Discretização de problemas semilineares dissipativos parabólicos e hiperbólicos em domínios unidimensionais

Texto

(1)SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: 07/07/2000 Assinatura:. -blahÁ e;(,. CLA.,n. Discretização de problemas semilineares dissipativos parabólicos e hiperbólicos em domínios unidimensionais. Simone Mazzini Bruschi. Orientador: Prof. Dr. Alexandre No/asco de Carvalho. Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do titulo de Doutor em Ciências — Área: Matemática.. USP — São Carlos Julho de 2000.

(2) À minha família e ao Caio.

(3) Agradecimentos 1 Agradeço ao Alexandre pela disponibilidade, pela segurança e paciência com que me orientou neste trabalho. À minha família e ao Caio pela compreensão, apoio e estímulo que recebi. Aos meus amigos e às minhas irmãs que tornaram esse período mais agradável. Aos professores do ICMC-USP que participaram de alguma forma desta etapa e à todos os professores do Departamento de Matemática de Rio Claro - UNESP. À Beth, à Laura e a NIarília pela atenção que nos atenderam durante este período. À Elisa e à Ana que sempre ajudaram para resolver as questões burocráticas. Aos funcionários do ICMC-USP e do IGCE-UNESP pela disposição que sempre nos atenderam.. 'Este trabalho teve suporte financeiro parcial da FAPESP e da CAPES.

(4) Resumo Neste trabalho estudamos a redução do estudo da dinâmica assintótica de problemas de evolução semilineares em espaços de dimensão infinita ao estudo da dinâmica assintótica de problemas de evolução semilineares em espaços de dimensão finita. Mais especificamente, estaremos lidando com os problemas da condução de calor e de ondas. A forma escolhida para a redução da dimensão é a discretização. Neste sentido, estudamos: 1. A relação entre as dinâmicas assintóticas da equação do calor semilinear em domínios unidimensionais e sua respectiva discretização. Mostramos que, para passos suficientemente pequenos, os fluxos sobre os atratores são topologicamente equivalentes, e 2. A relação entre as dinâmicas assintóticas da equação semilinear de ondas amortecidas em domínios unidimensionais e sua respectiva discretização. Neste caso não foi possível obter a equivalência topológica entre os fluxos nos atratores, mas ainda é possível obter relações entre as dinâmicas assintóticas dadas pela semicontinuidade superior e inferior dos atratores..

(5) Abstract In this work we study the reduction of the study of the asymptotic dynamics of semilinear evolution problems in infinite- dimensional spaces to the study of the asymptotic dynamics of semilinear evolution problems in finite dimensional spaces. More specifically we will dealing with the heat conduction and wave problems. The tool choosen for the reduction of dimension is the discretization. In this way, we study: 1. The relationship between the asymptotic dynamics of the semilinear heat equation in one-dimensional domains and its discretization. We prove that for sufficiently small step-size, the flows on the attractors are topologically equivalente, and 2. The relationship between the asymptotic dynamics of semilinear damped wave equations in one-dimensional domains and its discretization. In this case it was not possible to obtain the topological equivalence between the flows in the attractors, however it is still possible to obtain a relationship between the asymptotic dynamics given by the upper and lower semicontinuity of attractors..

(6) índice Introdução. 1. 1 Preliminares. 9. 1.1 Introdução . 9. 1.2. A equação do calor e sua discretização . 11. 1.3. Problemas de ondas fortemente amortecidas . 17. 1.3.1 Propriedades espectrais de Cin . 18. 1.3.2 Existência de solução local, global, regularidade e existência de atrator em. 19. 1.4 Discretização do problema de ondas fortemente amortecidas 1.4.1 Propriedades espectrais de Qin - . 21 22. 1.4.2 Existência de atrator para a discretização do problema de ondas 24. fortemente amortecidas 1.5. 'Variedades Invariantes . 26. 1.6. Semi-continuidade superior . 37. 1.7 Teoremas de semi-continuidade inferior . 57. 2 Problema Parabólico. 59. 2.1 Discretização 2.2 O Problema Contínuo 2.3. 62. 64. Convergência Espectral Uniforme . 65. 2.3.2 Convergência Uniforme das Autofunções . 66. Comparação dos Campos Vetoriais . 66. 2.3.1 Convergência Uniforme dos Autovalores. 2.4. 38.

(7) 3 Semi-continuidade superior e inferior de atratores em ri para o problema continuo. 69. 3.1 Semi-continuidade superior . 70. 3.1.1 Limitação. uniforme em g, dos atratores na norma Y° 72. 3.2. 3.1.2 Limitação. uniforme em q. dos atratores na norma de Y' . 75. 3.1.3 Semicontinuidade superior dos atratores .41 em ri = O . 79. Semi-continuidade inferior dos atratores . 81 89. 4 Semi-continuidade superior e inferior em q para cada ri. 90. 4.1 Semi-continuidade superior . 4.1.1 Limitação uniforme em ri e em 77 dos atratores .471„ na norma de 11.7,° 91 4.1.2 Limitação uniforme em ri e em q dos atratores n na norma de V 95 4.1.3 Semi-continuidade superior dos atratores Au, em q = 0, para cada n. 98 4.2. Semi-continuidade inferior . 100. 5 Semi-continuidade superior de atratores dos problemas da onda com atrito forte e sua respectiva equação discretizada. 107. 5.1 Comparação dos Semigrupos Lineares . 110. 5.2 Comparação dos semigrupos não lineares . 118. 5.3 Semi-continuidade superior dos atratores .41 ei(Á71 ) em H1 x L2 . . . 119 A Convergência em ri e q dos autovalores do problema linearizado 121 A.1 Algumas estimativas . 121. A.2 Convergência de autovalores em ri . 126. A.3 Convergência de autovalores em q e ri . 131. Referências Bibliográficas. 136.

(8) Introdução Neste trabalho estudaremos dois problemas relacionados à discretização de equações de evolução semilineares, um deles relacionado à equação do calor e o outro relacionado à equação de onda amortecida, ambos em domínio unidimensional. Nos dois casos, nosso estudo se refere à relação entre a dinâmica assintótica dos problemas continuo e -suà respectiva discretizacão. Assim, nosso trabalho tem por objetivo o estudo das seguintes conjecturas Conjectura 1. As dinâmicas assintáticas da equação do calor e sua respectiva discretização espacial são "equivalentes". e Conjectura 2. As dinâmicas assintóticas da equação da onda com amortecimento e sua respectiva discretização espacial são "equivalentes". O termo "equivalente" terá significado diferente em cada uma das conjecturas acima e será tornado claro posteriormente. No que segue passamos a descrever com mais precisão as conjecturas acima e quanto de cada uma fomos capazes de solucionar. Relativamente a primeira conjectura, consideramos o seguinte problema parabólico escalar ut = a un + f(u),. 0 < x < 1, t > 0. ux(0) = ux (1) = 0, t > O,. (0.1). onde a>Oef :R —> Ft é uma função de classe C' satisfazendo a seguinte condição de dissipatividade lim sup f (u)lu < —6, iuHoo 1. (0.2).

(9) para algum õ > 0. Também, consideramos a discretização semi-implícita (0.1) com p passos igualmente espaçados = —aa,pU + f(U) onde. Ap. (0.3). é a matriz p x p dada por. Ap. 1. —1. 0. O. 0. O. —1. 2. —1. 0. 0. 0. 0. —1. 2. 0. 0. O. = p2. (0:4) 0. 0. 0 •• •. 2. —1. 0. 0. 0. 0 •• •. —1. 2. —1. 0. 0. 0 •• •. 0. —1. 1. f(U) = (f (ui), • • • f (up))T e U = (ui, ' • • up)TAs hipóteses sobre f garantem a existência de um atrator global A para (0.1) e um atrator global Ap para (0.3). Para (0.1) e (0.3), nosso objetivo é mostrar que, se p suficientemente grande, as dinâmicas assintóticas são topologicamente equivalentes, isto é, para passos suficientemente pequenos as dinâmicas assintóticas de (0.1) e (0.3) são topologicamente equivalentes. Para ilustrar as diferenças que podem ocorrer entre as dinâmicas de (0.1) e (0.3) quando os passos não são suficientemente pequenos, consideramos o caso p = 2 em (0.3); se nós escrevemos, x1 = 1/4, x2 = 3/4 e denotamos por ui(t) = u(xi, t) e u2(t) = então temos (já com as condições de fronteira incorporadas) que a equação (0.3) torna-se:. = —4a(u1 — u2) + f(u i ), fiz = 4a(u1 — uz) + f (u2)•. (0.5). Se consideramos f (u) = u — u3 , observamos que para qualquer valor de a a equação (0.5) tem no máximo nove pontos de equilíbrio enquanto o problema (0.1), para valores pequenos de a, pode ter um número arbitrariamente grande de pontos de equilíbrio (ver 2.

