Entrando na Onda (ou) Como se pega uma onda?

(1)

DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E SISTEMAS

Entrando na Onda… (ou)

Como se pega uma “onda”?

Prof. Hélio Magalhães de Oliveira

CODEC Grupo de Pesquisas em Comunicações, Departamento de Eletrônica e Sistemas E-mail: hmo@ufpe.br URL: http://www2.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html

AULA DE ENCERRAMENTO DE ENGª ELÉTRICA / ELETRONICA

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Uma teoria mais geral introduzida nos anos 80:

A Transformada de Wavelet

ORIGEM- Escola Francesa

(Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat, Coifman, Rioul, etc.)

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Gama de aplicações:

geologia sísmica

visão computacional e humana radar e sonar

computação gráfica

predição de terremotos e maremotos turbulência, fractais

bancos de filtros espectrometria

distinção celular (normais vs patológicas) modelos para trato auditivo

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compressão de imagens (JPEG 2000) descontaminação de sinais (denoising) detecção de rupturas e bordas

análise de seqüências de DNA análise de tons musicais

neurofisiologia

detecção de curtos eventos patológicos análise de sinais biomédicos

(eletrocardiogramas, mamografias, eletroencefalogramas etc.)

espalhamento em banda larga modelagem de sistemas lineares óptica e eletromagnetismo

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caracterização de sinais acústicos reconhecimento de alvos

transitório e falhas em linhas de potência Metalurgia (rugosidade de superfícies) visualização volumétrica

Telecomunicações

previsão em mercados financeiros Estatística

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Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:

"La Théorie Analytique de la Chaleur":

Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas



 verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo.

Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e.,

no domínio

da freqüência

.

(7)

Por que wavelets?

Em que esta ferramenta pode ser mais potente que a

análise espectral clássica de Fourier?

Conceito de estacionaridade

Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta um caráter local. Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim dos tempos (+∞) é levado em consideração.

(a)

(8)

WAVELETS

Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P. Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets

Jean Morlet. (ecce homo!)

Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta teoria com o processamento digital de sinais.

Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não triviais, continuamente diferenciáveis.

(9)

Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada).

Wavelets Contínuas

ψ

(t) wavelet-mãe

ψ

(t)∈L2(ℜ). Operações: a) escalonamento = __a _ t a t a ψ ψ | | 1 ) ( _{, a≠0. b) deslocamento} ₍_t₎ ₍_t _b₎ b =

ψ

−

ψ

_.

)}

(

{

)}

(

{

ψ

t

→

ψ

_a_,_b

t

_{(∀a, a≠0) (∀b∈ℜ).}

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versão:

Comprimida da wavelet mãe, se a<1; Dilatada da wavelet mãe, se a>1.

Define-se CWT(a,b):=

∫

+∞ ∞ − f (t) a,b(t)dt *

ψ

_{=< f(t),}

_ψ

_a,b_>.

Analogia com Fourier: F(w)=

∫

+∞ ∞ − −

dt

e

t

f

(

)

jwt _{=< f(t),e}jwt >.

Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta duração - e não sinais ab aeterno.

(11)

Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações. Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via

2 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( a dadb a b t a b a CWT C t f

∫ ∫

+∞ ∞ − ∞ + ∞ − _     − = ψ ψ .

(12)

A Transformada Inversa (CWT-1) e a Condição de Admissibilidade

Sejam f(t)∈ L2(ℜ) e

ψ

_a,b(t) ∈ L2(ℜ-{0}× ℜ). Sob que condições é possível

"pegar uma onda"? (catch the wave...)

Escolher uma wavelet protótipo tal que

ψ

(t) ↔ Ψ(w) e

+∞

<

Ψ

=

∫

+∞ ∞ −

ζ

ψ

d

|

)

(

|

C

2 .

Exemplos: Um mar de Wavelets

(13)

Nome da família de Wavelets

'haar' Haar wavelet.

'db' Daubechies wavelets. 'sym' Symlets.

'coif' Coiflets.

'bior' Biorthogonal wavelets.

'rbio' Reverse biorthogonal wavelets. 'meyr' Meyer wavelet.

'dmey' Discrete approximation of Meyer wavelet. 'gaus' Gaussian wavelets.

'mexh' Mexican hat wavelet. 'morl' Morlet wavelet.

(14)

'cgau' Complex Gaussian wavelets. 'shan' Shannon wavelets.

