capitulos 3 4

(1)

Cap´ıtulo 3

Tens˜

ao m´

edia e tens˜

oes desviadoras

Prof. Nestor Zouain

21 de Janeiro, 2001

Como introdu¸cão aos modelos para materiais (equa¸cões constitutivas) e aos critérios de resistência, definem-se a seguir alguns conceitos básicos relativos a tensores de tensão gerais aplicáveis em estados triaxiais de tensão ou deforma¸cão.

Em primeiro lugar, lembre-se que tensores sim´etricos possuem necessariamente um conjunto (ao menos) de autovetores ortonormais. Isto ´e o teorema espectral. Seja

{e1, e2, e3} este conjunto de dire¸c˜oes principais do tensor sim´etrico σ. Assim

σ ei =σiei i = 1, 2, 3 (3.1)

onde σ_i são as tensões principais do tensor σ. Note-se que a conven¸cão (freqüente) de soma de ´ındices repetidos não é utilizada na equa¸c˜ao acima ou em qualquer equa¸cão destas notas.

O referencial principal Ro ≡ {e₁, e₂, e₃} diagonaliza o tensor sim´etrico σ. Com efeito, em um referencial arbitr´ario R ≡ (e_x, e_y, e_z) tem-se

[σ]R= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ σx σxy σxz σyx σy σyz σzx σzy σz ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R (3.2)

enquanto no referencial Ro ≡ (e₁, e₂, e₃) resulta

[σ]Ro = ⎡ ⎢ ⎣ σ1 0 0 0 σ₂ 0 0 0 σ₃ ⎤ ⎥ ⎦ Ro (3.3)

Em segundo lugar, o tra¸co de um tensor é um invariante. Isto é, pode ser calculado em qualquer referencial utilizando a mesma fórmula, escrita em termos de componentes da matriz representativa do tensor no referencial escolhido. Por exemplo, em um referencial arbitrário

trσ = σ_x+σ_y+σ_z (3.4) 43

(2)

3.2 Tensores desviadores Tensão média e tensões desviadoras 44

e no referencial principal escreve-se

trσ = σ₁+σ₂ +σ₃ (3.5)

3.1 Tens˜

ao hidrost´

atica

Fluidos em repouso apresentam o seguinte estado de tens˜ao, denominado tens˜ao hidrost´ a-tica

σ = −p1 (3.6)

onde 1 denota o tensor identidade, que transforma todo vetor em si pr´oprio, e que em qualquer referencial se representa por

1 = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ (3.7)

e p é a pressão (hidrostática) no fluido.

Em geral, para fluidos ou sólidos, denomina-se estado de tensões hidrostático ou esférico a uma tensão da forma

σ = σm1 (3.8)

onde σ_m denota a tensão média, igual a menos a press˜ao (hidrostática) no caso de um fluido em repouso.

Tensões da forma descrita por (3.8) são chamados tensores esféricos porque são repre-sentados pela mesma matriz, com um valor repetido na diagonal e zeros fora da diagonal, em qualquer sistema de coordenadas. Isto é, estes tensores se apresentam sob a mesma representa¸cão em qualquer sistema, assim como obtém-se a mesma fotografia da esfera desde qualquer ponto de vista.

A propriedade fundamental associada às tensões hidrostáticas, é que através de cortes no material, em qualquer orienta¸cão, não são transmitidas tensões de cisalhamento, mas apenas a tensão direta, que coincide sempre com a tensão média σ_m. Com efeito, con-siderando um corte no material, com normal n (vetor unitário), o vetor tra¸cão transmi-tido, sob o estado de tensão hidrostático (3.8), é

t = σ n = σmn (3.9)

a tens˜ao normal transmitida ´e

σn=σ n · n = σm (3.10)

e o vetor cisalhamento transmitido ´e

τ = t − σnn = 0 (3.11)

Em resumo:

Estados de tensão hidrostáticos são caracterizados pela tensão média, que atua per-pendicular a qualquer corte no material, e pela inexistência de cisalhamento em qualquer plano.