(10) [CID. Além disso, para 4a < 1/3 nós temos a existência de pontos de equilíbrio para (0.5) os quais são estáveis e da forma que U = u2) onde u1 u2 . Se a dinâmica de (0.5) fosse equivalente a dinâmica de (0.1) os pontos de equilíbrio U corresponderiam a pontos de equilíbrio estáveis e não constantes de (0.1); o que é um padrão. É bem conhecido (ver [Oh, CHoll que padrões não existem para o problema (0.1). Mesmo para valores de a não tão pequenos a dinâmica da equação discretizada pode diferir significativamente do problema contínuo. Isto foi mostrado previamente em [Rol. É claro que um argumento similar poderia ser desenvolvido para valores maiores de p. A vantagem de p = 2 é a possibilidade de calcular todos os pontos de equilíbrio de (0.5) o qual dá um descrição completa do atrator. Para este problema nós provamos o seguinte resultado comparando as dinâmicas de (0.1) e (0.3). Teorema 0.1. Para p suficientemente grande, existe um homeomorfismo H: À -> Ap o qual leva órbitas em órbitas preservando orientação. A prova deste resultado requer a imersão do espaço de fase do problema discreto no espaço de fase do problema contínuo. Desde que o problema contínuo é de dimensão infinita, o primeiro passo é reduzi-lo a um problema num espaço de dimensão finita e isto é feito utilizando o Teorema da Variedade Invariante. Infelizmente, se nós consideramos o problema contínuo sobre uma variedade invariante de dimensão finita fixa n e consideramos a discretização com tamanho de passo n-1, não somos capazes de provar que os campos de vetores, do problema contínuo e do discreto, são C1 próximos (devido ao fato que os autovalores de -at e os do operador Laplaciano 1-d com condição de Neumann não são uniformemente próximos). Mantendo o problema contínuo sobre uma variedade fixa, a proximidade dos campos de vetores proveniente de -a.p e da projeção do Laplaciano na Variedade Invariante ocorre quando o tamanho do passo é muito pequeno e assim a dimensão do problema discreto excede a dimensão da variedade. Nós poderíamos agora projetar o problema discreto sobre uma variedade invariante com a mesma dimensão da variedade do problema contínuo. Fazendo isso, trataríamos da parte dos campos provenientes das projeções dos operadores Laplaciano e de -a,p , mas isso nos traz complicações pois teríamos que estudar. a convergência das não linearidades projetadas sobre as variedades invariantes. 3.

(11) Para evitar esta complicação, permitimos que as dimensões de ambas as variedades invariantes cresçam de tal forma que ambas sejam C' pequenas e portanto muito próximas uma da outra na topologia CI. Então, desde que nós já sabemos que os atratores estão contidos em subvariedades de dimensão fixa, nós temos que os campos de vetores são Cl próximos nestas subvariedades. A equivalência topológica é consequência da estabilidade estrutural para o problema contínuo. Existem vários trabalhos na literatura onde esta equivalência topológica está enunciada. Entre eles nós podemos citar [Hal, FR]. No entanto não existe na literatura nenhuma prova rigorosa de tais resultados. No que se refere a segunda conjectura, consideramos o seguinte problema escalar hiperbólico utt + 2a ut = ux.. f (u), O < x < 1, t > O. u1(0) = u.(1) = O, t > O,. (0.6). onde a>Oef :R R é uma função de classe C2 , satisfazendo a condição de dissipatividade (0.2). Também consideramos a discretização semi-implícita de (0.6) com n passos igualmente espaçados. Denotando U = (ui , • • • , un)T escrevemos a seguinte equação + 2a E.J = —A„U f(U). (0.7). onde An é a matriz n x ri, dada por (0.4) com p = n e f(U) = (f (ui), • • • , (un))T • As suposições sobre f garantem a existência de um atrator global, A para (0.6) e um atrator global Av, para (0.7) Como não há na literatura qualquer resultado garantindo que a propriedade MorseSmale vale genericamente para (0.6), isto, aliado ao fato de não podermos garantir a existência de variedade invariante finito-dimensional faz com que não trabalhemos com equivalência topológica como no caso parabólico. Nosso objetivo, neste caso, será mostrar que as dinâmicas assintóticas são próximas num sentido a ser especificado posteriormente. Observamos que a equação (0.6) pode ser reescrita como: d2 v. du + 2a = —Avvit + — u dt2 2 4. f (u),. (0.8).

(12) onde A : D(A) C L2 -4 L2 dado por Au = + 1.u. Voltamos a denotar novamente por f a função f (u) + u. Reescrevemos a equação (0.6) como um problema abstrato da seguinte forma: d [u]. =c. [u ]. + h( h ). (0.9). dt. onde. c. 0. /I , h( [t]. —A —2a. v. 0 (u). (0.10). e f e : Hl -4 L2 dada por fe(u)(x) = f (u(x)). Observamos que o operador —C : D(—C) C H1 x -4 H1 X L2 não é um operador setorial, pois sobre a reta ReA = —a há um número infinito de autovalores complexos de C e a parte imaginária desses autovalores não fica limitada. Este fato dificulta a resolução do problema de forma direta pois os resultados utilizados em geral necessitam que o semigrupo de operadores lineares apresente algum tipo de regularização, isto também inviabiliza a utilização do teorema da variedade invariante. Observamos que existem resultados em [MI que garantem a eyistência de variedade invariante de dimensão finita quando o amortecimento, ou seja, o parâmetro a, é suficientemente grande. Isso nos dá a possibilidade de que a técnica utilizada para o caso parabólico seja empregada neste caso. Como nosso interesse é trabalhar com qualquer valor positivo do parâmetro a e também é sabido que para amortecimento suficientemente pequeno não há existência de variedade invariante de dimensão finita de classe C1 (ver [MSM]), nós não abordamos o problema desta forma. Assim, surgiu a necessidade de trabalharmos com duas outras equações auxiliares as quais teriam boas propriedades. Estas equações auxiliares seriam a equação de onda com amortecimento forte e sua "discretização", e o termo discretização utilizado aqui será explicado oportunamente. A equação da onda com amortecimento forte, para O < O < 1, é dada por ó Utt ± 2(—A + — )- ut + 2a v = —(—A + — )u + f (u), (0.11) 2 2 Reescrevendo o problema (0.11) na forma abstrata temos: d u dt. c + ( hl). 5. (0.12).

(13) onde I =[o —A —2(A° + a). (0.13). Por [CT1], temos que o operador C,7 ,9 gera um semigrupo analítico sobre Y° desde que 6 >. e se 6 =1 o resolvente de 6?77 ,0 não é compacto. Nossa escolha foi 6 =. assim. temos que —6?,7 ,0 é setorial, tem resolvente compacto e além disso, por [CT2] temos que o domínio de C,0 é Y1 = X1 x XI (para outros valores de 6 o domínio envolve uma certa interação entre uev e não pode ser escrito como um produto cartesiano de potências fracionárias de X). Quanto a "discretização", optamos por adotar a discretização do operador A, 'ou seja, An = An +14, e, desta forma, para AI', teremos a 2V, = (An + Assitn, a equação da onda com amortecimento forte discretizada é dada por + (A,2)1 + 2aliJ = —AU + f(U).. (0.14). Reescrevendo o problema (0.14) como um sistema de equações de 1" ordem temos: [U1. d 111. V. UThn. H( ±. [Ui ) V. (0.15). onde [0 I —An . —2(M + a). (0.16). e H ( {U1) = ° 1. V f(U) As hipóteses sobre f asseguram a existência de um atrator global An para (0.12) e um atrator global Ann para (0.15). Com estas novas equações auxiliares temos os seguintes objetivos: 1. Mostrar a continuidade da família de atratores An em 77 = o, A. 2. Mostrar a continuidade da família de atratores em 77 = 0, .A.„ uniformemente em n, para n suficientemente grande. 3. Mostrar a semi-continuidade superior da família de atratores Av, em 71 = CO para cada q>0. 6.

(14) n—>o A AT,. •. 71. 71-> 00. 11-400, fiX0. ATI. De acordo com o diagrama acima, com estes objetivos alcançados o que nós obteríamos seria a semi-continuidade superior dos atratores AT, em n = oo, A. Da mesma forma que o caso parabólico, precisamos considerar em Ir x Ir normas equivalentes as normas de Y° e Y1. Estas normas são dadas de forma análoga ao caso contínuo, através dos operadores An e A,1, assim, denotaremos por Yn° e Y,L1 o espaço R" x Ir munido com as respectivas normas de Y° e Y1 "discretizadas". "'Observamos que sempre estamos utilizando o produto interno L2 discretizado, induzido pelo produto interno L2. Com relação a semi-continuidade superior em 77 = o, tanto para o problema contínuo quanto para o problema discreto, a técnica utilizada é mostrarmos estimativas de limitação. uniforme dos atratores nas normas Y1 e Y°, yd- respectivamente para os problemas contínuo e discreto. E utilizando imersão compacta e o Teorema de Arzelà-Ascoli obtemos a semi-continuidade superior. Para a semi-continuidade inferior em 77 = o para os problemas contínuo e discreto utilizamos resultados contidos em [Ha2]. Para a semi-continuidade superior de atratores em n para cada 77 > o fixado, o raciocínio é análogo à [ACR2]. Primeiramente fazemos a comparação dos semigrupos lineares, depois fazemos a comparação dos semigrupos não lineares e finalmente mostramos a semi-continuidade superior dos atratores. Observamos que a limitações uniformes em 77 e n obtidas para os atratores Ann são muito importantes para a comparação dos semigrupos. Os objetivos 1 e 3 foram alcançados com sucesso. O objetivo 2 foi alcançado parcialmente, pois a semi-continuidade inferior foi obtida apenas para cada n fixado. Como provamos, nos teoremas utilizados para obtermos a semi-continuidade inferior, todas as hipóteses são obtidas de maneira uniforme no parâmetro n e, como observaremos de forma mais profunda no decorrer do trabalho, temos um certo número na demonstração da semi-continuidade inferior que não foi possível obter de maneira uniforme e isto faz 7.

(15) com que mesmo as hipóteses sendo uniformes não foi possível provar a semi-continuidade inferior de maneira uniforme. Neste ponto é importante ressaltar que embora não tenhamos mostrado a semi-continuidade superior de {A„, À} em Tb = oo, obtivemos a semi-continuidade superior da família {Ann, À} em 77 = O e 71 = oo, o que fornece uma certa redução à dimensão finita do problema (0.6).. 8.

