Lista8_9 EletroAp_LinhasTransmissaoGabarito

(1)

1) Determinar a expressão aproximada para a impedância característica de uma linha de transmissão com baixas perdas, i.e.,

Solução:

2) Calcule a impedância característica da linha abaixo e a velocidade da onda na linha. Assuma que foi usada uma seção de 30 metros para medir L e C que resultaram em valores de 0,25 milihenries e 1000 picofarads, a linha não apresenta perdas.

Solução:

Impedancia característica

Velocidade da onda na linha:

    _  500 30 1000 30 25 . 0 12 3 0 m F e m H e C L Z s m V Am VsC e e e m F e m H e LC v 6 2 12 3 12 3 60 10 30 3 1 30 25 . 0 1 30 1000 30 25 . 0 1 1         _ _ _ _ L R GC







































































































































)

(

2

1

2

1

2

1

0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0

C

G

L

R

j

C

L

Z

C

j

G

L

j

R

C

L

C

j

G

L

j

R

C

L

C

j

G

C

j

L

j

R

L

j

C

j

G

L

j

R

C

j

G

L

j

R

Z



(2)

Lembrar que 1 H = 1Vs/A, 1F=1C/V e 1A= 1C/s

3) (Wentworth P.6.19.) Considerar uma linha de transmissão sem perdas com Z0=75Ω,

velocidade de fase da onda de tensão, vp= 0.8c. O comprimento da linha é de 30 cm. A

tensão de alimentação é vs= 6cos(ωt) V, a impedância interna da fonte é Zs = 75Ω.

Se ZL= 100 +j125Ω em f = 600 MHz encontrar:

a)Impedância de entrada, b) tensão no terminal de carga, c) tensão na entrada da linha.

Solução:

a)

Impedância de entrada (para os cálculos, usamos ângulos sexagesimais, i.e.=1800

),

Desde que a tan 5x180x0.3=tan270 =”infinito”, para o calculo da impedância :

b)

Dai, o circuito equivalente fica:

Z_L z=0 z=-l Z_s vs m s s m v v p p 1 5 1 10 3 * 8 . 0 10 600 2 8 6       _      







5 0.3



tan ) 125 100 ( 75 3 . 0 5 tan 75 125 100 75   j j j j Zl     

 

entr L L l z Z l jZ Z l jZ Z Z Z       _  tan tan 0 0 0









35.13 51.340 35.13 308.660 125 100 75 75 3 . 0 5 tan ) 125 100 ( 3 . 0 5 tan 75 75 j j l e e j j j j Z          

Z

_entrada

Z

_s

vs

(3)

Dai, ventrada, i.e., a tensão a través da Zentrada, fica (em forma fasorial):

Onde Vs é o fasor que corresponde à tensão da fonte: Vs=6V

Substituindo números:

Multiplicando por exp(jωt) e tomando parte real (e tomando para a defasagem o ângulo -35.530, para coincidir com a resposta do Wentworth), temos:

c)

A tensão fasorial, em qq ponto da linha é:

desde que a linha é sem perdas, temos:

também: V em qq ponto da linha é: Daí, V na carga será V(0):

Para calcular Vcarga (VZL), precisamos de V0+ e ΓL;

entrada s entrada s ent Z Z Z V V   0 0 0 0 0 0 47 . 324 53 . 35 19 . 344 66 . 308 66 . 308 66 . 308 09 . 2 09 . 2 58 . 100 78 . 210 13 . 35 75 13 . 35 6 j j j j j j ent V e V e e e V e e V       V t V t t

v_ent( )2.1cos( 35.530) 2.1cos(1.2109 35.530)