'deO' de Oliveira wavelets. 'legd' Legendre wavelets. 'mth' Mathieu wavelets. 'Cheb' Chebyshev wavelets. 'Gegb' Gegenbauer wavelets. 'beta' Beta wavelets.

'fbsp' Frequency B-Spline wavelets. 'cmor' Complex Morlet wavelets.

(15)

Wavelet complexa de Morlet

Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo), Morlet empregou a wavelet complexa:

t jw t Mor

e

t

0 2 2 / 4 / 1 ) (

1 )

(

=

− −

π

ψ

.

(16)

Wavelet de Shannon

A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon.

No caso da wavelet complexa, pode-se usar

ψ

(CSha)(t) = Sinc(t)e−j2πt .

(a) (b)

(17)

Wavelets de Daubechies

Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto.

(18)

Wavelet de "de Oliveira"

Nova família de wavelets ortogonais complexas.

Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de "rolamento" assimétricas. 4 2 0 2 4 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 alpha=0.1 alpha=0.2 alpha=0.3 0.435 0.087 − φ t 0.1( , ) φ t 0.2( , ) φ t 1 3 ,       5 5 − t

(19)

Mostra-se que o módulo wavelet complexa de "de Oliveira" é dado por ( ) ( )            + > + < < − − − − < < + + < < + − < = ) (1 2 se 0 ) (1 2 ) (1 2 se ) 1 ( 2 8 1 cos 2 1 ) (1 2 ) (1 se 2 1 ) (1 ) -(1 se ) 1 ( 4 1 cos 2 1 ) -(1 se 0 ) ( ) ( α π α π α π α π α π α π α π π α π α π α π α π α π w w w w w w w w S deO

(20)

Figura. Wavelet ψ(deO)(t)_{: Parte real}

(21)

Compressão via wavelets

A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de

compressão:

Inclusão no

padrão internacional JPEG 2000

.

padrão do FBI

(Federal Bureau of Investigations) para o

armazenamento de impressões digitais.

Padrão WSQ, "Padrão de Compressão Wavelet/Quantização escalar" (do Inglês: Wavelet/Scalar Quantization standard).

As imagens são produzidas com qualidade de arquivamento e com taxas de compressão em torno de 20:1.

(22)

Figura (a) Imagem original (261 KB); (b) Imagem comprimida por JPEG (28 KB); (c) Imagem comprimida wavelets(5KB).

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WAVELET SHIFT-KEYING: A NEW DIGITAL MODULATION

H.M. DE OLIVEIRA, H.A.N. SILVA, E.A. BOUTON, Wavelet Shift-Keying: A New Digital Modulation, Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, XX SBrT, Setembro 2003, Rio de Janeiro.

Preliminary ideas of a new digital modulation scheme termed wavelet shift keying (WSK), which is based on discrete wavelet transforms.

The WSK Modulation M-ary WSK signalling schemes can be used in data transmission application.

• Scaled versions of the mother wavelet are transmitted in each symbol slot. • It is assumed that scale factor of every slot depends on the input binary data.

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LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO UTILIZANDO A REPRESENTAÇÃO WAVELET MULTIRESOLUÇÃO

L.R. SOARES, M.A.CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Detecção e Classificação de Faltas Utilizando a Transformada de Wavelets, Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica, XVII SNPTEE, Uberlândia, 2003.

L.R. SOARES, M. A. DE CARVALHO JR, H.M. DE OLIVEIRA, Localização de Faltas em Linhas de Transmissão Utilizando a Representação Wavelet Multirresolução, Congresso Brasileiro de Automática-CBA, Natal, Setembro, 2002.

LT: Presidente Dutra/Boa Esperança (PDD/BEA), Norte/Nordeste, 205,6km.

As faltas foram simuladas no ATP (Alternative Transient Program), considerando que o monitoramento da linha é realizado no terminal de PDD.

(25)

• Localização da falta: método da impedância aparente - versões aproximadas dos sinais de tensão e corrente à terceira escala.

• Simulações resultaram erros inferiores a 3,7%: satisfatório para reduzir a área de inspeção por parte das equipes de manutenção.

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COMPACTLY SUPPORTED WAVELETS DERIVED FROM LEGENDRE POLYNOMIALS: SPHERICAL HARMONIC WAVELETS

M.M.S. LIRA, H.M. DE OLIVEIRA, M.A. CARVALHO Jr, R.M.C. DE SOUZA, Compactly Supported Wavelets Derived from Legendre Polynomials: Spherical Harmonic Wavelets, WSEAS Int. Conf. on Systems, Greece, 2003.

