texto10 2019 FisExp

Universidade Federal de Itajubá – UNIFEI

Instituto de Física & Química – IFQ

Universidade Aberta do Brasil – UAB

Curso de Licenciatura em Física – EaD

Textos Auxiliares para as disciplinas:

Física Experimental

Metodologia Científica

Prof. Gabriel Rodrigues Hickel

Baseado em material didático criado por

Prof. Agenor Pina da Silva & Profa. Mariza Grassi

Ano 2019

 Todos os direitos reservados à UNIFEI e UAB. O uso deste material para fins didáticos, não lucrativos, é permitido, desde que mantidos os créditos.

Conteúdo deste texto:

XXXIV – Construção de Tabelas de Dados XXXV – Construção de Gráficos

XXXVI – Gráficos Manuais

XXXVII – Gráficos em Computador XXXVIII – Avaliando relações lineares

Referências Bibliográficas utilizadas neste texto Livros & Apostilas:

1 – Vuolo, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros. Editora Edgard Blücher LTDA, 2a Edição, São Paulo, SP, 2000.

2 – Corradi, W.; Vieira, S.L.A.; Társia, R.D.; Balzuweit, K.; Fonseca, L.; Oliveira, W.S., Física Experimental. Editora da UFMG, Belo Horizonte, MG, 2008.

3 – Piacentini, J.J., Grandi, B.C.S., Hofmann, M.P., Lima, F.R.R. e Zimmermann, E., Introdução ao Laboratório de Física. Editora da UFSC, Florianópolis, 2a edição, SC, 2005.

4 – Sommer, R.L., Análise gráfica de resultados experimentais e linearização de funções. Departamento de Física - CCNE – UFSM.

Endereços Eletrônicos:

1 – Faculdade de Saúde Pública da Universidade de São Paulo; Guia de apresentação de Teses (cap. 4 – Tabelas, Quadros e Figuras).

http://143.107.174.39/html/pt/paginas/guia/i_cap_04.htm (acesso em 05/Maio/2015)

XXXIV – Construção de Tabelas de Dados

A obtenção de dados experimentais muitas vezes envolve uma quantidade razoável de entradas, como vimos nos módulos sobre estatística. Isto sugere que montemos uma tabela para organizar estes dados. Mesmo a apresentação de resultados finais de medidas (diretas ou indiretas), na maioria das situações, tem maior organização com o uso de tabelas.

Mas como construir corretamente uma tabela de dados? Certamente, todos nós já construímos e temos uma noção básica do que é uma tabela de dados. Mas é preciso atenção. Não existe consenso nas regras de confecção de tabelas, quando analisamos a literatura. As recomendações não são sempre as mesmas. Segundo a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), as regras mais comuns para a montagem de uma tabela são as seguintes:

1) Título

É obrigatório, devendo sempre estar no alto da tabela, indicando o fenômeno analisado, o local, época e circunstância da tomada de dados. Não existe ponto final (“.”) no título da Tabela.

2) Organização de colunas e cabeçalho

Cada coluna deve ter um nome, que deve aparecer na primeira linha da tabela, também chamada de cabeçalho da tabela. Quando a coluna indicar uma grandeza, deve ter no cabeçalho o nome da grandeza, a unidade e eventualmente, a notação científica. E se a coluna indicar dados experimentais que tenham erros iguais, o erro também deve ser indicado na primeira linha da tabela, junto com a grandeza e a unidade. Se o erro não for igual, então ele deve ser colocado junto com os dados ao longo da coluna. Toda a informação que se repete nos dados deve constar no cabeçalho da coluna correspondente.

3) Ordenamento da Tabela

A tabela deve ser ordenada de forma alfa-numérica (alfabética se forem letras, ou crescente ou decrescente se forem números). O que determina o ordenamento da tabela são os valores da primeira ou segunda coluna.

4) Situações especiais dos dados

Quando o dado não existir um hífen (-) deve ser colocado. Quando o dado for uma estimativa ou duvidoso deve ser colocado uma interrogação (?) ao lado do dado.

5) Fonte ou Origem

A Fonte deve ser indicada na base da tabela, independente da origem. Se existirem, referências bibliográficas devem ser corretamente citadas.

