Michael Fowler Departamento de Física, Universidade da Virgínia
A vida de Newton
Em 1642, o ano em que Galileu morreu, Isaac Newton nasceu em Woolsthorpe,
Lincolnshire, Inglaterra, no dia de Natal. O seu pai tinha morrido três meses antes, e o bebé Isaac, muito prematuro, não se esperava que sobrevivesse. Foi dito que ele podia ser metido num recipiente de 1 litro. Quando Isaac tinha três anos, a sua mãe casou-se com um clérigo idoso e abastado da aldeia vizinha, e foi viver para lá, deixando Isaac com a sua avó. O clérigo morreu, e a mãe de Isaac regressou, após oito anos, trazendo com ela mais três crianças pequenas. Dois anos mais tarde, Newton foi para a Grammar School em Grantham, onde arranjou alojamento na casa do boticário local, e se fascinou com os produtos
químicos. O plano era que aos dezassete anos ele regressasse a casa para olhar pela quinta. De facto, ele acabou por ser um falhanço total como agricultor.
O irmão da sua mãe, um clérigo que tinha frequentado Cambridge, persuadiu a mãe deste que seria melhor para ele ir para a universidade, por isso em 1661 ele foi para o Trinity College, em Cambridge. Isaac pagou a sua estadia na universidade durante os primeiros três anos a servir às mesas e a limpar os quartos de docentes e de estudantes mais abastados. Em 1664, ele recebeu uma bolsa, garantindo quatro anos de suporte financeiro. Infelizmente, naquela altura a praga estava a espalhar-se pela Europa, e chegou a Cambridge no Verão de 1665. A Universidade fechou, e Newton regressou a casa, onde passou dois anos a
concentrar-se em problemas de Matemática e Física. Ele escreveu mais tarde que durante esse tempo ele demonstrou pela primeira vez a teoria da gravitação (a qual iremos discutir mais abaixo), e a teoria da Óptica (ele foi o primeiro a aperceber-se que a luz branca é composta das cores do arco-íris) e muita matemática – tanto o cálculo integral como diferencial e as séries infinitas. No entanto, ele foi sempre muito relutante a publicar o que quer que fosse, pelo menos até que aparecesse alguém que pudesse obter crédito pela descoberta de algo que ele já tivesse descoberto.
Ao regressar a Cambridge em 1667, ele começou a trabalhar em alquimia, mas em 1668 Nicolas Mercator publicou um livro contendo alguns métodos para lidar com séries infinitas. Newton imediatamente escreveu um tratado, De Analysi, expondo os seus resultados, bastante mais amplos. O seu amigo e mentor Isaac Barrow comunicou estas descobertas a um matemático de Londres, mas só passadas algumas semanas é que Newton permitiria que o seu nome fosse revelado. Este episódio levou pela primeira vez o seu trabalho para a atenção da comunidade de matemáticos. Pouco depois, Barrow deixou o seu lugar de Professor Lucasiano (o qual tinha sido estabelecido apenas em 1663, com Barrow) em Cambridge para que Newton pudesse ficar com a cátedra.
A primeira grande (e pública) descoberta científica de Newton foi a invenção, desenho e construçãoo de um telescópio reflector. Ele produziu o espelho, construiu o tubo, e criou mesmo as suas próprias ferramentas para o trabalho. Este foi um grande avanço na tecnologia dos telescópios, e certificou a sua eleição para o estatuto de membro da Royal Society. O espelho dava uma imagem mais definida do que era possível com grandes lentes porque a lente foca cores diferentes a distâncias ligeiramente distintas, um efeito chamado aberração cromática. Este problema é hoje em dia minimizado utilizando lentes compostas, duas lentes de dois tipos de vidro juntas, que apontam em direcções opostas, e por isso
tendem a cancelar os desvios uma da outra, mas espelhos são ainda usados em telescópios de grandes dimensões.