2-dimensional Legendre transform (2D-legdN) for image analysis: Interesting effects in multiresolution decomposition of hand-drawn images.

Fig. - Reconstruction of a hand-drawn draft using 2D-legd2.

(27)

ELLIPTIC-CYLINDER WAVELETS: THE MATHIEU WAVELETS

M.M.S. LIRA, H.M. de OLIVEIRA, R.J. de SOBRAL CINTRA, Elliptic-Cylindrical Wavelets: The Mathieu Wavelets, IEEE Signal Processing Letters, , vol.11, n.1, January, pp. 52 - 55, 2004..

M.M.S. Lira, H.M. de Oliveira, R.J. de Sobral Cintra, R.M.C. de Souza, Wavelets for Elliptical Waveguide Problems, 2002 WSEAS International Conference on Wavelet Analysis and Multirate Systems, Vouliagmeni, Athens, Greece, December 29-31, 2002.

Broad scope of wave-guide problems involving elliptical geometry, including: i) analysis for weak guiding for step index elliptical core optical fibres

ii) power transport of elliptical wave-guides

iii) evaluating radiated waves of elliptical horn antennas

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ON WAVELET DECOMPOSITION OVER FINITE FIELDS

DE OLIVEIRA, H. M., FALK, T. H. On Wavelet Decomposition over Finite Fields In: 19º Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001, Fortaleza CE. Anais do 19º Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001. (artigo selecionado para publicação do n. especial da Rev. da Soc. Bras. de Telecom.)

TAVORA, R. G. F., SOUZA, R. M. C., DE OLIVEIRA, H. M. Um Algoritmo Rápido para a Transformada Wavelet em Corpos Finitos In: 19 Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2001, Fortaleza. Anais do 19 Simpósio Brasileiro de Telecomunicações , 2001.

DE OLIVEIRA, H.M., FALK T.H., TÁVORA R.F.G., Decomposição de Wavelets sobre Corpos Finitos, Revista da Sociedade Brasileira de Telecomunicações. Campinas, SP: v.17, n.1, p.38 - 47, 2002.

•Foundations of wavelets over Galois fields.

•Standard orthogonal finite-field wavelets including FF-Haar and FF-Daubechies. •FF-wavelets to design spread-spectrum sequences.

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APLICAÇÃO: PROJETO DE SEQÜÊNCIAS DE ESPALHAMENTO ESPECTRAL

As portadoras wavelet digitais têm a mesma duração T de um símbolo de entrada a ser modulado, tendo N chips por símbolo de dados. Nova classe de esquemas CDM/CDMA baseado em transformadas de wavelet sobre corpos finitos:

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Análise wavelet para Seqüências de DNA

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CHEBYSHEV WAVELETS

R.J.S. CINTRA, L.R. SOARES, H.M. DE OLIVEIRA, On Filter Banks and Wavelets Based on Chebyshev Polynomials, submitted to WSEAS Int. Conf. on Systems, Greece, 2003.

New family of wavelets, named Chebyshev wavelets, which are derived from conventional Chebyshev polynomials.

The convergence of the cascade algorithm of 2nd kind Chebyshev wavelets is proved by using properties of Markov chains.

Aplicações: Wavelets Polinomiais em Eletrogastrografia

Acometimentos patológicos do sistema digestivo, ligados ao estômago (e.g. gastroparesia, gastrites, úlceras pépticas, constipações idiopáticas, refluxo gástrico-esofágico simples, neoplasias gástricas, taquigastrias, doenças gástrico-congênitas).

(32)

Figura. Trecho de 20 segundos de um sinal de EGG amostrado a uma freqüência de 2 Hz Sinal Típico de EGG e a função wavelet de Chebyshev.

(33)

CONCLUSÕES

• RESUMO DOS PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS NA UFPE

Novas wavelets

Potenciais aplicações

Wavelets em corpos finitos Multiplex, Acesso múltiplo, Análise de seqüências de DNA

Wavelet de "de Oliveira" Modulação digital, Modems ADSL Wavelets de Chebyshev

wavelets de Gegenbauer

Análise em biomédica (eletrogastrografia, ECG...)

Wavelets de Legendre Desenhos, Tomografia, RMN, Imagens

médicas

Wavelets de Mathieu Óptica, eletromagnetismo (antenas...)

Wavelets Beta Sinais com formato tipo quase senoidal

• IMPORTANTE E PODEROSA FERRAMENTA NA ANÁLISE DE SINAIS

• NUMEROSAS APLICAÇÕES E PERSPECTIVAS