Abaixo são mostrados os exemplos das Tabelas 10.1 e 10.2, corretamente construídas:

Tabela 10.1 - Obtenção de valores de altura e tempo para determinação da aceleração da gravidade local

Itajubá-MG, Junho de 2012 Altura (m) ± 0,005 ∆Tempo (s) ± 0,007 g (m/s2) 0,453 0,308 9,6 ± 0,4 1,786 0,603 9,8 ± 0,2 2,383 0,701 9,7 ± 0,2 4,761 - - 5,659 1,077 9,8 ± 0,1 10,411 1,602 ? 8,11 ± 0,07 ? 12,512 1,594 9,85 ± 0,09 17,772 1,904 9,80 ± 0,07 22,156 2,125 9,81 ± 0,06 28,259 2,406 9,76 ± 0,06

Fonte: Laboratório de Física da UNIFEI.

Tabela 10.2 - População e Número de Eleitores de Boa Viagem de Santo Antônio do Leste 2000 - 2009

Ano População Eleitores

2000 22.376 16.432 2001 23.765 16.823 2002 25.012 17.234 2003 - - 2004 27.561 19.198 2005 28.867 21.231 2006 30.286 22.671 2007 32.623 25.711 ? 2008 33.762 24.876 2009 35.389 25.354

Fonte: Instituto do Papo Furado.

Título

⇒

Cabeçalho

⇒

⇐

Corpo (dados)

⇐

Fonte

Título

⇒

Cabeçalho

⇒

⇐

Corpo (dados)

⇐

Fonte

XXXV – Construção de Gráficos

A utilização de gráfico representa uma das principais ferramentas para analisar e apresentar os dados obtidos através da experimentação. Os gráficos sintetizam a informação e podem evidenciar comportamentos e leis naturais. Desta forma, gráficos também podem ser utilizados na avaliação (medidas) de grandezas, de forma indireta, como veremos no item XXXVIII deste texto.

Existem gráficos das mais variadas formas e por isto mesmo, é difícil estabelecer regras comuns a todos eles. Seguem algumas regras gerais:

1) Título

É opcional, mas quando presente deve sempre estar no alto do gráfico ou na parte interna (menos recomendável). O título deve indicar o fenômeno analisado, o local, época e circunstância da tomada de dados.

2) Eixos

Quando o gráfico possuir eixos, estes devem ser nomeados com a grandeza que indicam, incluindo eventual unidade e notação científica. Devem obrigatoriamente possuir uma escala ordenada, visível e identificada alfa-numericamente.

3) Pontos Experimentais

Se o gráfico tiver pontos experimentais, estes devem aparecer claramente e necessariamente conter barras de erros de medidas, proporcionais às escalas dos eixos.

4) Funções Matemáticas Ajustadas aos Pontos

Eventuais funções matemáticas ajustadas aos pontos, experimentais ou não, devem ser indicadas por linhas descontínuas (por exemplo, tracejadas). Se possível, a equação deve constar no gráfico.

5) Leis ou Relações Teóricas

Funções matemáticas que indiquem leis ou relações teóricas que independem dos pontos do gráfico, devem ser indicadas por linhas contínuas.

6) Legenda

Gráficos que apresentem pontos de natureza diferentes, ajustes de várias funções, dentre outros, devem conter uma legenda identificando-os, normalmente, do lado direito do gráfico.

Estas são regras gerais, mas não obrigatórias. Atente que dependendo do tipo de documento (TFG, dissertação, tese, relatório técnico, etc) no qual o gráfico irá constar, ele poderá ter um formato particular. O que sempre deve ser observado é a visibilidade dos pontos, linhas, eixos, escalas e legendas; bem como o bom senso, evitando “poluir” demais o gráfico construído, com excesso de informação. Abaixo, seguem as Figuras J-1, J-2 e J-3; exemplos de gráficos corretamente construídos:

Figura J-1 – Exemplo de gráfico bi-dimensional, com inter-relação definida entre as variáveis medidas, explicitada na forma de Lei natural e ajuste matemático.

Note que o gráfico tem um título no topo, que circunstancia, localiza e data sua confecção. Seus eixos são nomeados, com a devida grandeza e unidade. Os dois eixos têm escalas de fácil leitura. Os pontos experimentais estão bem identificados, bem como as suas barras de erros verticais e horizontais. Existe uma relação teórica no gráfico, a Lei de Hooke (linha preta), que só funciona para o intervalo de ação linear da mola. Um ajuste polinomial (linha tracejada vermelha) indica que acima de 20 cm a mola atua em um regime de distensão não-linear. O gráfico ainda apresenta a Fonte dos dados embaixo; bem como uma legenda, detalhando seus componentes. Note também que os pontos experimentais estão bem espalhados, de modo a aproveitar praticamente toda a área de visualização do gráfico.

Figura J-2 - Exemplo de gráfico bi-dimensional, com inter-relação definida entre as variáveis medidas, explicitada na forma de Lei natural.

