Otimização estrutural de chassi de um veículo guiado automaticamente

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL

RAFAEL VENDRAMIN

OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE CHASSI DE UM VEÍCULO GUIADO AUTOMATICAMENTE

CAXIAS DO SUL 2016

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Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade de Caxias do Sul como requisito parcial à obtenção do grau de Engenheiro Mecânico. Área de concentração: Métodos de Síntese e Otimização Aplicados ao Projeto Mecânico

Orientador: prof. Dr. Alexandre Vieceli

CAXIAS DO SUL 2016

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Trabalho de conclusão de curso apresentado à Universidade de Caxias do Sul como requisito parcial à obtenção do grau de Engenheiro Mecânico. Área de concentração: Métodos de Síntese e Otimização Aplicados ao Projeto Mecânico

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RESUMO

O presente trabalho desenvolveu um estudo de otimização estrutural do chassi de um Veículo Guiado Automaticamente (AGV), com o objetivo de encontrar uma geometria ótima do componente, visando também a redução de massa da estrutura em relação ao conceito original e atendendo aos requisitos e solicitações submetidos pela aplicação. Para isso, foi realizado o levantamento dos carregamentos e condições de contorno da aplicação do chassi, bem como a discretização para análise estrutural utilizando o software Abaqus 6.14, por meio do Método dos Elementos Finitos (MEF). Além disso, foram aplicadas técnicas de otimização estrutural topológica e dimensional no componente utilizando o software Tosca Structure, até que um resultado ótimo ou aceitável fosse encontrado. Com isso, foi possível obter uma nova proposta de geometria para a estrutura, e como resultado apresentou uma massa reduzida, além de conseguir manter seu desempenho mecânico sob as mesmas restrições de projeto, se comparado ao modelo original. Por fim, obteve-se uma redução de massa de 17,6% da estrutura, o que deve propiciar uma redução de custos no produto final, bem como no aumento da eficiência e desempenho do AGV, trazendo benefícios tanto para a empresa quanto para o cliente final.

Palavras-chave: Otimização estrutural. Método dos Elementos Finitos. Redução de massa.

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ABSTRACT

The present work developed a structural optimization study of the chassis of an Automatic Guided Vehicle (AGV). The objective is to find an optimal geometry of the component, also aiming at reducing the mass of the structure in relation to the original concept and meeting the requirements and requests submitted by the application. For this, the load and boundary conditions of the chassis application were studied, as well as the discretization for structural analysis using the software Abaqus 6.14, using the Finite Element Method (FEM). In addition, topological and dimensional structural optimization techniques were applied to the component using Tosca Structure software, until an optimal or acceptable result was found. It was possible to obtain a new geometry proposal for the structure, and the mass reduction obtained is presented. The mechanical performance under the same design constraints was maintained, compared to the original model. Finally, 17.6% of mass reduction of the structure was achieved. It should lead to a reduction of costs in the final product, as well as an increase in the efficiency and performance of the AGV, bringing benefits both for the company and for the final client.

Keywords: Structural optimization. Finite Element Method. Mass reduction. Optimal

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Chassi original AGV ... 13

Figura 2 - Aplicação industrial de sistema composto por AGVs ... 15

Figura 3 - Conceito de veículo elétrico com baterias recarregáveis ... 16

Figura 4 - Diagrama estático de corpo livre do veículo ... 18

Figura 5 - Diagrama distribuição de cargas sobre um chassi ... 19

Figura 6 - Modelo de discretização (malha) com elemento de forma triangular ... 21

Figura 7 - Elemento unidimensional ... 21

Figura 8 - Elementos bidimensionais ... 22

Figura 9 - Elemento sólido ... 22

Figura 10 - Definição do problema de otimização estrutural ... 25

Figura 11 - Tipos de otimização estrutural ... 26

Figura 12 - Otimização dimensional ... 27

Figura 13 - Otimização de forma ... 28

Figura 14 - Otimização topológica ... 29

Figura 15 - Penalização das densidades ... 30

Figura 16 - Processo iterativo da otimização ... 33

Figura 17 - Fluxograma de atividades para análise de otimização topológica ... 37

Figura 18 - Fluxograma de atividades para análise de otimização dimensional ... 38

Figura 19 - Domínio inicial do projeto, carregamentos e restrições ... 39

Figura 20 - Discretização do modelo original ... 42

Figura 21 - Carregamentos e restrições impostas a estrutura original ... 42

Figura 22 - Representação das frozen areas no domínio inicial ... 44

Figura 23 – Discretização do domínio inicial ... 45

Figura 24 – Distribuição do carregamento inicial sobre a estrutura ... 45

Figura 25 - Representação do ponto crítico de tensão máxima (MPa) da estrutura ... 47

Figura 26 - Representação do ponto crítico de deslocamento (mm) da estrutura ... 48

Figura 27 - Otimização topológica com 70% de restrição de volume ... 48

Figura 30 - Segunda distribuição de carregamentos... 50

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Figura 34 - Terceira distribuição de carregamentos ... 52

Figura 36 - Quarta distribuição de carregamentos ... 54

Figura 38 - Modelo em CAD de chassi do AGV ... 56

Figura 39 - Discretização do novo design de chassi do AGV ... 56

Figura 40 - Distribuição de carregamentos para o novo design de chassi... 57

Figura 43 - Exemplo de definição de faixas de espessuras no software Tosca Structure ... 59

Figura 44 - Resultado da otimização dimensional utilizando o software Tosca Structure ... 60

Figura 47 - Discretização do modelo final de geometria de chassi ... 64

Figura 48 – Carregamentos impostos a geometria final de chassi ... 64

Figura 49 - Geometria final da estrutura de chassi do AGV ... 65

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LISTA DE SIGLAS

AGV Veículo Guiado Automaticamente

BFGS Broyden Fletcher Goldfarb Shanno

CAD Computer Aided Design

CAE Computer Aided Engineering

CCET Centro de Ciências Exatas e da Tecnologia

CG Centro de Gravidade

ESO Evolutionary Structural Optimization

MEF Método dos Elementos Finitos, denominado também com FEA – Finite

Element Analysis

MLA Multiplicador de Lagrange Aumentado

MMA Método das Assíntotas Móveis

OD Otimização Dimensional

OT Otimização Topológica

P&D Pesquisa e Desenvolvimento

RS Rio Grande do Sul

SIMP Simple Isotropic Material with Penalization

TSA Topological Sensitivity Analysis

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 11

1.1 AMBIENTEDEREALIZAÇÃODOTRABALHO ... 12

1.2 JUSTIFICATIVADOTRABALHO ... 12

1.3 OBJETIVOGERAL ... 14

1.4 OBJETIVOSESPECÍFICOS ... 14

2 REFERENCIAL TEÓRICO ... 15

2.1 CONSIDERAÇÕESGERAISSOBREPROJETOSDEAGVS ... 15

2.1.1 Veículos elétricos puros e autônomos ... 16

2.1.2 Princípios e análise de chassi ... 17

2.1.3 Distribuição de carga ... 17

2.2 CONCEITOSFUNDAMENTAISDOMÉTODODOSELEMENTOSFINITOS . 19 2.2.1 Discretização do problema ... 20

2.2.2 Tipos de elementos ... 21

2.2.3 MEF - Análise Linear ... 22

2.3 OTIMIZAÇÃOESTRUTURAL ... 24

2.3.1 Caracterização de técnicas de otimização estrutural... 26

2.3.1.1 Otimização dimensional ... 27

2.3.1.2 Otimização de forma ... 28

2.3.1.3 Otimização topológica ... 28

2.3.1.3.1 Minimização da flexibilidade ... 30

2.3.2 Modelo matemático aplicado à otimização estrutural ... 31

2.3.2.1 Algoritmo geral de otimização estrutural ... 32

2.3.2.2 Problemas de otimização sem restrições ... 33

2.3.2.3 Problemas de otimização com restrições ... 33

2.3.2.4 Linearização de problemas com restrições ... 35

2.3.2.5 Método das Assíntotas Móveis - MMA ... 35

3 MATERIAIS E MÉTODOS ... 37

3.1 CARACTERIZAÇÃODOCOMPONENTEORIGINAL ... 38

3.1.1 Análise estrutural I: validação e análise do modelo original ... 41

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3.2 OTIMIZAÇÃOESTRUTURALDOCHASSIDEUMAGV ... 43