z z e V e V z V( ) ₀   ₀    j  j5 1_m 0 0 0 16 . 43 53 . 35 69 . 78 0 0 ₀_.₅₉ 06 . 215 48 . 127 125 175 125 25 75 125 100 75 125 100 j j j L L L e j j j j Z Z Z Z                   0 0 V V L ZL L V V V(0) 0(1 )                _ _ ) 59 . 0 ( 09 . 2 ) ( ) ( ) ( ₀ ₀ ₀ 0 2 . 43 270 270 47 . 324 0 0 _j _j _j j l L l l L l e e e V e e e Vent V Vent e e V l V   _ _           _ _ )) 84 . 226 sin( 59 . 0 ) 84 . 226 cos( 59 . 0 ( 1 . 2 ) 59 . 0 ( 1 . 2 ) 59 . 0 ( 1 . 2 0 0 47 . 324 84 . 226 270 47 . 324 2 . 43 270 270 47 . 324 0 0 0 0 0 0 0 0 j j V e e e V e e e e V e j j j j j j j j 0 0 0 0 0 74 . 89 73 . 234 47 . 324 47 . 324 47 . 324 0 2.99 7 . 0 1 . 2 ) 57 . 0 40 . 0 ( 1 . 2 ) 57 . 0 40 . 0 ( 1 . 2 j j j j j e e V e j V e j V e V          ) ( ) ( ₀ z L z e e V z V     

(4)

Substituindo na expressão para VZL:

Multiplicando por exp(jωt) e tomando parte real:

4) (Ulaby, eletromagnetismo pra engenheiros, P 8.31, pag 296).

Um gerador com tensão (fasor) VS = 100V e Zs= 50Ω é conectado a uma carga com

impedância ZL= 75Ω a través de uma linha de transmissão sem perdas com Z0=50 Ω e

comprimento l=0.15λ.

a) Calcular a impedância de entrada na linha (i.e., na extremidade do gerador) b)Calcular Ientrada e Ventrada (fasores).

c) Calcular a potência média no tempo entregue à linha, Pl.

d) Calcular VL, IL, (fasores tensão e corrente na carga) e a potência média no tempo

entregue à carga. Comparar com a potência calculada no ítem C. Explicar.

e) Calcular a potência media no tempo dissipada na impedância do gerador, Zs, e a potência média no tempo entregue pelo gerador.

Solução: a)

para fazer a conta é conveniente usar graus, i.e. π=1800

b) 0 0 0 0 0 82 . 105 90 . 132 74 . 89 16 . 43 74 . 89 0 44 . 4 27 . 4 21 . 1 31 . 1 22 . 1 96 . 2 013 . 0 79 . 1 99 . 2 ) 6 . 0 1 ( 99 . 2 ) 1 ( ) 0 ( j ZL j j j j ZL L e V j j j e e e e V V V                   V t V t t v_L( )4.44cos( 105.820) 4.44cos(1.2109 105.820)                                              0 0 15 . 64 53 . 42 67 . 114 78 . 101 50 2 . 103 50 8 . 68 75 50 15 . 0 2 tan 75 50 15 . 0 2 tan 50 75 50 j j entr e e j j j j Z            0 0 38 . 338 62 . 21 38 . 44 38 . 44 j j entr e e Z









A e I e V j V j V Z Z V I j entr j entr S SS entr 0 0 15 . 10 15 . 10 09 . 1 71 . 92 100 34 . 16 26 . 91 100 34 . 16 26 . 41 50 100             

(5)

c) Potência media no tempo entregue na linha:

d) Vamos calcular VL e IL (tensão e corrente na carga), mas antes, devemos calcular

V+0 e Γ.

Calculo do coef de reflexão:

Com isto:

A potência média no tempo entregue à carga;

Vemos que a potência entregue à linha, Pl, iguala a potência entregue à carga, PL, o

qual faz sentido, já que a linha é sem perdas.

e) Para calcular a potência media entregue na impedância do gerador e, desde que esta é resistiva, podemos utilizar a expressão P=I2entrR, tomando o cuidado de efetuar a

média temporal sobre a corrente (lembrar que tem dependência senoidal)

Lembrar que o valor médio do cos2=0.5.