Como o anterior, o gráfico tem um título, circunstanciando o que ele representa. Os eixos estão bem identificados, com respectivas escalas. Os pontos experimentais estão bem identificados, com suas barras de erros. Neste gráfico existe apenas uma curva, representando o modelo temporal do oscilador harmônico amortecido, cuja equação temporal é escrita no gráfico. Para fins de boa visibilidade, um detalhe da região central do gráfico é exibido à direita do gráfico principal. A Fonte do gráfico é indicada do lado direito.

Na página seguinte, temos um gráfico de superfície, tri-dimensional, feito a partir de uma matriz de medidas espaçadas de 50 metros, com medida de altura. Note que o gráfico tem um título circunstanciado, bem como eixos nomeados e escalonados. Para evitar a poluição do gráfico e a boa visualização das curvas de níveis, o erro de cada ponto medido foi escrito junto a cada eixo, uma vez que são todos iguais. A matriz de posições medidas é indicada pelas linhas pretas, enquanto as curvas de níveis são indicadas por linhas brancas. Os diversos níveis de altitude são indicados por cores. A Fonte do gráfico é também relatada embaixo do mesmo.

Figura J-3 - Exemplo de gráfico tri-dimensional, mostrando pontos medidos e curvas de nível.

XXXVI – Gráficos Manuais

Com as facilidades introduzidas pelo uso de computadores, cada vez menos as pessoas utilizam suas mãos para escrever, desenhar e fazer gráficos. Logicamente, os gráficos efetuados pelos programas de computador terão qualidade superior, menor probabilidade de erros de confecção, isto sem contar a facilidade na sua construção, além da possibilidade de corrigir facilmente e de produzir quantas cópias se deseja.

Ainda assim, recomenda-se que alunos dos ensinos fundamental e médio sejam ensinados a fazer gráficos manuais. Isto não é retrocesso ou saudosismo, mas uma necessidade. Primeiro, porque é preciso saber o que o programa de computador faz, para se ter o senso crítico se o resultado final está bom e correto. Segundo, não é sempre que teremos um computador à mão para esboçar um gráfico (isto ainda é uma realidade na maioria das escolas brasileiras). Terceiro, em algumas ocasiões, um esboço rápido de um gráfico pode ser necessário para se tomar uma decisão, como por exemplo, no encaminhamento de uma experiência em laboratório. Assim, veremos algumas diretrizes para a construção de gráficos em papel milimetrado.

Obviamente, podemos fazer um gráfico em qualquer papel, com o auxílio de uma régua. Mas existem vários tipos de papel que são utilizados na confecção de gráficos, facilitando a sua construção. Aqui são mostrados na Figura J-4, apenas os mais comuns: milimetrado, o mono-log e o di-log.

Estes papéis para gráficos podem ser encontrados em qualquer papelaria, na forma de folhas A4 ou Carta. Conforme veremos, o tipo de papel utilizado dependerá do problema em questão. Eles permitem que façamos gráficos experimentais, relacionando duas grandezas naturais.

Para organizar os eixos do gráfico, independente do tipo de papel, existem alguns princípios. No eixo horizontal (também chamado de eixo das abscissas) deve ser lançada a variável independente. A variável dependente, aquela obtida em função da primeira, deve ser lançada no eixo vertical (também chamado de eixo das ordenadas). Os eixos devem ser identificados com a grandeza e sua unidade (e notação científica quando necessário) e devem conter apenas a escala.

As escalas dos eixos devem ser escolhidas de tal modo que os pontos experimentais do gráfico ocupem o maior espaço possível de papel. Cada eixo pode ter a sua própria escala, ou seja, as escalas dos eixos horizontal e vertical não precisam ser as mesmas. Os eixos não precisam iniciar do valor zero (0) e a interseção dos eixos não precisa ser a origem, isto é, o ponto (0,0). O intervalo alfa-numérico representado em cada eixo deve estar de acordo com o intervalo de variação dos dados representados no gráfico. Se os valores a serem mostrados forem muito grandes ou muito pequenos, é necessário utilizar notação científica na escala do eixo, para não sobrecarregar a representação numérica nos eixos do gráfico.

