Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de Física Física Experimental 2 - 2012.1
Prática 3: Material suplementar teórico
Investigação de grandezas elétricas variáveis no tempo
1 Introdução
Nesta prática estudaremos as propriedades de propagação de grandezas elétricas variáveis no tempo, princi-palmente grandezas senoidais. A análise que desenvolveremos aqui é válida no regime estacionário, isto é, quando o comportamento transiente (que ocorre por exemplo, quando ligamos ou desligamos a chave de alimentação) tiver desaparecido. A maioria dos circuitos analisados aqui serão circuitos de duas portas, uma entrada e uma saída. No regime linear, se aplicarmos uma excitação senoidal (corrente ou tensão) nestes circuito, a resposta também deverá ser senoidal, na mesma frequência, porém a amplitude e a fase deverão ser diferentes. A determinação destas grandezas (amplitude e fase), mesmo em circuitos simples, pode ser bastante complicada. A análise teórica normalmente envolve a resolução de equações diferenciais, que podem ter solução não analítica. Uma das técnicas utilizadas é utilizar a representação fasorial para descrever grandezas senoidais. Como veremos, o uso de fasores facilita a análise de circuitos de correntes alternadas (CA).
2 Terminologia
Os termos indutor e capacitor são usados para designar componentes eletrônicos comerciais; o termo indutância, símbolo L, deve ser preferencialmente usado para descrever a propriedade de um circuito pela qual uma força eletromotriz é induzida sempre que ocorrer uma variação de corrente no circuito. A indutância pode ser sempre representada por um indutor equivalente. Um indutor é um dispositivo que armazena energia na forma de um campo magnético que ca con nado em uma região do espaço. Por exemplo, em bobinas cilíndricas ou toroidais, o campo magnético ca essencialmente concentrado na região interna. A unidade no SI é henry e o símbolo é H. O termo capacitância deve ser preferencialmente usado para descrever o fenômeno físico no qual uma carga elétrica é armazenada em um condutor sempre que o mesmo estiver em um potencial elétrico diferente de sua vizinhança. Um capacitor é um dispositivo que armazena energia na forma de um campo elétrico que ca con nado em uma região do espaço. Normalmente um capacitor pode ser representado por duas placas planas paralelas. Qualquer dispositivo eletrônico operando no regime de corrente AC tem uma capacitância e uma indutância associadas. A unidade de capacitância no SI é Farad e o símbolo é F . O termo corrente ou tensão alternada se refere a uma corrente (ou tensão) elétrica que varia no tempo de forma senoidal. Este tipo de corrente é gerado por geradores de potência e por osciladores eletrônicos. A forma de onda senoidal é representada por uma equação da forma A(t) = A0sen(ωt + φ), onde A0 é a amplitude, ω(= 2πf) é a frequência angular (rad/s), f é a frequência (Hz) e φ
é a constante de fase (rad), que depende de um sinal de referência. É muito comum caracterizar a tensão em sinais senoidais pelo seu valor rms (root-mean-square) que é de nido como o valor médio de A2. cuja média é tomada
em um ciclo completo de oscilação. A escolha (aparentemente arbitrária) pode ser entendida considerando-se a potência dissipada em um resistor. A potência instantânea dissipada em um resistor R é dada por P = V I = V2/R.
Se a tensão varia no tempo, a potência média Pm é ainda dada por 1/R vezes o valor médio de V2, que é valor
Vrms2 . Formalmente Vrms2 = (1/T )´0TV2dt. Para uma tensão senoidal esta expressão pode ser facilmente calculada Vrms = (1/T ) h´T 0 V 2 0sen2(ωt + φ) dt i1/2 = V0/ √
2. Quando dizemos que a tensão de alimentação doméstica é de 220V AC esta é a tensão rms. a grande maioria dos voltímetros mede a tensão rms.
3 Representação fasorial de grandezas elétricas senoidais
Uma grandeza senoidal (corrente ou tensão elétricas) está inequivocamente representada pela equação A(t) = A0sen(ωt + φ), onde A0 é a amplitude, ω é a frequência angular e φ é a constante de fase. A constante de fase φ
corresponde a um dado deslocamento de tempo ∆t, tal que: ω∆t = φ → ∆t = φ/ω. À grandeza A(t) podemos associar um vetor no plano complexo com módulo |A| = A0≥ 0, que gira no sentido anti-horário em torno de uma
origem O com velocidade angular ω e ângulo inicial φ, como mostrado na gura 1. Este vetor complexo é chamado de fasor. O módulo de um fasor representa a tensão ou a corrente. O ângulo representa a fase em relação a uma referência previamente escolhida. Normalmente a referência escolhida é uma das fontes de potência do circuito. Um ângulo positivo signi ca que a grandeza está adiantada e negativo signi ca que está atrasada.
