DEOVERSINO FRAFCA
FAST POISSON SOLVERS
UM ESTUDO COMPARATIVO
D i s s e r t a c a o a p r e s e n t a d a ao C u r -so de M e s t r a d o em S i s t e m a s e C o m p u t a c a o da U n i v e r s i d a d e F e d e r a l da P a r a i b a , em c u m p r i m e n -t o a p a r -t e d a s e x i g e n c i a s p a r a o b t e n c a o do G r a u de M e s t r e .MARIO TOYOTARO HATTORI O r i e n t a d o r
-C a m p i n a Grande - Pb F e v e r e i r o - 1987
KATIA MARA
e
D E O V E R S I N O F R A N C A
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENACAO DO CURSO DE POS-GRADUAgAO EM SISTEMAS E COMPUTAgAO DA UNIVERSIDADE FE-DERAL DA PARAlBA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PA-RA A OBTENQAO DO GPA-RAU DE MESTRE EM CIENCIAS ( M . S c ) .
A p r o v a d a p o r :
" >-?—!••
MARIO TOYOTARO HATTORI - M.Sc. P r e s i d e n t e -GREGORIO - E x a m i n a d o r BRUNO E x a m i n a d o r -CAMPINA GRANDE _ Pb FEVEREIRO - 1987
A G R A D E C I M E N T O S Ao p r o f e s s o r M a r i o T o y o t a r o H a t t o r i , que f o i m a i s que "o o r i e n t a d o r " , p e l a s s u a s e x t r e m a d a s b o a v o n t a d e , p a c i e n -c i a e p a l a v r a s de e n -c o r a j a m e n t o . A U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de M a t o G r o s s o do S u l , p e l o a p o i o m o r a l e f i n a n c e i r o r e c e b i d o . A C o o r d e n a c a o de A p e r f e i c o a m e n t o de P e s s o a l de N i v e l S u p e r i o r p e l a a j u d a f i n a n c e i r a . A o s meus c u n h a d o s F i r o m i e H a r u o p e l o a p o i o e i n c e n -t i v e r e c e b i d o . *. Tambem m u i t o m a i s que m e r e c i d o s , a M i e c o , m i n h a e s p o -s a , e a K a t i a M a r a e G r e i c y M a r a , m i n h a -s f i l h a -s , que t a n t o me a p o i a r a m e que p o r t a n t a s v e z e s se v i r a m p r i v a d a s de m i n h a p r e s e n c a p o r c a u s a do d e s e n v o l v i m e n t o d e s t e t r a b a l h o . 4 F R A N Q A
N e s t e t r a b a l h o sao e s t u d a d a s q u a t r o v a r i a n t e s do F a s t P o i s s o n S o l v e r s . As q u a t r o v a r i a n t e s , M e t o d o B a s i c o FFT, M e t o d o da Reducao C i c l i c a ( A l g o r i t m o de B u n e m a n ) , FACR ( F o u r i e r A n a l y s i s / C y c l i c R e d u t i o n ) M e t o d o F A C R ( l , j ) e M e t o do F A C R ( l , i ) , sao i m p l e m e n t a d o s e s e u s r e s u l t a d o s c o m p a r a -d o s .
A B S T R A C T I n t h i s t h e s i s a r e s t u d i e d f o u r v a r i a n t s o f F a s t P o i s s o n S o l v e r s . The f o u r v a r i a n t s , B a s i c M e t h o d FFT, Cy-c l i Cy-c R e d u t i o n M e t h o d (Buneman*s A l g o r i t h m ) , FACR ( F o u r i e r A n a l y s i s / C y c l i c R e d u c t i o n ) , M e t h o d FACR ( l , j ) a n d FACR M e t h o d ( l , i ) , a r e i m p l e m e n t e d a n d t h e i r s r e s u l t s c o m p a r e d .
PAGINA D e d i c a t o r i a i i A g r a d e c i m e n t o s i i i Re sumo , i v C A P I T U L O I INTRODUCAO 1 1.1 - A p r e s e n t a c a o .... 1 1.2 - I m p o r t a n c i a do T r a b a l h o 3 1.3 - V i s a o G l o b a l do T r a b a l h o 4 C A P I T U L O I I
RESUMO DE MATEMATICA DA EQUACAO DE POISSON 6
2.1 - I n t r o d u c a o 6 2.2 - C l a s s i f i c a c a o
2.3 - E x i s t e n c i a e U n i c i d a d e d a S o l u c a o 8
PAGINA C A P I T U L O I I I DIFERENCAS F I N I T A S 15 3.1 - I n t r o d u g a o 15 3.2 - D i f e r e n c a s F i n i t a s 15 3.3 - C o n s i s t e n c i a 19 3.4 - E s t i m a t i v a de E r r o 20 3.5 - T r a t a m e n t o D e s c r i t i v o da C o n v e r g e n c i a ... 23 3.6 - D i s c r e t i z a c a o da E q u a c a o de P o i s s o n 24 C A P I T U L O I V
FAST POISSON SOLVERS 2 8
4.1 - I n t r o d u c a o 28 4.2 - 0 M e t o d o B a s i c o FFT 31 4.3 - R e d u c a o B l o c o C i c l i c o 34 4.4 - M e t o d o s F A C R ( l ) 48 4.4.1 - A l g o r i t m o F A C R ( l , j ) de H o c k n e y 48 4.4.2 - F A C R ( l , i ) 50 4.5 - E q u a g a o de P o i s s o n em R e g i o e s I r r e g u l a r e s .. 53 C A P I T U L O V TESTES E CONCLUSOES 5 7 5.1 - P r o c e d i m e n t o A d o t a d o Na P r o g r a m a c a o 5 8 5 . 1 . 1 - M e t o d o B a s i c o FFT. 58 5.1.2 - A l g o r i t m o de Buneman 62
5.1.4 - F A C R ( l , i ) 66 5.2 - P r o c e d i m e n t o A d o t a d o D u r a n t e os T e s t e s e A n a l i s e de R e s u l t a d o s O b t i d o s 68 5.3 - D i f i c u l d a d e s E n c o n t r a d a s 72 5.4 - S u g e s t o e s P a r a T r a b a l h o s P o s t e r i o r e s 73 5.5 - C o m e n t a r i o s F i n a l s 74 R E F E R E N C I A S B l B L I O G R A F I C A S 75 APENDICE I 7 8
CAPITULO I
I N T R O D U C A O 1.1 - A p r e s e n t a c a o A e q u a c a o d i f e r e n c i a l p a r c i a l de P o i s s o n m o d e l a f e n o m e n o de d i s t r i b u i c a o de p o t e n c i a l ( e l e t r i c o , g r a v i t a -c i o n a l ) e sua s o l u -c a o tern i n t e r e s s e p r a t i -c o em -c i e n -c i a s a-p l i c a d a s e e n g e n h a r i a . Uma s o l u c a o a n a l i t i c a da e q u a g a o de P o i s s o n e r a r a s v e z e s p o s s i v e l de s e r o b t i d a , p o r q u e a g e o m e t r i a do c o n t o r n o e a s c o n d i c o e s i m p o s t a s n e s s e c o n t o r n o i n f l u e n c i a m f o r t e m e n t e a s o l u c a o . P a r a s u p e r a r e s s a d i f i c u l d a d e , a p e -l a - s e p a r a a s o -l u g a o n u m e r i c a . A s o -l u c a o n u m e r i c a p o r sua vez nao e t r i v i a l , p o r q u e a p l i c a n d o a d i s c r e t i z a c a o t e m o s s i s t e m a s l i n e a r e s com m u i t a s e q u a c o e s , p r i n c i p a l m e n t e se f o r em t r e s d i m e n s o e s . Por e x e m p l o , em t r e s d i m e n s o e s , urn c u b o d i s c r e t i z a d o com 10 p o n t o s em c a d a e i x o c o o r d e n a d o c o n d u z i r a a 1000 e q u a g o e s l i n e a r e s .No i n i c i o da d e c a d a de 1 9 7 0 o s p e s q u i s a d o r e s d e s c o b r i r a m m e t o d o s de m e l h o r a r a e f i c i e n c i a da s o l u g a o n u m e r i c a d a equagao de P o i s s o n , b a s e a d a no m e t o d o d a s d i f e -r e n g a s f i n i t a s . 0 m e t o d o b a s i c a m e n t e p -r o c u -r a -r e s o l v e -r o s i s t e m a de e q u a g o e s l i n e a r e s p r o v e n i e n t e da d i s c r e t i z a g a o do p r o b l e m a p e l o m e t o d o d a s d i f e r e n g a s f i n i t a s de modo e f i c i e n t e , e n v o l v e n d o uma t r a n s f o r m a d a de F o u r i e r ( t r a n s f o r -mada r a p i d a de F o u r i e r d e v i d a a C o o l e y e T u c k e y , c o n f o r m e H o c k n e y 12 ] J ) . E s s e m e t o d o f o i b a t i z a d o de F a s t P o i s s o n S o l v e r ( F P S ) . H o j e e x i s t e uma f a m i l i a de F a s t P o i s s o n S o l v e r s , c o n s t i t u i d a a ) p e l o M e t o d o b a s i c o FFT b ) p e l o M e t o d o da r e d u g a o c i c l i c a c ) p e l o s M e t o d o s FACR ( F o u r i e r A n a l y s i s / C y c l i c R e d u t i o n ) M e t o d o FACR ( l , j ) M e t o d o FACR ( l , i ) 0 FPS f o i o r i g i n a l m e n t e d e s e n v o l v i d o p a r a r e g i o e s r e t a n g u l a r e s , p o s t e r i o r m e n t e f o i e s t e n d i d o p a r a r e -g i o e s p l a n a s m a i s c o m p l i c a d a s e f i n a l m e n t e p a r a r e -g i o e s t r i _ d i m e n s i o n a i s .
3 1.2 - I m p o r t a n c i a do T r a b a l h o No Campus I I da UFPb e x i s t e m d i v e r s o s c o m p u t a d o r e s ( c o m v a r i o s S i s t e m a s O p e r a c i o n a i s ) que e n t r e o u t r a s t a -r e f a s sao b a s t a n t e u t i l i z a d o s p a -r a a s o l u c a o de p -r o b l e m a s c i e n t i f i c o s . Em urn d e s t e s ' c o m p u t a d o r e s e x i s t e a B i b l i o t e c a T r a n s p o r t a v e l de A l g o r i t m o s N u m e r i c a ( B I T A N ) com c e r c a de 200 r o t i n a s que sao i m p l e m e n t a c o e s de a l g o r i t m o s m a t e m a t i -c o s . E i n t e r e s s e da UFPb d i f u n d i r a u t i l i z a g a o da BITAN, nao s o m e n t e n e l a mas tambem p r o p o r c i o n a r a o u t r a s i n s t i t u i g o e s a sua u t i l i z a c a o . Tendo em v i s t a a n e c e s s i d a d e de uma r o t i n a p a r a r e s o l v e r a e q u a g a o de P o i s s o n , em e l e t r i c i d a d e e m a g n e t i s m o , e p a r a a u x i l i a r a d i f u s a o da BITAN, d i r e c i o n a m o s o e s t u d o p a r a q u a t r o v a r i a n t e s do F a s t P o i s s o n S o l v e r . Apos o t e r m i -no d e s t e t r a b a l h o e s p e r a - s e que t e n h a m o s o m e l h o r m e t o d o do F a s t P o i s s o n S o l v e r s t r a n s f o r m a d o em uma s u b r o t i n a da BITAN p a r a f u t u r a s u t i l i z a g o e s .
