Raciocínio Lógico Matemático

Vinícius Barbosa Mendonça

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2016

Raciocínio Lógico

Matemático

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Raciocínio Lógico

Matemático

Vinícius Barbosa Mendonça

RACIOCI NIO LO GICO

MATEMA TICO

CAP. 1 – LÓGICA PROPOSICIONAL

 Proposição: Sentença Declarativa

 Conteúdo (valor lógico) deve ser ou verdadeiro ou falso, jamais ambos. Exemplos:

o O Sol é maior que a Terra. (V) o A China é um país da Europa. (F)

 Não são proposições as declarações:

o Interrogativas: “Qual é o seu nome?” o Exclamativas: “Parabéns!”

o Imperativas: “Estude mais.”

o Sentenças abertas (sem valor lógico definido): “x+2=5”.

 Normalmente representamos as proposições por letras minúsculas: p, q, r, etc.

 As proposições podem ser simples ou compostas.

o Simples: vêm desacompanhadas de outras proposições.

o Compostas: duas ou mais proposições conectadas entre si.

 Se 2 < 4, então 1 < 4.

 João é advogado e Paulo é contador.

 Na negação, se uma proposição é verdadeira, a negação é falsa.

o Negação de p: ¬p ou ~p

o Ex.: 5 é um número ímpar. (p | V) | Negação: 5 não é um número ímpar. (¬p | F)

CAP. 2 – CONECTIVOS LÓGICOS

 Estão presentes nas proposições compostas.

 Conectivo “e”: Conjunção.

o Só será verdadeira quando todas as proposições simples componentes forem verdadeiras. Simultaneidade.

o É representada pelo símbolo “∧”.

o Ex.: João é advogado (p) e (∧) Paulo é contador (q). p∧q o Tabela Verdade: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F o É a intersecção de um conjunto:

 Conectivo “ou” inclusivo: Disjunção.

o Será falsa apenas quando todas as proposições simples componentes forem falsas.

o É representada pelo símbolo “∨”.

o Ex.: João é advogado (p) ou (∨) Paulo é contador (q). p∨q o Tabela Verdade: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F o É a união de um conjunto:

 Conectivo “ou” exclusivo: Disjunção exclusiva.

o Será verdadeira quando uma proposição for verdadeira e a outra for falsa.

o Ex.: Ou João é advogado (p) ou (⊻) Paulo é contador (q). p⊻q o Tabela Verdade: p q p ⊻ q V V F V F V F V V F F F

o É a diferença simétrica do conjunto.

 Conectivo “se... então...”: Condicional. o Tem a forma “se p então q”: p → q o Terá valor F somente se p for V e q for F

o Ex.: Se nasci em Belo Horizonte, então sou mineiro. o Condição suficiente (p) gera um resultado necessário

(q).

 Nascer em Belo Horizonte é condição suficiente para ser mineiro.

 Ser mineiro é condição necessária para nascer em Belo Horizonte. o Tabela Verdade: p q p → q V V V V F F F V V F F V

o É a inclusão do conjunto p no conjunto q, p está contido em q.

o Relações entre proposições condicionais p → q:  Recíproca = q → p  Inversa = ¬p → ¬q  Contrapositiva = ¬q → ¬p (Equivalente a p → q)  (p → q) ≡ (¬q → ¬p) o Implicação material:

 Além da equivalente ¬q → ¬p, a proposição p → q também tem como equivalente a proposição ¬p ∨ q

 (p → q) ≡ (¬p ∨ q)

 Conectivo “... se e somente se ...”: Bicondicional o Tem a forma “p se e somente se q”: p ↔ q

o Terá valor lógico V quando ambas as proposições possuírem mesmo valor lógico.

o Ex.: Sou mineiro se e somente se nasci em Minas Gerais.

o É a conjunção entre a condicional e a respectiva recíproca. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) o Tabela Verdade: p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V o É a igualdade dos conjuntos p e q.