Os pontos experimentais devem ser marcados no local exato, de acordo com os seus valores. Eles devem ser indicados claramente, destacando-se do fundo do papel, ou seja, qualquer pessoa que veja o gráfico deve reconhecer estes pontos. O símbolo utilizado pode ser qualquer. Não se esqueça que todos pontos experimentais são medidas e devem ser acompanhadas pela incerteza. Por isso, os pontos colocados no gráfico devem sempre apresentar as barras de erros correspondentes. O erro associado à grandeza representada no eixo horizontal deve ser paralelo a este eixo e centrado no ponto que representa a medida. O mesmo ocorre com o erro associado à grandeza representada no eixo vertical. Deste modo, cada ponto mostrado no gráfico será representado por uma cruz. Não é incomum que na ponta de cada barra de erro exista um traço para reforçar a visualização da barra de erro. Ainda, dependendo da escala representada no gráfico, nem sempre será possível representar as barras de erro com clareza, mas sempre que necessário e possível, elas devem estar presentes.

Dependendo da necessidade, pode ser necessário desenhar funções de ajuste ou de modelos. As regras que já aprendemos, continuam valendo: curvas ajustadas aos pontos devem ser suaves e tracejadas e não precisa, necessariamente, passar sobre todos os pontos. A curva deve ser traçada levando em conta que os pontos no gráfico são representações de medidas, com incertezas associadas. Curvas que representem modelos ou leis naturais devem ser contínuas. Independente da natureza, qualquer curva desenhada no gráfico deve estar claramente representada.

Por fim, não esqueça da colocação do título no alto do gráfico, quando pertinente; da legenda, quando necessária; e da fonte de origem do gráfico, na parte debaixo.

A seguir, vamos aplicar na prática as recomendações acima:

Exemplo: Sejam os dados da Tabela 10.3, abaixo, oriundos de uma experiência feita em laboratório, para medir a resistência elétrica de um pedaço de grafite, que consiste em variar a voltagem aplicada no pedaço de grafite e verificar a corrente elétrica que o atravessa. São medidas simultaneamente a voltagem e a corrente elétrica.

Tabela 10.3 - Medidas Simultâneas de Voltagem e Corrente elétrica de um pedaço de Grafite, para determinar a sua Resistência; Itajubá-MG, Maio de 2013

Ensaio Voltagem (V) Corrente (mA) I (0,425 ± 0,005) (21,3 ± 0,7) II (0,828 ± 0,007) (41,5 ± 0,9) III (1,151 ± 0,009) (58 ± 1) IV (1,66 ± 0,01) (77 ± 1) V (1,99 ± 0,01) (93 ± 2) VI (2,29 ± 0,04) (109 ± 2) VII (2,70 ± 0,04) (128 ± 2) VIII (3,10 ± 0,05) (148 ± 2) IX (3,42 ± 0,05) (165 ± 2) X (3,89 ± 0,05) (189 ± 3)

Fonte: Laboratório de Física da UNIFEI.

As grandezas voltagem e corrente elétrica, relacionam-se entre si, conforme a Lei de Ohm: V ====R⋅⋅⋅⋅I_{, onde R é a resistência elétrica. Desta}

forma, trataremos a voltagem V como a variável dependente (eixo vertical) e a corrente elétrica I como a variável independente (eixo

horizontal). Vamos escalonar cada eixo, de acordo com a variação total da voltagem e da corrente elétrica. A voltagem tem um intervalo de variação total de 3,89 – 0,425 = 3,46 V. Já a corrente apresenta um intervalo de variação total de 189 – 21,3 = 168 mA. Mas como utilizar a folha milimetrada, na forma “retrato” ou “paisagem”? Note que temos duas opções, indicadas na Figura J-5:

Figura J-5 – Opções de utilização de uma folha de papel milimetrado para fazer um gráfico bi-dimensional.

Para escolher, temos que conhecer o tamanho da folha milimetrada e calcular as escalas possíveis e o aproveitamento total da folha. A folha A4 milimetrada tem 270mm de gráfico no eixo maior e 170mm de gráfico no eixo menor. Para a opção 1 (“retrato”), teríamos as seguintes escalas: V mm 0 , 78 V 46 , 3 mm 270 grandeza da variação papel do Y tamanho = = = = = = = = = == = V escala mA mm 01 , 1 mA 168 mm 170 grandeza da variação papel do X tamanho = = = = = = = = = == = I escala

Porém, não podemos utilizar qualquer escala. Para fins de boa visualização do gráfico e facilitar a leitura dos pontos, a escala escolhida deve ser múltipla de 1; 2; 2,5; 4 ou 5, multiplicados por uma potência de 10 apropriada. Evite o uso de 3, 7 ou 9, porque eles dificultam plotar e ler os valores no gráfico. Caso a escala não seja um múltiplo exato de 1; 2; 2,5; 4 ou 5, então utilize o múltiplo imediatamente inferior. Nunca aumente o valor da escala, pois isto fará com que os pontos mais extremos não possam ser representados no gráfico!