1.3 - V i s a o G l o b a l do T r a b a l h o E s t e t r a b a l h o c o n t e m urn e s t u d o da e q u a c a o l i n e a r de P o i s s o n em r e g i o e s r e t a n g u l a r e s , u t i l i z a n d o a c o n d i c a o de c o n t o r n o de D i r i c h l e t . I n i c i a l m e n t e , no s e g u n d o c a p i t u l o damos urn r e s u -mo m a t e m a t i c o : c l a s s i f i c a c a o d a s e q u a c o e s ; e x i s t e n c i a e u n i c i d a d e da s o l u c a o ; e p r i n c i p i o do m a x i m o . Uma r e v i s a o de d i f e r e n g a s f i n i t a s , c o n v e r g e n c i a , e r r o d e d i s c r e t i z a g a o d a e q u a c a o de P o i s s o n e f e i t a no t e r -c e i r o -c a p i t u l o . No q u a r t o c a p i t u l o a p r e s e n t a m o s , a p a r t i r da d i s c r e t i z a c a o , q u a t r o v a r i a n t e s do F a s t P o i s s o n S o l v e r s : a ) M e t o d o B a s i c o FFT b ) M e t o d o da Reducao C i c l i c a ( A l g o r i t m o de B u -neman) c ) M e t o d o FACR ( l , j ) de H o c k n e y d ) M e t o d o FACR ( l , i ) de H o c k n e y . Os a l g o r i t m o s d a s q u a t r o v a r i a n t e s sao a p r e s e n t a d o s com a c o n d i c a o de c o n t o r n o de D i r i c h l e t . Damos i n d i -c a t e s p a r a a -c o n d i -c a o p e r i o d i -c a n o s m e t o d o s B a s i -c o FFT e
5 o n d e o v a l o r do l a d o e 1 . No c a p i t u l o c i n c o , c o n c l u i m o s f a z e n d o uma a n a l y se d o s r e s u l t a d o s o b t i d o s n o s t e s t e s , r e l a c i o n a n d o as d i f i -c u l d a d e s e n -c o n t r a d a s na i m p l e m e n t a g a o das q u a t r o v a r i a n t e s do F a s t P o i s s o n S o l v e r s , i d e n t i f i c a n d o p o n t o s que podem s e r e s t u d a d o s e a p r e s e n t a d a s s u g e s t o e s p a r a e s t u d o s p o s t e -r i o -r e s . No a p e n d i c e I damos uma p e q u e n a v i s a o do a l g o -r i t m o FFT.
R E S U M O D E M A T E M A T I C A D A E Q U A C A O D E P O I S S O N 2.1 - I n t r o d u g a o P a r a c h e g a r m o s a r e s o l u g a o n u m e r i c a da e q u a g a o de P o i s s o n , n e c e s s i t a m o s de a l g u n s c o n h e c i m e n t o s de s u a m a t e m a t i c a . Em v i r t u d e d i s t o d a r e m o s a s e g u i r urn r e s u m o da m a t e m a t i c a u s a d a no t r a b a l h o . I n i c i a l m e n t e c l a s s i f i c a m o s a s e q u a g o e s d i f e r e n -c i a i s e m o s t r a m o s a l g u m a s a p l i -c a g o e s da Equagao de P o i s s o n . Em s e g u i d a o t e o r e m a da e x i s t e n c i a e u n i c i d a d e da s o l u g a o e a p r e s e n t a d o . Por u l t i m o a p r e s e n t a m o s o p r i n c i p i o do maximo, b a s e a d o em F i g u e i r e d o P l 0 ~ ~ I .
7 2.2 - C l a s s i f i c a g a o A f o r m u l a c a o m a t e m a t i c a de m u i t o s p r o b l e m a s na c i e n c i a e n v o l v e n d o r a z a o da mudanga r e l a t i v a de d u a s ou m a i s v a r i a v e i s i n d e p e n d e n t e s , u s u a l m e n t e r e p r e s e n t a n d o t e m -p o , c o m -p r i m e n t o ou a n g u l o , c o n d u z a s e q u a g o e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s ou a urn s i s t e m a de e q u a g o e s .
Uma e q u a g a o d i f e r e n c i a l de s e g u n d a ordem a duas v a r i a v e i s p o d e s e r e s c r i t a na f o r m a : 2 . 2 2 9 u . K8 u „3 u ,8u 3u r r, a + b + c + d — + e — + f u + g = 0 3 x2 8 x2y 3 y2 dy 3y onde a, b , c, d , e, f e g podem s e r c o n s t a n t e s ou f u n g o e s de x e y. Se f f o r i g u a l a z e r o e a, b, c, d , e, g nao d e -p e n d e r e m de u ou 3_u ou 3u. a e q u a g a o d i f e r e n c i a l e l i n e a r e 3x 8y se f f o r d i f e r e n t e de z e r o a e q u a g a o d i f e r e n c i a l e d i t a nao l i n e a r . Podemos c l a s s i f i c a - l a em: _ 2 Equagao e l i p t i c a se b - 4ac < 0 - 2 Equagao p a r a b o l i c a se b - 4ac = 0 ,2 Equagao h i p e r b o l i c a se b - 4ac > 0
As e q u a g o e s e l i p t i c a s m a i s c o n h e c i d a s s a o : 3 2 a ) — — + — — + g = 0 equagao de P o i s s o n 3 xz 3y 3 U 3 U N " J I T b j + = 0 e q u a g a o de L a p l a c e 3 x2 3 y2 32u 32u c ) + + f u = 0 e q u a g a o de H e l m h o l t z 2 2 3x 3y P a r a a e q u a g a o de H e l m h o l t z , se f f o r c o n s t a n t e , t e m s e urn p r o b l e m a de v a l o r de c o n t o r n o e se f f o r urn p a -r a m e t -r o a s e -r d e t e -r m i n a d o t e m - s e u-rn p -r o b l e m a de a u t o v a l o -r . A e q u a g a o de P o i s s o n tern a p l i c a g a o no e s t u d o da t e o r i a de t o r s a o de S t V e n a n t ; m o v i m e n t o d o s f l u i d o s v i s -c o s o s ; e l e t r i -c i d a d e e m a g n e t i s m o ( V e j a Q l 6 ^ ] ) « 2.3 - E x i s t e n c i a e U n i c i d a d e da S o l u g a o T e o r e m a : ( J o h n F., P 1 3 " ] ) Dada a equagao de P o i s s o n V2u = F ( x , y , u ) , em ft ( 1 )
9 u = f , no c o n t o r n o 3ft A s o l u g a o e x i s t e e e u n i c a , c o n t a n t o que as con-d i g o e s a b a i x o s e j a m s a t i s f e i t a s I ) F ( x , y , u ) £ C1 p a r a ( x , y ) £ ft u 9ft p a r a t o d o u . I I ) | F ( x , y , u ) | < 4 ( A -m*x | f ( S ) | ) , p a r a ( x , y ) £ ft U I 2 U 9ft e I u I < A onde R r e p r e s e n t a o d i a m e t r o da ft KJ 9ft e A uma c o n s t a n t e I I I ) | i - F ( x , y , u ) | < , p a r a ( x , y ) £ ft e | u | : A onde 9u " R2 q e a r a z a o de uma s e r i e g e o m e t r i c a P r o v a : A s o l u g a o Un +, p a r a o p r o b l e m a do v a l o r de c o n t o r n o 2 da e q u a g a o de P o i s s o n , V u n + 1 = F ( x , y , un) , u +. = £ no c o n t o r n o 9 f t , p o d e s e r e s c r i t a na f o r m a ^n +- ^ = = u1 + u ' ' u n + 1 u n + 1 onde u 'n+1 - /f iF ( c , n , un( ^ , r1) l o g r d c d n ( 2 ) e onde u,'n +- ^ e uma f u n g a o p o t e n c i a l s a t i s f a z e n d o V2u ' • = 0, em ft n + 1 ' u' * -, = f - u ,-, , no c o n t o r n o 3ft n + 1 n + 1 '
A g o r a j a que u -»• u u n i f ormeraente em ft if 3ft segue p o r ( 2 ) que u' n + l = / f t F U ' n ' u n ) l 02 rd^dri W + /f iF ( C , n , u ) l o g r d c d n = u« u n i f o r m e m e n t e em [1 u 3 f i . P e l o t e o r e m a 7 de Q l 3 ^ ] s e g u e - s e que a f u n g a o p o t e n c i a l u' 'n +i "* u' ' o n d e V2u ' * = 0 , em ft u ' ' = f - u ' , no c o n t o r n o 3ft l o g o , como n -*• °° u -t = u* + u ' ' J, •+ u' + u ' ' - 0 n + 1 n + 1 n + 1 Mas j a f o i e s t a b e l e c i d o que un+^ •+ u . P o r i s s o u = <J) = u' + u' ' . E n t a o i s t o e s t a b e l e c e que a f u n c a o l i m i t e u = u' + u ' ' , onde u' = /QF ( C , K I ,u) l o g r d c d n ( 4 ) e u " s a t i s f a z e m o p r o b l e m a do v a l o r de c o n t o r n o V2u ' ' = 0, em ft u ' ' = f - u ' , no c o n t o r n o 3ft Mas a g o r a e c l a r o que se F ( x , y , u ) s a t i s f a z a h i p o -t e s e do -t e o r e m a 1 de [||13^] e n -t a o u' s a -t i s f a r a 2 2 V u' = F ( x , y , u ) e u s a t i s f a r a V u = F ( x , y , u ) com o c o n t o r n o d a d o u = f . A s s i m so r e s t a m o s t r a r que
11 F ( x , y , u ) £ C° em ft (J 3ft e F ( x , y , u ) £ C1 em ft. Mas i s t o e f a c i l m e n t e v e r i f i c a d o p e l a c o n d i c a o I , l e m a 3, de £ l 3 ~ e o f a t o de que ( 4 ) pode s e r d i f e -r e n c i a d o sob a i n t e g -r a l . P a r a p r o v a r a u n i c i d a d e n o s supomos d u a s s o l u c o e s u e v . I s t o e 2 V u = F ( x , y , u ) , em ft 2 V v = F ( x , y , u ) , em ft u = v = f , no c o n t o r n o 3 f t . E n t a o a f u n c a o W = u - v s a t i s f a z 2 3 V W = F ( x , y , u ) - F ( x , y , v ) = — F ( x , y , u ) W em ft 3u W = 0, no c o n t o r n o 3ft Por |u| m*X | f ( S ) | + i R2 Wl u 4 ftU3fi e a c o n d i c a o I I I s e g u e que 1 3
max|W|<_ m a x | — F |max (W)<_qmax (W) ,
4 R2 9 U
o n d e q < 1 . Mas i s t o e i m p o s s i v e l , a nao s e r que
W = 0 ou u = v .
