Prorpiedades universais de transporte em pontos quânticos com simetria quiral

Texto

(1)TESE DE MESTRADO. Propriedades Universais de Transporte em Pontos Quânticos com Simetria Quiral Ailton Fernandes de Macedo Junior. Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ci^ encias Exatas e da Natureza Departamento de F sica.

(2) Universidade Federal de Pernambuco Departamento de F sica. Propriedades Universais de Transporte em Pontos Quânticos com Simetria Quiral Ailton Fernandes de Macedo Junior Tese apresentada ao Departamento de Fsica da Universidade Federal de Pernambuco como parte dos requisitos para a obtenc~ao do ttulo de Mestre em Ciências.. Banca Examinadora: Prof. Antônio Murilo Santos Macêdo (Presidente e Orientador) Prof. Caio Henrique Lewenkopf (Membro externo) Prof. Flavio Menezes de Aguiar (Membro local) Recife - Pernambuco - Brasil Agosto de 2002.

(3) ii. Agradecimentos Varias pessoas contriburam direta ou indiretamente para a realizac~ao deste trabalho. Gostaria de agradecer especialmente aos meus pais Ailton e Severina, que sempre me apoiaram. A Daniela, pela compreens~ao e dedicaca~o por todos esses anos em que estamos juntos. Aos meus \irm~aos" Suely e Marcos e aos amigos Joel, Clarissa e Alexandre pela con

(4) anca em mim depositada. Tambem gostaria de agradecer aos grandes amigos que me acolheram muito bem quando chegei no DF. Ao Pedro Hugo (com sua enorme paciência e disponibilidade), Wilton (cuja regra era pelo menos o empate), ao Eric (pelo eterno bom humor), Paulo (companheiro desde o tempo da engenharia) e ao grande Laercio (o homem da informatica). Tambem aos que vieram depois como Helinando (uma maquina de trabalhar) e Cassia (sempre disponvel para tirar duvidas computacionais), aos colegas de sala Pedro Ernesto e Caio Veloso, e os do LFTC Alexandre Carvalho, Renê, Mario e Fidelis. En

(5) m, a todos os colegas com quem convivi ao longo destes anos. Aos e

(6) cientes funcionarios do Departamento de Fsica: Paulo Pinto, Joaquim, bibliotecarias Ana e Joana e as secretarias Paula, Linet e Ana. Ivo, e Humberto. As Aos professores Jairo Rocha (com quem tive as primeiras aulas na universidade), Marco Gameiro (pela amizade adquirida nos anos da iniciaca~o cient

(7) ca), aos professores Fernando Moraes e Francisco Brady, com os quais

(8) z varias disciplinas e convivi de perto. Gostaria de agradecer particularmente ao professor Antônio Murilo pela orientac~ao seria e dedicada que me foi dada. Por

(9) m, quero demonstrar minha gratid~ao a CAPES pelo apoio

(10) nanceiro aos meus estudos.. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(11) Resumo Apresentamos um modelo estocastico que descreve propriedades universais de transporte em pontos quânticos com simetria de sub-rede (quiral), acoplados a dois reservatorios de eletrons via contatos pontuais idênticos. Montamos um ensemble de matrizes de espalhamento, S , atraves do princpio de maxima entropia e calculamos a medida de Haar do grupo de matrizes S . Mostramos que em todos os casos os ensembles obtidos podem ser classi

(12) cados segundo a teoria de espacos simetricos de Cartan. Deduzimos a distribuica~o conjunta dos autovalores de transmiss~ao, i.e. autovalores da matriz tty , onde t e a matriz de transmiss~ao. No caso de apenas um modo propagante, determinamos a distribuic~ao exata da condutância e da potência do rudo de disparo. Para sistemas sem simetria de revers~ao temporal, encontramos o ensemble de Legendre da teoria de matrizes aleatorias e obtivemos resultados exatos para a media e variância da condutância. Apresentamos um ensemble de movimento Browniano para calcular a media da condutância para um numero N arbitrario de canais propagantes nos guias. No regime semi-classico, N 1, deduzimos uma formula para calcular a media e a variância de uma estatstica linear arbitraria e observamos que na presenca da simetria quiral a variância dos observaveis dobra em relac~ao ao valor nas classes convencionais de Wigner-Dyson..

(13) Abstract In this work we present a stochastic model to describe universal transport properties of quantum dots with sublattice (chiral) symmetry, coupled to two eletron reservoirs via identical point contacts. We construct an ensemble of scattering matrices, S , using the maximum-entropy principle and calculate the Haar measure of the symmetry group of the S -matrix. We show that in all cases the obtained ensembles can be classi

(14) cated in terms of Cartan's symmetric space theory. We deduce the joint distribution of transmission eigenvalues, i.e. eigenvalues of the matrix tty , where t is the transmission matrix. In the case of only one propagating mode, we obtain the exact distribution of the conductance and the shot-noise power. For systems without time-reversal symmetry we obtain the Legendre's ensemble of random matrix theory. A Brownian motion ensemble is presented to calculate the transport characteristics for an arbitrary number N of propagating channels. In the semiclassical regime, N 1, we derive formulas for calculating the average and variance of an arbitrary linear statistic and observe that in the presence of chiral symmetry the variance of the observables doubles in relation to the Wigner-Dyson case..

(15) Conteudo 1 Introduc~ao 1.1 Sistemas quânticos fora do equilbrio . . . . 1.2 Fenômenos de coerência . . . . . . . . . . . 1.2.1 Localizac~ao fraca . . . . . . . . . . . 1.2.2 Flutuac~oes universais da condutância 1.3 Fsica Mesoscopica . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Regimes de transporte . . . . . . . . 1.3.2 Quantizac~ao da condutância . . . . . 1.4 Pontos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Caos quântico . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 2 Introduc~ao ao Formalismo 2.1 Teoria de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Matriz de espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Conservac~ao de corrente . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Revers~ao temporal (Partculas sem spin) . . . . . . 2.2.3 Revers~ao temporal (Partculas de spin 1/2) . . . . . 2.3 Problema de dois terminais . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Condutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Flutuac~oes da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Teoria de Matrizes Aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Ensemble de Wigner-Dyson . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Matrizes aleatorias em problemas de espalhamento 2.6 Formula de Mahaux - Weidenmuller . . . . . . . . . . . . . 2.7 Ensembles de Movimento Browniano . . . . . . . . . . . . i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 1 1 4 5 6 7 8 10 11 12. . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 16 18 19 20 20 20 21 23 26 28 30 32 33 37 43 50.

(16) CONTEUDO. ii. 2.7.1 Ensembles de movimento Browniano e polinômios ortogonais . 51. 3 Sistemas Quirais 3.1 Classes de universalidade . . . . 3.2 Simetria de Sub-rede . . . . . . 3.3 Modelo microscopico . . . . . . 3.4 Simetria quiral . . . . . . . . . 3.4.1 Matriz de espalhamento 3.4.2 Matriz de transferência . 3.5 Princpio de maxima entropia .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. 4 Propriedades de Transporte em Pontos Quirais 4.1 Sistema com um modo propagante . . . . . . . . . 4.2 Numero arbitrario de modos propagantes . . . . . . 4.2.1 Limite semiclassico (N 1) . . . . . . . . . 4.2.2 Soluc~ao exata usando polinômios ortogonais 4.3 Metodo da equac~ao de Fokker-Planck . . . . . . . . 4.4 Correc~ao de localizaca~o fraca . . . . . . . . . . . . . 4.5 Variância de uma estatstica linear . . . . . . . . . 4.6 Comparac~ao com o caso Wigner-Dyson . . . . . . . 5. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. 54 54 55 59 61 62 63 64. . . . . . . . .. 66 66 69 71 72 75 79 84 87. Conclus~oes e Perspectivas. 90. Apêndices. 92. A Quaternions 92 A.1 De

(17) nic~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 A.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 A.3 Matriz de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 B Parametrizac~ao da B.1 Caso ortogonal B.2 Caso unitario . B.3 Caso simpletico. matriz de transferência 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. C Matriz de espalhamento: C.1 Caso ortogonal . . . . C.2 Caso unitario . . . . . C.3 Caso simpletico . . . .. Medida invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. 106 . 107 . 110 . 111.

(18) CONTEUDO. iii. Bibliogra

(19) a. 115. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(20) Lista de Figuras 1.1 Metodo da projec~ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Excesso de resistência ÆR(B ) R(0) R(B ), para um

(21) o quântico em func~ao do campo magnetico. A magnetoresistência negativa, R(B ) = ÆR(B ) < 0, e caracterstica da localizac~ao fraca em sistemas sem interac~ao spin-orbita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Ilustrac~ao da utuac~ao universal da condutância em funca~o do campo magnetico: (a) Dados de um experimento em um anel de ouro [6]; (b) Dados de medidas em MOSFET de Si quase-unidimensional [7]; (c) Simulac~oes numericas usando o modelo de Anderson [8]. Note que a amplitude das utuac~oes e da ordem da unidade para todos os sistemas, apesar dos diferentes valores de condutância media. . . . . . 7 1.4 Escala de comprimentos caractersticos para transporte coerente em baixas temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Quantizac~ao da condutância num condutor balstico [12]. . . . . . . . 10 1.6 Bilhar mesoscopico circular retirado da referência [15]. Os eletrons se movem na regi~ao escura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Trajetorias em um bilhar circular e em um estadio. O movimento no crculo e regular ou ordenado, enquanto que no estadio e irregular ou caotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Cavidade 2D com L guias. As setas dentro dos guias representam ondas entrando e saindo da cavidade. No guia l ha Nl dessas ondas. 2.2 Cavidade 2D com 2 guias semi-in

(22) nitos. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Duas amostras mesoscopicas em serie, conectados por um guia ideal. . 2.4 Densidade de autovalores para um Hamiltoniano pertencente ao EGO com N = 8000, con

(23) rmando a lei do semicrculo de Wigner (curva vermelha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. 16 23 24 36.