3.2.1 Otimização topológica do chassi ... 43

3.2.1.1 Pré-processamento da otimização topológica ... 44

3.2.1.1.1 Carregamento inicial sobre a estrutura ... 45

3.2.1.1.2 Critérios para distribuição de cargas ... 46

3.2.2 Otimização dimensional do chassi ... 46

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 47

4.1 RESULTADODAANÁLISEESTRUTURALDOMODELOORIGINAL ... 47

4.2 ANÁLISEDERESULTADOSPARAAOTIMIZAÇÃOTOPOLÓGICA ... 48

4.2.1 Carregamento inicial: restrição de 70% do volume inicial ... 48

4.2.4 Segunda distribuição de carregamento ... 50

4.2.4.1 Segunda distribuição de carregamento: restrição de 70% do volume inicial ... 50

4.2.5 Terceira distribuição de carregamento ... 52

4.2.5.1 Terceira distribuição de carregamento: restrição de 30% do volume inicial ... 53

4.2.6 Quarta distribuição de carregamento ... 53

4.2.6.1 Quarta distribuição de carregamento: restrição de 30% do volume inicial ... 54

4.3 GEOMETRIADECHASSIOBTIDAPELAOTIMIZAÇÃOTOPOLÓGICA ... 55

4.3.1 Análise estrutural II: validação e análise da nova geometria de chassi ... 56

4.3.1.1 Pré-processamento da análise estrutural II... 56

4.3.1.2 Resultados da análise estrutural II ... 57

4.4 ANÁLISEDERESULTADOSPARAAOTIMIZAÇÃODIMENSIONAL(OD). 58 4.4.1 Pré-processamento da otimização dimensional ... 59

4.4.2 Análise de resultados para a otimização dimensional ... 60

4.4.3 Análise estrutural III: validação e análise do chassi após OD ... 61

4.4.4 Análise estrutural IV: validação e análise final do chassi ... 63

4.4.4.1 Pré-processamento da análise estrutural IV ... 63

4.4.4.2 Resultados da análise estrutural IV ... 65

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5 CONCLUSÃO ... 68

6 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ... 70

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 71

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1 INTRODUÇÃO

Aumento da produtividade, diminuição dos custos operacionais, implementação de tecnologias que substituam a mão-de-obra do funcionário, estes são alguns dos termos mais trabalhados e pensados no meio industrial brasileiro e mundial. Ao longo dos anos percebe-se a tendência pela robotização e automação industrial, em uma tentativa de substituir a mão-de-obra por recursos tecnológicos, com o intuito de aumentar a competitividade das empresas, melhorar qualidade, diminuir prazos de entrega, entre outros.

Segundo Sampaio (2007), em empresas europeias é muito comum a utilização de veículos guiados automaticamente (AGV). Porém no Brasil, apesar de se ter um grande número de empresas que já utilizam esta tecnologia, este mercado apresenta grande potencial de crescimento e poderia ser melhor explorado. Mesmo sendo considerado um equipamento com elevado valor agregado, a médio prazo tem-se retorno do investimento, devido as suas vantagens.

De acordo com Fazlollahtabar e Saidi-Mehrabad (2013), o AGV é um veículo móvel guiado automaticamente, ou seja, não necessita de operador, cuja função é requerida em ambientes, internos ou externos, que necessitam de transporte de produtos na produção e em armazéns. É programado para transportar materiais através de rotas definidas de recolhimento e entrega de produtos em instalações de manufatura distribuição, ou até mesmo terminais portuários. Surgem como uma alternativa à solução clássica de ter empilhadeiras e demais sistemas convencionais, a transportar matérias-primas e produtos no shop floor da fábrica.

Alguns dos principais benefícios na utilização de AGVs estão na redução dos custos com mão-de-obra, apresentam maior flexibilidade no manuseio e transporte dos materiais que os meios convencionais, melhor organização da programação do processo, melhor utilização do espaço disponível, maior segurança dos sistemas, aumento da produção e controle de inventários mais eficaz (VENTURA; PAZHANI; MENDOZA, 2015).

Os AGVs são veículos elétricos e possuem como fonte de energia baterias recarregáveis, são dotados de sensores de segurança de alta confiabilidade, e sensores de localização para se locomoverem, além de outros componentes eletrônicos para controle do veículo. Possui uma estrutura mecânica capaz de suportar os carregamentos externos e esforços de movimentação, e para que isto aconteça, uma estrutura tubular soldada faz a função de chassi do veículo.

Neste contexto, o presente trabalho visa desenvolver o projeto do chassi de um AGV, utilizando ferramentas de métodos de elementos finitos (MEF) e otimização, com o intuito de

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se obter uma geometria ótima, ou seja, que atenda aos requisitos de integridade estrutural quando em serviço, e ao mesmo tempo possua massa reduzida.

1.1 AMBIENTE DE REALIZAÇÃO DO TRABALHO

A Spark AG Software e Automação, é uma empresa desenvolvedora de soluções para a intralogística industrial e de armazéns. Localizada na cidade de Nova Prata, no estado do Rio Grande do Sul (RS), possui em seu portfólio de produtos, desde software de gerenciamento de estoque e movimentação de materiais, até equipamentos para movimentação de cargas e produtos, com alta tecnologia embarcada, acompanhando e seguindo a linha de produtos desenvolvidos na Europa e Estados Unidos. Para o modelamento e desenvolvimento dos projetos da empresa, é utilizado o SolidWorks da Dassault Systèmes, como software de

Computer Aided Design (CAD).

A Universidade de Caxias do Sul (UCS), é uma instituição de ensino superior privado atuante na região nordeste do estado do RS, possuindo carácter comunitário e regional. Mantém unidades em nove cidades do estado, sendo que o Campus-Sede está localizado na cidade de Caxias do Sul. A UCS disponibiliza aos alunos, laboratórios nas mais variadas áreas do conhecimento, integrados ao Centro de Ciências Exatas e da Tecnologia (CCET). Nestes laboratórios estão disponíveis software de última geração para simulação virtual, na área de elementos finitos com o Abaqus da Dassault Systèmes, como software de Computer Aided

Engineering (CAE), e otimização estrutural com o Tosca Structure da Dassault Systèmes.

Em vista disso, o desenvolvimento do trabalho será realizado em duas partes, primeiramente junto a empresa serão definidos os pré-requisitos de projeto, carregamentos, condições de contorno e modelo de AGV, bem como o desenvolvimento do modelo virtual em software CAD. Posteriormente, na Instituição de Ensino serão realizadas as análises virtuais de elementos finitos e otimização estrutural.

1.2 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO

A busca pela redução de massa de equipamentos, peças e sistemas vem se tornando um dos pilares no desenvolvimento de produtos e em áreas de pesquisa e desenvolvimento (P&D), visando a diminuição de custos de fabricação, aumento de produtividade, otimização de processos, aumento de eficiência, desempenho e autonomia dos produtos, tudo isso para alcançar um único objetivo, aumentar a competitividade das empresas.

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Atualmente, projetar um sistema que desempenhe sua função corretamente já não é mais suficiente, mas sim é preciso projetar o melhor sistema. A ideia de melhor submete a um sistema que seja versátil, eficiente e tenha uma boa relação custo-benefício. Para alcançar este objetivo o engenheiro deve aplicar ferramentas analíticas, numéricas e experimentais. Conceitos de otimização e minimização são empregados para implementar uma sistemática de busca por soluções ótimas (COUTINHO, 2006).

Com o desenvolvimento de projetos de AGVs isso não seria diferente, e a demanda de projetos inovadores com massa reduzida, se tornou um ponto decisivo de competitividade entre os fabricantes. Por se tratar de um veículo elétrico é necessário que se tenha a melhor relação peso versus potência do equipamento, e a busca pela geometria ótima é essencial para o sucesso do projeto.

Neste sentido, a utilização de software de cálculo estrutural utilizando o MEF, vem ganhando destaque e importância cada vez maior, assim como software de otimização para redução de massa, e busca pela melhor geometria.