No fim da década de 1670, Newton ficou bastante interessado em teologia. Ele estudou Hebreu e teólogos antigos e modernos com grande detalhe, e ficou convencido que a Cristandade tinha partido dos ensinamentos originais de Cristo. Ele sentia-se incapaz de aceitar as crenças da Igreja de Inglaterra, o que não convinha visto que era necessário aos fellows do Trinity College aceitarem ordens sagradas. Felizmente, a Igreja de Inglaterra era mais flexível do que a Igreja Católica nestes assuntos (para mal de Galileu), e o rei Carlos II instituiu um decreto real que retirava a Newton a obrigatoriedade de seguir ordens sagradas! Na prática, para impedir que isto se alargasse em demasia, o decreto especificava que, perpetuamente, o Professor Lucasiano não necessitava de seguir ordens sagradas. (o professor Lucasiano actual é Stephen Hawking)
Em 1684, três membros da Royal Society, Sir Christopher Wren, Robert Hooke e Edmond Halley, discutiam se as órbitas elípticas dos planetas poderiam resultar de uma força gravitacional causada pelo Sol proporcional ao quadrado inverso da distância. Halley escreve:
O Sr. Hook disse que tinha demonstrado, mas que iria esconder durante algum tempo para que outros, tentando e errando pudessem saber como lá chegar, e nessa altura ele tornaria isso público.
Halley foi a Cambridge, e colocou o problema a Newton, que disse que o tinha resolvido quatro anos antes, mas que não conseguia encontrar a prova no meio dos seus papéis. Três meses depois, ele mandou uma versão melhorada da prova a Halley, e dedicou-se a tempo inteiro a desenvolver estas ideias, culminando na publicação do Prinicipia em 1686. Este foi o livro que realmente mudou a visão humana do Universo, conforme iremos brevemente discutir, e a sua importância foi compreendida muito rapidamente. Newton tornou-se uma figura pública. Ele trocou Cambridge por Londres, onde foi apontado Mestre da Moeda, um papel que desempenhou energicamente, como sempre, incluindo a perseguição aos
falsificadores. Ele foi declarado cavaleiro pela Rainha Ana. Ele discutiu com Hooke acerca de quem é que merceria o crédito para a descoberta da ligação entre órbitas elípticas e a lei do quadrado inverso até à morte deste em 1703, e discutiu com um matemático e filósofo alemão, Leibniz, sobre qual deles teria inventado o cálculo. Newton morreu em 1727, e foi sepultado com grande pompa e circunstância na abadia de Westminster – não obstante as suas bem conhecidas reservas sobre a fé Anglicana.
Um livro excelente e bem legível é A vida de Isaac Newton1
Uma colecção fascinante de artigos (profundamente ilustrados) da vida, trabalho e impacto na cultura geral de Newton é Let Newton Be!, editado por John Fauvel e outros, Oxford 1988, o qual também consultei.
, de Richard Westfall, Cambridge 1993, o qual usei para escrever o sumário da vida de Newton.
Projécteis e planetas
Vamos então virar-nos para o tópico central do Principia, a universalidade da força gravitacional. Reza a história que Newton viu uma maçã a cair no seu jardim em
Lincolnshire, pensou nisso em termos de uma força gravitacional atractiva na direcção da Terra, e apercebeu-se que a mesma força também se poderia estender a zonas tão
longínquas como a Lua. Ele estava familiarizado com o trabalho de Galileu nos projécteis, e sugeriu que o movimento orbital da Lua poderia ser entendido como uma extensão natural dessa teoria. Para ver o que é que ele queria dizer com isso, consideremos uma arma a disparar um projéctil horizontalmente a partir de uma montanha muito alta, e imaginemos usar cada vez mais pólvora em disparos sucessivos para lançar cada vez mais rapidamente o projéctil.