(16) Capítulo 1 Preliminares 1.1 Introdução Neste capitulo nós estudaremos alguns resultados básicos necessários ao desenvolvimento do trabalho. Primeiramente, mostraremos que os problemas semilineares envolvidos e suas respectivas discretizações, geram semigrupos. Desde que estamos interessados em mostrar resultados relativos ao comportamento assintótico destes semigrupos é essencial que estes possuam atratores globais. Assim, o passo seguinte é mostrar que os semigrupos envolvidos possuem propriedades de regularidade e dissipação e consequentemente possuem atratores globais. Algumas estimativas para os atratores dos problemas discretizados já são obtidas aqui independentes do parâmetro n (número de passos) Quanto ao problema parabólico e sua discretização nosso objetivo é mostrar a equivalência topológica dos problemas contínuo e discreto sobre os atratores e neste caso fazemos uso da Teoria de Variedades Invariantes numa forma adaptada ao resultado que pretendemos. Também utilizamos o fato que o problema parabólico estudado é MorseSmale, genericamente. As definições e os resultados envolvidos estão contidos nas seções (1.2) e (1.5). Quanto ao problema hiperbólico, às equações auxiliares e suas discretizações nosso trabalho está relacionado com a semi-continuidade inferior e superior dos atratores. Neste caso, discutimos os fatos necessários para a obtenção da semi-continuidade superior. Para a semi-continuidade inferior, enunciamos e provamos resultados que asseguram a sua 9.

(17) obtenção. Antes de passarmos a tratar especificamente problemas parabólicos e hiperbólicos semilineares relembraremos alguns conceitos e resultados gerais que serão empregados por todo o texto. Seja X um espaço de Banach. Definição 1.1. Uma família de aplicações T(t) : X X, t > O, é um Cr-semigrupo, r > O, se: i) T (0) = 1; ii) T (t + s) = T(t)T(s), t O, s > O; iii) T(t)x é contínuo em (t, x), assim como suas derivadas de Fréchet em relação a x até a ordem r para (t, x) E r+ x X.. Definição 1.2. Sejam A e B subconjuntos de X. Uma distância, 5(A, B), entre os subconjuntos A e B, é dada por 5(A, B) = sup inf d(x, y). yEA xE B. Dizemos que um conjunto B c X atrai um conjunto C C X sob T(t) se 5(T (t)C , B) O, t co.. Definição 1.3. Um conjunto Scx é invariante se para qualquer x e 8 temos que T(t)x E S para todo t.. Definição 1.4. Dizemos que um Cr-semigrupo, T(t) : X X,t >O er >0 é assintoticamente suave se para cada conjunto B C X, não vazio, fechado e limitado para o qual T(t)B C B, para todo t > O, existe um compacto J C B que atrai B.. Definição 1.5. Um Cr-semigrupo T(t) : X X t > O, r > 1 é um sistema gradiente se satisfaz as seguintes condições: i) Cada órbita positiva é relativamente compacta; ii) Existe uma função de Lyapunov para T(t), t > O, ou seja, existe uma função contínua V : X com as seguintes propriedades 10.

(18) 1. V (x) é limitada inferiormente, 2. V(x) —+ co quando. IX!. 3. V (T(t))x é não crescente em t para cada x e X,. 4 Se T(t)x está definido para todo t e e V (T (t)x) = (x) para t e I , então x é um ponto de equilíbrio. Definição 1.6. Um conjunto compacto invariante maximal para um Cr-semigrupo, T(t) é chamado atrator global para T(t) se atrai cada subconjunto limitado de X. Definição 1.7. Um Cr -semi grupo T(t) : X —+ X, t > 0, r > O é ponto dissipativo se existe um conjunto B C X que atrai cada ponto de X sob T(t). Teorema 1.1. Se um Cr-semigrupo T(t) : X —} X, t > O, r > O é asáintoticarnente suave, ponto dissipativo e órbitas de conjuntos limitados são limitadas, então T(t), t > O possui atrator global.. 1.2 A equação do calor e sua discretização Nesta seção mostraremos as propriedades necessárias para o desenvolvimento do trabalho no que se refere à equação do calor e sua discretização. . Primeiramente, sem perda de generalidade, vamos trabalhar com o parâmetro a = 1 na equação (0.1). Assim, consideremos a equação do calor ut = u„ + f (u), O < x < 1, t > O ux (0) = ux (1) = O, t > 0,. (1.2). onde f :11< —+ 11< e uma função de classe C2 satisfazendo a seguinte condição de dissipatividade lim sup f (u)/u < luj—>co. (1.3). para algum 6> O. Reescrevemos a equação (1.2) na forma abstrata dada por Au + feu. (1.4). onde A: D(A) C X —+ X siado por Au = —un e D(A) = {u e H2(0, 1)u'(0) = u1(1) = 0}, f :xk —Y X° dada por fe(u)(x) = f (u(x)) e X 7= X° = L2 (0,1) e id = H1 (0,1). 11.

(19) Vamos mostrar que o problema (1.4) gera um semigrupo e este possui atrator global. Temos que fc é localmente lipschitziana sobre subconjuntos limitados de XI, além disso, fe é de classe C' e —A é gerador infinitesimal de um C°-semigrupo em X°, logo dado uo E XI existe uma única solução fraca n(t, no ) : (O, To) X4, tal que u(0, no) = ui) e. (O, To ) é o intervalo maximal de existência. Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é (O, oo) para qualquer uo E XI. Para isso, mostraremos que 11n(t, no)11x1 < oo para qualquer t E [O, tm). Seja. 11 V (0) fo — 2 10' (x)I 2 — (0(x)) dx. onde P-A(u) = fon f (s)ds. Pela condição de dissipatividade, temos que existe c > O tal que F(u) <4u12 + c, para todo ti E R. Assim 17 (). 1 — 2 11012 + ( 110112 — 771110112w —. C.. (1.5). Também, se 11011H1 < r então V(rb) <. 1. + K(r).. (1.6). Por resultado de regularidade, temos que n(., no) E C1((0,r), X ij) e n(t, no) E D(A), para t E (0,1-) e para todo no E X. Então, d —V (u(t uo)) = (Au(t),21(t)) — (7(u),111(t)) = (t)I12 < O dt. (1.7). Logo: V(n(t,no)) < V(uo), para todo tio E Xk. Portanto. a solução é limitada em qualquer intervalo [O, tm). Assim, temos o seguinte resultado Teorema 1.2. Definimos T(t): .X.k dado por T(t)(u0 )= u(t,u0 ). Então, {T(t), t > O} é um C1 -semigrupo, assintoticarnente suave e é um sistema gradiente. Adicionalmente, o conjunto dos seus pontos de equilíbrio é limitado e portanto possui atrator global. Demonstração: T(t) define um C' semigrupo sobre .Kk pois f e é de classe C'. O operador A é setorial e positivo e o resolvente de A é compacto. Assim, temos que o semigrupo T(t) é compacto e portanto assintoticamente suave. 12.

(20) Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em X Seja 4) um ponto de equilíbrio de T(t), então ck é solução de. 0" + f (0) = O.. Assim, basta mostrar que E = {0; 0" + f(4) = 0} é limitado em IP. Multiplicando por qk e integrando por partes, temos foi(4/)2dx = foi f (0)0dx. Pela suposição sobre a f temos .? < — para todo ti tal que lu' > M. Assim, que para 5/2, existe M > O tal que [(ri separamos o intervalo [0,1] em 1 = {x E [0,1]; I(x) 1 < M} e 12 = [0, ']\II. Como f é contínua em IR então existe uma constante K tal que jf (y)I < K para iy¡ < M. e assim temos: 1. (OT dx =. 1. (5 f (0)0dx + f f (0)0dx — 2- 11011L2. (1.8). 1. Assim, IjObil < KM. E portanto, T(t) é ponto dissipativo. Agora mostraremos que T(t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.6) temos que órbita positiva de conjunto limitado é limitada. Desde que 71- (0) é limitado, fechado e positivamente invariante e, pelo fato que o semigrupo é assintoticamente suave então existe um subconjunto C C 71- (0) C )d que atrai 7(0). Assim, 71- (0) é pré-compacto. Pela desigualdade (1.5) temos que V é limitada inferiormente e 1V(0)1 oci quando 11011 co. Pela desigualdade (1.7) temos que V é não crescente ao longo de órbitas e além disso, se V(T(t)0) = V(4)), então ut (t, ck) = O logo u(t, 0) = 0, ou seja, qk é ponto de equilíbrio.. Consideremos agora. (1.9). U = —ApU + f(U). a equação do calor discretizada com p passos igualmente espaçados, onde 13. Ap. é a matriz.

(21) p x p dada por 1 —1. 0 0 0. —1 2. 0 0 0. 0 —1. 0 0 0. Ap=p2. (1.10) 0 0. 2 —1 O. 0 0. —1 2 —1. 0 0. O —1 1. e f(U) = (f(u1),..' ,f(up))T e U= (u1, — Teorema 1.3. Os autovalores de AI, são dados por Aik: = 4p2sen2L 2p7` e os autovetores associados são w = (cos kirx i ,• • • ,cos kirxp ) para k .= 0, • • ,p —1. Além disso, 1imp, o0 A =. Ak,. onde. Ak =. (kir)2 é o (k +1)—ésimo autovetor do operador. —A com condição de fronteira homogênea de Neumann. Para obtermos os autovalores e os autovetores de Ap procedemos da seguinte forma: sabemos que as autofunções de —A com condição de fronteira de Neumann são dadas por wk (x) = cos(k7rx), para k = 0, • • • , assim, consideramos os pontos médios xi dos intervalos [i-p •-, para i = 1, • • • , p e discretizamos as p primeiras autofunções wk (x) nos pontos xi, obtemos wPk . Considerando, na definição de autovalor e autovetor, o vetor obtemos como autovalor correspondente. APk =. 4p2sen2 2p'. Para sermos capazes de comparar a dinâmica do problema discreto com a dinâmica do problema contínuo nós devemos associar a IRP uma norma a qual é compatível com a norma adotada para o problema contínuo. Isto nos conduz a definir em IRP o produto interno: (X,Y)=. xiyi, o qual é herdado do produto interno L2 e será referido como. o produto interno L2 discretizado. E a norma é dada por IIUM2 = (ApU, U) + (U, U), esta norma é a correspondente a norma de Hl. A norma correspondente a de L2 é dada por (U, Vamos mostrar que o problema (1.9) gera um semigrupo de classe C' e este possui atrator global. Temos que f é de classe C2 e —Ap é gerador infinitesimal de um semigrupo analítico em IRP; logo dado U0 E IRP existe uma única solução U(t, U0) : (0,7-0) IRP, tal que U(0, U0) = Uo e (0, To) é o intervalo maximal de existência. 14.