Logo, para o gráfico em modo “retrato”, as escalas mais corretas seriam: V mm 50 = == = V escala e escalaI ====1mm mA V I 2 V I 1

Com estas escalas, a área total da Folha aproveitada pelo gráfico será:

((((

)))) ((((

))))

((((

)))) ((((

))))

2 mm 29064 mA 68 1 mA mm 1 V 46 , 3 V mm 50 X grandeza da variação Y grandeza da variação = = = = × ×× × × ×× × × ×× × = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ × ×× × × ×× × × ×× × = = = = Área X escala Y escala Área

Vamos verificar o uso da Folha milimetrada no modo “paisagem”, opção 2. As escalas seriam:

V mm 1 , 49 V 46 , 3 mm 170 grandeza da variação papel do Y tamanho = = = = = = = = = == = V escala mA mm 61 , 1 mA 168 mm 270 grandeza da variação papel do X tamanho = = = = = = = = = == = I escala

Para o gráfico em modo “paisagem”, as escalas mais corretas seriam: V mm 40 = == = V escala e escalaI ====1mm mA

Com estas escalas, a área total da Folha aproveitada pelo gráfico em modo “paisagem” será:

((((

)))) ((((

))))

((((

)))) ((((

))))

2 mm 2 , 23251 mA 68 1 mA mm 1 V 46 , 3 V mm 40 X grandeza da variação Y grandeza da variação = = = = × ×× × × ×× × × ×× × = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ × ×× × × ×× × × ×× × = = = = Área X escala Y escala Área

Com isto, concluímos que, neste caso, o uso da Folha A4 de papel milimetrado no modo “retrato” trará um melhor aproveitamento da área disponível para o gráfico.

A escala de cada eixo não é só utilizada para ver o melhor aproveitamento da folha. Ela irá ser utilizada para posicionar os pontos e desenhar as barras de erro. Para este gráfico, sabemos agora que na direção do eixo maior, cada 50mm indicam 1V e na direção do eixo menor, cada 1mm indica 1mA.

O eixo vertical da Voltagem pode iniciar em 0V, sem prejuízo de representação dos pontos ou mudança da escala, pois terminará em 5,4V, além do maior valor da Tabela de dados. O eixo horizontal só comporta 170mA e portanto, não pode iniciar de zero. Podemos iniciá-lo em 20 mA, sendo o limite superior de 190mA, permitindo plotar todos os valores da Tabela de dados.

As barras de erros devem ser calculadas conforme as escalas escolhidas para cada eixo:

((((

))))

((((

))))

((((

escalaY rro

))))

V

((((

escalaY rroV

))))

I rro X escala I rro X escala e Erro de Barra Y e Y Erro de Barra e Erro de Barra X e X Erro de Barra × × × × = = = = ⇒ ⇒⇒ ⇒ × × × × = = = = × × × × = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ × ×× × = = = =

Vamos exemplificar com o ensaio VI da Tabela de Dados:

((((

))))

((((

e

))))

50mm V 0,04V 2mm Erro de Barra 2mm mA 2 mA mm 1 e Erro de Barra = == = × × × × = == = × ×× × = == = = == = × × × × = = = = × × × × = == = V rro Y escala V I rro X escala I

Ambas as barras (horizontal e vertical) terão 2 mm.

A Figura J-6 mostra o gráfico referente aos dados da Tabela 10.3.

O gráfico sugere que os pontos estão alinhados (como prevê a Lei de Ohm). De fato, poderíamos traçar um reta a olho e determinar a resistência “R” do grafite, a partir do coeficiente angular da reta. Mas isto será assunto para a seção XXXVIII deste texto.

XXXVII – Gráficos em Computador

A popularização dos computadores a partir da década de 80 do século passado trouxe uma série de facilidades, dentre elas, a possibilidade de fazer gráficos com o auxílio de programas próprios. A confecção de gráficos em computador, além de facilitar enormemente a tarefa, traz outras vantagens consideráveis:

* menor probabilidade de cometer erros;

* facilidade na correção de eventuais enganos; * melhor apresentação e visual;

* fácil reprodução e distribuição;

* integração com outras facilidades do computador.

Por estas razões, trabalharemos neste curso (e é recomendável que daqui para frente seja um hábito) apenas com a confecção de gráficos no computador. Para tanto, é necessário que se aprenda a trabalhar com pelo menos um programa que faça gráficos. Como a quantidade de programas e sistemas operacionais é vasta, não há como cobrirmos todas as possibilidades. Para esta disciplina, iremos utilizar oficialmente o software gratuito e multi-plataforma chamado SciDAVis. No item “Texto base do Módulo 10” da página da disciplina, existem duas apostilas ensinando a utilizar o SciDAVis. Durante as atividades (laboratório para casa ou em sala) também irei dando dicas de uso deste programa para fazer os gráficos. É importante que vocês se familiarizem com este software e nada mais recomendável do que ir utilizando. Como andar de bicicleta, elaborar gráficos em computador, só se aprende praticando.