(3)

3.2 Tensores desviadores Tensão média e tensões desviadoras 45

3.2 Tensores desviadores

Um tensor S, sim´etrico, ´e denominado de tensor desviador se possui tra¸co nulo, i.e. se trS = 0.

3.2.1 Cisalhamento simples

Em particular, tensores desviadores com um dos autovalores S_i nulo representam esta-dos de tensão chamados de cisalhamento simples, no sentido que é explicado a seguir. Considere por exemplo o caso S₃ = 0, isto é um tensor desviador que, representado nos próprios eixos coordenados principais, se escreve

[S]Ro = ⎡ ⎢ ⎣ S1 0 0 0 −S₁ 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Ro (3.12)

Esta tensão se apresenta como uma superposi¸cão de tra¸cão e compressão puras sobre um paralelep´ıpedo orientado segundo as dire¸cões principais. No entanto, basta considerar o elemento material segundo as dire¸cões anteriores giradas 45o horários em torno do eixoe₃ para se obter uma único componente de tensão de cisalhamento e nenhuma tensão direta. Com efeito, a matriz cujas colunas são os componentes, na nova base ˜R ≡ (˜e₁, ˜e₂, e₃), dos vetores da base antiga Ro ≡ (e₁, e₂, e₃) é

Q = √1 2 ⎡ ⎢ ⎣ 1 −1 0 1 1 0 0 0 √2 ⎤ ⎥ ⎦ ˜ R/Ro (3.13)

Portanto, a matriz de tens˜oes no sistema girado ´e

[S]R˜ = Q ⎡ ⎢ ⎣ S1 0 0 0 −S₁ 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Ro QT _(3.14) logo [S]R˜ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 S₁ 0 S1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ˜ R (3.15)

A observa¸cão mais importante a fazer aqui é que somente tensores desviadores e planos (i.e. com um autovalor nulo), como evidenciado em (3.12), podem apresentar esta repre-senta¸cão de tipo cisalhamento simples, (3.15), e apenas em um referencial privilegiado.

Em resumo:

Todos os tensores de tensão desviadores (de tra¸co nulo) e planos (com um valor prin-cipal nulo), e apenas estes, apresentam-se como cisalhamento simples e puro, (3.15), em um trio de dire¸cões convenientemente escolhido. Outras dire¸c˜oes de corte apresentam componentes de tra¸cão, ou compressão, e cisalhamento.

(4)

3.3 Decomposi¸cão do tensor de tensões Tensão média e tensões desviadoras 46

3.2.2 Cisalhamento puro

Considere-se novamente o caso geral de um tensor desviador, i.e. sim´etrico e de tra¸co nulo, que em um referencial qualquer se escreve:

[S]R = ⎡ ⎢ ⎣ Sx Sxy Sxz Syx Sy Syz Szx Szy Sz ⎤ ⎥ ⎦ R (3.16) com Sx+Sy+Sz = 0 (3.17)

Pode-se provar (vide apˆ_{endice ??) que:}

Todos os tensores desviadores (de tra¸co nulo, vide (3.16 –3.17)), e apenas estes, po-dem ser representados, em dire¸c˜oes ortogonais convenientemente escolhidas, apresen-tando apenas componentes de cisalhamento, isto ´e, na forma

[S]Rˆ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 S_ˆxˆy S_ˆxˆz Sˆyˆx 0 Sˆyˆz Sˆzˆx Sˆzˆy 0 ⎤ ⎥ ⎦ ˆ R (3.18)

3.3 Decomposi¸c˜

ao do tensor de tens˜

oes

Um tensor de tensão arbitrário σ pode ser decomposto como a soma de um tensor des-viador com um tensor hidrostático, como segue

σ = S + σm1 com trS = 0 (3.19)

Para isto, define-se a tensão média σ_m, de σ, e a parte desviadora S, de σ, segundo

σm :=

1

3 trσ (3.20)

S := σ − σm1 (3.21)

Desta forma, a tensão hidrostáticaσ_m1 constitui a parcela da tensão σ que não produz cisalhamento em qualquer corte, enquanto a parte desviadora S é a parcela capaz de se apresentar, em um referencial conveniente, como cisalhamento puro.

