Gilberto de Andrade Martins
Estatística Geral
e Aplicada
Solução dos Exercícios
2
aEdição
SÃO PAULO
Soluções e Respostas Capítulo 2 – Estatística Descritiva
SÉRIE I 2.1
Oceano Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico Área (milhões
km2) 36,8 23,2 199,4 137,9 342,7
Área dos Oceanos (em colunas)
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico
Oceano
Área (milhões km2)
Área dos Oceanos (em barras)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico Oceanos Área (milhões km2)
Área dos Oceanos (em pizza) 3% 27% 19% 46% 5% Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico 2.2 Natureza Valor
Dívida externa líquida 111631
Governo federal e Bacen 248292
Governos estaduais e municipais 167850
Empresas estatais 13324
Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em colunas)
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 Dívida externa líquida Governo federal e Bacen Governos estaduais e municipais Empresas estatais Natureza Valor
Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em barras)
0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 Dívida externa líquida
Governo federal e Bacen Governos estaduais e municipais Empresas estatais Natureza Valor
Dívida líquida total do setor público de maio de 2000 (em pizza)
21%
46% 31%
2%
Dívida externa líquida Governo federal e Bacen Governos estaduais e municipais Empresas estatais 2.3 a) Amplitude: r = 97 – 33 = 64 Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log50 • 7 Tamanho do intervalo: h • 64 / 7 • 10 Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi 1 30 • 40 4 0,08 8 4 0,,08 8 35 2 40 • 50 6 0,12 12 10 0,20 20 45 3 50 • 60 8 0,16 16 18 0,36 36 55 4 60 • 70 13 0,26 26 31 0,62 62 65 5 70 • 80 9 0,18 18 40 0,80 80 75 6 80 • 90 7 0,14 14 47 0,94 94 85 7 90 • 100 3 0,06 6 50 1,00 100 95 Somas 50 1 100 b)
His tograma de Freqüênc ia A bs oluta
0 2 4 6 8 10 12 14 30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100 Interv alos de Clas s es
F
His tograma de Freqüênc ia Relativ a 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100 Interv alos de Clas s es
fi c) 60 • 70. d) 19 alunos. e) x1 = 35. 2.4 a) Amplitude: r = 190 – 151 = 39. b) Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log100 • 8. c) Tamanho do intervalo: h • 39 / 8 • 5. d) e e) Classe Intervalos Fi fi % Fac fac %ac xi 1 151 • 156 4 0,04 4 4 0,04 4 153,5 2 156 • 161 4 0,04 4 8 0,08 8 158,5 3 161 • 166 11 0,11 11 19 0,19 19 163,5 4 166 • 171 33 0,33 33 52 0,52 52 168,5 5 171 • 176 17 0,17 17 69 0,69 69 173,5 6 176 • 181 17 0,17 17 86 0,86 86 178,5 7 181 • 186 9 0,09 9 95 0,95 95 183,5 8 186 • 191 5 0,05 5 100 1,00 100 188,5 Ó 100 1 100 f)
His tograma de Freqüênc ia A bs oluta 0 5 10 15 20 25 30 35 151 • 156 156 • 161 161 • 166 166 • 171 171 • 176 176 • 181 181 • 186 186 • 191 Interv alos de Clas s es
F
i
His tograma de Freqüênc ia Relativ a
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 151 • 156 156 • 161 161 • 166 166 • 171 171 • 176 176 • 181 181 • 186 186 • 191 Interv alos de Clas s es
fi
g) A menor altura é 1,51 m, enquanto a maior altura atinge 1,90m. Entre 1,66 e 1,70m, encontram-se 33% do total. A quantidade de pessoas altas é maior do que a proporção de pessoas com estaturas mais baixas – 48% = 17% + 17% + 9% + 5% têm alturas superiores a 1,70 m, enquanto 19% = 11% + 4% + 4% possuem alturas inferiores a 1,65m.
2.5
-SÉRIE II 2.6
xmedia = Ó notas / nº de notas = 35,5 / 7 = 5,07 ou seja, aluno APROVADO.
2.7
xmedia = Ó defeitos / nº de computadores = (15 * 0 + ... + 6 * 6) / 100 = 2,21.
2.8 a) xmedia = (Ó xi *Fi) / n = (3 * 2 + ...+ 12 * 3) / 22 = 6,82. b) xmedia = (Ó xi *Fi) / n = (10 * 5 + ... + 13 * 6) / 29 = 11,59. c) xmedia = (Ó xi *Fi) / n = (2 * 3 + ... + 6 * 3) / 28 = 4. d) xmedia = (Ó xi *fi) = (7 * 1/16 + ... + 11 * 5/16) = 9,03. e) xmedia = (Ó xi *Fi) / n = (85 * 5 + ... + 90 * 5) / 24 = 87,88. f) xmedia = (Ó xi *Fi) / n = (5 * 18 + ... + 17 * 12) / 175 = $ 1061,00. 2.9
Média aritmética dos dados não agrupados = Ó observações / n = 3230 / 50 = 64,60.
Média aritmética dos dados agrupados= (Ó xi *Fi) / n = (4 * 35 + ... + 3 * 95) / 50 = 65.
Diferença: 64,60 – 65 = – 0,4. 2.10
Média aritmética dos dados não agrupados = Ó observações / n = 17138 / 100 = 171,38.
Média aritmética dos dados agrupados= (Ó xi *Fi) / n = (4 *153,5 + ... + 5 * 188,5) / 100 =
171,85.
Diferença: 171,38 – 171,85 = – 0,47 m. 2.11
-SÉRIE III 2.12
I) xmediana (n ímpar ) = 4. II) xmediana (n par) = 5. III) xmediana (n ímpar) = 8. IV) xmediana (n par) = 87. 2.13
I) xmediana (n par ) = 4. II) xmediana (n ímpar) = 77. III) xmediana (n par) = 13. IV) xmediana (n ímpar) = 235. 2.14 I) n / 2 = 29 / 2 = 14,5 xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 5 + [(14,5 – 8) * 2] / 8 = 6,63. II) n / 2 = 93 / 2 = 46,5 xmediana = lMd + [(n / 2 – Óf) * h] / FMd = 28 + [(46,5 – 43) * 3] / 30 = 28,35. 2.15
I) Maior número de observações iguais, Mo = 7. II) Maior número de observações iguais, Mo = 43. 2.16
I) Maior número de observações iguais, Mo = 80. II) Maior número de observações iguais, Mo = 3,5. 2.17
I) Maior número de observações iguais 13 • 16
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 13 + [5 / (5 + 5)] * 3 = 14,5.
II) Maior número de observações iguais 20 • 30
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 20 + [5 / (5 + 3)] * 10 = 26,25.
I) i * n / 10 = 6 * 35 / 10 = 21
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 8 + [(21 – 15) * 2] / 15 = 8,08, ou seja, 60% dos valores
da amostra estão abaixo do valor 8,08. i * n / 100 = 65 * 35 / 100 = 22,75
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 8 + [(22,75 – 15) * 2] / 15 = 9,03, ou seja, 65% dos
valores da amostra estão abaixo do valor 9,03. i * n / 4 = 35 / 4 = 8,70
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 6 + [(8,70 – 4) * 2] / 11 = 6,86, ou seja, 25% dos valores
da amostra estão abaixo do valor 6,86. II) i * n / 10 = 2 * 24 / 10 = 4,8
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 30 + [(4,8 – 3) * 10] / 5 = 33,60, ou seja, 20% dos
valores da amostra estão abaixo do valor 33,60. i * n / 100 = 43 * 24 / 100 = 10,32
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 40 + [(10,32 – 8) * 10] / 10 = 42,32, ou seja, 43% dos
valores da amostra estão abaixo do valor 42,32. i * n / 4 = 3 * 24 / 4 = 18
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 40 + [(18 – 8) * 10] / 10 = 50,00, ou seja, 75% dos valores
da amostra estão abaixo do valor 50,00. 2.19
a) xmedia = (Ó xi *Fi) / n = (0 * 20 + ...+ 4 * 3) / 53 = 1,17 acidentes por dia.
b) xmediana (n ímpar ) = 1.
c) Maior número de observações iguais, Mo = 0.
d) P% = (10 + 5 + 3) / 53 = 34%. 2.20 a) Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fi 1 1 5 6 3 2 3 2 0 1 b) xmedia = (Ó xi *Fi) / n = (1 * 1 + ...+ 10 * 1) / 24 = 4,83. xmediana (n par ) = 4.
Maior número de observações iguais, Mo = 4.
2.21
a) xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (12 * 15 + ...+ 40 * 5) / 163 = 22,99 anos.
b) n / 2 = 163 / 2 = 81,50, ou seja, no intervalo 18 • 22
Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 18 + [(81,50 – 43) * 4] / 40 = 21,85 anos.
c) Maior número de observações iguais 18 • 22
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 18 + [12 / (12 + 10)] * 4 = 20,18 anos é a idade mais
freqüente da amostra.
d) i * n / 10 = 3 * 163 / 10 = 48,90
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 18 + [(48,90 – 43) * 4] / 40 = 18,59, ou seja, 30% das
e) i * n / 4 = 163 / 4 = 40,75
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 14 + [(40,75 – 15) * 4] / 28 = 17,58.
f) i * n / 100 = 80 * 163 / 100 = 130,40
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 26 + [(130,40 – 113) * 4] / 20 = 29,48, ou seja, 20% das
pessoas deste grupo têm idade superior a 29,48. 2.22 a) Amplitude: r = 98 – 33 = 65. b) Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log50 • 7. c) Tamanho do intervalo: h • 65 / 7 • 10. d) e) f) g) e h) Classe Intervalos Fi fi XI Fac 1 30 • 40 4 0,08 35 4 2 40 • 50 6 0,12 45 10 3 50 • 60 8 0,16 55 18 4 60 • 70 12 0,24 65 30 5 70 • 80 9 0,18 75 39 6 80 • 90 7 0,14 85 46 7 90 • 100 4 0,08 95 50 Ó 50 1 i)
His tograma de Freqüênc ia A bs oluta
0 2 4 6 8 10 12 14 30 • 40 40 • 50 50 • 60 60 • 70 70 • 80 80 • 90 90 • 100 Interv alos de Clas s es
F
i
j) xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (35 * 4 + ...+ 95 * 4) / 50 = 65,60.
l) Maior número de observações iguais 60 • 70
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 60 + [4 / (4 + 3)] * 10 = 65,71.
m) n / 2 = 50 / 2 = 25, ou seja, no intervalo 60 • 70
Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FXmrd = 60 + [(25 – 18) * 10] / 12 = 65,38, ou seja, 50%
das notas deste grupo estão abaixo de 65,38. n) i * n / 4 = 50 / 4 = 12,50
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 50 + [(12,50 – 10) * 10] / 8 = 53,125, ou seja, 25% dos alunos deste grupo tiraram notas inferiores a 53,125.