(22) Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é (O, oo) para qualquer Uo E R". Para isso, mostraremos que 11U(t, Uo)ii < ao para qualquer te [O, tm). Seja 1 V(U) = — (ApU, U) — (1, F(U)) 2 onde P(U) = (P(u).), F(u2), • • • , F(up)) e 1 = (1, 1, • • • , 1). Como no caso contínuo temos, 1 (5 V(U) _?•_. — (ApU, U) + — (U, U) — c ?: — c. 2 2 Também, para 1lUil <r temos V(U). 1 — 11//2 + K(r). 2. (1.12). Temos que, para todo Uo, U0 )) = (ApU(t),17 (t)) — (f(U),U'(t)) = O. (1.13). Logo: V(U(t, U0)) < V(Uo), para todo U0 E 1W'. Portanto, a solução é limitada em qualquer intervalo [O, tifi). Assim, temos o seguinte resultado Teorema 1.4. Definimos T(t) : RP RP dado por Tp(t)(U0 ) = U(t,U0 ). Então, {T,i (t),t > O} é um C2 -semigrupo, assintoticamente suave e é um sistema gradiente. Adicionalmente, o conjunto dos pontos de seus equilíbrio é limitado e portanto possui atrator global. Demonstração: Tp (t) define um C2 semigrupo sobre IR. Desde que estamos trabalhando com um espaço de dimensão finita, temos que o semigrupo T(t) é assintoticamente suave. Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em IR". Seja U um ponto de equilíbrio de Tp(t), então U'(t) = O e assim, U é solução de —AU + f(U) = O. Assim, basta mostrar que. E = {U; —AU + f(U) = O} é limitado em IR". Fazendo o produto interno por U, temos (—AU, U) — (f(U), U) = O. Pela suposição sobre a f 15.

(23) temos que para 6/2, existe a > O tal que f (u)u < 412 + a para todo u. Assim, (AU, U) = (f(U),U) < + a e portanto temos: ilUiiHà <cm. (1.14). E portanto, T(t) é ponto dissipativo. Agora mostraremos que Tp(t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.12) temos que órbita positiva é limitada. Desde que 7+ (U) é limitado, fechado e positivamente invariante e, pelo fato que o semigrupo é assintoticamente suave então existe um subconjunto C c. 7-E(U) que atrai 7+ (U) . Assim, 7+ (U) é pré-compacto. Pela desigualdade (1.11) temos -que V é limitada inferiormente e V(U)I ao quando IIUI -4 ao. Pela desigualdade (1.13) temos que V é não crescente ao longo de órbitas e além disso, se V (T (t)U0 ) =• então ú(t, U0) = O e portanto U(t, U0 ) = U0 , ou seja, U0 é ponto de equilíbrio.. Para o trabalho realizado sobre o problema parabólico também é necessário a propriedade Morse-Smale. Como referência temos [HMO]. Sejam X, Y e Z espaços de Banach. Definição 1.8. Seja Cr(Y, Z), r > 1 o espaço das aplicações de Y em Z que são li-. mitadas e uniformemente contínuas juntamente com derivadas até ordem r. Para cada f E Cr(Y, Z), seja T j(t) : X -4 X um semi grupo fortemente contínuo de transformações de X. Para cada x E X, nós supomos que Tj(t)x está definido para t>0 e é de classe Cr em x. Seja AU) ,{x E X : Tj(t)x está definido e é limitado para t E }. Temos que se o conjunto AU) é compacto e todas as órbitas tem fecho compacto então AU) é um atrator global. Para f, g E Cr(Y, Z) nós dizemos que f é equivalente a g, f --, g, se existe um homeomorfismo h: A(f) A(g) tal que hT j = Tp h. Nós dizemos que f é A-estável se existe uma vizinhança V de f em Cr(Y. Z) tal que f --, g para todo g E V nCr(Y, Z). O conjunto dos pontos não errantes, S-2( f), de f em Cr(X, X) é o conjunto dos pontos z E AU) tais que, dada um vizinhança, U, de z em AU) e T> O existe um t = t(U, T) > 16.

(24) TeviEU tal que Tf (t)(w) E U Agora estamos em condições de definir IVIorse-Smale. Definição 1.9. Um sistema dinâmico {711(t),t > O} é Morse-Smale se i. DTf é injetor sobre o espaço tangente de X nos pontos de AU); S-2(f) é a união de um ,número finito de pontos de equilíbrio e órbitas periódicas, todos hiperbólicos com variedades instáveis de dimensão finita; iii. A variedade estável local e a variedade instável global de todos os pontos de equilíbrio e das órbitas periódicas se interceptam transversalmente.. 1.3 Problemas de ondas fortemente amortecidas. Considere a equação da onda com amortecimento forte utt + 277 (—A + )1/2ut ± 2a ut = 'a= + f(u), ux (0) = u(i) = 0, t > 0,. O < x < 1, t >0 (1.15). onde ti > O, a >Oef : R é uma função de classe C2, satisfazendo a seguinte condição de dissipatividade (1.3). Vamos reescrever o problema da seguinte forma: uu + 277 ( — A + 1)1/2u1 2aut = —(—A P4)u±u+ f(u). (1.16) Observamos que 8 lim sup f (u)/u + — <-6/2. 2 Voltaremos a denotar por f a não linearidade u + f(u) . Reescrevendo o problema (1.16) na forma abstrata sobre o espaço 1' = y0 = x1/2 )‹ x0. :1 = hvi ± h( [1 11 t=0. g. 17. Lvi. (1.17).

(25) onde -= —A + g-/ : D (A) cX—X,D (A) = {u E 1/ 2; 2(0 = 2(1) = 0}, X = L2 = X°, C,,= e h([1) =[ ° —A —2(7012 + a) v fe(u). (1.18). e D(C,i ) = x Observamos que o operador A é positivo e auto-adjunto, portanto ill/2 também é. Consideremos o operador B = 2nA112 +B1 onde B1 = 2a/. O operador B é auto-adjunto, positivo e satisfaz p1 Á < B < De fato, é claro que B > 277,44 e também, B < (277 + 2a4)A4 onde AIé o primeiro autovalor de A. Por [CT1], temos que o operador Cn gera um semigrupo analítico sobre Y° e é de contrações dado que B é dissipativo. De forma mais geral, por [CT2], mesmo no caso onde B1 não é tal que B seja comparável com At- mas D(AI) C D(B) para algum • < então Cn é gerador de um semigrupo analítico, e para B1 dissipativo temos que o semigrupo gerado é de contrações Também, por [CT1], 13 = — sup Re cr(C,,) >0, onde a(C„) é o espectro de Cn , e ilecntli < Cfit. 1.3.1 Propriedades espectrais de Cn Sejam vk = (kr)2 + k = 0,1, • • os autovalores de A então os autovalores, A±k , de Cr) são soluções de À2 (2rivi + 2a)À + vk = O. e são dados por: 1/ A±k = — (7)1111/2 ± a) ± 1,/(iv 2 a)2 vk 1/ —Go + avk-1/21± 1[77 + aiik-1/212 — 1) vi 2 Analisando o sinal de (7)ik1/2 + a)2 — vk obtemos que para cada 77 > o existe um ko = kc(v) > O tal que A±k é um número real para k < ko e A±k é um número complexo para k > ko . Outro fato é lim. k--)co. ihn(A±IcH 1/1 112 ille(A±k)i 18.

(26) Assim, fim fim „ n-g)k-H:o irtek. a k)i. Observamos também que limk_w, Re(A k) = —co Os correspondentes autovetores são dados por: Otk =. ek A k ek. (1.19). onde ek = cos(k7rx) é o autovetor de A correspondente ao autovalor vk. Se Ajc é 111/1 autovalor duplo então Ikk =. é um autovetor generalizado associado a Se é. um autovalor complexo então consideraremos os seguintes vetores 1,b+k = Re(k) e ip_k = Im(irkk), no autoespaço real associado a )k k . Então temos as seguintes propriedades: 1) a família (04.k)kk.9_0, (04.k )%iko é ortogonal sobre Y°; 2) a família (ø-k) °_o, (1P-k)r-k0 é ortogonal sobre Y°; 3) (0-1, 0+4Y0 = O, 1,b+i)Y0 = O, (0-1,1)b+.1)Y0 = O, (1,b-i, 0+4)-0 = O se i i•. 1.3.2 Existência de solução local, global, regularidade e existência de atrator em Y° Vamos mostrar que o problema (1.17) gera um semigrupo e este possui atrator global. Temos que h é localmente.lipschitziana sobre subconjuntos limitados de Y° e Co é gerador infinitesimal de um C°-semigrupo em Y°, logo dado (u0,v0) E Y° existe uma única sola'9.

(27) [u(0, uo, vo)1 [u(t, uo, vo)1 14ção fraca : (0, ro) Y°, tal que v(t, uo, vo) v(0,uo,vo) vo maximal de existência.. e (O, ro ) é o intervalo. Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é (O, oo) para qualquer (no, vo) E [tt(t, no, Vol para isso, mostraremos que v (t, no, vo ) Seja IT(0,7,b). onde Pri(u) =. rof (s)ds.. =. (AO,. < oo para qualquer t E [O, t,n).. + ?h —Io. P(0(x))dx. Pela condição de dissipatividade, temos que existe c > 0 tal que. F(u) <_I1112 + c, para todo u E R. Assim (1.20) V(0,0) .? - (1101112 + (.110112) + 1 &10112 + 1110112 — c /n(110112E/1 +110112) c.. Por um resultado de regularidade, temos que se (no, vo) E D(C), então C1((O, r), D(C)). Então, para (20, vo) E D(C) temos. U(t, no, Vol V (t, no) vo ) [. E. d. dt. (u(t , uo, vo ) , v (t , uo,uo)) = (Au(t), v(t)) + (vt, v) + (fe(u), v) = (Au, v) + (-277 Al v , — 2a(v, — (Au, + (fe(u), — (f e (u) , v) = —27711A114 — O. Logo: V (u(t. uo, vo), v(t, uo, vo)) < V(uo, vo). Por densidade de D(C,l ) em Y° temos que V(u(t, uo, vo ). v(t, uo, vo)) < V(uo, vo), para todo (no, vo) E Y°. Assim, [ u(t, uo,. uol Triai 11 — c V(u(t, 220, u0), u(t, no, uo)) < V(uo, tio). v(t,uo, uo). %. (1.24). Portanto, a solução é limitada em qualquer intervalo [O, trn). Assim, temos o seguinte resultado Teorema 1.5. Definimos Tyl (t) : Y° Y° dado por Tyl (t)(uo ,v0 ) = (u(t,(uo ,vo )), v(t, (no, vo ))). Então, {T,l (t),t > O} é um C—semigrupo, assintoticamente suave e é um. sistema gradiente. Adicionalmente, o conjunto dos seus pontos de equilíbrio é limitado e portanto, possui atrator global. 20.

