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MEIO
NO
TRABA
Trabalho r Mestrado 10 de JunhOS C
ENS
ALHO N
realizado p no Ensino ho de 2012COM
SINO
Nº 4
por Liete S da Matem 2MPU
O
oares Mart mática no EUTAC
ta Salvador nsino BásiCION
r Inácio ico e no SeNAIS
ecundárioS
I N D I C
Introduçã Pontos no Definição Elementos Classificaç Classificaç Centros de Cir Inc Ort Bar Recta de E Conclusão ReferênciaC E
o táveis de u de Triângu s do Triâng ção de triân ção de triân e um Triân cuncentro centro de um tocentro de ricentro de Euler o as Bibliográ um triângul ulo gulo ngulos quan ngulos quan gulo de um triân m triângulo e um triâng e um triâng áficas lo nto ao com nto aos seu ngulo o gulo ulo mprimento d us ângulos MEIOS dos seus la COMPUTA dos ACIONAIS NNO ENSINOOI N T R O
Este traba Matemátic página we trabalho s autoria de geométric exploração A primeir desenvolv “Casa das relativame CategoriaPontos n
Descritivo e incentro Poderá ser Para ver e de utilidad Interactiv Tempo: V Categoriz Tema: Ge Unidade D Palavras Enviado p A geomet cidadãos normalme pouco esp O ensino d cálculos.D U Ç Ã O
alho foi rea ca. Consiste eb da "Casa sejam cria e J. Richter cas de gran o de polied a fase do t ver, não foi s Ciências ente a tema : Document
notáveis d
o : Estudo d o) usando o r manipula este objecto des. vidade: Ac Variável zado em: D ometria T Didáctica: Chave: Ma por: Erika Bria e a me a que a e ente deixad paço à acção da geometr
O
alizado no e na elabor a das Ciênci das ou no r – Gebert nde qualida dros. trabalho, q i fácil cons ”. Após u as relacion tos/Matemáe um triâ
dos pontos o Geogebra. ado pelos al o deverá te tivo Documento Triângulos Várias atematica, Bizarr edida são d escola, no da para os f o dos aluno ria reduz‐s âmbito da ração de um ias". Preten software t e U. H. K ade – ou no que consist siderando uma intens ados com a ática/3º Ciclângulo
s notáveis d . lunos de fo r instalado os/Matemá s (8ºano) duas áreas entanto, finais dos a os na comp se, tradicio a disciplina m trabalho nde‐se aind Cinderella Kortenkamp o softwareiu na esco a panóplia sa análise a matemáti lo do EB de um triân orma autón o o Geogebr ática/3º Ci da Matem não tem anos lectivo reensão do nalmente, MEIOS
a de Meios escrito inc da que toda – program p focado n
Poly – pro
lha do tem a de temas e dos mat ica, acabei p ngulo (baric noma ou uti ra, que pod iclo do EB mática fund dado a de os e tratad os conceito à aplicação COMPUTA s Computac orporando as as ilustra ma de Geo na investig ograma de ma ou do as
disponibil teriais dis por escolhe centro, orto ilizado pelo derá encont damentais evida aten a a partir d s geométri o de fórmu ACIONAIS N cionais no o um tema r ações que c ometria Di gação de co Geometria ssunto a ab lizados na poníveis n er o seguin ocentro, cir o professor trara na no
para o dia nção. A ge das definiç icos. ulas e à rea NO ENSINO Ensino da retirado da constem no nâmica da onstruções a focado na bordar e a página da neste site, te: rcuncentro r na aula. ossa página a‐a‐dia dos eometria é ões, dando alização de O a a o a s a a a , o a s é o e
Na resolu apropriad processos Os alunos tarefas ex peças poli utilização Tanto os desenvolv com a Mat Neste meu Baricentro Começo p de triângu Todas as i permitiu i Neste trab “Cinderella explorada ução de pr do para rea e justificá‐ s devem re xploratórias igonais enc compleme recursos ver a intuiç temática. u trabalho o de um tri or fazer um ulos, concei ilustrações interagir e balho as il
a”, no caso
as de forma
roblemas g alizar exper
‐los com rig ecorrer a s