o) i * n / 100 = 55 * 50 / 100 = 27,50
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 60 + [(27,50 – 18) * 10] / 12 = 67,92, ou seja, 45% dos
SÉRIE IV 2.23 a) Amplitude: r = 12 – 2 = 10. b) S2 = 1 / (n – 1) * [Óxi2– (Óxi)2 / n] = 1 / (7 – 1) * [347– (1849) / 7] = 13,81. c) S = (S2)1/2 = (13,81)1/2 = 3,72. 2.24 Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi 2 • 4 3 3 9 27 4 • 6 5 5 25 125 6 • 8 8 7 56 392 8 • 10 6 9 54 486 10 • 12 3 11 33 363 Ó 25 177 1393 S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi)– (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (25 – 1) * [1393– (177)2 / 25] = 5,83. 2.25 Intervalos Fi xi xi * Fi xi2 * Fi 40 • 45 4 42,5 170 7225 45 • 50 10 47,5 475 22562,5 50 • 55 15 52,5 787,5 41343,75 55 • 60 8 57,5 460 26450 60 • 65 5 62,5 312,5 19531,25 65 • 70 3 67,5 202,5 13668,75 Ó 45 2407,5 130781,25 a) xmedia = (Ó xi .Fi) / n = 2407,5 / 45 = 53,5 kg. b) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi)– (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (45 – 1) * [130781,25– (2407,5)2 / 45] = 45 kg. c) CV = (S / xmedia) * 100 = (6,71 / 53,5) * 100 = 12,54%. d) Maior número de observações iguais 50 • 55
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [5 / (5 + 7)] * 5 = 52,08 kg
AS = (xmedia – Mo) / S = (53,5 – 52,08) / 6,71 = 0,21, portanto, a distribuição não é simétrica.
2.26
xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (2 * 2 + ... + 10 * 2) / 7 = 6.
CV = (S / xmedia) * 100 = (3,02 / 6) * 100 = 50,33%, portanto, a amostra tem elevada dispersão.
CVA = (SA / xmediaA) * 100 = (40 / 150) * 100 = 26,67%
CVB = (SB / xmediaB) * 100 = (50 / 200) * 100 = 25,00%
CVC = (SC / xmediaC) * 100 = (60 / 300) * 100 = 20,00%
a) A tem desvio padrão de 40, portanto, é a caixa com menor variação absoluta na pressão de ruptura.
b) A tem o coeficiente de variação de 26,67%, portanto, é a caixa com maior variação relativa na pressão de ruptura. 2.28 a) Amplitude: r = 44 – 14 = 30 Nº de intervalos: k • 1 + 3,22 * log30 • 6 Tamanho do intervalo: h • 30 / 6 • 5 Classe Intervalos Fi 1 14 • 19 4 2 19 • 24 6 3 24 • 29 5 4 29 • 34 4 5 34 • 39 2 6 39 • 44 9 Ó 30 b)
His tograma de Freqüênc ia A bs oluta
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 • 19 19 • 24 24 • 29 29 • 34 34 • 39 39 • 44 Interv alos das Clas s es
F i c) xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (16,5 * 4 + .. + 41,5 * 9) / 30 = 900 / 30 = 30 anos. S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi)– (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (30 – 1) * [29507,5– (900)2 / 30] = 86,47 S = (S2)1/2 = (86,47)1/2 = 9,30. 2.29 a) xmedia = 45 s S = (S2)1/2 = (400)1/2 = 20 s CV1 = (S / xmedia) * 100 = (20 / 45) * 100 = 44,50%. b) xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (20 * 10 + ... + 80 * 5) / 60 = 2700 / 60 = 45 s.
c) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi)– (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (60 – 1) * [135000 – (2700)2 / 60] = 228,81s2
S = (S2)1/2 = (228,81)1/2 = 15,13 s.
d) xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (40 * 45 + 60 * 45) / 100 = 45 s.
e) CV2 = (S / xmedia) * 100 = (15,13 / 45) * 100 = 34,00%, portanto, a equipe 2 apresentou resultados mais homogêneos, uma vez que tem CV (34%) menor que a equipe 1 (44%) . f) Equipe 2. 2.30 a) Amplitude: r = 16 – 1 = 15 Nº de intervalos: k • 6 Tamanho do intervalo: h • 3 Classe Intervalos Fi 1 1 • 4 14 2 4 • 7 14 3 7 • 10 11 4 10 • 13 8 5 13 • 16 11 6 16 • 19 2 Ó 60 b)
His tograma de Freqüênc ia A bs oluta
0 2 4 6 8 10 12 14 16 1 • 4 4 • 7 7 • 10 10 • 13 13 • 16 16 • 19 Interv alos de Clas s es
F
i
c) xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (14 * 2,5 + ... + 2 * 17,5) / 60 = 8,20.
d) n / 2 = 60 / 2 = 30, ou seja, no intervalo 7 • 10
Xmediana = lXmed + [(n / 2 – Óf) * h] / FX = 7 + [(30 – 28) * 3] / 11 = 7,55, ou seja, metade das
rendas estão abaixo de $ 7550. e) i * n / 4 = 3 * 60 / 4 = 45
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 10 + [(45 – 39) * 3] / 8 = 12,25, ou seja, 75% das rendas
estão abaixo de $ 12250. f) i * n / 10 = 4 * 60 / 10 = 24
Di = lDi + [(i * n / 10 – Óf) * h] / FDi = 4 + [(24 – 14) * 3] / 14 = 6,14, ou seja, 40% das rendas
g) i * n / 100 = 47 * 60 / 100 = 28,20
Pi = lPi + [(i * n / 100 – Óf) * h] / FPi = 7 + [(28,20 – 28) * 3] / 11 = 7,05, ou seja, 47% das
rendas estão abaixo de $ 7055. h) i * n / 4 = 60 / 4 = 15
Qi = lQi + [(i * n / 4 – Óf) * h] / FQi = 4 + [(15 – 14) * 3] / 14 = 4,21.
i) S2 = 1 / (n – 1) * [Ó(xi2 * Fi)– (Óxi * Fi)2 / n] = 1 / (60 – 1) * [5289 – (492)2 / 60] = 21,26.
j) S = (S2)1/2 = (21,26)1/2 = 4,61.
l) CV = (S / xmedia) * 100 = (4,61 / 8,20) * 100 = 56,00%. m) Maior número de observações iguais 1 • 4
Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 1 + [14 / (14 + 0)] * 3 = 4
AS = (xmedia – Mo) / S = (8,20 – 4) / 4,61 = 0,91, portanto, a distribuição não é simétrica.
n) O intervalo xmedia – S a xmedia + S, ou seja, $ 3590 e $ 12810 contém aproximadamente 60% das rendas.
2.31
-SÉRIE IV 2.32
1. b, por definição de média.
2. b, uma vez que o maior número de observações iguais é 60. 3. c, por definição de mediana.
4. d, uma vez que a média leva em conta todos estes desvios, a soma deles deve ser zero. 5. b, uma vez que 70 é a média das observações além de separar em dois grupos com a
mesma quantidade. 6. a, por definição de moda.
7. d, uma vez que n = 100, a mediana será 50 (10 + 25 + 15), ou seja, 7.
8. b, uma vez que numa amostra de n = 5, a mediana é o 3º item, deixando dois de cada lado. 9. d, por definição de medidas de assimetria.
10. a, por definição de coeficiente de variância. 11. a, por definição de variância.
12. d, por definição de desvio padrão.
13. d, uma vez que n = 6, a mediana será [(n / 2) + (n / 2 +1)] / 2, ou seja, 45.
14. a, uma vez que a curva a é mais alargada horizontalmente, tem desvio padrão maior. 15. d, uma vez que apesar de A ter maior dispersão absoluta, ao se calcularem os coeficientes
de variância de ambas as turmas, chega-se ao mesmo valor: 50%. 16. d, uma vez que a variância é o quadrado do desvio padrão. 17. b, por definição de mediana.
18. a, uma vez que n = 20, o 1º quartil será a média entre o 5º e o 6º item, ou seja, 5. 19. b, uma vez que CV = (S / Xmedia) * 100, Estatística é 20% e História é 25%.
20. b, por definição.
21. d, uma vez que Xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (2 * 2500 + ... + 3 * 22000) / 10 = 10500. 22. c, por definição.
23. d, uma vez que Mo = lMo + [Ä1 / (Ä1 + Ä2)] * h = 50 + [15 / (15 + 10)] * 10 = 56.
24. b, uma vez que Xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (5 * 175 + ... + 3 * 475) / 10 = 3130 / 10 = 313. 25. c, uma vez que P45 = 40 + [(409,50 – 210) * 10] / 250 = 47,98.
27. a, uma vez que Xmedia = (Ó xi .Fi) / n = (3 * 1 + ... + 15 * 5) / 8 = 96 / 8 = 12. 28. d, uma vez que S2 = 1 / (5 – 1) * [73600– (600)2 / 5] = 400, ou seja, S = 20. 29. a, uma vez que S2 = (1 / 5) * [108– (22)2 / 5] = 2,24.
Soluções e Respostas Capítulo 3 – Probabilidades
SÉRIE I 3.1
e) S = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1K, 2K, 3K, 4K, 5K, 6K}, onde C = cara e K = coroa. f) A = {K2, K4, K6} B = {C1, C3, C5} C = {3C, 6C, 3K, 6K}. g) a. Bcompl. = S – B = {C2, C4, C6, K1, K2, K3, K4, K5, K6} b. A U B = A + B = {K2, K4, K6, C1, C3, C5} c. B • C = {3C}
d. (A U B)compl. = (Acompl• Bcompl) = {K1, K3, K5, C2, C4, C6}.
h) Apenas A e B são mutuamente exclusivos uma vez que A • B = Ø. 3.2
a) P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ½ = ½. b) P(Bcompl) = 1 – P(B) = 1 – ¼ = ¾.
c) P(A • B) = 0, uma vez que A e B s ão mutuamente exclusivos. d) P(A U B) = P(A) + P(B) = ½ + ¼ = ¾.
e) P(Acompl• B compl) = 1 – [P(A • B)] = 1. 3.3
a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12. b) P(Acompl U Bcompl) = P(A • B) compl = 1 – P(A • B) = 1 – ¼ = ¾. c) P(Acompl• B compl) = P(A U B) compl = 1 – P(A U B) = 1 – 7/12 = 5/12. 3.4
a) Seja A = {(x1)/ x1 = par}, P(A) = 3/6 = ½. b) Seja A = {(x1)/ x1 = rei}, P(A) = 4/52 = 1/13.
c) Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1 = x2 = x3 = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½ . ½ . ½) = 7/8. d) Seja A = {(x1, ..., xn)/ x1 = ... = xn = K}, P(Acompl) = 1 – A = 1 – (½)n = (2n – 1)/2n. e) P(ambas copas, sem reposição) = P(1ª copas) * P(2ª copas) = 13/52 * 12/51 = 1/17.
f) P(1 copas e 1 ouros sem reposição) = P(copas) * P(ouros) + P(ouros) * P(copas) = 13/52 * 13/51 + 13/52 + 13/51 = 13/102 ou, 13 13 52 P(F) = 1 * 1 2 = (13/1 * 13/1) / (52 * 51/ 2 * 1) = 13/102. 3.5 a) Seja A = {(x1)/ x1 / 5}, P(A) = 10/50 = 1/5. b) Seja A = {(x1)/ x1 = _3}, P(A) = 5/50 = 1/10. c) Seja A = {(x1)/ x1 = primo}, P(A) = 15/50 = 3/10. d) Seja A = {(x1)/ x1 / 6} = 8 e B = {(x1)/ x1 / 8} = 6,
P(A U B) = P(A) + P(A) – P(A • B) = 8/50 + 6/50 – 2/50 = 12/50 = 6/25.
