is always opposite the direction of the displacement of the spring’s free end. The constant k is called the spring constant (or force constant) and is a measure of the stiffness of the spring.The larger k is, the stiffer the spring; that is, the larger k is, the stronger the spring’s pull or push for a given displacement.The SI unit for k is the newton per meter.

In Fig. 7-9 an xaxis has been placed parallel to the length of the spring, with the origin (x! 0) at the position of the free end when the spring is in its relaxed state. For this common arrangement, we can write Eq. 7-20 as

F_x! "kx (Hooke’s law), (7-21)

where we have changed the subscript. If xis positive (the spring is stretched toward the right on the xaxis), then Fxis negative (it is a pull toward the left). If

xis negative (the spring is compressed toward the left), then Fxis positive (it is a

push toward the right). Note that a spring force is a variable force because it is a function of x,the position of the free end.Thus Fxcan be symbolized as F(x).Also

note that Hooke’s law is a linear relationship between Fxand x.

The Work Done by a Spring Force

To find the work done by the spring force as the block in Fig. 7-9a moves, let us make two simplifying assumptions about the spring. (1) It is massless; that is, its mass is negligible relative to the block’s mass. (2) It is an ideal spring; that is, it obeys Hooke’s law exactly. Let us also assume that the contact between the block and the floor is frictionless and that the block is particle-like.

We give the block a rightward jerk to get it moving and then leave it alone. As the block moves rightward, the spring force F_xdoes work on the block, decreasing the kinetic energy and slowing the block. However, we cannot find this work by using Eq. 7-7 (W ! Fd cos f) because that equation assumes a con-stant force.The spring force is a variable force.

To find the work done by the spring, we use calculus. Let the block’s initial position be xi and its later position xf.Then divide the distance between those two

F:_s ! "kd: d

: F

:

s

Fig. 7-9 (a) A spring in its relaxed state.

The origin of an xaxis has been placed at the end of the spring that is attached to a block. (b) The block is displaced by , and the spring is stretched by a positive amount

x. Note the restoring force exerted by the spring. (c) The spring is compressed by a negative amount x.Again, note the restor-ing force. F:_s d : Block attached to spring x 0 x 0 x x 0 x x = 0 F_x = 0 x positive F_x negative x negative F_x positive (a) (b) (c) d d F_s F_s 149

7-7 WORK DONE BY A SPRING FORCE

PA R T 1

o A força exercida pela mola é sempre direcionada em direção oposta ao deslocamento a partir do equilíbrio.

o A força elástica é chamada de força restauradora, pois sempre tenta levar o corpo para a sua posição de equilíbrio.

o Se o bloco é solto da posição x ele oscilará para frente e para trás entre –x e x.

O trabalho realizado pela mola sobre um objeto preso a ela

será:

O!trabalho!realizado!pela!mola!sobre!um!objeto!preso!a!ela!

será:!

W = F(x) dx

x_i x_f

∫

W = −kx dx

x_i x_f

∫

= −

1

2

kx

2 x_i x_f

W =

1

2

kx

i 2

−

1

2

kx

f 2

Trabalho realizado por uma força elástica

2 2

1

(

)

2

f i x mola f i x

W

= −

k xdx

∫

= −

k x

−

x

x x_i x_f

W

_mola

= F(x)dx

x_i x_f

∫

Se x_i < x_f ! W < 0

Se o trabalho sobre a mola (massa) for realizado por um agente externo, seu valor é o obtido acima, porém com sinal trocado.

Força da mola: F(x) = − kx

(mola sendo esticada)

13" F128"–"1o_{""Semestre"de"2012"} F x F(x) F(x) = − kx

a) Ao pendurarmos em uma mola um objeto de massa de 0,55 kg, ela sofre uma deformação de 2 cm. Determinar: a) A constante elástica da mola. b) O trabalho realizado pela mola sobre o objeto. ! F_R = F!_H + P = 0 ⇒! F!_H = −P! ! F_H = kx ˆi ! P = −mg ˆi # $ % &% ⇒ kx = mg k = mg x = 0,55 × 9,8 2 ×10−2 k = 2,7×102 N / m a) b) W = 1 2 kxi 2 − 1 2 kxf 2 x_{i = 0 ⇒ W = −}1 2 kxf 2 W = − 1 2 2,7 ×10 2_{(2 ×10}−2₎2 W = −5,4 ×10−2_J

Aplicação:!medindo!a!constante!elás<ca!(

k

)!