Em um referencial arbitr´ario R ≡ (e_x, e_y, e_z) tem-se

σm = 1 3(σx+σy +σz) (3.22) [S]R = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 3(2σx− σy − σz) σxy σxz σyx 1₃(2σy− σx− σz) σyz σzx σzy 1₃(2σz− σx− σy) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R (3.23)

(5)

3.3 Decomposi¸cão do tensor de tensões Tensão média e tensões desviadoras 47 e portanto S = 2 3 σ2 x+σy2+σ2z− σxσy− σxσz− σyσz+ 3σxy2 + 3σxz2 + 3σyz2 (3.24) = 1 3 (σ_x− σ_y)2+ (σ_x− σ_z)2+ (σ_y− σ_z)2+ 6σ_xy2 + 6σ_xz2 + 6σ_yz2 (3.25) Em particular, para um estado plano de tensão (onde σ_z =σ_xz =σ_yz = 0) tem-se

σm = 1₃(σx+σy) (3.26) [S]R= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 3(2σx− σy) σxy 0 σyx 1₃(2σy− σx) 0 0 0 −1₃(σ_x+σ_y) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R (3.27) logo S = 2 3 σ2 x+σ2y − σxσy + 3σxy2 (3.28) O referencial principal Ro ≡ {e₁, e₂, e₃} do tensor de tensões σ é também principal para o seu tensor desviador S. Isto pode ser provado utilizando a defini¸cão (3.19). Com efeito, denotandoe_i um autovetor deσ e σ_i o autovalor correspondente, de (3.19) resulta

S ei =σ ei− σm1 ei = (σi− σm)ei. Portanto, ei é dire¸cão prinicpal de S também e a

rela¸cão entre tensões principais da tensão e da sua parte desviadora é

σi =Si+σm i=1,2,3 (3.29)

Conseqüentemente, as expressões para tensão média e desviadora em componentes principais de tensão são σm = 1₃(σ1+σ2+σ3) (3.30) [S]Ro = 1 3 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2σ₁− σ₂− σ₃ 0 0 0 2σ₂− σ₁− σ₃ 0 0 0 2σ₃− σ₁− σ₂ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Ro (3.31) logo S = 2 3 (σ 2 1 +σ22+σ23− σ1σ2 − σ1σ3− σ2σ3) (3.32) = 1 3 [(σ1− σ2)2+ (σ1− σ3)2+ (σ2− σ3)2] (3.33)

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Cap´ıtulo 4

Crit´

erios de resistˆ

encia

Prof. Nestor Zouain

3 de Fevereiro, 2002

Na análise de integridade de pe¸cas, componentes e equipamentos mecânicos identificam-se duas etapas:

1. o cálculo das tensões (e deforma¸cões) produzidas efetivamente pelos carregamentos e solicita¸cões prescritos, utilizando os princ´ıpios da mecânica dos sólidos, e

2. a verifica¸cão, mediante compara¸cão destas tensões (e deforma¸cões) com valores ad-miss´ıveis para o material, utilizando critérios de resistência, modelos para fenômenos de falha e conceitos de estabilidade e colapso.

4.1 Crit´

erios de escoamento pl´

astico

Vários critérios de resistência muito utilizados são baseados nos limites de comportamento elástico dos materiais. Para essa classe de materiais o aumento dos n´ıveis de tensão esgota a capacidade de deforma¸cão puramente elástica e provoca o in´ıcio de escoamento plástico. Assim, o material atinge o limite de comportamento elástico ou, equivalentemente, o limite de plastifica¸cão ou de escoamento plástico. No que segue, trata-se dos modelos mais importantes para os critérios de escoamento.

Para estados uniaxiais de tens˜ao

[σ]R= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ σx 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R (4.1)

a forma de um crit´erio de escoamento ´e

f(σx) := σx− σY 0 (4.2)

onde σ_Y é a tensão de escoamento obtida no ensaio de tra¸cão. Estados de tensão para os quais f(σ_x) 0 podem ser alcan¸cados sem deforma¸cões irreverss´ıveis, portanto são

(7)

4.1 Critérios de escoamento Critérios de resistência 49

chamados estados de tensão elásticos. Para materiais sem encruamento, chamados ideal-mente plásticos, os estados com f(σ_x)> 0 são imposs´ıveis de serem atingidos, logo, são ditos plasticamente inadmiss´ıveis.