3.6
Seja A = {(x1)/ x1 = rei} = 4 e B = {(x1)/ x1 = 1 carta de copas} = 13
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13.
3.7 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 < 4}, P(A) = 3/36 = 1/12. b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 9}, P(A) = 4/36 = 1/9. c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 > x2}, P(A) = 15/36 = 5/12. 3.8 Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 10}, P(A) = 8/90 = 4/45. 3.9
a) Seja A = {(x1)/ x1 = defeitos graves}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/8 = 7/8. b) Seja A = {(x1)/ x1 = boas}, P(A) = 10/16 = 5/8.
c) Seja A = {(x1)/ x1 = com defeitos}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – ¼ = ¾. 3.10
a) P(ambas perfeitas, sem reposição) = P(1ª perfeita) * P(2ª perfeita) = 10/16 * 9/15 = 3/8. b) P(ao menos uma é perfeita) = P[(P1• P 2) U (P1• D2) U (D1• P 2)] = P(P1) * P(P2/P1) +
P(P1) * P(D2/P1) + P(D1) * P(P2/D1) = 10/16 * 9/15 + 10/16 * 6/15 + 6/16 * 10/15 = 7/8.
c) P(nenhuma com defeito grave) = P(sem d.g.) * P(sem d.g.) = 14/16 * 13/15 = 91/120. d) P(nenhuma perfeita) = P(imperfeitas) * P(imperfeitas) = 6/16 * 5/15 = 1/8.
3.11
a) P(pretas) = P(1ª preta) * P(2ª preta) * P(3ª preta) = 6/11 * 5/10 * 4/9 = 4/33.
b) P(uma branca) = P(B1) * P(P2) * P(P3) + P(P1) * P(B2) * P(P3) + P(P1) * P(P2) * P(B3) ou
3 * P(B1, P2, P3) = 5/11 * 6/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 + 6/11 * 5/10 * 5/9 = 5/11.
c) P(ao menos uma é preta) = 1 – P(brancas) = 1 – P(B1) * P(B2/B1) * P(B3/B2/B1) = 1 – 5/11 * 4/10 * 3/9 = 1 – 2/33 = 31/33.
3.12
O número total de resultados possíveis = C12,7
O número de resultados favoráveis: C5,3 (3 do 4º ano) * C4,2 (2 do 2º ano) * C3,2 (2 do 3º ano)
P(A) = (C5,3 * C4,2 * C3,2) / C12,7 = (5/3 * ... * 3/1) * (4/2 * 3/1) * (3/2 * 2/1) / (12/7 * ... * 6/1) = 5/22.
3.13
O número total de resultados possíveis = CN,n
O número de resultados favoráveis: CNv,nv (nv de vermelhas) * CNa,na (na de azuis) * CNp,np (np de
pretas)
P(A) = (CNv,nv * CNa,na * CNp,np) / CN,n
Nv Na Np N
P(A) = nv * na * np n .
3.14
a) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = ½ + 1/3 – ¼ = 7/12. b) P(A/B) = P(A • B) / P(B) = ¼ / 1/3 = ¾.
c) P(B/A) = P(A • B) / P(A) = ¼ / ½ = ½.
d) P[(A U B)/B] = P[(A U B) • B] / P(B) = P(B) / P(B) = 1. 3.15
P(Acompl/Bcompl) = P(Acompl• B compl) / P(Bcompl) = [P(A U B) compl] / [1 – P(B)] = 5/12 / 2/3 = 5/8.
P(Bcompl/Acompl) = P(Bcompl• Acompl) / P(Acompl) = [P(B U A) compl] / [1 – P(A)] = 5/12 / ½ = 5/6.
3.16
Seja A = {(x1)/ x1}, P(A) = 365/365
Seja B = {(x1, x2)/ x1 • x 2}, P(B) = 365/365 * (365 – 1)/365 = 365* (365 – 1)/3652
Assim, de maneira geral o item xn terá probabilidade de [(365 – n + 1)/365],
Portanto, seja R = {(x1, x2, ..., xr )/ x1 • x2 • ... • x r},
3.17
a) P(acertarem) = P(1º acertar) * P(2º acertar) * P(3º acertar) = 2/3 * 4/5 * 7/10 = 28/75. b) P(apenas um acertar) = P(A1, E2, E3) + P(E1, A2, E3) + P(E1, E2, A3) = 2/3 * 1/5 * 3/10 +
1/3 * 4/5 * 3/10 + 1/3 * 1/5 * 7/10 = 25/150 = 1/6.
c) P(errarem) = P(1ª errar) * P(2ª errar) * P(3ª errar) = 1/3 * 1/5 * 3/10 = 1/50. 3.18
Seja P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = p,
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) : P(Corrente LR) = P(F 1, F2) + P(F3, F4) – P(F1, F2• F 3, F4)
P(F1, F2) = P(F3, F4) = p * p = p2 e P(F1, F2• F 3, F4) = p * p * p * p = p4
P(Corrente LR) = 2 * p2 – p4 = 2p2 – p4.
3.19
P(duas da mesma cor) = P(B1, B2) + P(V1, V2) + P(P1, P2) = 5/12 * 5/18 + 4/12 * 6/18 + 3/12 *
7/18 = 35/108. 3.20
Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = R$ 1,50},
P(A) = P(U1, C2) + P(C1, U2) = 5/9 * 4/8 + 4/9 * 5/8 = 5/9.
3.21
Seja A = {(x1, x2, x3)/ x1, x2, x3 = 2 pretas e 1 vermelha} com reposição,
P(A) = P(P1, P2, V3) + P(P1, V2, P3) + P(V1, P2, P3) = 3 * 5/10 * 5/10 * 3/10 = 9/40.
3.22
Seja A = {(x1)/ x1 = 1 branca}, P(A) = 2/3.
Seja B = {(x2)/ x2 = 1 branca}, P(B) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = (1 + 2/3)/4 = 5/12.
3.23
Seja T = {(s1)/ s1 = 1 branca}, P(T) = x / (x + y).
Seja U1 = {(s2)/ s2 = 1 branca}, P(U1) = P(Brancanova) / P(Totalnova) = {z + [x / (x + y)]} / (z + v + 1)
P(U2) = P(B1, B2) + P(V1, B2) = [x / (x + y)] * [(z + 1) / (z + v + 1)] + [y / (x + y)] * [z / (z + v + 1)].
3.24
Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = P, x3 = V, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor,
P(A) = P(P1, P2, V3, V4) = 10/15 * (10 + 5)/(15 + 5) * 5/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30
Seja A = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 = P, x2 = V, x3 = P, x4 = V} com reposição + 5 bolas da cor,
P(A) = P(P1, V2, P3, V4) = 10/15 * 5/(15 + 5) * (10 + 5)/(15 + 10) * (5 + 5)/(15 + 15) = 1/30
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = P, x2 = P} com reposição + 5 bolas da cor,
3.25
a) P(duas perfeitas) = P(P1, P2) = 5/8 * 3/5 = 3/8.
b) P(uma defeituosa) = P(D1, P2) + P(P1, D2) = 3/8 * 3/5 + 5/8 * 2/5 = 19/40.
c) P(defeituosa vir de A) = P(D1, P2) / P(uma defeituosa) = (3/8 * 3/5) / (19/40) = 9/19. 3.26
a) P(só H viver) = P(M vivercompl) * P(H viver) = ¼ * 3/5 = 3/20. b) P(só M viver) = P(H vivercompl) * P(M viver) = 2/5 * ¾ = 3/10. c) P(ambos viverem) = P(H viver) * P(M viver) = 3/5 * ¾ = 9/20. 3.27
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = B},
P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(P1, B2)] = (½ * 2/3) / [(½ * 2/3) + (½ * ½)] = (1/3) / (1/3 * ½) =
4/7. 3.28
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = mesma cor},
P(A) = P(P1, P2) + P(V1, V2) = ½ * 3/6 + ½ * 4/6 = 1/4 + 1/3 = 7/12.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = P},
P(A) = P(V1, P2) / [P(V1, P2) + P(P1, P2)] = (½ * 2/6) / (½ * 2/6 + ½ * 3/6) = (1/6) / (5/12) = 2/5. 3.29 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V}, P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = 3/8 * (5 + 2)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 41/72. b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = B ou V}, P(A) = P(B1, B2) + P(V1, V2) = 3/8 * (3 – 1)/(8 + 2 – 1) + 5/8 * (5 – 1)/(8 + 2 – 1) = 13/36. 3.30
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = V sabendo que x2 = V},
P(A) = P(V1, V2) / [P(B1, V2) + P(V1, V2)] = (20/72) / (41/72) = 20/41.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x1 = x2 = mesma cor},
P(A) = P(B1, B2) / [P(B1, B2) + P(V1, V2)] = (6/72) / (13/36) = 3/13.