Figura 1: Diagrama esquemático mostrando a a grandeza senoidal A(t) (esquerda) e o fasor girante (direita). | ~A| = A0ej(ωt+φ), onde j = √ −1 (1) | ~A| = x + jy, onde x = A0cos(ωt + φ) y = A0sen(ωt + φ) (2)
Extraindo-se as partes real e imaginária do fasor, podemos facilmente obter a sua amplitude A0 e fase φ:
| ~A| = q
[Re( ~A)]2+ [Im( ~A)]2, φ = tg−1[Im( ~A)/Re( ~A)]. Desta maneira podemos reconstruir a grandeza senoidal
real. É importante lembrar que a amplitude A0 e a fase φ, podem ser funções da frequência. A conveniência de
se representar grandezas senoidais por fasores torna-se evidente quando consideramos operações de cálculo como derivadas e integrais. Por exemplo a derivada de um fasor ~A é dada por
d ~A
dt = jωA0ueˆ
j(ωt+φ)= jω ~A. (3)
A derivada de um fasor é igual ao próprio fasor multiplicado por jω. A integral de um fasor ~A é dada por ˆ t t0 ~ Adt0 = 1 jω h A0ej(ωt+φ)− A0ej(ωt+φ) i = 1 jωA +~ const. (4)
A integral de um fasor é igual ao próprio fasor dividido por jω mais uma constante, que pode ser assumida nula sem perda de generalidade.
3.1 Componentes passivos ideais (análise com fasores)
Resistor Para sinais dependentes do tempo, a lei de Ohm para um resistor de resistência R é: v(t) = R · i(t). Introduzindo o fasor I = I0ej(ωt), obtemos v(t) = R · I0ej(ωt), e na notação fasorial, V = RI. As dependências com
a frequência e o tempo estão implicitamente contidas no fasor corrente I. A corrente está em fase com a tensão no resistor, como ilustrado na gura 2.
Capacitor A variação da diferença de potencial dv através de um capacitor com capacitância C devido à uma carga dQ, é dv = dQ/C. Se a variação ocorre em um intervalo de tempo dt e di = dQ/dt então teremos
dv(t) dt = 1 Ci(t) → v(t) = 1 C ˆ t 0 i(t0)dt0+ v(0) (5)
Para uma dependência senoidal introduzimos o fasor I = I0ej(ωt), e obtemos v(t) = C1
´t 0 I0e
j(ωt0)dt0+ v(0). Usando
a notação fasorial e supondo que em t = 0 o capacitor está descarregado, obtemos V = 1
jωCI = −j 1
ωCI, v(0) = 0. (6)
Concluímos que no capacitor a corrente está adiantada de π/2 em relação à tensão, como ilustrado na gura 3. Indutor Um indutor é um dispositivo que cria um campo magnético uniforme quando uma corrente elétrica passa pelo mesmo. A tensão induzida v(t) em um indutor com indutância L, é: v(t) = Ldi(t)
dt . Introduzindo o fasor
I = I0ej(ωt), obtemos: v(t) = LdtdI0ejωt. Em notação fasorial V = jωLI. Concluímos que no indutor a tensão está
Valores instantâneos de iRe vR. Corrente e tensão no resistor
oscilam em fase
Figura 2: A gura da esquerda mostra simultaneamente a variação temporal da corrente e tensão no resistor. A gura da direita mostra os fasores girantes para a corrente e tensão. Observe que a diferença de fase entre as duas grandezas é nula.
iCatinge o pico no
instanteT/4 antes de vc
Tensão vC
Corrente iC
Figura 3: A gura da esquerda mostra simultaneamente a variação temporal da corrente e tensão no capacitor. A gura da direita mostra os fasores girantes para a corrente e tensão. Observe que a diferença de fase entre as duas grandezas é π/2 e a corrente está avançada em relação à tensão.