A s o l u g a o da equagao de P o i s s o n depende de F,
que pode s e r v i s t o como uma e x c i t a g a o , da g e o m e t r i a do c o n -t o r n o e d a s c o n d i g o e s de c o n -t o r n o ( n a n o s s a f o r m u l a g a o , de f ) . Quando a s o l u g a o f o r u n i c a e sua d e p e n d e n c i a das c o n d i g o e s de c o n t o r n o f o r c o n t i n u a , t e r e m o s urn p r o b l e m a bem p o s -t o . Somen-te p r o b l e m a s bem p o s -t o s podem s e r r e s o l v i d o s com s u c e s s o p o r m e t o d o s n u m e r i c o s 2.4 - P r i n c x p i o do Maximo ( F i g u e i r e d o £ l 6 " f ) S e j a m ft uma r e g i a o l i m i t a d a do p i a n o e u ! i ! + . 1 uma f u n g a o c o n t i n u a em 5({J a a d e r e n c i a de ft) e h a r m o n i c a em ft. E n t a o o maximo de u e a t i n g i d o em 8 f t . D e m o n s t r a g a o ( P r i v a l o v ) s e n d o ft l i m i t a d a , s e g u e --se que ft e 9ft sao c o n j u n t o s c o m p a c t o s ( i s t o e, f e c h a d o s e l i m i t a d o s ) do p i a n o . U t i l i z a r e m o s urn t e o r e m a da A n a l i s e s e -g u n d o o q u a l a t o d a f u n -g a o r e a l c o n t i n u a -g : K -*• R, em urn c o n j u n t o c o m p a c t o K, tern um v a l o r maximo u , i s t o e, e x i s t e ( x , y ) £ K, t a l que f ( x , y ) <_ f ( x , y ) = u , p a r a t o d o ( x , y ) em K . • S e j a m .max , ^ max r M = u ( x , y ) e m = u ( x , y ) ft 8ft
15
seu maximo em urn p o n t o ( xQ, y0) que d e v e e s t a r em ft e em 8 f t . D e f i n a m o s a f u n g a o nao v ( x , y ) = u ( x , y ) + £*i 2 d2 ( x - xn)2 + ( y - yn)2 ( 5 ) onde d e o d i a m e t r o d a r e g i a o ft, i s t o e, d e o s u p r e m o d a s d i s t a n c i a s e n t r e p a r e s de p o n t o s de ft. A g o r a , o b s e r v a n d o que v ( xQ, y0) = u ( x0, y0) = M v(x
,
y)<
m* MzE
d 2= < M , Cx.y) £ 3ft
2 d2 2c o n c l u i m o s que a f u n g a o v assume s e u maximo em urn p o n t o ( x - ^ , y ^ ) de ft, e nao em 3 f t . P o r t a n t o n e s t e p o n t o V ( X T J , ) < 0 e v ( x , , y , ) < 0, o que n o s da x x l ' l — y y ^ l ' - ' l — ' n V v ( x 1> y i) < 0 ( 6 ) Por o u t r o l a d o , t e m o s a p a r t i r de [ 1 ) , que V2v = . 2 > 0 ( 7 ) p a r a t o d o s os p o n t o s de ft. As d e s i g u a l d a d e s ( 6 ) e ( 7 ) sao c o n t r a d i t o r i a s , o que p r o v a o p r i n c i p i o . P a r a v e r que o m i
-n i m o tambem e a t i -n g i d o , b a s t a t r a b a l h a r com - u . Os m a x i m o s o u m i n i m o s sao sempre a s s u m i d o s no c o n t o r n o . E n t a o t o d a s o l u c a o nao c o n s t a n t e u da e q u a c a o d i f e r e n c i a l assume s e u m i n i m o , se e l a f o r n e g a t i v a ( o u s e u m a x i m o , se e l a f o r p o s i t i v a ) no c o n t o r n o 3ft e nao no i n t e -r i o -r da -r e g i a o ft. Os maximos ou m i n i m o s sao a s s u m i d o s no i n t e r i o r se e s o m e n t e se u f o r c o n s t a n t e . B a s e a d o n e s s e f a t o podem-se c o n s t r u i r m e t o d o s n u m e r i c o s que so u t i l i z a m as i n f o r m a c o e s do c o n t o r n o , p o r e x e m p l o , urn m e t o d o que m i n i m i z e o e r r o e n t r e a a p r o x i m a c a o e a s o l u g a o no c o n t o r n o .
CAPITULO I I I
DIFERENCAS FINITAS
5.1 - I n t r o d u g a o N e s t e c a p i t u l o a p r e s e n t a m o s a i d e i a d a s d i f e r e n g a s f i n i t a s ; o t r a t a m e n t o d e s c r i t i v o da c o n v e r g e n c i a ; e r -r o de d i s c -r e t i z a g a o ; e a d i s c -r e t i z a g a o da e q u a g a o de P o i s s o n . 3.2 - D i f e r e n g a s F i n i t a sQuando uma f u n g a o u e s u a s d e r i v a d a s sao f u n g o e s c o n t i n u a s , f i n i t a s de x , e n t a o p e l o T e o r e m a de T a y l o r u ( x + h ) = t r ( x > h i i ' \ x ) + ~ h2u " ( x ) + - h3u,u ( x ) +.., ( 1 ) 2 6 e u ( x - h ) = u ( x ) - h u ' ( x ) + i h2u * ' ( x ) - i h3u ' " ( x ) + . . . ( 2 ) 2 6
A d i c i o n a n d o e s t a s d u a s e x p r e s s o e s t e m o s : u ( x + h) + u ( x - h ) - 2 u ( x ) + h 2u " ( x ) + 0 ( h4) ( 3 ) 4 o n d e 0 ( h ) d e n o t a o t e r m o c o n t e n d o a q u a r t a o u m a i o r p o t e n -c i a d e h . 4 3 A s s u m i n d o q u e 0 ( h ) s e j a d e s p r e z i v e l em c o m p a r a c a o com h , seque que J 2 . u " ( x ) = — = - L {U( x + h ) - 2 u ( x ) + u ( x - h ) } , ( 4 ) ^ 2 ,2 d x h 2 com urn e r r o c o m e t i d o no 29 membro d a o r d e m h .
S u b t r a i n d o d a e q u a c a o ( 1 ) a e q u a c a o ( 2 ) e a b a n -3 d o n a n d o o t e r m o de o r d e m h , u - ( x ) ^ : I ( u ( x + h ) - u ( x - h ) } ( 5 ) d x 2h A equagao ( 5 ) a p r o x i m a e v i d e n t e m e n t e a i n c l i n a gao d a t a n g e n t e em P p e l a i n c l i n a g a o da c o r d a AB, e e c h a -mada uma a p r o x i m a g a o de d i f e r e n g a c e n t r a l . Podemos tambem a p r o x i m a r a i n c l i n a g a o da t a n g e n t e em P p o r ambas as i n c l i n a g o e s ; d a c o r d a PB, r e s u l t a n d o a £5rmula da d i f e r e n g a p r o -g r e s s i v a u' f x ) - - ( u ( x + h ) - u ( x ) } ( 6 ) h ou a i n c l i n a g a o da c o r d a AP r e s u l t a n d o a f o r m u l a da d i f e
Ambas ( 6 ) e ( 7 ) podem s e r e s c r i t a s i m e d i a t a m e n t e d a s e q u a -g o e s ( 1 ) e ( 2 ) , r e s p e c t i v a m e n t e , a s s u m i n d o que a s p o t e n c i a s d o i s ou m a i o r e s de h sao d e s p r e z i v e i s . I s t o m o s t r a que o s e r r o s c o m e t i d o s n a s f o r m u l a s de d i f e r e n g a p r o g r e s s i v a e r e -g r e s s i v a sao ambos 0 ( h ) . A s d i f e r e n g a s f i n i t a s sao a m p l a m e n t e u s a d a s p a r a a r e p r e s e n t a g a o d o s p o l i n o m i o s de i n t e r p o l a g a o e na a p l i c a -gao d e s t e s p o l i n o m i o s na s o l u g a o de e q u a g o e s d i f e r e n c i a i s e na q u a d r a t u r a n u m e r i c a . Uso i m p o r t a n t e de t a i s d i f e r e n g a s se f a z p a r a
o b t e r a p r o x i m a g o e s d a s d e r i v a d a s de c e r t a s f u n g d e s , A s e g u i r a p r e s e n t a m o s como a s d e r i v a d a s a p a r e c e m ao s e r e i n a p r o x i r a a d a s p e l a s d i f e r e n g a s . . , - d ui u i + l " i a ) u' - = = . — i 1 dx h b ) u " . = 2 d u . u . ~ - 2 u . . + u . l _ i + 2 l + l l A 2 I . 2 dx h c ) u11' d3u - u . , - 3 u -. 0 + 3 , - u-- l 1+5 i + 2 l + l I 1 3 3 dx"5 d ) du - u ( x + h ,y) - u (x , y ) 9x h e) - u ( x + 2 h , y ) - 2 u ( x + h , y ) + u(x,_y) 3 x2 " h2 f ) - u ( x + 3 h , y ) - 3 u ( x + 2h) + 3 u ( x + h ) - u ( xty ) 9 u3 h3 A a p r o x i m a g a o da d i f e r e n g a c e n t r a l e r e l e v a n t e p a r a a equagao de P o i s s o n . Na m a l h a de d i s c r e t i z a g a o tomamos sempre t r e s
19
p o n t o s ao l o n g o de urn e i x o , s e n d o que d o i s d e l e s sao s i m e -t r i c o s em r e l a g a o ao -t e r c e i r o . 3.3 - C o n s i s t e n c i a S e j a o p r o b l e m a V2u = F ( x , y ) F £ ft ( 8 ) u = f £ £ 8ft A d e f i n i c a o s e g u i n t e c o n t e m a s c o n d i g o e s g e r a i s do m e t o d o d a s d i f e r e n g a s p a r a r e s o l v e r o p r o b l e m a dado a c i -ma . D e f i n i g a o : ( s e g u n d o £[14]]) A s e q u e n c i a D « { ( M . , F., R.) j = 1 <»} e chamada m e t o d o da d i f e r e n g a p a r a r e s o l v e r ( 8 ) se as t r e s c o n d i g o e s s e g u i n t e s f o r e m s a t i s f e i t a s . a ) Os M- sao m a l h a s em ft com o t a m a n h o d a s m a l h a s h . = |M.| 1 J J t e n d e n d o p a r a z e r o . b ) Os F j sao mapeamentos c o n t i n u o s ( 8 f t , R ) x C ^ ( M ^ ,R) •* - C°(M R) . P a r a c a d a f £ C % 8 f t , R ) f i x o , t o d o s os F - ( f - ) sao
mapea-m e n t o s c o n t i n u a mapea-m e n t e d i f e r e n c i a v e i s de (M. ,R) p a r a C ° ( M . , R ) . c ) Os R j sao m a p e a m e n t o s l i n e a r e s C° (M. ,R) + C° (NT ,R) 0 m e t o d o D e chamado c o n s i s t e n t e se a c o n d i c a o s e g u i n t e f o r s a t i s f e i t a .