3.31
a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = urna 1 ou 2, x2 = V},
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B ou V, x2 = V},
P(A) = P(B1, V2) + P(V1, V2) = y/(x + y) * z/(z + v + 1) + x/(x +y) * (z + 1)/(z + v + 1) =
(y * z)/(x + y)(z + v + 1) + [(x * z) + (x)]/(x + y)(z + v + 1) = (yz + xz + x)/(x + y)(z + v + 1). 3.32 Seja A = {(s1, ..., sx + y) / s1, ..., sx = B, sx + 1, ..., sx + y = P}, P(A) = P(X1, ..., Xx, Yx + 1, …, Yx + y) = x/(x + y) * (x – 1)/(x + y – 1) * … * y/y * (y – 1)/ (y – 1)/ = (x! y!) / (x + y)! 3.33 Seja, A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} C = {(4,6), (5,5), (6,4)} D = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (4,3), (5,3), (6,3), (5,4), (6,4), (6,5)} E = {(2,1), (4,2), (6,3)} a) P(A/B) = P(A • B) / P(B) = 1/6. b) P(C/D) = P(C • D) / P(D) = 1/15. c) P(D/E) = P(D • E ) / P(E ) = 3/3 = 1. d) P(A/C) = P(A • C) / P(C) = 0. e) P(C/E) = P(C • E ) / P(E ) = 0. f) P(C/A) = P(C • A) / P(A) = 0. g) P(A/D) = P(A • D) / P(D) = 2/15. h) P(B/C) = P(B • C) / P(C) = 1/3. i) P(A/E) = P(A • E ) / P(E ) = 0. j) P(B/E) = P(B • E ) / P(E ) = 0.
l) P(A/B • C) = [P(A • B) / P(B)] • P(C) = 0.
m) P[(A • B) / (C • D)] = [P(A • B) • P(C • D)] / [P(C • D)] = 0. 3.34
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = caixa 1 ou 2 sabendo que x2 = P},
P(A) = P(C11, P2) / [P(C11, P2) + P(C21, P2)] = (1/2 * 7/10) / [(1/2 * 7/10) + (1/2 * 5/6)] = (7/20) /
(46/60) = 21/46
P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 21/46 = 25/46.
3.35
P(A) = P(B/D) = [P(B • D) / P(D)] = {[P(B) * P(D/B)] / [P(A) * P(D/A) + P(B) * P(D/B) + P(C) * P(D/C)]} = (1/6 * 3/5) / [(3/4 * 1/20) + (1/6 * 3/5) + (1/10 * 3/10)] = (1/10) / (67/400) = 40/67. 3.36
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = M sabendo que x2 = 1,80},
P(A) = P(M1, A2) / [P(M1, A2) + P(H1, A2)] = (4/10 * 2/100) / [(4/10 * 2/100) + (6/10 * 5/100)] =
(1/125) / (19/500) = 4/19. 3.37
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = B sabendo que x2 = D},
P(A) = P(B1, D2) / [P(A1, D2) + P(B1, D2) + P(C1, D2)] = (5/10 * 5/100) / [(4/10 * 3/100) + (5/10 *
5/100) + (1/10 * 2/100)] = (1/40) / (39/1000) = 25/39. 3.38
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = T sabendo que x2 = Y positivo},
P(A) = P(T1, Y2) / [P(T1, Y2) + P(NT1, Y2)] = (1/10 * 80/100) / [(1/10 * 80/100) + (9/10 * 30/100)] = (2/25) / (7/20) = 8/35. 3.39 a) P(só caras) = P(C1, C2, C3) = ½ * ½ * ½ = 1/8. b) P(2 C, 1 K) = 3 * P(C1, C2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8. c) P(1 C) = 3 * P(C1, K2, K3) = 3 * ½ * ½ * ½ = 3/8. d) P(ao menos 1 K) = 3 * P(K1, C2, C3) + 3 * P(K1, K2, C3) + P(K1, K2, K3) = 7 * ½ * ½ * ½ = 7/8. e) P(só coroa) = P(K1, K2, K3) = ½ * ½ * ½ = 1/8. 3.40 a) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(A) = 6/36 = 1/6.
b) Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2}, P(Acompl) = 1 – P(A) = 1 – 1/6 = 5/6. c) Seja A = {(x1, x2)/ x1 < x2}, P(A) = 15/36 = 5/12.
d) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = par}, P(A) = 18/36 = ½.
e) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 7, sabendo que x1• x2}, P(A) = 6/(36 – 6) = 1/5. f) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 6, sabendo que x1 = x2}, P(A) = (5 – 4)/(36 – 30) = 1/6. g) Seja A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 14}, P(A) = 0.
Seja A = {(x1, x2)/ x1 = x2 = Errar}, P(Acompl) = 1 – P(E1, E2) = 1 – (2/5 * 3/7) = 29/35. 3.42
Seja A = {(x1)/ x1 = 5 ou par}, P(A) = P(5) + P(par) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3.
3.43
a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 10/15 = 2/3. b) Seja A = {(x1)/ x1 = A}, P(A) = 7/15.
c) Seja A = {(x1)/ x1 = M} ou B = {(x1)/ x1 = Me}, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A • B) = 8/15 + 5/15 – 3/15 = 2/3.
d) Seja A = {(x1)/ x1 = H, sabendo que x1 = A}, P(A) = 5/(15 – 8) = 5/7. e) Seja A = {(x1)/ x1 = Me, sabendo que x1 = Mu}, P(A) = 3/(15 – 10) = 3/5. 3.44
a) Seja X = {3, 6, 9, 12, 15, 18} e Y = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20},
X e Y serão independentes se e somente se P(X • Y) = P(X) * P(Y)
P(X • Y) = 3/20, P(X) = 6/20, P(Y) = 10/20
P(X) * P(Y) = 6/20 * 10/20 = 3/20 = P(X • Y), portanto, X e Y s ão independentes.
b) Seja M = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} e N = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19},
M e N serão independentes se e somente se P(M • N) = P(M) * P(N)
P(M • N) = 7/20, P(M) = 9/20, P(N) = 10/20
P(M) * P(N) = 9/20 * 10/20 = 9/40 • P(M • N), portanto, M e N n ão são independentes.
3.45
a) Seja A = {(x1)/ x1 = H}, P(A) = 60/100 = 60%. b) Seja A = {(x1)/ x1 = M e Y}, P(A) = 26/100 = 26%. c) Seja A = {(x1)/ x1 = Y}, P(A) = 65/100 = 65%. d) Seja A = {(x1)/ x1 = H e X}, P(A) = 21/100 = 21%.
e) Seja A = {(x1)/ x1 = M, sabendo que x1 = X}, P(A) = 14/(100 – 65) = 40%. f) Seja A = {(x1)/ x1 = Y, sabendo que x1 = H}, P(A) = 39/(100 – 40) = 65%. 3.46
Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B)
A e B também são mutuamente exclusivos, ou seja, P(A • B) = Ø
Como P(Ø) = 0, então P(A • B) = 0
Voltando para a primeira igualdade, teremos que P(A) * P(B) = 0 Para que a igualdade seja verdadeira P(A) = 0 ou P(B) = 0.
3.47
Sendo A e B independentes, temos que P(A • B) = P(A) * P(B)
Como P(A) • 0 e P(B) • 0, ent ão P(A) * P(B) • 0 e conseqüentemente P(A • B) • 0
Portanto, P(A • B) • Ø, acarretando na não exclusividade dos eventos.
3.48
Sendo A e S independentes, temos que P(A • S ) = P(A) * P(S )
Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1
Como A está contido em S, temos que P(A • S ) = P(A)
Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que P(A) = P(A) * 1 Portanto, conclui-se que A e S são independentes.
3.49
Sendo A e Ø independentes, temos que P(A • Ø) = P(A) * P(Ø)
Como P(Ø) = 0, temos que P(A • Ø) = P(Ø) = 0
Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = P(A) * 0 Portanto, conclui-se que A e Ø são independentes.
3.50
Sendo S e Ø independentes, temos que P(S • Ø) = P(S) * P(Ø)
Como P(Ø) = 0, temos que P(S • Ø) = P(Ø) = 0
Como S é o espaço amostral, temos que P(S) = 1
Logo, substituindo os valores encontrados na primeira igualdade, temos que 0 = 1 * 0 Portanto, conclui-se que S e Ø são independentes.
Soluções e Respostas
Capítulo 4 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas SÉRIE I 4.1 S = {cc, ck, kc, kk} X = número de coroas (k) = 0, 1, 2 Xi 0 1 2 P(Xi) 1/4 1/2 1/4
Dis tribuiç ão de Probabilidade 0 1/4 1/2 3/4 1 0 1 2 Xi P (X i) 4.2 i) S = {(1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6)} = 36 casos X = soma dos pontos = 2, 3, ..., 12
Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 j) P(3 • X • 10) = 1 – [P(2) + P(11) + P(12)] = 1 – 4/36 = 32/36 = 8/9. k) P(X > 7) = P(8) + ... + P(12) = 5/36 + ... + 1/36 = 15/36 = 5/12. l) P(X • 5) = P(2) + ... + P(5) = 1/36 + ... + 4/36 = 10/36 = 5/18. m) P(X • 6) = P(X • 5) + P(6) = 10/36 + 5/36 = 15/36 = 5/12. n) P(X • 3) = 1 – P(2) = 1 – 1/36 = 35/36. o) F(4) = P(2) + ... + P(4) = 1/36 + ... + 3/36 = 6/36 = 1/6. p) F(8) = P(2) + ... + P(8) = 1/36 + ... + 5/36 = 26/36 = 13/18. q) F(15) = 1. r) F(1) = 0. l) F(5,5) = P(X • 5) = 5/18. m) F(12) = 1. 4.3 a) Ó P(Xi) = 1 P(1) + P(3) + P (5) + P (7) = 1 k + k/3 + k/5 + k/7 = 176k/105 = 1, portanto, k = 105/176. b) P(2 • X • 6) = P(3) + P(5) = 105/176 * 1/3 + 105/176 * 1/5= 56/176 = 7/22. c) F(5) = 1 – P(7) = 1 – 105/176 * 1/7 = 161/176.
4.4
S = {vv, vn, nv, nn}, com v = vende e n = não vende Y = número de clientes que assinam venda (v) = 0, 1, 2 P(0) = P(N,N) = 80/100 * 80/100 = 64/100 = 0,64
P(1) = P(V,N) + P(N, V) = 20/100 * 80/100 + 80/100 * 20/100 = 32/100 = 0,32 P(2) = P(V,V) = 4/100 = 0,04.
Yi 0 1 2
SÉRIE II 4.5 a) Ó P(Xi) = 1 P(3) = 1 – [P(1) + P (2) + P (5) + P (8)] = 1 – [0,20 + 0,25 + 0,30 + 0,10] = 0,15. b) F(5) = 1 – P(8) = 1 – 0,10 = 0,90. c) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 1 * 0,20 + … + 8 * 0,10 = 3,45. d) ó(x)2 = Ó xi2 * P(x i) – ì(x)2 = (1 * 0,20 + ... + 64 * 0,10) – (3,45)2= 16,45 – 11,9025 = 4,5475 ó(x) = (ó(x)2)1/2 = (4,5475)1/2 = 2,1325. 4.6 a) P(1) = (0,8) * (0,2)1 – 1 = 0,8 P(2) = (0,8) * (0,2)2 – 1 = 0,16 P(3) = (0,8) * (0,2)3 – 1 = 0,032 P(4) = (0,8) * (0,2)4 – 1 = 0,0064 P(5) = (0,8) * (0,2)5 – 1 = 0,00128.
b) F(X • 5) = P(1) + ... + P(5) = 0,8 + ... + 0,00128 = 0,99968, ou seja, a soma das probabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores maiores do que 5 são próximas a zero (ou mais exatamente 0,00032).