(28) Demonstração: T(t) define um C' semigrupo sobre Y°, pois h é de classe CI. Por [CT1], o operador Cn é setorial e positivo e o resolvente de Cn é compacto. Assim, temos que o semigrupo T,7 (t) é compacto e portanto assintoticamente suave. Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em Y°. Seja (O, tp) um ponto de equilíbrio de T ( t), então (0,1p) é solução de (' = 0 Sb" + f (0) = o • Como já foi mostrado para o problema parabólico, temos que E = { 0; 0" + f = 0} é limitado em Hl. E assim está provado que os pontos de equilíbrio são limitados na norma de Y°. Agora mostraremos que T(t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.24) temos que órbita positiva é limitada. Desde que ty-F(0,1p) é limitado, fechado e positivamente invariante e, pelo fato que o semigrupo é assintoticamente suave então existe um subconjunto C c 7+ (0,1p) c Y° que atrai 7+ (O, tp). Assim, 7+ (O, •tp) é pré-compacto. Pela desigualdade (1.20) temos que V é limitada inferiormente e IV(0,1p)i —> oo quando 11(0,1p)ii —> 00. Pela desigualdade (1.23) temos que V é não crescente ao longo de órbitas e além disso, se V(T1(t)(0,0)) = V(,*), então v(t, tb)) = ut (t, (O, tb)) = 0, logo u(t, (&Ø)) = e = O e portanto Tn(t)(0, = (O, O), ou seja, (0,7p) é ponto de equilíbrio.. 1.4 Discretização do problema de ondas fortemente amortecidas. No intervalo [0,1] consideramos os pontos xi = L1, , • • • , ri e denotamos u3 (t) = u(x3 , t). Nós temos, pelo processo de discretização semi-implícito de Euler, que o operador Laplaciano com condição de Neumann ui = no, un+i = un é a matriz n x n, —An onde An é dada por 21.

(29) —1 —1. 2. 0. —1. 0 —1 •• •. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2 =n. (1.25) O. O. 0. •• •. 2. —1. 0. O. O. 0. •• •. —1. 2. —1. 0. O. 0. •• •. 0. —1. 1. Denotando U = (ui ,• • • , up)T, consideramos a discretização da equação de onda fortemente amortecida (1.16) dada por:. ti + 27) /CU + 2a /2 = —AU + f(U). (1.26). onde An é a matriz ri x ri dada por An = A + g./ e f(U) = (f (ui), •• • , f (up))T• Novamente, colocando em um sistema de equações de 1a ordem, obtemos d {1= C nv dl V 11 + H( [1 ) [U vl. (1.27). = o[U l t=o. vo. onde C =. o An. 1 e H( U. I V —2(7)412 + a). )=. f(U). (1.28). 1.4.1 Propriedades espectrais de C. Os autovalores de An são dados por = 4n2 sin2 +5/2 e os autovetores associados são ez = (cos kni, • • • ,cos Icirxn) for k = 0, • • • , ri — 1 Assim temos o seguinte teorema: Teorema 1.6. Os autovalores, nk , de Cnn são soluções da equação À2 (27")(1/27,1) 2a)A + v = O e são dados por: Alk = (77(4)1/2 -1-a)± N/(7)(1/:)1/2 R-a)2. — ii. Gr] + a(4) 1/2}± a(v1/212 1) (4)1/2 22.

(30) . Os correspondentes autovetores são dados por: çnk =. [eri:. (1.29). ekl. onde 41 é o autovetor de A.„ correspondente ao autovalor vrk'. Se nk é um autovalor duplo [01 então 13 = é um autovetor generalizado associado a nk erk` Analisando o sinal de (n(vr)1/2. a)2 _ (141 ), obtemos que para cada n> O e n>0. existe um ko = ko(n, n) > O tal que Alk é um número real para k < ko e nk é um número complexo para ko < k < n. Como nosso objetivo é comparar os atratores dos problemas (1.17) e (1.27) precisamos associar a W x R' uma norma compatível com o espaço Y°. Assim, definimos em Ur x lr o seguinte produto interno:. rui íwl. (, )=( Z V. u, w + ( v, z). (1.30). onde (U, 147 )R. = Ein=i w o qual é herdado do produto escalar L2 e será referido como produto interno L2 discretizado. Denotaremos por 11 2 o espaço 1111 x R" com o produto interno dado acima. Também associaremos a W x lr o produto interno compatível com o produto interno de Y1, ou seja,. (1,[41)=(Anu,Anw)R.± (AnV, Z)Fr Z ([V. (1.31). Denotaremos por yni o espaço lr x lr com o produto interno dado acima. A distinção entre um produto interno e o outro será feita através do índice referente ao espaço. Um cálculo simples mostra que n-1 (AU,W)R. = n(ui-1-1 — ui)(wi-1-1 — wi) + 8/ 2. i=1 i=1. E. TI. U ii _ , U U )1/2 A norma em lle x lle é definida por II v 112n xRnk—v.[1 , [v..1 ) • Observamos que chamaremos agibi = (AnU, U) R 1/„2de norma Hl discretizada e a , iirliiml :---- (AU, A.U)litli,,2 de norma H2 discretizada. Para evitar confusão denotaremos, 23.

(31) separadamente, por = (ATA U)1 a norma 1,2 discretizada da derivada discretizada. Se nic é um autovalor complexo então consideraremos os seguintes vetores On+k = Re(. k). e On = Ini(OTIk), no autoespaço real associado a À±k. Sobre os autovetores de C,r, temos as seguintes propriedades: +k )fi=ko é ortogonal sobre 12; 1) a família (on+k )kko_o, (on 2) a família (0"k) o, (0"k)1Lico é ortogonal sobre 12; 3) (0%, ni)Y;), =0, (. j, = O, (On—i, 074i)Y,?. = o, (,Ç%4 =0 se i j•. - de 1.4.2 Existência de atrator para a discretização do problema ondas fortemente amortecidas Vamos mostrar que o problema (1.27) gera um semigrupo e este possui atrator global. Temos que H é de classe C2 e portanto, localmente lipschitziana sobre subconjuntos limitados de Rn x IR" e C,r, é gerador infinitesimal de um Cs-semigrupo em Er x Rn , logo dado (U0 , V0) E Er x Rn existe uma única solução. U(t, Uo, 1/4)1 [ V(t,Uo,. : [0,7-0) -4 IR" x IR",. Vo). Uo, V0)1 [Uol e [0,7-0 ) é o intervalo maximal de existência. Além disso, tal que [U(0, V(0, Uo, 113) Vo [U(t, U0, V0)]. é de classe C2 em t e (U0, Vo) E IR" x IR" V(t,U0, Vo) Agora mostraremos que o intervalo maximal de existência é [O, co) para qualquer (U0 , V0) E Rn X Rn para isso, mostraremos que 11. [U(t, Uo, V0)1. < oc para qualquer t E [O, tm).. V(t, Uo, Vo). Seja 1 1 14,(U, V) = — (A„U, U) + — (V, V) —(I, F(U)) 2 2 onde 1 = (1,1, • • • ,1), F = (F (ui), fr (u2), • • • , fr (ui)) e È(u) = fotf (s)ds . Como anteriormente, pela condição de dissipatividade, temos que existe c > O tal que È(u) < + c, para todo ti E IR. Assim 1 1 2 2 Vn(U, V) (11(7112L,á --11(1112L3) -2-11111L3 — m(I1U112xj +1111113) — c. (1.32) 24.

(32) Se. [U(t, Uo,. V(t,Uo,Vo). R" x temos. é solução de (1.27), então para (U0, l/) E Rn. 1V„(U(t,U0 ,Vo),V(t,U0 ,1/4 ))= (A„U(t),V(t))+ (½' V) + (F(U),V) (1.33). = (AU,V) + (-2qAV,V) — 2a(V,V) — (AnU,V)+ (F(U),V) —(F(U),V) =-2q1lie,14 413 — 241/112L3 O Logo: V„(U(t, U0, 1/0), V(t, Uo, 1/0 )) < V,,(U0 , 1/0 ). Assim,. u(t,uo,v0)] m(I[. a — s vn(u(t,u0, Vo), V(t,Uo, Vo)) <Vn(Uo, V).. (1.34). Portanto, a solução é limitada em qualquer intervalo [O, tro). Assim, temos o seguinte resultado Teorema 1.7. Definimos T(t) :. le X. lir —> Rn x lir dado por Tnn(t)(Uo,V0 ) = (U(t,. (U0, 1/0 )), V(t, (U0, 1/0 ))). Então, {Tnn(t),t > O} é um C2 -semigrupo, assintoticarnente. suave e é um sistema gradiente. Adicionalmente, o conjunto dos seus pontos de equilíbrio é limitado, uniformemente em ri, e portanto possui atrator global. Demonstração: T,7 (t) define um C2 semigrupo sobre Rn x R". Desde que o semigrupo está definido sobre R' x. le. que é de dimensão finita, temos que o semigrupo T,7 (t) é. assintoticamente suave. Mostraremos agora que o conjunto dos pontos de equilíbrio é limitado em lir. X. ir . Seja. (Uo, Vo) um ponto de equilíbrio de Tno(t), então (U0, Vo) é solução de Vo = O AnUo + f(U0) = O Como, para a equação do calor discretizada, já foi mostrado que E = {U; AnU + f(U) = O} é limitado em. lir. na norma In uniformemente em n, então o conjunto dos pontos de. equilíbrio é limitado em. lir. x R" uniformemente em n. E portanto, Tnn(t) é ponto. dissipativo. Agora mostraremos que T,7 (t) é sistema gradiente. Pela desigualdade (1.34) temos que órbita positiva é limitada e desde que o espaço é de dimensão finita, é pré-compacto. Pela desigualdade (1.32) temos que 14, é limitada inferiormente e IV„(U. V)! —> oo quando 25.