s e de inv caixáveis e enta a abord computac ção geomét resolvi des ângulo, mu ma revisão itos necessá foram exe ficar a con lustrações o efectivo a dinâmica, geométrico riências, el gor progres software d estigação. e sólidos de dagem dinâ cionais com trica, a cap senvolver o uitas vezes sobre a de ários para cutadas no nhecer, um aparecem de utilizaç com a utili s, é impor laborar est ssivo. e Geometr Os materia e enchimen âmica ao es mo os mo acidade de os conceito referidos c efinição de a introduçã o software m pouco me como ima ção em sal
ização do s MEIOS rtante que tratégias, f ria Dinâmic ais manipu nto em acr studo da Ge odelos geo e visualizaç os de Circu como os po triângulo e ão do tema de geomet elhor, as p agens retir a de aula, oftware. COMPUTA os alunos formular co ca, sobretu uláveis (po rílico) cons eometria. ométricos ção e uma uncentro, In ntos notáv e uma refe a escolhido. ria dinâmic otencialida radas de fi as mesma ACIONAIS N s tenham onjecturas, udo na rea or exemplo stituem rec concretos relação ma ncentro, Or veis de um t rência aos . ca “Cindere ades deste icheiros qu as ilustraçõ NO ENSINO um tempo descrever alização de o, tangram, cursos cuja permitem ais afectiva rtocentro e triângulo. elementos ella”. O que programa. ue criei no ões seriam O o r e , a m a e s e . o m
P O N T O
• Triân
Figura pla• Elem
Observand ‐ Os ponto ‐ Os segm triângulo. ‐ Os ângu cujos vért contêm o ângulos in ‐ Os ângul um dos lad lado adjac• Class
FiguraO S N O T
ngulo
ana limitadamentos do
do o triâng os A, B e C s entos de r ulos interno tices são os os lados d nternos: ∠ ABC los externo dos do triâ cente. Ângulosificação
3Á V E I S
a por três so Triângu
ulo conseg são os vérti ecta AB, BC os do triân s vértices d do triângul , ∠ACB e ∠ os são os ân ângulo e pe os α, β e γ.de triâng
D E U M
segmentosulo
gue‐se ident ces. C e AC são ngulo são do triângulo lo. Assim ∠ BAC. ngulos form lo prolongagulos qu
T R I Â N
de recta (a tificar algu os lados do os ângulo o e os lado temos trê mados por amento douanto ao
c
MEIOSG U L O
a que se cha ns dos seu o os os êscomprim
α Figu Figura COMPUTA amam lado s elementomento dos
ura 1 a 2 ACIONAIS N s). os:s seus lad
β NO ENSINOdos:
γ O‐ Triângu ‐ Triângu ‐ Triângu
• Class
‐ Triângu ‐ Triângu ‐ Triângu• Cent
Dado um t triângulo. possíveis triângulo. Figura lo Equiláte ulo Isóscel lo Escalensificação
lo Acutâng lo Isóscele lo Escalentros de um
triângulo e No entan para defin a 4 ero: os lad es: dois la diferente no: os três lde triâng
gulo: tem t es: tem um no: tem umm Triâng
equilátero, nto, quand ir esse pon os têm tod dos com o e. ados têm tgulos qu
três ângulo ângulo rec ângulo obtgulo:
é mais ou o o triâng nto. De segos o mesm mesmo co odos comp
uanto aos
s agudos. cto. tuso. menos int gulo não é guida, vere MEIOS o comprim ompriment primentos dseus âng
uitivo o qu é equiláter emos algum COMPUTA mento. to e um lad diferentes.gulos:
ue se enten ro, existem mas definiç ACIONAIS N do com com nde pelo ce m várias a ões de cenNO ENSINO mprimento entro desse abordagens ntro de um O o e s m
Cir
O Circunce Construçã ‐ Dado o os pontos lados do tr ‐ Pelos p rectas segmentos respectiva ‐ Essas ponto G, triângulo. Como o cir então é o circunferê No caso circuncent triângulo Ver figurarcuncent
entro de um o (ver figur triângulo s médios d riângulo, p pontos E, F perpend s de recta amente. rectas int que é o rcuncentro o centro d ncia circun de um tro (ponto [ABC]. a 6.tro de um
m triângulo ra 5): [ABC] enc de cada um ontos E, F e F e D tra iculares a BC , AB tersectam‐ Circuncent o do triângu de uma cirnscrita de [A m triângu G) encont
m triângul
o é o ponto contrar m dos e D. çar as aos e AC, se no tro do ulo [ABC] e rcunferênc ABC]. lo acutân ra‐se no inlo
de intersec está à mesm cia que pa ngulo, o nterior do Figura 5 MEIOS cção das me ma distânci assa pelos COMPUTA ediatrizes d ia dos três v pontos A, ACIONAIS N dos seus la vértices do , B e C, c NO ENSINO ados. o triângulo, chamada a O , aNo caso d triângulo ( Quando se lados do t figura 8).