O conjunto que será trabalhado, é o chassi do AGV, ilustrado conforme a Figura 1, pelo fato de ser a parte que representa o maior percentual de massa em comparação aos outros componentes do projeto. O intuito é buscar uma geometria que seja capaz de suportar os carregamentos e que garanta a integridade estrutural, e ao mesmo tempo tenha massa menor que o modelo original.

Figura 1 – Chassi original AGV

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1.3 OBJETIVO GERAL

Desenvolver a otimização estrutural do chassi de um AGV, visando uma redução da massa e maximização da rigidez.

1.4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Para se alcançar o objetivo principal, foram definidos os seguintes objetivos específicos:

a) compreender os conceitos de otimização estrutural, neste caso topológica e dimensional, para realizar análises de otimização em software;

b) realizar o levantamento dos carregamentos e condições de contorno aplicados ao desenvolvimento da estrutura de chassi do AGV;

c) definir uma função objetivo e as restrições do problema, neste caso, maximização da rigidez com restrição de volume;

d) utilizar o software Tosca Structure para realizar otimização topológica e dimensional;

e) modelar em software CAD uma nova geometria, baseada na topologia obtida do processo de otimização;

f) executar análise estrutural do chassi do AGV utilizando MEF em software CAE, comparando os resultados do modelo original com o novo modelo proposto após o processo de otimização;

g) avaliar e discutir os resultados obtidos da análise estrutural, definindo se a nova geometria está apta a sua aplicação ou requer modificações para posterior validação.

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2 REFERENCIAL TEÓRICO

Neste capítulo encontra-se a revisão bibliográfica necessária para fundamentar a análise de otimização do projeto estrutural de um AGV, utilizando o método de elementos finitos e algoritmos de otimização geométrica e/ou topológica.

2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE PROJETOS DE AGVs

O AGV é um dispositivo móvel utilizado para o transporte automático de materiais em ambientes de manufatura, desenvolvido para receber e executar instruções, seguir um caminho ou trajetória, receber e distribuir materiais. Os comandos para um AGV indicam para onde o veículo deve se dirigir, como chegar e o que deve fazer quando estiver no destino programado (ROCHA, 1998).

Para Pérez (2010), os AGVs são veículos industriais desenvolvidos nos mais variados tamanhos, de tração elétrica, sem necessidade de operador, e com diferentes tipos de dispositivos para manipulação de materiais ou cargas. A Figura 2, representa um exemplo de aplicação industrial, de um sistema de movimentação de produtos composto por AGVs em uma linha de montagem.

Figura 2 - Aplicação industrial de sistema composto por AGVs

Fonte: DS Automotion (2010).

O AGV se locomove de forma autônoma e como fonte de energia possui um sistema de baterias embarcado, ou seja, permite que o equipamento possa trabalhar até vinte e quatro horas por dia, sendo assim muito mais eficiente que o modelo convencional, realizado por

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equipamentos manuais e com necessidade de intervenção humana. Além disso, tem-se um melhor controle sobre as operações, já que estas são controladas por computador, assim como dados compilados de volume de material, oferecendo uma visão muito mais real do estoque e da logística da fábrica (KIM; TANCHOCO; KOO, 1999).

Conforme Cano (2006), um AGV é apropriado para trabalhar em ambientes industriais, nos quais diferentes tipos de materiais são movimentados de vários pontos de carga e descarga. Com os avanços tecnológicos, atualmente os AGVs são desenvolvidos com tecnologia eletrônica e computacional, possuindo sistemas de navegação sensorial, controles inteligentes, gerenciamento total do sistema e sistemas de segurança.

2.1.1 Veículos elétricos puros e autônomos

O conceito de veículo elétrico a bateria é relativamente simples. O sistema de tração é composto por baterias eletroquímicas para o armazenamento de energia, motor elétrico e um controlador/conversor de potência. A recarga é feita normalmente por meio da rede elétrica, e pode ser realizada por uma unidade de recarga transportada a bordo ou um ponto de recarga. O controlador converte a energia da bateria, adequando-se as características do motor e controlando a potência fornecida, consequentemente a velocidade e reabastecimento (TANAKA, 2013).

A Figura 3 representa de forma simples, esquematicamente, o projeto de um veículo elétrico.

Figura 3 - Conceito de veículo elétrico com baterias recarregáveis

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Veículos elétricos puros e autônomos utilizam motores elétricos como forma de tração e baterias eletroquímicas como fonte energética. Os motores elétricos comparados aos motores a combustão, possuem diversas vantagens, como: maior eficiência energética, menor produção de poluentes, podem ser utilizados em ambientes fechados, são mais silenciosos, apresentam simplicidade e facilidade de manutenção, capacidade de desenvolver elevado torque em baixas rotações, causam menos fadiga ao motorista por apresentarem menos vibração, bem como não consomem energia quando fora de operação. Porém apresentam algumas desvantagens, como: preço elevado, menor autonomia, substituição das baterias ao final do ciclo de vida e tempo de reabastecimento (TANAKA, 2013).

2.1.2 Princípios e análise de chassi

O chassi tem como principais funções, em qualquer área de aplicação, dar suporte aos demais componentes que compõem um determinado conjunto, além de ser a estrutura responsável pela rigidez. Este elemento estrutural não tem sua utilização apenas na indústria automotiva ou de utilitários rodoviários, como também em outros segmentos, a exemplo em eletroeletrônicos. Pode ser projetado e desenvolvido nas mais variadas formas, para atender seus requisitos de funcionalidade, através da utilização de diferentes materiais, de acordo com a sua aplicação e as solicitações a que está submetido (GRISON, 2005).

Um AGV possui como principal funcionalidade o transporte de carga, e o desenvolvimento de um chassi capaz de resistir e permanecer íntegro à aplicação dos carregamentos externos e demais esforços de movimentação é imprescindível para a validação do projeto.

2.1.3 Distribuição de carga

Segundo Karaoglu e Sefa (2002), todos os veículos estão sujeitos a cargas estáticas e dinâmicas. O peso do próprio veículo, a carga que será transportada e eventualmente das cargas do sistema de acoplamento (reboque), resultam na carga estática do sistema. Cargas simétricas atuam predominantemente no sentido vertical, causando a flexão das longarinas. Cargas que agem sobre o plano do quadro ocasionam a flexão das longarinas e das travessas.

Segundo Caviraghi (2005), quando os pesos e as posições dos componentes forem conhecidas, é possível determinar o peso total e o centro de gravidade (CG) do veículo. Costumeiramente, adota-se um sistema de coordenadas, com x no sentido longitudinal e a linha

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zero na linha central do eixo dianteiro ou traseiro. Sob o ponto de vista geral do veículo, a posição do centro de gravidade no sentido longitudinal, representada como a na Figura 4, pode ser determinada por exemplo, pelo somatório dos momentos em torno do eixo traseiro, semelhante ao método utilizado para o chassi, e pode ser expresso conforme a Equação 1.

∑ 𝑀𝑓 = −𝑎. 𝑊 + 𝐿. 𝑁𝑓 = 0 (eq.1)

𝑊 = 𝑁𝑓 + 𝑁𝑟 (eq.2) Onde:

𝑎 é a distância do CG do veículo à linha zero (eixo traseiro); 𝑁𝑟 é a reação no eixo traseiro;

𝑁𝑓 é a reação no eixo dianteiro; 𝑊 é o peso total do veículo; 𝐿 é a distância entre eixos;

𝑀𝑓 é o momento em torno do eixo traseiro.

Figura 4 - Diagrama estático de corpo livre do veículo

Fonte: adaptado de Caviraghi (2005).

A Figura 4 ilustra o peso W do veículo localizado no CG e as reações nos eixos. Para um corpo livre como o da Figura 4, que se encontra em equilíbrio, a Equação 2 é verdadeira e satisfatória para esta aplicação, isto é, com força vertical igual a zero.

Fazendo a soma das contribuições de cada componente é possível determinar o momento total de forças em torno da linha zero, e isso pode ser expresso conforme a Equação 3 e o diagrama de cargas segundo a Figura 5 (CAVIRAGHI, 2005).