d ) E x i t e urn m : 2 t a l que p a r a t o d o u €. Cm(ft",IR),
l i m || F j C f . r j O O ) - R ^ r ^ q ) ) H » - 0
2 A q u i r ^ = rMy f = r3 f i( u ) , e q ( x , y ) = V u p a r a t o d o ( x , y ) € ft 3.4 - E s t i m a t i v a de E r r o Tendo r e s o l v i d o as e q u a g o e s a d i f e r e n g a s f i n i t a com urn i n t e r v a l o p a r t i c u l a r , g o s t a r i a m o s de s a b e r quao boa e a n o s s a r e s p o s t a , i s t o e, q u a n t o e l a d i f e r e em c a d a p o n -t o da m a l h a da s o l u c a o v e r d a d e i r a da e q u a g a o d i f e r e n c i a l e como o e r r o d e v e r i a d e c r e s c e r q u a n d o tomamos i n t e r v a l o s me-n o r e s .21
Uma d i s c u s s a o de a l g u n s r e s u l t a d o s r e l e v a n t e s n e s t a a r e a e dada p o r H u b b a r d , d e s c r i t a em Fox [ ^ 1 1 ^ e que p r o c u r a r e m o s r e s u m i r . C o n s i d e r e a e q u a c a o de P o i s s o n V2u = F ( x , y ) ( a ) u = f ( x , y ) no c o n t o r n o 9ft e assuma que a s o l u g a o u ( x , y ) t e n h a a q u a r t a d e r i v a d a c o n t i n u a no i n t e r i o r da r e g i a o . I s -t o s e r a v e r i f i c a d o p o r uma a n a l i s e a p r i o r i . Se u ( x , y ) t i -v e r urn c o m p o r t a m e n t o s u a -v e no c o n t o r n o , e n t a o a f o r m u l a de c i n c o p o n t o s n o s p o n t o s i n t e r n o s r e g u l a r e s ( n o s q u a i s t o d o s o s v i z i n h o s e s t a o d e n t r o da r e g i a o ) tern e r r o de t r u n -2 c a m e n t o l o c a l 0 ( h ) . Em s i t u a g o e s menos s u a v e s H u b b a r d d i s c u t e o c a s o onde F ( x , y ) na e q u a g a o ( 9 ) e t a l q u e , p r o x i m o a urn p o n t o s i n g u l a r no i n t e r i o r da r e g i a o , a s o l u g a o u ( x , y ) e f i n i t a mas tern d e r i v a d a s que se c o m p o r t a m de a c o r d o com
| 9 ' u ( x , y ) | = O C r ^ + l ) , j = 1,2,3,4 ( 1 0 )
o n d e r e a d i s t a n c i a do p o n t o s i n g u l a r .
E l e e n t a o d e s c o b r i u uma e s t i m a t i v a e f e t i v a
e ( x , y ) = 0 ( ha+ h2) ( 1 1 )
( 1 0 ) e v a l i d o . A e s t i m a t i v a de e r r o d e s c o b e r t a e e ( x , y ) - 0 ( ha+hi + 2) ( 1 2 ) P a r a i s t o e l e d e r i v a os r e s u l t a d o s p a r a o c a s o a c i m a , no q u a l o c o n t o r n o e c o m p o s t o de f r a g m e n t o s de a r c o s a n a l i t i c o s , o b t e n d o a f o r m u l a | 3 JU( xAy ) | = 0 ( ra" J ) , j = 0 , 1 , 2 , . , . ( 1 3 ) 0 e r r o em ambas a s f o r m a s e i g u a l a ( 1 1 ) * R e s u l t a d o s p o s t e r i o r e s d e s t e t i p o , e p a r a a e q u a g a o de P o i s s o n em m a i s de d u a s d i m e n s o e s sao d a d a s p o r B r a m b l e e o u t r o s c o n f o r m e Fox —1 1 J. Uma c a r a c t e r i s t i c a im p o r t a n t e do a r t i g o e que as e s t i m a t i v a s sao e x p r e s s a s em t e r m o d o s c o m p o r t a m e n t o s de F e f e nao em r e l a c a o a i n c 5 g -2 n i t a u , onde os c o e f i c i e n t e s de V e o c o n t o r n o sao i n f i n i -t a m e n -t e d i f e r e n c i a v e i s . 0 r e s u l -t a d o p r i n c i p a l e que se o g r a u de p r e c i s a o da a p r o x i m a c a o das e q u a g o e s a d i f e r e n g a s f i n i t a s f o r 0 ( h ) , e a m a t r i z r e s u l t a n t e f o r do t i p o p o s i -t i v o , e se F e f , -tern d e r i v a d a s c o n -t i n u a s de o r d e m m a i o r que m < k, e n t a o a r a z a o da c o n v e r g e n c i a e 0 ( hm) ; c a s o k m > k a r a z a o da c o n v e r g e n c i a s e r a 0 ( h ) . E s t e s r e s u l t a d o s p a r a o c a s o s i n g u l a r i n d i c a m
23 que d e v e r e m o s u s a r m a l h a s m u i t o p e q u e n a s em m e t o d o s nao r e f i n a d o s , p a r a c o n s e g u i r uma p r e c i s a o r a z o a v e l p a r a a a p r o x i m a g a o U. 3.5 - T r a t a m e n t o D e s c r i t i v o d a C o n v e r g e n c i a S e j a u uma r e p r e s e n t a c a o da s o l u g a o e x a t a da e q u a g a o d i f e r e n c i a l p a r c i a l e U uma s o l u g a o a p r o x i m a d a . E n t a o a s o l u g a o e d i t a c o n v e r g e n t e quando U t e n d e p a r a u quando h t e n d e a z e r o . Embora a c o n d i g a o a c i m a s e g u n d o a q u a l U c o n v e r g e p a r a u e s t e j a bem e s t a b e l e c i d a p a r a e q u a g o e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s e l i p t i c a s l i n e a r e s , p a r a b o l i c a s e h i p e r b o l i c a s de s e g u n d a o r d e m com s o l u g o e s s a t i s f a z e n d o j u s t a -m e n t e as c o n d i g o e s g e r a i s de c o n t o r n o e i n i c i a l , e l a s nao sao c o n h e c i d a s p a r a e q u a g o e s nao l i n e a r e s , e x c e t o em p o u -c o s -c a s o s p a r t i -c u l a r e s . Como o n o s s o e s t u d o r e f e r e - s e a e q u a g o e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s l i n e a r e s e l i p t i c a s de s e g u n da o r d e m , com s o l u g o e s s a t i s f a z e n d o as c o n d i g o e s de D i r i -c h l e t , nao nos i m p o r t a m o s -com as e q u a g o e s nao l i n e a r e s .
3.6 - D i s c r e t i z a g a o da Equagao de P o i s s o n S e j a a e q u a g a o V u = F onde u e F sao f u n g o e s de x e y, i s t o e, f u n g o e s de d u a s v a r i a v e i s , com a c o n d i g a o de c o n t o r n o de D i r i c h l e t . u ( x , y ) = 0 p a r a ( x , y ) £ 3ft p a r a a r e g i a o r e t a n g u l a r 2 ft = { x , y [ 0 < x < a , 0 < y < b ) QR com o c o n t o r n o 3ft U t i l i z a n d o a f o r m u l a de c i n c o p o n t o s na m a l h a de d i s c r e t i z a g a o
25 S e g u e - s e que a2 U.
, . +
U.. . -
2U-.
. 2
,2 9x h a2 U.. . +
U.. . -
2U.•
9 y2 k2n 2
92u 92u I T como V u = — - + — - , com h = k ,2
2 9 xz 9 yz t e m o s U. , . + U. , . + U. . , + U- .A l • 4U. . = f ( i , j ) i - l , 3 1 + 1,3 i , 3+l i , 3 J o n d e f ( i , j ) = h2F ( x .ty . ] . V a r i a n d o i e j de modo que t o d o s o s p o n t o s da r e g i a o s e j a m c o n s i d e r a d o s , r e s u l t a um s i s t e m a l i n e a r , c u j a m a t r i z d o s c o e f i c i e n t e s tern a e s t r u t u r a e t a m a n h o N x M.-4 1 0 1-4 1 • % « • • • 1-4 1 0 1-4
i
:o
•u
l ; 2 • * L'i,M
fi , i '
fl , 2 * * * £1,M 1 0 • • * 0 1 -4 1 0 1 -4 1 » % * % • • 1 -4 1 0 1 - 4 * * * • U2 , l U2,2 U2,M = 2,1 f2,2 f2 ,M * * • * 1 0 • 0 1•
= 1 0 * * * * 0 1 -4 1 0 1-4 1 » *| » • % •» 1 -4 11 0 1 - 4 UN,1 % , 2 » * UN,M =V l
£N,2 * • fN,M Os N b l o c o s ao l o n g o da d i a g o n a l r A = -4 1 0 1 - 4 1 0 1 - 4 1 1 -427
sao MxM, t e n d o 3M-2 e l e m e n t o s nao n u l o s . Os 2N-2 b l o c o s da s u b - e s u p e r - d i a g o n a i s sao m a t r i z e s i d e n t i d a d e s c a d a urn com M e l e m e n t o s nao n u l o s . A m a t r i z p e n t a d i a g o n a l tern o t o t a l de 5MN-2M-2N e l e m e n t o s .