Inc
O Incentro das bissec Construçã ‐ Dado o dos ângulo ‐ As bisse que se des Figura de o triângu (ver figura e trata detriângulo, q
centro de
o de um tri ctrizes dos o (ver figur triângulo os A, B e C. ectrizes in signa por in a 7 ulo ser obt 7). um triângu que coincide um triâ
iângulo é o seus ângul ra 9): [ABC] traç ntersectam‐ ncentro do tusângulo o ulo rectâng de tambémângulo
o ponto de os internosçar as bisse ‐se num p
triângulo.
o circuncen
gulo o circ
com o diâ intersecçã s. ectrizes ponto D Figura 9 MEIOS ntro (ponto cuncentro ( âmetro da c ão Figura COMPUTA o D) encon (ponto M) circunferên 8 ACIONAIS N ntra‐se no e coincide co ncia circun NO ENSINO exterior do om um dos
nscrita (ver
O
o s
Como o In centro de inscrita (v Construçã ‐ Pelo po perpendic intersecçã lados do t G. ‐ Estes po circunscri Incentro.
Or
O Ortocen A altura d forma a en Construçã ‐ Por cad [ABC] tra lado opost ‐ As rectas se designa Important ncentro de u uma circu ver figura 1 o (ver figur nto D (Inc culares aos ão de cada triângulo d ontos pert ta no triârtocentro
tro de um t
de um triân
ncontrar o
o (ver figur
da um dos çar as rect to de cada v s intersecta a por Ortoc tes definiçõ um triângu unferência 0) ra 10): centro) tra s lados do uma das r definem os tencem à c ângulo cujo
o de um t
triângulo é ngulo, é da lado opost ra 11): s vértices tas perpen vértice. am‐se num centro do tr ões sobre o ulo está à m tangenteaçar as rec o triângulo rectas com pontos E, circunferên o centro é
riângulo
o ponto de ada pelo se o ao vértice do triângu ndiculares m ponto G q riângulo. o ortocentro mesma distâ aos lados ctas o, a m os F e ncia é oe intersecçã egmento de e, formand ulo ao que o do triâng F Fig MEIOS ância dos tr do triângu ão das suas e recta, tra do um ângu ulo: igura 10 gura 11 COMPUTA rês lados d ulo, chama s três altura açado a par
lo recto.
ACIONAIS N
do triângulo ada de circ
as.