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𝑎 =

∑ 𝑥𝑘.𝑓𝑘𝑦 +𝑁𝑓.𝐿

𝑊

(eq.3)

Onde:

𝑓𝑘_𝑦 é a força peso do componente k, no sentido de y;

𝑥_𝑘 é a distância do CG do componente k à linha zero (eixo traseiro).

Figura 5 - Diagrama distribuição de cargas sobre um chassi

Fonte: adaptado de Caviraghi (2005).

2.2 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Utilizando métodos analíticos clássicos, é possível desenvolver cálculos de resposta exata para deslocamentos, deformações e tensões em qualquer ponto de uma estrutura. Porém este tipo de solução é adequada somente em alguns casos, que possuem geometria, carregamento e condições de apoio simples, pois não é possível adaptar os métodos analíticos para estruturas complexas. Por isso, o Método de Elementos Finitos (MEF) é um caminho alternativo aos procedimentos analíticos, possuindo um caráter mais generalizado e com procedimentos aproximados, independente de forma e condições de carregamento da estrutura, mas mantendo uma precisão aceitável do problema de engenharia (ALVES FILHO, 2012).

Hearn (1997) sugere três passos para a formulação e implementação computacional de uma análise de elementos finitos independente do problema, sendo eles:

a) pré-processamento - etapa que compete ao analista (usuário) responsável pela análise, que deve determinar os seguintes aspectos: identificação de possibilidade de análise pelo método dos elementos finitos, identificação do tipo de análise (plano de tensão, linear elástica, dinâmica, não-linear, etc.), idealização e escolha

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do tipo de elemento (viga, casca, sólido, etc.), discretização através da criação da malha de elementos finitos, criação do modelo de comportamento do material, aplicação das condições de contorno, criação de arquivos de dados e determinação do tipo de saídas necessárias;

b) processamento - etapa realizada pelo solver do software CAE, onde são definidos aspectos como: formulação das matrizes características dos elementos, montagem das matrizes dos elementos para produzir as equações da estrutura, solução das equações de equilíbrio para fornecer valores das variáveis de campo (deslocamentos), computação de elementos resultantes (deformações);

c) pós-processamento - etapa que compete ao analista (usuário) responsável pela análise, que deve: interpretar e validar os resultados, e caso seja necessário modificar e rodar a análise novamente.

Sob o ponto de vista de Azevedo (2003), para a resolução de problemas de análise de estruturas através do MEF, deve-se levar em conta alguns aspectos como: a definição da geometria, o tipo de material, a aplicação do carregamento e o estabelecimento das condições de contorno. Além disso, antes de iniciar a análise, é necessário definir se a análise será estática ou dinâmica, linear ou não linear, o uso de algoritmo implícito ou explícito, dentre outros.

2.2.1 Discretização do problema

Segundo Silva (2001), o MEF é uma metodologia de aproximação numérica utilizada para a resolução de equações diferenciais por integração. Esse método é aplicado pela divisão de um sistema ou domínio, em partes discretas menores (subdomínios), de forma a ser chamado simplesmente de “elementos”.

Quando o domínio possui apenas uma dimensão, os elementos são necessariamente, segmentos de reta. No caso de duas e três dimensões, a divisão em subdomínios forma a chamada malha, formando polígonos e poliedros, respectivamente (LUBLINER, 1990).

Para Souza (2003), os elementos que representam o sistema físico são interligados entre si por meio dos chamados pontos nodais (nós), os quais podem existir também internamente ao elemento e não somente nas conexões. O conjunto dos elementos finitos e pontos nodais formam a malha, a qual pode ser representada conforme mostra a Figura 6, no caso de elementos triangulares, com dois níveis de refinamento, ou seja, há um aumento do número de elementos em tamanhos menores, possibilitando uma melhor representação da peça.

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Figura 6 - Modelo de discretização (malha) com elemento de forma triangular

Fonte: adaptado de Fish e Belytschko (2007).

Segundo Perini (2008), há a possibilidade de se modelar problemas de aplicações em MEF de diversas maneiras, visando se obter um resultado confiável e uma análise simples. É necessário evitar a aplicação de elementos com elevado refinamento, pois isso pode fazer com que o modelo fique excessivamente complexo ou distorcer os resultados.

2.2.2 Tipos de elementos

Sob o ponto de vista de Shigley, Budynas e Nisbett (2011), os elementos mais comuns para aplicações em MEF, são: elemento linear, elemento de superfície e elemento sólido.

Conforme Fish e Belytscho (2007), elementos lineares ou elementos de viga, conforme ilustra a Figura 7, são utilizados quando a geometria é unidimensional.

Figura 7 - Elemento unidimensional

Fonte: Bathe (1982).

Conforme Sousa (2011), elementos do tipo casca são utilizados quando a espessura da estrutura modelada for muito menor que as outras dimensões, podendo ser triangulares ou quadrangulares de primeira, de segunda ou terceira ordem, conforme ilustra a Figura 8.

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Figura 8 - Elementos bidimensionais

Segundo Sousa (2011), normalmente quando se deseja fazer análises de tensão e deslocamento, em uma estrutura com geometria complexa, utilizam-se elementos sólidos, conforme representa a Figura 9. Esse tipo de elemento pode ser de primeira, de segunda e terceira ordem, e do tipo prismático com forma triangular, hexaédrico ou também sólido tetraédrico.

Figura 9 - Elemento sólido

2.2.3 MEF - Análise Linear

De acordo com Bathe (1996), a fundamentação teórica que envolve a análise linear de elementos finitos, descreve que os deslocamentos oriundos dos carregamentos a qual a estrutura está submetida, são infinitesimalmente pequenos e as propriedades mecânicas dos materiais da estrutura em questão apresenta somente as características lineares elásticas. Além disso, considera-se que as condições de contorno permanecem inalteradas durante a aplicação dos carregamentos no modelo de elementos finitos da estrutura. Utilizando equações de equilíbrio de um sistema de elementos finitos, é possível chegar a uma formulação matricial, conforme Equação 4.

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Onde:

{𝐹} é o vetor de forças nodais; [𝐾] é a matriz de rigidez do sistema; {𝑢} é o vetor de deslocamentos nodais.

A rigidez da estrutura ou de um elemento individual da estrutura, pode ser determinada pela relação força-deslocamento, ou seja, é possível determinar a rigidez através da relação entre a força aplicada e o deslocamento medido, produzindo assim uma razão quantitativa, denominada constante elástica. Sendo assim, conhecendo a rigidez da estrutura, é possível definir previamente a relação força-deslocamento. Ou seja, conhecendo a força necessária para realizar um deslocamento unitário, é possível saber para qualquer outro deslocamento, a força resultante no regime linear. Em se tratando de uma análise linear, a rigidez da estrutura se mantém constante, à medida que é aplicado o carregamento, ou seja, a rigidez se mantém inalterada durante o processo de carregamento, independente dos deslocamentos (ALVES FILHO, 2012).

De acordo com Hearn (1997), admitindo um sistema ortogonal de coordenadas, o equilíbrio estático define que as forças de reação e momentos devem equilibrar os carregamentos externos aplicados. No MEF este argumento estende-se a todos os nós do modelo, ou seja, os carregamentos externos ou reações devem ser igual ao somatório dos carregamentos internos dos elementos, conforme mostra a Equação 5.

{𝑃𝑗} = ∑{𝑆𝑒_} 𝑚

𝑒=1

(eq.5)

Onde, {𝑆𝑒} representa o vetor de carregamentos internos do nó j, para todos os elementos m, ligados ao nó j e {𝑃𝑗} representa o vetor de carregamentos externos.

O deslocamento, u, dentro do elemento é regido por meio de uma função contínua, em função de uma determinada posição, x, e pode ser expressa por uma condição de compatibilidade, segundo a Equação 6 (HEARN, 1997).

ε_XX=∂u

∂x (eq.6) Onde:

(25)

Da mesma forma para as outras direções, conforme Bathe (1996), a Equação 7, representa as deformações ɛ𝑇_{, correspondentes aos deslocamentos.}

ɛ𝑇 _{= [ɛ}_𝑋𝑋_ɛ_𝑌𝑌_ɛ_𝑍𝑍_𝛾_𝑋𝑌_𝛾_𝑌𝑍_𝛾_𝑍𝑋_{] (eq.7)}

Conforme Bathe (1996), o método dos deslocamentos é utilizado como formulação padrão, para o cálculo das soluções de elementos finitos em sólidos. Por meio da adição da rigidez de cada elemento é possível determinar a rigidez total da estrutura, e é representada pela Equação 8.