Finalmente, por conservação da energia, a potência total fornecida pelo gerador será:

V e e A e Z I V j j j entr entr entr 0 0 0 53 . 348 38 . 338 15 . 10 ₄₄_.₃₈ ₄₈_.₃₇ 09 . 1   













W W P W e A e V e I V P l j j j entr entr l 5 . 24 ) 38 . 338 cos( 36 . 26 72 . 52 Re 2 1 09 . 1 37 . 48 Re 2 1 Re 2 1 ₃₄₈_.₅₃0 ₁₀_.₁₅0 ₃₃₈_.₃₈0         V e V e V V_L  ₀(1_L)50.39 j306.060 (10.2)60.47 j306.060 V e e V e j V e e e V e e e V e e V V j j j j j j j l j L l j entr l L l entr 0 0 0 0 0 06 . 306 47 . 42 53 . 348 53 . 348 54 54 53 . 348 0 39 . 50 96 . 0 37 . 48 ) 65 . 0 71 . 0 ( 37 . 48 ) 2 . 0 ( 37 . 48 ) ( ) (             _ _      0 0 54 15 . 0 180 2      l 2 . 0 50 75 50 75 0 0         Z Z Z Z L L L A e V e Z V I j j L L L 0 0 06 . 306 06 . 306 81 . 0 75 47 . 60    



V I





e V e A



W P_L _L L Re60.47 j 0.81 j 24.5 2 1 Re 2 1 0 0 06 . 306 06 . 306       W A R I R i P entr entr ZS 29.7 2 50 09 . 1 2 2 2 2 2      

(6)

5) Considerar as duas linhas de transmissão emendadas no ponto “A”, na figura, e assumir linhas sem perdas, i.e., Z1 e Z2 reais. Considerar também a carga R2 numericamente igual à Z2. Isto significa que, independente do comprimento da linha desde o ponto A até a carga, a impedância de entrada no ponto A será Z2. Considerar

uma onda de tensão, V0+ incidindo de esquerda à direita pela linha de transmissão com

impedância característica Z1.

a) Achar a expressão para o coeficiente de reflexão no ponto A, a fração de potência refletida e a fração de potência transmitida (à linha Z2).

b) Assumir Vtr, a amplitude da onda de tensão transmitida, achar uma expressão para o

coeficiente de transmissão Т, no ponto A, definido como Vtr

/ V0+.

Solução: a)

A potencia incidente será:

A fração de potência refletida:

Com isto, a fração de potência entregue à linha Z2, fica: W P P P_TotalS  _ZS  _l 54.2 1 2 1 2 0 0 Z Z Z Z V V A      _ 1 2 0 2Z V Pimed   1 2 0 2 2Z V Prmed L    



2



1 2 0 1 2 0 2 1 2 0 1 2 2 A L med Z V Z V Z V P        

Z

₁

Z

₂ A

R

₂

= Z

₂

(7)

b) Por conservação da carga no ponto “A” da linha teremos:

Onde Itrans é a corrente transmitida na linha Z2. Pela definição de impedância característica:

Com isto, a equação para a conservação da carga fica:

V0-/ V0+ é o coeficiente de reflexão de tensão no ponto A, definindo coef de

transmissão de tensão no mesmo ponto; TA= Vtrans/V0+:

6) Calcular o coeficiente de reflexão na terminação de uma linha de transmissão com impedância característica Z0, e com uma impedância de carga puramente reactiva ,i.e., ZL=jX. X podendo ser positiva ou negativa, indicando impedância indutiva ou capacitiva, respectivamente. Interpretar o resultado.

Solução:

O módulo do coeficiente de reflexão neste caso é 1, o que significa que toda a energia que chega na carga é refletida (conferir na expressão de potencia média entregue na carga), i.e., apenas cargas, ou componentes de carga resistivas consomem energia.

trans I I I0  0  trans trans I V Z I V I V Z     _ _ 2 0 0 0 0 1 ) 1 ( 0 0 1 2 0 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0                V V Z Z V V Z V Z V Z V Z V Z V Z

V trans trans trans

2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 ) 1 ( Z Z Z Z Z Z Z Z Z V V A trans A           _ 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 0 0 0 0 0 Z X jarctg Z X jarctg L L L e e Z X Z X Z jX Z jX Z Z Z Z V V                