F A S T P O I S S O N S O L V E R S 4.1 - I n t r o d u c a o D u r a n t e os u l t i m o s 10 a n o s t o r n o u - s e a l t a m e n t e p o p u l a r r e s o l v e r a e q u a c a o d i s c r e t a de P o i s s o n ( e p r o b l e m a s c o r r e l a t o s ) a t r a v e s de m e t o d o s d i r e t o s ao i n v e s de i t e r a t i -vo s. P r i m e i r a m e n t e t a i s m e t o d o s f o r a m a p l i c a d o s a p e -n a s a s e q u a g o e s de P o i s s o -n -numa g r a d e r e t a -n g u l a r NxM, o-nde k N e r a r e s t r i t o a f o r m a N = 2 . M a i s r e c e n t e m e n t e , os m e t o d o s d i r e t o s f o r a m a p l i c a d o s a o u t r a s r e g i o e s r e t a n g u l a r e s com N a r b i t r a r i o , a r e g i o e s i r r e g u l a r e s e a e q u a g o e s e l i p t i c a s g e r a i s s e p a r a -v e i s . M u i t o s dos a l g o r i t m o s d e s e n v o l v i d o s p a r a a e q u a
-29 cao de P o i s s o n caem em d u a s c a t e g o r i a s a p a r e n t e m e n t e d i s t i n t a s : as b a s e a d a s n a d e c o m p o s i c a o de F o u r i e r numa d i m e n -s a o , u -s a n d o a -s t e c n i c a -s da t r a n -s f o r m a d a r a p i d a de F o u r i e r (FFT) e as b a s e a d a s n a r e d u g a o b l o c o c i c l i c a ( a l g o r i t m o de B u n e m a n ) . E* n a t u r a l p e r g u n t a r m o s q u a l d a s d u a s a b o r d a g e n s l e v a ao a l g o r i t m o m a i s r a p i d o ; p e l o que d i s p o m o s a r e s p e i t o , a r e s p o s t a nao e c l a r a . P o r e x e m p l o , Sweet ( 1 9 7 3 ) ( s e g u n d o ! ~ 1 7 ~ ] ) a c h a que p a r a urn p r o b l e m a em p a r t i c u l a r , o a l g o r i t -mo de Buneman e p e l o menos d u a s v e z e s m a i s r a p i d o que o met o d o b a s e a d o em FFT e n q u a n met o F i s c h e r e met a l i i ( 1 9 7 4 ) ( s e g u n -d o - [""17""]) a c h a q u e os m e t o -d o s FFT sao m a i s r a p i -d o s . As r a z o e s p a r a e s t a c o n f u s a o sao d e v i d a s a v a -r i e d a d e de m e t o d o s d i s p o n i v e i s .que p o d e -r a o s e -r u s a d o s n a a p l i c a g a o d o s a l g o r i t m o s ( p r i n c i p a l m e n t e as t r a n s f o r m a d a s r a p i d a s de F o u r i e r e a s o l u g a o de s i s t e m a s t r i d i a g o n a i s ) e n a s s u p o s i g o e s f e i t a s p o r d i f e r e n t e s a u t o r e s . H o c k n e y ( 1 9 6 5 , 1 9 6 6 ) ( s e g u n d o r~ 1 7-] ) a p r e s e n t o u uma v a r i a n t e do a l g o r i t m o F A C R ( l ) no q u a l a a n a l i s e de F o u r i e r e c o m b i n a d a com urn p a s s o p r e l i m i n a r da r e d u g a o c i c l i c a . A l e m d o s m e t o d o s FFT, r e d u g a o b l o c o c i c l i c a ( a l g o r i t m o de Buneman) F A C R ( l ) , F A C ( l . l ) e x i s t e m o u t r o s m e t o -d o s -d i r e t o s t a i s como r e -d u g a o t o t a l ( S c h r o -d e r ( 1 9 7 3 ) , s e g u n do |~ 17 ~|) e m a r c h i n g ( f r o n t * e i r a ) (Schumann ( 1 9 7 8 ) ,
v e j a Q 17 H ) . D e s c r e v e m o s s o m e n t e q u a t r o v a r i a n t e s : M e t o d o Ba-s i c o FFT, M e t o d o b l o c o c i c l i c o ( a l g o r i t m o de B u n e m a n ) , FACR ( l , j ) ( H o c k n e y ) e FACR ( l , i ) ( H o c k n e y ) . T o d a s as q u a t r o v a r i a n t e s tern urn p o n t o de p a r t i -d a . I n i c i a l m e n t e -d i s c r e t i z a m o s a e q u a g a o -de P o i s s o n o b t e n -d o a s s i m s i s t e m a s de e q u a g o e s l i n e a r e s . P a r a a r e s o l u g a o dos s i s t e m a s de e q u a g o e s e que u t i l i z a m o s a s q u a t r o v a r i a n t e s c o n f o r m e a f i g u r a . D i s c r e t i z a g a o S i s t e m a / \ i / v. . M e t o d o M e t o d o M e t o d o M e t o d o B a s i c o B l o c o C i c l i c o F A C R ( l , j ) F A C R ( 1 , i ) FFT ( A l g o r i t m o H o c k n e y H o c k n e y Buneman)
31
4.2 - 0 Metodo B a s i c o F F T
Nos a q u i t r a t a r e m o s o m e t o d o b a s i c o FFT p a r a a e q u a g a o de P o i s s o n com as c o n d i g o e s de c o n t o r n o de D i r i c h l e t em i = 0 . N . Em c a d a l i n h a e x p r e s s a m o s os v a l o r e s da s o l u gao ( i n c l u i n d o os v a l o r e s de c o n t o r n o ) como soma d o s c o e -f i c i e n t e s de seno de F o u r i e r : N - l _ ( 1 ) U. . = 1 U, • s e n ( i k T r / N ) , 0 < i < N , 0 < j < M ' K = l * — — — — s u b s t i t u i n d o na e q u a g a o U. , . + U. , . + U. . , + U. . , - 4U-. = b . . 1-1,3 i + l , 3 i , 3 - l i , 3 + l 1,3 i , 3
obtemos (apos algumas m a n i p u l a g o e s ) ( N l ) s i s t e m a s t r i d i a -g o n a i s com M - l i n c o -g n i t a s , cada urn da forma
" k . j - l + V k . j + " k j + l = S k , j l < k < H - l . 11J1M-1 ( 2 ) onde = 2 c o s ( K T T / N ) - 4 e N - l )v . = (2/N) I b- .sen(ik7T/N) K'J i = l 1'J ( 3 ) 0 p r o c e s s o de s o l u g a o tern a s s i m t r e s e s t a g i o s No p r i m e i r o e s t a g i o e a p l i c a d a uma t r a n s f o r m a d a
do s e n o em c a d a l i n h a do 29 membro p a r a i m p l e m e n t a r a e q u a -gao ( 3 ) e o b t e m - s e os c o e f i c i e n t e s bv E n t a o a e q u a g a o ( 2 ) e r e s o l v i d a p a r a c a d a v a l o r de k no s e g u n d o e s t a g i o . No t e r c e i r o e s t a g i o e a p l i c a d a uma t r a n s f o r m a d a i n v e r s a de s e n o em c a d a l i n h a p a r a i m p l e -m e n t a r a e q u a g a o ( 1 ) . Podemos v e r i f i c a r que se n a o u s a r m o s o FFT t e r e -2 mos ( N - l ) ( M - l ) m u l t i p l i c a g o e s , ao p a s s o que u t i l i z a n d o FFT ao t o d o t e m o s que e x e c u t a r 2 ( M - l ) t r a n s f o r m a d a s de seno de c o m p r i m e n t o N e r e s o l v e r ( M - l ) s i s t e m a s t r i d i a g o n a i s de o r d e m ( M - l ) . P a r a c o n d i g o e s de c o n t o r n o p e r i o d i c a s onde i = 0 , N s u b s t i t u i m o s a t r a n s f o r m a d a de s e n o p e l a t r a n s f o r m a d a p e -r i o d i c a t o t a l N/2-1 U
i , j "
\
S0 , r 7 ( - »
i 5N / 2 , r
kf ,
f 5
k Jc o s ( 2 i k n / N .