 Negação de uma proposição composta: o Proposição conjuntiva: ¬(p ∧ q)

 Negam-se a primeira e a segunda parte (¬p), (¬q)

 Troca-se o conectivo “e” por “ou” (∨)  ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

 Ex.: Negação da proposição “João é advogado e Paulo é contador”: “João não é advogado ou Paulo não é contador”.

o Proposição disjuntiva: ¬(p ∨ q)

 Negam-se a primeira e a segunda parte (¬p), (¬q)

 Troca-se o conectivo “ou” por “e” (∧)  ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

 Ex.: Negação da proposição “João é advogado

ou Paulo é contador”: “João não é advogado e

Paulo não é contador”. o Proposição condicional: ¬(p → q)

 Mantém-se a primeira parte, adiciona-se o conectivo “e”, e nega-se a segunda parte.  ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q

 Ex.: Negação da proposição “Se nasci em Belo Horizonte, então sou mineiro.”: “Nasci em Belo Horizonte e não sou mineiro”.

o Proposição bicondicional:

 A bicondicional é a conjunção entre a condicional e a respectiva recíproca:

 p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)  ¬(p ↔ q) ≡ ¬(p → q) ∨ ¬(q → p)  ¬(p ↔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)

CAP. 3 – SENTENÇAS ABERTAS

 Sentença aberta

o Não é uma proposição, pois não pode ser classificada em V ou F.

o Possuem uma variável.

o Seja p(x) uma sentença aberta dependente de uma variável x. Assim, p(x) é uma sentença aberta em um dado conjunto A se, e somente se, p(x) tem valor lógico V ou F sempre que se atribui à variável x um elemento do conjunto A.

o Ex.: x+5≥7

 Se x=1, então 1+5≥7, 6≥7. A sentença tem valor F.

 Se x=2, então 2+5≥7, 7≥7. A sentença tem valor V.

 Quantificadores: Transformam uma sentença aberta em uma preposição.

o Universal (∀): “Todo”, “para todo”, “qualquer que seja”, “para cada”, etc. Afirma que a sentença é verdadeira para qualquer valor que a variável assuma em determinado conjunto.

 Ex.: p(x): x belorizontino é mineiro.  ∀x, p(x): Todo belorizontino é mineiro.

o Existencial (∃): “Existe um”, “existe pelo menos um”, “algum”, “existe”, etc. Afirma que a sentença é verdadeira pelo menos para algum valor que a variável assuma.

 ∃x, ¬p(x): Algum mineiro não é belorizontino. o Negação: É feita através da negação da sentença

aberta componente e da troca do quantificador universal pelo existencial ou do quantificador existencial pelo universal.

 Negação da sentença “Todo belorizontino é mineiro”: Algum belorizontino não é mineiro.  Negação da sentença “Algum mineiro não é

belorizontino”: Todo mineiro é belorizontino.

Proposição

quantificada Negação da proposição quantificada ∀x, p(x) ∃x, ¬p(x) ∃x, p(x) ∀x, ¬p(x)

CAP. 4 – TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E

CONTINGÊNCIA

 Tautologia

o Sempre tem valor V, independente dos valores lógicos das proposições simples.

o A última coluna da Tabela Verdade só deve apresentar V. o Ex.: (p ∧ q) → (p ∨ q) p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V  Contradição

o Sempre tem valor F, independente dos valores lógicos das proposições simples.

o A última coluna da Tabela Verdade só deve apresentar F. o Ex.: p ↔ ¬p p ¬p p ↔ ¬p V F F F V F  Contingência

o Valores lógicos diferentes para algumas combinações de proposições simples.

o Quando não for uma tautologia ou uma contradição. p q p → q V V V V F F F V V F F V

QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES PARA O INSS

01) FCC 2012 – Técnico do Seguro Social – INSS

Abaixo estão listadas cinco proposições a respeito de Maria, Luís, Paula e Raul, sendo que, entre parênteses, está indicado se a proposição é verdadeira (V), ou falsa (F).

- Maria tem 20 anos de idade (F). , - Luís é marido de Maria (V). - Paula é irmã caçula de Maria (F). - Raul é filho natural de Luís (V). - Luís já foi casado duas vezes (V).

Das informações do enunciado, é correto afirmar que, a) Paula é tia de Raul.

b) Luís é mais novo do que Maria. c) Paula tem mais do que 20 anos. d) Raul é mais novo do que Luís.

e) Luís é mais velho do que Maria.

O baterista, o guitarrista e o vocalista de uma banda musical são engenheiros civil, eletrônico e mecânico, não necessariamente nessa ordem. Sabendo que Antônio, João e Pedro são os nomes dos integrantes da banda, que Antônio é engenheiro civil e não toca instrumentos musicais, que o engenheiro eletrônico é o guitarrista da banda e que João não é baterista, analise as seguintes proposições e assinale a alternativa correta.