(24) LISTA DE FIGURAS. v. 2.5 Distribuic~ao da potência do rudo de disparo para N = 1 nos casos

(25) = 1 (esquerda) e

(26) = 2 (direita). O gra

(27) co em vermelho e dado pela express~ao (2.131), obtida pelo princpio da maxima entropia. . . 48 2.6 Distribuic~ao da condutância para N = 1; 2 e 3 nos casos em que

(28) = 1 (primeira coluna) e

(29) = 2 (segunda coluna). Os resultados numericos est~ao em boa concordância com os resultados obtidos via maxima entropia (linhas vermelhas). Note que a distribuica~o tende a gaussiana a medida que N cresce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 Modelo de hopping aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Problema do uxo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3 Modelo de hopping aleatorio descrito pela Eq. (3.7), para N = 3. A regi~ao desordenada tem comprimento L = 4a. As diferentes cadeias s~ao acopladas na regi~ao desordenada e desacopladas nos guias ideais. 60 4.1 Distribuic~ao da condutância (coluna da esquerda) e da potência do rudo de disparo (coluna da direita) para o caso N = 1 e

(30) = 1; 2 e 4. Os resultados para pontos quânticos com simetria quiral s~ao mostrados em vermelho e os dos pontos de Wigner-Dyson, em azul. . 68. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(31) Lista de Tabelas 2.1 Resumo da classi

(32) cac~ao de Dyson. A matriz hermitiana H e a matriz dos autovetores U s~ao classi

(33) cadas pelo ndice

(34) dependendo da presenca ou ausência de simetria de revers~ao temporal (SRT ) e simetria de rotac~ao de spin (SRS ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 Classi

(35) caca~o das classes de simetria de acordo com a tabela de Cartan. As classes de simetrias s~ao de

(36) nidas em termos da presenca ou ausência de simetria de revers~ao temporal (SRT ), simetria de rotac~ao de spin (SRS ) e outras simetrias fundamentais do sistema. . . . . . . 55 3.2 Classes de universalidade para um ponto quântico com simetria quiral. A tabela lista os espacos simetricos (ES) na notac~ao de Cartan, de

(37) nidos por G=H , onde G e o grupo de simetria e H e o subgrupo maximal, a rede de razes R, as multiplicidades e

(38) das razes e indica a presenca ou ausência das simetrias de revers~ao temporal (SRT) e rotac~ao de spin (SRS). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1 Resumo dos resultados para as medias e variâncias de estatsticas lineares nos casos Quiral e Wigner-Dyson. . . . . . . . . . . . . . . . 89. vi.

(39) Captulo 1 Introduc~ao Neste captulo inicial vamos fazer uma revis~ao sobre os principais conceitos da fsica mesoscopica, com ênfase no transporte eletrônico atraves de nanoestruturas. Comecamos o captulo com uma discuss~ao sobre sistemas quânticos fora do equilbrio e a descrica~o da evoluc~ao macroscopica desses sistemas atraves de equac~oes de transporte. Na sec~ao 1.2 inclumos na teoria a coerência de fase dos portadores e abordamos efeitos importantes como a utuaca~o universal da condutância e a localizac~ao fraca. Esses efeitos constituem a base da fsica mesoscopica, abordada na sec~ao 1.3, onde discutimos a relac~ao entre os varios regimes de transporte e as escalas fundamentais de comprimento do sistema. Ainda nessa sec~ao apresentamos um dos experimentos fundamendais da area no qual se veri

(40) ca a quantizaca~o da condutância. Na sec~ao 1.4 apresentamos um tipo particular de disposivo mesoscopico: o ponto quântico. Finalizando, fazemos uma breve discuss~ao sobre caos quântico na sec~ao 1.5.. 1.1 Sistemas quânticos fora do equilbrio A maioria dos sistemas da natureza, se isolados (ou seja, se n~ao trocam energia ou materia com sua vizinhanca), tendem a um estado independente do tempo, o equilbrio termodinâmico, cujas propriedades macroscopicas s~ao descritas por um numero

(41) nito de variaveis de estado. A mecânica estatstica de equilbrio e baseada no princpio de maxima entropia que, juntamente com vnculos de

(42) nidos pelo sistema, fornece os ingredientes para o formalismo dos ensembles de Gibbs. Esses argumentos estatsticos s~ao su

(43) cientes para problemas em equilbrio n~ao havendo necessidade de investigar os detalhes dos processos de interaca~o (colis~oes) que levaram o sistema ao equilbrio. No entanto, a grande maioria dos sistemas fsicos de in1.

(44) 1.1 Sistemas quânticos fora do equilbrio. 2. teresse encontra-se fora do equilbrio. Se a mecânica estatstica de equilbrio pode ser considerada bem estabelecida, o mesmo n~ao se aplica a mecânica estatstica de n~ao-equilbrio. Esta area tem gerado confrontos entre a dinâmica classica ou quântica, que ignora a irreversibilidade observada na escala macroscopica, visto que suas equac~oes (Newton ou Schrodinger) admitem soluco~es invertidas no tempo (t ! t), e a termodinâmica com o seu segundo princpio associado ao aumento da entropia. Um sistema quântico e completamente de

(45) nido pelo operador densidade ^, cuja evoluc~ao temporal e descrita pela equac~ao de Liouville. @ (1.1) i ^(t) = L^(t); @t onde o operador de Liouvile e de

(46) nido pelo comutador do operador densidade com o Hamiltoniano do sistema, L^ = ~1 [H; ^]. Na situaca~o de equilbrio temos L^ = 0. No caso geral, a equac~ao (1.1) tem soluc~ao formal (t) = e iLt (0):. (1.2). O operador de Liouville e hermitianio, L = Ly. Ent~ao a soluc~ao da equac~ao de Liouville oscila no tempo e n~ao decai para uma soluc~ao de equilbrio. Mais ainda, se revertermos o tempo na equac~ao (1.2), n~ao mudamos a equac~ao de movimento para o operador densidade, pois L muda de sinal sob revers~ao temporal. Ent~ao a equac~ao (1.1) n~ao admite um decaimento irreversvel do sistema para um unico estado de equilbrio e portanto n~ao descreve o processo de relaxac~ao observado na natureza. O mesmo problema e encontrado na vers~ao classica da equac~ao de Liouville que descreve a evoluc~ao da densidade de probabilidade (p; q; t) no espaco de fase. O problema de obter um decaimento irreversvel a partir da equaca~o de Liouville e um dos problemas centrais da mecânica estatstica. Como e possvel que sistemas regidos por equac~oes simetricas em relac~ao ao tempo decaiam num estado de equilbrio seguindo um processo irreversvel ? Esse problema pode ser contornado pelo menos de duas maneiras: (i) A irreversibilidade e atribuda a perda de informac~ao associada a projec~ao das multiplas variaveis microscopicas em poucas variaveis observaveis, gerando uma dinâmica estocastica; (ii) Prigogine [1] propôs uma soluc~ao radical: abandonar o espaco de Hilbert e formular a mecânica quântica no chamado espaco de Hilbert equipado, contornando assim as di

(47) culdades encontradas na aplicac~ao da equac~ao (1.1). Quando estudamos sistemas quânticos complicados como um gas, em geral n~ao estamos interessados ou n~ao somos capazes de descrever a evoluca~o temporal de todas as suas propriedades microscopicas. O operador densidade contem muita Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(48) 1.1 Sistemas quânticos fora do equilbrio. 3. informac~ao n~ao relacionada com os observaveis relevantes, que e perdida no processo de promediac~ao espacial e temporal. Esta informac~ao irrelevante complica os calculos sem contribuir para a dinâmica dos observaveis relevantes. Estes, juntamente com o operador identidade, geram um subespaco do espaco dos observaveis (espaco de Liouville), o chamado nvel de descric~ao. A transica~o da microdinâmica reversvel para o transporte irreversvel pode ser estudada de maneira e

(49) ciente pelo metodo da projec~ao [2]. Como o nome indica, o metodo e baseado na projec~ao da evoluc~ao do sistema quântico no nvel de descrica~o, ver