𝐾 = ∑ 𝐾_𝑖𝑒

𝑖

(eq.8)

Onde, 𝐾 representa a rigidez total da estrutura, e 𝐾_𝑖𝑒 representa a parcela de rigidez de cada elemento i que compõe a estrutura.

Por meio do produto da rigidez do elemento 𝐾_𝑖𝑒 com os deslocamentos, é possível determinar as forças atuantes nos nós. A Equação 9, segundo Hearn (1997), representa as tensões associadas conforme a Lei de Hooke, para o caso em que não há tensões iniciais.

𝜎𝑋𝑋= ɛ𝑋𝑋 𝐸 (eq.9)

Onde:

𝜎_𝑋𝑋 é a tensão associada aos deslocamentos na direção x; 𝐸 é o módulo de elasticidade.

2.3 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

Todo o ímpeto da engenharia moderna de uma empresa, tem se concentrado no desenvolvimento de produtos altamente confiáveis, eficientes e com massa reduzida, tudo isso com o menor tempo de desenvolvimento possível. Para lidar com todos estes requisitos de projeto, as empresas estão adotando ferramentas de otimização estrutural, em suas atividades de desenvolvimento de projeto e design de produto. Ferramentas de otimização estrutural compreendem várias aplicações no design e desenvolvimento das atividades, por causa da crescente exigência de se ter produtos leves e com integridade estrutural garantida durante a sua aplicação (SALEEM; LU; YUQING, 2008).

(26)

Segundo Silva (2002), a otimização estrutural aplicada ao projeto de componentes mecânicos, consiste em utilizar-se de métodos computacionais para a obtenção de dimensões, forma ou topologia ótima do problema em questão. Atualmente esta técnica tem sua importância inegável na redução de custos, e não se limita somente à otimização do projeto mecânico do componente, mas se estende a toda a cadeia produtiva da empresa, pois tem-se uma economia de material utilizado na fabricação, aumento de produtividade, facilita o transporte, entre outros. As reduções de peso e aumento de desempenho dos componentes mecânicos obtidos com a aplicação de técnicas de otimização, tem-se tornado decisivo para definir a competitividade das indústrias da área metal-mecânica, a nível mundial.

A solução de problemas de otimização estrutural é extremamente importante na busca de concepções estruturais com baixo custo, alto desempenho, de fácil execução e manutenção, e além disso, mais recentemente, incorporando aspectos ambientais, desde sua construção até sua utilização. Na quase totalidade dos casos, estes problemas apresentam restrições de várias naturezas que devem ser satisfeitas de modo que se obtenha uma solução candidata viável (VARGAS et al., 2016).

Na Figura 10, é ilustrado um objeto sob a influência de sua força-peso (b) com um domínio inicial (Ω) e sujeito a condições de carregamento (Γ_t) e restrições (Γ_u). Após sofrer um processo de otimização, este mesmo objeto é mostrado sob a forma do domínio final alterado.

Figura 10 - Definição do problema de otimização estrutural

Fonte: adaptado de Costa Jr. e Alves (2002).

Sob o ponto de vista de Perini (2008), a aplicação da metodologia de otimização estrutural, tem se tornado cada vez mais comum no auxílio ao desenvolvimento de novos produtos. As premissas de projeto de se ter baixo custo e elevada qualidade em um espaço de tempo reduzido para o desenvolvimento, tem se tornado uma rotina na maioria das empresas. Com isso, a aplicação de metodologias em análises estruturais por elementos finitos e otimização, tem se difundido rapidamente no projeto de novos produtos. Com a combinação

(27)

das duas ferramentas, elementos finitos e otimização, é possível reduzir custos evitando o superdimensionamento, aumentar o desempenho dos produtos e diminuir o tempo de desenvolvimento do projeto.

2.3.1 Caracterização de técnicas de otimização estrutural

Em um problema de engenharia, conforme o parâmetro que se quer maximizar ou minimizar por meio da otimização, faz-se relação a uma função objetivo. No caso de um componente mecânico, a função objetivo pode ser, por exemplo, a rigidez, a frequência de ressonância, o volume, a massa, entre outros. As restrições são os limites impostos à solução da otimização, e pode ser representado por exemplo, pela máxima massa ou volume que a peça pode apresentar, deslocamento máximo, ou o valor máximo de tensão que pode ocorrer em um ponto específico. Ou seja, as restrições impõem uma solução de compromisso na melhora da função objetivo. Com relação as variáveis do projeto, são os parâmetros que podem sofrer alterações na otimização, podendo ser por exemplo, as dimensões ou razões de dimensões, parâmetros matemáticos de uma curva ou superfície que representam a forma do componente, ou a distribuição do material no domínio da peça, entre outros (HAFTKA; GÜRDAL, 1992).

Conforme o grau de complexidade do problema, existem três classificações diferentes quanto ao tipo de otimização estrutural. A Figura 11 mostra os três tipos de otimização, que podem ser: otimização dimensional (a), otimização de forma (b) e otimização topológica (c).

Figura 11 - Tipos de otimização estrutural

Fonte: Bendsoe e Sigmund (2003).

Com relação aos problemas em que é aplicada a otimização dimensional, não há modificações na topologia da estrutura ou na sua forma. As propriedades da rigidez do elemento são as variáveis do projeto, como: área da seção transversal, espessura da placa, momento de

(28)

inércia ou propriedades do material. Em problemas com otimização de forma, o formato do contorno dos furos e suas posições são modificadas para atender a uma função objetivo. A otimização de forma requer técnicas sofisticadas para geração da malha automatizada e para a determinação da sensibilidade são necessárias derivadas bastante precisas. Já para a otimização topológica, uma estrutura base de elementos é introduzida e é escolhido a melhor distribuição dentro deste universo (COUTINHO, 2006).

2.3.1.1 Otimização dimensional

Segundo Perini (2008), neste tipo de otimização as variáveis de projeto são as dimensões ou razões de dimensões do componente. Por apresentar algumas limitações em sua aplicação, é costumeiramente utilizada em tarefas que necessitam de apenas um ajuste fino na sua geometria, e também onde não seja necessário alterar a malha de elementos finitos durante as iterações.

A Figura 12, ilustra um exemplo de aplicação de otimização dimensional no desenvolvimento do projeto estrutural de um veículo, onde é possível perceber uma diminuição na espessura das chapas, após o processo de otimização, mantendo as mesmas formas das peças.

Figura 12 - Otimização dimensional

Fonte: adaptado de Simulia Tosca Structure (2014).

A otimização dimensional, também chamada de otimização geométrica de tamanho, é um tipo de otimização paramétrica onde as variáveis de projeto são caracterizadas por algumas propriedades dos elementos da estrutura, como por exemplo: espessura, propriedades de seção

(29)

transversal, rigidez, massa, entre outros. Durante o processo de otimização, estes parâmetros são alterados pelo algoritmo até que o objetivo final seja atingido (CASCINI et al., 2011).

2.3.1.2 Otimização de forma

A otimização de forma, é semelhante a otimização dimensional, contudo permite que possam ocorrer variações no contorno da geometria do componente. Os contornos podem ser representados como curvas suaves, desde que um contorno irregular não gere problemas na exatidão do elemento finito que está sendo analisado, ou provoque uma instabilidade no algoritmo que gerencia o processo de otimização. Durante a otimização podem ocorrer mudanças significativas na geometria, requerendo que a discretização do domínio seja redefinida (PERINI, 2008).

A Figura 13, ilustra um exemplo da utilização das variáveis de projeto, neste caso designadas pela altura h da estrutura, resultando em uma geometria final, diferente da inicial, mantendo as mesmas condições de contorno e carregamento externo.

Figura 13 - Otimização de forma

Fonte: Silva (2001).