I. João é engenheiro eletrônico e guitarrista da banda. II. Pedro é baterista da banda.

III. Antônio é vocalista da banda. IV. Pedro é engenheiro eletrônico. a) Apenas a proposição I é verdadeira. b) Apenas a proposição II é verdadeira. c) Apenas a proposição III é verdadeira d) As proposições II e IV são falsas.

e) As proposições I, II e III são verdadeiras.

03) CESPE 2008 – Analista do Seguro Social – INSS

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras – V – ou falsas – F –, mas não como ambas. Se P e Q são proposições, então a proposição “Se P então Q”, denotada por P→Q, terá valor lógico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ¬P, a negação da proposição P, terá

valores lógicos contrários aos de P. P∨Q, lida como “P ou Q”, terá valor lógico F quando P e Q forem, ambas, F; nos demais casos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir.

Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B→C é V.

04) CESPE 2008 – Analista do Seguro Social – INSS

De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição (¬A)∨(¬C) tem valor lógico F.

05) CESPE 2008 – Analista do Seguro Social – INSS

com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance;

A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências;

A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão contempladas na tabela a seguir, em que cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V (verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha ter tomado a atitude representada na coluna, ou com F (falso), caso contrário.

A1 A2 A3

Roberta F Rejane

Renata V

Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

A atitude adotada por Roberta ao lidar com documento oficial fere o CEP.

06 – CESPE 2008 – Analista do Seguro Social – INSS

A atitude adotada por Rejane está de acordo com o CEP e é especialmente adequada diante de filas ou de qualquer outra espécie de atraso na prestação dos serviços.

07 - CESPE 2008 – Analista do Seguro Social – INSS

Se P for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e Q for a proposição “Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição P→Q tem valor lógico V.

08 – CESPE 2008 – Técnico do Seguro Social – INSS

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas não admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição simples "É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício da função", e que B represente a proposição simples "É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão".

Considerando as proposições A e B acima, julgue os itens subseqüentes, com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes ao raciocínio lógico.

Sabe-se que uma proposição na forma "Ou A ou B" tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta "Ou A ou B", em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira.

09 – CESPE 2008 – Técnico do Seguro Social – INSS

A proposição composta "Se A então B" é necessariamente verdadeira.

10 – CESPE 2008 – Técnico do Seguro Social – INSS

Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀x, P(x), lida como "para todo x, P(x)", em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F.

A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.

Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade "x é funcionário do INSS" e Q(x) seja a propriedade "x tem mais de 35 anos de idade". Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade”.

(ii) ∀x (P(x) ou Q(x)) (iii) ∀x (se P(x) então Q(x))

11 – CESPE 2008 – Técnico do Seguro Social – INSS

Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade "x é funcionário do INSS", então é falsa a sentença ∀x P(x)

GABARITO:

01 – D. Se Luís é filho natural de Raul, é mais novo que ele.

02 – E.

Antônio: Engenheiro civil e vocalista. João: Engenheiro eletrônico e guitarrista. Pedro: Engenheiro mecânico e baterista.

03 – Errada. Segundo a CF, os valores lógicos das proposições são os seguintes: A: F B: V C: F Assim, V→F é F. 04 – Errada. V ou V = V

05 – Certa. Se cada uma tomou apenas uma das atitudes, então Renata não praticou as infrações A1 e A2. Ainda, Roberta e Rejane não cometeram a infração A3. Assim, o quadro fica:

A1 A2 A3

Roberta F V F

Rejane V F F

Renata F F V

06 – Errada, conforme quadro acima.

07 – Certa. A proposição P tem valor F e a proposição Q tem valor V. Vimos que a condicional “se... então” o terá valor F somente se P for V e Q for F. Assim, F → V é V.

08 – Certa. Sabemos que segundo o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal a proposição A tem valor V e a proposição B tem valor F. Assim, V⊻F tem valor V.

09 – Errada. V→F tem valor F.

10 – Errada. Traduzindo, temos:

(i) Se x tem mais de 35 anos de idade então x é funcionário do INSS. (F)

(ii) X é funcionário do INSS ou x tem mais de 35 anos de idade. (F) (iii) Se x é funcionário do INSS então x tem mais de 35 anos de idade. (V)

11 – Certa. Traduzindo, temos a frase “todo funcionário publico é funcionário do INSS”, que tem valor F. Como a questão diz que a mesma é falsa, a assertiva se torna verdadeira.