(50) gura (1.1). Espaço de Liouville A. Nível de descrição P(t)A. Figura 1.1: Metodo da projec~ao. Esse metodo fornece uma maneira sistematica de obtenca~o de equac~oes de transporte quântico a partir de primeiros princpios. Alem disso permite a incorporac~ao de efeitos de memoria, sendo uma ferramenta util no estudo de correc~oes n~ao Markovianas. O metodo da projec~ao tambem nos permite explorar a separac~ao entre as escalas de tempo. As equaco~es macroscopicas podem exibir escalas de tempo muito separadas curto e longo . Neste caso a raz~ao (curto =longo ) serve como parâmetro de expans~ao. O termo de ordem zero desta expans~ao e o limite Markoviano. Apesar da utilidade, o metodo da projeca~o ainda fornece equac~oes complicadas e precisamos de mais simpli

(51) cac~oes. Para uma classe importante de problemas de n~ao equilbrio, os chamados proximos do equilbrio, podemos introduzir a aproximac~ao da resposta linear [3],[4]. Consideremos um sistema sob a ac~ao de uma forca generalizada externa X (t), por exemplo um campo eletrico ou magnetico, um gradiente de temperatura ou concentrac~ao. Se a forca for su

(52) cientemente pequena, a resposta do sistema, ou seja o desvio do equilbrio nos observaveis relevantes sera proporcional a intensidade da forca generalizada:. A(t) Aeq / X (t);. (1.3). onde o subscrito eq denota equilbrio. A resposta do sistema, que pode ser uma polarizaca~o eletrica, corrente ou magnetizac~ao e proporcional a forca generalizada. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(53) 1.2 Fenômenos de coerência. 4. Um resultado importante deste metodo e a formula de Kubo para a condutância [3], que e a resposta do sistema a um campo eletrico oscilante.. 1.2 Fenômenos de coerência A teoria de transporte eletrônico em metais normais macroscopicos e tradicionalmente baseada na equac~ao de Boltzmann para o calculo da func~ao de distribuic~ao dos eletrons na presenca de impurezas, espalhamento com fônons, campos eletricos e magneticos, etc. Uma das hipoteses da teoria de Boltzmann e que as colis~oes consecutivas s~ao independentes e que os efeitos de interferência devidos aos multiplos espalhamentos dos eletrons pelas impurezas s~ao irrelevantes. Consequentemente, o movimento do eletron e puramente difusivo. Outra caracterstica da teoria e que a geometria da amostra e os aparatos de medica~o n~ao aparecem explicitamente nas equac~oes, sendo a amostra caracterizada apenas por grandezas intensivas, como a condutividade. Numa descric~ao inteiramente quântica do transporte devemos considerar a fase dos portadores. Para um exemplo de como a interferência entre os diversos caminhos opticos afeta a difus~ao classica, consideremos um eletron se propagando entre os pontos A e B . De acordo com a mecânica quântica ha uma amplitude de probabilidade Wi associada a cada caminho que conecta os pontos. A probabilidade total P da partcula atingir o ponto B e portanto. P.

(54)

(55)

(56) X

(57) 2 =

(58)

(59) Wi

(60)

(61)

(62)

(63) i. = Pclassica +. X i6=j. Wi Wj ;. (1.4). P. onde Pclassica = i jWi j2 e a probabilidade classica (soma de probabilidades) e o segundo termo e a contribuic~ao da interferência quanto-mecânica entre as trajetorias. Para a maioria das trajetorias as amplitudes Wi têm uma fase aleatoria e a interferência quântica desaparece quando fazemos a media no ensemble. No entanto, para algumas trajetorias, o efeito da interferência n~ao pode ser desprezado. Para trajetorias que se interceptam ou simplesmente quando A = B , a diferenca de fase ' =. 1. Z B. ~ A. ~p d~r. (1.5). n~ao se altera com a substituic~ao p~ ! p~ e d~r ! d~r, ou seja, existe uma trajetoria revertida no tempo com o mesmo comprimento e a mesma fase. Ent~ao, a contribuic~ao da interferência entre os pares trajetoria normal e revertida n~ao se anula Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(64) 1.2 Fenômenos de coerência. 5. na promediac~ao. Esse efeito de interferência, chamado retroespalhamento coerente, muda a probabilidade de retorno da partcula e torna a difus~ao de uma partcula quântica diferente da difus~ao de uma partcula classica. 1.2.1. Localiza c~ ao fraca. Para partculas sem spin na ausência de campo magnetico, a probabilidade de retorno aumenta devido a interferência construtiva entre trajetorias revertidas no tempo, diminuindo a condutividade. Esse efeito de correca~o da condutância classica (dada pela lei de Ohm) devido a efeitos de interferência e conhecido como localizac~ao fraca, um precursor do fenômeno de localizaca~o de Anderson que ocorre em sistemas su

(65) cientemente desordenados. Para sistemas com interaca~o spin-orbita, mas sem campo magnetico externo, a interferência entre as trajetorias revertidas no tempo e destrutiva, causando o efeito inverso, ou seja, aumento da condutância. Este efeito e conhecido como anti-localizac~ao. Os dois efeitos, localizaca~o e antilocalizac~ao, s~ao suprimidos pela quebra da simetria de revers~ao temporal causada pela aplicac~ao de um campo magnetico externo. Consequentemente, a magnetoresistência, de

(66) nida como a diferenca entre as resistências da amostra com campo e sem campo, e positiva para sistemas com interaca~o spin-orbita e negativa para sistemas sem este tipo de interac~ao. A

(67) gura (1.2), retirada da referência [5], mostra a contribuic~ao de localizac~ao fraca para a resistência de um

(68) o quântico de dimens~oes 2m 0:5m de

(69) nido numa camada de GaAl/AlGaAs.. Figura 1.2: Excesso de resistência ÆR(B ) R(0) R(B ), para um

(70) o quântico em func~ao do campo magnetico. A magnetoresistência negativa, R(B ) = ÆR(B ) < 0, e caracterstica da localizac~ao fraca em sistemas sem interaca~o spin-orbita.. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(71) 1.2 Fenômenos de coerência. 6. Note que ha uma resistência adicional a campo magnetico nulo devido ao efeito de localizac~ao fraca. Esse excesso de resistência dimimui a medida que aumentamos o campo magnetico, em virtude da supress~ao da interferência entre trajetorias revertidas no tempo. Uma caracterstica importante da localizaca~o fraca e sua universalidade. O efeito e uma manifestaca~o pura da simetria de revers~ao temporal, n~ao dependendo de detalhes microscopicos, como a distribuica~o de desordem. Experimentos de localizac~ao fraca podem ser usados para a medida do comprimento de coerência de fase, que e a distância na qual as func~oes de onda mantêm sua coerência. 1.2.2. Flutua c~ oes universais da condut^ ancia. Outro fenômeno mesoscopico contido na

(72) gura (1.2) e a existência de utuac~oes consideraveis na condutância quando variamos o campo magnetico. Tambem s~ao observadas utuac~oes quando outros parâmetros do sistema como energia de Fermi, con

(73) gurac~ao de desordem ou ate mesmo a geometria sofrem variaco~es. As utuac~oes da condutância foram algumas das primeiras manifestac~oes do efeito da coerência de fase observadas em problemas de transporte. As utuac~oes s~ao padr~oes estocasticos independentes do tempo que desaparecem lenta e suavemente com o aumento da temperatura. Os padr~oes dependem da distribuica~o de impurezas e variam de amostra para amostra, porem, para uma amostra particular numa dada temperatura, s~ao completamente reprodutveis. Neste contexto, as utuaco~es s~ao verdadeiras \impress~oes digitais" da amostra. No entanto, ao aquecer a amostra, mudamos a distribuic~ao das impurezas e apos resfria-la o espectro das utuaco~es muda. A amplitude das utuac~oes, quanti

(74) cada pela variância, e dada por var(G) hG. 2. i hGi 2. . e2 h. 2. ;. (1.6). e tem comportamento universal, n~ao dependendo dos detalhes microscopicos da amostra. Este e um resultado fundamental que

(75) cou conhecido na literatura como utuac~ao universal da condutância. Na

(76) gura (1.3) ilustramos esse fenômeno mostrando utuac~oes da ordem de (e2 =h)2 em três sistemas distintos com condutâncias medias bem diferentes. Teoricamente, a caracterstica universal das utuac~oes da condutância em sistemas desordenados pode ser analisada atraves do uso de matrizes aleatorias, como veremos nos captulos seguintes.. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(77) 1.3 Fsica Mesoscopica. 7. Figura 1.3: Ilustrac~ao da utuaca~o universal da condutância em func~ao do campo magnetico: (a) Dados de um experimento em um anel de ouro [6]; (b) Dados de medidas em MOSFET de Si quase-unidimensional [7]; (c) Simulac~oes numericas usando o modelo de Anderson [8]. Note que a amplitude das utuac~oes e da ordem da unidade para todos os sistemas, apesar dos diferentes valores de condutância media.. 1.3 Fsica Mesoscopica Vimos na seca~o anterior que surgem novos efeitos devido a coerência de fase entre os eletrons. Estes efeitos n~ao s~ao observados em medic~oes de coe

(78) cientes de transporte em condutores macroscopicos. No entanto, a partir da decada de 80, com o desenvolvimento de tecnicas so