4.7
a) F(2) = P(0) + …+ P(2) = 0,55 + … + 0,10 = 0,90.
b) P(1 • X • 4) = 1 – [P(0) + P (5)] = 1 – (0,55 + 0,02) = 1 – 0,57 = 0,43 P(X > 1) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,55 + 0,25) = 1 – 0,80 = 0,20.
c) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 0,55 + … + 5 * 0,02 = 0,83 chamadas por minuto.
d) ó(x)2 = Ó xi2 * P(x i) – ì(x)2 = (0 * 0,55 + … + 25 * 0,02) – (0,83)2= 2,15 – 0,6889 = 1,4611
ó(x) = (ó(x)2)1/2 = (1,4611)1/2 = 1,20876
CV = ì (x)/ó(x) = 1,20876/0,83 = 1,456337 = 145,6%.
4.8
a) S = {(0-0), (0-1), ..., (5-6), (6,6)} = 28 casos Z = pontos numa peça de dominó = 0, 1, ..., 12.
Zi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dis tribuiç ão de Probabilidade 0 1/20 1/10 3/20 1/5 1/4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Z i P (Z i) b) P(2 • Z • 6) = P(2) + ... + P(6) = 2/28 + … + 4/28 = 14/28 = ½. c) F(8) = 1 – [P(9) + ... + P(12)] = 1 – (2/28 + … + 1/28 = 1 – 6/28 = 22/28 = 11/14. d) ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 1/28 + … + 12 * 1/28 = 6. 4.9 a) S = {(R, R, R), (R, R, M), ..., (M, M, R), (M, M, M)} = 8 casos X = número de rapazes = 0, 1, 2, 3 P(0) = P(M, M, M) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21 P(1) = P(R, M, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/14 P(2) = P(R, R, M) = 3 * 5/9 * 4/8 * 4/7 = 10/21 P(3) = P(R, M, M) = 5/9 * 4/8 * 3/7 = 5/42. Xi 0 1 2 3 P(Xi) 1/21 5/14 10/21 5/42 b) I. P(X • 2) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42 II. P(X • 0) = P(0) = 1/21 III. P(1 < X • 3) = P(2) + P(3) = 10/21 + 5/42 = 25/42 IV. P(2 < X < 3) = 0 V. P(X > 2) = P(3) = 5/42 VI. P(X > – 1) = 1 VII. P(X < 5) = 1. c) F(2,5) = 1 – P(3) = 1 – 5/42 = 37/42 F(3) = 1 F(0,5) = P(0) = 1/21 F(3,5) = 1 F(2) = F(2,5) = 37/42 F(1) = P(0) + P(1) = 1/21 + 5/14 = 17/42 F(6) = 1 F(– 0,5 ) = 0. 4.10
X = é IBM = 0, 1, 2 P(0) = P(N, N) = 30/100 * 30/100 = 9/100 P(1) = P(I, N) + P(N, I) = 2 * 70/100 * 30/100 = 21/50 P(2) = P(I, I) = 70/100 * 70/100 = 49/100 Xi 0 1 2 P(Xi) 0,09 0,42 0,49 ì (x) = Ó xi * P(x i) = 0 * 0,09 + … + 2 * 0,49 = 1,4 ó(x)2 = Ó xi2 * P(x i) – ì(x)2 = (0 * 0,09 + … + 4 * 0,49) – (1,4)2= 2,38 – 1,96 = 0,42 ó(x) = (ó(x)2)1/2 = (0,42)1/2 = 0,65.
SÉRIE III 4.11
P(X = x) = 10 * (½)x * (½)10 – x = 10 * (½)10, com x = ser cara
x x a) P(x = 6) = [(10 * ... * 5)/(6 * ... *1)] * (½)10 = 105/512. b) P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [(½)10 + 10 * (½)10] = 1 – 11/1024 = 1013/1024. c) P(x = 10) = (½)10 = 1/1024. d) P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/1024 = 1023/1024. e) P(x • 5) = 1 – P(5) = 1 – [(10 * ... * 6)/(5 * ... *1)] * (½)10 = 1 – 63/256 = 193/256. 4.12
P(X = x) = 6 * (½)x * (½)6 – x = 6 * (½)6, com x = filhos homens
x x
P(x = 4) = [(6 * ... * 3)/(4 * ... * 1)] * (½)6 = 15/64.
4.13
P(X = x) = 4 * (½)x * (½)4 – x = 6 * (½)4, com x = ter menino
x x
a) P(x = 4) = (½)4 = 1/16, famílias com nenhuma menina = 1/16 * 320 = 20.
b) P(x = 3) = [(4 * ... * 2)/(3 * ... *1)] * (½)4 = 1/4, famílias com 3 meninos = 1/4 * 320 = 80. c) P(x = 4) = (½)4 = 1/16, famílias com 4 meninos = 1/16 * 320 = 20.
4.14
P(X = x) = n * (1/6)x * (5/6)n – x , com x = ser face 3 do dado.
x P(x • 1) = 1 – P(0) = 1 – (5/6)n. 4.15 P(X = x) = 5 * (2/3)x * (1/3)5 – x , com x = vitória x a) P(x = 3) = [(5 * ... * 3)/(3 * ... *1)] * (2/3)3 * (1/3)2 = 80/243. b) P(x • 1) = 1 – P(0) = (1/3)5 = 1 – 1/243 = 242/243. c) P(x • 3) = (3) + P(4) + P(5) = 80/243 + [(5 * ... * 2)/(4 * ... *1)] * (2/3)4 * (1/3)1 + (2/3)5 = 80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243 = 64/81.
4.16
P(X = x) = 6 * (1/3)x * (2/3)6 – x , com x = acertar o alvo
x
a) P(x = 2) = [(6 * 5)/(2 * 1)] * (1/3)2 * (2/3)4 = 80/243. b) P(x = 0) = (2/3)6 = 64/729.
4.17
P(X = x) = 100 * (1/2)x * (1/2)100 – x = 100 * (1/2)100, com x = acertar o teste
x x P(x = 70) = 100 * (½)100. 70 4.18 a) Se F(5) = P(0) + ... + P(5) = 1, portanto, n = 5. b) P(y = 0) = p0 * q(n – 0) = q(n – 0), portanto, q5 = 1/243, q = (1/243)1/5 = 1/3 Se p + q = 1, p = 2/3. c) ì (y) = n * p = 5 * 2/3 = 10/3. d) ó(y)2 = n * p * q = 5 * 2/3 * 1/3 = 10/9. e) P(y • 1) = 1 – P(0) = 1 – 1/243 = 242/243. f) P(2 • y • 4) = F (4) – F (1) = 211/243 – 11/243 = 200/243. 4.19
P(X = x) = 100 * (0,05)x * (0,95)100 – x, com x = ser defeituosa
x
a) P(0) = (0,95)100 – x = (0,95)100. b) P(3) = 100 * (0,05)3 * (0,95)97 3
SÉRIE IV 4.20 a) P(x = 5) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(35 * e-3) / 5!] = [(243 * 0,0498) / 120] = 0,1008. b) P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e-5,5 + (5,51 * e-5,5) + [(5,52 * e-5,5) / 2!]} = 0,0041 + 0,0225 + 0,1240 = 0,0886. c) P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-7,5 + (7,51 * e-7,5) + [(7,52 * e-7,5) / 2!] + [(7,53 * e-7,5) / 3!]} = 1 – (0,00055 + ... + 0,0387) = 1 – 0,0588 = 0,9412. d) P(x = 8) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(48 * e-4) / 8!] = [(65536 * 0,0183) / 40320] = 0,0297. 4.21 ì = λ * t = 0,02 * 100 = 2 a) P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-2 + (21 * e-2) + [(22 * e-2) / 2!]} = 1 – (0,1353 + 0,2707 + 0,2707) = 1 – 0,6767 = 0,3233. b) P(x = 5) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(25 * e-2) / 5!] = 0,0361. c) P(x = 5) = e-2 = 0,1353. d) P(x < 2) = [P(0) + P(1)] = e-2 + (21 * e-2) = 0,1353 + 0,2707 = 0,4060. 4.22 ì = λ * t = 0,03 * 230 = 6,9 P(x = 10) = [(6,910 * e-6,9) / 10!] = 0,0679. 4.23 a) Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 3000 km, ì = n * p = 3000 * 0,0002 = 0,6 P(x • 1) = P(0) + P(1) = e-0,6 + (0,6 * e-0,6) = 0,5488 + 0,3293 = 0,8781. b) Para 5000 km, ì = n * p, 1 = 5000 * p, p = 0,0002, Para 8000 km, ì = n * p = 8000 * 0,0002 = 1,6 P(x = 0) = e-1,6 = 0,2019. 4.24 a) P(x = 4) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(34 * e-3) / 4!] = 0,1681. b) P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-3 + (31 * e-3) + [(32 * e-3) / 2!]} = 1 – (0,0498 + 0,1494 + 0,2241) = 1 – 0,4233 = 0,5767. 4.25 a) P(x = 3) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(33 * e-3) / 3!] = 0,2241.
b) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3, Para 1,5 hora, ì = λ * t = 3 * 1,5 = 4,5 P(x • 4) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-4,5 + ... + [(4,53 * e-4,5) / 3!]} = 1 – (0,0111 + ... + 0,1687) = 1 – 0,3423 = 0,6577. 4.26 Para 1 cm2, ì = λ * t, 1 = λ * 1, λ = 1, Para 4 cm2, ì = λ * t = 1 * 4 = 4 P(x = 3) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(43 * e-4) / 3!] = 0,1954. 4.27 a) P(x = 2) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(22 * e-2) / 2!] = 0,2707. P(x = 3) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(23 * e-2) / 3!] = 0,1804. 4.28 Para 50000, ì = n * p, 2 = 50000 * p, p = 0,00004, Para 100000, ì = n * p = 100000 * 0,00004 = 4 a) P(x = 0) = e- ì = e-4 = 0,01832. b) P(x = 1) = ì * e- ì = 4 * e-4 = 0,0733. c) P(x = 2) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(42 * e-4) / 2!] = 0,14656. d) P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – (0,01832 + 0,07328) = 1 – 0,9160 = 0,9084. 4.29 ì = 400/500 = 0,8 a) P(x = 0) = e- ì = e-0,8 = 0,4493. b) P(x = 2) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(0,82 * e-0,8) / 2!] = 0,1438. 4.30 a) Para 1 hora, ì = λ * t, 5 = λ * 1, λ = 5, Para 24 minutos, ì = λ * t = 5 * 0,4 = 2 P(x = 2) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(22 * e-2) / 2!] = 0,2707. b) Para 1 hora, ì = n * p, 5 = 1 * p, p = 5, Para 18 minutos, ì = n * p = 0,3 * 5 = 1,5 P(x • 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2)] = 1 – {e-1,5 + (1,51 * e-1,5) + [(1,52 * e-1,5) / 2!]} = 1 – (0,2231 + 0,3347 + 0,2510) = 1 – 0,8088 = 0,1912. 4.31
a) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3, Para 20 minutos, ì = λ * t = 3 * 0,333 = 1 P(x = 3) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(13 * e-1) / 3!] = 0,0613. b) Para 1 hora, ì = λ * t, 3 = λ * 1, λ = 3, Para 30 minutos, ì = λ * t = 3 * 0,5 = 1,5 P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e-1,5 + (1,51 * e-1,5) + [(1,52 * e-1,5) / 2!]} = 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 = 0,8088. 4.32 Para 100000, ì = n * p, 3 = 100000 * p, p = 0,00003, Para 200000, ì = n * p = 200000 * 0,00003 = 6 P(x • 2) = P(0) + P(1) + P(2) = {e-6 + (61 * e-6) + [(62 * e-6) / 2!]} = 0,0025 + 0,0149 + 0,0446 = 0,0620. 4.33 Para 1 minuto, ì = λ * t, 40 = λ * 1, λ = 40, Para 6 segundos, ì = λ * t = 40 * 0,1 = 4 P(x = 2) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(42 * e-4) / 2!] = 0,14656. 4.34 Para 1 minuto, ì = λ * t, 1,7 = λ * 1, λ = 1,7, Para 2 minutos, ì = λ * t = 1,7 * 2 = 3,4 P(x = 2) = [(ì x * e- ì) / x!] = [(3,42 * e-3,4) / 2!] = 0,1929. 4.35 P(x > 3) = 1 – [P(0) + P(1) + P(2) + P(3)] = 1 – {e-2 + ... + [(23 * e-2) / 3!]} = 1 – (0,1353 + ... + 0,1804) = 1 – 0,8571 = 0,1429. 4.36 Para 1 peça, ì = λ * t, 2,2 = λ * 1, λ = 2,2, Para 2 peças, ì = λ * t = 2,2 * 2 = 4,4 P(x • 2) = 1 – [P(0) + P(1)] = 1 – [e-4,4 + (4,4 * e-4,4)] = 1 – (0,0123 + 0,0540) = 1 – 0,0663 = 0,9337.
Soluções e Respostas
Capítulo 5 – Distribuições de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Contínuas SÉRIE I 5.1 d) P(0 • z • 1,44) = 0,4251 ou 42,51%. e) P(–0,85 < z < 0) = P(0 < z < 0,85) = 0,3023. f) P(–1,48 < z < 2,05) = P(z < 1,48) + P(z < 2,05) = 0,4306 + 0,4798 = 0,9104. g) P(0,72 < z < 1,89) = P(z < 1,89) – P(z < 0,72) = 0,4706 – 0,2642 = 0,2064. h) P(z • 1,08) = 0,5 – P(z < 1,08) = 0,5 – 0,3599 = 0,1401. i) P(z • –0,66) = 0,5 + P(z < 0,66) = 0,5 + 0,2454 = 0,7454. j) P(|z| • 0,5) = 2 * P(z < 0,5) = 2 * 0,1915 = 0,3830. 5.2 a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(700 – 850)/45 < z < (1000 – 850)/45] P(700 < x < 1000) = P(–3,33 < z < 3,33) = 2 * P(z < 3,33) = 0,9991, ou seja, 1. b) [z > (a – ì )/ó] = [z > (800 – 850)/45] P(x > 800) = P(z > –1,11) = 0,5 + P(z < 1,11) = 0,5 + 0,3665 = 0,8665. c) [z < (a – ì )/ó] = [z < (750 – 850)/45] P(x < 750) = P(z < –2,22) = 0,5 – P(z < 2,22) = 0,5 – 0,4868 = 0,0132. d) [z = (a – ì )/ó] = [z = (1000 – 850)/45] P(x = 1000) = P(z = 3,33) = 0,5 – P(z = 3,33) = 0,5 – 0,49957 = 0,0004, ou seja, 0. 5.3 a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(60 – 65,3)/5,5 < z < (70 – 65,3)/5,5] P(60 < x < 70) = P(–0,96 < z < 0,85) = P(z < 0,96) + P(z < 0,85) = 0,3315 + 0,3023 = 0,6338 ou 380 estudantes. b) [z > (a – ì)/ó] = [z > (63,2 – 65,3)/5,5] P(x > 63,2) = P(z > –0,38) = 0,5 + P(z < 0,38) = 0,5 + 0,1480 = 0,6480 ou 389 estudantes. 5.4 P(z > ?) = 0,1500, P(z < ?) = 0,5 – 0,1500 = 0,3500, portanto, z = 1,04 z = (a – ì )/ó, 1,04 = [(a – 73)/15], a = 88,5 P(z < – ?) = P(z > ?) = 0,1200, P(z < ?) = 0,5 – 0,1200 = 0,3800, portanto, z = –1,175 z = (b – ì )/ó, –1,175 = [(b – 73)/15], b = 55. 5.5
a) [z > (a – ì)/ó] = [z > (46 – 48)/2] P(x > 46000) = P(z > –1,00) = 0,5 + P(z < 1,00) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413. b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(45 – 48)/2 < z < (50 – 48)/2] P(45000 < x < 50000) = P(–1,5 < z < 1,00) = P(z < 1,5) + P(z < 1,00) = 0,4332 + 0,3413 = 0,7745. 5.6 a) [z < (a – ì )/ó] = [z < (–3 – 12)/5] P(x < –3) = P(z < –3,00) = 0,5 – P(z < 3,00) = 0,5 – 0,49865 = 0,00135. b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(–1 – 12)/5 < z < (15 – 12)/5] P(–1 < x < 15) = P(–2,60 < z < 0,60) = P(z < 2,60) + P(z < 0,60) = 0,4953 + 0,2257 = 0,7210. 5.7 a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(150 – 180)/25 < z < (178 – 180)/25] P(150 < x < 178) = P(–1,20 < z < –0,08) = P(z < 1,20) – P(z < 0,08) = 0,3849 – 0,0319 = 0,3530. b) P(z < ?) = 0,48, portanto, z = 2,05 z = (a – ì )/ó, 2,05 = [(a – 180)/25], a = 231,25
z = (b – ì )/ó, –2,05 = [(b – 180)/25], b = 128,75, portanto, 96% dos salários estão entre $
128, 75 e 231,25. 5.8 X1• N (10 g; 0,25 g2) e X2• N (150 g; 64 g2) 120 * X1 + X2 = T ou N (1200 g; 30 g2) + N (150 g; 64 g2) = N (1350 g; 94 g2) [z > (a – ì)/ó] = [z > (1370 – 1350)/(94)0,5] P(t > 1370) = P(z > 2,06) = 0,5 – P(z < 2,06) = 0,5 – 0,4803 = 0,0197. 5.9 a) X1• N (70 kg; 400 kg2) e X2• N (12 kg; 25 kg2) 4 * X1 + 4 * X2 = T ou N (280 kg; 1600 kg2) + N (48 kg; 100 kg2) = N (328 kg; 1700 kg2) [z > (a – ì)/ó] = [z > (350 – 328)/(1700)0,5] = 0,53 P(t > 350) = P(z > 0,53) = 0,5 – P(z < 0,53) = 0,5 – 0,2019 = 0,2981. b) z > (b – ì )/ó = [(400 – 328)/(1700)0,5, z > (400 – 328)/(1700)0,5 = 1,74 P(t > 400) = P(z > 1,74) = 0,5 – P(z < 1,74) = 0,5 – 0,4591 = 0,0409. 5.10 P(z < –?) = P(z < ?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,18 ... z = (a – ì)/ó, –1,18 = (19 – ì )/ó, ó = (19 – ì)/1,18 P(z < ?) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = 0,58 ... z = (b – ì )/ó, 0,58 = (34 – ì )/ó, ó = (34 – ì )/0,58 –(19 – ì)/1,18 = (34 – ì )/0,58 ... –11,02 + 0,58ì = 40,12 – 1,18ì ... 1,76ì = 51,14 ... ì = 29,06 e 0,58 = (34 – ì )/ó ... 0,58 = (34 – 29,06)/ó ... ó = 8,52, ó2 = 72,64.
5.11 X1• N (10; 9), X 2• N (–2; 4) e X3• N (5; 25) X1 + X2 + X3 = T ou N (10; 9) + N (–2; 4) + N (5; 25)= N (13; 38). 5.12 a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = [(0,20 – 0,25)/0,02 < z < (0,28 – 0,25)0,02] P(0,20 < x < 0,28) = P(–2,5 < z < 1,5) = P(z < 2,5) + P(z < 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,9270, portanto, 1 – 0,9270 = 0,0730 é a porcentagem de defeituosos.
b) P(z < –?) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17 ... z = (a – ì )/ó ... –1,17 = (? – 0,25)/0,02 ... ? = 0,2266 polegadas.
5.13
z > (a – ì )/ó = z > (45 – 45)/3, P(x > 45) = P(z > 0) = 0,5
z > (b – ì )/ó = z > (45 – 40)/6, P(x > 45) = P(z > 0,83) = 0,5 – 0,2967 = 0,2033
Deve ser preferido o equipamento 1, uma vez que sua probabilidade de funcionar por mais de 45 horas é maior que a probabilidade do equipamento 2.