(33) 11(U, V)11 oo. Pela desigualdade (1.33) temos que 14 é não crescente ao longo de órbitas e além disso, se V(T(t)(U, V) = V„ (U, V), então V(t, (U, V)) = Ut (t, (U, V)) = O, logo. U(t, (U, V)) =UeV=Oe portanto T,(t)(U,V) = (U, O), ou seja, (U, V) é ponto de equilíbrio. Temos também o seguinte teorema: Teorema 1.8. O C2 -semigrupo {T,T „,t > 0) é possui atrator global o qual é limitado. independentemente de n e de 77. Demonstração: Pelo teorema anterior, temos que o semigrupo Tm, possui atrator global 4, dado por. A„ = W u (Enn), onde E,,,, é o conjunto dos pontos de equilíbrio de 7.1,1„. Dado c > O seja Are(E,m ). Pelo observado no teorema anterior, se (U, V) N7.2(o- + c). E assim, se (U, V). E. E. Ne(Enn ) então 11(U, V)11 < o- + e e 11Ullec <. Ne(Enn ) então. 1V„(U, V)1 5_ 1 2- (ii (filin + + max{If (8)111U11L3; 1s1 N72-(o- + c)} = Observamos que, se (U, V). E. Anu = Wu(E,7 ,i ) então existem t1 > O e (Uo, Vo). E. N6(E). tal que (U, V) = T,m(t i )(U0 ,1/0 ). Logo, pelas desigualdades (1.32) e (1.33) temos que )112 5_ m-1(V„(U, V) + c) _5_ rn-1(V„,(Uo , Va) + c) 5_ m-1(K(N,(E)) + c). 11(U, li Desde que as constantes envolvidas não dependem de 77 nem de n, o resultado está provado.. 1.5 Variedades Invariantes Nesta seção nós enunciamos e provamos um Teorema de Variedade Invariante (1.9) e um lema de Gronwall Generalizado. O teorema é reproduzido do resultado clássico de variedade invariante como em [He2]. A demonstração é adaptada dado que neste teorema é permitido a mudança do espaço (inclusive da sua dimensão) com a mudança do parâmetro e assim também, a dependência da variedade invariante sobre este parâmetro. Sejam X e Y espaços de Banach, -A : D(A) c X -> X um operador setorial tal que Reo-(-A) > O e B : D(B) c Y Y e gerador de um C'-grupo de operadores 26.

(34) lineares limitados {S(t), t > O} sobre Y. Seja {T(t)t > 0} o semigrupo analítico de operadores lineares limitados gerado por A e denote por (—A)° a a potência fracionária de A e X° = D((—A)°) com a norma do gráfico. Definição 1.10. Sejam f : X° x Ya —* X, g : X° x Y° Y funções contínuas localmente Lipschitz. Um conjunto S c X° x Y° é variedade invariante para uma equação diferencial X = Az + f (x, y) = BY + 9(x, y), se existe a : Ya X' tal que S = {(x,y) E X° x = o-(y)} e, para qualquer (xo, yo) E S, existe uma solução (x(.), y(•)) da equação diferencial sobre R tal que (x(t), y(t))ESVtER. Uma variedade invariante S é dita exponencialmente atratora se existem constantes positivas 7 e K tais que Ilx(t) a(Y(t))11x- _5_ Ke-79x(0) — cr(Y(0))1Ixa, sempre que (x(t),y(t)) é uma solução da equação diferencial.. Teorema 1.9. Sejam X„,11, uma sequência de espaços de Banach, A : D(An) C Xn Xn uma sequência de operadores setoriais e Bn : D(B) C Yn Y„ uma sequência de geradores de C°—grupos de operadores lineares limitados. Suponha que h : Xn'xYna X n e gn :X x Yn são uma sequência de funções satisfazendo: II fn(x, y) — fn(z,w)IIxn 5_ Lf(IIx — zlIxR + IIY — wIlyák), fn(x, 5 Nf ,. para todo (x,y),(z,w) em X;..; x yr e y) — 9n(z, w)ilyn 5 Lo nix — zxa + 119n(x,Y)IlYn Ars , para todo (x,y),(z,w) em x Yna. Assuma que < < Mar ae. >O. t iiwilx,,, t > O,. (—t)zy1 < Mbe— P(n) t ilZilY t < O, = lienn t zfjy < A4( — t)—ct e —p(n)tii II /74, t < O:. t zliy. 27.

(35) para qualquer ta E Xr? e z E Y:`, onde 13(n)— p(n) +co guando n —> ca. Considere o. sistema fracamente acoplado ± = —An x + Mx,Y), {. = —Bny + gn(x,Y)•. (1.35). Então, para n suficientemente grande, existe uma variedade invariante exponenciamente atratora para (1.35). S = {(x, y) : x = ctn(y), y E Ync} onde un :Y,7 —> X: satisfaz s(n) = suP {v EY, r} (Y)ii x;‘, , iia(y) — cfn(z)li,tg .1(n)ljy — zily: com s(n), 1(n) —> O quando n co. Se f, g são suaves; então, an é suave e sua derivada Dan satisfaz SUP IIDCfn(Y)II„L(Y,7,Xg). 1(n).. vEYn. No caso em que nós aplicaremos o teorema da variedade invariante contido no Teorema 1.9, o parâmetro é um número natural. ri.. Pois nós separamos o espaço de fase em um. espaço gerado pelas ri primeiras autofunções do problema e seu complemento ortogonal. Depois projetamos a equação do calor sobre estes espaços e isto produz o par de equações que aparece na afirmação do lema. (-Seoltrno Observamos que o Teorema da Variedade Invariante é utilizado tanto para reduzir o problema a um espaço de dimensão finita, bem como para mostrar a proximidade dos campos vetoriais envolvidos. Antes de começarmos a demonstração do Teorema 1.9 nós precisamos estabelecer uma versão generalizada do lema de Gronwall. Isto requer que nós estudemos a convergência das séries. zffic E5(2.) F(103 + ES(z) F((k + 1)/3) . k=0 k=0 zfik. Não é difícil ver que E5 e É0 são funções inteiras e seguindo [E] nós podemos obter que existe uma constante c tal que. E0 (z) cez. 28.

(36) e que dado d> 1 existe é > O tal que Ép(z). 5_ de* .. Lema 1.1 (Lema de Gronwall Generalizado). Sejam t < r, : [t, r] -5. R+ uma função contínua, a: [t, r] -4 R+ uma função integrável, b > 0 e O < fi < 1. Assuma que q5(t) a(t) + b f r (s - 03-1 g5(s)ds, t < r.. (1.36). Então, 00. ql(t) _E(Bk a)(t) k=0. COM. Bic a(t). = i r (brin(1:30)))k. (s e. l a(s)ds.. (1.38). Além disso, se a(t) a = const então nós temos que ql(t) aEp((bln(f3))11fi(r - t))< a c e(br("1"-t),. (1.39). se a(t) = co (s - t)_ceP(s-r )ds, p> 0, então nós temos que 0(t) ejlE o ((br(0)) l1fi fr — t)) - 1] < ej [c e(br("1"('`) - 1] (1.40) e finalmente, se 1/2 : [t,r] -5. R+ é uma função contínua e a(t) = cof r (3 — t)'ePstb(s)ds, p> 0 então nós temos que i f (s__t)fi - lepsedWAY /SW4 )17 / ,(s)ds. cr(0) o ci 0(t). Demonstração do Lema de Gronwall Generalizado. Seja (Bql)(t)= b (s - t)fi-l ql(s)ds. Segue de (1.36) que cfr(t) cZ a(t) + (B) (t) a(t) + (Ba)(t) + (B2 g5)(t) n-1 < E(Bk a)(t) ± (BnO)(t) k=0 29. (1.41).

(37) . Suponha por indução que (Bn-1.75)(t) =. (br(P))n-1 , (s 0 1)13-1 q5(s)ds ft F((n — 1)fi) r. então f (a ty3-1 B(B'q5)(k. b r bnr(fi)-1. F( n — 1)fi). [f r (bF (finn 1. ( o. n-1)13-195 (0)d01 ds. s F((n — 1)fi) sY o 0(6 ) [f (s — tY3 (o — s)n-nfl-' cis] do. (. 0--t. briF(fi)' 1. =. f r 0(0) [f Ufil-1(0 — t —. F((n — 1)fi) t. o. On-1)/3-1Tiul do. Fazendo z = ot temos. n(I 3)1701) (Bny5)iv,= rij. ft r 0(0)(0 — t)S [f. Z/3-1(0 — t 1. bnr (Mn - 1 Ir -' de f. 0(0)(0 — t). F((n — 1)fi) t. o. t'. (1 — Z. (1 — Z)(71:1)Ó dZi. ) n-n°. do. dZ. Lembrando que. fo. zs-1(1 — z)( n-l)s-ldz = B(P,. (n— 1)fi) = F(3)F((n — 1)fi) F(nfi). então r_ bnr,F(n030))n ft r 0(0)(8 q5 ) (t). — t)I3-1 dO. Vamos estudar a convergência da série cc n Z n=0. F(nfi). Então, an = F(nfi)-1 e assim, an. F(nfi) B (fi , n )3) 1 t ' tm-1 (1 — tr ti- 1 dt F ((n + 1) fi) FP) F( 3) o. Portanto, pelo Teorema da Convegência Dominada de Lebesgue, temos que an±i _y a, quando 72 CC. Segue que Bnq5(t) O quando II, CO e q5(t) 5_. 00. E(Bk a)(t). k=0. 30. (1.42).