+ UV . s e n ( 2 i k i r / N ) ) } ( 4 ) e o b t e m o s ( N / 2 + 1 ) s i s t e m a s da f o r m a u " k j - i + * A , j + " k j + i = \,y ° lkIN / 2 • ^ onde Xk = 2 c o s ( 2 k i T / N ) - 433 N - l b. . = ( 2 / N ) X b. . c o s ( 2 i k T T / N ) K. 3 i =o 1- J j u n t a m e n t e com ( N / 2 - 1 ) s i s t e m a s d a f o r m a Uk , j - 1 + X k U k , j + l = b k , j • l < k < N / 2 - l , l < j < M - l , onde e n o v a m e n t e dado p e l a e q u a g a o ( 5 ) e N - l bv . = ( 2 / N ) I b . . s e n ( 2 i k i T / N ) K' J i = o 1, J N e s t e c a s o t e m o s que e x e c u t a r 2 ( M - 1 ) t r a n s f o r m a d a s p e r i o d i c a s de c o m p r i m e n t o N e r e s o l v e r N s i s t e m a s t r i -d i a g o n a i s -de o r -d e m ( M - l ) . 0 numero de c o e f i c i e n t e s u s a d o s na s o l u c a o de s i s t e m a s t r i d i a g o n a i s e ( N / 2 + 1 ) ( M - l ) . N l -A s u b s t i t u i c a o de U. . p o r I Uv . s e n ( i k i T / N ) 1.3 K = 1 K , J p e r m i t e a o b t e n c a o de s i s t e m a s de e q u a c o e s t r i d i a g o n a i s , c u j a s s o l u c o e s sao m a i s r a p i d a s que os s i s t e m a s p o n t a d i a g o -n a i s o b t i d o s -n a d i s c r e t i z a c a o . A u t i l i z a c a o do FFT no c a l c u l o d a s s o m a t o r i a s d o s p r o d u t o s de U, . e b. . p e l o s e n f i k n / N ) , t r a z uma g r a n -K > J 1» J
de e c o n o m i a de tempo c o m p a r a d o com a c o m p u t a c a o d i r e t a . 4.3 - Redugao B l o c o C i c l i c a 0 m e t o d o e d e t a l h a d o em B u z b e e e t a l i i £ [ 6 ^ ] . Daremos a s e g u i r o a l g o r i t m o de Buneman p a r a a s o l u c a o da e q u a c a o d i s c r e t i z a d a de P o i s s o n . G e n e r a l i z a n d o o p r o b l e m a m o d e l o , i s t o e, a p o s a d i s c r e t i z a c a o da e q u a g a o de P o i s s o n no modo u s u a l , n o s o b t e m o s p a r a os v a l o r e s a p r o x i -mados U- - de u ( x . , y.) , x . = i h , y - = j k , h = a / ( N + l ) , k = b / ( M + l ) , a s e q u a g o e s -0i - i , jt 2 ui j - ° i * i , j * ui . j - i ^ui i - » i . j ^ i + rt'ij-*!]-*^-'^ h2 k2 P a r a i = 1,2,...,N , j = 1,2,...,M j u n t a m e n t e com os v a l o r e s de c o n t o r n o U0 j = UN + l , j = 0 p a r a j = •••.**+!. U- A = U. \it, -i = 0 p a r a i = 0 , 1 , . . . , N + l , l , (J l , M+1 o b t e m o s a s s i m p a r a as i n c o g n i t a s
35 U =
2 i
"
2
—M U. - J -L T . V
. 1 i j i M um s i s t e m a de e q u a g o e s l i n e a r e s , que p o d e s e r e s c r i t o n a f o r m a BU - b ( 6 ) com B = A I 0 I A I . I 0 I A b = b l * 2 —M ( 7 ) onde I = I e a m a t r i z i d e n t i d a d e NxN, A e a m a t r i z H e r -m i t i a n a NxM e B c o n s i s t e de M b l o c o s , c u j a o r d e -m de c a d a b l o c o e i g u a l ao numero de p o n t o s d a l i n h a . A o b s e r v a c a o s e g u i n t e e e s s e n c i a l p a r a o m e t o d o da r e d u g a o de Buneman. Podemos e s c r e v e r o s i s t e m a de e q u a -g o e s como U. -, + AU. + U. . = b . j = 2,3,...,M-1 ( 8 )— M - l —M —M Das t r e s e q u a g o e s c o n s e c u t i v a s U. _ + AU. , + U. - 0 - 2 - J - l — J U. , + AU. + U. . - l - l -3 - j + 1 podemos p a r a t o d o s j p a r e s j = 2 , 4 , . . . , e l i m i n a r o s v e t o r e s da s e g u i n t e m a n e i r a : m u l t i p l i c a n d o a s e g u n d a e q u a c a o p o r - A e somando com as o u t r a s d u a s e q u a c o e s t e r e m o s U j - 2 + C 2 I - A2) Uj + Uj + 2 - b . ^ - Ah. + b j + 1 P a r a M i m p a r , d e s t a f o r m a o b t e m o s o s i s t e m a r e -d u z i -d o 2 I - A ' I 2 I - A " 2 I - A ^2 "4
Hm-1
b l + b3 " A b-2 b3 + b5 ~ A^ 4 *>M-2 + b-M w Ab^ l - 1 ( 9 ) p a r a U-, ,... I m e d i a t a m e n t e uma s o l u c a o de ( 9 ) ( i s t o e o s s u b v e t o r e s l L , j com i n d i c e p a r e s ) e c o n h e c i d o , os v e t o r e s U,, U7, ... com i n d i c e s i m p a r e s podem s e r d e t e r m i n a d o s d a s37 e q u a c o e s s e g u i n t e s as q u a i s seguem i m e d i a t a m e n t e de ( 8 ) pa r a j = 1, 3... A
2l
" »2 " ^2 — £5 (10) % S i -M D e s t e modo, a s o l u c a o de ( 6 ) e r e d u z i d a p a r a a s o l u c a o do s i s t e m a com m e t a d e do numero de i n c o g n i t a s e s u b s e q u e n t e s o l u c a o de ( 1 0 ) . A g o r a ( 9 ) n o v a m e n t e tern a mesma e s t r u -t u r a de ( 7 ) . £( D „(!) = b ( D com B ( 1 ) A ™ I A (1) A ( 1 ) A <X> = 21 - A2U Ci>_ "2 -2 * * * * b < «
-s i "
* _ ^ M l — M - l D( 1 ) b l b3 ~ Ab2 b3 b5 - Ab4 b»,T
b,, - Ab., , -M-2 + -M - M - lde modo que a mesma r e d u c a o d e s c r i t a a c i m a p o d e s e r u n o v a -m e n t e a p l i c a d a p a r a e t c . E-m g e r a l p a r a M = Mn= 2k + 1- 1 , o b t e m o s d e s t e modo a s e q u e n c i a de m a t r i z e s A fr~) bv , c o n f o r m e p r o c e d i m e n t o s e g u i n t e . Cr) '0 e v e t o r e s ( 1 1 ) I n i c i a l d z a c a o :. D e f ina_.A ^ °^ =A; bj^*»b. j = l , 2 , . . . , M, M0= M = 2k + 1- l P a r a r = 0 , 1 , 2 , k - 1 ; P o r a ) = 21 - ( A W ) 2
b) b j
r + 1 )- bJf
rAWbJ;) j = l , 2 , . . . , 2
k + 1- l = M
r + 1 P a r a c a d a e s t a g i o r + 1 , r = 0 , 1 , .., , k l , a s s i m o b t e m o s o s i s -tema de e q u a c a o l i n e a r B( r + 1 ) T j (r + 1) =b ( r + 1) o u , e s c r e v e n d o na f o r m a c o m p l e t a39
(r+1)
I 0 A( r + 1 ) = —M r + 1 • E s t a s o l u c a o u'-r + "'""' f o r n e c e i m e d i a t a m e n t e ( r ) os s u b - v e t o r e s com i n d i c e s p a r e s da s o l u c a o UL J do s i s t e m a de e q u a c o e s c o r r e s p o n d e n t e s B J I P J = b no e s t a g i o r» = * r - 1 *u
( r + 1 ) r + 1 e n q u a n t o o s s u b v e t o r e s com i n d i c e s i m p a r e s de U s e r o b t i d o s p e l a s o l u c a o da e q u a c a o ( r ) podemA
( r )A
( r ) 0 ( r ) U j r ) -3 U ( r ) b l ( r ) ( r ) -2 U ( r ) - 2- u
( r ) —M —M , r r - 1Dos d a d o s A ^ , b ^ p r o d u z i d o s p o r ( 1 1 ) , a s o l u c a o
U=u/
0 ) de ( 7 ) e a s s i m f i n a l m e n t e o b t i d a p e l o s e g u i n t e p r o c e d i m e n -t o : a) I n i c i a l i z a c a o : D e t e r m i n e = p e l a s o l u c a o do s i s t e m a de e q u a c o e s A( k ) y ( k ) = t ( k ) = fe(k) b ) P a r a r = k - 1 , k-2 ,.. .,0 1 ) F a z e r 0 ™= u j
r + 1^
; j - 1 . 2 . . . ^ - 2 k + 1 - l 2) P a r a j = 1,3,5,...,M c o m p u t e o v e t o r ( r ) Ul J p e l a s o l u c a o de j A ^ U ^ = b ^ - U ^ - U ^ )( U ^
r )= u i
r ) = 0 ) c ) F a z e r U = U r + 1 ( 0 ) Com o a l g o r i t m o n a f o r m a ( 1 1 ) e ( 1 2 ) t e m s e s e r i a s d e s v a n t a g e n s n u m e r i c a s . Em p r i m e i r o l u g a r , a c o m p u t a -cao e x p l i c i t a de A^r+"'"-' = 2 I - ( A ^r- ' )2 em ( 1 1 . a ) e d i s p e n -d i o s a . A m a t r i z t r i -d i a g o n a l = A ao i n c r e m e n t a r .r , a f r ) m a t r i z A t o r n a - s e r a p i d a m e n t e d e n s a que e uma m a t r i z b a n d a com a l a r g u r a de b a n d a (2 + 1 ) , de modo q u e , p r i m e i -- ( r ) 2 r a m e n t e f a z - s e a c o m p u t a c a o de (A ) , e em s e g u i d a a s o l u c a o do s i s t e m a de e q u a c o e s l i n e a r e s em ( 1 2 . b . 2 ) . A m e d i d a que r c r e s c e a c o m p u t a c a o t o r n a s e m a i s e m a i s d i s-4 1 p e n d i o s a . P a r a o p r o b l e m a m o d e l o ( 6 ) , i s t o e, com -4 1 0 1 -4 1 0 1 - 4 A ( 0 ) > 4
L
A <r> | | - | | A( r- ^ ! ! > 42r de m a n e i r a que na c o m p u t a c a o de b j r + 1 ^ em ( 1 1 . b ) i n c o r r e m o s em s u b s t a n c i a l n e g l i g e n c i a da p r e c i s a o p a r a g r a n d e s v a l o r e s de r , a s s i m em g e r a l ,ILA<
R)BG>n>
i l ^ i r . i i b W j i , . .
( r l f r l e p o r t a n t o da i n f o r m a c a o c o n t i d a em b ^ j l ' — 2 j + l ' a o e£e -t u a r a a d i c a o em ( 1 1 ) o b -t e m - s e uma r e s p o s -t a n a o p r e c i s a .Ambos o b s t a c u l o s podem s e r e v i t a d o s p o r uma r e -f o r m u l a c a o c o n v e n i e n t e do a l g o r i t m o .
- " ( r )
A c o m p u t a g a o e x p l i c i t a de A1 J e e v i t a d a se e x
-( r )
p l o r a r m o s o £ato que AK J pode s e r r e p r e s e n t a d a como urn
p r o d u t o de m a t r i z e s t r i d i a g o n a i s .