Segundo Cascini et al. (2011), a forma da estrutura discretizada pelo MEF, sofre uma mudança nas coordenadas dos nós do modelo de elementos finitos ou elementos de conectividade, que são definidos como variáveis de projeto. Essa alteração nas coordenadas, acorre por meio do algoritmo de otimização, de acordo com os carregamentos e condições de contorno aplicadas ao modelo. Sendo assim, como resultado do ciclo desta técnica de otimização, tem-se uma geometria final diferente da geometria inicial do modelo.

2.3.1.3 Otimização topológica

Segundo Bendsoe (1995), a otimização topológica consiste em um método computacional que possibilita projetar a topologia ótima de uma determinada estrutura,

(30)

conforme um critério de custo estabelecido, a exemplo, máxima rigidez e menor peso. O método de otimização topológica tem por objetivo distribuir o material no interior de um domínio fixo de forma a maximizar ou minimizar uma função objetivo especificada.

Para encontrar a distribuição ótima de material é utilizado uma forma iterativa, por meio de um algoritmo de otimização. Como forma de aceleração do processo de busca pela distribuição ótima de material, as técnicas de otimização utilizam-se da informação dos gradientes, ou derivadas, e da função objetivo em relação à quantidade de material em cada elemento. Como exemplo, a forma de representação da distribuição do material pode ser feita associando um valor de densidade a cada elemento (subdomínio), oriundo da discretização do domínio inicial. Deste modo, a otimização topológica faz a combinação de duas técnicas, métodos de otimização com o método dos elementos finitos (BENDSOE, 1995).

A Figura 14, ilustra a aplicação da técnica de otimização topológica, onde fica clara a distribuição ótima do material ao longo do domínio, deixando o componente com menor peso e com um desempenho satisfatório, atendendo a função objetivo e as restrições.

Figura 14 - Otimização topológica

Fonte: Simulia Tosca Structure (2014).

A técnica de otimização topológica, é dividida em duas metodologias de abordagem. A abordagem micro, baseada no material, e a abordagem macro, baseada na geometria. Na abordagem microestrutural, o processo de otimização topológica se baseia no estabelecimento de uma relação entre rigidez e a densidade associada ao domínio, podendo assumir qualquer valor entre 0 (vazio) e 1 (material sólido), sendo que os valores intermediários caracterizam um material poroso. O método Simple Isotropic Material with Penalization (SIMP) proposto por Bendsoe, é utilizado na abordagem micro para encontrar a melhor disposição de material, de forma a minimizar ou maximizar a função objetivo. Na abordagem macro, a estrutura é alterada por meio da inserção de furos no domínio. Dois métodos são utilizados, o Evolutionary

(31)

Structural Optimization (ESO), baseado no cálculo da função objetivo quando um elemento é

removido da malha de elementos finitos, e o Topological Sensitivity Analysis (TSA), que avalia a sensibilidade de uma função quando um furo é criado no componente analisado (SIMONETTI; ALMEIDA; NETO, 2014).

2.3.1.3.1 Minimização da flexibilidade

Segundo Coutinho (2006), o processo de otimização tem por objetivo encontrar geometrias competitivas e com definição proporcional ao tamanho médio do elemento utilizado, de maneira a minimizar a flexibilidade e atender a um pré-requisito limite de volume material. A otimização topológica utiliza uma microestrutura intermediária artificial do tipo SIMP, onde a equação constitutiva homogeneizada é função apenas da densidade relativa do material, definida por 𝜌. Com o intuito de estabilizar a solução e evitar problemas de tabuleiro, impõem-se restrições de estabilidade, de forma controlar as variações de densidade em cada direção. A Figura 15, ilustra a penalização das densidades intermediárias à medida que n aumenta, admitindo n > 1.

Figura 15 - Penalização das densidades

Fonte: adaptado de Simulia Tosca Structure (2014).

Por meio deste modelo, o módulo de Young efetivo (𝐸∗), é definido em termos da densidade relativa intermediária 𝜌, conforme a Equação 10.

(32)

Onde 𝐸₀ caracteriza o módulo de Young do material sólido e 𝑛 representa o parâmetro de penalização.

2.3.2 Modelo matemático aplicado à otimização estrutural

Sob o ponto de vista matemático, a otimização é constituída por um conjunto de funções que além de expressar restrições, determinam objetivos de funções. As funções são constituídas por variáveis, que podem ser divididas em dois grupos, podendo ser, contínuas ou discretas, onde as discretas assumem valores estabelecidos dentro de um conjunto finito de possibilidades, enquanto que as contínuas podem assumir qualquer valor dentro de uma faixa previamente determinada. A escolha das variáveis está diretamente relacionada com a eficiência do processo de otimização, pois no caso de um número de variáveis muito elevado, o problema poderá ter sua solução numérica inviabilizada (ARORA, 2004).

Para problemas de otimização estrutural tem-se diversas variáveis de projeto, podendo caracterizar por exemplo, as dimensões do componente, propriedades mecânicas ou físicas do material, e até outros aspectos qualitativos envolvidos no problema. Em problemas de otimização estrutural, tem-se diversas possibilidades de escolhas da variável de projeto, a exemplo: espessura da placa, momento de inércia, dimensões do elemento, entre outros. A função objetivo tem o intuito de definir a característica que se pretende alcançar ou melhorar no projeto (PERINI, 2013).

Tem-se um problema sem restrição, quando as variáveis do projeto puderem assumir qualquer valor no processo de otimização. Caso as variáveis assumam valores predefinidos, ou devam ficar entre uma faixa de valores, tem-se um problema com restrição (HERZER, 2012).

As restrições podem ser divididas em dois tipos: restrições de igualdade e de desigualdade. Como exemplo para as restrições de igualdade, os deslocamentos do componente devem atingir um valor máximo predefinido, já um exemplo para as restrições de desigualdade, a tensão máxima do componente oriunda de carregamentos externos não poderá ultrapassar a tensão de escoamento do material (PERINI, 2008).

Segundo Arora (2004), o modelo matemático geral do processo de otimização, tem como objetivo encontrar um vetor 𝑥⃗ = (𝑥₁, 𝑥₂… , 𝑥_𝑛), com variáveis de projeto que minimizem ou maximizem a função objetivo 𝑓(𝑥⃗). A Equação 11, representa a função objetivo e as Equações 12 e 13, representam as restrições, de igualdade e desigualdade, respectivamente.

(33)

Sujeito a p restrições de igualdade e m restrições de desigualdade:

ℎ_𝑗(𝑥⃗) = ℎ_𝑗(𝑥₁, 𝑥₂… , 𝑥_𝑛) = 0; 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 (eq.12) 𝑔𝑗(𝑥⃗) = 𝑔𝑗(𝑥1, 𝑥2… , 𝑥𝑛) ≤ 0; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (eq.13)

Onde, ℎ_𝑗(𝑥⃗) representa a j-ésima restrição de igualdade, enquanto 𝑔𝑖(𝑥⃗) representa a i-ésima restrição de desigualdade, 𝑗 representa o número de restrições de igualdade e 𝑖 representa o número de restrições de desigualdade.

2.3.2.1 Algoritmo geral de otimização estrutural

Para a implementação de técnicas de otimização, um método numérico é adotado, com o intuito de realizar iterações até que se consiga obter uma estrutura que atenda às condições pré-estabelecidas. Os algoritmos iniciam o processo de otimização, com uma estimativa de valores para a solução ideal, que aos poucos são aprimorados por meio das iterações do processo (ARORA, 2004). A forma expressa na Equação 14, representa o comportamento geral do processo de otimização.

𝑥𝑖(𝑘+1)= 𝑥𝑖(𝑘)+ ∆𝑥𝑖(𝑘); 𝑘 = 0,1,2 … (eq.14)

Onde, 𝑘 representa o número de iterações, 𝑖 representa o número de variáveis do projeto, 𝑥_𝑖(𝑘)_{expressa o ponto inicial e ∆𝑥}

𝑖(𝑘) representa a pequena mudança no projeto atual.

As iterações continuam sendo realizadas até que se obtenha uma condição de otimização conforme as condições do problema sejam satisfeitas.

Segundo Arora (2004), para o método de otimização, a parcela ∆𝑥_𝑖(𝑘)_{pode ser}

decomposta em duas partes, conforme a Equação 15.