(38) . Se a(t) m. a = const então. i. r ônr (Mn (s t)as- 1 a ds F(nfi) = abnF(fi)" (r t)n° = abnF(Mn (r. tys nfiF(nfi) F(nfi +1). (Bn a)(t) =. Segue que q5(t) < aEs ((bF (13))1113 (r - t)) < Se a(t) = f - tr 0 eP(8-r )ds, com a = 1 - fi então. (n0) t (s ar (0)n f r (Bna)(t) - cob. cobrn ri (fifir ir = co bn r(fl)n fr F(nfi) t. t)"o_ [f (O. ePO—r) [. 8 )- - eP(9—r). dO] ds. n f 9 8 - t)3-1(0 - de] clO. Li t -t e p(0- ,)[r uns -1(o -t- u)'du] clO. Fazendo v = to obtemos: 1 ePe9 -r) [f v70-1(0 t ) 0-1( 9 t)l-ct (1 v)-i-hodv]do F(nfi) t o bni,;(fifir i r e p(o-r)( 0 _ t)n+1 )0-1 dr9 B(fi,nfi). co brir (fi) . Bna(t) =. bn (fi)'+1 trr. = co rb(n(rn(+ 0)1). t)(714-1))3-1d0 f. Co F((n +1)fi) o. r): —et:+. 0-1. Assim, 00 00 bnF(fir+1 f r-t s(n+1)0-1 E(Bna)(t) _.5. ds co n=0 F((n+ 1)fi) o n=0 cx) bnF(fi)n(r - t)( n+1 )13 jo = n=0 F((n + 1)fi + 1) r. ... (51/13F(fi)1/13(r F((n +1)fi +1) b n=0. = — c° [ER(b1113 F(fi)1 I fi (r - t)) - 1] b ' 31.

(39) . Segue que. d.(t) < [E p(b1113 F(13)1 / fi ( r - t)) co _b_ [ et» “P? Nr-t) _ 1] Se a(t) = c(' fir(s — t)-ae(s) ds então r 1/T(13)14 „ (s t) °-' [ (O - s)' e° 0(0) dg ] ds F(n/3) is r biT( fir e = c,0 r(n)(3) e e i,b(0) [f (s - tr d5 -1 (O - s)- e r°is] de t bnl' (13)n = co bnruir±i ePgr (00)(0 - t)(n+1)13 -1 B(13,nfl) de f t F(n)(3). (Bna)(t) = co ft. 1:r P. - co l'((n +1)/3)] Assim, to. nr(0'1,1+1. 7. ¢.(t) < (Bn a)(t) = cn Pel,b(0)(0 - tYn+1)S-1d0. / f b F((n + 1)13)e t n=0 n=0 cor(s) fr bnP(13)n(0 - tr3 eP° 1,b(0)(0 - t)13- de t n=0 l'((n + 1)$). = c,01' (0) f frp((bF((3))10 (O - t))eP° 0(0)(0 - 03- 1 de <. C,odr(0) f. ed(br("11'6(9—t) e°91,b(0)(0 - t)13-1d6,. Demonstração do Teorema 1.9. O primeiro passo é provar a existência da variedade invariante. Dados D>OeA> O, seja a,. Y Ynn X: satisfazendo. := suP iian(Y)11 xg < D, yEY:. iia(y) — an(V)lixe 5-. (1.43). Seja y(t) = 77, cra ) a solução de dy = -Bo y + go(cfo(Y), Y), dt e defina. for t < Y(r) =. (1.44). G (cfn)(n) = e-Aner -s) n(Y fs)) Y(s))ds-. (1.45). I. r. 32.

(40) . Note que. 11G(0-JOILve. f Nf Moer — sreT - 3 ) ds. (1.46). Seja no tal que, para n no, iiG(cfn)(ixe D. A seguir, suponha que an e o são funções satisfazendo (1.43), n, n' E Y: e denote y(t) = '0(4 7", ri, an), Yi(t) = 0(t,7 ,711 Gr2 • Então, y _. y,(t) e-an + f Can (")9n(an(Y), Y)ds — Can (t—r)71i— f e-a" (")9n(Grni (V), Y i )ds•. E IlYn(t) — Y(011y: mbeP(n)(7—') IIn —. <34 f r (s. traeP(71)(8—t) lign(Grn(N)) Yn) — 9n(Grin(Yin), ds. < MeP(n)(7 -1)11 — +mbLsf (s. tre-P(n)(t-s) (iian(Yn) Gr#,2(Yi) ine, + — ds. < MbeP(n)(7-t) iin — dr:. +Mo.L9 f (s — treP(n)(8-`) (lian(Yni ) — Clin(Y)lin ± (1 ± A)11Yn Y rf illY1) ds < MbeP (n) fr. Iln —. +mbL, f (s _ tre0 ((1 + à)iiYo + Man <. beP( n )(T -t) Iln — + Afb Lg(i+ A) f (s — tyae. 0 bn ds. fr. +mbLgIllan — o'n111&,0 (s — t)_e(n)(8 -t)ds. Seja 0(t) = eP(n)(t-r) II n Yni (t)iinr • Então,. di(t) b[lin — ± L9 f (s — tra eP( n)( s - T ) — +M6 L9 (1 ± f (s — t)-a 0(s)ds. Pelo Lema de Gronwall Generalizado ily(t) Vn(t)lincii [c1 — + c21110-y, — ouxele[pfro+cricr—t). 33.

(41) onde Cr = (MbL9(1 + a,)F(1 - a)) 1±a • Assim, IIG(0-.)(77)—G(oin)(771 )11n 5_ Ma / if ;((Y I ), YI)11xn ds sre-S(n)(-s) - f0"r ln(an(Y),Y). S Mof oo (r - s)'e-S( n)(T -s ) {Lf licrn(Y) - a(V)x + Lf. y - ds. Ma - sre-s( n )(T -s )Lf ((1 + a,)My - + IDn - uai) ds < Ma f - sre-0(n)(T -s)Lf (1 + c2 (1 + A)e[P(n)±c der-s)) - ain111 oo p(, f (r - e-[ )_p(n)-- crler -s)ds li n - 711 11 +ciMaLf(1 + Yi • Seján1 .19(n) = Ma Li. ia —. e —S(n)er—s) c2(1. + a,)er°(")+erler-s)) ds. e 4(n) = ci MaLf (1 ± (r foo É fácil ver que, dado O < 1, existe um no tal que, para n > no, Ia(n) <9 e 4(n) < a, e 1G(a)@i) - G(o- )(771 )11,cg 5_ 4(n)ljn- n'jjyyr + 4(n)illan - (1.47) As desigualdades (1.46) e (1.47) implicam que G é uma contração da classe de funções que satáNz (1.43) nela mesma. Portanto, tem um único ponto fixo ans = G(o) nesta classe.. ,1) \ jni,;( Resta provar que S = {(y,o- Y)) : y E Y,n é uma variedade invariante para (1.35).. Seja (xo, Yo) E S, xo = ant(y0 ). Denote por y(t) a solução do seguinte problema do valor inicial dy dt. = -Bn Y + On(°(Y) , Y), Y(0) = Yo. Isto define uma curva (a(y(t)), y;i(t)). E. S, t. E R.. Mas a única solução de. = que permanece limitada quando t -> -oo é X .(t) f coe— A" (t— s) ao.,*,(y,*,(s))y,ti(s))ds. 34. = o,*,(y:(t)).

(42) Portanto, (a(y(t)), yns(t)) é uma solução de (1.35) através de (xo, yo) e a invariláncia está provada. De (1.46) é claro que s(n) O quando n op e de (1.47) que 1(n) —> 13 quando n ao. O próximo passo é provar que, para n suficientemente grande, a variedade invariante S é exponencialmente atratora. Especificamente, se (xn(t), yn (t)) é uma solução de (1.35), existem constantes positivas cy e K tais que IIx (t) — tt(Yn(t))1ix?, Ke-lxn (to) — (to)) Ilx?, •. Sejam (t) = x (t) — ct,s2 (y.b.(t)) e 14(s, t), s t solução de ds. = —Bny:t + gn(cf;;(g;),Y;.), s <t,. y(t,t)= yn(t), S = t. Então, — yn(s)Ily: É = B„ (s—t) y (,t t ) s e-B.(3-e) gn(cf:(y:(9,t)),y:(0,t))(10. _e-B„ 0-e)yn (t) _f. 6 -B )g. (,(9),. < M. (O — s) -ae(n)(9-s) lign(cf:,(Y:, (O, t)), Y(0, t)) — gn y.,,(9))11y„d0 Is f < MbL9 f (t9 — sr t eP(n)(61-8) (110.;, (Y;', (O, t)) — 'n(0) 11 x + Ily:t (0,t) — yn(0)1Ins)de. st < mbL9 f (e — sreP(n)(9-8) (11Cin(Yn( t9 )) In ( 0 )11 ± (1 ± t) — Yn (0)11n, )dO se < MbLg f (0 — sreP(n)(9-3) ((1 + A) (O,. — y„(0)11y: + R(9). Portanto, e z(s) < Mal,9 (1 + A) f (O — s)-az(0)dO + Mbitg f (9. srle(nnie(0)11xed0,. onde z(s) = cP(n)5 IIy(s, t) — yn(t)ily: . Pelo Lema de Gronwall Generalizado,. II y;', (s, t ) Yn(8 )1IY: C3f. (9. P(ncrile—s) g(61 )1IxR — S) —Q e[)±. 35. de, 8 <t..