(79) sticadas de litogra

(80) a e de crescimento, como epitaxia de feixe molecular, foi possvel a construca~o de estruturas (e dispositivos) com dimens~oes da ordem de microns e ate nanômetros, nos quais os efeitos de interferência quântica n~ao podem ser desprezados. Na literatura, esses dispositivos s~ao chamados de nanoestruturas, nanodispositivos ou dispositivos mesoscopicos. Aqui o pre

(81) xo meso indica que as estruturas s~ao usualmente grandes comparadas com a escala microscopica (atômica), mas pequenas em relac~ao a escala macroscopica, na qual a teoria de transporte de Boltzmann pode ser usada.. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(82) 1.3 Fsica Mesoscopica 1.3.1. 8. Regimes de transporte. O estudo de transporte atraves de condutores mesoscopicos tornou-se topico frequente de pesquisa na fsica teorica e experimental [9],[5], [10] e [11]. O transporte eletrônico em metais a baixas temperaturas apresenta varias caractersticas interessantes devido aos efeitos de interferência entre as funco~es de onda eletrônicas. Estes efeitos dependem de certas escalas fundamentais de tempo e comprimento dos sistemas. S~ao elas 1. Comprimento de onda de Fermi, F . E a menor escala de comprimento. Varia de alguns angstrons em metais a centenas de angstrons em heteroestruturas semicondutoras. 2. Caminho livre medio para espalhamento elastico, le . Caracteriza a desordem do sistema e se relaciona com o tempo de espalhamento elastico, e , por le = vF e , onde vF e a velocidade de Fermi. Em metais desordenados le varia de algumas centenas de angstrons, em materiais policristalinos, a alguns angstrons, em ligas amorfas. Por outro lado em heteroestruturas de GaAs GaAlGa, le e da ordem de 10m. 3. Comprimento de coerência de fase, L . E o comprimento caracterstico para a interferência de func~oes de onda eletrônicas. L aumenta com o decrescimo da temperatura e pode ser muito maior que le . E a escala de comprimento relevante em fsica mesoscopica. 4. Comprimento de localizac~ao, . E outra escala de comprimento importante relacionada com a desordem. No regime metalico as funco~es de ondas correspondentes a auto-energias proximas a energia de Fermi s~ao estendidas sobre a amostra, mas no regime isolante a funca~o de onda torna-se localizada e decai exponencialmente a partir de um ponto r0 , denominado centro de localizac~ao. Dependendo do grau de desordem o sistema pode se comportar como um condutor ou isolante. Para estudar as propriedades de transporte em um condutor devemos comparar seu comprimento L com os comprimentos caractersticos citados acima. Por exemplo, no caso em que L e muito maior que os outros comprimentos, o condutor tem comportamento ôhmico, ou seja, sua condutância e dada por. G=. W ; L. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (1.7).

(83) 1.3 Fsica Mesoscopica. 9. onde W e a sec~ao de corte do condutor e e a condutividade, considerada uma constante do material. No entanto, quando L e a maior escala de comprimento os efeitos de interferência quântica tornam-se importantes. Neste caso, o condutor n~ao pode ser descrito por constantes de material pois ocorrem utuac~oes intensas em observaveis de transporte, como a condutância. No caso particular le < < L podemos distinguir os regimes balstico, difusivo e localizado. Veja a

(84) gura (1.4).. λF balistico ´. ξ. le difusivo. Lφ. L. localizado. mesoscopico ´. Figura 1.4: Escala de comprimentos caractersticos para transporte coerente em baixas temperaturas. No regime balstico o comprimento do sistema e menor que o caminho livre medio e o eletron viaja tipicamentre sem sofrer colis~oes. Sendo o tempo para o relaxamento da fase, temos < e e o comprimento de coerência de fase e dado por L = vF . No regime difusivo temos e , ent~ao o movimento do eletron no tempo de relaxamento de fase n~ao e balstico, mas, devido as varias colis~oes elasticas, p torna-se difusivo e o comprimento de relaxamento de fase

(85) ca dado por L = D , onde D e a constante de difus~ao. Como ja vimos, o fenômeno da localizac~ao fraca origina-se do retroespalhamento coerente. Nesse caso temos um sistema metalico, porem com condutividade reduzida quando comparada ao valor classico. Ja na localizac~ao forte tem-se um isolante devido a localizaca~o de estados eletrônicos. A coerência de fase n~ao e afetada pelo espalhamento elastico, no entanto processos de espalhamento inelastico destroem a fase. Assim L e limitado pelo caminho livre medio inelastico. Essas colis~oes podem ser do tipo eletron-fônon e, a baixas temperaturas, eletron-eletron. Dessa forma o efeito de localizac~ao fraca depende do tempo de relaxac~ao de fase, que, por sua vez, esta relacionado a processos em que o movimento da partcula no interior da amostra conecta estados no ambiente (ou reservatorios) que s~ao ortogonais, fazendo desaparecer os padr~oes de interferência. Na teoria usada para descrever experimentos de magnetoresistência, aparece como um parâmetro ajustavel. Portanto, como ja mencionamos, experiências de localizac~ao fraca servem para medir a distância na qual a funca~o de Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(86) 1.3 Fsica Mesoscopica. 10. onda mantem sua fase. 1.3.2. Quantiza c~ ao da condut^ ancia. Um gas de eletrons bidimensional numa heterojunc~ao de GaAs-AlGaAl tem um comprimento de onda de Fermi centenas de vezes maior que em um metal. Dessa forma, e possvel fazer uma constric~ao com uma abertura comparavel a este comprimento de onda e muito menor que o caminho livre medio. Essas constrico~es s~ao chamadas de contatos pontuais. Um contato pontual de largura ajustavel pode ser criado pela tecnica de splitgate. Um gate e um eletrodo carregado negativamente que repele os eletrons que passam pela constric~ao. Os primeiros experimentos desse tipo foram publicados em 1988 [12], [13], veja

(87) gura (1.5). A medida que a largura W da constric~ao e reduzida (potencial de gate mais negativo) a condutância vai reduzindo a passos discretos de amplitude 2e2 =h.. Figura 1.5: Quantizac~ao da condutância num condutor balstico [12]. Uma explicac~ao elementar da quantizac~ao da condutância pode ser obtida considerando a constric~ao como um guia de onda eletrônico, no qual um pequeno numero inteiro Int(2W=F ) de modos transversais se propagam no nvel de Fermi. As regi~oes largas nos lados opostos da constric~ao s~ao reservatorios de eletrons em equilbrio local. Uma diferenca de voltagem V entre os reservatorios induz uma Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(88) 1.4 Pontos quânticos. 11. corrente I atraves da constric~ao igualmente distribuda nos N modos. Um gas de eletrons uniforme com n eletrons por unidade de comprimento e com velocidade v tem uma corrente env . No nvel de Fermi cada modo tem uma velocidade de grupo diferente vn , no entanto a densidade de estados unidimensional e n = 1=hvn. Como resultado, cada modo tem a mesma corrente In = V e2 n vn = V e2 =h. Somando a corrente de todos os modos e levando em consideraca~o a degenerescência de spin, obtemos a condutância. G=. 2e2 I =N : V h. (1.8). O fator 2e2 =h e o quantum de condutância. Vemos que apesar do condutor ser balstico a condutância e

(89) nita, ou seja, encontramos uma resistência n~ao nula. Essa resistência surge na interface entre o condutor e os contatos, devido as re ex~oes que ocorrem quando o pequeno numero de modos propagantes no condutor se combina com um numero muito maior de modos nos contatos. Esse efeito e conhecido como resistência de contato.. 1.4 Pontos quânticos Pontos quânticos s~ao cavidades condutoras delimitadas por regi~oes isolantes e com dimens~oes espaciais que permitem o transporte coerente de eletrons atraves de sua estrutura. Em termos gerais, esses sistemas têm dimens~oes tpicas de nanômetros a alguns micrômetros. Nessas estruturas temos um con

(90) namento nas três direco~es espaciais, resultando num espectro discreto de energia tal como num atomo ou molecula. Dessa forma podemos pensar em pontos quânticos (ou caixas quânticas) como atomos arti

(91) ciais. O numero de eletrons em tais sistemas pode variar desde um unico eletron ate alguns milhares e as tecnicas de litogra

(92) a ja permitem a construc~ao de estruturas nas quais, n~ao somente L , mas tambem o livre caminho medio elastico, excedem as dimens~oes do dispositivo, tendo-se o regime de transporte balstico. As propriedades de transporte de um ponto quântico podem ser medidas com o acoplamento do sistema a reservatorios de eletrons, trazendo-os para fora do equilbrio pela aplicac~ao de uma diferenca de potencial. No regime balstico a interferência entre as ondas espalhadas pelas fronteiras do sistema gera efeitos no transporte equivalentes aos do regime difusivo ( utuaco~es na condutância e localizac~ao fraca)[14]. Na