5.14 P(z < –?) = 0,10 ... P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28 z = (a – ì )/ó ... –1,28 = [(400 – ì )/20] ... ì = 425,6 g. 5.15 a) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – ó) – ì ]/ó < z < [(ì + ó) – ì ]/ó} = [–ó/ó < z < ó/ó] P(ì – ó < X < ì + ó) = P(–1 < z < 1) = 2 * P(z < 1) = 2 * 0,3413 = 0,6826. b) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 2ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 2ó) – ì ]/ó} = [–2ó/ó < z < 2ó/ó] P(ì – 2ó < X < ì + 2ó) = P(–2 < z < 2) = 2 * P(z < 2) = 2 * 0,4772 = 0,9544. c) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3ó) – ì ]/ó} = [–3ó/ó < z < 3ó/ó] P(ì – 3ó < X < ì + 3ó) = P(–3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973. d) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 1,5ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 1,5ó) – ì ]/ó} = [–1,5ó/ó < z < 1,5ó/ó] P(ì – ó < X < ì + ó) = P(–1,5 < z < 1,5) = 2 * P(z < 1,5) = 2 * 0,4332 = 0,8664. e) [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3,5ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3,5ó) – ì ]/ó} = [–3,5ó/ó < z < 3,5ó/ó] P(ì – 3,5ó < X < ì + 3,5ó) = P(–3,5 < z < 3,5) = 2 * P(z < 3,5) = 2 * 0,49977 = 0,999. 5.16
b) O intervalo compreendido entre o valor da média menos dois desvios padrão e o valor da média mais dois desvios padrão contém aproximadamente 95% das observações.
c) O intervalo compreendido entre o valor da média menos três desvios padrão e o valor da média mais três desvios padrão contém aproximadamente 99,7% das observações. d) O intervalo compreendido entre o valor da média menos um e meio desvios padrão e o
valor da média mais um e meio desvios padrão contém aproximadamente 87% das observações.
e) O intervalo compreendido entre o valor da média menos três e meio desvios padrão e o valor da média mais três e meio desvios padrão contém aproximadamente 100% das observações. 5.17 a) P(x < –?) = 0,05, P(x < ?) = 0,5 – 0,05 = 0,45 P(z < ?) = 0,45, portanto, z = –1,645 ... z = (a – ì)/ó ... –1,64 = (? – 18)/8 ... ? = 4,88. b) P(x > ?) = 0,15, P(x < ?) = 0,5 – 0,15 = 0,35 P(z < ?) = 0,35, portanto, z = 1,04 ... z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (? – 20)/10 ... ? = 30,4. c) P(x < –?) = 0,10, P(x < ?) = 0,5 – 0,10 = 0,40 P(z < ?) = 0,40, portanto, z = –1,28 ... z = (a – ì )/ó ... –1,28 = (? – 30)/7 ... ? = 21,04. d) P(x > ?) = 0,30, P(x < ?) = 0,5 – 0,30 = 0,20 P(z < ?) = 0,20, portanto, z = 0,52 ... z = (a – ì )/ó ... 0,52 = (? – 120)/9 ... ? = 124,68. e) P(x < –?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25 P(z < ?) = 0,25, portanto, z = –0,67 ... z = (a – ì )/ó ... –0,67 = (? – 5)/3 ... ? = 2,99. f) P(x > ?) = 0,25, P(x < ?) = 0,5 – 0,25 = 0,25 P(z < ?) = 0,25, portanto, z = 0,67 ... z = (a – ì )/ó ... 0,67 = (? – 78)/11 ... ? = 85,37. g) P(x < ?) = 0,5 P(z < ?) = 0,5, portanto, z = 0 ... ? = ì = 30. 5.18 a) P(Z < –Zo) = 0,05, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,05 = 0,45, portanto, z = –1,64. b) P(Z < –Zo) = 0,12, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,12 = 0,38, portanto, z = –1,17. c) P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39. d) P(Z < Zo) = 0,50, portanto, z = 0. e) P(Z < Zo) = 0,60, P(Z < Zo) = 0,60 – 0,5 = 0,10, portanto, z = 0,25. f) P(Z < Zo) = 0,75, P(Z < Zo) = 0,75 – 0,5 = 0,25, portanto, z = 0,67. g) P(Z < Zo) = 0,90, P(Z < Zo) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = 1,28. h) P(Z > Zo) = 0,72, P(Z < –Zo) = 0,28, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,28 = 0,22, portanto, z = –0,58. i) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39. j) P(Z > Zo) = 0,38, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,38 = 0,12, portanto, z = 0,31.
l) P(Z > Zo) = 0,08, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,08 = 0,42, portanto, z = 1,41. 5.19 X • N (65; 100) P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04, z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 65)/10 ... a = 75,4; P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 65)/10 ... b = 68,9; P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39, z = (c – ì)/ó ... –0,39 = (c – 65)/10 ... c = 61,10; P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28, z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 65)/10 ... d = 52,20; Portanto, E D C B A 0 52,20 61,10 68,90 75,40 100 5.20
X • N (50 ohms; 40 ohms 2), P(a < x < b) = 0,99 e |a| = |b|
P(z < b) = 0,99/2 = 0,4950, portanto z = 2,575 z = (b – ì )/ó ... 2,575 = (b – 50)/6,32 ... 16,27 = (b – 50) ... b = 16,27 + 50 (limite superior) e –z = (a – ì )/ó ... –2,575 = (a – 50)/6,32 ... –16,27 = (a – 50) ... a = 16,27 – 50 (limite inferior). 5.21 X • N (70; 100) P(z > a) = 0,15, P(z < a) = 0,5 – 0,15 = 0,35, portanto, z = 1,04, z = (a – ì )/ó ... 1,04 = (a – 70)/10 ... a = 80,4; P(z > b) = 0,15 + 0,20, P(z < b) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = 0,39, z = (b – ì )/ó ... 0,39 = (b – 70)/10 ... b = 73,9; P(z > –c) = 0,65, P(z < c) = 0,65 – 0,5 = 0,15, portanto, z = –0,39, z = (c – ì)/ó ... –0,39 = (c – 70)/10 ... c = 66,10; P(z > –d) = 0,90, P(z < c) = 0,90 – 0,5 = 0,40, portanto, z = –1,28, z = (d – ì )/ó ... –1,28 = (d – 70)/10 ... d = 57,20; Portanto, E D C B A 0 57,20 66,10 73,90 80,40 100 5.22 X • N (1,5 ano; 0,09 ano2) z < (a – ì )/ó = z < (1 – 1,5)/0,3 = z < –1,67,
P(x < 1 ano) = P(z < –1,67) = 0,5 – P(z < 1,67) = 0,5 – 0,4525 = 0,0475, ou, 570 máquinas.. 5.23
P(x < 20), z < (a – ì )/ó = z < (20 – 18)/5, P(z < 0,40) = 0,5 + 0,1554 = 0,6554
P(x < 20), z < (b – ì )/ó = z < (20 – 20)/2, P(z < 0) = 0,50
Deve ser escolhido o trajeto A, uma vez que sua probabilidade é maior que a probabilidade do trajeto B.
5.24
X • N (104 ano; 225 ano2)
P(x < 98), z < (a – ì )/ó = z < (98 – 104)/15, P(z < –0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 =
0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI abaixo de 98
P(x > 110), z > (b – ì )/ó = z < (110 – 104)/15, P(z > 0,4) = 0,5 – P(z < 0,4) = 0,5 – 0,1554 =
0,3446, ou 1378,5 empregados tem QI acima de 110, assim,
Total de adaptados = Total de empregados – Total de não capacitados – Total de supercapacitados = 4000 – 1378,5 – 1378,5 = 1243. 5.25 a) P(x > 200), z > (a – ì )/ó = z > (200 – 250)/20, P(z > –2,5) = 0,5 + P(z < 2,5) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938. b) X = N(250, 20), portanto, Y = N(1000, 80) P(y > 1150), z > (a – ì )/ó = z > (1150 – 1000)/80, P(z > 1,875) = 0,5 – P(z < 1,875) = 0,5 – 0,4672 = 0,0328. 5.26 X • N (2; 0,0001), P(2,03 < x < 2,03) = ? [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = {[(ì – 3ó) – ì ]/ó < z < [(ì + 3ó) – ì ]/ó} = [–3ó/ó < z < 3ó/ó] P(ì – 3ó < X < ì + 3ó) = P(–3 < z < 3) = 2 * P(z < 3) = 2 * 0,49865 = 0,9973 de não
defeituosos, portanto, apenas 26 seriam defeituosos. 5.27
a) P(x > 50), z > (a – ì )/ó = z > (50 – 45)/8, P(z > 0,63) = 0,5 – P(z < 0,63) = 0,5 – 0,2357 = 0,2643.
b) P(z < ?) = 0,40, portanto, z = 1,28
z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 45)/8], a = 55 min e 15 segundos.
5.28
X1• N (94; 2,98) * 22 = N (2068; 65,56)
X2• N (42; 1,21) * 14 = N (588; 16,94)
e X3• N (3,35; 0,04) * 120 = N (402,0; 4,8)
22 * X1 + 14 * X2 + 120 * X3 = T = N (3058; 87,3).
Peso Total = Caminhão Vazio + Motorista + Produtos, Produtos = 3040
P(x < 3040) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (3040 – 3058)/(87,3)0,5, P(z < –1,92) = 0,5 – P(z < 1,92) =
0,5 – 0,4726 = 0,0274
Probabilidade de ser multado = 1,00 – 0,0274 = 0,9726 = 97%. 5.29
a) P(x < 80) = 0,5.
b) P(x > 120) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (120 – 80)/20, P(z > 2) = 0,5 – P(z < 2) = 0,5 – 0,4772 = 0,0228.
c) P(x < 60) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (60 – 80)/20, P(z < –1) = 0,5 – P(z < 1) = 0,5 – 0,3413 = 0,1587 ou 32 candidatos. 5.30 P(y > 22) = ?, z > (a – ì )/ó = z > (22 – 16)/4, P(z > 1,5) = 0,5 – P(z < 1,5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668. P(y < 15) = ?, z < (a – ì)/ó = z < (15 – 16)/4, P(z < –0,25) = 0,5 – P(z < 0,25) = 0,5 – 0,0987 = 0,4013. 5.31 a) P(x < 700) = ?, z < (a – ì )/ó = z < (700 – 800)/90, P(z < –1,11) = 0,5 – P(z < 1,11) = 0,5 – 0,3665 = 0,1335. b) P(780 < x < 820) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (780 – 800)/90 < z < (820 – 800)/90 = –0,22 < z < 0,22, P(–0,22 < z < 0,22) = 2 * P(z < 0,22) = 2 * 0,0871 = 0,1742.
c) P(Peixe acima, Peixe abaixo) + P(Peixe abaixo, Peixe acima) = 0,5. 5.32
X1• N (2; 0,01), X 2• N (1; 0,00600625), X 3• N (0,5; 0,00399424) e X 4• N (1,5; 0,01100401)
X1 + X2 + X3 + X4 = N (5; 0,0310045)
P(4,9 < x < 5,1) = ?, [(a – ì )/ó < z < (b – ì )/ó] = (4,9 – 5)/ 0,18 < z < (5,1 – 5)/ 0,18 = –0,56 < z
SÉRIE II 5.33 a) P(t < 1000) = 1 – e – t / 1000 = 1 – e –1 = 1 – 0,3679 = 0,6321. b) ì = 1/ë, ì = 1/ (1/1000), portanto, ì = 1000 P(t > 1000) = e – t / 1000 = e–1 = 0,3679. c) ó = 1/ë, ó = 1/ (1/1000), ó = 1000 horas. 5.34 a) ì = ët, 0,25 = ë * 1, ë = 0,25 P(t < 1) = 1 – e –ë t = 1 – e –0,25 * (1) = 1 – e –0,25 = 1 – 0,7788 = 0,2212. b) P(10 < t < 12) = e –ë t1 – e –ë t2 = e –0,25 * 10 – e –0,25 * 12 = e –2,5 – e –3 = 0,0821 – 0,0498 = 0,0323.
c) P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero. d) P(t > 3) = e –ë t = e –0,25 * (3) = e –0,75 = 0,4724.