(43) . Seja s < to < t. No que segue, estimativas para ily;i(s,t) — Y7. ,(8,to)ily: são obtidas.. — Y,;(8, to) i e—Bn (5—t°) [y;', (to, t) — (to)]. 5 +11to. e—B"(s-8)[gn(Cr;i(y;;(0,. t)), t)) — gn(cr;,(y;,(0, to)), Ytti(0, ton]c/011. < csmbep(n)(to—s1 (9 tor e[p(n)+crlie —to) iie(0)11 xdO. tb te + MbL9 (1 + A) f (O — sy aed9(n) ("11Y;(9) Y;1(0, ti)) de,. e pelo Lema de Gronwall Generalizado. II Y(3, — y:(3, to) <e4. / — to) —°e[P(n»crlie—s) lie(e)lixg to. .ào?,. A seguir, as estimativas acima são utilizadas para estimar 11C(t)lixe .. A.t— ( to)(xn (to) — a:(y(to))) n e(C t) —A"(t—t°) e(to) =xn(t) — a(Yn(t)) — e— t fn(x Y.(8))ris — a(Yn(t)) + e—An(t—e°)Gr n(Yn( t0 )) e—An(t—s) n(s), f e —An(t s) fn(aUg. —An(t—S) MX71(3 ), Yn(S))dS t(s, Wt(s, inds f fe to to ±e—An tt—to) f e —An(tir-s) fn(an(Y:(S) wi(s, to)) da. =. ete = —An(t-8) [fn(Xn(S)? Yn(3)) fri(a(Y(8,t) Y(8 ,t))1ris. tpo. —f e-An( [fn (a; (Y(s, y;,. (8, t )) — fn (a;', (Y; (s, to) 36.

(44) . e z(t)= Met) — e-An("")0o)iin e (t — 3)-a 6 -15(n)(t-s) ülx(s) — + bn(s) — y;(s,t)iiY,?) ds MaLffte to ds +MaL f (1 + A) f (t — s)'e—S(n)(t—s )Ily:,(s, to) — y(8, t) y: 00. < MaL f f. (t — e—S(n)(t—S) ile(S)114.6. tO +c3MaLf (1 + A)f (t — 8)-. c1e-fl(n)(t-s) (O - s)' e[p(n)+Cr](0-8)1K(0)1ixgdOdS. is to +c4 MaL f(1 +tf ( — 8)—a 6 — )3( n)(t—s ) f (0 — to )— a e[ P( nRcrlie—s )U(0)11x2 dOds t < MaLf f (t — s ye e— penxt—s)R(s)lindso to ro +c5 f (t —ae-13(n)(t--8) e— [0(n)-69 (n)+cr)10 — s)dsáè ik(61 )lin (0 — s) — es +r,6 f (0 — to) e [r(n)+crilo —O ile0)!Ixt; i (t — Sr ae-[)3(n)-[P(n)±crifit-s)dsd61 — t to cc e < [Ma Lf + [13(n)ci pr((n1) _aa)ri i_ai f (t Srae-fi(n)(t-s) IK(S)IlXgdS to. c61"(1-a). Doen) p(n) a f t ( O - tOr to. to a elp(n)-frcH(8-t) M(0) dO. Assim, (t)114 5_ Mae-0(n)(t-to) Ile(t0)11xr, a). [MaLf c61"(1l er po -. f —. to. Bre-0(n)(t-s) 11C(S)11Xrc:dS. ceF(1-a) _s_. (s - torae[P(n)-1-cd(s-t )11C(8)1144,5 [0(n)-p(n)--cril-cv f t o. e, se w(t) = sup{R(s)lixe , to < s < t}, então /3 (nXt- to)lic(en x,, 0(n)(t-to)w(t) ,, )1I < Mal1(t0)11XR +7(n)6. onde 7(n). F(1 — a) Fm L.± c,r o. _ a) 1 ± c6P(1 — ce)K iij (nr a [ a f [0(n) — P(n) —j [6(n) — P(n). onde K = supn>0 (f. ae[p(n)+crliu-7/) dU). Escolha no > O tal que 7(n) < para todo. n > no. Portanto ° ef3(n)(t-to) liceolixg < efi(n)(t-t°) W t < \ 411(t0)1IX2 7(n)68(n)(t-to)v)(t) 37.

(45) e iie(t)iixe 5- 2Maiie(to)iine-13(n)(t-t°) -. A suavidade de unt é provada da mesma forma que em [He2] e a estimativa para as derivadas segue da estimativa para suas constantes de Lipschitz. Isto conclui a demonstração.. 1.6 Semi-continuidade superior Primeiramente relembraremos a definição de semi-continuidade superior. Definição 1.11. Seja A um espaço métrico, X um espaço métrico completo e JA para A E A uma família de subconjuntos de X então dizemos que Jx é semi-continuo éu.periormente em À j E A se 8(4, JAo ) O quando onde õ é a distância definida em (1.1). Existem teoremas que nos dão condições suficientes para que a semi-continuidade superior dos atratores ocorra. Estes teoremas podem ser encontrados em [HR2] e [Ha2]. Em nosso estudo não fazemos uso destes teoremas. Utilizamos uma condição suficiente através de convergência de soluções. Seja dw =. BAin + fA(w). (1.48). uma família de equações, com A E A. A família de problemas gera uma família de semigrupos TA (t) : X X os quais possuem atrator global AA . Nesta condições temos. Lema 1.2. Seja 4 uma sequência de números positivos tal que 4 -= e Seja wk(t) uma sequência de soluções de (1.48) com .= 4 e tal que Wk(t) E AAk para todo t >. O. Se existe uma subsequência de tal que w k1 (0) converge para i E k em X. então a família de atratores Á), é semi-contínua superiormente em A = Ã, Á.. Demonstração: De fato, suponha que a semi-continuidade superior dos atratores não se verifique. Então existe uma constante co, uma sequência de números positivos 4 tal que. lilnk__.„0 4 = e uma correspondente sequência ?Sok E Ank tal que õx (wok, AÃ) > €0 > O, Vk. 38.

(46) Considere 'a/ kW as soluções de (1.48) com A = Ak e tuk (0) = wok. Como wk(t) E AM então isto contradiz a hipótese.. Portanto, pelo Lema 1.2, a abordagem utilizada para obter a semi-continuidade superior dos atratores é obter convergência de soluções sobre os atratores. Para isso, primeiramente mostramos estimativas de limitação uniforme dos atratores em um espaço X, depois mostramos estimativas de limitação uniforme para os atratores em um espaço Y, onde o espaço Y está imerso compactamente no espaço X. Com mais uma estimativa uniforme sobre a limitação da derivada em relação ao tempo, podemos fazer uso do Teorema de Arzelà-Ascoli e mostrarmos a convergência de soluções sobre os atratores. A função obtida através desse limite está definida em todo R e é limitada. Mostramos que esta função é solução do problema limite e portanto está contida no atrator do problema limite. Isto assegura a semi-continuidade superior.. 1.7 Teoremas de semi-continuidade inferior Antes de enunciarmos os teoremas de semi-continuidade inferior vamos relembrar a definição Definição 1.12. Seja A um espaço métrico, X um espaço métrico completo e th para A E A uma família de subconjuntos de X então dizemos que J), é semi-contínuo inferiormente em Ao E A se .5(,/)0„ -+ O quando A —+ Ao, onde ã é a distância definida em (1.1). Dizemos também que JA é contínua em Ao E A se j é semi-contínua superior e inferiormente. O teorema a seguir é devido a J. Hale e G. Ftaugel e apareceu pela primeira vez em [HR2]. A demonstração deste teorema segue os argumentos de Rale [1-1a2]. Seja X um espaço de Banach e, para O < À< A. seja Tà (t). t > O uma família de semigrupos sobre X. Teorema 1.10. Suponhamos que sejam válidas as seguintes hipótese sobre o semi grupo To (t) para t > O To(t). t > O, é um Cl sistema gradiente e assintoticarnente suave e órbitas de conjuntos limitados é limitada; 39.

(47) (H.2)0 O conjunto dos pontos de equilíbrio, Eo, de To(t) é limitado; (H.3)0 Cada equilíbrio, Øj E E0 é hiperbólico. As hipóteses (H.1)0 e (H.2)0 nos garantem que existe um atrator global A0 e, por (H.3)0 temos que Eo = { Oh ... ,ØN} e AO = Uw(øj),. j=1. ondeg"(0i) é a variedade instável de Suponhamos que sejam válidas as seguintes hipóteses relativas a continuidade de TA(t) com À —> O (H.4),, T),(t); t > O, é um C' semi grupo, é assintoticamente suave e existe uma vizinhança U0 de Ao independente de À tal que TA(t) tem um atrator local Á ), que atrai U0 ;. (H.5) À Seja E), o conjunto dos pontos de equilíbrio deT AW. Existe uma vizinhança aberta Wo de E0 tal que. wo n EA = {01,A3 02,A) • • • I 034, OjA. é hiperbólico e (Pj,A (Pj. quando À —> O, Consideremos as variedades instáveis locais dos pontos de equilíbrio ; 1/1700,(0i ,A ). E suponhamos que 3r > O tal que 147.(0„,). n B3,2(0,,,,). C. WilLoc, A(0j,A).. Suponhamos também. que (H.6)À bx(i17uoc,o(4L0), Wino0(0j,A)) —> O, quando À —> O;. (H.7) ), Dados ri > o, T > O e t; > O, existem um número real 8' = s(n,r , t;) > O e um >O. tal que I1T),(t)y ), — To (t)xjl x. para t'd <t<T, XE A, y), E ./4A, fiz — yax <? e À <. então temos (5x (A, .4A) —> O quando À —> Demonstração: Consideramos a decomposição de Morse do atrator .40 para To (t). Seja E0 = {ou 02; • • ,.q5/v} o conjunto dos pontos de equilíbrio de To (t), e sejam ui > V2 > • • • > V AÍ. os pontos distintos do conjunto {1- (931): 1/ (932)• • • • :1- (ON)}. Definimos. Eg = {x E Eo: 1-(X) = 40.