(93) gura (1.6) mostramos um ponto quântico de geometria circular usado em experimentos de magneto-transporte a baixas temperaturas [15]. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(94) 1.5 Caos quântico. 12. Figura 1.6: Bilhar mesoscopico circular retirado da referência [15]. Os eletrons se movem na regi~ao escura. E possvel construir pontos quânticos de varias formas geometricas. Pontos de geometria regular apresentam propriedades espec

(95) cas e n~ao universais, no entanto pontos assimetricos podem apresentar caractersticas universais. Os sistemas passam ent~ao a ser distinguidos por classes de simetria universais que dependem da existência de certas simetrias fundamentais, como por exemplo a invariância de revers~ao temporal. No estudo de pontos quânticos, propriedades universais aparecem em cavidades nas quais a dinâmica classica correspondente e caotica. Um exemplo desta geometria e o estadio, ver

(96) gura (1.7).. 1.5 Caos quântico Caos e essencialmente um fenômeno classico e e consequência da alta sensitividade das trajetorias do sistema a pequenas variac~oes nas condico~es iniciais. Essa sensitividade, por sua vez, resulta da combinac~ao de efeitos n~ao lineares, como a superposica~o de ressonâncias. Na mecânica quântica a dinâmica e descrita pela equac~ao de Schrodinger, que, sendo linear, n~ao apresenta de forma obvia os mecanismos classicos para surgimento de comportamento caotico. Por exemplo, parâmetros como o expoente de Liapunov, cujo valor positivo caracteriza caos em sistemas classicos, n~ao tem de

(97) nic~ao natural em sistemas quânticos. Isso torna a caracterizac~ao de caos em sistemas quânticos um problema bastante sutil. No entanto, o princpio da correspondência da mecânica quântica estabelece que as propriedades classicas de um sistema devem surgir a partir da sua descric~ao Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(98) 1.5 Caos quântico. 13. quântica no limite em que a constante de Planck tende a zero. Isso tem motivado o estudo de sistemas quânticos que s~ao caoticos no limite classico. A dinâmica quântica neste regime e denominada caos quântico [16]. Frequentemente os sistemas estudados s~ao bilhares, sistemas balsticos com espalhamento especular nas fronteiras. A

(99) gura (1.7) mostra dois exemplos de bilhares. No bilhar circular as trajetorias s~ao regulares e previsveis mesmo apos um tempo longo. A invariância de rotac~ao do bilhar circular e quebrada adicinando-se duas linhas retas paralelas nas extremidades dos semicrculos, gerando um bilhar de forma oval conhecido como estadio. As trajetorias

(100) cam irregulares (caoticas), tornando imprevisvel o comportamento em tempos longos.. Figura 1.7: Trajetorias em um bilhar circular e em um estadio. O movimento no crculo e regular ou ordenado, enquanto que no estadio e irregular ou caotico. Quando aspectos quânticos s~ao importantes na descric~ao de um sistema fsico a noc~ao de trajetorias unicas ligando pontos

(101) xos perde o sentido. Neste caso se insistirmos em preservar o conceito de trajetorias, somos forcados a usar a representac~ao de Feynman para os propagadores da dinâmica quântica. Por outro lado, podemos calcular diretamente os autovalores de energia de uma partcula no bilhar, visto como uma caixa de paredes impenetraveis, usando a equaca~o de Schrodinger. Uma alternativa ao calculo e o metodo experimental [17]: o fato da equac~ao de Schrodinger independente do tempo e a equac~ao de onda escalar classica independente do tempo (equac~ao de Helmholtz) serem matematicamente equivalentes permite que um bilhar quântico seja simulado por uma cavidade de microondas. Esta simulaca~o e muito importante pois permite que parâmetros como tamanho e forma da cavidade, intervalo de frequências, entre outros, possam ser alterados, revelando aspectos do caos quântico.. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(102) Captulo 2 Introduc~ao ao Formalismo O estudo do espalhamento de ondas em sistemas complexos tem interessado fsicos de diversas areas desde otica, com o espalhamento de luz em meios desordenados, ate a fsica nuclear, com experimentos de espalhamento de nêutrons por nucleos complexos. E interessante notar que o espalhamento de um nucleon por um nucleo atômico - um complicado problema de muitos corpos - pode ser descrito por duas escalas de tempo distintas:. . Uma resposta imediata associada a processos diretos em que o nucleon incidente sente o campo medio produzido pelos outros nucleons.. . Uma resposta retardada, ou equilibrada, associada a formaca~o e decaimento de um nucleo composto.. Caractersticas similares a essas tambem surgem no problema de espalhamento para sistemas simples de uma partcula. Um exemplo e o espalhamento de uma partcula numa cavidade de dimens~oes maiores que o comprimento de onda, na qual a dinâmica classica e caotica. Uma realizac~ao experimental desses sistemas s~ao os pontos quânticos, microestruturas em que o comprimento de coerência de fase e o livre caminho medio excedem as dimens~oes do sistema. O ponto atua como uma cavidade ressonante conectada a guias de onda eletrônicos. Experimentalmente, aplica-se uma corrente eletrica atraves dos guias que conectam a cavidade e mede-se a diferenca de potencial atraves da cavidade, calculando-se a condutância G. Landauer [18],[19] foi o primeiro a estabelecer a conex~ao entre a condutância de um sistema quanto-mecânico e o problema de espalhamento associado: a corrente atraves do condutor e expressa em termos da probabilidade do eletron ser transmitido atraves dele. Mais tarde, Buttiker [20] estendeu o resultado para medidas em 14.

(103) 15 dispositivos de muitos terminais na presenca de campo magnetico. O formalismo de Landauer - Buttiker tem sido extensivamente usado na interpretaca~o dos experimentos em fsica mesoscopica. Ele fornece uma descric~ao completa das propriedades de transporte a baixas frequências, temperaturas e voltagens. Condic~oes nas quais a interac~ao eletron-eletron pode ser desprezada. O objeto fundamental que caracteriza o processo de espalhamento e a matriz de espalhamento, ou matriz S , que relaciona as ondas espalhadas com as incidentes. Devido a natureza caotica da dinâmica, a matriz S comporta-se de forma irregular quando parâmetros das ondas incidentes (energia, por exemplo) ou da regi~ao de espalhamento (forma ou intensidade do potencial espalhador, intensidade de um campo magnetico aplicado, etc.) variam suavemente. Dessa forma, uma descric~ao estatstica baseada em distribuic~oes e func~oes de correlaca~o torna-se mais apropriada. Uma ferramenta teorica bastante util para o estudo de propriedades estatsticas de sistemas quânticos abertos exibindo espalhamento caotico e a Teoria de Matrizes Aleatorias (TMA). Originalmente desenvolvida por Wigner e Dyson para descrever utuac~oes no espectro de ressonância em nucleos pesados, tem sido amplamente usada em fsica mesoscopica, sendo a universalidade dos fenômenos de interferência quântica, observada em tais sistemas, intimamente associada a universalidade das propriedades estatsticas dos autovalores e autovetores de matrizes aleatorias grandes. Existem dois metodos para se obter a TMA da matriz S de uma cavidade caotica. O primeiro usa a formula de Mahaux-Weidenmuller, na qual a matriz S e expressa em termos do Hamiltoniano do sistema fechado, modelado como um membro dos Ensembles Gaussianos da TMA, e de uma matriz fenomenologica que descreve o acoplamento da cavidade com os guias. O segundo metodo consiste em aplicar a TMA diretamente a matriz de espalhamento atraves do uso de um princpio de maxima entropia, sem nenhuma referência ao Hamiltoniano. A equivalência entre os dois metodos foi demonstrada nas referências [21] e [22]. Este captulo esta organizado da seguinte maneira: na sec~ao 2.1 apresentamos as ideias gerais de um problema quanto-mecânico de espalhamento numa cavidade e introduzimos a matriz de espalhamento. Na sec~ao 2.2 estudamos os efeitos das simetrias gerais do problema com conservac~ao de uxo, revers~ao temporal e rotac~ao de spin na estrutura da matriz S . Em seguida, nos restringimos ao problema do dispositivo de dois terminais. Na seca~o 2.3 mostramos como

(104) ca a matriz S nesse caso e na sec~ao 2.4 apresentamos o formalismo de Landauer-Buttiker que relaciona as propriedades de transporte com a matriz S . Na sec~ao 2.5 introduzimos os conceitos mais importantes da teoria de matrizes aleatorias e sua aplicac~ao em problemas de Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(105) 2.1 Teoria de espalhamento. 16. espalhamento. Na sequência, apresentamos uma deduc~ao da formula de MahauxWeidenmuller na sec~ao 2.6 e o metodo de Fokker-Planck na seca~o 2.7.. 2.1 Teoria de espalhamento Estamos interessados em estudar o problema de espalhamento de um eletron com energia de Fermi F = ~2 kF2 =2m numa microestrutura 2D como mostrado na