Um critério de resisténcia com coeficiente de seguran¸ca igual a n, derivado do modelo de plasticidade acima tem a forma

σx σ_nY (4.3)

Un valor t´ıpico nas normas de engenharia ´e n = 1.5. Em geral, para estados complexos de tens˜ao

[σ]R= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ σx σxy σxz σyx σy σyz σzx σzy σz ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R (4.4)

um limite de plastifica¸cão deve ser representado por uma fun¸cão de valor escalarf, cujo argumento é o tensor das tensões σ, e se apresenta sob a seguinte forma

f(σ) 0 (4.5)

A implementa¸cão do limite de escoamento acima requer a especifica¸cão da fun¸cão f em termos dos componentes de tensãoσ_x, σ_y, σ_z, σ_xy, σ_xz e σ_yz.

Considere-se agora a decomposi¸cão da tensão em parte hidrostática e desviadora

σ = S + σm1 (4.6)

onde S := σ − σ_mI é o desviador de σ, e σ_m := (trσ)/3 é a tensão média. Desta forma, fica estabelecida uma correspondência bi-un´ıvoca entre σ e o par {S, σ_m}.

Conseqüentemente, a condi¸cão de plastifica¸cão pode ser sempre escrita, sem perda de generalidade, como

f(σm, S) 0 (4.7)

4.1.1 Plasticidade isotr´

opica

Supõe-se agora que o material é isotrópico, isto é, não apresenta dire¸cões particulares ou privilegiadas com respeito ao comportamento no in´ıcio do escoamento plástico. Pode-se provar que, nestas condi¸cões, a fun¸cão de plastifica¸cãof(σ) depende apenas das tensões principais, i.e.

f(σ) = f(σ1, σ2, σ3) (4.8) e é indiferente a qualquer permuta¸cão das tensões principais.

4.1.2 Plasticidade independente da tens˜

ao m´

edia

Muitos materiais, em particular a maioria dos metais (após revenido), não alteram a condi¸cão de um estado de tensão, elástico (com f(σ) < 0) ou no limite de plastifica¸cão (com f(σ) = 0), pela superposi¸cão de uma tensão hidrostática.

´

E importante salientar que a indiferen¸ca do limite de elasticidade (ou limite de in´ıcio da plastifica¸cão), é uma propriedade observada nos ensaios de determinados materiais, e n˜ao pode ser deduzida a priori de qualquer lei da f´ısica.

(8)

4.2 Mises Crit´erios de resistˆencia 50

Para estes materiais, um modelo de plasticidade independente da tensão média se exprime, como conseqüência de (4.7), como segue

f(S) 0 (4.9)

Em particular, um modelo de plasticidade isotrópica independente da tensão média se exprime

f(S1, S2, S3) 0 (4.10)

onde a fun¸cão adotada deve ser indiferente a permuta¸cões das tensões principais do desviador.

Os dois modelos de plasticidade mais utilizados, o modelo de von Mises e o modelo de Tresca, se enquadram nesta situa¸c˜ao, como outros.

4.2 O crit´

erio de von Mises

O modelo de von Mises se aplica a materiais cujo limite de in´ıcio de plastifica¸cão seja isotrópico e independente da componente média da tensão.

Em particular, adota-se um critério da classe (4.10), e ainda supõe-se que a in-fluência dos autovalores de S se manifesta somente através do módulo do desviador

S = S2

1 +S22+S32. Isto é, a condi¸cão de admissibilidade plástica se reduz à forma

f(S) 0 que, sem perda de generalidade, pode ser escrita como segue

f(S) := c S − σY 0 (4.11)

ondeσ_Y é a tensão de escoamento plástico no ensaio de tra¸cão. A constantec é calculada a seguir de modo que a condi¸cão (4.11) represente corretamente o ensaio de tra¸cão.