Temos, p a r a t o d o r > 0, 2 r A(r) = _ -r-r f _ r A + ? ™T T r - ( A + 2 c o s 9 Vc n ( r ) rJ l ) n , i = l 3 o n d e 0 Jr )= ( 2 j - l ) T r / 2r + 1 p a r a j = 1,2, 2r P r o v a : P o r ( 1 1 . a ) , t e m o s com A^-* = A, A ^ + 1) = 21 - ( A ^ ) 2 d e s t a m a n e i r a e x i s t e urn p o l i n o m i o P ( t ) de g r a u 2r t a l que Ar ( r ) = Pr( A ) ( 1 4 ) E v i d e n t e m e n t e , o p o l i n o m i o Pr s a t i s f a z P0( t ) = t Pr + 1 ( t ) = 2 - ( Pr( t ) )2, d e s t e modo P^ tern a f o r m a Pr( t ) = - ( - t ) 2 r + ... ( 1 5 ) A g o r a m o s t r a r e m o s p o r i n d u g a o m a t e m a t i c a , u s a n d o a s u b s t i t u i c a o t = -2 c o s O , que Pr( - 2 c o s 0 ) = 2 c o s ( 2r9 ) ( 1 6 ) A f o r m u l a e t r i v i a l p a r a r = 0 . Se e l a f o r v a l i d a p a r a a l g u m r > 0, e n t a o , p a r a r + 1
43 Pr + 1C - 2 c o s 9 ) = 2 - ( Pr( - 2 c o s 9 )2 = 2 - 4 c o s2( 2r9 ) = - 2 c o s ( 2 . 2r9 ) = - 2 c o s ( 2r + 19 ) Na v i s a o de ( 1 6 ) o p o l i n S m i o P ( t ) t e m 2 d i s -t i n -t o s z e r o s r e a i s . 2
.-1
t = 2 c o s ( - i _ T T ) , j = 1 , 2 , . . . , 2r, 2r + 1 e p o r t a n t o , p o r ( I S ) a a p r e s e n t a c a o do p r o d u t o 2 r P ^ ( t ) = --TT r - ( t - t , ) ^ j = i -J
D i s t o , em v i r t u d e de ( 1 1 ) , a a f i r m a c a o do t e o r e m a segue de i m e d i a t o . 0 t e o r e m a p r e c e d e n t e p o d e s e r a g o r a e m p r e g a d o , na p r a t i c a p a r a r e d u z i r a s o l u c a o dos v a r i o s s i s t e m a s de e q u a -g o e s ( r ) em ( 1 2 . b . 2 ) , com as m a t r i z e s , r e c u r s i v a m e n t e p a r a a s o l u c a o d o s 2r s i s t e m a s de e q u a c o e s com m a t r i z e s t r i d i a g o -n a i s A ^r ) = - A - 2 c o s 9 Jr') , j - l , 2 , . . . , 2rcomo segue A *•J v _ = u , » v ^ x = -v
2
rV -
2r -
1 == ^ - 2
r= > - V
A s s i m , como e f a c i l v e r i f i c a r , a s m a t r i z e s t r i d i a g o n a i s ( r ) Aj- •* p a r a n o s s a d i s c r e t i z a g a o do p r o b l e m a sao p o s i t i v a s d e f i n i d a s . Podemos r e s o l v e r e s t e s s i s t e m a s m u i t o e c o n o m i c a -f r l m e n t e p o r m e i o da f a t o r a c a o t r i a n g u l a r de A\ J . A i n s t a b i l i d a d e n u m e r i c a que o c o r r e em (11.b) ( r ) p o r c a u s a do c r e s c i m e n t o e x p o n e n c i a l da n o r m a de A^ J pode s e r e v i t a d a , s e g u i n d o a s u g e s t a o de Buneman, p e l a i n t r o d u -qao no l u g a r de b ^r^ o u t r o s v e t o r e s P^r^, q ^r^ , f r ) j = l , 2 , . . . , Mr, o s q u a i s e s t a o r e l a c i o n a d o s com b j - J do s e -g u i n t e modo b j r ) .A
( r )F J
r ) + aj
r^
j = l , 2 , . „., Mr(18)
e o q u a l pode s e r c o m p u t a d o n u m e r i c a m e n t e de uma m a n e i r a ( r ) ( r ) ( r ) m a i s e s t a v e l que b. J , Os v e t o r e s P. , q : J com e s t a s p r o-p r i e d a d e s sao g e r a d a s r e c u r s i v a m e n t e como se segue
I ' n i c i a l i z a g a o : F a z e r P. = 0, < L j ^ ~ k j =
45 P a r a r = 0 , 1 , . . . , k - 1 Compute p a r a j = 1,2,...,M ^
A) J F « - PG) . (A^-))-
1CIGL! - A # 3 .
N a t u r a l m e n t e , a c o m p u t a c a o de P ^r +^ n o s u b p a s s o ( a ) a t i n g e p r i m e i r o d e t e r m i n a n d o , como e x a t a d e s c r i g a o a s o l u c a o u do s i s t e m a de e q u a c o e s f r") Com o a u x i l i o d a f a t o r a c a o de A •* n o t e o r e m a ( 1 3 ) , e e n t a o c o m p u t a n d o P.r+"*^ de u p o r m e i o de p . <r + 1> =-J
- 2 j - ' p e r m i t e n o s p r o v a r i ." p o r i n d u c a o em r que o s v e t o -r e s P_j , q j ' , d e f i n i d o s p o -r ( 1 9 ) , s a t i s f a z e m a -r e l a g a o ( 1 8 ) . P a r a r = 0 ( 1 8 ) e t r i v i a l . A s s u m i n d o que ( 1 8 ) e v e r d a d e i r a p a r a a l g u m r > 0, vamos m o s t r a r que e v e r d a d e i r a p a r a r + 1 . P o r c a u s a de ( 1 1 , b ) e A(-r + 1-) = 2 I - ( Al-r' ) , t e m o s e n t a o b <r + 1> - h « +b<T> - A <r' b < ? ~ 2 j + l " " 2 j - l ~Z J= A ( r + 1) ( r + 1) ( r + 1) - j * j Por ( 1 8 ) podemos a g o r a e x p r e s s a r o s v e t o r e s b^r-' ( 1 2 ) n o s f r ) f r " ) t e r m o s de P j J, q j J e o b t e r , p o r e x e m p l o de ( 1 2 . b . 2 ) de ( r ) U: o s i s t e m a de e q u a c o e s - j — J - J - l + 1 o q u a l p o d e s e r r e s o l v i d o como s e g u e : D e t e r m i n e a s o l u c a o u de P u s a m o s n o v a m e n t e a f a t o r a c a o do t e o r e m a ( 1 3 ) " j e f a z e m o s u £r^ = u + P ?1^ . S u b s t i t u i n d o d e s t e modo b^ em ( 1 1 ) , ( 1 2 ) - J j — j
s i s t e m a t i c a m e n t e p o r p j 1 ^ e q{r^ , o b t e m o s o A l g o r i t m o Buneman Suposica'o : C o n s i d e r e o s i s t e m a de e q u a c o e s BU = b , com M = 2 k + 1 - l a ) I n i c i a l i z a c a o : F a z e r = 0, = b . , j = 1 , 2 Mn b ) P a r a r = 0 , lr. . . , K - l p a r a j = l , 2 , . . . , Mr + 1 = 2 k ~ r - l Compute a s o l u g a o u do s i s t e m a de e q u a c o e s - — 2 j - 1 - 2 j + l 3-2j p o r m e i o da f a t o r a c a o do t e o r e m a ( 1 3 ) e f a c a P( r + D . p ( r ) ( r + 1) = ( r ) ( r ) ( r + 1 ) L j L2j H»£Lj ^ 2 j - l + tl 2 j + l Z£ j c ) D e t e r m i n e a s o l u c a o u do s i s t e m a de e q u a c o e s e f a c a d ) P a r a r = k - 1 , k-2,...,0 1) F a c a = Uj ( r + 1 ) p a r a j = 1 , 2 ,Mr + 1
2) P a r a j = 1,3,5,...,M , d e t e r m i n e a s o l u g a o u do s i s t e -ma d e e q u a g o e s - - J - 3 - 1 - 3 + 1 e f a g a U ?1^ = P ^ + u -3 -3 e) F a c a U • U1-0-5 E s t e m e t o d o e m u i t o e f i c i e n t e . Uma o p e r a c a o i m -p o r t a n t e m o s t r a que -p a r a a s o l u c a o do -p r o b l e m a m o d e l o ( 6 ) ( c = b = l , p = q = N = 2 - i ) s com N2 i n c o g n i t a s , n e c e s s i t a m o s de 2 2 a p r o x i m a d a m e n t e 3KN = 3N l o g 2 N m u l t i p l i c a g o e s e c e r c a do mesmo n u m e r o de a d i g o e s . Uma a n a l i s e d a e s t a b i l i d a d e nume-r i c a do m e t o d o f o i f e i t a p o nume-r B u z b e e , G o l u b e N i e l s o n Q 6 ~ l . Na f o r m a d e s c r i t a , o m e t o d o s e r v e p a r a r e s o l v e r o s i s t e m a de e q u a c o e s l i n e a r e s p r o v e n i e n t e da d i s c r e t i z a c a o da e q u a c a o de P o i s s o n com v a l o r de c o n t o r n o de D i r e c h l e t com d o m i n i o s r e t a n g u l a r e s . 4.4 - Metodos F A C R ( l ) 4.4.1 - A l g o r i t m o F A C R ( l , j ) de H o c k n e y H o c k n e y [ ~ 1 2 ^ [ m o s t r o u que m e t a d e d a s t r a n s f o r
-49 madas no m e t o d o b a s i c o FFT pode s e r e l i m i n a d a p r i m e i r o e x e -c u t a n d o urn p a s s o da r e d u -c a o -c i -c l i -c a na d i r e -c a o j , e l i -m i n a n d o t o d o U. -, co-m j i -m p a r . i»J P a r a i s s o tomamos a s e q u a g o e s de 5 p o n t o s , onde ( i , j ) s a o a s c o o r d e n a d a s do p o n t o c e n t r a l .
U. , .+U. - ,+U. . ,+U. .-4U. . = b . . , l - l , j 1,3-1 i . J - 2 i , g i , J - l 1,3-1 1 - 2 , j i , j 1-1,3+1 l - l , J + l 1-1,3 1-1,3
" i - u ^ i . j ^ i . j - i ^ i . j . i - ^ i . j •
bi , j
Ui . l J . l *
Bi * l . J * l '
0i . j
4 Oi . J * 2 -
4i . J * l
= bi . j * l
M u l t i p l i c a n d o a s e g u n d a e a q u a r t a e q u a g a o p o r - 1 , a t e r c e i r a p o r 4 e em s e g u i d a a d i c i o n a n d o a s c i n c o e-q u a c o e s , a s e e-q u a g o e s r e s u l t a n t e s f i c a m n a f o r m a :U. . 0- U . , -+8U. , --16U. .+8U\ , ,-U-., -+U. = 1,1-2 1-2, j 1-1,3 i . J . 1 + 1> J i+ 2» J i , J + 2 " bf-1} = b- . , - b . , -+4b. - - b -+ 1 -+b- ... ( 2 0 ) u i , j i , j - l 1-1,3 i , 3 i . J + l l < i < N e l < j < M Com a s s e g u i n t e s c o n d i g o e s P a r a i - l < l , i - 2 < l , j - K l , j - 2 < l i + l > N , i + 2 > N , j + l > M e j + 2 > M t e m o s U. - = 0 i , 3
N o v a m e n t e podemos e s c r e v e r U. . como na e q u a c a o ( 1 ) ( d e s t a v e z so p a r a j p a r ) e o b t e m o s ( c o n d i g o e s de c o n -t o r n o de D i r i c h l e -t em i = 0 , N ) s i s -t e m a s -t r i d i a g o n a i s da f o r m a u, • -,+x;-u. .+U, k , j - 2 k k , j k , j + 2 b k j • i ik£N- l . J 2,4, ..