(106) gura 2.1. A microestrutura consiste em uma cavidade conectada a reservatorios de eletrons por L guias. O l-esimo guia (l = 1; : : : ; L) tem largura Wl . Nosso ponto de partida e a equac~ao de Schrodinger 1 h ~ e ~ i2 i~r + A(~r) (~r) + V (~r) (~r) = E (~r); (2.1) 2m c dentro da estrutura com condic~oes de contorno ideais de paredes impenetraveis: a func~ao de onda se anula nas paredes. Aqui, V (~r) e o potencial devido as impurezas e A~ (~r) e o potencial vetor de um campo magnetico externo. Os guias s~ao considerados ideais, ou seja, V (~r) e nulo dentro deles. Em cada guia introduzimos o sistema de coordenadas (xl ; yl ), como indicado na

(107) gura 2.1. O eixo xl e paralelo ao guia e esta orientado para fora da cavidade. O eixo yl aponta na direc~ao transversal e assume os valores 0 e Wl nas paredes do. (l). yl bn (l). an xl. Wl. x1 W1 y1. (1). an. (1). bn. yL. xL. (L). bn WL. (L). an. Figura 2.1: Cavidade 2D com L guias. As setas dentro dos guias representam ondas entrando e saindo da cavidade. No guia l ha Nl dessas ondas.. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(108) 2.1 Teoria de espalhamento. 17. guia. Para o guia l e para xl > 0 temos a soluc~ao da equac~ao de Schrodinger (~r) / n (yl )eikl;n xl ; (2.2) onde o sinal positivo (negativo) representa ondas planas saindo (entrando) da cavidade. As func~oes n (yl ) s~ao soluco~es da parte transversal do Hamiltoniano na presenca do campo magnetico. A soluc~ao do problema de espalhamento consiste em relacionar as amplitudes das ondas que saem da cavidade com as que entram. Na ausência do campo magnetico, B = 0, as func~oes n (yl )

(109) cam r 2 n n (yl ) = sin(Kl;n yl ); Kl;n = ; n = 1; 2; : : : (2.3) Wl Wl onde Kl;n e o numero de onda transversal. As func~oes n (y ) se anulam nas paredes e formam um conjunto completo Z Wl 0. 1 X n=1. n (yl )m (yl )dyl = Æn;m ;. (2.4a). n (y )n(y 0) = Æ (y. (2.4b). y 0):. Em consequência das condic~oes de contorno de \paredes rgidas" temos uma quantizac~ao transversal. Para cada inteiro n na Eq. (2.3) temos um modo ou canal. Os numeros de onda transversal e longitudinal se relacionam por: 2mF (2.5) [kl;n]2 + [Kl;n ]2 = kF2 ~. Se Kl;n < kF , ent~ao [kl;n] > 0, kl;n e real e as exponenciais eikl;n xl na Eq.(2.2) representam ondas propagantes nos guias: s~ao os modos propagantes ou canais abertos. Por outro lado, quando Kl;n > kF , ent~ao [kl;n]2 < 0 e kl;n e imaginario, dando origem a ondas que decaem exponencialmente nos guias: estes s~ao os modos evanescentes ou canais fechados. Se Nl < kF Wl = < Nl + 1; (2.6) ha Nl canais abertos no guia l. Longe da cavidade, ou seja, para xl ! 1, apenas os canais abertos contribuem para a funca~o de onda. A forma assintotica da func~ao de onda no guia l e dada por 2. Nl X n=1. e ikl;n xl anl (~kl;n=m)1=2 ( ). eikl;n xl l + bn (y ): (~kl;n=m)1=2 n l ( ). (2.7). A normalizac~ao aqui presente atende a prescric~ao usual de problemas de espalhamento. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(110) 2.1 Teoria de espalhamento 2.1.1. 18. Matriz de espalhamento. Podemos de

(111) nir o vetor das Nl amplitudes das ondas incidentes na cavidade atraves do guia l. a(l) = (al1 ; : : : ; alNl )T :. (2.8). Agrupando todos os a(l) (l = 1; : : : ; L), temos o vetor. a = (a(1) ; : : : ; a(L) )T ;. (2.9). associado as ondas que entram na cavidade a partir de todos os canais abertos em todos os guias. De maneira similar, de

(112) nimos o vetor b associado as ondas que saem da cavidade. A matriz de espalhamento, ou matriz S , conecta essas amplitudes. b = Sa:. (2.10). Seus elementos de matriz s~ao rotulados por Sklij e conectam estados do modo l do guia j aos estados do modo k do guia i. A matriz S pode ser representada na forma de blocos 2 3 r11 t12 : : : t1L 6 t r22 : : : t2L 7 21 7 S=6 (2.11) 6 .. 7; . . . . . . 4 . . . 5 . tL1 tL2 : : : rLL onde os blocos rll s~ao matrizes Nl Nl que descrevem a re ex~ao do l-esimo guia nele mesmo. Os blocos tlm s~ao matrizes Nl Nm que descrevem a transmiss~ao dos Nm canais do guia m para os Nl canais do guia l. Sendo NT o numero total de modos em todos os guias, a matriz S e quadrada e tem ordem. NT =. L X l=1. Nl :. (2.12). Outra maneira de expressar a func~ao de onda no l-esimo guia e pelo vetor Nl dimensional [23] l (~r) [ 1 (xl ; yl ); : : : ;. Nl (xl ; yl )]. T. ;. cujas entradas s~ao as func~oes de onda de cada modo propagante. n (xl ; yl ) = n (xl )n (yl ); ik xl ikn;l xl + bln (~ken;ln;l n(xl ) = aln (~ekn;l =m )1=2 =m)1=2 : Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.13) (2.14).

(113) 2.1 Teoria de espalhamento 2.1.2. 19. Densidade de corrente. A densidade de corrente [24] no guia l e dada por. jl . ~. m. Z Wl . Im. . @ yl (~r) l (~r) @xl. 0. xl =0. dyl :. (2.15). Notando que . . @ yl (~r) l (~r) @x l. xl =0. =. Nl X. @ (x ) (x ) j l l. j. j =1. . @xl. xl =0. 2j (yl ). e usando a relac~ao de ortogonalidade (2.4a), temos. jl =. ~. m. Im. Nl X. @ (x ) (x ) j l j. j =1. l. . @xl. xl =0. =. Nl X n=1. (jbln j2. jalnj ): 2. (2.16). A Eq.(2.16) pode ser escrita numa forma matricial. Para isso note que 0 Nl X n=1. (jbln j2. jalnj ) = (bl ; : : : ; blNl ; al ; : : : 2. 1. 1. B B B l ; aN l ) B B B B @. bl1 .. . l bNl al1 .. . alNl. 1 C C C C C: C C A. De

(114) nindo o vetor 2Nl -dimensional das amplitudes das ondas de todos os modos do guia l . (l ) cl = ba(l). . = [b(1l) ; : : : ; b(Nl)l ; a(1l) ; : : : ; a(Nl)l ]T ;. (2.17). a densidade de corrente

(115) ca. jl = cyl z cl ;. (2.18). onde z e uma generalizac~ao 2Nl -dimensional da matriz z de Pauli em termos da matriz identidade Nl Nl z = z 1Nl =. . 1Nl 0. 0 1Nl. . :. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.19).

(116) 2.2 Simetrias. 20. 2.2 Simetrias Nesta sec~ao, vamos estudar os vnculos na matriz S gerados pelas simetrias basicas do problema como conservac~ao de corrente e revers~ao temporal. 2.2.1. Conserva c~ ao de corrente. A conservac~ao de corrente implica L X l=1. jl = 0;. (2.20). isto e, Nl L X X l=1. n=1. j j bln. 2. =. Nl L X X l=1. n=1. jalnj : 2. (2.21). Usando os vetores a e b de

(117) nidos pela Eq. (2.9), a Eq. (2.21) pode ser escrita numa forma matricial by b = ay a: Da de

(118) nic~ao de matriz-S, Eq. (2.10), conclumos que. S y S = 1;. (2.22). ou seja, a conservac~ao de corrente implica na unitariedade da matriz S . Na ausência de outras simetrias, temos apenas este vnculo. 2.2.2. Revers~ ao temporal (Part culas sem spin). Se o Hamiltoniano preserva a simetria de revers~ao temporal (se n~ao ha o termo de vetor potencial A~ na Eq. (2.1)), para cada soluca~o (~r), a sua conjugada (~r) e soluca~o da equac~ao revertida no tempo (t ! t). Na base de espalhamento a revers~ao temporal inverte o sentido de propagaca~o das ondas planas nos guias. No problema revertido no tempo a matriz de espalhamento

(119) ca. a = Srev b :. (2.23). Se o sistema e invariante sob revers~ao temporal, temos Srev = S . Usando mais uma vez a de

(120) nic~ao da matriz S , conclumos que. SS = 1: Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.24).