5.35
a) ì = 1 / ë, 4 = 1 / ë, ë = 0,25
P(t > 4) = e –ë t = e –0,25 * (4) = e –1 = 0,3679.
b) P(t < 5) = 1 – e –ë t = 1 – e –0,25 * (5) = 1 – e –1,25 = 1 – 0,2865 = 0,7135. c) P(t = 4) = 0, uma vez que a área de um ponto é igual a zero.
5.36
SÉRIE III 5.37
ö = 23, portanto,
Média: ì (x223) = 23,
Variância: ó2(x223) = 2 * 23 = 46 e Desvio padrão: ó (x223) = (46)0,5 = 6,78,
3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 27,141.
5.38
ö = 8 e á = 0,10, assim, X2sup = 13,36 e ö = 8 e á = 0,90, assim, X2inf = 3,49.
5.39
ö = 23, portanto,
Média: ì (t23) = 0 e Moda: Mo = 0,
Variância: ó2(t23) = 23 / (23 – 2) = 1,095 e Desvio padrão: ó (t23) = (1,095)0,5 = 1,0465,
3º Quartil: ö = 23 e á = 0,25, Q3 = 0,6853 e, por simetria, 1º Quartil: Q1 = – 0,6853.
5.40 a: ö = 20 e á = 0,10, a = – 1,3253 e b: ö = 20 e á = 0,025, b = 2,0860. 5.41 ö1 = 8 e ö2 = 10, portanto, Média: ì = ö2 /(ö2 – 2), ì = 10 / 8 = 1,25 Variância: ó2 = [2 * ö2 2 * (ö1 + ö2 – 2)] / [ö1 * (ö2 – 4) * (ö2 – 2)2] = (2 * 100 * 16)/(8 * 6 * 64) = 1,042 e Desvio padrão: ó = (1,042)0,5 = 1,021 P95 = F5% (8, 10) = 3,07, logo, P95 = 3,07 e P5 = F95% (8, 10) = 1 / [F5% (10, 8)] = 1 / 3,35 = 0,2985, logo, P5 = 0,2985. 5.42 a) P(Z < –Zo) = 0,25, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,25 = 0,25, portanto, z = –0,67, z = (a – ì )/ó, –0,67 = [(a – 100)/7], a = 95,31. b) P(Z > Zo) = 0,65, P(Z < –Zo) = 0,35, P(Z < Zo) = 0,5 – 0,35 = 0,15, portanto, z = –0,39. c) P(Z < Zo) = 0,80, P(Z < Zo) = 0,80 – 0,5 = 0,30, portanto, z = 0,84. d) P(–1,57 • z • 2,42) = P(z < 1,57) + P(z < 2,42) = 0,4418 + 0,4922 = 0,9340. e) P(Z < Zo) = 0,40, portanto, z = 1,28, z = (a – ì )/ó, 1,28 = [(a – 2000)/45], a = $ 2057,60. f) 1º Quartil: ö = 30 e á = 0,75, Q1 = 24,478. g) X2: ö = 15 e á = 0,90, X2 = 8,55. h) X2: ö = 15 e á = 0,10, X2 = 22,31. i) ó2(x223) = 50, portanto, ö = 25, D9: ö = 25 e á = 0,10, D9 = 34,381.
j) áinf: x2inf = 13,8 e ö = 26, áinf = 0,975 e ásup: x2sup = 38,9 e ö = 26, ásup = 0,05, portanto P(13,8 • x226• 38,9) = P(x226• 13,8) – P(x226• 38,9) = 0,975 – 0,05 = 0,925. l) 3º Quartil: ö = 5 e á = 0,25, Q3 = 0,7267. m) á: ö = 8 e t = 2,3060, á = 0,025. n) á: ö = 14 e t = 2,9768, á = 0,005, portanto, ácompl = 1 – 0,005 = 0,995. o) á1: ö = 22 e t = - 1,3212, á1 = 0,10 e á2: ö = 22 e t = 2,8188, á2 = 0,005, P(-1,3212 • t22• 2,8188) = P(t22• –1,3212) – P(t22• 2,8188) = 0,90 – 0,005 = 0,895. p) 95º Percentil: ö = 27 e á = 0,05, P95 = 1,7033. q) á1: ö = 30 e t = 0,68276, á1 = 0,25 e á2: ö = 30 e t = 2,7500, á2 = 0,005, P(–0,68276 • t30• 2,7500) = P(t22• –0,68276) – P(t22• 2,7500) = 0,75 – 0,005 = 0,745. r) P5 = F95% (8, 7) = 1 / [F5% (7, 8)] = 1 / 3,50 = 0,2857, logo, P5 = 0,2857. s) P95 = F5% (7, 8) = 3,50, logo, P95 = 3,50.
t) Psup = Fsup (1, 8) = 5,32, logo, Sup = 0,05 e Pinf = 1 / Finf (8, 1) = 0,00418, logo, Inf = 0,95
P(0,00418 • F(1, 8) • 5,32) = P(F (1, 8) • 0,00418) – P(F (1, 8) • 5,32) = 0,95 – 0,05 = 0,90.
Soluções e Respostas
Capítulo 6 – Distribuições Amostrais SÉRIE I
6.1
k) Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5. l) Desvio Padrão da População: ó2 = [Ó(x
i – ì )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.
m) Amostras = {(2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5)}
Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) /
Nº de amostras = (2 + 2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5 + 5) / 16 = 56 / 16 = 3,5.
n) Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó2(x
media) = [Ó(xmedia de cada amostra –
ì (xmedia)2] / Nº de amostras = [(– 1,5)2 + (– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 +
(0,5)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2 + (1,5)2] / 16 = 10 / 16 = 0,625 e
ó(xmedia) = 0,7906.
Fica constatado que:
ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 e
ó(xmedia) = ó / (n)0,5, uma vez que 0,7906 = 1,1180 / (2)0,5.
6.2
a) Média da População: ì = Óxi / N = 14 / 4 = 3,5. b) Desvio Padrão da População: ó2 = [Ó(x
i – ì )2] / N = 5 / 4 = 1,25 e ó = 1,1180.
c) Amostras = {(2, 3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 4); (3, 5); (4, 2); (4, 3); (4, 5); (5, 2); (5, 3); (5, 4)}
Média da distribuição amostral das médias: ì (xmedia) = (xmedia da amostra 1 + ... + xmedia mostra n) /
Nº de amostras = (2,5 + 3 + 3,5 + 2,5 + 3,5 + 4 + 3 + 3,5 + 4,5 + 3,5 + 4 + 4,5) / 12 = 42 / 12 = 3,5.
d) Desvio Padrão da distribuição amostral das médias: ó2(x
media) = [Ó(xmedia de cada amostra –
ì (xmedia)2] / Nº de amostras = [(– 1)2 + (– 0,5)2 + (0)2 + (– 1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (– 0,5)2 + (0)2 +
(1)2 + (0)2 + (0,5)2 + (1)2] / 12 = 10 / 12 = 0,4167 e ó(xmedia) = 0,6455.
Fica constatado que:
ì (xmedia) = ì , uma vez que 3,5 = 3,5 e
ó(xmedia) = [ó(x) / (n)0,5] * [(N – n)/(N – 1)]0,5, uma vez que 0,6455 = [1,1180 / (2)0,5] * (2/3)0,5.
6.3
Média Amostral: xmedia; Variância Amostral: S2; Freqüência Relativa: f; Diferença entre duas
Médias: (xmedia1 – xmedia2); Diferença entre duas Freqüência Relativas: (f1 – f2).
a) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½
Como neste primeiro caso temos reposição das peças, o número de amostras é igual a Nn
= 42 = 16 amostras: {(B1, B1); (B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, B1); (B2, B2); (B2, D1);
(B2, D2); (D1, B1); (D1, B2); (D1, D1); (D1, D2); (D2, B1); (D2, B2); (D2, D1); (D2, D2)}
Para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número de casos favoráveis
ao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total de casos da amostra.
Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer (1/16), teremos ì (f).
Portanto,
ì (f) = 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 2/2 + 1/16 * 2/2 + 1/16 * ½ +
1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 + 1/16 * ½ + 1/16 * ½ + 1/16 * 0/2 + 1/16 * 0/2 = 4 * (1/16 * 2/2) + 8 * (1/16 * ½) + 4 * (1/16 * 0) = ½
Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e com reposição, temos: [(p * q) / n] = [(½ * ½) / 2] = 1/8
Para encontrar ó2(f), devemos encontrar a E[f2] e subtrair ì (f)2.
E[f2] = Ó f2 * p(f) = (2/2)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (2/2)2 * 1/16 +
(2/2)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 *
1/16 + (½)2 * 1/16 + (½)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 + (0/2)2 * 1/16 = 4 * [(2/2)2 * 1/16] + 8 * [(½)2 *
1/16] + 4 * [0 * 1/16] = 3/8
ó2(f) = E[f2] – ì (f)2 = 3/8 – (1/2)2 = 1/8
Portanto, fica constatado que:
ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e
ó2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 0,125 = 0,125.
b) p = probabilidade de uma peça boa = 2/4 = ½
Como neste segundo caso não temos reposição das peças, o número de amostras é igual a = N = 4 = 6 amostras: {(B1, B2); (B1, D1); (B1, D2); (B2, D1); (B2, D2); (D1, D2)} n 2
Novamente, para cada uma das amostras, devemos calcular o f, ou seja, o número de
casos favoráveis ao evento retirar pelo menos uma peça boa sobre o número total de
casos da amostra. Multiplicando cada um destes f pela probabilidade da amostra ocorrer
(1/6), teremos ì (f).
Portanto,
ì (f) = 1/6 * 2/2 + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * ½ + 1/6 * 0/2 = (1/6 * 2/2) + 4 * (1/6 * ½)
+ (1/16 * 0) = ½
Como p = ½ e as amostras são de tamanho 2 e sem reposição, temos:
[(p * q) / n] * [(N – n) / (N – 1)] = [(½ * ½) / 2] * [(4 – 2) / (4 – 1)] = 1/8 * 2/3 = 1/12
Novamente, para encontrar ó2(f), devemos encontrar E[f2] e subtrair ì (f)2.
E[f2] = Ó f2 * p(f) = (2/2)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (½)2 * 1/6 + (0/2)2 * 1/6
= [(2/2)2 * 1/6] + 4 * [(½)2 * 1/6] + [0 * 1/6] = 1/3
ó2(f) = E[f2] – ì (f)2 = 1/3 – (1/2)2 = 1/12
Portanto, fica constatado que:
ì (f) = p, uma vez que 0,5 = 0,5 e
ó2(f) = [(p * q) / n], uma vez que 1/12 = 1/12.
6.5
xmedia = Óxi / n = (5 + 6 + ... + 4) / 30 = 104 / 30 = 3,48,
utilizando o estimador, x* = N * xmedia , x = 15000 * 104 /30 = 52000.
6.6
utilizando o estimador, x* = N * xmedia , x = 676 * 29,42 = 19888 assinaturas. 6.7