Ao!pendurarmos!em!uma!mola!um! objeto!de!massa!de!0,55!kg,!ela!sofre! uma!deformação!de!2!cm.! Determinar:! a)  A!constante!elás+ca!da!mola.! b)  O!trabalho!realizado!pela!mola!sobre! o!objeto.! b) ! F_{R =} F!_{H +} P = 0 ⇒! F!_{H = −}P! ! F_{H = kx ˆi} ! P = −mg ˆi # $ % &% ⇒ kx = mg k = mg x = 0,55 × 9,8 2 ×10−2 k = 2,7×102N / m a) b) W = 1 2 kxi 2 − 1 2 kxf 2 x_{i = 0 ⇒ W = −}1 2 kxf 2 W = − 1 2 2,7 ×10 2_{(2 ×10}−2₎2 W = −5,4 ×10−2_J

Aplicação:!medindo!a!constante!elás<ca!(

k

)!

Ao!pendurarmos!em!uma!mola!um! objeto!de!massa!de!0,55!kg,!ela!sofre! uma!deformação!de!2!cm.! Determinar:! a)  A!constante!elás+ca!da!mola.! b)  O!trabalho!realizado!pela!mola!sobre! o!objeto.!

Aplicação: medindo a constante elástica (k)

Seja F a força resultante que atua sobre um corpo de massa m. F = ma = m dv dt ⇒ F dx_x i x_f

∫

= m dv dt dx x_i x_f

∫

Lembrando que W = F dx x_i x_f

∫

é o trabalho realizado pela força F temos: W = m dv dt dx x_i x_f

∫

= m dvdx dt x_i x_f

∫

= m dx dt dv v_i v_f

∫

Mas, v = dx dt logo W = mv dv_v i v_f

∫

Integrando a expressão anterior, temos:

W = m v 2 2 _v i v_f = mvf 2 2 − mv_i2 2 = ΔK

Teorema!do!Trabalho!e!da!Energia!ciné7ca!

Teorema do Trabalho e da Energia cinética

TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA: O trabalho total realizado sobre um corpo é igual à variação de sua Energia Cinética

W = ΔK

TEOREMA!DO!TRABALHO!E!DA!ENERGIA!CINÉTICA:! O!trabalho!total!realizado!sobre!um!corpo!é!igual!à!variação!de!sua! Energia!Ciné2ca!

Um bloco de 6,0 kg é empurrado por 3 metros por uma força de 12 N, a partir do repouso, sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito cinético igual a 0,15. Determinar: a) A velocidade final do bloco. b) O trabalho realizado pela força que o empurra. c) O trabalho realizado pela força de atrito. d) O trabalho total realizado sobre o bloco. e) A variação da energia cinética do bloco. ! F_{R =} F +! f!_{k +} F!_{g +}n! ma = F −µ_kmg a = F m−µkg a =12 6 − 0,15× 9,8 = 0,53 v2_{f − vi}2 _{= 2a(xf − xi}) v_{f = 2 × 0,53× 3 → vf = 1,8 m/s} a)! _{b)! WF = Fd = 12 × 3 → WF = 36J} W_A = F_Ad = −µ_kmgd = −0,15× 6, 0 × 9,8 × 3 W_A = −26, 5J c)! ΔK = K_f − K_i = mvf 2 2 = 6 ×1,82 2 ΔK = 9, 5J e)! W = W_F + W_A = 36 − 26, 5 W = 9, 5J d)!

Energia!ciné7ca:!exemplo!

Um!bloco!de!6,0!kg!é!empurrado!por!3!metros!por!uma!força! de!12!N,!a!par2r!do!repouso,!sobre!uma!superIcie!horizontal! com!coeficiente!de!atrito!ciné2co!igual!a!0,15.!Determinar:! a)  A!velocidade!final!do!bloco.! b)  O!trabalho!realizado!pela!força!que!o!empurra.! c)  O!trabalho!realizado!pela!força!de!atrito.!! d)  O!trabalho!total!realizado!sobre!o!bloco.! e)  A!variação!da!energia!ciné2ca!do!bloco.!