.,M-;
o n d e Xr = 2-4 ( c o s ( k i r / N ) - 2 ) e b ^1} = (2/N) V h i 1 } s e n ( i k i T / N ) ( 2 1 ) C o n s e q u e n t e m e n t e p r i m e i r o o b t e m o s b . ^ } p a r a j i»J p a r u s a n d o a equagao ( 2 0 ) ; e n t a o e x e c u t a n d o a t r a n s f o r m a d a do s e n o p a r a j p a r u s a n d o a e q u a g a o ( 2 1 ) . S e g u i n d o a s o l u gao de ( N l ) de s i s t e m a s t r i d i a g o n a i s de o r d e m (M/21) e x e c u t a m o s a s t r a n s f o r m a d a s i n v e r s a s do seno p a r a j p a r e f i -n a l m e -n t e a s o l u g a o IK .. p a r a j i m p a r e o b t i d a r e s o l v e -n d o s i s t e m a s t r i d i a g o n a i s ao l o n g o d a s l i n h a s . P a r a o m e t o d o de H o c k n e y o numero de c o e f i c i e n -t e s do s i s -t e m a r e q u e r i d o p a r a s o l u g o e s -t r i d i a g o n a i s e ( M / 2 - 1 ) ( N - l ) nas c o n d i g o e s de c o n t o r n o de D i r i c h l e t com i = 0 , N . 4.4.2 - F A C R ( l , i ) Em c o m p a r a g a o com o m e t o d o b a s i c o FFT, o a l g o -r i t m o de H o c k n e y d i v i d e o nume-ro de t -r a n s f o -r m a d a s de PRAT51 F o u r i e r r e q u e r i d a s f o r m a n d o um c o n j u n t o de e q u a g o e s e n v o l -v e n d o U. . a p e n a s p a r a j p a r . Uma e s t r a t e g i a a l t e r n a t i -v a e i»3 o b t e r a m e t a d e do numero d a s t r a n s f o r m a d a s de F o u r i e r f o r -mando um c o n j u n t o a n a l o g o e n v o l v e n d o U. . a p e n a s p a r a i i»3 p a r . Sejam a s e q u a g o e s de c i n c o p o n t o s c o n s e c u t i v o s
U. - -+U- .+U. - i . ,+U. . .A l- 4 U . , • = b. . •
1-2,J i , j l - l , j - 1 l - l . j + l l - l , J l - l , J
U. - i • -,+U. . . ,+U. - ~+U. .-4U. . , = b- . , i - l , j - l l + l , 3 - I i , j - 2 1,3 i , l - l 1,1-1
U. , -+U. . -+U- • ,+U- •i 1- 4 U - - = b. •
1-1,3 i l , l i i 3 - l i O + + l i . J i , 3 i - l . j + 1 l + l , J + l 1,3 i , 3 + 2 i . 3 +l i , 3+l 0i . j *0i * M * » i * i . j - i * » i V i . J * i -4 0i * i . j * b i + u M u l t i p l i c a n d o a s e g u n d a e q u a r t a e q u a c a o p o r - 1 , a t e r c e i r a p o r 4 e em s e g u i d a a d i c i o n a n d o a s c i n c o e q u a -g o e s , a s e q u a -g o e s r e s u l t a n t e s sao da f o r m a U. n --U. - 9+ 8 U . • n- 1 6 U . -+8U. .+ 1- U - -+ ?+ U . 7 • 1-2,3 i , 3 - 2 i , 3 - l 1-3 i . 3+ l i , 3 + 2 i+2 , 3 = b
i
1}
=
b . , - b . . n +4b- - - b. ... i , 3 1-1.3 i , 3 - l i , 3 i . 3 +l + b-i + l,3" (22) l < i < N e l < j < MCom a s s e g u i n t e s c o n d i c o e s : P a r a i - l < l , i - 2 < l , j - l < l , j - 2 < l i + l > N , i + 2 > N , j + l > M e j + 2 > M t e m o s U. = 0 Em c a d a l i n h a a g o r a t e m o s ( N / 2 + 1 ) v a l o r e s de U- . ( i n c l u i n d o os p o n t o s de c o n t o r n o ) e e s t e s podem s e r i»J e x p r e s s o s como somas de ( N / 2 - 1 ) c o e f i c i e n t e s de s e n o : N / 2 - 1 . Uo • . = I U, . s e n ( 2 i k i T / N ) 0 < i < N / 2 , 0 < j < M ' 3 k = l — — — — S u b s t i t u i n d o na e q u a g a o ( 2 2 ) o b t e m o s N / 2 1 s i s t e m a s p e n t a -d i a g o n a i s c a -d a um -dos q u a i s p o -d e n -d o s e r f a t o r a -d o n a f o r m a o < k < N / 2 + l e 0<;j<M o n d e A^ = 2 c o s ( k n / N ) - 4 e N / 2 - 1 m bv • = (4/N) I b U J s e n ( 2 i k i T / N ) ( 2 4 ) K'J i = l 2 1 , j 0 < j < M Donde o a l g o r i t m o p r o s s e g u e : o l a d o d i r e i t o da e q u a g a o ( 2 2 ) e c a l c u l a d o em t o d o s os p o n t o s da g r a d e com i p a r , E n t a o a e q u a g a o ( 2 4 ) e i m p l e m e n t a d a , e n v o l v e n d o ( M - l ) t r a n s f o r m a d a s
53 de seno c a d a uma de c o m p r i m e n t o N/2, A s e g u i r o s ( N / 2 - 1 ) s i s t e m a s de e q u a g o e s p e n t a d i a g o n a i s ( 2 3 ) , s a o r e s o l v i d o s . E n t a o sao, e x e c u t a d a s ( M - l ) t r a n s f o r m a d a s de seno i n v e r s a s c a d a um de c o m p r i m e n t o N/2 p a r a o b t e r U?• • e f i n a l m e n t e z 1,
j
U. . p a r a i i m p a r e o b t i d o r e s o l v e n d o s i m p l e s s i s t e m a s t r i -d i a g o n a l s n a -d i r e c a o j . P a r a c o n d i g o e s de c o n t o r n o p e r i o d i c a em i = 0 , N p o d e s e r d e r i v a d o um a l g o r i t m o s i m i l a r . 0 numero de c o e f i c i e n t e s r e q u e r i d o p a r a s i s t e m a s t r i d i a g o n a i s e o mesmo que p a r a o m e t o d o b a s i c o FFT. N o v a m e n t e a s o l u g a o pode s e r r e e s c r i t a e o u n i c o e s p a g o de t r a -b a l h o r e q u e r i d o e p a r a FFT, 4.5 - E q u a g a o de P o i s s o n em R e g i o e s I r r e g u l a r e sQuando a s r e g i o e s n a o sao r e t a n g u l a r e s e l a s sao e m b u t i d a s numa r e g i a o r e t a n g u l a r . Damos a s e g u i r a l g u n s e x e m p l o s de como r e s o l v e r a e q u a g a o .
1 - S e j a R uma r e g i a o r e t a n g u l a r com um r e t a n g u l o i n t e r i o r r e m o v i d o , c o n f o r m e f i g u r a
P a r a s i m p l i c i d a d e a s s u m i m o s que o c o n t o r n o d i s -c r e t o BR^ e um s u b -c o n j u n t o de 8R. 0 r e t a n g u l o e m b u t i d o e R', = R^ U U . A e x t e n s a o da f u n g a o r e q u e r n e s t e exem-p l o , que f s e j a d e f i n i d a ( a r b i t r a r i a m e n t e ) em U . P a r a d e f i n i r e s t a e x t e n s a o , podemos f i x a r £ = 0 em KJ o u podemos d e f i n i r f t a l que s e j a c o n t i n u a em t o d o s os p o n t o s de Rh. P o r t a n t o , no e x e m p l o c o n s i d e r a m o s a f u n g a o f t a l que f = 0 em \J T^, e a s o l u g a o e e n c o n t r a d a a t r a v e s de um m e t o d o q u a l q u e r .
55 2 - C o n s i d e r e m o s a r e g i a o a b a i x o E s t e p r o b l e m a a p a r e c e no e s t u d o da d e p e n d e n c i a do t e m p o da r o t a c a o do f l u i d o , e a s u p e r f i c i e do f l u i d o e l e n t a m e n t e m o v i m e n t a d o . A c o n d i c a o de c o n t o r n o de D i r i c h l e t e dada em S^, e a c o n d i c a o de c o n t o r n o de Neumann em 3R^ . 0 r e t a n g u l o e m b u t i d o e R'^ = R^ \J \J , e usamos as c o n d i -c o e s de -c o n t o r n o de Neumann em 3R1... Podemos u s a r o m e t o d o v h d i r e t o p a r a r e s o l v e r o p r o b l e m a r e t a n g u l a r de Neumann p i • 3 - Um o u t r o e x e m p l o e dado no e s t u d o de d e p e n d e n c i a do t e m p o do p l a s m a e, uma e q u a g a o de P o i s s o n p o d e s e r r e -s o l v i d a a c a d a p a -s -s o no t e m p o .
As c o n d i g o e s de c o n t o r n o sao de D i r i c h l e t em
e Neumann em 3R, ^ . Nos usamos a s c o n d i g o e s de Neumann em n 3R h ( 1 ) e 3R ^ ; e a s c o n d i g o e s de c o n t o r n o de D i r i c h l e t em 3 R 'h^ e R'h ^ na r e g i a o e m b u t i d a R'h = R h u Sh U Th ' A e q u a g a o d i f e r e n c i a l e l i p t i c a e e n t a o r e s o l v i d a no r e t a n -g u l o R'h.
CAPITULO V
TESTES E CONCLUSOES
I n i c i a m o s e s t e u l t i m o c a p i t u l o f a z e n d o uma a n a -l i s e d o s r e s u -l t a d o s que f o r a m o b t i d o s com a u t i -l i z a c a o das q u a t r o v a r i a n t e s de F a s t P o i s s o n S o l v e r s , bem como damos d e t a l h e s da p r o g r a m a g a o de c a d a uma. Nas s e c c o e s s e g u i n t e s r e l a c i o n a m o s d i f i c u l d a d e s e n c o n t r a d a s d u r a n t e a i m p l e m e n t a c a o e a p r e s e n t a m o s s u g e s t o e s de t o p i c o s p a r a t r a b a l h o s p o s -t e r i o r e s .
Os p r o g r a m a s que a p r e s e n t a m o s f o r a m e s c r i t o s t o mandose p o r b a s e uma r e g i a o q u a d r a d a de l a d o 1 , com a c o n -d i c a o -de c o n t o r n o -de D i r i c h l e t . 0 c a s o -da r e g i a o r e t a n g u l a r
5.1 - P r o c e d i m e n t o Adotado na Programagao
Daremos a s e g u i r como p r o c e d e m o s n a e l a b o r a g a o dos p r o g r a m a s de c a d a uma das v a r i a n t e s .
5.1.1 - M e t o d o B a s i c o FFT P r o g r a m a P r i n c i p a l E n t r a d a : K - e x p o e n t e d e d o i s p a r a c a l c u l a r os v a l o r e s de N e M • V I X - l i m i t e i n f e r i o r de X . VFX l i m i t e s u p e r i o r de X V I Y 1 i m i t e i n f e r i o r de Y -VFY - 1 i m i t e s u p e r i o r de Y-a s u b r o t i n Y-a DISFFT s o l u c a o da e q u a g a o (W) em c a d a p o n t o da d i s c r e t i z a -gao . S u b r o t i n a DISFFT E s t a s u b r o t i n a r e s o l v e a e q u a g a o de P o i s s o n p e l o M e t o d o B a s i c o FFT.