∆𝑥𝑖(𝑘)= 𝛼(𝑘)𝑑𝑘 (eq.15)

Onde, 𝑑𝑘 representa a direção de busca desejável (direção de descida) e 𝛼(𝑘) representa

o tamanho do passo na direção de busca desejável.

Na Figura 16, é ilustrado o processo iterativo do método de otimização, onde é demonstrado o processo de deslocamento do ponto atual de projeto para um novo ponto.

(34)

Figura 16 - Processo iterativo da otimização

Fonte: Arora (2004).

Na Figura 16, o ponto inicial do projeto é representado pelo ponto B, e o ponto C é encontrado a partir do momento que é adicionado o termo 𝛼_(𝑘)𝑑𝑘_{no projeto. As variáveis e}

restrições são avaliadas neste novo ponto, onde a função objetivo é reduzida e deslocada. Enquanto as condições ótimas não são atingidas, o processo é repetido (ARORA, 2004).

2.3.2.2 Problemas de otimização sem restrições

O modelo de otimização sem restrição, não é comumente encontrado em aplicações práticas de otimização na engenharia, no entanto, é imprescindível que seja entendido para que a lógica seja estendida e adaptada a problemas de otimização com restrição. Um problema desse tipo, segundo Arora (2004), pode ser caracterizado pela minimização de uma função 𝑓(𝑥⃗) sem qualquer restrição sobre 𝑥⃗, com 𝑥⃗ ∈ 𝑅𝑛_.

Segundo Perini (2008), existem duas formas usuais para as condições ótimas em casos de otimização com ou sem restrição, sendo elas: checar se o ponto dado é um ótimo local para o problema ou encontrar o ótimo local para o problema.

2.3.2.3 Problemas de otimização com restrições

Utilizando-se o método de otimização sem restrição, podem ser resolvidos os problemas de otimização com restrição. Para isso, a função objetivo passa a ser composta pelas restrições e parâmetros de penalização, que penalizará a função quando as restrições forem

(35)

violadas. Os métodos de otimização sem restrição, podem ser aplicados a partir do momento em que a função objetivo composta for definida (RAO, 2009).

Em vista disso, Arora (2004), define este modelo matemático conforme as Equações 16 e 17, de modo a minimizar 𝑓(𝑥⃗).

ℎ𝑗(𝑥⃗) = 0; 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 (eq.16)

𝑔_𝑗(𝑥⃗) = 𝑔𝑗(𝑥) ≤ 0; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (eq.17)

Respeitando os limites da variável, representados respectivamente pelos menores (𝑥𝑖𝑙)

e maiores (𝑥_𝑖𝑢) valores admitidos para as variáveis da função 𝑥_𝑖, conforme Equação 18. 𝑥_𝑖𝑙 ≤ 𝑥_𝑖 ≤ 𝑥_𝑖𝑢; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (eq.18) Conforme Rao (2009), é possível transformar problemas de otimização com restrições em problemas de otimização sem restrições, por meio do método Multiplicador de Lagrange Aumentado (MLA). Este método combina os multiplicadores Lagrangeanos e métodos de função penalidade. Admitindo um problema de igualdade com restrição, tem-se 𝑓(𝑥⃗) e a Equação 16. A função Lagrangeana correspondente a este problema é dado pela Equação 19.

𝐿(𝑥⃗, 𝜆) = 𝑓(𝑥⃗) + ∑ 𝜆_𝑗ℎ_𝑗(𝑥⃗)

𝑝

𝑗=1

(eq.19)

Onde, 𝜆_𝑗, 𝑗 = 1,2, … , 𝑝, representam os multiplicadores Lagrangeanos. As condições necessárias para um ponto estacionário do vetor gradiente 𝐿(𝑥⃗, 𝜆) incluem as restrições de igualdade da Equação 17. A abordagem por meio de função de penalidade exterior, é utilizada para definir uma nova função objetivo 𝐴(𝑥⃗, 𝜆, 𝑟_𝑘), denominada como Lagrangeano aumentado, representado conforme a Equação 20.

𝐴(𝑥⃗, 𝜆, 𝑟_𝑘) = 𝑓(𝑥⃗) + ∑ 𝜆_𝑗ℎ_𝑗(𝑥⃗) 𝑝 𝑗=1 + 𝑟_𝑘∑ ℎ_𝑗2(𝑥⃗) (eq.20) 𝑝 𝑗=1

Onde, 𝑟_𝑘 é o parâmetro de penalidade. Este método possui uma taxa de convergência mais rápida, se comparado aos outros métodos. O método também converge para um mínimo local a partir de qualquer ponto.

(36)

2.3.2.4 Linearização de problemas com restrições

Arora (2004), afirma que para a obtenção de solução para problemas de otimização, a partir de algumas iterações, a grande maioria dos métodos de otimização por restrições podem ser resolvidos por aproximação. Estas aproximações podem ser realizadas, subdividindo as equações obtidas pelo método da Expansão Linear de Taylor. Para resolver problemas de otimização com restrições, os métodos numéricos calculam a mudança da geometria pela resolução de pedaços menores do problema geral. Esse método também é chamado de linearização, e possui o objetivo de dividir o desenvolvimento da resolução em várias otimizações numéricas, para facilitar o seu entendimento.

2.3.2.5 Método das Assíntotas Móveis - MMA

Nesta seção será apresentado o algoritmo padrão utilizado pelo software Tosca Structure, baseado no Método das Assíntotas Móveis (MMA) de Krister Svanberg.

O Método das Assíntotas Móveis é baseado em um tipo especial de aproximação convexa. Idealmente, um método para otimização estrutural deve ser flexível e geral. Deve ser capaz de manipular, não apenas elementos de tamanho e formatos variados, mas também, por exemplo, formas variadas e ângulos de orientação do material. Também deve ter a capacidade de manipular todo tipo de restrição, dado somente que as derivativas das funções de restrição, com relação as variáveis do projeto, possam ser calculadas (analiticamente ou numericamente). Logo, o método deve ser capaz de manipular problemas não-lineares em geral, e levar em consideração as características dos problemas de otimização estrutural, como exemplo, usualmente avaliações de funções muito dispendiosas, mas ainda assim possibilitar o cálculo de gradientes. Além disso, o método deve ser estável e gerar uma sequência de soluções viáveis melhoradas (ou quase viáveis) do problema considerado. Esses requisitos, em grande parte, são alcançados pelo Método das Assíntotas Móveis, além de ser fácil de implementar e utilizar (SVANBERG, 1987).

Svanberg (1987), sugere como descrição geral do método, considerar a minimização de um problema de otimização estrutural 𝑃, considerando 𝑓(𝑥⃗), com 𝑥⃗ ∈ 𝑅𝑛, conforme as Equações 21 e 22.

(37)

𝑥𝑖𝑙 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑥𝑖𝑢; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (eq.22)

Onde, as funções 𝑓𝑖 representam as restrições, relembrando que os limites das variáveis

são representados respectivamente pelos menores (𝑥_𝑖𝑙) e maiores (𝑥_𝑖𝑢) valores admitidos para as variáveis da função 𝑥𝑖. As funções implícitas 𝑓𝑖 são aproximadas pelas funções explícitas

𝑓_𝑖(𝑘) que são caracterizadas por serem separáveis e convexas.

De acordo com Svanberg (1987), uma abordagem geral bem estabelecida para resolução de tais problemas, é o de gerar e resolver uma sequência de subproblemas explícitos de acordo com o seguinte esquema iterativo:

a) passo 1 - para a função objetivo, estima-se um ponto de partida 𝑥(0) com o contador das iterações em 𝑘 = 0;

b) passo 2 - dado um ponto de iteração 𝑥(𝑘), calcula-se 𝑓𝑖(𝑥(𝑘)) e o gradiente ∇𝑓𝑖(𝑥(0))

para 𝑖 = 1,2 … , 𝑚;

c) passo 3 - gerar um subproblema 𝑃(𝑘) para substituição, em 𝑃, as funções 𝑓_𝑖 (normalmente implícitas) são aproximadas de funções explícitas 𝑓_𝑖(𝑘), baseado no cálculo do passo 2;

d) passo 4 - resolver 𝑃(𝑘), fazendo com esta solução mais adequada para o subproblema seja o próximo ponto de iteração 𝑥(𝑘+1)_{. Definir o contador das}

iterações em 𝑘 = 𝑘 + 1 e retornar ao passo 2.