Energia cinética: exemplo

5 m q r v _Fr r N r A F r P Uma caixa de massa 10 kg é puxada para cima por 5 m em uma rampa com 20° de inclinação a uma velocidade inicial de 1,5 m/s. A força aplicada na direção do movimento é de 100 N e o coeficiente de atrito cinético é 0,4. a) Qual o trabalho realizado pela força da gravidade? b) Quanta energia é perdida devido ao atrito? c) Qual o trabalho realizado pela força aplicada? d) Qual a variação da energia cinética da caixa? e) Qual a velocidade final da caixa? r v _Fr r N r A F r P W_P = Pd cosθ_P−d = mgd cos(θ + 90) = −mgd sinθ = −10 × 9,8 × 5 × sin 20 = −168J a)! W_A = −F_Ad = −µ_kmg cosθd = −0, 4 ×10 × 9,8 × cos20 × 5 = −184 J b)! W_F = Fd = 500 J c)! W = ΔK W = W_P + W_A + W_F ΔK = 148 J d)! ΔK = 1 2 mvf 2 − 1 2 mvi 2 v_f = v_i2 + 2ΔK m v_f = 1, 52 + 2 ×148 10 v_f = 5, 6 m/s e)!

Trabalho!com!força!constante:!exemplo!

Uma!caixa!de!massa!10!kg!é!puxada!para!cima!por!5!m!em!uma!rampa!com!20°!de!inclinação!a!uma! velocidade!inicial!de!1,5!m/s.!A!força!aplicada!na!direção!do!movimento!é!de!100!N!e!o!coeficiente!de! atrito!ciné2co!é!0,4.! a)  Qual!o!trabalho!realizado!pela!força!da!gravidade?! b)  Quanta!energia!é!perdida!devido!ao!atrito?! c)  Qual!o!trabalho!realizado!pela!força!aplicada?! d)  Qual!a!variação!da!energia!ciné2ca!da!caixa?! e)  Qual!a!velocidade!final!da!caixa?!

Trabalho com força constante: exemplo

Um bloco de massa 1,6 kg em uma superfície horizontal está preso a uma mola com coeficiente elástico de 1000 N/m. A mola é comprimida por 2,0 cm e o bloco é então solto. a) Calcule a velocidade do bloco no instante em que ele passa pelo ponto de equilíbrio, considerando a superfície sem atrito. b) Calcule essa mesma velocidade considerando um coeficiente de atrito cinético seja igual a 0,26. W = ΔK W = 1 2kxi 2 −1 2kxf 2 ΔK = 1 2mvf 2 − 1 2mvi 2 1 2kxi 2 = 1 2mvf 2 v_f = x k m = 0, 02 1000 1, 6 v_f = 0, 50m / s a)! _{W = ΔK} W = W_mola + W_atrito W_atrito = −F_Ad (d = x_f − x_i ) F_A =µ_kmg W = 1 2kxi 2 −µ_kmgd 1 2 kxi 2 −µ_kmgd = 1 2mvf 2 1 2kxi 2 −µ_kmgd = 1 2mvf 2 v_f = kxi 2 m − 2µkgd v_f = 1000 × 0, 022 1, 6 − 2 × 0, 26 × 9,8 × 0, 02 v = 0, 38m / s b)!

Sistema!massaKmola:!exemplo!

Um!bloco!de!massa!1,6!kg!em!uma!superIcie!horizontal!está!preso!a! uma!mola!com!coeficiente!elás2co!de!1000!N/m.!A!mola!é! comprimida!por!2,0!cm!e!o!bloco!é!então!solto.! a)  Calcule!a!velocidade!do!bloco!no!instante!em!que!ele!passa!pelo! ponto!de!equilíbrio,!considerando!a!superIcie!sem!atrito.! b)  Calcule!essa!mesma!velocidade!considerando!um!coeficiente!de! atrito!ciné2co!seja!igual!a!0,26.!