4.2.1 Mises no ensaio de tra¸c˜

ao

Considere-se o ensaio de tra¸c˜ao pura onde o tensor de tens˜oes se apresenta na forma

[σ]R= ⎡ ⎢ ⎣ σx 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ R (4.12)

onde σ_x é a tensão axial que cresce até atingir o limite de plastifica¸cãoσ_Y. Calculando a tensão média, σ_m =σ_x/3, tem-se para o desviador das tensões

[S]R = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 3 σx 0 0 0 −1₃σ_x 0 0 0 −1₃σ_x ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ R (4.13) logo S = 2 3σx (4.14)

(9)

4.2 Mises Crit´erios de resistˆencia 51

Substituindo este módulo em (4.11) resulta que a tensãoσ_xno ensaio de tra¸cão verifica

c 2/3 σ_x σ_Y. Esta condi¸c˜ao se satisfaz como igualdade para σ_x =σ_Y; portanto

c =

3

2 (4.15)

Assim, o critério de plastifica¸cão de Mises (4.11) se escreve

fM(S) :=

3

2 S − σY 0 (4.16)

4.2.2 Mises no ensaio de cisalhamento

Nesta subse¸c˜ao estuda-se o comportamento do modelo de Mises (4.16) no caso do ensaio de tor¸c˜ao de um tubo, que produz cisalhamento puro na forma

[σ]R= ⎡ ⎢ ⎣ 0 σ_xy 0 σxy 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ R (4.17)

onde σ_xy é a tensão de cisalhamento que aumenta até atingir o limite de plastifica¸cãoτ_Y. Esta tensão de escoamento em cisalhamento puroτ_Y é uma caracter´ıstica do material, assim como σ_Y, que ´e obtida no laboratório. No que segue, compara-se esta constante

material com o limite previsto mediante o modelo de Mises (4.16) determinado pela tra¸c˜ao de escoamento σ_Y.

No caso da tor¸c˜ao (4.17) tem-se S = σ e

S =√2σ_xy (4.18)

Substituindo esta rela¸cão na equa¸cão do modelo (4.16) resulta que a tensão limite de plastifica¸cão σ_xy =τ_Y no ensaio de tor¸cão deveria verificar

√

3τ_Y =σ_Y (4.19)

A rela¸c˜ao acima signiﬁca que: se um material pode ser representado mediante o modelo

de plastifica¸cão de Mises (4.16), então nos ensaios (independentes) de tra¸cão e de tor¸cão se encontram limites de plastifica¸cão na rela¸cão √3.

Evidentemente, se nos ensaios não se obtém valores limites na propor¸cão√3, então o modelo de Mises não é apropriado para o material em análise.

4.2.3 F´

ormulas para o modelo de Mises

Para um estado de tens˜oes (triaxial) qualquer, denomina-se tens˜ao equivalente de Mises

`

a seguinte express˜ao (vide ap´endice B

σM := 3 2 S ≡ 3J₂ (4.20)

O critério de plastifica¸cão de Mises (4.16) se escreve ent˜ao

(10)

4.3 Tresca Crit´erios de resistˆencia 52

Portanto, o crit´erio de resistˆencia derivado do modelo de plasticidade de Mises se

escreve

σM σ_nY (4.22)

onde n 1 é o fator de seguran¸ca (frequentemente n é escolhido em torno de 1.5). Seguem, abaixo, as fórmulas para o cálculo da tensão equivalente de Mises, obtidas a partir de (4.20) e das expressões do módulo do desviador apresentadas na se¸cão 3.3 e no apéndice B.

1. em componentes gerais de tens˜ao

σM = σ2 x+σy2+σz2− σxσy − σxσz− σyσz+ 3σ2xy+ 3σ2xz+ 3σyz2 (4.23) = 1 2 (σ_x− σ_y)2+ (σ_x− σ_z)2+ (σ_y − σ_z)2 + 3σ2_xy+ 3σ2_xz+ 3σ_yz2 2. em componentes principais de tens˜ao

σM = σ2 1 +σ22+σ23 − σ1σ2− σ1σ3− σ2σ3 (4.24) = 1 2 (σ₁− σ₂)2+ (σ₁− σ₃)2+ (σ₂− σ₃)2 (4.25) 3. para um estado plano de tens˜ao, onde σ_xz =σ_yz=σ_z = 0