Figura J-6 – Exemplo de gráfico manual em papel milimetrado, com os dados da tabela 10.3

Existem outras opções, algumas com menores, outras com maiores recurso e qualidade, em relação ao SciDAVis. Quem trabalha com o sistema operacional Windows, provavelmente deve ter o pacote Office instalado em seu computador. Este pacote inclui o programa Excel, que facilita o trabalho com planilhas (tabelas) e gráficos. Quem não tem o Office instalado, pode buscar na Internet o OpenOffice (www.openoffice.org), que é gratuito e tem as mesmas funcionalidades do Excel, no programa Calc. Faça uso. Existem outras opções pagas, mais específicas, como o Origin, Matlab, IDL, dentre outras. Dentre algumas opções gratuitas para Windows, que também fazem gráficos, destaco o nPlot (nanoplot.sourceforge.net), o qual utilizamos até 2013 nos laboratórios de Física presencial e é muito fácil de aprender, embora limitado a gráficos de pontos experimentais e sem recursos de planilha.

Já quem trabalha com o sistema operacional Linux, tem a facilidade de ter inúmeras boas opções gratuitas, como o LabPlot

(labplot.kde.org), QtiPlot (http://www.qtiplot.com) e GLE (www.gle-graphics.org). Existe também a possibilidade de utilizar o

pacote OpenOffice e o nPlot no Linux.

Estas são apenas algumas sugestões, dentre muitas possibilidades. Existem muitos programas que constroem gráficos e são gratuitos, para todos os sistemas operacionais existentes. Fica a cargo do aluno aprender e dominar as facilidades de pelo menos um programa de construção de gráficos. O direcionamento das atividades de gráficos nesta disciplina, entretanto, será para o SciDAVis. Isto não quer dizer que só aceita-se gráficos com este software. Você poderá utilizar o que achar melhor, mas seu software deverá ser capaz de fazer a atividade que é proposta.

XXXVIII – Avaliando relações lineares

Uma das principais vantagens que obtemos ao representar dados experimentais através de um gráfico é a simplicidade com a qual novas informações podem ser obtidas diretamente a partir do gráfico, pela observação de como os pontos distribuem-se. A forma do gráfico nos fornece imediatamente o comportamento da variável dependente em relação ao aumento ou diminuição da variável independente. Se as duas variáveis medidas não têm relação entre si, esperamos pontos aleatoriamente distribuídos. Mas se existe uma relação natural entre elas, então existirá uma tendência, que ficará evidente no gráfico. Uma das mais simples é a proporcionalidade direta, que se manifesta no alinhamento de pontos em um gráfico.

A proporcionalidade direta apresenta uma relação linear, cuja formulação padrão é uma reta de equação:

x b a x y( )==== ++++

sendo y a variável dependente; x a variável independente; a é o chamado de coeficiente linear e b o coeficiente angular da reta. Assim,

toda vez que o gráfico sugerir um alinhamento de pontos e uma relação linear entre as variáveis, podemos ajustar uma reta e estimar os coeficientes a e b, que certamente terão algum significado específico. A

questão é como, a partir dos pontos do gráfico, traçamos a reta que melhor se ajusta aos pontos? Podemos fazer isto “a olho”, como provavelmente era feito nos ensinos fundamental e médio. Mas, excetuando situações de rápida estimativa, esta é uma aproximação grosseira. Existem formas mais robustas de estimar o melhor ajuste linear a um conjunto de pontos. Isso significa calcular, de forma otimizada, o valor dos coeficientes a e b.

Existem muitos métodos numéricos que fazem o ajuste linear e calculam os valores dos coeficientes a e b, incluindo os seus erros. Um

dos mais utilizados é o método dos mínimos quadrados (MMQ). O MMQ trabalha com as diferenças quadráticas entre os valores medidos e os valores previstos da variável dependente, estimando os coeficientes a

e b através de uma espécie de estatística de ajuste aos pontos experimentais.