Sistema massa-mola: exemplo

Até agora não nos perguntamos sobre quão rapidamente é realizado um trabalho! A potência P é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo:

Em um dado intervalo de tempo, a Potência Média será:

A Potência instantânea aplicada sobre um corpo pode ser escrita como:

Até! agora! não! nos! perguntamos! sobre! quão! rapidamente! é! realizado!um!trabalho!! !A!potência!P"é!a!razão!(taxa)!de!realização! do!trabalho!por!unidade!de!tempo:!! ! ! ! Em!um!dado!intervalo!de!tempo,!a!Potência!Média!será:! ! !

A! Potência! instantânea! aplicada! sobre! um! corpo! pode! ser! escrita! como:! ! ! !

P =

dW

dt

P =

ΔW

Δt

dW =

F ⋅ d

!

x ⇒ P =

!

!

F ⋅ d

x

!

dt

⇒ P =

!

F ⋅

v

!

Potência!

Até! agora! não! nos! perguntamos! sobre! quão! rapidamente! é! realizado!um!trabalho!! !A!potência!P"é!a!razão!(taxa)!de!realização! do!trabalho!por!unidade!de!tempo:!! ! ! ! Em!um!dado!intervalo!de!tempo,!a!Potência!Média!será:! ! !

A! Potência! instantânea! aplicada! sobre! um! corpo! pode! ser! escrita! como:! ! ! !

P =

dW

dt

P =

ΔW

Δt

dW =

F ⋅ d

!

x ⇒ P =

!

!

F ⋅ d

x

!

dt

⇒ P =

!

F ⋅

v

!

Potência!

Até! agora! não! nos! perguntamos! sobre! quão! rapidamente! é! realizado!um!trabalho!! !A!potência!P"é!a!razão!(taxa)!de!realização! do!trabalho!por!unidade!de!tempo:!! ! ! ! Em!um!dado!intervalo!de!tempo,!a!Potência!Média!será:! ! !

A! Potência! instantânea! aplicada! sobre! um! corpo! pode! ser! escrita! como:! ! ! !

P =

dW

dt

P =

ΔW

Δt

dW =

F ⋅ d

!

x ⇒ P =

!

!

F ⋅ d

x

!

dt

⇒ P =

!

F ⋅

v

!

Potência!

Potência

A unidade de potência no SI é denominada Watt 1 watt = 1 joule / segundo = 1 kg . m2 / s2

A unidade de potência no sistema britânico é o cavalo-vapor (horse power ou hp)

1 hp = 746 W

Unidades de potência também podem ser usadas para expressar unidades de trabalho ou energia

1 kWh = (1000 W)(3600 s) = 3.6 x106 J

Um elevador com massa de 1000 kg está carregando pessoas com massa total de 800 kg. Uma força de atrito constante igual a 4000 N retarda o movimento do elevador. a) Qual deve ser a potência mínima do motor para subir o elevador a uma velocidade constante de 3 m/s? b) Quanta potência o motor dever fornecer para que, a uma dada velocidade de subida igual a v, o elevador seja acelerado para cima a 1 m/s2? ! F_{R =T +}! F!_{P +} F!_A 0 = T − m

(

_e + m_p

)

g − F_A T = m

(

_e + m_p

)

g + F_A P = Tv = m"_#

(

_e + m_p

)

g + F_A$_%v P = 1,8×10

(

3× 9,8 + 4 ×103

)

× 3 P = 6,49 ×104W a)! b)!

₍

_{me + mp}

₎

_{a = T − m}

₍

_{e + mp}

₎

_{g − FA} T = m

(

_e + m_p

)

₍

a + g

₎

+ F_A P = m"_#

(

_e + m_p

)

₍

a + g

₎

+ F_A$_%v P = 1,8 ×10"_# 3×10,8 + 4 ×103$_%v P = 2, 3×104v

Potência:!exemplo!

Um!elevador!com!massa!de!1000!kg!está!carregando!pessoas!com!massa!total!de!800!kg.! Uma!força!de!atrito!constante!igual!a!4000!N!retarda!o!movimento!do!elevador.! a)  Qual!deve!ser!a!potência!mínima!do!motor!para!subir!o!elevador!a!uma!velocidade! constante!de!3!m/s?! b)  Quanta!potência!o!motor!dever!fornecer!para!que,!a!uma!dada!velocidade!de!subida! igual!a!"v,!o!elevador!seja!acelerado!para!cima!a!1!m/s2_?!

Potência: exemplo