σM =

σ2

x+σy2− σxσy + 3σxy2 (4.26)

4. para tra¸c˜ao e cisalhamento combinados, onde σ_xz =σ_yz =σ_y =σ_z = 0

σM =

σ2

x+ 3σxy2 (4.27)

4.3 O crit´

erio de Tresca

O modelo de Tresca também se aplica a materiais cujo limite de in´ıcio de plastifica¸cão seja isotrópico e independente da componente média da tensão. Este modelo é um dos mais simples dentre os descritos por fun¸cões do tipo (4.10). A condi¸cão de admissibilidade plástica adotada neste modelo é

fT(S1, S2, S3) := max_i,j=1,2,3(Si− Sj)− σY 0 (4.28)

Observando que

Si− Sj =σi− σj (4.29)

pode-se escrever a condi¸cão de admissibilidade plástica acima diretamente em compo-nentes principais do tensor de tensões

(11)

Aplicando este modelo aos ensaios de tra¸cão e tor¸cão puras, resulta a seguinte rela¸cão para os limites de plastifica¸cão

2τ_Y =σ_Y (4.31)

A rela¸c˜ao acima signiﬁca que: se um material pode ser representado mediante o modelo

de plastifica¸cão de Tresca (4.30), então nos ensaios (independentes) de tra¸cão e de tor¸cão se encontram limites de plastifica¸cão na rela¸cão 2.

4.3.1 F´

ormulas para o modelo de Tresca

Para um estado de tens˜oes (triaxial) qualquer, denomina-se tens˜ao equivalente de Tresca

`

a seguinte express˜ao

σT := max_i,j=1,2,3(σi− σj) (4.32)

onde σ_i denota um valor principal de tens˜ao.

O critério de plastifica¸cão de Tresca (4.30) se escreve ent˜ao

fT(σ) := σT − σY 0 (4.33)

Portanto, o crit´erio de resistˆencia derivado do modelo de plasticidade de Tresca se

escreve

σT σ_nY (4.34)

onde n 1 é o fator de seguran¸ca (frequentemente n é escolhido em torno de 1.5). Seguem abaixo as fórmulas para o cálculo da tensão equivalente de Tresca, obtidas a partir de (4.32) e das expressões para tensões principais.

1. em componentes principais de tens˜ao

σT = _i,j=1,2,3max (σi− σj) (4.35)

= max{|σ₁− σ₂|, |σ₁− σ₃|, |σ₂− σ₃|} (4.36) 2. em componentes gerais de tens˜ao

A partir da matriz de tensões, isto é, dados os componentes de tensão

{σx, σy, σz, σxy, σxz, σyz}, deve-se resolver o problema de autovalor e assim achar as

tens˜oes principais. Para isto, resolve-se a seguinte equa¸c˜ao caracter´ıstica

σ3 i − I1σ2i +I2σi− I3 = 0 (4.37) onde I1 = trσ (4.38) =σ_x+σ_y+σ_z (4.39) I2 = 1₂ (trσ)2− σ2 (4.40) =σ_xσ_y+σ_xσ_z+σ_yσ_z− σ_xy2 − σ2_xz− σ_yz2 (4.41) I3 = detσ (4.42) =σ_xσ_yσ_z + 2σ_xyσ_xzσ_yz− σ_xσ_yz2 − σ_yσ2_xz− σ_zσ_xy2 (4.43)

(12)

Na se¸cão B.5 do apéndice B mostram-se fórmulas expl´ıcitas para achar as ra´ızes do polinómio caracter´ıstico (4.37).

Finalmente, utilizam-se as f´ormulas (4.36).

3. para um estado plano de tens˜ao, onde σ_xz =σ_yz=σ_z = 0

σT = max{|σ1− σ2|, |σ1|, |σ2|} (4.44) onde σ1 = σx +σ_y 2 + _σ x− σy 2 ₂ +σ_xy2 (4.45) σ2 = σx +σ_y 2 − σx− σy 2 ₂ +σ_xy2 (4.46)

4. para tra¸c˜ao e cisalhamento combinados, onde σ_xz =σ_yz =σ_y =σ_z = 0

σT =

σ2