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As trajectórias parabólicas iriam tornar-se progressivamente mais planas, e se imaginarmos que a montanha é tão alta que a resistência do ar possa ser ignorada, e que a arma é
suficientemente potente, eventualmente o ponto de aterragem está tão distante que teremos que considerar a curvatura da Terra para determinar onde é que o projéctil aterrará. De facto, a situação real é mais dramática – a curvatura terrestre poderá significar que o projéctil nunca aterrará de todo. Isto foi visualizado por Newton no Prinicipia. O seguinte diagrama encontra-se na sua popularização tardia, Um Tratado do Sistema do Mundo, escrito na década de 1680:
O topo da montanha em V é suposto estar acima da atmosfera terrestre, e para uma velocidade inicial adequada, o projéctil irá orbitar a Terra numa trajectória circular. De facto, a curvatura terrestre é tal que a superfície cai abaixo de uma linha verdadeiramente horizontal por cerca de cinco metros por cada 8 km. Relembremos que cinco metros é simplesmente a distância vertical que um projéctil inicialmente a mover-se apenas na horizontal irá cair no primeiro segundo de movimento. Mas isto implica que se a velocidade (horizontal) no final do cano fosse 8 000 metros por segundo, a queda na bala do canhão seria compensada pela superfície terrestre a “cair”, e nunca iria atingir o chão! Isto é
simplesmente o movimento, familiar para nós, de um satélite numa órbita baixa, que viaja a cerca de 8000 metros por segundo, ou 28 800 km/h. (de facto, Newton desenhou esta montanha impossivelmente elevada, sem dúvida para tornar a ilustração mais clara. Um satélite lançado horizontalmente do topo iria estar consideravelmente acima da órbita usual, e iria consideravelmente mais lento que 28 800 km/h.)
Para uma versão animada do canhão de Newton na montanha,carregar aqui!
Newton apercebeu-se que a trajectória circular da Lua em torno da Terra poderia ser
causada pela mesma força gravitacional que poria uma bala de canhão numa órbita de baixa altitude, por outras palavras, pela força que causa a queda dos corpos.
Para pensar sobre esta ideia, consideremos o movimento da Lua, começando num dado instante, a desviar-se para baixo – caindo – de uma linha inicial “horizontal”, tal como o caso da bala de canhão disparada horizontalmente de uma montanha alta. A primeira questão óbvia é: será que a Lua cai cinco metros abaixo da linha horizontal, na direcção da Terra, durante o primeiro segundo? Isto não era complicado de verificar por parte de Newton, porque a trajectória da Lua já era conhecida com precisão naquela altura. A órbita lunar é aproximadamente um círculo com um raio de cerca de 384 000 km, e que dura cerca de um mês (para ser preciso, 27.3 dias), por isso a distância percorrida num segundo é muito convenientemente próxima de um quilómetro. E então uma questão de geometria determinar quanto é que a trajectória curvilínea cai abaixo da linha “horizontal” durante um segundo da órbita, e a resposta não é cinco metros, mas apenas um pouco mais que um milímetro! (de facto, à volta de 1.37 mm.)
É completamente impossível desenhar um diagrama que mostre quanto cai num segundo, mas a geometria é a mesma se olharmos para quanto cai num dia, e por isso aqui está:
Por um segundo, AB teria um quilómetro, e como AC tem 384 000 km, o triângulo ABC é realmente fino, mas podemos ainda utilizar o teorema de Pitágoras!
Dessa forma a “aceleração natural” da Lua relativamente à Terra, medida como quanto ela cai abaixo de um movimento rectilíneo num segundo, é menor que a de uma maçã aqui na Terra pelo rácio de cinco metros para 1.37 milímetros, o que acaba por ser cerca de 3 600. Qual é o significado desta velocidade de queda ser muito menor? A resposta de Newton foi que a aceleração natural da Lua era muito mais pequena que a da bala de canhão porque
ambos eram causados por uma força – uma atracção gravitacional na direcção da Terra, e que essa força ficava progressivamente mais fraca à medida que se afastava da Terra. De facto, os valores que possuímos acerca da órbita lunar permitem-nos calcular quão rapidamente a atracção gravitacional desaparece com a distância. A distância do centro da Terra à superfície desta é cerca de 6 350 quilómetros, por isso a Lua encontra-se 60 vezes mais distante do centro da Terra que nós e a bala de canhão.
Da nossa discussão de quão rápido a Lua cai abaixo de uma linha recta num segundo na sua órbita, descobrimos que a aceleração gravitacional diminui por um factor de 3 600 da bala de canhão (ou da maçã).
Pondo estes dois factos em conjunto, e notando que , levou Newton à sua famosa lei do inverso do quadrado: a força da atracção gravitacional entre dois corpos diminui com o aumento da distância entre eles no quadrado inverso dessa distância, por isso se a distância for duplicada, a força diminui por um factor de quatro.