4 Circuitos RC e RL
Nesta prática 3 investigaremos a resposta no regime do tempo e na prática 4 estudaremos a resposta no regime da frequência.
4.1 Circuito RC - Processo de descarga
O circuito RC da gura 5 mostra um capacitor, inicialmente carregado com carga Q0. No instante t = 0 a
chave é fechada e a carga circula e eventualmente toda a energia elétrica armazenada no capacitor será dissipada no resistor R. Ao fechar a chave em t = 0, temos
VC(t) + VR(t) = 0 (7) q C + R · i(t) = 0 (8) dq dt + 1 RCq = 0. (9) Cuja solução é q(t) = Q0e− t RC → i(t) = −Q0 RCe − t RC = I0e− t RC. (10)
O capacitor descarrega obedecendo a uma lei de decaimento exponencial com uma constante de tempo igual a RC. Quando t = RC, o valor da corrente cai para I(t = RC) = I0e−1 = 0, 368 · I0, isto é, cai para 36, 8% do
valor inicial. A gura 6 mostra a curva de descarga de um capacitor. A constante de tempo RC também pode ser interpretada como o tempo que o capacitor levaria para descarregar totalmente caso a taxa de descarregamento fosse constante e igual à tangente da curva I × t em t = 0, dada pela curva tracejada da gura 6.
iLatinge o pico no
instanteT/4 depois de vL
Corrente iL
Tensão vL
Tensão vL
A corrente está atrasada deS em relação à tensão
Figura 4: A gura da esquerda mostra simultaneamente a variação temporal da corrente e tensão no indutor. A gura da direita mostra os fasores girantes para a corrente e tensão. Observe que a diferença de fase entre as duas grandezas é π/2 e a tensão está avançada em relação à corrente.
t =0 i(t)
R
C
+Q0 - Q0C
R
+q(t) - q(t) tFigura 5: O circuito da esquerda mostra a situação onde o capacitor está totalmente carregado e a chave está sendo fechada em t = 0. O circuito da direita mostra a situação em um instante de tempo t qualquer, onde circula uma corrente i(t) e a carga no capacitor é q(t).
4.2 Circuito RC - Processo de carga
Para discutir o regime de carga de um capacitor, vamos analisar a resposta do circuito à uma excitação do tipo degrau. O circuito mostrado na gura 7 representa o capacitor descarregado (t < 0) gura 7(a) e em t = 0 a chave é fechada. Em um instante posterior t, a corrente que circula no capacitor é i(t) e as cargas acumuladas nas placas do capacitor são +q(t) e −q(t), gura 7(b). A função degrau está representada na gura gura 7(c), e é dada por u(t) = 0, t < 0 1, t > 0 (11) VC(t) + VR(t) = V0· u(t) (12) VC(t) + RC dVC dt = V0· u(t) (13) Para t ≥ 0, VC(t) + RC dVC dt = V0. (14)
A solução da equação (14) pode ser expressa como a soma de uma resposta natural (ou homogênea) com uma resposta forçada (ou particular) VC(t) = VCN(t) + VCF(t). A solução natural é solução da equação
RCdV N C (t) dt + V N C (t) = 0, t ≥ 0, (15) cuja solução é VCN(t) = Ke−t/RC, t ≥ 0. (16)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0,009 0,018 0,049 0,135 0,368
Descarga
5RC 4RC 3RC 2RC RC D if . d e p o te n c ia l, V C ( V ) Tempo, t (RC)Figura 6: Curva de descarga de um capacitor mostrando a tensão VC em função da constante de tempo RC. A
reta tracejada de ne a reta de descarga caso a taxa de descarregamento fosse constante e igual à tangente à curva em t = 0. u(t) t R i(t) t = 0 R (a) (b) (c) R C +q(t) - q(t) V0 R C V0 0 t q(t)
Figura 7: Circuito RC sob excitação de uma função degrau, aqui representada pela chave liga-desliga. Em (a) temos o circuito representado antes de ligar a chave, em (b) o circuito representado em um instante de tempo t qualquer após a chave ser ligada e em (c) está representada a função degrau.