Seja o par de grandezas (variáveis x e y) medidas

((((

x ;i yi

))))

, que

define um ponto no gráfico. Então, se as duas grandezas se relacionam linearmente, existe uma reta teórica, tal que o valor de y teórico será:

i

x b a y==== ++++ ⋅⋅⋅⋅

que não necessariamente passará em cima do ponto experimental (lembre-se que ele tem erro), vide Figura J-7. Desta forma, existirá uma pequena diferença entre o valor medido yi e o valor teórico previsto y

dada por: i i i i y y y a b x d ==== −−−− ==== −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅

Assim, para todos os pontos, existe uma diferença di, que pode ser

positiva ou negativa. Por isto, se quisermos minimizar estas diferenças, precisamos trabalhar com o valor quadrático delas, a fim de eliminar a dependência com o sinal:

Figura J-7 – Gráfico experimental exemplo, que relaciona linearmente duas grandezas (Intensidade Relativa Sonora e Tempo), mostrando que a melhor reta ajustada pelo MMQ não necessariamente passa em cima dos pontos experimentais. Veja no detalhe do ponto ampliado que existe uma diferença di entre o valor yi do ponto experimental e

o valor teórico y, calculado para o xi do ponto, pela relação linear teórica.

((((

))))

2 2 i i i y a b x d ==== −−−− −−−− ⋅⋅⋅⋅

O MMQ calcula os valores de a e b que minimizam o somatório das diferenças quadráticas para todos os pontos do gráfico:

b a MMQ ⇒⇒⇒⇒ , tais que

∑

∑

∑

∑

((((

))))

= == = → → → → ⋅⋅⋅⋅ − −− − − −− − N i i i a b x y 1 2 mínimo valor

O desenvolvimento para se chegar aos valores de a e b e seus erros não

será explicitado aqui, pois depende de cálculo de derivadas parciais, o que ainda não foi visto pelos alunos (Cálculo II).

Os valores de a e b, que levam ao valor mínimo do somatório das

(((( ))))

(((( ))))

2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 − − − −       + + + +       ⋅⋅⋅⋅ × × × × − −− −       × ×× × − −− −       × × × × + + + +       × × × × + ++ + = = = =       − − − −       × × × × = = = = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ × × × × = == = ∆ ∆ ∆ ∆       × ×× × = == = ∆ ∆ ∆ ∆       × × × ×       − −− −       ⋅⋅⋅⋅ × × × × = = = = ∆ ∆∆ ∆       ⋅⋅⋅⋅ × ×× ×       − −− −       × × × ×       = = = =

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= = = = = = = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = = = == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = N y y x b y a x b x ab Na x x N N b erro x a erro y x y x N b y x x x y a N i i N i i i N i i N i i N i i N i i N i i N i i N i i N i i N i i i N i i i N i i N i i N i i δ δδ δ δ δδ δ δ δδ δ

que envolvem os somatórios para os N pontos do gráfico e para as grandezas (variáveis) y e x.

Vamos exemplificar uma aplicação, com o gráfico manual que fizemos, o qual relacionava Voltagem e Corrente elétrica sobre o grafite (Figura J-6 e dados na Tabela 10.3). Naquele gráfico, a grandeza x era a corrente elétrica e a grandeza y era a voltagem. Então, os somatórios a

serem calculados são (como tratam-se de medidas com modelo específico, não há necessidade de observar-se as regras de A.S.):

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3

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2 2 10 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 1 2 10 1 2 3 10 1 10 1 A 13323294 , 0 10 94 , 133232 189 165 148 128 109 93 77 58 5 , 41 3 , 21 A 0298 , 1 10 189 165 148 128 109 93 77 58 5 , 41 3 , 21 = == = × ×× × = == = ⇒ ⇒⇒ ⇒ + + + + + + + + + ++ + + ++ + + + + + + + + + + ++ + + ++ + + ++ + = == = = = = = = = = = × × × × + ++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + + + + = = = = = = = = − − − − = == = = == = = == = − −− − = = = = = == =

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i i i i i i i i i i I I x I x

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2 10 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 1 2 10 1 2 10 1 10 1 V 87931 , 57 89 , 3 42 , 3 10 , 3 70 , 2 29 , 2 99 , 1 66 , 1 151 , 1 828 , 0 425 , 0 V 454 , 21 89 , 3 42 , 3 10 , 3 70 , 2 29 , 2 99 , 1 66 , 1 151 , 1 828 , 0 425 , 0

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= = = = = = = = = = = = = == = = = = = = == = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = = = = = = = = = = = = + ++ + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + = = = = = == = i i i i i i i i i i V V y V y V A 7765825 , 2 10 5825 , 2776 89 , 3 189 42 , 3 165 10 , 3 148 70 , 2 128 29 , 2 109 99 , 1 93 66 , 1 77 151 , 1 58 828 , 0 5 , 41 425 , 0 3 , 21 3 10 1 10 1 10 1 ⋅⋅⋅⋅ = == = × × × × = = = = ⋅⋅⋅⋅ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ + ++ + ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ + ++ + ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ + + + + ⋅⋅⋅⋅ = = = = ⋅⋅⋅⋅ = == = ⋅⋅⋅⋅ − − − − = = = = = == = = = = =