(121) 2.2 Simetrias fornece. 21. Este vnculo combinado com a condic~ao de conservaca~o de uxo, Eq. (2.22),. S T = S;. (2.25). ou seja, a simetria de revers~ao temporal implica que a matriz S e simetrica. 2.2.3. Revers~ ao temporal (Part culas de spin 1/2). Este caso e mais complicado e temos que tomar cuidado com a implementac~ao da simetria de revers~ao temporal. A base dos estados de espalhamento

(122) ca B = fjx; i = jxi ji; 0 x < 1; = g. Um estado do sistema j i tem funca~o de onda. hx; j i =. (x):. (2.26). Vemos que a func~ao de onda possui dois componentes, = , que podemos representar por uma matriz 2 1 (spinor de Pauli). [ ]=. . +. (x) (x). . :. (2.27). O operador anti-unitario de revers~ao temporal [24] e dado por = iy K;. (2.28). onde y e a segunda matriz de Pauli e K e o operador de conjugac~ao complexa. A ac~ao desse operador nos vetores da base B e dada por jx; i = jx; i:. (2.29). Podemos assim, ver como uma componente da func~ao de onda se transforma sob a operac~ao de revers~ao temporal. Considere o estado revertido no tempo. j ~i = j i;. (2.30). projetando na base B, obtemos. hx; j ~i. = hx; j(j i) = [(hx; j)j i] = hx; j i;. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.31).

(123) 2.2 Simetrias. 22. onde usamos o fato de ser anti-unitario [25]. Conclumos que as componentes da func~ao de onda se transformam como (x). !. ~ (x) = (x):. (2.32). Em termos de matrizes, temos [ ~] =. . ~+ (x) ~ (x). . =. . (x) . (x). +. =. . 0 1 1 0. . (x) (x) ;. +. (2.33). ou seja, o operador de revers~ao temporal na base B tem representac~ao dada por =. . 0 1. 1 0. . C;. (2.34). onde C representa a operac~ao de conjugac~ao complexa. Voltando ao problema da Figura 2.1, generalizando a Eq. (2.13) para incluir o spin, a func~ao de onda no guia l

(124) ca l (~r) [. ;. 1+. (xl ; yl );. ;. 1. (xl ; yl ) : : : ;. Nl ;+ (xl ; yl ); Nl ;. (xl ; yl )]T ;. (2.35). onde n; (xl ; yl ). n; (xl ). = n; (xl )n (yl ); ik xl ikn;l xl + bln; (~ken;ln;l = aln; (~ekn;l =m )1=2 =m)1=2 :. (2.36). O vetor com as amplitudes de todas as ondas que entram na cavidade

(125) ca. a = (a11;+ ; a11; ; : : : ; a1N1 ;+ ; a1N1 ; ; ; aL1;+ ; aL1; ; : : : ; aLNL ;+ ; aLNL ; )T : |. {z guia 1. }. |. {z guia L. }. (2.37). O vetor b e de

(126) nido de forma analoga. A func~ao de onda de um modo no sistema revertido no tempo e dada por . ~n; (xl ) = a~ln;. . ikn;l xl eikn;l xl ~bln; e + (y ); (~kn;l =m)1=2 (~kn;l =m)1=2 n l. (2.38). onde a~ln; = aln; , o mesmo para ~bln; . Sendo ~a a matriz de amplitudes do sistema revertido no tempo, ela se relaciona com a por. ~a = Ka ; Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.39).

(127) 2.3 Problema de dois terminais. 23. onde K e a matriz anti-simetrica 0. K. B B =B B B @. 0 1 1 0. . 1. .... 0 1. 1 0. C C C C C A. (2.40) NT 2NT. 2. A matriz de espalhamento do estado revertido (suposto invariante) no tempo e ~a = S b~. Usando a relac~ao (2.39) e a de

(128) nic~ao de matriz S temos. SKS = 1:. (2.41). A equac~ao (2.41) pode ser convenientemente reescrita na linguagem de quaternions. SS = 1;. (2.42). onde o \" representa conjugac~ao complexa quaterniônica.. 2.3 Problema de dois terminais Nesta tese estudamos o problema de uma cavidade conectada por dois guias como ilustrado na

(129) gura 2.2. 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111. a1 b1. y x. a2 b2. Figura 2.2: Cavidade 2D com 2 guias semi-in

(130) nitos. Neste caso a matriz S

(131) ca . S = rt 11 rt12 21 22. . . . . r t0 : t r0. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.43).

(132) 2.3 Problema de dois terminais. 24. Em particular, quando N1 = N2 = N , isto e, os dois guias têm o mesmo numero de canais abertos N , a matriz S e do tipo 2N 2N . A unitariedade de S implica nas relac~oes. ryr + ty t = 1; r0 yr0 + t0 y t0 = 1; ryt0 + ty r0 = 0; r0 y t + t0 y r = 0:. (2.44) (2.45) (2.46) (2.47). Temos ainda que tyt e t0 y t0 têm os mesmos autovalores f1 ; 2 ; : : : ; N g onde N = min(N1 ; N2 ). Cada um desses \autovalores de transmiss~ao" e um numero compreendido entre 0 e 1. Se estivermos interessados em estudar a matriz de espalhamento de duas amostras mesoscopicas em serie, num problema de duas cavidades como mostrado na

(133) gura 2.3, assumimos que as duas amostras est~ao ligadas por um

(134) o ideal de modo que as matrizes de espalhamento S1 e S2 sejam bem de

(135) nidas, e encontramos a matriz de espalhamento do sistema acoplado [9]. As matrizes de re ex~ao e transmiss~ao do sistema composto

(136) cam. r t t0 r0. = = = =. r1 + t01 (1 r10 r2 ) 1 r2 t1 ; t2 (1 r10 r2 ) 1 t1 ; t01 (1 r2 r10 ) 1 t2 ; r20 + t2 (1 r2 r10 ) 1 r10 t02 :. (2.48). Vemos que a regra de composic~ao de matrizes de espalhamento e complicada e envolve invers~oes matriciais. Uma regra de composic~ao mais simples e obtida com o auxlio da matriz de transferência M , que conecta as amplitudes do guia da direita 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 11111111 00000000 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111. S1. 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111. S2. Figura 2.3: Duas amostras mesoscopicas em serie, conectados por um guia ideal. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(137) 2.3 Problema de dois terminais. 25. c2 com as do guia da esquerda c1 c2 = Mc1 ;. (2.49). onde cl (l = 1; 2) foi de

(138) nido na Eq. (2.17). A regra de composic~ao para a matriz de transferência e simplesmente o produto das matrizes de transferência dos componentes. Ent~ao, a matriz de transferência do sistema da

(139) gura (2.3) e. M = M2 M1 ;. (2.50). onde M1 e M2 s~ao as matrizes das cavidades individuais. A simplicidade da regra de composic~ao torna a matriz de transferência conveniente para o estudo de transporte quântico em

(140) os. As simetrias que estudamos na sec~ao (2.2) imp~oem vnculos na matriz de transferência: 1. Conservac~ao de corrente. M y z M = z. M z M y = z. ou. (2.51). 2. Revers~ao temporal. M = x M x. (2.52). M = M T ;. (2.53). 3. Revers~ao temporal (spin 1/2). onde =. . 0 K K 0. . (2.54). e K e a matriz de

(141) nida pela Eq. (2.40). Um estudo detalhado dessas equac~oes e feito na referência [23].. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE.

(142) 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker. 26. 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker Consideremos uma amostra mesoscopica conectada a dois reservatorios de eletrons, caracterizados pelos potenciais qumicos 1 e 2 , atraves dos quais se aplica uma diferenca de potencial V . O sistema esta em equilbrio termico a temperatura T e as func~oes de distribuic~ao dos eletrons nos reservatorios s~ao dadas pela func~ao de Fermi 1 f (E ) = ; = 1; 2: (2.55) (E )=kB T 1+e Os reservatorios, alem de funcionarem como fonte dos portadores, tambem atuam como sumidouros perfeitos, ou seja, os eletrons passam dos guias para os reservatorios com probablilidade de re ex~ao nula. Vamos usar o formalismo de Landauer-Butikker que consiste em relacionar as propriedades de transporte do sistema com suas propriedades de espalhamento descritas pela matriz S . Na linguagem da segunda quantizac~ao introduzimos os operadores a^ynl (E ) e a^ln (E ) que criam e aniquilam eletrons em estados com energia total E entrando na amostra pelo modo transversal n do guia l. Da mesma forma os operadores de criac~ao ^bynl (E ) e aniquilaca~o ^bln (E ) descrevem eletrons saindo da amostra. Esses operadores obedecem as relac~oes de anti-comutaca~o. fa^ln(E ); a^ynl0 (E 0 )g fa^ln(E ); a^ln0 (E 0 )g. = Æn;n0 Æ (E E 0 ); = fa^ynl (E ); a^ynl0 (E 0 )g = 0;. (2.56) (2.57). e o mesmo se aplica ao operador ^b. Os operadores a^ e ^b est~ao relacionados pela matriz de espalhamento ^bln =. X k. l a Snk ^ k. e. ^bynl =. X. X. k. k. l ) a (Snk ^yk =. (S y ) knl a^yk :. (2.58). A matriz S tem dimens~ao (N1 + N2 ) (N1 + N2 ), onde N1 e N2 representam os numeros de canais abertos nos guias 1 e 2, respectivamente. Alem disso, S tem a estrutura de blocos (2.43). O operador corrente no guia l (l = 1; 2) (longe da amostra) e dado por. I^l =. ~e. Z. 2im. . ^ yl (r~l ; t) @ ^ (r~ ; t) dyl @x l l l. . . . @ ^y ^ l (r~l ; t) ; (r~ ; t) @xl l l. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.59).