O processo é interrompido quando os critérios de convergência são atingidos, ou simplesmente quando o usuário estiver satisfeito com a solução atual 𝑥(𝑘).

(38)

3 MATERIAIS E MÉTODOS

Neste capítulo será apresentada a metodologia e os dados utilizados para a elaboração de uma análise de otimização estrutural do chassi de um AGV. Para isso, o procedimento ocorreu em duas etapas. Inicialmente foi realizado a otimização topológica, e os passos para realizar esta primeira etapa estão representados na Figura 17.

Figura 17 - Fluxograma de atividades para análise de otimização topológica

Fonte: o autor (2016).

Posterior à otimização topológica, foi realizado uma análise de otimização dimensional, seguindo os passos elencados na Figura 18.

(39)

Figura 18 - Fluxograma de atividades para análise de otimização dimensional

3.1 CARACTERIZAÇÃO DO COMPONENTE ORIGINAL

O componente selecionado para o estudo, originalmente é uma estrutura tubular soldada, utilizada como chassi, sendo que esta tem a função de sustentar os carregamentos externos, tanto verticais quanto horizontais, servir como sustentação aos outros componentes do AGV e garantir a integridade do equipamento durante a operação.

A estrutura original é fabricada com tubos de seção quadrada de 30 mm de lado e espessura de 2,65 mm, sendo o material de sua fabricação aço-carbono Grau A, conforme Norma NBR 8261. A Tabela 1, apresenta as propriedades mecânicas do tubo mecânico.

Tabela 1 - Propriedades mecânicas do tubo mecânico Grau A Limite de escoamento (MPa) Limite de resistência à tração (MPa) Módulo de elasticidade (GPa) Alongamento (%) Coeficiente de Poisson Densidade (g/cm³) 269 310 210 19 0,3 7,85 Fonte: adaptado de NBR 8261 (1983).

(40)

Além disso, são utilizadas chapas dobradas de espessura 6,3 mm e 4,75 mm, fabricadas em aço-carbono estrutural LNE-230, conforme norma NBR 6656. A Tabela 2, ilustra as propriedades mecânicas do aço utilizado na fabricação das chapas.

Tabela 2 - Propriedades mecânicas do aço LNE - 23 Limite de escoamento (MPa) Limite de resistência à tração (MPa) Módulo de elasticidade (GPa) Alongamento (%) Coeficiente de Poisson Densidade (g/cm³) ≥ 230 330 - 470 210 30 0,3 7,85 Fonte: adaptado de NBR 6656 (1992).

A Figura 19 ilustra as delimitações do domínio original da estrutura, bem como condições de contorno (restrições) e carregamentos a que a estrutura está sujeita. O componente possui um formato retangular, de 1400 mm de comprimento por 800 mm de largura, com uma massa de aproximadamente 37 kg, além disso possui um entre eixos (EE) de 1120 mm e todos os elementos são unidos entre si por meio de processo de soldagem.

Figura 19 - Domínio inicial do projeto, carregamentos e restrições

A estrutura possui três pontos de apoio, sendo dois deles nas rodas traseiras (fixas), representados na Figura 19 por Nr1 e Nr2, e também um terceiro ponto de reação Nf, no eixo

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de giro dianteiro, onde por meio deste eixo dá-se a direção do AGV a partir da diferença de rotação dos motores.

O componente está sujeito a três tipos de carregamentos, podendo ser: apenas um carregamento uniforme distribuído sobre a estrutura, caracterizado por 𝑝_(𝑦), um carregamento concentrado apenas de tração de uma carga, caracterizado por 𝐹(𝑥), ou um carregamento

combinado de 𝑝(𝑦) com 𝐹(𝑥). Por meio de ensaios experimentais, observou-se que o

carregamento concentrado apenas de tração de uma carga, não é satisfatório sob o ponto de vista de desempenho do equipamento, já que a capacidade de tração se torna muito reduzida, devido à perda de aderência das rodas de tração com o piso. Sendo assim, o carregamento apenas de tração de uma carga, foi desconsiderado para este estudo de otimização estrutural.

Para determinação dos carregamentos externos foram realizados cálculos analíticos, por meio de diagrama de corpo livre, sob condições estáticas, visto que o equipamento opera em velocidades reduzidas, fazendo com que as acelerações impostas ao movimento sejam muito baixas e por isso, podem ser desconsideradas. Além disso, este tipo de equipamento opera sob condições ótimas de piso, ou seja, a amplitude de tensão para análise de fadiga é muito pequena e também pode ser desconsiderada. Visto que este tipo de equipamento é desprovido de qualquer espécie de suspensão, faz-se necessário que o piso seja extremamente plano e sem irregularidades, garantindo assim que não haja deslocamentos no quadro do chassi devido a torção. Os deslocamentos que a estrutura apresenta, são apenas de flexão dos elementos estruturais, oriundos dos carregamentos externos impostos ao componente.

Outro ponto para a determinação dos carregamentos externos, é a limitação mecânica dos motores elétricos utilizados, sendo que os motores possuem capacidade de carga sobre o seu eixo de 500 kg e torque de tração nominal de 54 Nm cada um.

A Tabela 3, representa os valores máximos de carregamentos externos calculados, referente às duas condições de carregamento citadas anteriormente: superior e combinado.

Tabela 3 - Condições de carregamento Condição de carregamento Tipo 𝑃(𝑦) (N) 𝐹(𝑥) (N) Superior 𝑝(𝑦) 17658 0 Combinado 𝑝(𝑦)+ 𝐹(𝑥) 10005 395 Fonte: o autor (2016)

(42)

Para o cálculo analítico, o carregamento distribuído uniforme superior 𝑝_(𝑦), foi transformado em um carregamento concentrado, caracterizado como 𝑃_(𝑦) na Tabela 3, localizado no centro de gravidade (CG) do veículo. Enquanto que para os cálculos virtuais realizados no software Abaqus 6.14, o carregamento concentrado 𝑃(𝑦), foi divido pela área total

(mm²) de contato dos tubos que recebem o carregamento, resultado em uma entrada de pressão (MPa) no software.

Para a determinação da condição mais crítica de carregamento, foi realizado um estudo comparativo entre o carregamento superior (𝑝_(𝑦)) e o carregamento combinado (𝑝_(𝑦)+ 𝐹_(𝑥)), baseado na análise de elementos finitos da estrutura, sob o ponto de vista de tensão (MPa) e deslocamento (mm), em cada condição de carregamento isoladamente. Além disso, nas duas condições de carregamentos, considera-se que a estrutura sofra apenas deformação elástica, e jamais deformação plástica. Por meio deste estudo, concluiu-se que a condição que apresenta maior severidade durante a aplicação, é a condição de carregamento do tipo superior 𝑝_(𝑦), mas para realização da otimização estrutural, levou-se em consideração a parcela 𝐹_(𝑥) do carregamento combinado.

3.1.1 Análise estrutural I: validação e análise do modelo original

O objetivo desta etapa do trabalho foi fazer uma análise inicial de tensões e deslocamentos da estrutura, sob a sua forma original, utilizando o MEF. Para isso, foi considerado o critério de falha de von Mises, já que este critério determina que se as tensões encontradas na análise estrutural forem iguais ou maiores que o limite de escoamento do material, o elemento estrutural passa a sofrer deformação plástica. Neste caso, definiu-se uma tensão máxima de von Mises de 230 MPa, baseada no limite de escoamento das chapas, conforme Tabela 2. O intuito desta análise inicial foi avaliar o comportamento da estrutura original, bem como servir de base para realizar um comparativo com o posterior modelo otimizado.

3.1.1.1 Pré-processamento para análise estrutural I

Para realização da análise estrutural foi utilizado o software Abaqus 6.14, onde inicialmente foi realizado o pré-processamento da análise. A Figura 20, mostra a discretização (malha) do componente, e pela estrutura ser composta por perfis tubulares e chapas, que