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i i i i i i i i i V I V I y x

onde foi utilizado 1 mA = 10-3 A. O valor do coeficiente linear a é

calculado como:

((((

))))

2 2 2 1 1 2 A 27184 , 0 0298 , 1 13323294 , 0 10×××× −−−− ==== = = = =       − − − −       × ×× × = = = = ∆ ∆ ∆ ∆

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= = = = = = = = N i i N i i x x N V 10 4769 , 3 27184 , 0 7765825 , 2 0298 , 1 13323294 , 0 454 , 21 3 1 1 1 2 1 − −− − = = = = = = = = = == = = = = = × × × × − − − − = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ × ×× × − − − − × × × × = = = = ∆ ∆ ∆ ∆       ⋅⋅⋅⋅ × × × ×       − −− −       × × × ×       = = = =

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a y x x x y a N i i i N i i N i i N i i

E o valor do coeficiente angular b é calculado a partir de:

A V 867 , 20 27184136 , 0 454 , 21 0298 , 1 7765825 , 2 10 1 1 1 = = = = × × × × − −− − × × × × = = = = ∆ ∆∆ ∆       × × × ×       − − − −       ⋅⋅⋅⋅ × × × × = == =

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= == = = = = = = == = N i i N i i N i i i y x y x N b

Os erros dos coeficientes a e b também são calculados a partir de expressões específicas (e bem mais complicadas). Note que em nenhum momento utilizamos os erros experimentais de x ou y, o que confirma

que não se trata de propagação de erros, mas de um modelo de erro de ajuste:

V 093988 , 0 A V 867 , 20 ; V 10 4769 , 3 ; 10 2 2 2 2 3 1 2 1 1 1 2 2 1 2 = == = = = = = × ×× × − − − − = == = = = = = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − − − −       + + + +       ⋅⋅⋅⋅ × × × × − − − −       × × × × − − − −       × ×× × + + + +       × × × × + + + + = == = − − − − = = = = = == = = = = = = = = = = == =

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δ δδ δ δ δδ δ b a N N y y x b y a x b x ab Na N i i N i i i N i i N i i N i i

(((( ))))

(((( ))))

0,57 0,6V A 27184 , 0 10 093988 , 0 V 066 , 0 0658 , 0 27184 , 0 13323294 , 0 093988 , 0 1 2 = = = = = = = = × ×× × = = = = ∆ ∆ ∆ ∆ × ×× × = == = = = = = = = = = × ×× × = = = = ∆ ∆ ∆ ∆       × × × × = == =

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= == = N b erro x a erro N i i δ δδ δ δ δδ δ

Desta forma, a reta que melhor se ajusta aos pontos, pelo MMQ é:

((((

))))

((((

))))

I

V ====−−−− 0,003±±±±0,066 ++++ 20,9±±±±0,6 ⋅⋅⋅⋅

que é compatível com a Lei de Ohm, V ====R⋅⋅⋅⋅I. Podemos concluir que o coeficiente linear a é praticamente nulo (menor que o erro), e o coeficiente angular b é justamente a resistência do grafite, ou seja:

((((

±±±±

))))

ΩΩΩΩ = = = = = = = =R 20,9 0,6 b

Note que esta medida da resistência foi feita através do ajuste da reta, pelo MMQ, aos pontos do gráfico. Ela não foi medida direta, indireta ou estatisticamente, mas por um novo método. A Figura J-8 mostra o mesmo gráfico da Figura J-6, mas agora com a reta que representa o melhor ajuste de uma relação linear entre as variáveis, calculado por nós com o MMQ.

Naturalmente, não é nada cômodo efetuar todos estes cálculos a cada vez que queiramos traçar a melhor reta a um gráfico em que os pontos sugiram uma relação linear. Mesmo outros métodos também irão requerer uma quantidade de cálculos igual ou maior. Exatamente por isto, é altamente recomendável que o aluno domine um programa de computador que além de elaborar gráficos, faça ajustes de funções aos pontos dos gráficos, fornecendo os valores dos coeficientes e seus erros. O SciDAVis faz isto.

Figura J-8 – Exemplo de ajuste linear pelo MMQ, feito manualmente, ao gráfico da Figura J-6, efetuado com os dados da tabela 10.3.