(143) 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker. 27. ^ l (r~l ; t) e ^ yl (r~l ; t) s~ao de

(144) nidos por onde os operadores de campo X + ^ l (r~l ; t) =. [ l;n (r~l )âln (t) + l;n(r~l )^bln (t)]; n X. ^ yl (r~l ; t) =. n. [. +. l;n. (r~ )ây l (t) + l. n. l;n. (2.60). (r~ )^by l (t)];. (2.61). l n. (r~ ) s~ao as func~oes de onda no guia l e l;n l. eikl;n xl (y ): (2.62) (~kl;n=m)1=2 n l Aqui n (yl ) e a parte transversal da func~ao de onda. Os operadores a^ln (t) e a^ln (E ) se relacionam pela transformada de Fourier Z Z 1 l iEt= ~ l l a^n (E ) = dte a^n (t) ; a^n (t) = dEe iEt=~ a^ln (E ): (2.63) 2 ~ Substituindo as equac~oes (2.63) e (2.62) nas express~oes dos operadores de campo,

(145) camos com (r~ ) =. l;n l. ^ l (r~l ; t) =. e ^ yl (r~l ; t) =. Z. Z. dEe. iEt=~. NX (E ) n=1. dEeiEt=~. NX (E ) n=1. n (yl ) [âln (E )eikl;n xl + ^bln (E )e 2 ~ vl;n(E ). ikl;n xl ]. (2.64). + ^bynl (E )eikl;n xl ];. (2.65). p. n (yl ) [âynl (E )e 2 ~ vl;n(E ). p. ikl;n xl. onde introduzimos vln = ~kln =m, a velocidade dos portadores no n-esimo modo transversal do guia l. Depois de um pouco de algebra, a express~ao para o operador corrente

(146) ca. I^l (x; t) =. . e P R n 4 ~. R. dE dE 0 ei(E E 0 )t=~ pv (E1)v (E 0 ) ln ln f [vln(E ) + vln(E 0)] exp[i(kl;n(E 0 ) kl;n(E ))xl ]âynl (E )âln (E 0i) exp[i(kl;n (E ) + kl;n(E 0 ))xl ]^bynl (E )^bnl (E 0 ) [hvln (E ) vln (E 0 )] exp[ i(kl;n (E ) + kl;n(E 0 ))xl ]âynl (E )^bnl (E 0 ) io exp[i(kl;n(E ) + kl;n(E 0 ))xl ]^bynl (E )ânl (E 0 ) :. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.66).

(147) 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker. 28. Esta express~ao e bastante complicada e ainda depende da coordenada xl , mas pode ser simpli

(148) cada. Como apenas os eletrons numa janela de energia da ordem de kB T em torno da energia de Fermi contribuem para a conduc~ao, podemos fazer vln (E ) = vln (E 0 ) na Eq. (2.66). Com isso, o operador corrente

(149) ca. eX I^(t) = h n. Z. dE. Z. dE 0 ei(E. E 0 )t=~ [^ aynl (E )âln (E 0 ). ^bynl (E )^bnl (E 0 )]:. (2.67). Usando a matriz de espalhamento para expressar o operador corrente apenas em termos dos operadores a^ e de

(150) nindo 0 A

(151) mk (l; E; E ) Æ l Æ

(152) l Æmk. obtemos. e XX I^l (t) = h

(153) mk. Z. dE. Z. dE 0 ei(E. X n. l

(154) 0 (S y ) l mn (E )Snk (E );. E 0 )t=~ a 0 a

(155) (E 0 ): ^ my (E )A

(156) mk (l; E; E )^ k. (2.68). (2.69). Os ndices e

(157) indicam os reservatorios e podem assumir os valores 1 e 2. 2.4.1. Condut^ ancia. No calculo da corrente media assumimos que os eletrons nos guias têm a mesma distribuic~ao dos reservatorios. Para um sistema em equilbrio termico a media do produto de um operador de criaca~o e um de aniquilac~ao de eletrons num gas de Fermi e. ha^ my(E )â

(158) k (E 0 )i = Æ

(159) Æmk Æ(E E 0)f (E );. (2.70). onde f e a func~ao de Fermi-Dirac. Usando a express~ao (2.70), a corrente media

(160) ca XX hIl i = he m.

(161) ca. Z. dEA mm (l; E )f (E ):. (2.71). Escolhendo l = 1 e usando a unitariedade da matriz S , a corrente no guia 1. hI1 i = he. Z. dE Tr[t(E )ty (E )][f1 (E ) f2 (E )]:. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.72).

(162) 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker. 29. onde. f1 (E ) = f (E EF eV ); f2 (E ) = f (E EF ); f (x) = [1 + e(x=kB T ) ] 1 :. (2.73) (2.74) (2.75). No regime de resposta linear. f1 (E ) f2 (E ) = f (E. EF. eV ) f (E EF ) @ dE 0 0 f (E E 0 ) @E @ f (E EF ) @E. Z EF +eV. =. EF . eV. (2.76). A condutância, de

(163) nida por G = limV !0 hI i=V ,

(164) ca. e G= h. Z. dE. . @ f (E @E. . EF ) Tr[ty (E )t(E )]:. Em T = 0 a func~ao de Fermi

(165) ca uma func~ao degrau, f (E EF ) = 1 (E Neste caso, @f (E EF )=@E = Æ (E EF ), e a condutância

(166) ca. (2.77). EF ).. e2 Tr[t(EF )ty (EF )]: (2.78) h A Eq. (2.78) relaciona a matriz de espalhamento calculada na energia de Fermi com a condutância do sistema. A matriz ty t pode ser diagonalizada e a condutância pode ser expressa em termos dos autovalores de transmiss~ao G=. G = G0. X n. n ;. G0 =. e2 : h. (2.79). Se considerarmos o spin teremos um fator G0 = 2e2 =h. Tambem podemos de

(167) nir a condutância adimensional. g G=G0 = Trtty =. X n. n :. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.80).

(168) 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker 2.4.2. 30. Flutua c~ oes da corrente. A teoria de espalhamento tambem pode ser usada para outras propriedades de transporte como utuac~oes temporais da corrente, I^l , que fornecem informac~ao adicional sobre o processo de transporte. A temperatura zero, a discreteza da carga e a unica fonte das utuac~oes temporais da corrente. Essas utuac~oes s~ao chamadas de \rudo de disparo" para diferencia-las das utuaco~es termicas que ocorrem para temperaturas n~ao nulas. Outra diferenca entre os dois e que o rudo de disparo e proporcional a voltagem, enquanto o rudo termico ocorre a V = 0. O rudo de disparo e ent~ao um fenômeno intrinsecamente de n~ao-equilbrio e fornece informaco~es sobre a correlac~ao entre as cargas devido ao princlio de Pauli. Para estudar as utuac~oes na corrente, vamos introduzir o operador I^l = I^l. hIl i. (2.81). O rudo e caracterizado pela densidade espectral ou potência do espectro P (! ), que e a transformada de Fourier de frequência ! da func~ao de correlac~ao corrente-corrente. P (! ) = 2. Z 1. 1. dtei!t hI^l (t + t0 )I^l (t0 )i:. (2.82). A func~ao de correlac~ao pode ser escrita como. hI^l (t + t )I^l (t )i = hI^l(t + t )I^l (t )i hI^l (t + t )ihI^l (t )i: 0. 0. 0. 0. 0. 0. (2.83). Para achar a potência do rudo precisamos extrair a media do produto de quatro operadores a^. Para um gas de fermions em equilbrio essa media e obtida pelo teorema de Wick D. E. a^ym (E1 )â

(169) k (E2 )âyr (E3 )âysÆ (E4 ). = Æ Æ Æ

(170) Æms Ærk Æ (E1. D. E.

(171) y. a^m (E1 )âk (E2 ) a^yr (E3 )âÆs (E4 ). E4 )Æ (E2. E3 )f (E1 )[1 f

(172) (E2 )]:. (2.84). Usando a de

(173) nic~ao do operador corrente (2.69), o teorema de Wick e a relac~ao i(~!+E1 E2 )t=~ = 2 ~ Æ (~! + E E2 ), a densidade espectral

(174) ca [26] 1 1 dte. R1. 2e2 X X P (! ) = h

(175) mk. Z.

(176) dEA

(177) mk (E; E + ~! )Akm (E + ~!; E )f (E )[1 f

(178) (E + ~! )]:. Tese de Mestrado - Departamento de Fsica - UFPE. (2.85).

(179) 2.4 Teoria de Landauer -Buttiker. 31. Para frequências arbitrarias esta express~ao n~ao e consistente com a conservac~ao de corrente e a invariância de gauge, e considerac~oes adicionais s~ao necessarias para a obtenc~ao de um resultado

(180) sicamente aceitavel. No entanto, a componente de frequência nula do rudo Z 2e2 X X P P (0) = dEA

(181) (E; E )A

(182) (2.86) mk km (E; E )f (E )[1 f

(183) (E )]; h

(184) mk n~ao apresenta esses problemas e e nela que estamos interessandos. Usando a de