rtir de um
NO ENSINO o, então é o cunferência vértice de O o a e
‐ No cas pont ‐ No ca coinc Figur so de um tr to da região aso de um cide com o a 13 riângulo ac o interior d m triângulo vértice do cutângulo o do triângulo o rectângu ângulo rec o ortocentro o. ort triâ
ulo o ortoc to. MEIOS o é um ‐ No caso tocentro é u ângulo. centro F COMPUTA de um triâ um ponto Figur Figura 14 ACIONAIS N ângulo obtu da região e ra 12 NO ENSINO usângulo o exterior do O o o
Ba
O Baricent A mediana ponto méd Construçã ‐ Dado o pontos E, F ‐ Unir cada ‐ O ponto d O baricent triângulo d O baricentaricentro
tro de um t a de um triâ dio do lado o (ver figur triângulo F e D. a um dos p de intersec tro é o cen de materia tro divide c Figura 1o de um tr
triângulo é ângulo, é da o oposto. ra 15): [ABC] enco ontos enco cção dessas ntro de gra al homogén cada media 5riângulo
o ponto de ada pelo se ontrar os p ontrados (E s rectas é o vidade do eo pelo seu ana na razã GB DGe intersecçã egmento de pontos mé E, F e D) com Baricentro triângulo. u baricentr o de 2:1 (T GA FG CG GE MEIOS ão das suas e recta, que dios de ca m o vértice o do triângu Isto quer d o, ele fica e Teorema de G E 2 1 COMPUTA s medianas e une um vé
ada um dos e oposto. ulo. dizer que, s em equilíbr Ceva). ACIONAIS N . értice do tr s lados do se suspend rio. NO ENSINO riângulo ao triângulo, dermos um O o , m
• Ap Podemos [ABC]. Ent igual a 1 2. licação do construir tão o triân
Figura 1 o Teorema o triângulo ngulo [DEF 6 de Ceva o [DEF], un F] é semelh nindo os p ante ao triâ AC 2 EF AB 2 DF CB 2 DE MEIOS pontos méd ângulo [AB COMPUTA
dios de cad C] com a r ACIONAIS N da lado do razão de s NO ENSINO o triângulo emelhança O o a
• Recta
Num triân no circunc que se inte Estes três designa‐se Figura 17a de Eule
ngulo qualq centro, pon ersectam n “centros” e por Recta 7er
quer [ABC] nto G; as me no ortocent dum triân a de Euler. ] desenham edianas, qu tro, ponto K ngulo, pont mos as med ue se inters K. os G, H e K MEIOS diatrizes de ectam no b K, são colin COMPUTA e cada lado baricentro, neares e a ACIONAIS N o, que se in ponto H, e recta que NO ENSINO ntersectam as alturas, os contém O m , m
C O N C L
A utilizaç Matemátic As ferram Deste mod ao fornec trabalhar resposta q Trabalhan proprieda Existem, d que permi Como qua do profess pareçam professor. ser usada promove a A tecnolog sobre os proporcio presença,L U S Ã O
ção das te ca e, em pa entas tecno do, a tecno er um me com progr que a tecno ndo com u ades das fig disponíveis item trabal alquer outr sor, poden poder trab . Pelo contr a tecnolog a sua realiz gia pode as objectos nadas pelo contribui p cnologias rticular, ao ológicas pe logia enriq io de visu ramas de ge ologia pode um progra guras, pode s na Intern lhar proble ro instrume ndo ser usa balhar de rário, o seu gia, mas ta zação e o en ssim consti visualiza o software para o dese é hoje im o da geome ermitem o a quece a exte ualizar noç eometria d proporcio ma de geo m ainda ex net, pequen emas intere ento de ens ada de mo modo ind u papel é e ambém na nvolviment tuir um co dos no e e, o que p envolvimen mprescindív tria. acesso a mo ensão e a q ões geomé inâmica, a nar. ometria di xplorar rela nos program essantes do sino, a form do adequa ependente essencial d selecção d to dos seus ntexto par ecrã e os para além nto da comu MEIOS vel quando odelos visu qualidade d étricas sob aprendizag inâmica, o ações e form mas intera o ponto de v ma como a ado ou não com a te esde logo a das tarefas s alunos. a discussõe s efeitos do desen unicação m COMPUTAo nos refe uais podero das investig bre diferen gem dos al s alunos p mular e tes activos, des vista da geo tecnologia . Embora, ecnologia, ao definir s que prop es entre os das diver nvolviment matemática. ACIONAIS N rimos ao osos. gações em ntes perspe unos é aux podem inv tar conject signados po ometria. a é utilizad por vezes, esta não s quando e c põe e na fo
s alunos e o rsas trans o dos con . NO ENSINO ensino da geometria, ectivas. Ao xiliada pela vestigar as turas. or applets, da depende os alunos substitui o como deve orma como o professor sformações nceitos em O a , o a s , e s o e o r s m