Aqui K é uma constante que deve ser determinado a partir das condições iniciais. A solução forçada é uma solução particular da equação (14), quando a excitação é uma função degrau. A equação (14) exige que uma combinação linear de VF
C e sua derivada seja igual a V0. Fazendo VCF = V0 satisfazemos a esta condição. Assim a
solução total (natural + forçada) é
VC(t) = Ke−t/RC+ V0, t ≥ 0. (17)
Aplicando a condição inicial VC(0) = 0 = K + V0, podemos determinar o valor da constante K. Assim, K = −V0
e a solução que descreve a tensão no capacitor durante o processo de carga é dada por
VC(t) = (1 − e−t/RC)V0, t ≥ 0. (18)
O processo de carga de um capacitor, no circuito RC, é dado por um crescimento exponencial e está ilustrado na gura 8, que mostra a dependência de VC× t, em unidades de RC. A reta tracejada de ne o processo de carga
caso a taxa de carregamento fosse constante e igual à tangente à curva em t = 0. Neste caso o capacitor estaria totalmente carregado no instante t = RC.
4.3 Circuito RL
O circuito RL é o dual do circuito RC. Deixamos como exercício para que o estudante analise o processo de carga e descarga de um indutor, assim como descrito para o capacitor. A gura 9 mostra um circuito RL submetido a uma excitação do tipo degrau. Lembre que a tensão induzida em um indutor é dada por ∆VL = −Ldi/dt. O
indutor gera um uxo magnético que se opõe à variação do uxo gerado pela corrente aplicada. Isto explica a origem do sinal negativo na equação de ∆VL.
Supondo que para t ≤ 0 o indutor está totalmente descarregado, podemos calcular a corrente de carga no indutor do circuito RL, para t ≥ 0. A dependência temporal da corrente de carga é
iL(t) =
V0
R(1 − e
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Carga
0,993 0,950 0,982 0,864 0,632 5RC 4RC 3RC 2RC RC D if . d e p o te n c ia l, V C ( V ) Tempo, t (RC)Figura 8: Curva de carga de um capacitor mostrando a tensão VC em função da constante de tempo RC.A reta
tracejada de ne a reta de carga caso a taxa de carregamento fosse constante e igual à tangente à curva em t = 0.
t = 0 R i B A R L V0 i dt di L VL ' B dt
Figura 9: Circuito RL sob excitação de uma função degrau, aqui representada pela chave liga-desliga. A tensão gerada pelo indutor se opõe à da corrente aplicada externamente.
O processo de descarga do indutor pode ser estudado supondo que depois de um intervalo de tempo muito longo o indutor está totalmente carregado e ligamos a chave do terminal A para o terminal B, mostrado na gura 9. A dependência temporal da corrente de descarga que circula no circuito RL é dada por
iL(t) =
V0
Re
−Rt/L= I
0e−Rt/L. (20)
O processo de carga e descarga do indutor em um circuito RL é semelhante ao processo de carga e descarga de um capacitor no circuito RC. Enquanto no circuito RC a variável analisada foi a tensão sobre o capacitor, no circuito RL a variável analisada foi a corrente IL. A gura 10 mostra a dependência temporal da corrente IL
em um circuito RL. Aqui a constante de tempo é dada por L/R. As retas tracejadas em preto representam os processos de carga e descarga do indutor supondo que a taxa de perda seja constante e igual à tangente à curva em t = 0. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0,009 0,018 0,049 0,135 0,368
Descarga
Carga
0,993 0,950 0,982 0,864 0,632 5L/R 4L/R 3L/R 2L/R L/R C o rr e n te , I L /I 0 Tempo, t (L/R)Figura 10: Curvas de carga e descarga de um indutor em um circuito RL em função da constante de tempo L/R. As retas tracejadas em preto de nem os processos de carga e descarga caso a taxa de carregamento ou descarregamento fossem constantes e iguais à tangente à curva em t = 0.
5 Bibliogra a
[1]Berkeley Physics Laboratory - Electric Circuits, Alan M. Portis a Hugh D. Young. McGraw-Hill Book Company, 2a edição, 1971.
[2] Eletrônica Básica, James J. Brophy, 3a edição. Ed. Guanabara Dois, 1977.
[3] Curso de Física Básica 3 - Eletromagnetismo, H. Moysés Nussenzveig. Ed. Edgard Blucher Ltda., 1997. [4] Fundamentos de Física - Vol. 3, David Halliday, Robert Resnick e Jearl Walker. Ed. LTC, 8a Edição, 2009.
